安徽省淮南市2017届高考第二次模拟数学试题(文)含答案

2017届淮南市高三第二次模拟考试数学（文科）试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，若复数12iz i+=，则复数z =（ ）A C ．3 D ．52.已知全集U R =，集合{}20M x x a =+≥，(){}2log 11N x x =-<，若集合(){}13U M C N x x x ==≥ 或，那么a 的取值为（ ）A ．12a =B ．12a ≤C ．12a =-D ．12a ≥3.已知5个数依次组成等比数列，且公比为2-，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（ ） A ．2120-B ．2-C ．2110-D ．215- 4.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（位：℃）制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为（ ）A ．2B 5.设函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--，则函数()f x 是（ ）A ．偶函数，且在()0,1上是减函数B ．奇函数，且在()0,1上是减函数 C.偶函数，且在()0,1上是增函数 D ．奇函数，且在()0,1上是增函数6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，若正方形ABCD 四个顶点在双曲线C 上，且,AB CD 的中点为双曲线C 的两个焦点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B 1 D 1 7.如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）A ．4B ．8 C.16 D ．328.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A B D 9.已知P 是ABC △所在平面内一点，40PB PC PA ++=，现在ABC △内任取一点，则该点落在PBC △内的概率是（ ） A ．14 B ．13C.12 D ．23 10.已知函数()21sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈B ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈C.7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ 11.已知圆M 过定点()0,1且圆心M 在抛物线212y x =上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为PQ ，则弦长PQ 等于（ ）A．2 C.3 D ．412.已知定义在R 内的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，()()[](]1,1,11,3t x x f x x ⎧-∈-=∈，则当9,25t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()50f x x -=的不等实数根的个数是（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．7第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a = ，()1,2b =-，那么向量a 与b 夹角余弦值是 ．14.已知实数,x y 满足不等式组2435y x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y m x =-取得最大值时有唯一的最优解()1,3，则实数m 的取值范围是 ．15.已知正数,x y 满足220x y xy +-=，那么2x y +的最小值是 ．16.已知数列{}n b 是等比数列，12n a n b -=，11a =，33a =，n n n c a b =⋅，那么数列{}n c 的前n 项和n S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3sin b A c =，D 为AC 边上一点.（1）若24c b ==，53BCDS =△，求DC 的长；（2）若D 是AC 的中点，且4A π=，BD =ABC △的最短边的边长.18.近年来某城市空气污染较为严重，为了让市民及时了解空气质量情况，气象部门每天发布空气质量指数“API”和“PM2.5”两项监测数据，某段时间内每天两项质量指数的统计数据的频率分布直方图如下所示，质量指数的数据在[]0,50内的记为优，其中“API”数据在[]200,250内的天数有10天（1）求这段时间PM2.5数据为优的天数；（2）已知在这段时间中，恰有2天的两项数据均为优，在至少一项数据为优的这些天中，随机抽取2天进行分析，求这2天的两项数据为优的频率.19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，1AB AC PA ===，E ，F 分別是BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上.（1）求证：平面PAC ⊥平面EFM ； （2）求点A 到平面PBC 的距离.20.已知圆()2221:1F x y t ++=，圆()()2222:1F x y t -+=，0t <<，当两个圆有公共点时，所有可能的公共点组成的曲线记为C . （1）求出曲线C 的方程；（2）已知向量(a =，M ，N ，P 为曲线C 上不同三点，22F M F N a λμ== ，求PMN△面积的最大值.21.已知函数()ln f x x ax =-. （1）当2a e=时，求函数()f x 在x e =处的切线方程； （2）若关于x 的不等式ln 0x ax ->的解集有唯一整数，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l的参数方程为22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 和圆C 交于 A ，B 两点.（1）求圆心的极坐标；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()22f x x x =+--，()12g x x =+. （1）求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若x R ∀∈，()25f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围.2017届淮南市高三第二次模拟考试数学（文科）试题卷参考答案一、选择题1-5 BCCBD 6-10 CCADA 11-12 BD 二、填空题14.1m > 15.9216.()121n n -⋅+ 三、解答题17. 解：（1）2c b = ，∴sin 2sin C B =，1sin sin sin 3A B C =，∴2sin 3A =， ∴18sin 23ABC S bc A ∆==，52,,3BCDBCD ABCS CD AC S AC S ∆∆∆===， ∴54CD =. （2）在ABD ∆中，4A π=，c A b =sin 3则b c 223=，221264c b +=，解得6b c ==.在ABC ∆中，224368222cos 2222a bc a c b A -+=-+==，解得52=a ∴ABC ∆的最短边的边长18. （1）这段时间的天数为100.2540÷=天.PM2.5的数据为优的天数为()401.000550.⨯-⨯-⨯-⨯⨯=天.（2）两项数据为优的各有3天，其中有两天的两项数据均为优，所以还有两天只有一项数据为优.设这四天为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙这两天数据均为优，则在至少一项数据为优的这些天中，随机抽取两天进行分析，基本事件为:{}甲，乙，{}甲，丙，{}甲，丁，{}乙，丙，{}乙，丁，{}丙，丁共6个，设“随机抽取两天，这两天的两项数据均为优”为事件M ，则事件M 包含的事件有1个，则61)(=M P . 19. （Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB BC =，135BAD ∠=︒，所以AB AC ⊥.又因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，所以可得得EF AB ∥，所以EF AC ⊥ 又因为PA ⊥底面ABCD ，EF 在底面ABCD 内，所以PA EF ⊥.又因为PA AC A = ，,PA PAC AC PAC ⊆⊆平面平面,所以EF ⊥平面PAC. 又因为EF EFM ⊆平面，所以平面PAC ⊥平面EFM . （Ⅱ）设点A 到平面PBC 的距离为d ,由（Ⅰ）可知三角形ABC 为等腰直角三角形，可求1122ABC S AB AC =⨯= , 又因为PA ⊥底面ABCD ，可求三角形PBC是边长为可求2PBC S == 所以由11,33P ABC A PBC ABC PBC V V PA S d S --=⨯⨯=⨯⨯ 可得,所以，11ABCPBCPA S d S ⨯⨯=== 20. 解（1）曲线C上的点满足12122PF PF F F +=>=, ∴曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆∴1,1a c b ===∴曲线C 的方程是2212x y +=（2）∵22F M F N a λμ==，∴2,,M N F 三点共线，且直线MN l∴直线MN l 的方程为)1y x =-， 与椭圆方程联立得271240x x -+=，∴MN =7=.设),sin Pθθ，∴P 到直线MN l 的距离d ==，∴max d =∴MNP S .21. 解：（1）2a e =时，12()=f x x e '-，1()=f e e'-，()=1f e - ∴()f x 在x e =处的切线方程为()11y x e e +=--，即10x y e+=，（2）由ln 0x ax ->得ln xa x<，令∴21ln ()=xg x x -'，()=0g x '时，x e =()0,x e ∈时()>0g x '，()g x 单调递增，(),x e ∈+∞时()<0g x '，()g x 单调递减∴max 1()()g x g e e==， ∴()1,x e ∈时，()g x 单调递增，(),4x e ∈时，()g x 单调递减， 又∵1(2)(4)ln 22g g ==，1(3)ln 33g =， ∴要使不等式ln 0x ax ->的解集有唯一整数，实数a 应满足11ln 2ln 323a ≤<，∴a 的取值范围是11ln 2,ln 323⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22. 解：（1）由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=,得224x y y +=,故圆C 的普通方程为2240x y y +-=,所以圆心坐标为()0,2,圆心的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭.（2）把22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=得24t =， 所以点A ，B 对应的参数分别为122,2t t ==- 令202t+=得点P 对应的参数为04t =- 所以10202424628PA PB t t t t +=-+-=++-+=+=，法二：把22x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩化为普通方程得2y x =+ 令0y =得点P坐标为P ，又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心，故28PA PB PC +==23.（Ⅰ）由题可得()4,22,224,2x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，当2x <-时，由())(x g x f ≥可得92x ≤-，所以92x ≤-；当22x -≤≤时，由())(x g x f ≥可得12x ≥，所以122x ≤≤；当2x >时，由())(x g x f ≥可得72x ≤，所以722x <≤；综上可得，不等式())(x g x f ≥的解集为917,,222⎛⎤⎡⎤-∞- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ .（Ⅱ）由（Ⅰ）得()4,22,224,2x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩,所以()min 4f x =-，若∀x ∈R ，()25f x t t ≥- 恒成立，解得41≤≤t ，综上，t 的取值范围为[]4,1.。