课标版数学中考第二轮专题复习-6几何综合题(含答案)(423K)

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九年级数学中考二轮复习—几何综合题

2010年中考数学二轮复习——几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．解几何综合题，还应注意以下几点：⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．⑵ 掌握常规的证题方法和思路．⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长．解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ．故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ．点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径，即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ．故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线．（2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．又 BD ＝CD ＝21BC ＝6，根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．则 BF 的长为2．点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．【例2】（重庆，10分）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD 。

中考数学复习专题：几何综合题（含答案解析）

中考数学复习专题：⼏何综合题（含答案解析）⼏何综合题1.已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ，过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=?①直接写出B ∠和ACB ∠的度数；②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，⽤等式表⽰线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．答案：（1）①75B ∠=?，45ACB ∠=?；②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=?，AD=2可得DE =1，AE 3=. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=?，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=?，可得AH 33+=；（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明：延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.2.正⽅形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图1，当045α?<②⽤等式表⽰NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α?<CDBA图1备⽤图C DBAM答案：（1）①补全的图形如图7所⽰．（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠?-∠．证明：如图8，连接CM ，设射线AM 与CD 的交点为H ．∵四边形ABCD 为正⽅形，∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正⽅形ABCD的对称轴，点A与点C关于直线BD对称．∵射线AM与线段BD交于点M，∴∠BAM=∠BCM=α．-．∴∠1=∠2=90α∵CE⊥AM，∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．⼜∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，∴∠1=∠3．-．∴∠3=∠2=90α∵点N与点M关于直线CE对称，-∠．∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM（313. 如图，已知60AOB ∠=?，点P 为射线OA 上的⼀个动点，过点P 作PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满⾜DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在⼀个定点M ，证明你的判断.答案：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=o，∴30OPE ∠=o.∴30DPA OPE ∠=∠=o.∴120EPD ∠=o∴cos30DF PD =??=∴2DE DF ==（2）当M 点在射线OA 上且满⾜OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下：当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =.∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠,∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =.作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵3,60MO MOL =∠=o，∴sin 603ML MO =?=o.∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ，∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MKMD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成⽴.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上⼀动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中⼼，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的⼤⼩（⽤含α的式⼦表⽰）；（3）⽤等式表⽰线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．答案：（1）补全的图形如图所⽰.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠?= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，⽤等式表⽰线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．答案：（1）如图；ABCE（2）45°；（3）结论：AM CN．证明：作AG⊥EC的延长线于点G．∵点B与点D关于CE对称，∴CE是BD的垂直平分线．∴CB=CD．∴∠1=∠2=α．∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．∵∠4=90°，∴∠3=12（180°-∠ACD）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．∴∠6=∠7．∵AG⊥EC，∴∠G=90°=∠8．∴在△BCN和△CAG中，∠8=∠G，∠7=∠6，BC=CA，∴△BCN≌△CAG．∴CN=AG．∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，∴AM AG．∴AM CN．6.在正⽅形ABCD中，M是BC边上⼀点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；答案：（1）补全图形略（2）①证明：连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，∴AQ AP =，90QAP ∠=°．∵四边形ABCD 是正⽅形，∴AD AB =，90DAB ∠=°．∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ．∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ?中，90Q QPA ∠+∠=°，∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°．∵在Rt BPD ?中，222DP BP BD +=，⼜∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=．②BP AB =．7.如图，在等腰直⾓△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上⼀点，作射线CF ，过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ．（1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）⽤等式表⽰线段C G ，AG ，BG 之间∵∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ，∴∠BGF =∠CAB =90°. ∵∠GFB =∠CFA . ∴∠ABG =∠ACF .（2）CG =2AG +BG .证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ，∵△ABC 是等腰直⾓三⾓形，∴∠CAB =90°，AB =AC . ∵∠ABG =∠ACH . ∴△ABG ≌△ACH . ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴∠GAH =90°. ∴ 222AG AH GH +=. ∴ GH =2AG . ∴ CG =CH +GH =2AG +BG .8.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上⼀点，连接AE ，延长CB ⾄点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对⾓线AC 于点P ，连接AF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．答案：（1）补全图如图所⽰．（2）证明∵正⽅形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°，∴∠PAH =45°-∠BAE ．∵FH ⊥AE ．EDCBAM H PDAC∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．（3）判断：FM=PN．证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正⽅形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴FP=MN．∴FM=PN．9.如图所⽰，点P位于等边ABC△的内部，且∠ACP=∠CBP．(1) ∠BPC的度数为________°；(2) 延长BP⾄点D，使得PD=PC，连接AD，CD．①依题意，补全图形；②证明：AD+CD=BD；(3)在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的⾯积．M HPD AC解：(1)120°. ----------------------------2分(2)①∵如图1所⽰.②在等边ABC △中，60ACB ∠=?，∴60.ACP BCP ∠+∠=? ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=?∴()180120.BPC CBP BCP ∠=?-∠+∠=?∴18060.CPD BPC ∠=?-∠=? ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三⾓形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=?，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =??∠=∠??=?，，，∴()SAS ACD BCP △≌△. ∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=?，∴=60.ADB CDB ∠∠=?∴=60.ADB CDB ∠∠=?D∴=BM BN BD == ⼜由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =22==-----------------------------------7分10.如图1，在等边三⾓形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α（0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （⽤含α的式⼦表⽰）；②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.解：（1）①3-． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤QL．……………………………………………………………… 2分（2）设直线+33y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ，(0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=?．由0≤Q①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆⼼1D 满⾜题意，其横坐标取到最⼤值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=．∵⊙D 的半径为1，∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=．∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时，相应的圆⼼2D 满⾜题意，其横坐标取到最⼩值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的交点为F ．可得60AOF ∠=?，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =?∠==．图13∵⊙D 的半径为1，∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．=?∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x≤D x≤． ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．……………………………… 7分11.如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的⼤⼩; （⽤α的式⼦表⽰）（3）⽤等式表⽰线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.GFEDCBA图15（1）DE DF =；（2）解：连接DE ，DF ，∵△ABC 是等边三⾓形，∴60C ∠=?. ∵DBC α∠=，∴120BDC α∠=?-.∴120BDF BDC α∠=∠=?-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=?+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆⼼，DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=?+α.（3）BG GF FA =+.理由如下：连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ，∵△ABC 是等边三⾓形，∴60ABC BAC ∠=∠=?，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称，∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠.GFEDCBA∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=，则602ABF α∠=?-. ∴60BAF α∠=?+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠.由（2）知60FEC α∠=?+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=?. ∴120FGB ∠=?，60FGD ∠=?.四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=?-∠-∠-∠=?. ∴60HFG ∠=?.∴△FGH 是等边三⾓形. ∴FH FG =，60H ∠=?. ∵CD CE =，∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠??∠=∠??=?∴△△AHD BGE ?. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+，∴BG GF FA =+．HGFEDCBA12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE= AD，∠EAD=90°，CE交AB于点F，CD=DF.（1）∠CAD= 度；（2）求∠CDF的度数；（3）⽤等式表⽰线段CD和CE之间的数量关系，并证明.解：（1）45 ……………………………………………………………1分（2）解：如图，连接DB.∵90，°，M是BC的中点，AB AC BAC=∠=∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分∴∠DBA=∠DCA，BD = CD.∵CD=DF,∴B D=DF. ………………………………………3分∴∠DBA=∠DFB=∠DCA.∵∠DFB+∠DFA =180°,∴∠DCA+∠DFA =180°.∴∠BAC+∠CDF =180°.∴∠CDF =90°. ………………………………………4分21CD. ……………………………………5分（3）CE=)证明：∵90∠=°，EAD∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，∴△EAF ≌△DAF . …………………………………6分∴DF =EF .由②可知，CF. …………………………7分∴CE=)1C D .13.如图，正⽅形ABCD 中，点E 是BC 边上的⼀个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对⾓线BD 于点G ，连接AG ．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长．解：（1）图形补全后如图…………………1分（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．∵四边形ABCD 是正⽅形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°，∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，A BC ED∴AE=AF ，∠FAE =90°．∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ．∵∠ADC =90°，∴∠FDA +∠ADC =180°。

中考数学复习专题：几何综合题(含答案)

几何综合题1.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．（1）如图1，若①直接写出B∠和ACB∠的度数；②若AB=2，求AC和AH的长；（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．答案：（1）①75B∠=︒，45ACB∠=︒；②作DE⊥AC交AC于点E.Rt△ADE中，由30DAC∠=︒，AD=2可得DE=1，AE3=.Rt△CDE中，由45ACD∠=︒，DE=1，可得EC=1.∴AC31=+.Rt△ACH中，由30DAC∠=︒，可得AH33+=；（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.BAC∠60BAC∠=︒易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.2.正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图1，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图1．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明．（3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．答案：（1）①补全的图形如图7所示．②∠NCE =2∠BAM ．（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠︒-∠．CDBA图1备用图C DBAM证明：如图8，连接CM，设射线AM与CD的交点为H．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正方形ABCD的对称轴，点A与点C关于直线BD对称．∵射线AM与线段BD交于点M，∴∠BAM=∠BCM=α．︒-．∴∠1=∠2=90α∵CE⊥AM，∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，∴∠1=∠3．︒-．∴∠3=∠2=90α∵点N与点M关于直线CE对称，︒-∠．∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM（313. 如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA 上的一个动点，过点P 作PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M答案：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE⊥BO ，60AOB ∠=o，∴30OPE ∠=o.∴30DPA OPE ∠=∠=o.∴120EPD ∠=o.∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=o,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==（2）当M 点在射线OA 上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下：当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边,∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =.作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵3,60MO MOL =∠=o，∴sin 603ML MO =⋅=o.∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．答案：（1）补全的图形如图所示.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠BAC= 30°.∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. ∴CA=CG.∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ， ∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .在Rt △HCG 中，.23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．ABCE答案：（1）如图；（2）45°；（3）结论：AMCN ．证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ． ∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°， ∴∠3=（180°∠ACD ）=（180°90°αα）=45°．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-=45°． ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ， ∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中，∠8=∠G ， ∠7=∠6，BC =CA ，∴△BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt △AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM AG ．∴AM CN ．答案：（1）补全图形略（2）①证明：12-12----αα连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠． ∴△ADQ ≌△ABP ． ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=，又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ②BP AB =．7.如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上一点，作射线CF ，过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ．（1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）用等式表示线段C G ，AG ，BG 之间的等量关系，并证明．答案：（1）证明 :∵ ∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°. ∵∠GFB =∠CFA . ∴ ∠ABG =∠ACF .（2）CG =2AG +BG .证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， ∵ △ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AB=AC. ∵∠ABG=∠ACH.∴△ABG≌△ACH.∴AG =AH,∠GAB=∠HAC. ∴∠GAH=90°.∴222AG AH GH+=.∴GH.∴CG=CH+GHAG+BG.8.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC=∠APF；（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．答案：（1）补全图如图所示．（2）证明∵正方形ABCD，∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，∴∠PAH=45°-∠BAE．∵FH⊥AE．∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．EDC BA∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．（3）判断：FM=PN．证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴AF=FP．∵AF=AE，∴AE=FP．∴FP=MN．∴FM=PN．9.如图所示，点P位于等边ABC△的内部，且∠ACP=∠CBP．(1) ∠BPC的度数为________°；(2) 延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．①依题意，补全图形；②证明：AD+CD=BD；(3)在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．M HPD AC解：(1)120°. ----------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒， ∴60.ACP BCP ∠+∠=︒ ∵=ACP CBP ∠∠， ∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒ ∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒ ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒， ∴.ACD BCP ∠=∠ 在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△. ∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N . ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒， ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒D∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =+g g ()2AD CD =+2==-----------------------------------7分10.如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α（0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.解：（1）①．………………………………………………………………………… 1分② 0≤QL ≤．……………………………………………………………… 2分（2）设直线+3y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ，(0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=︒．由0≤QLy =．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴ 1AE =11OE OA AE=-=． ∴1D x =②如图14，当⊙D 与直线y =相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．3-图13可得60AOF∠=︒，OF⊥AB．则9cos2AF OA OAF=⋅∠==．∵⊙D的半径为1，∴21D F=．∴2272AD AF D F=-=．∴22cosAE AD OAF=⋅∠72==，22OE OA AE=-∴2Dx=．由①②可得，Dx≤Dx≤．…………………………………………5分（3）画图见图15．．………………………………7分11.如图，在等边ABC△中，,D E分别是边,AC BC上的点，且CD CE=,30DBC∠<︒，点C与点F关于BD 对称，连接,AF FE，FE交BD于G.（1）连接,DE DF，则,DE DF之间的数量关系是；（2）若DBCα∠=，求FEC∠的大小; （用α的式子表示）（3）用等式表示线段,BG GF和FA之间的数量关系，并证明.图15（1）DE DF =；（2）解：连接DE ，DF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴60C ∠=︒. ∵DBC α∠=， ∴120BDC α∠=︒-.∵点C 与点F 关于BD 对称，∴120BDF BDC α∠=∠=︒-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=︒+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=︒+α.（3）BG GF FA =+.理由如下：连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ， ∵△ABC 是等边三角形，∴60ABC BAC ∠=∠=︒，AB BC CA ==.GFEDCBAGFEDCBA∵点C 与点F 关于BD 对称， ∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠. ∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=，则602ABF α∠=︒-. ∴60BAF α∠=︒+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠. 由（2）知60FEC α∠=︒+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=︒. ∴120FGB ∠=︒，60FGD ∠=︒.四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒. ∴60HFG ∠=︒.∴△FGH 是等边三角形. ∴FH FG =，60H ∠=︒. ∵CD CE =， ∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△△AHD BGE ≅. ∴BG AH =.HGFEDCBA∵AH HF FA GF FA =+=+， ∴BG GF FA =+．12.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE = AD ，∠EAD =90°，CE 交AB 于点F ，CD =DF .（1）∠CAD =度；（2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明.解：（1）45……………………………………………………………1分（2）解：如图，连接DB.∵90 AB AC BAC =∠=，°，M 是BC 的中点， ∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD ≌△CAD . ………………………………2分 ∴∠DBA =∠DCA ，BD = CD . ∵CD =DF ,∴B D =DF . ………………………………………3分 ∴∠DBA =∠DFB =∠DCA .∵∠DFB +∠DFA =180°, ∴∠DCA +∠DFA =180°. ∴∠BAC +∠CDF =180°.∴∠CDF =90°. ………………………………………4分（3）CE=)1CD . ……………………………………5分证明：∵90 EAD ∠=°， ∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，∴△EAF ≌△DAF . …………………………………6分 ∴DF =EF .由②可知，CF.…………………………7分 ∴CE=)1+C D .13.如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB =3，BE =2时，求线段BG 的长．解：（1）图形补全后如图…………………1分ABC ED（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°， ∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ， ∴AE=AF ，∠FAE =90°． ∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分 ∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ． ∵∠ADC =90°， ∴∠FDA +∠ADC =180°。

中考数学复习-几何综合练习(答案及解析)

几何综合-填空选择练习1、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AGGF的值是（）A．43 B．54C．65D．76【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32a，∴FM=52a ，∵AE ∥FM ，∴AG GF =AE FM =3a 52a=65，故选：C ．2、在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线y=√3x +2√3上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）A ．3B ．2C ．√3D ．√2【解答】解：如图，直线y=√3x+2√3与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，当x=0时，y=√3x+2√3=2√3，则D （0，2√3），当y=0时，√3x+2√3=0，解得x=﹣2，则C （﹣2，0），∴CD=√22+(2√3)2=4，∵12OH •CD=12OC •OD ，∴OH=2×2√34=√3，连接OA ，如图，∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，∴PA=√OP 2−OA 2=√OP 2−1，当OP 的值最小时，PA 的值最小，而OP 的最小值为OH 的长，∴PA的最小值为√(√3)2−1=√2．故选：D．3、如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵1•BC•AH=120，2∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．4、如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC =2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE =S△CFG，∴S四边形DEBC =S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．5、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= ．【解答】解：如图，连接BE ，∵四边形BCEK 是正方形，∴KF=CF=12CK ，BF=12BE ，CK=BE ，BE ⊥CK ，∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BK ，∴△ACO ∽△BKO ，∴KO ：CO=BK ：AC=1：3，∴KO ：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BOF=BF OF =2，∵∠AOD=∠BOF ，∴tan ∠AOD=2．故答案为：26、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB ，CE=CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE=√2，AD=√6，则两个三角形重叠部分的面积为（）A．√2 B．3−√2 C．√3−1 D．3−√3【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=√2，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB=2+DB2=2√2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=12×2×2=2，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵S△AODS△DOB =OAOB=12⋅AD⋅OM12⋅DB⋅ON=√6√2=√3，∴S△AOC =2×√3√3+1=3﹣√3，故选：D ．7、如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若AC ，BC 边上的中线BE ，AD 垂直相交于O 点，则AB= ．【解答】解：∵AD 、BE 为AC ，BC 边上的中线，∴BD=12BC=2，AE=12AC=32，点O 为△ABC 的重心，∴AO=2OD ，OB=2OE ，∵BE ⊥AD ，∴BO 2+OD 2=BD 2=4，OE 2+AO 2=AE 2=94，∴BO 2+14AO 2=4，14BO 2+AO 2=94，∴54BO 2+54AO 2=254，∴BO 2+AO 2=5，∴AB=2+AO 2√5．故答案为√5．8、如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE ⊥AP 于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH ⊥BE 于点G ，交AB 于点H ，连接HF ．下列结论正确的是（）A．CE=√5 B．EF=√22 C．cos∠CEP=√55D．HF2=EF•CF【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH ，CB=CE ，HB=HE ，∴△ABC ≌△CEH ，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF ，HE=HA ，∴Rt △HFE ≌Rt △HFA ，∴AF=EF ，设EF=AF=x ，在Rt △CDF 中，有22+（2﹣x ）2=（2+x ）2，∴x=12，∴EF=12，故B 错误，∵PA ∥CH ，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH ，∴cos ∠CEP=cos ∠BCH=BC CH =2√55，故C 错误．∵HF=√52，EF=12，FC=52∴HF 2=EF •FC ，故D 正确，故选：D ．9、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ，交DE 的延长线于点F ．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF= ．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴∠F=∠FBC ，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠F=∠DBF，∴DB=DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+DB =DEBC，即11+2=DE4，解得：DE=43，∵DF=DB=2，∴EF=DF﹣DE=2﹣43=23，故答案为：2310、已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4√a−1+10b，则△ABC 的外接圆半径= ．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4√a−1+10b，∴（a﹣1﹣4√a−1+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（√a−1﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴√a−1−2=0，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得r=258，故答案为：258．11、如图，直线y=﹣x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T 1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面积，则S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．【解答】解：如图，作T1M⊥OB于M，T2N⊥P1T1．由题意可知：△BT 1M ≌△T 1T 2N ≌△T n ﹣1A ，四边形OMT 1P 1是矩形，四边形P 1NT 2P 2是矩形，∴S △BT 1M =12×1n ×1n =12n 2，S 1=12S 矩形OMT 1P 1，S 2=12S 矩形P 1NT 2P 2， ∴S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=12（S △AOB ﹣n ⋅S △NBT 1）=12×（12﹣n ×12n 2）=14﹣14n ．故答案为14﹣14n ．12、已知如图，在正方形ABCD 中，AD=4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，过点B 作BM ∥AG ，交AF 于点M ，则以下结论：①DE+BF=EF ，②BF=47，③AF=307，④S △MBF =32175中正确的是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④【解答】解：∵AG=AE ，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF ， ∴△AFE ≌△AFG ， ∴EF=FG ， ∵DE=BG ，∴EF=FG=BG+FB=DE+BF ，故①正确， ∵BC=CD=AD=4，EC=1，∴DE=3，设BF=x ，则EF=x+3，CF=4﹣x ，在Rt △ECF 中，（x+3）2=（4﹣x ）2+12，解得x=47， ∴BF=47，AF=√42+(47)2=10√27，故②正确，③错误， ∵BM ∥AG ， ∴△FBM ∽△FGA ， ∴S △FBM S △FGA=（FBFG ）2，∴S △FBM =32175，故④正确，故选：D ．13、在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（）A ．√10B ．192 C ．34 D ．10【解答】解：设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN 交半圆于点P ，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=12DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．14、如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若EFAE =34，则CGGB= ．【解答】解：连接AD，BC．∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，又DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，∵D是AĈ的中点，∴∠DAC=∠ABD，∴∠ADE=∠DAC，∴FA=FD；∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB，∴∠EDB=∠DGF，∴FA=FG，∵EFAE =34，设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，DE=8k，在Rt△ADE中，AD=2+AE2√5k，∵AB是直径，∴∠ADG=∠GCB=90°，∵∠AGD=∠CGB，∴cos∠CGB=cos∠AGD，∴CGBG =DG AG，在Rt△ADG中，DG=2−AD2=2√5k，∴CGBG =2√5k10k=√55，故答案为：√55．15、如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E 为线段AB 中点时，AF=95； ③当A 、F 、C 三点共线时，AE=13−2√133； ④当A 、F 、C 三点共线时，△CEF ≌△AEF ．【解答】解：如图1中，当AE=EB 时，∵AE=EB=EF ， ∴∠EAF=∠EFA ，∵∠CEF=∠CEB ，∠BEF=∠EAF+∠EFA ， ∴∠BEC=∠EAF ， ∴AF ∥EC ，故①正确，作EM ⊥AF ，则AM=FM ，在Rt △ECB 中，EC=√22+(32)2=52， ∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB ， ∴△CEB ∽△EAM ， ∴EB AM =ECAE ，∴32AM=5232，∴AM=910，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=√13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（√13﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=13−2√133，∴AE=13−2√133，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．16、如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A ．√3−12a 2B ．√2−12a 2C ．√3−14a 2D ．√2−14a 2【解答】解：作MG ⊥BC 于G ，MH ⊥CD 于H ，则BG=GC ，AB ∥MG ∥CD ， ∴AM=MN ，∵MH ⊥CD ，∠D=90°， ∴MH ∥AD ， ∴NH=HD ，由旋转变换的性质可知，△MBC 是等边三角形， ∴MC=BC=a ，由题意得，∠MCD=30°， ∴MH=12MC=12a ，CH=√32a ， ∴DH=a ﹣√32a ，∴CN=CH ﹣NH=√32a ﹣（a ﹣√32a ）=（√3﹣1）a ， ∴△MNC 的面积=12×a2×（√3﹣1）a=√3−14a 2，故选：C ．17、如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB 翻折得到△ABD ，则四边形ADBC 的形状是形，点P 、E 、F 分别为线段AB 、AD 、DB 的任意点，则PE+PF 的最小值是．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME=AN，作CH⊥AB，∵AC=BC，∴AH=12，由勾股定理可得，CH=√152，∵12×AB×CH=12×BC×AN，可得，AN=√154，∴ME=AN=√154，∴PE+PF最小为√154，故答案为√154．18、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF【解答】解：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长，故选：D．19、如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．【解答】解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，EC=1，故EF=√22−12=√3，∴FC=12∵G为EF的中点，，∴EG=√32．∴DG=2+EG2=√192．故答案为：√19220、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，（I）∠ACB的大小为（度）；（Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）．【解答】解：（1）由网格图可知AC=2+32=3√2BC=√42+42=4√2AB=√72+12=5√2∵AC2+BC2=AB2∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形．∴∠ACB=90°故答案为：90°（Ⅱ）作图过程如下：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求证明：连CF∵AC，CF为正方形网格对角线∴A、C、F共线∴AF=5√2=AB√2，CF=2√2，由图形可知：GC=32∵AC=√32+32=3√2，BC=√42+42=4√2∴△ACB∽△GCF∴∠GFC=∠B∵AF=5√2=AB∴当BC边绕点C逆时针选择∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上．由作图可知T为AB中点∴∠TCA=∠TAC∴∠F+∠P′CF=∠B+∠TCA=∠B+∠TAC=90°∴CP′⊥GF此时，CP′最短故答案为：如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求21、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）B．1 C．√2 D．2A．12【解答】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选：B．22、在△ABC中，AB=√34，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为．【解答】解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：BD=2−AD2√(√34)2−32=5，CD=√AC2−AD2=√52−32=4，∴BC=BD+CD=5+4=9；②如图2，同理得：CD=4，BD=5，∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，综上所述，BC的长为9或1；故答案为：9或1．23、如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，又∵∠CDF+∠CDG=90°，∴∠CDG=∠EDF，在△DCG 与△DEF 中，{∠CDG =∠EDF∠EFD =∠CGD =90°DE =CD ，∴△DCG ≌△DEF （AAS ）， ∴EF=CG ， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC ﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1，∴△ADE 的面积是：12×AD ×EF=12×2×1=1．故选：A ．24、如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A ．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B ．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C ．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D ．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°【解答】解：∵AD ∥BC ，∠APB=80°， ∴∠CBP=∠APB ﹣∠DAP=80°﹣θ1，∴∠ABC=θ2+80°﹣θ1，又∵△CDP中，∠DCP=180°﹣∠CPD﹣∠CDP=130°﹣θ4，∴∠BCD=θ3+130°﹣θ4，又∵矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，∴θ2+80°﹣θ1+θ3+130°﹣θ4=180°，即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°，故选：A．25、如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S1S1+S2+S△BDE =（ADAB）2，∴若2AD＞AB，即ADAB ＞12时，S1S1+S2+S△BDE＞14，此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即ADAB ＜12时，S1S1+S2+S△BDE＜14，此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．26、折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD= ．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE﹣HE=x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3=0，解得x1=3+2√3，x2=3﹣2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．27、如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A．AE=EF B．AB=2DEC．△ADF和△ADE的面积相等 D．△ADE和△FDE的面积相等【解答】解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE =S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE =S△FDE，∴S△ADE =S△FDE，故D正确，当AD=12AC时，△ADF和△ADE的面积相等∴C选项不一定正确，故选：C．28、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．【解答】解：∵△EFP 是直角三角形，且点P 在矩形ABCD 的边上， ∴P 是以EF 为直径的圆O 与矩形ABCD 的交点，①当AF=0时，如图1，此时点P 有两个，一个与D 重合，一个交在边AB 上； ②当⊙O 与AD 相切时，设与AD 边的切点为P ，如图2，此时△EFP 是直角三角形，点P 只有一个，当⊙O 与BC 相切时，如图4，连接OP ，此时构成三个直角三角形，则OP ⊥BC ，设AF=x ，则BF=P 1C=4﹣x ，EP 1=x ﹣1， ∵OP ∥EC ，OE=OF ， ∴OG=12EP 1=x−12，∴⊙O 的半径为：OF=OP=x−12+(4−x)，在Rt △OGF 中，由勾股定理得：OF 2=OG 2+GF 2， ∴(x−12+4−x)2=(x−12)2+12，解得：x=113，∴当1＜AF ＜113时，这样的直角三角形恰好有两个，③当AF=4，即F 与B 重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则AF 的值是：0或1＜AF ＜113或4．故答案为：0或1＜AF ＜113或4．29、等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为．【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，∴∠P′BC=40°+70°=110°，故答案为30°或110°．30、如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B 1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A=D1B1=30∴D1是B1AC1̂的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H=C1H=30×sin60°=15√3，∴B1C1=30√3∴弓臂两端B1，C1的距离为30√3（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=120⋅π⋅30180，∴r=20，∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，在Rt△GB2D2中，GD2=2−202√5∴D1D2=10√5﹣10．故答案为30√3，10√5﹣10，31、如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C 处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=CHHB∴HB=CHtan∠B =1200 tan30°=√33=1200√3（米）．∴AB=HB﹣HA=1200√3﹣1200=1200（√3﹣1）米故答案为：1200（√3﹣1）32、如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP 的长为．【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB=2−42√3．综上所述，BP的长为3或4√3．。

中考数学二轮复习几何压轴题综合练习 (有答案)

中考数学二轮复习几何压轴题综合练习1．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．3．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．4．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E 作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；（2）如图1，求证：HF=EF；（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．6．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．7．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF= CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．8．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．9．问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E 是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F 不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．11．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为1；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．12．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．13．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．14．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．15．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P 点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现：的长与的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为2；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为﹣；探究：当半圆M与AB相切时，求的长．（注：结果保留π，cos35°=，cos55°=）16. 问题探究(1)定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形．写出一个你所学过的是筝形的特殊四边形：________；如图①，已知筝形ABCD，连接AC，试证明直线AC平分该筝形ABCD的面积；(2)如图②，已知四边形ABCD，AB＝AD，BC＝DC.在四边形ABCD中找一点P，连接PB、PD，使折线B—P—D平分筝形ABCD的面积，并说明理由；问题解决(3)现有一块如图③所示的菜田ABCD，且D处有一水井，现要过水井D修一条灌溉水渠，该水渠近似为一条直线，且水渠两边菜田的面积相等．已知AB＝AD＝20 m，BC＝DC ＝20 5 m，∠BAD＝90°，则是否能修出这样的水渠；若能，求出该菜田内水渠的长度；若不能，请说明理由．17. (1)如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD 的面积为________；(2)在图②中，当点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点时，记四边形。

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形则符合条件的点P 的个数是（）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在平面直角坐标系中边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动连接OC 则OC 的最小值为（）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上则当BEC 的一个内角度数为60︒时符合条件的点E 的个数共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时旋转角α的度数为．5 （2024·江西吉安·二模）如图在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形且P 为直角顶点时 BP 的长为．6 （2024·江西九江·二模）如图在平面直角坐标系中已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点点P 为矩形OABC 边上任意一点将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上则点E 的坐标为．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形则α∠的度数为．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上点N 在边BC 上且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为．10 （2024·江西吉安·三模）如图在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点当APD △为直角三角形时 BP 的长为．11 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点连接BE 点P 在矩形的边上且在BE 的上方则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为．12 （2024·江西九江·二模）如图在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时则BD 的长为．13 （2024·江西·模拟预测）如图在菱形ABCD 中对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为．14 （2024·江西上饶·一模）如图在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠使点B 的对应点B '落在AC 上折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点过点E 分别作AC 与BC 的垂线垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处并绕点O 逆时针旋转探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处在旋转过程中当OF 与OB 重合时重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时重叠部分的面积为__________ 一般地若正方形面积为S 在旋转过程中重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时试判断重叠部分OMN 的形状并说明理由②如图3 当CM CN =时求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=）将GOH ∠绕点O 逆时针旋转在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中点B D E 在同一直线上且点D 在AC 上若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】思考我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等反过来角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理某同学画出了图形并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠使点A 落在BC 边上的点F 处若图中的四个三角形都相似求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合）将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直相等且互相平分等性质证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上点F 在BC 上则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时其他条件不变四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是请求出四边形OECF 的面积若不是请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点且AC EC = 则DAE ∠的度数为．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

课标版数学中考第二轮专题复习-6几何综合题

Ⅰ、综合问题精讲：几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．解几何综合题，还应注意以下几点：⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．⑵ 掌握常规的证题方法和思路．⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长．解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C，∠B AD ＝∠DAC．又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ．故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ．点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径，即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ．故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线．（2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．又 BD ＝CD ＝21BC ＝6，根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．则 BF 的长为2．点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．【例2】（2005，重庆，10分）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD 。

专题复习(6) 几何综合题【2021中考数学二轮复习】答案版

专题复习(6) 几何综合题【2021中考数学二轮复习】题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型1 类比探究的几何综合题1．(2020·青海)在△ABC 中，AB ＝AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G.特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF 与CG 的长度，得到BF ＝CG.请给予证明．猜想论证：(2)当三角尺沿AC 方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边重合，另一条直角边交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E.此时请你通过观察、测量DE ，DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ，DF 与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC 方向继续移动到图3所示的位置(点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)图1 图2 图3解：(1)证明：在△FAB 和△GAC 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠G ，∠FAB ＝∠CAG ，AB ＝AC ，∴△FAB ≌△GAC(AAS )．∴FB ＝CG. (2)猜想：CG ＝DE ＋DF. 理由：连接AD.∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ADC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，CG ⊥AB ， ∴12AB·CG ＝12AB·DE ＋12AC·DF. ∵AB ＝AC ，∴CG ＝DE ＋DF. (3)猜想仍然成立，CG ＝DE ＋DF.2．(2020·宁波)【基础巩固】(1)如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B.求证：AC 2＝AD·AB.【尝试应用】(2)如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A.若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．【拓展提高】(3)如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF ＝12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．解：(1)∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝ACAB .∴AC 2＝AD·AB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C.又∵∠BFE ＝∠A ，∴∠BFE ＝∠C.又∵∠FBE ＝∠CBF ，∴△BFE ∽△BCF. ∴BF 2＝BE·BC.∴BC ＝BF 2BE ＝163. ∴AD ＝163.(3)分别延长EF ，DC 相交于点G. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥DC ，∠BAC ＝12∠BAD.∵AC ∥EF ，∴四边形AEGC 为平行四边形．∴AC ＝EG ，CG ＝AE ，∠EAC ＝∠G ，AE ＝CG ＝2. ∵∠EDF ＝12∠BAD ，∴∠EDF ＝∠BAC ＝∠G.又∵∠DEF ＝∠GED ，∴△EDF ∽△EGD. ∴DE 2＝EF·EG.又∵EG ＝AC ＝2EF ，∴DE 2＝2EF 2.∴DE ＝2EF. 又∵DG DF ＝DEEF，∴DG ＝2DF ＝5 2.∴DC ＝DG －CG ＝52－2.3．(2020·德州)问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是：SAS ． (2)AD 的取值范围是1<AD<5．方法运用：(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE ＝EF ，求证：BF ＝AC.(4)如图3，在矩形ABCD 中，AB BC ＝12，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt △BEF ，且EFBE ＝12，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG ＝CG. 证明：(3)延长AD 至点A′，使A′D ＝AD ，连接BA′. ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD.在△ADC 和△A ′DB 中，⎩⎨⎧AD ＝A′D ，∠ADC ＝∠A′DB ，CD ＝BD ，∴△ADC ≌△A ′DB(SAS )． ∴∠CAD ＝∠A′，AC ＝A′B. 又∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE.∴∠A′＝∠AFE. 又∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠A′.∴BF ＝A′B. 又∵A′B ＝AC ，∵BF ＝AC.(4)延长CG 至点H ，使HG ＝CG ，连接HF ，CE ，HE. ∵G 为FD 的中点，∴FG ＝DG.在△HGF 和△CGD 中，⎩⎨⎧HG ＝CG ，∠HGF ＝∠CGD ，FG ＝DG ，∴△HGF ≌△CGD(SAS )． ∴HF ＝CD ，∠HFG ＝∠CDG.在Rt △BEF 中，∵EF BE ＝12，∴tan ∠EBF ＝12.又在矩形ABCD 中，AB BC ＝12，∴AB AD ＝12.∴tan ∠ADB ＝12.∴∠EBF ＝∠ADB.又∵AB ∥DC ，∴∠ADB ＝∠DBC.∴∠EBF＝∠ADB＝∠DBC.又∵∠EFD为△BEF的外角，∴∠EFD＝∠EBF＋∠BEF，即∠EFH＋∠HFD＝∠EBF＋90°.∵∠ADB＋∠BDC＝90°，∴∠EFH＋∠HFD＝∠EBF＋∠ADB＋∠BDC.∴∠EFH＝2∠EBF，即∠EFH＝∠EBC.在△EFH和△EBC中，EF BE＝12，HFBC＝12，∴EFBE＝HFBC.又∵∠EBC＝∠EFH，∴△EFH∽△EBC.∴∠FEH＝∠BEC.∴∠HEC＋∠CEF＝∠BEF＋∠CEF.∴∠HEC＝∠BEF＝90°.∴△CEH是直角三角形．∵G为CH的中点，∴EG＝12CH，即EG＝CG.4．(2020·陕西)问题提出(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC>BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF，DE，DF．问题探究(2)如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8，P是上一点，且＝2，连接AP，BP，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决(3)如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知⊙O的直径AB＝70 m，点C在⊙O上，且CA＝CB，P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD，BD，过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F，按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为转化区，设AP的长为x(m)，阴影部分的面积为y(m2)．①求y与x之间的函数关系式．②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30 m时，整体布局比较合理，试求当AP＝30 m时，室内活动区(四边形PEDF)的面积．解：(2)∵＝2，∴∠B＝30°，∠A＝60°.∴BP＝32AB＝4 3.又∵∠BPC＝45°，∴设CF＝m.则PF＝CF＝m，BF＝3m.∴BP＝PF＋BF＝m＋3m＝(1＋3)m＝4 3.∴m ＝433＋1＝6－23，即CF ＝6－2 3.(3)①由(1)知四边形PEDF 为正方形，∴PE ＝PF ，∠APE ＋∠BPF ＝180°－∠EPF ＝90°. 如图，将△PAE 绕点P 逆时针旋转至PE 与PF 重合，得△BPM 且∠BPM ＝90°，∴S △APE ＋S △BPF ＝S △BPM ＝12x(70－x)＝－x 2＋70x 2＝－12x 2＋35x.∴S 阴影＝S △ABC ＋S △APE ＋S △BPF ＝12×352×352－12x 2＋35x ＝－12x 2＋35x ＋1 225.②PM ＝AP ＝30 m ，BP ＝40 m ，BM ＝PM 2＋PB 2＝50 m . ∵S △PBM ＝12PB·PM ＝12BM·PF ，∴PF ＝PB·PMBM＝24 m . ∴S 四边形PEDF ＝PF 2＝576 m 2.类型2 与图形变换有关的几何综合题5．(2020·成都)在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处．(1)如图1，若BC ＝2BA ，求∠CBE 的度数．(2)如图2，当AB ＝5，且AF·FD ＝10时，求BC 的长． (3)如图3，延长EF ，与∠ABF 的平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN ＋FD 时，求ABBC的值．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°.∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴BC ＝BF ，∠FBE ＝∠EBC ，∠C ＝∠BFE ＝90°. ∴BC ＝2AB.∴BF ＝2AB. ∴sin ∠AFB ＝AB BF ＝12.∴∠AFB ＝30°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠AFB ＝∠CBF ＝30°. ∴∠CBE ＝12∠FBC ＝15°.(2)∵将△BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，CE ＝EF.又∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AFB ＋∠DFE ＝90°，∠DEF ＋∠DFE ＝90°. ∴∠AFB ＝∠DEF.∴△FAB ∽△EDF. ∴AF DE ＝ABDF.∴AF·DF ＝AB·DE. ∵AF ·DF ＝10，AB ＝5，∴DE ＝2. ∴CE ＝DC －DE ＝5－2＝3.∴EF ＝3. ∴DF ＝EF 2－DE 2＝32－22＝ 5.∴AF ＝105＝2 5.∴BC ＝AD ＝AF ＋DF ＝25＋5＝3 5. (3)过点N 作NG ⊥BF 于点G ， ∵NF ＝AN ＋FD ，∴NF ＝12AD ＝12BC.∵BC ＝BF ，∴NF ＝12BF.∵∠NFG ＝∠AFB ，∠NGF ＝∠BAF ＝90°， ∴△NFG ∽△BFA. ∴NG AB ＝FG FA ＝NF BF ＝12. 设AN ＝x ，则AB ＝2x ，∵BN 平分∠ABF ，AN ⊥AB ，NG ⊥BF ， ∴AN ＝NG ＝x.设FG ＝y ，则AF ＝2y ，BF ＝2x ＋y ， ∵AB 2＋AF 2＝BF 2， ∴(2x)2＋(2y)2＝(2x ＋y)2. 解得y ＝43x.∴BF ＝BG ＋GF ＝2x ＋43x ＝103x.∴AB BC ＝AB BF ＝2x 103x ＝35. 6．(2020·枣庄)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是中线，AC ＝BC ，一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC ，BC 的延长线相交，交点分别为点E ，F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N. (1)如图1，若CE ＝CF ，求证：DE ＝DF.(2)如图2，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中，试证明CD 2＝CE·CF 恒成立．(3)若CD ＝2，CF ＝2，求DN 的长．解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 是中线， ∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∠ACF ＝∠BCE ＝90°. ∴∠DCF ＝∠DCE ＝135°. 在△DCF 和△DCE 中，⎩⎨⎧CF ＝CE ，∠DCF ＝∠DCE ，DC ＝DC ，∴△DCF ≌△DCE(SAS )．∴DE ＝DF.(2)证明：∵∠BCD ＝∠F ＋∠CDF ＝45°， ∠FDE ＝∠CDE ＋∠CDF ＝45°， ∴∠F ＝∠CDE.又∵∠DCF ＝∠DCE ， ∴△FCD ∽△DCE.∴CF CD ＝CDCE .∴CD 2＝CE·CF.(3)过点D 作DG ⊥BC 于点G. ∵∠DCB ＝45°， ∴GC ＝GD ＝22CD ＝ 2. 由(2)可知，CD 2＝CE·CF ， ∴CE ＝CD 2CF＝2 2.∵∠ECN ＝∠DGN ，∠ENC ＝∠DNG ， ∴△ENC ∽△DNG. ∴CN NG ＝CEDG ，即2－NG NG ＝222. 解得NG ＝23. 由勾股定理，得DN ＝DG 2＋NG 2＝253. 7．(2020·河南)将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB′，记旋转角为α.连接BB′，过点D 作DE 垂直于直线BB′，垂足为E ，连接DB′，CE.(1)如图1，当α＝60°时，△DEB ′的形状为等腰直角三角形．连接BD ，可求出BB′CE的值为(2)当0°＜α＜360°且α≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．②当以点B′，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB′E的值．解：①中的两个结论仍成立．证明：连接BD.∵AB ＝AB′，∠BAB ′＝α，∴∠AB ′B ＝90°－α2.∵∠B ′AD ＝α－90°，AD ＝AB′， ∴∠AB ′D ＝135°－α2.∴∠EB ′D ＝∠AB′D －∠AB′B ＝45°. ∵DE ⊥BB ′，∴∠EDB′＝∠EB′D ＝45°. ∴△DEB ′是等腰直角三角形．∴DB′DE ＝ 2.∵四边形ABCD 为正方形，∴BD CD ＝2，∠BDC ＝45°.∴BD CD ＝DB′DE . ∵∠EDB ′＝∠BDC ，∴∠EDB ′＋∠EDB ＝∠BDC ＋∠EDB ，即∠B′DB ＝∠EDC.∴△B ′DB ∽△EDC.∴BB′CE ＝BDCD＝ 2.②3或1.8．(2020·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的边OC 在x 轴上，OA 在y 轴上．O 为坐标原点，AB ∥OC ，线段OA ，AB 的长分别是方程x 2－9x ＋20＝0的两个根(OA ＜AB)，tan ∠OCB ＝43.(1)求点B ，C 的坐标．(2)P 为OA 上一点，Q 为OC 上一点，OQ ＝5，将△POQ 翻折，使点O 落在AB 上的点O′处，双曲线y ＝kx的一个分支过点O′，求k 的值．(3)在(2)的条件下，M 为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以O′，Q ，M ，N 为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)解方程x 2－9x ＋20＝0，得x 1＝4，x 2＝5. ∵OA<AB ，∴OA ＝4，AB ＝5.图1如图1，过点B 作BD ⊥OC 于点D ，∵tan ∠OCB ＝BD CD ＝43，BD ＝OA ＝4，∴CD ＝3.∵OD ＝AB ＝5，∴OC ＝8.∴点B 的坐标为(5，4)，点C 的坐标为(8，0)． (2)∵AB ∥OC ，OQ ＝AB ＝5，∠AOQ ＝90°， ∴四边形AOQB 为矩形．∴BQ ＝OA ＝4. 由翻折，得OQ ＝O′Q ＝5，∴O ′B ＝O′Q 2－QB 2＝52－42＝3. ∴AO ′＝2.∴O′(2，4)．∴k ＝2×4＝8. (3)存在．分四种情况：①如图2，M 在x 轴的正半轴上，四边形NO′MQ 是矩形，此时N 与B 重合，则N(5，4)；图2图3②如图3，M 在x 轴的负半轴上，四边形NMO′Q 是矩形，过O′作O′D ⊥x 轴于点D ，过N 作NH ⊥x 轴于点H.∵四边形NMO′Q 是矩形， ∴MN ＝O′Q ＝5，MN ∥O ′Q. ∴∠NMO ＝∠DQO′.∵∠NHM ＝∠QDO′＝90°，∴△NHM ≌△O ′DQ(AAS )． ∴NH ＝O′D ＝4, DQ ＝MH ＝3. 由(2)知AO′＝2，设PO ＝x ，则O′P ＝x ，AP ＝4－x ，在Rt △APO ′中，由勾股定理，得AP 2＋AO′2＝O′P 2，即x 2＝22＋(4－x)2，解得x ＝52.∴P(0，52)．设PO′的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52，2k ＋b ＝4，解得⎩⎨⎧k ＝34，b ＝52.∴PQ ′的解析式为y ＝34x ＋52.当y ＝0时，34x ＋52＝0，∴x ＝－103.∴OM ＝103.∴OH ＝OM －MH ＝103－3＝13.∴N(－13，－4)；③如图4，M 在y 轴的正半轴上，四边形MNQO′是矩形，此时点M 与点P 重合，由②知M(0，52)，O ′(2，4)，Q(5，0)，易求得N(3，－32)；图4图5如图5，M 在y 轴的负半轴上，四边形MNO′Q 是矩形，过O′作O′D ⊥x 轴于点D. ∵∠MOQ ＝∠QDO′，∠OMQ ＝∠DQO′， ∴△MOQ ∽△QDO ′.∴OM QD ＝OQ DO′，即OM 3＝54. ∴OM ＝154.∴M(0，－154)．∵O ′(2，4)，Q(5，0)，∴N(－3，14)．综上所述，点N 的坐标为(5，4)或(－13，－4)或(3，－32)或(－3，14)．9．(2020·南充)如图，边长为1的正方形ABCD 中，点K 在AD 上，连接BK ，过点A ，C 作BK 的垂线，垂足分别为M ，N.点O 是正方形ABCD 的中心，连接OM ，ON.(1)求证：AM ＝BN.(2)请判断△OMN 的形状，并说明理由．(3)若点K 在线段AD 上运动(不包括端点)，设AK ＝x ，△OMN 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式(写出x 的范围)；若点K 在射线AD 上运动，且△OMN 的面积为110，请直接写出AK 长．解：(1)证明：∵AM ⊥BM ，CN ⊥BN ，∴∠AMB ＝∠BNC ＝90°.又∵∠ABC ＝90°，∴∠MAB ＋∠MBA ＝90°，∠CBN ＋∠MBA ＝90°. ∴∠MAB ＝∠CBN.又∵AB ＝BC ，∴△AMB ≌△BNC(AAS )． ∴AM ＝BN.(2)△OMN 是等腰直角三角形．理由如下：连接OB ，∵O 为正方形的中心， ∴∠OAB ＝∠OBC.∴∠MAB －∠OAB ＝∠NBC －∠OBC ，即∠MAO ＝∠NBO.∵OA ＝OB ，AM ＝BN ，∴△AMO ≌△BNO(SAS )． ∴OM ＝ON ，∠AOM ＝∠BON.∵∠AOB ＝∠AON ＋∠BON ＝90°， ∴∠MON ＝∠AOM ＋∠AON ＝90°. ∴△OMN 是等腰直角三角形． (3)在Rt △ABK 中， BK ＝AK 2＋AB 2＝x 2＋1. 由BK·AM ＝AB·AK ，得BN ＝AM ＝AB·AK BK ＝xx 2＋1.由AK 2＝KM·BK ，得KM ＝AK 2BK ＝x 2x 2＋1.∴MN ＝BK －BN －KM＝x 2＋1－x x 2＋1－x 2x 2＋1＝1－x x 2＋1.∴S △OMN ＝14MN 2＝（1－x ）24x 2＋4，即y ＝x 2－2x ＋14x 2＋4(0<x<1)．若点K 在射线AD 上运动，S △OMN ＝110，AK 长为13或3.类型3 与动点有关的几何综合题10．(2020·岳阳)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P ，Q 分別从C 点，A 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA ，AB 上沿C →A ，A →B 的方向运动，当点Q 运动到点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 运动的时间为t(s )，连接PQ ，过点P 作PE ⊥PQ ，PE 与边BC 相交于点E ，连接QE.(1)如图2，当t ＝5 s 时，延长EP 交边AD 于点F.求证：AF ＝CE.(2)在(1)的条件下，试探究线段AQ ，QE ，CE 三者之间的等量关系，并加以证明． (3)如图3，当t ＞94 s 时，延长EP 交边AD 于点F ，连接FQ.若FQ 平分∠AFP ，求AFCE的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC ＝90°.在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，据勾股定理，得AC ＝10，由运动知，CP ＝t ＝5，∴AP ＝AC －CP ＝5.∴AP ＝CP. ∵AD ∥BC ，∴∠PAF ＝∠PCE ，∠AFP ＝∠CEP. ∴△APF ≌△CPE(AAS )． ∴AF ＝CE.(2)结论：AQ 2＋CE 2＝QE 2.理由：连接FQ ，由(1)知，△APF ≌△CPE ，∴AF ＝CE, PE ＝PF. ∵EF ⊥PQ ，∴QE ＝OF.在Rt △QAF 中，根据勾股定理，得AQ 2＋AF 2＝QF 2， ∴AQ 2＋CE 2＝QE 2.(3)由运动知，AQ ＝t ，CP ＝t ， ∴AP ＝AC －CP ＝10－t.∵FQ 平分∠AFE ，∴∠AFQ ＝∠PFQ. ∵∠FAQ ＝∠FPQ ＝90°，FQ ＝FQ ， ∴△FAQ ≌△FPQ(AAS )． ∴AQ ＝PQ ＝t, AF ＝PF.∴BQ ＝AB －AQ ＝6－t ，∠FAC ＝∠FPA. ∵∠DAC ＝∠ACB ，∠APF ＝∠CPE ， ∴∠ACB ＝∠CPE.∴PE ＝CE. 过点E 作EN ⊥AC 于点N ，∴CN ＝12CP ＝12t ，∠CNE ＝90°＝∠ABC.∵∠NCE ＝∠BCA ，∴△CNE ∽△CBA. ∴CE AC ＝CN CB .∴CE 10＝12t8.∴CE ＝58t. ∴PE ＝58t ，BE ＝BC －CE ＝8－58t.在Rt △QPE 中，QE 2＝PQ 2＋PE 2，在Rt △BQE 中，QE 2＝BQ 2＋BE 2， ∴PQ 2＋PE 2＝BQ 2＋BE 2.∴t 2＋(58t)2＝(6－t)2＋(8－58t)2.∴t ＝5011.∴CP ＝t ＝5011.∴AP ＝10－CP ＝6011.∵AD ∥BC ，∴△APF ∽△CPE. ∴AF CE ＝AP CP ＝60115011＝65.11．(2020·温州)如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DE ，BF 分别平分∠ADC ，∠ABC ，并交线段AB ，CD 于点E ，F(点E ，B 不重合)．在线段BF 上取点M ，N(点M 在BN 之间)，使BM ＝2FN.当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N.记QN ＝x ，PD ＝y ，已知y ＝－65x ＋12，当Q 为BF 中点时，y ＝245.(1)判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由．(2)求DE ，BF 的长．(3)若AD ＝6.①当DP ＝DF 时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系．②连接PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的x 的值．解：(1)DE ∥BF ，理由如下： ∵∠A ＝∠C ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝360°－(∠A ＋∠C)＝180°. ∵DE ，BF 分别平分∠ADC ，∠ABC ， ∴∠ADE ＝12∠ADC ，∠ABF ＝12∠ABC.∴∠ADE ＋∠ABF ＝12×180°＝90°.∵∠ADE ＋∠AED ＝90°， ∴∠AED ＝∠ABF.∴DE ∥BF. (2)令x ＝0得y ＝12，∴DE ＝12. 令y ＝0得x ＝10，∴MN ＝10. 把y ＝245代入y ＝－65x ＋12，得x ＝6，即NQ ＝6，∴QM ＝10－6＝4. ∵Q 是BF 中点，∴FQ ＝QB. ∵BM ＝2FN ，∴FN ＋6＝4＋2FN ，得FN ＝2, BM ＝4. ∴BF ＝FN ＋MN ＋MB ＝16.(3)①连接EM 并延长交BC 于点H ， ∵FM ＝2＋10＝12＝DE ，DE ∥BF ， ∴四边形DFME 是平行四边形． ∴DF ＝EM.∵AD ＝6，DE ＝12，∠A ＝90°， ∴∠DEA ＝30°＝∠FBE ＝∠FBC. ∵∠ADE ＝60°＝∠CDE ＝∠FME ，∴∠MEB ＝∠FBE ＝30°，∠EHB ＝90°. ∴DF ＝EM ＝BM ＝4.∴MH ＝2，HB ＝2 3. ∴BE ＝62＋（23）2＝4 3.当DP ＝DF 时，－65x ＋12＝4，解得x ＝203.∴BQ ＝14－x ＝14－203＝223.∵223>43，∴BQ>BE. ②(ⅰ)当PQ 经过点D 时(如图1)，y ＝0， ∴x ＝10.图1图2(ⅱ)当PQ 经过点C 时(如图2)， ∵FQ ∥DP ，∴△CFQ ∽△CDP. ∴FQ DP ＝CF CD .∴2＋x －65x ＋12＝812. 解得x ＝103.图3(ⅲ)当PQ 经过点A 时(如图3)， ∵PE ∥BQ ， ∴△APE ∽△AQB. ∴PE QB ＝AE AB. ∵AE ＝122－62＝63，AB ＝103， ∴12－（－65x ＋12）14－x ＝63103.解得x ＝143.由图可知，PQ 不可能过点B.综上所述，当x ＝10或103或143时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点．12．(2020·重庆A 卷)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE.点F 是DE 的中点，连接CF. (1)求证：CF ＝22AD. (2)如图2所示，在点D 运动的过程中，当BD ＝2CD 时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论．(3)在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA ＋PB ＋PC 的值最小．当PA ＋PB＋PC 的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长．解：(1)证明：∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∠ABD ＝∠ACB ＝45°. 在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )． ∴∠ABD ＝∠ACE ＝45°.∴∠DCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝90°. 在Rt △ADE 中，AD ＝AE ， ∴DE ＝2AD.在Rt △DCE 中，F 为DE 中点， ∴CF ＝12DE ＝22AD.(2)结论：AG ＝26BC. 证明：由(1)得△ABD ≌△ACE ，CE ＝BD ，∠ACE ＝∠ABD ＝45°， ∴∠DCE ＝∠BCA ＋∠ACE ＝45°＋45°＝90°.在Rt △DCE 中，DE ＝CD 2＋CE 2＝CD 2＋BD 2＝5CD(BD ＝CE ＝2CD)．在Rt △ABC 中，AC ＝22BC ＝322CD. 连接AF ，在Rt △ADE 与Rt △CDE 中，F 为公共斜边DE 的中点， ∴AF ＝CF ＝12DE ＝52CD.∴∠FAC ＝∠FCA.在Rt △ACG 中，∠G ＋∠FCA ＝90°，∠GAF ＋∠FAC ＝90°， ∴∠G ＝∠GAF.∴AF ＝GF ＝CF. ∴CG ＝2AF ＝5CD. ∴AG ＝CG 2－AC 2＝22CD. ∴AG BC ＝22CD3CD ＝26，即AG ＝26BC. (3)将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°得到△BMN ，连接PN ，CM ，则△BPN 与△BCM 是等边三角形． ∴BP ＝PN ，PC＝NM ，BM ＝CM.∴PA ＋PB ＋PC ＝AP ＋PN ＋NM.则当A ，P ，N ，M 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 有最小值，此时AM 垂直平分BC(如图)．∴∠PBD ＝12∠PBN ＝30°.设PD ＝a ，在Rt △PBD 中，BD ＝PDtan 30°＝3a.又∵△ABC 是等腰直角三角形，BC 为斜边， ∴AD ＝BD ，即AP ＋PD ＝BD. ∴m ＋a ＝3a ，解得a ＝3＋12m. 由(1)得CE ＝BD ＝3a ＝3＋32m.13．(2020·济宁)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E ，F ，G 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CG ，AF 平分∠EAG ，点H 是线段AF 上一动点(与点A 不重合)． (1)求证：△AEH ≌△AGH. (2)当AB ＝12，BE ＝4时．①求△DGH 周长的最小值．②若点O 是AC 的中点，是否存在直线OH 将△ACE 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3.若存在，请求出AHAF的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC. ∵AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC.∴△ABC 是等边三角形． ∴∠ABC ＝60°. ∴∠BCD ＝120°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴∠ACD ＝12∠BCD ＝60°＝∠ABC.∵BE ＝CG ，∴△ABE ≌△ACG(SAS )． ∴AE ＝AG.∵AF 平分∠EAG ，∴∠EAF ＝∠GAF.∵AH ＝AH ，∴△AEH ≌△AGH(SAS )．图1(2)①如图1，过点D 作DM ⊥BC 交BC 的延长线于点M ，连接DE. ∵AB ＝12，BE ＝4， ∴CG ＝4.∴CE ＝DG ＝12－4＝8.由(1)知，△AEH ≌△AGH ，∴EH ＝HG.∴C △DGH ＝DH ＋GH ＋DG ＝DH ＋HE ＋8.要使△DGH 的周长最小，则EH ＋DH 最小，最小为DE ，在Rt △DCM 中，∠DCM ＝180°－120°＝60°，CD ＝AB ＝12， ∴CM ＝6，DM ＝3CM ＝6 3.在Rt △DME 中，EM ＝CE ＋CM ＝14，根据勾股定理，得DE ＝EM 2＋DM 2＝142＋（63）2＝419，∴△DGH 周长的最小值为419＋8.②Ⅰ.当OH 所在直线与线段AE 相交时，交点记作点N ，如图2，连接CN ， ∵点O 是AC 的中点， ∴S △AON ＝S △CON ＝12S △ACN .∵三角形的面积与四边形的面积比为1∶3， ∴S △AON S △AEC ＝14.∴S △CEN ＝S △ACN .∴AN ＝EN. ∵点O 是AC 的中点，∴ON ∥CE. ∴AH AF ＝12.图2图3Ⅱ.当OH 所在直线与线段CE 相交时，交点记作Q ，如图3，连接AQ ，FG ，∵点O 是AC 的中点， ∴S △AOQ ＝S △COQ ＝12S △ACQ .∵三角形的面积与四边形的面积比为1∶3， ∴S △COQ S △ACE ＝14.∴S △AEQ ＝S △ACQ . ∴CQ ＝EQ ＝12CE ＝12×(12－4)＝4.∵点O 是AC 的中点，∴OQ ∥AE ，设FQ ＝x.∴EF ＝EQ ＋FQ ＝4＋x ，CF ＝CQ －FQ ＝4－x. 由(1)知，AE ＝AG ，∵AF 是∠EAG 的平分线，∴∠EAF ＝∠GAF. ∵AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF(SAS )． ∴FG ＝EF ＝4＋x.过点G 作GP ⊥BC 交BC 的延长线于点P ，在Rt △CPG 中，∠PCG ＝60°，CG ＝4， ∴CP ＝12CG ＝2，PG ＝3CP ＝2 3.∴PF ＝CF ＋CP ＝4－x ＋2＝6－x.在Rt △FPG 中，根据勾股定理，得PF 2＋PG 2＝FG 2， ∴(6－x)2＋(23)2＝(4＋x)2，解得x ＝85.∴FQ ＝85，EF ＝4＋85＝285.∵OQ ∥AE ，∴AH AF ＝EQ EF ＝4285＝57.综上所述，AH AF 的值为12或57.类型4 与实践操作有关的几何综合题14．(2020·嘉兴、舟山)在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 拼在一起，使点A 与点F 重合，点C 与点D 重合(如图1)，其中∠ACB ＝∠DFE ＝90°，BC ＝EF ＝3 cm ，AC ＝DF ＝4 cm ，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF 沿AC 方向平移，连接AE ，BD(如图2)，当点F 与点C 重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE 是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE 为矩形(如图3)，求AF 的长．活动二：在图3中，取AD 的中点O ，再将纸片DEF 绕点O 顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连接OB ，OE(如图4)．【探究】当EF 平分∠AEO 时，探究OF 与BD 的数量关系，并说明理由．解：【思考】四边形ABCD 是平行四边形．理由：∵△ABC ≌△DEF ， ∴AB ＝DE ，∠BAC ＝∠EDF. ∴AB ∥DE.∴四边形ABDE 是平行四边形．【发现】连接BE 交AD 于点O ， ∵四边形ABDE 为矩形， ∴OA ＝OD ＝OB ＝OE.设AF ＝x cm ，则OA ＝OE ＝12(x ＋4)，∴OF ＝OA －AF ＝2－12x.在Rt △OFE 中，根据勾股定理，得 (2－12x)2＋32＝14(x ＋4)2，解得x ＝94.∴AF ＝94cm .【探究】BD ＝2OF.证明：延长OF 交AE 于点H.由矩形性质可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠ODE ＝∠OED ，OA ＝OB ＝OE ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB ，∠OAE ＝∠OEA.∵∠ABD ＋∠BDE ＋∠DEA ＋∠EAB ＝360°， ∴∠ABD ＋∠BAE ＝180°. ∴AE ∥BD.∴∠OHE ＝∠ODB.∵EF 平分∠OEH ，∴∠OEF ＝∠HEF. ∵∠EFO ＝∠EFH ＝90°，EF ＝EF ， ∴△EFO ≌△EFH.∴EO ＝EH ，FO ＝FH.∴∠EHO ＝∠EOH ＝∠OBD ＝∠ODB. ∴△EOH ≌△OBD.∴BD ＝OH ＝2OF.15．(2020·齐齐哈尔)综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接AN ，如图1.(1)折痕BM 是(填“是”或“不是”)线段AN 的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答：等边三角形；进一步计算出∠MNE＝60°.(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图2，则∠GBN＝15°.拓展延伸：(3)如图3，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT.求证：四边形SATA′是菱形．解决问题：(4)如图4，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9.请写出以上4个数值中你认为正确的数值7，9．解：∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，∴ST垂直平分AA′.∴AO＝A′O，AA′⊥ST.∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA′O，∠ASO＝∠A′TO.∴△ASO≌△A′TO(AAS)．∴SO＝TO.∴四边形ASA′T是平行四边形．又∵AA′⊥ST，∴四边形SATA′是菱形．类型5其他类型的几何综合题16．(2020·安徽)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC 与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.(1)求证：BD⊥EC.(2)若AB＝1，求AE的长．(3)如图2，连接AG，求证：EG－DG＝2AG.解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°.又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB(SAS)．∴∠AEF＝∠ADB.∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB ＝90°.故BD ⊥EC.(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CD.∴∠AEF ＝∠DCF ，∠EAF ＝∠CDF.∴△AEF ∽△DCF.∴AE DC ＝AF DF，即AE·DF ＝AF·DC.设AE ＝AD ＝a(a ＞0)，则有a(a －1)＝1，化简得a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或1－52(舍去)． ∴AE ＝1＋52. (3)证明：在线段EG 上取点P ，使得EP ＝DG ，连接AP.在△AEP 和△ADG 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠AEP ＝∠ADG ，EP ＝DG ，∴△AEP ≌△ADG(SAS )．∴AP ＝AG ，∠EAP ＝∠DAG.∴∠PAG ＝∠PAD ＋∠DAG ＝∠PAD ＋∠EAP ＝∠DAE ＝90°.∴△PAG 为等腰直角三角形．∴EG －DG ＝EG －EP ＝PG ＝2AG.17．(2020·益阳)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD 中，E 是CD 上的点，将△BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，此时点E 的对应点F 在DA 的延长线上，则四边形BEDF 为“直等补”四边形，为什么？(2)如图2，已知四边形ABCD 是“直等补”四边形，AB ＝BC ＝5，CD ＝1，AD ＞AB ，点B 到直线AD 的距离为BE.①求BE 的长．②若M ，N 分别是AB ，AD 边上的动点，求△MNC 周长的最小值．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠C ＝∠D ＝90°.∵将△BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，此时点E 的对应点F 在DA 的延长线上， ∴BE ＝BF ，∠CBE ＝∠ABF.∴∠EBF ＝∠ABC ＝90°.∴∠EBF ＋∠D ＝180°.∴四边形BEDF 为“直等补”四边形．(2)①过C 作CF ⊥BF 于点F ，则∠CFE ＝90°.∵四边形ABCD 是“直等补”四边形，AB ＝BC ＝5，CD ＝1，AD ＞AB ，∴∠ABC ＝90°，∠ABC ＋∠D ＝180°.∴∠D ＝90°.∵BE ⊥AD ，∴∠DEF ＝90°.∴四边形CDEF 是矩形．∴EF ＝CD ＝1.∵∠ABE ＋∠A ＝∠CBE ＋∠ABE ＝90°，∴∠A ＝∠CBF.∵∠AEB ＝∠BFC ＝90°，AB ＝BC ＝5，∴△ABE ≌△BCF(AAS )．∴BE ＝CF.设BE ＝CF ＝x ，则BF ＝x －1.∵CF 2＋BF 2＝BC 2，∴x 2＋(x －1)2＝52，解得x ＝4或x ＝－3(舍去)．∴BE ＝4.②如图，延长CB 到点F ，使得BF ＝BC ，延长CD 到点G ，使得CD ＝DG ，连接FG ，分别与AB ，AD 交于点M ，N ，过点G 作GH ⊥BC ，与BC 的延长线交于点H ，则BC ＝BF ＝5，CD ＝DG ＝1.∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴CM ＝FM ，CN ＝GN.∴△MNC 的周长为CM ＋MN ＋CN ＝FM ＋MN ＋GN ＝FG ，且此时的值最小．∵四边形ABCD 是“直等补”四边形，∴∠A ＋∠BCD ＝180°.∵∠BCD ＋∠HCG ＝180°，∴∠A ＝∠HCG.∵∠AEB ＝∠CHG ＝90°，∴△ABE ∽△CGH.∴BE GH ＝AE CH ＝AB CG. ∵AB ＝5，BE ＝4，∴AE ＝AB 2－BE 2＝3.∴4GH ＝3CH ＝52.∴GH ＝85，CH ＝65. ∴FH ＝FC ＋CH ＝565. ∴FG ＝FH 2＋GH 2＝8 2.∴△MNC 周长的最小值为8 2.题型2 与圆有关的几何综合题1．(2020·成都)如图，在△ABC 的边BC 上取一点O ，以O 为圆心，OC 为半径画⊙O ，⊙O 与边AB 相切于点D ，AC ＝AD ，连接OA 交⊙O 于点E ，连接CE ，并延长交线段AB 于点F.(1)求证：AC 是⊙O 的切线．(2)若AB ＝10，tan B ＝43，求⊙O 的半径． (3)若F 是AB 的中点，试探究BD ＋CE 与AF 的数量关系，并说明理由．解：(1)连接OD.∵⊙O 与边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，即∠ADO ＝90°.∵AO ＝AO ，AC ＝AD ，OC ＝OD ，∴△ACO ≌△ADO(SSS )．∴∠ADO ＝∠ACO ＝90°.又∵OC 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵tan B ＝AC BC ＝43， ∴设AC ＝4x ，BC ＝3x.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴16x 2＋9x 2＝100.∴x ＝2.∴BC ＝6，AC ＝AD ＝8.∴BD ＝2.∵tan B ＝OD BD ＝43， ∴OD ＝83. 故⊙O 的半径为83. (3)连接DE.由(1)可知：△ACO ≌△ADO ，∴∠ACO ＝∠ADO ＝90°，∠AOC ＝∠AOD.又∵CO ＝DO ，OE ＝OE ，∴△COE ≌△DOE(SAS )．∴∠OCE ＝∠ODE.∵OC ＝OE ＝OD ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝∠OED ＝∠ODE.∴∠DEF ＝180°－∠OEC －∠OED ＝180°－2∠OCE.∵点F 是AB 中点，∠ACB ＝90°，∴CF ＝BF ＝AF.∴∠OCE ＝∠B.∴∠DFE ＝180°－∠OCE －∠B ＝180°－2∠OCE.∴∠DEF ＝∠DFE.∴DE ＝DF ＝CE.∴AF ＝BF ＝DF ＋BD ＝CE ＋BD.2．(2019·孝感)如图，点I 是△ABC 的内心，BI 的延长线与△ABC 的外接圆⊙O 交于点D ，与AC 交于点E ，延长CD ，BA 相交于点F ，∠ADF 的平分线交AF 于点G.(1)求证：DG ∥CA.(2)求证：AD ＝ID.(3)若DE ＝4，BE ＝5，求BI 的长．解：(1)证明：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠ABD ＝∠CBD.∵∠ADF 是⊙O 的内接四边形ABCD 的外角，∴∠ADF ＝∠ABC.∵DG 平分∠ADF ，∴∠GDF ＝∠ABD.又∵∠ABD ＝∠ACD ，∴∠GDF ＝∠ACD.∴DG ∥CA.(2)证明：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠ABI ＝∠CBD ，∠BAI ＝∠CAI.∵∠DIA ＝∠ABI ＋∠BAI ，∠DAI ＝∠CAI ＋∠DAC ＝∠BAI ＋∠CBD ，∴∠DIA ＝∠DAI.∴AD ＝ID.(3)∵∠ADE ＝∠ADB ，∠DAE ＝∠DBA ，∴△ADE ∽△BDA.∴AD BD ＝DE AD.∴AD 2＝DE·BD. ∵DE ＝4，BE ＝5，∴BD ＝BE ＋DE ＝9，AD ＝4×9＝6.由(2)知，AD ＝ID ＝6，∴BI ＝BD －ID ＝3.3．(2020·孝感)已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点D ，与AC 交于点E ，连接CD 并延长与⊙O 过点A 的切线交于点F ，记∠BAC ＝α.(1)如图1，若α＝60°，①直接写出DF DC 的值为12． ②当⊙O 的半径为2时，2－23π．(2)如图2，若α＜60°，且DF DC ＝23，DE ＝4，求BE 的长．解：连接AO 并延长交⊙O 于点H ，连接AD ，DH ，则∠ADH ＝90°，∴∠DAH ＋∠DHA ＝90°.∵AF 与⊙O 相切，∴∠HAF ＝90°.∴∠DAH ＋∠DAF ＝90°.∴∠DAF ＝∠DHA.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD.∴∠DHA ＝∠DAC.∴∠DAF ＝∠DAC.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.又∵∠ADF ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADF ＝∠ABC.又∵∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，∴∠ADF ＝∠ADB.又∵AD 为公共边，∴△ADF ≌△ADE(ASA )．∴DF ＝DE ＝4.∵DF DC ＝23，∴DC ＝6. ∵∠DCE ＝∠ABD ＝∠DBC ，∠CDE 为公共角，∴△DCE ∽△DBC.∴CD DB ＝DE CD ，即6DB ＝46. ∴DB ＝9.∴BE ＝DB －DE ＝5.4．(2019·荆州)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，点P 是半径OB 上一动点(不与O ，B 重合)，过点P 作射线l ⊥AB ，分别交弦BC ，于D ，E 两点，在射线l 上取点F ，使FC ＝FD.(1)求证：FC 是⊙O 的切线．(2)当点E 是的中点时，①若∠BAC ＝60°，判断以O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．②若tan ∠ABC ＝34，且AB ＝20，求DE 的长．解：(1)证明：连接OC.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.∵PF ⊥AB ，∴∠BPD ＝90°.∴∠OBC ＋∠BDP ＝90°.∵FC ＝FD ，∴∠FCD ＝∠FDC.∵∠FDC ＝∠BDP ，∴∠OCB ＋∠FCD ＝∠OCF ＝90°.∴OC ⊥FC.又∵OC 是⊙O 的半径，∴FC 是⊙O 的切线．(2)连接OE ，BE ，CE ，OE 交BC 于点H.①以O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝120°.∵点E 是的中点，∴∠BOE ＝∠COE ＝60°.∵OB ＝OE ＝OC ，∴△BOE ，△OCE 均为等边三角形．∴OB ＝BE ＝CE ＝OC.∴四边形BOCE 是菱形．②∵tan ∠ABC ＝AC BC ＝34. ∴设AC ＝3k ，BC ＝4k(k ＞0)．由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2，即(3k)2＋(4k)2＝202，解得k ＝4.∴AC ＝12，BC ＝16.∵点E 是的中点，∴OE ⊥BC ，BH ＝CH ＝8.∵AO ＝OB ，∴OH ＝12AC ＝6. ∴HE ＝OE －OH ＝4.∵∠OEP ＋∠BOH ＝90°，∠BOH ＋∠ABC ＝90°，∴∠OEP ＝∠ABC.在Rt △DEH 中，tan ∠DEH ＝DH HE ＝34， ∴DH ＝3，DE ＝DH 2＋EH 2＝5.5．(2020·淄博)如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC 交BC 边于点E ，交⊙O 于点D ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，设⊙O 的半径为R ，AF ＝h.(1)过点D 作直线MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 的切线．(2)求证：AB·AC ＝2R·h.(3)设∠BAC ＝2α，求AB ＋AC AD的值(用含α的代数式表示)．解：(1)证明：连接OD.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∴＝.又∵OD 是半径，∴OD ⊥BC.∵MN ∥BC ，∴OD ⊥MN.又∵OD 是⊙O 的半径，∴MN 是⊙O 的切线．(2)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点H ，连接BH.∵AH 是⊙O 的直径，∴∠ABH ＝∠AFC ＝90°.又∵∠AHB ＝∠ACF ，∴△ACF ∽△AHB.∴AC AH ＝AF AB. ∴AB ·AC ＝AF·AH ＝2R ·h.(3)过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，DP ⊥AC ，交AC 延长线于点P ，连接CD.∵∠BAC ＝2α，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝α.∴＝.∴BD ＝CD.∵∠BAD ＝∠CAD ，DQ ⊥AB ，DP ⊥AC ，∴DQ ＝DP.∴Rt △DQB ≌Rt △DPC(HL )．∴BQ ＝CP.∵DQ ＝DP ，AD ＝AD ，∴Rt △DQA ≌Rt △DPA(HL )．∴AQ ＝AP.∴AB ＋AC ＝AQ ＋BQ ＋AC ＝AQ ＋CP ＋AC ＝2AQ.∵cos ∠BAD ＝AQ AD ，∴AD ＝AQ cos α. ∴AB ＋AC AD ＝ 2AQ AQcos α＝2cos α.6．(2020·遂宁)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，交AC 于点F ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 于点G ，交AE 于点H ，过点E 的弦EP 交AB 于点Q(EP 不是直径)，点Q 为弦EP 的中点，连接BP ，BP 恰好为⊙O 的切线．(1)求证：BC 是⊙O 的切线．(2)求证：＝.(3)若sin ∠ABC ＝35，AC ＝15，求四边形CHQE 的面积．解：(1)证明：连接OE ，OP.∵PE ⊥AB ，点Q 为弦EP 的中点，∴AB 垂直平分EP.∴PB ＝BE.∵OE ＝OP ，OB ＝OB ，∴△BEO ≌△BPO(SSS )．∴∠BEO ＝∠BPO.∵BP 为⊙O 的切线，∴∠BPO ＝90°.∴∠BEO ＝90°.∴OE ⊥BC.又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．(2)证明：∵∠BEO ＝∠ACB ＝90°，∴AC ∥OE.∴∠CAE ＝∠OEA.∵OA ＝OE ，∴∠EAO ＝∠AEO.∴∠CAE ＝∠EAO.∴＝.(3)∵CG ⊥AB ，EP ⊥AB ，∴CG ∥EP.∵∠ACE ＝∠AQE ＝90°，∠CAE ＝∠EAQ ，AE ＝AE ，∴△ACE ≌△AQE(AAS )．∴CE ＝QE ，∠CAE ＝∠QAE.∵∠CEH ＋∠CAE ＝∠QAE ＋∠AHG ＝90°，∴∠CEH ＝∠AHG.∵∠AHG ＝∠CHE ，∴∠CHE ＝∠CEH.∴CH ＝CE.∴CH ＝EQ.∴四边形CHQE 是平行四边形．∵CH ＝CE ，∴四边形CHQE 是菱形．∵sin ∠ABC ＝sin ∠ACG ＝AG AC ＝35，AC ＝15， ∴AG ＝9. ∴在Rt △ACG 中，CG ＝AC 2－AG 2＝12. ∵△ACE ≌△AQE ，∴AQ ＝AC ＝15.∴QG ＝6. ∵HQ 2＝HG 2＋QG 2，∴HQ 2＝(12－HQ)2＋62，解得HQ ＝152. ∴CH ＝HQ ＝152. ∴四边形CHQE 的面积为CH·GQ ＝152×6＝45.。

中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习(六)几何综合题试题及答案

专题复习(六) 几何综合题1．(2016·德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD.点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想； (3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)图1 图2解：(1)证明：连接BD.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ＝12BD ，EH ∥BD.∵F 、G 分别是BC 、CD 的中点，∴FG ＝12BD ，FG ∥BD.∴EH ＝FG ，EH ∥FG.∴中点四边形EFGH 是平行四边形． (2)中点四边形EFGH 是菱形．证明：连接AC 、BD.∵∠APB ＝∠CPD，∴∠APB ＋∠AP D ＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC. 又∵PA＝PB ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD(SAS )．∴AC＝BD.∵点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD.∴EF＝FG.又∵四边形EFGH 是平行四边形， ∴中点四边形EFGH 是菱形．图3(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时，如图3，AC 与BD 交于点O ，BD 与EF ，AP 分别交于点M ，Q ，中点四边形EFGH 是正方形．理由如下：由(2)知：△APC≌△BPD，∴∠PAC ＝∠PBD. 又∵∠AQO＝∠BQP，∴∠AOQ ＝∠APB ＝90°. 又∵EF∥AC，∴∠OMF ＝∠AOQ＝90°. 又∵EH∥BD，∴∠HEF ＝∠OMF＝90°. 又∵四边形EFGH 是菱形， ∴中点四边形EFGH 是正方形．2．(2016·菏泽)如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求证：AD ＝BE ； ②求∠AEB 的度数；(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝23CM ＋233BN.图1 图2解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴AC ＝BC ，CD ＝CE. ∵∠CAB ＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED， ∴∠ACB ＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE. ∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴AD＝BE. ②由①得△ACD≌△BCE，∴∠ADC ＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)证明：在等腰△DCE 中，∵CD ＝CE ，∠DCE ＝120°，CM ⊥DE ，∴∠DCM ＝12∠DCE＝60°，DM ＝EM.在Rt △CDM 中，DM ＝CM·tan ∠DCM ＝CM·tan 60°＝3CM ，∴DE ＝23CM. 由(1)，得∠ADC ＝∠BEC＝150°，AD ＝BE ， ∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝120°. ∴∠BEN ＝60°.在Rt △BEN 中，BE ＝BN sin 60°＝233BN.∴AD ＝BE ＝233BN.又∵AE＝DE ＋AD ，∴AE ＝23CM ＋233BN.3．(2016·东营)如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD 、AF 上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立．(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长DB 交CF 于点H ，交AF 于点N. ①求证：BD⊥CF；②当AB ＝2，AD ＝32时，求线段DH 的长．图1 图2 图3解：(1)BD ＝CF 成立．证明：∵AB＝AC ，∠BAD ＝∠CAF＝θ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF(SAS )．∴BD ＝CF. (2)①证明：由(1)得，△ABD ≌△ACF ， ∴∠HFN ＝∠ADN. 又∵∠HNF＝∠AND， ∴∠NHF ＝∠NAD＝90°.∴HD ⊥HF ，即BD⊥CF.②连接DF ，延长AB 交DF 于点M.在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA＝45°， ∴∠BMD ＝90°.∵AD ＝32，四边形ADEF 是正方形，∴MA ＝MD ＝322＝3，FD ＝6.∴MB ＝3－2＝1，DB ＝12＋32＝10. 在Rt △BMD 和Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF， ∴△BMD ∽△FHD. ∴MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106.∴DH＝9105.4．(2016·宁夏)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD.若两个点同时运动的时间为x 秒(0＜x≤3)，解答下列问题：(1)设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值； (2)是否存在x 的值，使得QP⊥DP？试说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝4，CD ＝AB ＝3. 当运动x 秒时，则AQ ＝x ，BP ＝x ，∴BQ ＝AB －AQ ＝3－x ，CP ＝BC －BP ＝4－x.∴S △ADQ ＝12AD ·AQ＝12×4x＝2x ，S △BPQ ＝12BQ·BP＝12(3－x)x ＝32x －12x 2，S △PCD ＝12PC·CD＝12·(4－x)×3＝6－32x.又S 矩形ABCD ＝AB·BC＝3×4＝12，∴S ＝S 矩形ABCD －S △ADQ －S △BPQ －S △PCD ＝12－2x －(32x －12x 2)－(6－32x)＝12x 2－2x ＋6＝12(x －2)2＋4，即S ＝12(x－2)2＋4.∴S 为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x ＝2. ∴当0＜x≤2时，S 随x 的增大而减小；当2＜x≤3时，S 随x 的增大而增大，又当x ＝0时，S ＝6，当S ＝3时，S ＝92.但x 的范围内取不到x ＝0，∴S 不存在最大值．当x ＝2时，S 有最小值，最小值为4.(2)存在，理由：由(1)可知BQ ＝3－x ，BP ＝x ，CP ＝4－x. 当QP⊥DP 时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC， ∴∠BPQ ＝∠PDC.又∵∠B＝∠C， ∴△BPQ ∽△CDP.∴BQ PC ＝BP CD ，即3－x 4－x ＝x 3，解得x ＝7＋132(舍去)或x ＝7－132. ∴当x ＝7－132时，QP ⊥DP.5．(2016·泰安)(1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)，求证：EB ＝AD ；(2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“∠A＝90°”，其他条件不变，则EBAD的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)图1 图2解：(1)证明：过D 点作BC 的平行线交AC 于点F. ∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠ABC＝60°. ∵DF ∥BC ，∴∠ADF ＝∠ABC＝60°. ∴△ADF 是等边三角形． ∴AD ＝DF ，∠AFD ＝60°.∴∠DFC ＝180°－60°＝120°.∵∠DBE ＝180°－60°＝120°，∴∠DFC ＝∠DBE. 又∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE ＝∠DEC， ∴∠FDC ＝∠DEC，ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD.(2)EB ＝AD 成立．理由如下：过D 点作BC 的平行线交AC 的延长线于点F. 同(1)可证△ADF 是等边三角形， ∴AD ＝DF ，∠AFD ＝60°.∵∠DBE ＝∠ABC＝60°，∴∠DBE ＝∠AFD. ∵∠FDC ＝∠D CE ，∠DCE ＝∠DEC， ∴∠FDC ＝∠DEC，ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD. (3)EBAD＝ 2.理由如下：如图3，过D 点作BC 的平行线交AC 于点G.图3∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝45°，∴∠DBE ＝180°－45°＝135°. ∵DG ∥BC ，∴∠GDC ＝∠DCE，∠DGC ＝180°－45°＝135°. ∴∠DBE ＝∠DGC. ∵∠DCE ＝∠DEC，∴ED ＝CD ，∠DEC ＝∠GDC.∴△DBE ≌△CGD(AAS )．∴BE＝GD. ∵∠ADG ＝∠ABC＝45°，∠A ＝90°， ∴△ADG 是等腰直角三角形．∴DG ＝2AD.∴BE＝2AD.∴EBAD＝ 2.6．(2016·烟台)【探究证明】(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.求证：EF GH ＝ADAB；【结论应用】(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若EF GH ＝1115，则BNAM的值为________；【联系拓展】(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DNAM的值．图1 图2 图3解：(1)证明：过点A 作AP∥EF，交CD 于点P ，过点B 作BQ∥GH，交AD 于点Q. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC.∴四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形．∴AP＝EF ，GH ＝BQ. 又∵GH⊥EF，∴AP ⊥BQ.∴∠QAP ＋∠AQB＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠D＝90°. ∴∠DAP ＋∠DPA＝90°.∴∠AQB ＝∠DPA.∴△PDA ∽△QAB.∴AP BQ ＝AD AB .∴EF GH ＝ADAB.(2)∵EF⊥GH，AM ⊥BN ，∴由(1)中的结论可得EF GH ＝AD AB ，BN AM ＝ADAB，∴BN AM ＝EF GH ＝1115.故答案为1115. (3)连接AC ，过点D 作AB 的平行线交BC 的延长线于点E ，作AF⊥AB 交直线DE 于点F. ∵∠BAF ＝∠B＝∠E＝90°， ∴四边形ABEF 是矩形．易证△ADC≌△ABC，∴∠ADC ＝∠ABC＝90°. ∴∠FDA ＋∠EDC＝90°.又∵∠EDC＋∠ECD＝90°，∴∠FDA ＝∠ECD.又∵∠E＝∠F， ∴△ADF ∽△DCE. ∴DE AF ＝DC AD ＝510＝12. 设DE ＝x ，则AF ＝2x ，DF ＝10－x.在Rt △ADF 中，AF 2＋DF 2＝AD 2，即(2x)2＋(10－x)2＝100，解得x 1＝4，x 2＝0(舍去)．∴AF ＝2x ＝8.∴DN AM ＝AF AB ＝810＝45.7．(2016·武汉)在△ABC 中，P 为边AB 上一点．(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC 2＝AP·AB； (2)若M 为CP 的中点，AC ＝2.①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB ＝3，求BP 的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A ＝∠BMP＝60°，直接写出BP 的长．图1 图2 图3解：(1)证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP ＝∠BAC， ∴△ACP ∽△ABC. ∴AC AB ＝AP AC，即AC 2＝AP·AB. (2)①作CQ∥BM 交AB 的延长线于点Q ，则∠PBM＝∠Q. ∵∠PBM ＝∠ACP，∴∠ACP ＝∠Q. 又∠PAC＝∠CAQ，∴△APC ∽△ACQ. ∴AC AQ ＝AP AC，即AC 2＝AP·AQ. 又∵M 为PC 的中点，BM ∥CQ ，∴设BP ＝x ，则BQ ＝x.∴AP＝3－x ，AQ ＝3＋x.∴22＝(3－x)(3＋x)，解得x 1＝5，x 2＝－5(不合题意，舍去)． ∴BP ＝ 5. ②BP ＝7－1.作CQ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0. ∵AC ＝2，∴AQ ＝1，CQ ＝BQ ＝ 3.设AP 0＝x ，则P 0Q ＝PQ ＝1－x ，BP ＝3－1＋x ， ∵∠BPM ＝∠CP 0A ，∠BMP ＝∠CAP 0，∴△AP 0C ∽△MPB ，∴AP 0MP ＝P 0CBP .∴MP ·P 0C ＝12P 0C 2＝（3）2＋（1－x ）22＝AP 0·BP ＝x(3－1＋x)．解得x ＝7－3或x ＝－7－3(舍去)．∴BP ＝3－1＋7－3＝7－1.8．(2016·岳阳)数学活动——旋转变换(1)如图1，在△ABC 中，∠ABC ＝130°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接B B′.求∠A′B′B 的大小；(2)如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝150°，AB ＝3，BC ＝5，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C ，连接BB′.以A′为圆心，A ′B ′长为半径作圆．①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； ②连接A′B，求线段A′B 的长度；(3)如图3，在△ABC 中，∠ABC ＝α(90°＜α＜180°)，AB ＝m ，BC ＝n ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转2β角度(0°＜2β＜180°)得到△A′B′C，连接A′B 和BB′.以A′为圆心，A ′B ′长为半径作圆．问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由．并求此条件下线段A′B 的长度．(结果用角α或角β的三角函数及字母m 、n 所组成的式子表示)图1 图2 图3解：(1)由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝130°，CB ＝CB′，∠BCB ′＝50°，∴∠BB ′C ＝12(180°－∠BCB′)＝65°.∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝130°－65°＝65°. (2)①猜想：直线BB′与⊙A′相切．证明：由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝150°，CB ＝CB′，∠BCB ′＝60°，∴∠BB ′C ＝12(180°－∠BCB′)＝60°.∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°，即B′B⊥A′B′. 又A′B′为半径，∴直线BB′与⊙A′相切．②由旋转得：A′B′＝AB ＝3，B ′C ＝BC ＝5，∠BCB ′＝60°， ∴△BCB ′为等边三角形．∴BB′＝BC ＝5.在Rt △A ′B ′B 中，A ′B ＝（A′B′）2＋（BB′）2＝32＋52＝34. (3)满足的条件：α＋β＝180°.理由：在△BB′C 中，∠BB ′C ＝180°－2β2＝90°－β，∴∠A ′B ′B ＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°.∵α＋β＝180°，∴∠A ′B ′B ＝α＋β－90°＝180°－90°＝90°，即B′B⊥A′B′. ∴直线BB′与⊙A′相切．过点C 作CD⊥BB′于点D.∴∠B ′CD ＝12∠BCB′＝β.在Rt △B ′CD 中，B ′D ＝B′C·sin β＝BC·sin β＝n sin β，∴BB ′＝2B′D＝2n sin β. 由α＋β＝180°得到△A′B′B 为直角三角形，∴A ′B ＝（A′B′）2＋（BB′）2＝m 2＋（2n sin β）2＝m 2＋4n 2sin 2β.9．(2016·宜昌)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10.D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点(与B ，C 不重合)．以D 为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k>1)，EF ∥BC. (1)求∠D 的度数；(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.①连接GH ，AD ，当GH⊥AD 时，请判断四边形AGDH 的形状，并证明；②当四边形AGDH 的面积最大时，过A 作AP⊥EF 于P ，且AP ＝AD ，求k 的值．解：(1)∵AB 2＋AC 2＝62＋82＝102＝BC 2， ∴∠BAC ＝90°.又∵△DEF∽△ABC，∴∠D ＝∠BAC ＝90°. (2)①四边形AGDH 是正方形．证明：延长ED 、FD 分别交BC 于点M 、N. ∵△DEF ∽△ABC ，∴∠E ＝∠B. 又∵EF∥BC，∴∠E ＝∠EMC.∴∠B＝∠EMC.∴ED∥BA. 同理FD∥AC.∴四边形AGDH 是平行四边形．又∵∠FDE＝90°，∴四边形AGDH 是矩形．又∵AD⊥GH，∴四边形AGDH 是正方形．②当D 点在△ABC 内部时，四边形AGDH 的面积不可能最大．其理由是：如图1，点D 在内部时，延长GD 到D′，过D′作MD′⊥AC 于点M ，则四边形GD′MA 的面积大于矩形AGDH 的面积，∴当点D 在△ABC 内部时，四边形AGDH 的面积不可能最大．按上述理由，只有当D 点在BC 边上时，面积才有可能最大．图1 图2如图2，D 在BC 上时，易证明DG∥AC， ∴△GDB ∽△ACB. ∴BG BA ＝GD AC ，即BA －AG BA ＝AH AC . ∴6－AG 6＝AH 8，即AH ＝8－43AG.∴S 矩形AGDH ＝AG·AH＝AG×(8－43AG)＝－43AG 2＋8AG ＝－43(AG －3)2＋12.当AG ＝3时，S 矩形AGDH 最大，此时DG ＝AH ＝4. 即当AG ＝3，AH ＝4，S 矩形AG DH 最大．在Rt △BGD 中，BD ＝BG 2＋DG 2＝5，则DC ＝BC －BD ＝5. 即D 为B C 上的中点时，S 矩形AGDH 最大．∴在Rt △ABC 中，AD ＝BC2＝5，∴PA ＝AD ＝5.延长PA 交BC 于点Q ，∵EF ∥BC ，QP ⊥EF ， ∴QP ⊥BC.∴QP 是EF 、BC 之间的距离． ∴D 到EF 的距离为PQ 的长．在Rt △ABC 中，12AB·AC＝12BC·AQ，∴AQ ＝4.8.又∵△DEF∽△ABC，∴k ＝PQ AQ ＝PA ＋AQ AQ ＝5＋4.84.8＝4924.10．(2016·河南)(1)发现如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于CB 延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为a ＋b ．(用含a ，b 的式子表示)图1(2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1.如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值． (3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．图2 图3 备用图解：(2)①DC＝BE.理由如下： ∵△ABD 和△ACE 为等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CA E ＝60°.∴∠BAD ＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB.∴DC ＝BE. ②BE 长的最大值是4.(3)AM 的最大值为3＋22，点P 的坐标为(2－2，2)．提示：如图3，构造△BNP≌△MAP，则NB ＝AM ，易得△APN 是等腰直角三角形，AP ＝2，∴AN ＝2 2.由(1)知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值(如备用图)．∴AM＝NB ＝AB ＋AN ＝3＋2 2. 过点P 作PE⊥x 轴于点E ，PE ＝AE ＝ 2. 又∵A(2，0)，∴P(2－2，2)．。

专题复习(6)几何综合题【2021中考数学二轮复习】答案版

专题复习(6)几何综合题【2021中考数学二轮复习】题型1与三角形、四边形有关的几何综合题类型1类比探究的几何综合题1 • (2020•青海)在4ABC中，AB=AC，CG±BA交BA的延长线于点G.特例感知：(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF=CG.请给予证明. 猜想论证：(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE±BA，垂足为E.此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE，DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想.联系拓展：(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F 与点C不重合)时，请你判断(2)中的猜想是否仍然成立？(不用证明)解：(1)证明：在4FAB和aGAC中，ZF=ZG，{ZFAB = ZCAG，AB=AC，AFABAGACC^S). .\FB=CG.(2)猜想：CG=DE+DF.理由：连接AD.；S..ABC=S；.ABD+S,\ADC，B ?DF«LAC，CG_LAB ♦.\!A B CG=1A B DE+|A C DF. 4^0 4^0VAB=AC，，CG=DE+DF.(3)猜想仍然成立，CG=DE+DF.ZEDF=yZBAD，AE=2，DF=5，求菱形ABCD 的边长.ZT L-DAAADC^AACB，AAC2=AD AB.(2)V四边形ABCD是平行四边形，AAD=BC，ZA=ZC.又•••/BFE=NA，・・・NBFE=NC.又••,NFBE=NCBF，・••△BFEs/^BCF.，BF?=BE BC.，BC =器=单JDt D.\AD=y.(3)分别延长EF，DC相交于点G.•・•四边形ABCD是菱形，・,.AB〃DC，ZBAC=yZBAD.・・・AC〃EF，.•.四边形AEGC为平行四边形.，AC=EG，CG=AE，ZEAC=ZG，AE=CG=2.V ZEDF=|ZBAD，, NEDF= NBAC= NG.又YNDEFuNGED AAEDF^AEGD.ADE2=EFEG.又•••EG=AC=2EF，，DE2=2EF2.，DE=gEF.又•嚅喑，・・.DG=W DF=5"，DC=DG-CG=5 •一2. 33 • (2020•德州)问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，itAABC中，AB = 6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED^^CAD，经过推理和计算使问题得到解决.请回答：(1)小红证明△BEDgZkCAD的判定定理是：SAS.(2)AD的取值范围是1<AD<5.方法运用：(3)如图2，AD是AABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE =EF，求证：BF=AC.(4)如图3，在矩形ABCD中，||=|，在BD上取一点F，以BF为斜边作^rABEF，且器=；，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG. tert证明：(3)延长AD至点"，使AD=AD，连接BA:〈AD是AABC的中线，ABD=CD.{AD=A A D，ZADC=ZA'DB，CD=BD，AAADC^AA r DB(S^S).，NCAD=NA，，AC=AB又•••AE=EF，，ZCAD=ZAFE.，ZA r= ZAFE.又•••/AFE=NBFD，ZBFD=ZA\ABF=AB.又TAB = AC，VBF=AC.(4)延长CG 至点H，使HG=CG，连接HF，CE，HE.•••G 为FD 的中点，，FG=DG.fHG=CG，在△HGF 和ACGD 中，y ZHGF=ZCGD，L FG=DG，AAHGF^ACGD(S4S).A HF=CD，ZHFG=ZCDG.EF 1 1在用4BEF 中，> ：.tan ZEBF=^.又在矩形ABCD中‘黑制,J祟=4・JD J 乙N/.tan ZADB=^./. ZEBF=ZADB.又•••AB〃DC，，NADB=NDBC.，ZEBF= ZADB = ZDBC.又,•,NEFD为ABEF的外角，ZEFD= ZEBF+ ZBEF，即NEFH+NHFD=NEBF+9(r.V ZADB+ZBDC=90° ，，ZEFH+ ZHFD= NEBF+ ZADB + ZBDC.，NEFH=2NEBF，即NEFH=NEBC.在△EFH和4EBC中，EF_1 HF_1 . EF_HFBE ' BC 2 '•宜BC又•••/EBC=NEFH，・••△EFH S AEBC.，ZFEH=ZBEC.，NHEC + /CEF= ZBEF+ZCEF.，NHEC = NBEF=90° .•••△CEH 是直角三角形.VG 为CH 的中点，，EG=£C H，即EG=CG.4 • (2020・陕西)问题提出(1)如图1，在RtAABC中，NACB=90‘ ，AC>BC，ZACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DEJ_AC，DF_LBC，垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF，DE，DF.问题探究(2)如图2，AB是半圆O的直径，AB = 8，P是上一点，且=2，连接AP，BP，ZAPB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE±AP，CF1BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长. 问题解决(3)如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知。

安徽数学中考二轮复习专题六：几何综合问题同步练习含答案

专题六几何综合问题1．(2018 ·南河 )如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的极点 A 出发，沿 A→ D→ B 以 1 cm/s 速度匀速运动到点B．图2A ． 5B． 25C．2D． 252．以下图，已知四边形ABCD 是平行四边形，以下结论中，不必定正确的选项是( D )A ．△ AOB 的面积等于△AOD 的面积B．当 AC⊥ BD 时，它是菱形C．当 OA＝OB 时，它是矩形D．△ AOB 的周长等于△AOD 的周长3．(原创题 )如图，在平行四边形 ABCD 中， AD ＝ 2AB，F 是 AD 的中点，作 CE⊥ AB，垂足 E 在线段 AB 上，连结 EF， CF ，则以下结论中必定建立的是 ( A )1①∠ DCF ＝2∠ BCD ；② EF ＝ CF；③∠ DFE ＝ 3∠ AEF；④ S△BEC＝ 2S△CEF.A ．①②③B．②③④C．①②④D．①③④4．如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝90°，AC＝ BC＝ 1，E，F 为线段 AB 上两动点，且∠ ECF ＝ 45°，过点 E，F 分别作 BC， AC 的垂线订交于点M，垂足分别为H， G.现有以下结论：①AB ＝2；②当点11E 与点 B 重合时， MH ＝；③ AF＋ BE＝ EF；④ MG·MH ＝ .此中正确结论的个数是22(C)A ． 1B． 2C． 3D． 45．(原创题 )如图，在△ ABC 中， D ，E， F 分别为 BC， AC， AB 的中点， AH⊥ BC 于点 H ， FD ＝ 8 cm，则HE ＝ __8__cm.6．(2018 含·山月考 )如图，直线l 1∥ l2∥ l3，正方形 ABCD 的三个极点 A， B， C 分别在 l1， l2，l 3上， l1与l2之的距离是 2， l2与 l3之间的距离是4，则正方形 ABCD 的面积为 __20__.7．(2018 ·丰县二模长 )如图，四边形ABCD 中， AD∥ BC， AD ＝ 8 cm， BC＝ 12 cm，M 是 BC 上一点，且BM ＝ 9 cm，点 E 从点 A 出发以 1 cm/s 的速度向点 D 运动，点 F 从点 C 出发，以 3 cm/ s 的速度向点 B 运动，当此中一点抵达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A， M， E，F 为极点的四边形是平行四3 3边形时， t＝__4或2__.8．如图，在一张矩形纸片ABCD 中， AB＝ 4， BC＝ 8，点 E， F 分别在 AD， BC 上，将纸片ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；② EC 均分∠ DCH ；③线段 BF 的取值范围为3≤ BF≤ 4；④当点 H 与点 A 重合时， EF ＝ 2 5.以上结论中，你以为正确的有__①③④ __.(填序号 )9．(2018 ·肥期中合 )如图，长方形 OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A，C 两点的坐标分别为(6,0)，(0,10) ，点 B 在第一象限内．(1) 写出点 B 的坐标，并求长方形OABC 的周长；(2)如有过点 C 的直线 CD 把长方形 OABC 的周长分红 3∶ 5 两部分，D 为直线 CD 与长方形的边的交点，求点D 的坐标．解： (1)∵A(6,0)，C(0,10)，∴OA＝6，OC＝10，∵ 四边形OABC是长方形，∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝10，∴点 B 的坐标为(6,10)，∵ OC＝ 10， OA＝ 6，∴长方形 OABC 的周长为2×(6＋ 10)＝ 32；(2)∵CD把长方形OABC的周长分为3：5 两部分，∴被分红的两部分的长分别为①当点 D 在12 和 20，AB 上时， AD ＝ 20－10－ 6＝ 4，因此点 D 的坐标为(6,4)，②当点 D 在 OA 上时， OD ＝ 12－10＝ 2，因此点 D 的坐标为 (2,0)．10．如图 1，在正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一点，点 E 在 CB 上，且 PC＝ PE，过 E 作 EF 垂直于 BC 交 DP 延伸线于 F ，且 PF ＝PD ．2(1)如图 1，当点 E 在 CB 边上时，求证： PE＝2 CE；(2)如图 2，当点 E 在 CB 的延伸线上时，线段 PE，CE 有如何的数目关系，写出你的猜想，并给与证明．解：(1)延伸EP交DC于点G，如图 (1)所示：∵∠FEC＝∠DCE＝90°，∴EF∥CD，∴∠PFE＝∠PDG，又∵∠EPF ＝∠GPD， PF ＝ PD ，∴在△PEF 和△PGD 中，∠P FE ＝∠PDG，∠E PF ＝∠GPD，PF ＝ PD，∴△ PEF ≌△ PGD(AAS)，∴ PE＝ PG， EF ＝ GD，∵ BE＝ EF ，∴ BE ＝ GD ，∵ CD＝ CB，∴ CG＝ CE ，∴△CGE 是等腰直角三角形，∴ CP⊥GE ，CP＝1E G ＝ PE，∴△ CPE 是等腰直角三角形，∴ PE＝2C E；222∠∠(2)PE＝2CE，原因以下：如图( 2) 所示：延伸EP 交 CD 的延伸线于点 G，∵FEB ＋DCB ＝180°，∴ EF ∥CD ，∴∠PEF ＝∠PGD ，又∵∠ EPF＝∠GPD ， PF ＝ PD ，∴在△PEF和△PGD中，∠ P FE ＝ ∠ PDG ，∠EPF ＝ ∠GPD ，∴△PEF ≌△ PGD (AAS )，∴ PE ＝ PG ， EF ＝ GD ，∵ BE ＝ EF ，∴ BE ＝ GD ．∵CD ＝PF ＝ PD ，CB ，∴ CG ＝CE ，∴△ CGE 是等腰直角三角形， ∴ CP ⊥ GE ，CP ＝12EG ＝ PE ，∴△ CPE 是等腰直角三角形． ∴2PE ＝ 2 CE.11． (改编题 )已知，如图 1，矩形 ABCD 中， AD ＝ 6， DC ＝ 8，矩形 EFGH 的三个极点 E ， G ， H 分别在矩形 ABCD 的边 ABCD 的边 AB ， CD ， DA 上， AH ＝ 2，连结 CF.(1) 如图 1，当四边形 EFGH 为正方形时，求 AE 的长和△ FCG 的面积；(2) 如图 2，设 AE ＝ x ，△ FCG 的面积＝ S 1，求 S 1 与 x 之间的函数关系式与 S 1 的最大值； (3) 在 (2)的条件下，假如矩形 EFGH 的极点 F 一直在矩形ABCD 内部，连结 BF ，记△ BEF 的面积为 S 2，△ BCF 的面积为 S 3，试说明 6S 1＋3S 2 －2S 3 是常数．解： (1) 过点 F 作 FM ⊥CD 于 M. ∵ 四边形 EFGH 为正方形，四边形 ABCD 是矩形， ∴ HE ＝ GH ＝FG ， ∠EHG ＝∠HGF ＝ 90°，∠A ＝ ∠D ＝ 90°，∴ ∠AEH ＝ ∠DHG ＝90°－ ∠AHE ，∠DHG ＝ ∠MGF ＝90°－∠HGD ， ∴ ∠AEH ＝ ∠DHG ＝∠MGF .在 △AEH ，△ DHG 与 △MGF 中， ∠A ＝ ∠D ＝ ∠GMF ＝90°，∠AEH ＝ ∠DHG ＝∠MGF ，HE ＝ GH ＝FG ，∴ △AEH ≌△DHG ≌△ MGF (AAS )，∴ AE ＝ DH ＝ 6－ 2＝4，DG ＝AH ＝ FM ＝ 2，∴ △FCG 的面积＝11× 6×2＝ 6；2CG ·FM ＝ 2(2)过点 F 作 FM⊥CD 于 M. 在 △AEH 与 △ DHG 中，∵∠A ＝ ∠∠∠DHG ＝ 90°－∠ AHE ，D ＝ 90°， AEH ＝∴△ AEH ∽△ DHG ，∴DG＝DH，即DG＝4，∴ DG ＝8，∴ CG ＝ DC －DG ＝ 8－8，∵ FM ＝ 2，∴△ FCG 的AH AE 2 xxx1 ＝ 1 8－ 8×2＝8 7；面积＝ S 1＝ · ·2x 8－，∵ 0＜ x ≤8，∴当 x ＝ 8 时， S 1 的最大值为2 CG FMx(3)由 (2)可得 S 1＝18－8×2＝8－ 8.过点 F 作 FN ⊥ AB 于 N ，易证△ NFE ≌△ DHG ，∴ FN ＝HD ＝ 4，2 xxEN ＝ GD＝8，∵ BE ＝ AB － AE ＝ 8－ x ，∴ S ＝ 1· · ＝ 1 － × ＝－；过点 F 作 FP ⊥ BC 于 P ，则x22 BE FN2(8 x ) 416 2x四边形 FNBP 是矩形，∴FP ＝ BN ＝ AB － AE －EN ＝ 8－x － 8，∴ S 3＝1· · ＝ 18－ x － 8 ×6＝ 24－ 3x － 24，x 2 FP BC 2 xx 8 24 48 48 ∴ 6S 1＋ 3S 2－ 2S 3＝ 6 8－x ＋ 3(16－ 2x )－2 24－3x － x ＝ 48－ x ＋48－ 6x －48＋ 6x ＋ x ＝ 48.12． (2018 徐·州 )如图，将等腰直角三角形纸片 ABC 对折，折痕为CD ．展平后，再将点B 折叠在边 AC上 (不与 A ，C 重合 )，折痕为 EF ，点 B 在 AC 上的对应点为M ，设 CD 与 EM 交于点 P ，连结 PF .已知 BC ＝4.(1) 若 M 为 AC 的中点，求 CF 的长；(2) 跟着点 M 在边 AC 上取不一样的地点，①△ PFM 的形状能否发生变化？请说明原因；②求△PFM 的周长的取值范围．11解： (1)∵ M 为 AC 的中点， ∴ CM ＝2AC ＝ 2BC ＝ 2，由折叠的性质可知，FB ＝ FM ，设 CF ＝ x ，则 FB＝ FM ＝ 4－ x ，在 Rt △CFM 中， FM 2＝ CF 2＋ CM 2，即 (4－ x )2＝ x 2＋ 22，解得， x ＝ 3，即 CF ＝ 3；22(2)①△ PFM 的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，原因以下：由折叠的性质可知，∠PMF ＝ ∠BPOOM＝ 45°， ∵ CD 是中垂线， ∴∠ACD ＝ ∠DCF ＝45°， ∵ ∠MPC ＝ ∠OPM ，∴ △POM ∽△ PMC ，∴ PM ＝ MC ，∴ MC PM ＝ OM PO ，∵ ∠EMC ＝ ∠AEM ＋ ∠A ＝∠CMF ＋ ∠EMF ，∴ ∠AEM ＝ ∠CMF ，∵ ∠DPE ＋ ∠ AEM ＝90°，∠CMF ＋ ∠MFC ＝ 90°，∠DPE ＝∠MPC ，∴ ∠DPE ＝∠MFC ，∠ MPC ＝ ∠MFC ，∵∠PCM ＝ ∠OCF ＝45°，∴ △MPC ∽△ OFC ，∴MP OF ＝ MC OC ，∴ MC PM ＝ OC OF ，∴ OM PO ＝ OCOF ，∵∠POF ＝∠MOC ，∴ △POF ∽△ MOC ，∴ ∠PFO＝ ∠MCO ＝45°，∴△ PFM 是等腰直角三角形，②∵△ PFM 是等腰直角三角形，设FM ＝ y ，由勾股定理可2知： PF ＝ PM ＝ 2 y ，∴△ PFM 的周长＝ (1＋ 2) y ，∵ 2＜ y ＜ 4，∴△ PFM 的周长知足： 2＋ 2 2＜ (1＋ 2)y＜ 4＋ 4 2.。

中考练习复习-几何综合练习精选(答案及解析)

几何综合练习1、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，点E 在CD 上，DE=1，点F 是边AB 上一动点，以EF 为斜边作Rt △EFP ．若点P 在矩形ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF 的值是．【解答】解：∵△EFP 是直角三角形，且点P 在矩形ABCD 的边上， ∴P 是以EF 为直径的圆O 与矩形ABCD 的交点，①当AF=0时，如图1，此时点P 有两个，一个与D 重合，一个交在边AB 上； ②当⊙O 与AD 相切时，设与AD 边的切点为P ，如图2，此时△EFP 是直角三角形，点P 只有一个，当⊙O 与BC 相切时，如图4，连接OP ，此时构成三个直角三角形，则OP ⊥BC ，设AF=x ，则BF=P 1C=4﹣x ，EP 1=x ﹣1，∵OP ∥EC ，OE=OF ，∴OG=12EP 1=x−12，∴⊙O 的半径为：OF=OP=x−12+(4−x)，在Rt △OGF 中，由勾股定理得：OF 2=OG 2+GF 2，∴(x−12+4−x)2=(x−12)2+12，解得：x=113， ∴当1＜AF ＜113时，这样的直角三角形恰好有两个，③当AF=4，即F 与B 重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则AF的值是：0或1＜AF＜113或4．故答案为：0或1＜AF＜113或4．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2√3．∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，∴△ABC≌△A′BC′，∴∠ABA′=120°=∠CBC′，∴S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′=120π×42360﹣120π×22360 =16π3﹣4π3 =4π．故答案为4π．3、小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB=5cm ，小正六边形的面积为49√32cm 2，则该圆的半径为 cm ．【解答】解：设两个正六边形的中心为O ，连接OP ，OB ，过O 作OG ⊥PM ，OH ⊥AB ，由题意得∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，∵小正六边形的面积为49√32cm 2， ∴小正六边形的边长为7√3cm ，即PM=7√3cm ，∴S △MPN =147√34cm 2， ∵OG ⊥PM ，且O 为正六边形的中心，∴PG=12PM=7√32cm ，在Rt △OPG 中，根据勾股定理得：OP=√(72)2+(7√32)2=7cm ，设OB=xcm ，∵OH ⊥AB ，且O 为正六边形的中心，∴BH=12x ，OH=√32x ，∴PH=（5﹣12x ）cm ，在Rt △PHO 中，根据勾股定理得：OP 2=（√32x ）2+（5﹣12x ）2=49，解得：x=8（负值舍去），则该圆的半径为8cm ．故答案为：84、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan ∠HAP ＝．解：如图，连接PB ，交CH 于E ，由折叠可得，CH 垂直平分BP ，BH ＝PH ，又∵H 为AB 的中点，∴AH ＝BH ，∴AH ＝PH ＝BH ，∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠HEB＝90°，∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，∴tan∠HAP＝，故答案为：．5、如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a ，Rt △HEP 中，∠EPH=30°，∴EH=12EP=12a ，∴a+2b=2（12a+b ）=2（EH+EO ）=2OH ，当P 在AC 边上时，H 与C 重合，此时OH 的最小值=OC=12OA=1，即a+2b 的最小值是2；当P 在点B 时，OH 的最大值是：1+32=52，即（a+2b ）的最大值是5， ∴2≤a+2b ≤5．6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +BD 的最小值是（）A ．2B ．4C ．5D ．10解：如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．7、如图，直线y=﹣√3x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D3是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为．【解答】解：延长DE交OA于F，如图，当x=0时，y=﹣√3x+4=4，则B（0，4），3x+4=0，解得x=4√3，则A（4√3，0），当y=0时，﹣√33在Rt△AOB中，tan∠OBA=4√3=√3，4∴∠OBA=60°，∵C是OB的中点，∴OC=CB=2，∵四边形OEDC是菱形，∴CD=BC=DE=CE=2，CD∥OE，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠COE=60°，∴∠EOF=30°，OE=1，∴EF=12△OAE的面积=1×4√3×1=2√3．2故答案为2√3．8、如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．解：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，∵BD＝1，AD＝5，∴AB＝BD+AD＝6，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，在Rt△BCA与Rt△DCE中，∵BAC＝∠DEC＝30°，∴tan∠BAC＝tan∠DEC，∴，∵BCA＝∠DCE＝90°，∴∵BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CAE＝∠B＝60°，∴，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，，∴AE＝，在Rt△ADE中，DE＝＝＝2，在Rt△DCE中，∠DEC＝30°，∴∠EDC＝60°，DC＝DE＝，在Rt△DCM中，MC＝DC＝，在Rt△AEN中，NE＝AE＝，∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90，∴△MFC∽△NFE，∴＝＝，故答案为：．9、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A ．20B ．24C ．994 D ．532【解答】解：设小正方形的边长为x ， ∵a=3，b=4， ∴AB=3+4=7，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，即（3+x ）2+（x+4）2=72，整理得x 2+7x ﹣12=0，解得x=−7+√972或x=−7−√972（舍去），∴该矩形的面积=（−7+√972+3）（−7+√972+4）=24，故选：B ．10、如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，E 为CD 边上一点（不与端点重合），将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．给出下列判断： ①∠EAG =45°；a，则AG∥CF；②若DE=13a2；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为110④若CF=FG，则DE=（√2-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=a，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG=∠FAG，∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=90°=45°，故①正确；②∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，设BG=GF=x，∵DE=a，∴EF=a，∴CG=a-x，在Rt△EGC中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，解得x=a，此时BG=CG=a，∴GC=GF=a，∴∠GFC=∠GCF，且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∴2∠AGB=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF，∴②正确；③若E为CD的中点，则DE=CE=EF=，设BG=GF=y，则CG=a-y，CG2+CE2=EG2，即，解得，y=a，∴BG=GF=，CG=a-，∴，∴，故③错误；④当CF=FG，则∠FGC=∠FCG，∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，∴∠FEC=∠FCE，∴EF=CF=GF，∴BG=GF=EF=DE，∴EG=2DE，CG=CE=a-DE，∴，即，∴DE=（-1）a，故④正确；⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac，∴=，即S△CEG=BG•DE，∵S△ABG =S△AFG，S△AEF=S△ADE，∴，∵S五边形ABGED +S△CEG=S正方形ABCD，∴BG•DE+AF•EG=a2，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．11、如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S△ABM＝4S△FDM；②PN＝；③tan∠EAF＝；④△PMN∽△DPE，正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，∵AF⊥DE，∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，∴∠DAN＝∠EDC，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DF＝CE＝1，∵AB∥DF，∴△ABM∽△FDM，∴＝（）2＝4，∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；由勾股定理可知：AF＝DE＝AE＝＝，∵×AD×DF＝×AF×DN，∴DN＝，∴EN＝，AN＝＝，∴tan∠EAF＝＝，故③正确，作PH⊥AN于H．∵BE∥AD，∴＝＝2，∴PA＝，∵PH∥EN，∴＝＝，∴AH＝×＝，HN＝，∴PN＝＝，故②正确，∵PN≠DN，∴∠DPN≠∠PDE，∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．故选：A．12、定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是，点A2018的坐标是．【解答】解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1坐标（﹣32，﹣√32）△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（﹣12，√32）△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（﹣52，﹣√32）△A3B3C3经γ（4，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（﹣32，√32）△A4B4C4经γ（5，180°）变换后得△A5B5C5，A5坐标（﹣72，﹣√32）依此类推……可以发现规律：An 纵坐标为：(−1)n√32当n是奇数，An 横坐标为：﹣n+22当n是偶数，An横横坐标为：﹣n−12当n=2018时，是偶数，A 2018横坐标是﹣20172，纵坐标为√32故答案为：（﹣32，﹣√32），（﹣20172，√32）．13、如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与B 关于CE 对称，EH 的延长线与AD 交于点F ，与CD 的延长线交于点N ，点P 在AD 的延长线上，作正方形DPMN ，连接CP ，记正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2，则下列结论错误的是（）A. S 1+S 2=CP 2B. 4F =2FDC. CD =4PDD. cos ∠HCD =35解：∵正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2， ∴S 1=CD 2，S 2=PD 2，在Rt △PCD 中，PC 2=CD 2+PD 2， ∴S 1+S 2=CP 2，故A 结论正确；连接CF ，∵点H 与B 关于CE 对称， ∴CH=CB ，∠BCE=∠ECH ，在△BCE 和△HCE 中，∴△BCE ≌△HCE （SAS ），∴BE=EH ，∠EHC=∠B=90°，∠BEC=∠HEC ， ∴CH=CD ，在Rt △FCH 和Rt △FCD 中，∴Rt △FCH ≌Rt △FCD （HL ）， ∴∠FCH=∠FCD ，FH=FD ，∴∠ECH+∠ECH=∠BCD=45°，即∠ECF=45°，作FG ⊥EC 于G ，∴△CFG 是等腰直角三角形， ∴FG=CG ，∵∠BEC=∠HEC ，∠B=∠FGE=90°， ∴△FEG ∽△CEB ，∴==，∴FG=2EG，设EG=x，则FG=2x，∴CG=2x，CF=2x，∴EC=3x，∵EB2+BC2=EC2，∴BC2=9x2，∴BC2=x2，∴BC=x，在Rt△FDC中，FD===x，∴3FD=AD，∴AF=2FD，故B结论正确；∵AB∥CN，∴=，∵PD=ND，AE=CD，∴CD=4PD，故C结论正确；∵EG=x，FG=2x，∴EF=x，∵FH=FD=x，∵BC=x，∴AE=x，作HQ⊥AD于Q，∴HQ∥AB，∴=，即=，∴HQ=x，∴CD-HQ=x-x=x，∴cos∠HCD===，故结论D错误，故选：D．14、如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．15、正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y=x+1和x轴上，则点Bn的坐标为．【解答】解：当x=0时，y=x+1=1，∴点A1的坐标为（0，1）．∵四边形A1B1C1O为正方形，∴点B1的坐标为（1，1）．当x=1时，y=x+1=2，∴点A2的坐标为（1，2）．∵四边形A2B2C2C1为正方形，∴点B2的坐标为（3，2）．同理可得：点A3的坐标为（3，4），点B3的坐标为（7，4），点A4的坐标为（7，8），点B4的坐标为（15，8），…，∴点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为：（2n﹣1，2n﹣1）．16、如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=√3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3√62 B．3√32C．6 D．3【解答】解：作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，如图，则MP=MC ，NP=ND ，OP=OD=OC=√3，∠BOP=∠BOD ，∠AOP=∠AOC ，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC ，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN 周长最小，作OH ⊥CD 于H ，则CH=DH ， ∵∠OCH=30°， ∴OH=12OC=√32， CH=√3OH=32， ∴CD=2CH=3．故选：D ．17、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO ⊥DB ；③△EDA ∽△EBD ；④ED •BC ＝BO •BE ．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．18、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．√6cm C．2.5cm D．√5cm【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=√BE2+EC2=√42+82=4√5，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OFBE =OCBC，即OF4=4√5，解得：OF=√5，故选：D．19、如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2 C．3D．4解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．20、如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE ；②S △ODE =S △BDE ；③四边形ODBE 的面积始终等于43√3；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：连接OB 、OC ，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵点O 是△ABC 的中心，∴OB=OC ，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ， ∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°， ∴∠BOD=∠COE ，在△BOD 和△COE 中{∠BOD =∠COEBO =CO ∠OBD =∠OCE ，∴△BOD ≌△COE ，∴BD=CE ，OD=OE ，所以①正确； ∴S △BOD =S △COE ，∴四边形ODBE 的面积=S △OBC =13S △ABC =13×√34×42=43√3，所以③正确；作OH ⊥DE ，如图，则DH=EH ，∵∠DOE=120°， ∴∠ODE=∠OEH=30°， ∴OH=12OE ，HE=√3OH=√32OE ， ∴DE=√3OE ，∴S △ODE =12•12OE •√3OE=√34OE 2，即S △ODE 随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值， ∴S △ODE ≠S △BDE ；所以②错误； ∵BD=CE ，∴△BDE 的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+√3OE ，当OE ⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时OE=2√33， ∴△BDE 周长的最小值=4+2=6，所以④正确．故选：C ．21、如图，直线l ：y ＝x +1分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线l 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线l 于点A 3，依此规律…，若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积为S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积为S 3…，则S n ＝．解：直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．22、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴x=√3﹣1或﹣√3﹣1（舍弃），∴cosB=BEAB =√3−12，故答案为√3−12．23、如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝α．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a 的值为．解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．24、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选：A．25、如图，已知⊙O的内接六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6D．4解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC＝＝（cm）．∵∠OCN ＝30°，∴ON ＝OC ＝，CN ＝2，∴CE ＝2CN ＝4，∴该圆的内接正三角形ACE 的面积＝3×＝4，故选：D ．26、如图，Rt △ABC ，∠B=90°，∠C=30°，O 为AC 上一点，OA=2，以O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE 、OF ，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF ，∴△AOF 是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF 的面积为：120π×4360=43π∵OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=12AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3√3∴△ABC 的面积为：12×3×3√3=92√3∵△OAF 的面积为：12×2×√3=√3，∴阴影部分面积为：92√3﹣√3﹣43π=72√3﹣43π故答案为：72√3﹣43π27、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分∠BAE 交BC 于点F ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG ，则CF 的长为．解：作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AG 于N ，如图，易得四边形CFMD 为矩形，则FM ＝4，∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，∴DE＝2，∴AE＝＝2，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴点G在CB的延长线上，∵AF平分∠BAE交BC于点F，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，∴FN＝FM＝4，∵AB•GF＝FN•AG，∴GF＝＝2，∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．故答案为6﹣2．28、如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A ．18+36πB ．24+18πC ．18+18πD ．12+18π【解答】解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6，AE=√62+122=6√，易得Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ，而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S 正方形ABCD +S 半圆﹣S △ABE ﹣S △AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•6√5×6√5=18+18π．故选：C ．29、如图，在半径为的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是（）A．2B．2C．2D．4解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．。

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几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．解几何综合题，还应注意以下几点：⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．⑵ 掌握常规的证题方法和思路．⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长．解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径，∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ，∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角，∴∠C ＝∠BED ．故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ．点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径，即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ．故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线．（2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．又 BD ＝CD ＝21BC ＝6，根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．则 BF 的长为2．点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．【例2】（2005，重庆，10分）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD 。

证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE而∠BDE＝∠ABD＋∠BA D ，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 在△ADB和△ADC 中，∠BAD＝∠CADAD ＝AD ∠ADB ＝∠ADC 所以 △ADB≌△ADC 所以 BD ＝CD 。

（注：用“AAS”证三角形全等，同样给分）点拨：要想证明BD=CD ，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS ”来证明．【例3】（2005，内江，10分）如图⊙O 半径为2，弦BD ＝32，A 为弧BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。

求：四边形ABCD 的面积。

解:连结OA 、OB ，OA 交BD 于F 。

⎭⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧 1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1S BD AF 2∆⇒=⋅=ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形【例4】（2005，博兴模拟，10分）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．A B C DE解：不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2．828．图2－4－4（4）中，延长EF 交BC 于H ，由 ∠FBH ＝30°，BH=12，利用勾股定理，可求得121FH EF FH ∴=-=所以⑷中线路总长为：4EF+EF=4(11 2.732.-=+≈显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．【例5】（2005，绍兴）如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH⊥BE 于H ，连结EF 。

⑴求证：∠CEF＝∠BAH ,⑵若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。

⑴证明：∵CE 切⊙O 于E ，∴∠CEF=∠EBC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°∴∠ABE+∠EBC=90°，∵AH 丄BE ，∴∠ABE+∠BAH=90°∴∠BAH=∠EBC ，∴∠CEF ＝∠BAH⑵解： ∵CE 切⊙O 于E∴CE 2=CF ·BC ，BC=2CE=6∴CE 2=CF ·6，所以CF= 32 ∴BF=BC-CF=6－32 =92点拨：熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键．Ⅲ、综合巩固练习：（100分；90分钟）一、选择题（每题3分，共21分）1．如图2－4－6所示，是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1．2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）A ．0．036π平方米;B ．0．81π平方米;C ．2π平方米;D 、3．24π平方米2．某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案，其中使花坛面积最大的图案是（）A ．正三角形;B ．正方形;C ．圆;D ．不能确定3．下列说法：①如果两个三角形的周长之比是1：2，那么这两个三角形的面积之比是1：4；②平行四边形是中心对称图形；③经过三点有且只有一个圆；④相等的角是对顶角，其中错误是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．等腰三角形的一个内角为70°，则这个三角形其余的内角可能为（）A ．700，400B ．700，550C ．700，400或550，550D ．无法确定5．如图2－4－7所示，周长为68的矩形被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（）A ．98B ．196;C ．280D ．2846．在△ABC 中，若2|sin 1|cos )0A B -+-=，则∠C 的度数为（） A ．60o B ．30 o C ．90 o D ．45 o7．下列命题中是真命题的个数有（）⑴直角三角形的面积为2，两直角边的比为1。

2，则它的斜边长为10 ；⑵直角三角形的最大边长为 3 ，最短边长为l ，则另一边长为 2 ；（3）在直角三角形中，若两条直角边为n 2－1和2n ，则斜边长为n 2＋1；⑸等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每题3分，共27分）8．如图2－4－8所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC= 3 cm ．将△ABC 绕点B 旋转至△A ′BC ′的位置，且使点A 、B 、C ′三点在一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是_____．9．若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为346,,,S S S 则346,,,S S S 由大到小的排列顺序是：__________.10若菱形的一个内角为60°，边长为4，则它的面积是__________．11 已知数4，6，请再写出一个数，使这三个数中一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________（只需填写一个数）．12一油桶高 0．8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口（小口靠近上壁）斜插入桶内，一端到桶底内壁，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0．87m，则桶内油面的高度为__________.13 等腰三角形底边中点与一腰的距离为5cm，则腰上的高为__________cm．14 在平坦的草地上有 A、B、C三个小球，若已知 A球和 B球相距3米，A球与C球相距1米，则B球与C球可能相距________米．（球的半径可忽略不计，只要求填出一个符合条件的数）15 如果圆的半径为3cm，那么60°的圆心角所对的弧长为____cm．16 如图2－4－9所示，在正方形 ABCD中，AO⊥BD、OE、FG、HI都垂直于 AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知SΔAIJ=1，则S正方形=______.ABCD三、解答题（每题13分，52分）17. 已知：如图 2－4－10所示，在 Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，点D为BA上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．18. 今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可以忽略不计，请设计三种不同的修路方案，画图并简述步骤．19. 如图 2－4－11所示，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l 上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=60○，∠BPO=30○，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字）并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度．20. 如图2－4－12所示，EF为梯形ABCD的中位线．AH平分∠DA B交EF于M，延长DM交AB于N．求证：AADN是等腰三角形．。