湖南省娄底市2016届高三数学上学期期中联考试题 理

湖南省娄底市2015-2016学年高三上学期期中考试联考数学（理科）试题一．选择题：（每题5分）1.若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -2.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(－∞，1]3.设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位 5.命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 6.设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数7.设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)8.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)9.已知AB →⊥AC →，||AB →＝1t，||AC→＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→||AB →＋4AC →||AC →，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．2110.若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．911.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)12.若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 二．填空题：（每题5分）13.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．14.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________．15.若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为 .16.曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 三．解答题：（第17题10分，其余的每题12分）17. 已知向量m ＝(1，3cos α)，n ＝(1，4tan α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且m·n ＝5.(1)求|m＋n|；(2)设向量m 与n 的夹角为β，求tan(α＋β)的值．18. 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．19.设a 为实数，给出命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数，命题q ：关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|≥a 的解集为∅.(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若q 为真命题，求a的取值范围；(3)若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．20. 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .21设函数f (x )＝3x 2＋axe x(a ∈R)．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．22.已知函数f ()x ＝a ln x －ax －3(a ≠0)．(1)讨论f ()x 的单调性；(2)若f ()x ＋()a ＋1x＋4－e ≤0对任意x ∈[]e ，e 2恒成立，求实数a 的取值范围；(3)求证：ln ()22＋1＋ln ()32＋1＋ln ()42＋1＋…＋ln ()n 2＋1<1＋2ln n ！(n ≥2，n ∈Ν*)．高三数学理科联考试题答案一．选择题：DABB DAAA ADCC 二．填空题：13.3 14.10 15. 3π 16. 16三．解答题：17.已知向量m ＝(1，3cos α)，n ＝(1，4tan α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且m·n ＝5.(1)求|m ＋n|；(2)设向量m 与n 的夹角为β，求tan(α＋β)的值． 解：(1)由m·n ＝1＋12cos αtan α＝5，得sin α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos α＝223，tan α＝24. 则m ＝(1，22)，n ＝(1，2)，所以m ＋n ＝(2，32)，所以|m ＋n |＝22. (2)由(1)知m ＝(1，22)，n ＝(1，2)，所以cos β＝53×3＝539，即sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5392＝69，所以tan β＝25，所以tan(α＋β)＝24＋251－24×25＝22. 18.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12.由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立，因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 19.设a 为实数，给出命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数，命题q ：关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|≥a 的解集为∅.(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若q 为真命题，求a的取值范围；(3)若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解：(1)命题p ：“函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数”为真命题，得0<a －32<1，所以32<a <52；(2)由q 为真命题，则由0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|≤1，得a >1；(3)∵p 且q 为假，p 或q 为真，所以p 、q 中一真一假． 若p 真q 假，则a 不存在； 若p 假q 真，则1<a ≤32或a ≥52.综上，a 的取值范围为：1<a ≤32或a ≥52.20.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.21.设函数f (x )＝3x 2＋axe x(a ∈R)．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）e x （e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋aex， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x. 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数； 当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为－92，＋∞.22.已知函数f ()x ＝a ln x －ax －3(a ≠0)．(1)讨论f ()x 的单调性；(2)若f ()x ＋()a ＋1x ＋4－e ≤0对任意x ∈[]e ，e 2恒成立，求实数a 的取值范围；(3)求证：ln ()22＋1＋ln ()32＋1＋ln ()42＋1＋…＋ln ()n 2＋1<1＋2ln n ！(n ≥2，n ∈Ν*)．4．解：(1) f ′(x )＝a （1－x ）x(x >0)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). 当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)令F (x )＝a ln x －ax －3＋ax ＋x ＋4－e ＝a ln x ＋x ＋1－e ，x ∈[e ，e 2]，则F ′(x )＝x ＋a x.若－a ≤e ，即a ≥－e ，则F (x )在[]e ，e 2上是增函数，故F (x )max ＝F (e 2)＝2a ＋e 2－e ＋1≤0，即a ≤e －1－e 22，无解．若e<－a ≤e 2，即－e 2≤a <－e ，则F (x )在[e ，－a )上是减函数，在(－a ，e 2]上是增函数，故F (e)＝a ＋1≤0，即a ≤－1，F (e 2)＝2a ＋e 2－e ＋1≤0，即a ≤e －1－e 22，∴－e 2≤a ≤e －1－e 22.若－a >e 2，即a <－e 2，则F (x )在[]e ，e 2上是减函数，故F (x )max ＝F (e)＝a ＋1≤0，即a ≤－1，∴a <－e 2.综上，a ≤e －1－e22.(3)证明：令a ＝－1，此时f (x )＝－ln x ＋x －3，∴f (1)＝－2. 由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0，∴ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立．∵n ≥2，n ∈N *，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋1<1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n.要证ln(22＋1)＋ln(32＋1)＋ln(42＋1)＋…＋ln(n 2＋1)<1＋2ln n ！(n ≥2，n ∈N *)，只需证ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋1＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋1<1(n ≥2，n ∈N *)．∵ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋1＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋1< ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n <1，∴原不等式成立．。