2007-2008年第一学期概率论考试试卷A答案
概率论(2007-2008上)试题1
2007 /2008 学年（上）学期期末考试试卷《 概率论与数理统计 》试卷（ 卷）(0.025(1.645)0.95,(1.96)0.975,(15) 2.13,t Φ=Φ==注:参考数据)0.050.0250.05(15) 1.753,(16) 2.12,(16) 1.746t t t ===一（10分） 某工厂有三部机器 A 、B 、C ，它们的产品分别占全部产品的25%、35%、40%，相应的废品率分别是5%、4%、2%。
今从全部产品中任取一个，试求它是废品的概率。
二（10分）已知1()(),3P A P B == 1(),6P A B = 求(),().P AB P A B三（15分）设袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取到黑球为止，分别就（1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形计算取球次数的数学期望、方差与标准差。
四（15分）设二维连续随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(2),(,)0,x y Ce f x y -+⎧=⎨⎩0;.x y <<其它 求：（1）常数C ；（2）概率(3)P X Y +≤；(3)判断X 与Y 是否独立。
五（10分）某工厂有300台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q 千瓦。
由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。
试问：需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.975?六（10分）设123456,,,,,X X X X X X 是来自总体2(0,3)N 的样本，试求统计量21232456()()X X X Y X X X ++=+- 所服从的分布。
七（15分）求下列点估计：（1） 设总体X 的密度函数为||1(,)2x f x e θθθ-=，0θ>是未知参数；12,,,n X X X 是来自X 的一个样本，12,,,n x x x 是其相应的样本观测值，试求参数θ的最大似然估计量；（8分） （2）设总体X 的概率密度函数为：1,01,(;)0,x x p x θθθ-⎧<<=⎨⎩其它.。
概率论试题(A)含解答
2008～2009学年第一学期 《概率论》课程考试试卷（A 卷）（闭卷）院(系)_________专业班级__________学号_________姓名__________考试日期:2008年7月3日考试时间:PM ：3:00-5:30一．是非题（共4分，每题1分） 在（ ）中填√或 ×1．设随机事件,A B 满足0)(0)(>>B P A P ，，则表示式 AB =Ø和()()()P AB P A P B = 不可能同时成立. （ ） 2．二维均匀分布的随机变量的边缘分布不一定是一维均匀分布. （ ） 3．若随机变量X 的方差不存在，则X 的数学期望也不存在.（ ）4．设随机变量Y X ，不相关，则随机变量d cY V b aX U +=+=，也不相关， 其中d c b a ，，，为常数，且c a ，不为零． （ ）是是非是cov(aX+b,cY+d)=cov(aX,cY)+cov(aX, d)+cov(b,cY)+cov(b,d)=accov(X,Y)=01. 设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则.)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P B2．已知随机变量X 的概率密度函数为 4 C其中 λ>0 , A 为常数，则P(λ <X < λ+a )（A ）与 a 无关，随 λ 的增大而增大； （B ）与a 无关，随 λ 的增大而减小； （C ）与 λ 无关，随a 的增大而增大； （D ）与 λ 无关，随 a 的增大而减小；3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥=,2{0}{0}5P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥=(C) (A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 454. 设随机变量X 的分布函数为)21(7.0)(3.0)(-Φ+Φ=x x x F ，则=EX ( ) C(A) 0； (B) 3.0； (C) 7.0； (D) 1.5. 设)(1x f 为)1,0(N 的概率密度，)(2x f 为)3,1(-U 的概率密度，若函数12(),0()(),0af x x f x bf x x ≥⎧=⎨<⎩为概率密度，则有 ( ) A;(A) 42=+b a ； (B) 42=-b a ； (C)1=+b a ； (D) 1=-b a得 分 二. 选择题（15分，每题3分）评卷人1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P AB =,则()|P A B =（2/3 ）2．设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,则XY e =的数学期望为（ ） 1e - 3．设X ~(,)b n p 为二项分布,且() 1.6E X =,() 1.28D X =,则p =8,0.2n p ==4. 设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得{}12P X -≥≤.1/125．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,，则有(B)(A) ()|0P B A =;(B)()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =;(D)()()P AB P A =6. 叙述随机序列{n η}服从弱大数定律的定义.(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率. (注：答案需整理单列，否则扣1分)得 分 三. 填空题（18分，每题3分）评卷人得 分 四.(12 分) 假设有两箱同种零件，第一箱装50 件，其中10 件一等品；第二箱装30 件，其中18 件一等品. 现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机地取出两个零件（取出的零件不放回）.求：评卷人,02,(,)0,A x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩其他（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（3）X 和Y 是否独立? 说明理由。
2007-2008学年第一学期考试试卷(A卷)参考答案
浙江工商大学2007/2008学年第一学期考试试卷（A卷）参考答案一、单项选择题（每小题1分，共20分）：题号号二、判断题（对的打“√”，错的打“×”，每小题2分，共20分）题号三、简答题（每小题6分，共30分）1、简述马克思主义中国化的科学内涵。
马克思主义中国化，就是将马克思主义的基本原理同中国的具体实际相结合。
（2分）具体地说，“就是要使马克思列宁主义这一革命科学更进一步地和中国革命实践、中国历史、中国文化深相结合起来”，使马克思主义在其每一表现中都带有中国的特性，带有新鲜活泼的、为中国老百姓所喜闻乐见的中国作风和中国气派，使其在中国进一步民族化和具体化。
（2分）马克思主义的基本原理同中国的具体实际相结合的过程，一方面是在实践中学习和运用理论，用理论指导实践的过程；另一方面又是在总结实践经验的基础上深化对理论的认识并丰富和发展理论的过程。
（2分）2、简述实事求是思想路线的基本内容及其重新确立的重大意义。
《中国共产党章程》把党的思想路线的基本内容完整地表述为：“一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。
”（3分）实事求是思想路线的重新确立，有利地推动和保证了拨乱反正的进行，推动了改革开放的伟大实践。
（3分）3、简述社会主义初级阶段的科学内涵及其基本特征。
（2条总体特征为必答内容，具体特征可选取其中2条，多答不限）社会主义初级阶段，不是泛指任何国家进入社会主义都会经历的起始阶段，而是特指我国生产力发展水平不高、商品经济不发达条件下建设社会主义必然要经历的特定历史阶段。
（2分）它包括两层既相对区别、又紧密联系的基本含义：第一，我国社会已经是社会主义社会。
我们必须坚持而不能离开社会主义。
第二，我国的社会主义社会还处在初级阶段。
我们必须从这个实际出发，而不能超越这个阶段。
前一层含义阐明的是初级阶段的社会性质，后一层含义则阐明了我国现实中社会主义社会的发展程度。
（2分）党的十五大对社会主义初级阶段的基本特征做出了新的概括，强调指出：社会主义初级阶段，一是逐步摆脱不发达状态，基本实现社会主义现代化的历史阶段；二是由农业人口占很大比重、主要依靠手工劳动的农业国，逐步转变为非农业人口占多数、包含现代农业和现代服务业的工业化国家的历史阶段；三是由自然经济半自然经济占很大比重，逐步转变为经济市场化程度较高的历史阶段；四是由文盲半文盲人口占很大比重、科技教育文化落后，逐步转变为科技教育文化比较发达的历史阶段；五是由贫困人口占很大比重、人民生活水平比较低，逐步转变为全体人民比较富裕的历史阶段；六是由地区经济文化很不平衡，通过有先有后的发展，逐步缩小差距的历史阶段；七是通过改革和探索，建立和完善比较成熟的充满活力的社会主义市场经济体制、社会主义民主政治体制和其他方面体制的历史阶段；八是广大人民牢固树立建设有中国特色社会主义共同理想，自强不息，锐意进取，艰苦奋斗，勤俭建国，在建设物质文明的同时努力建设精神文明的历史阶段；九是逐步缩小同世界先进水平的差距，在社会主义基础上实现中华民族伟大复兴的历史阶段。
概率论与数理统计2007—2008学年第一学期期末考试试卷及参考答案与评分标准
2007-2008学年第一学期期末考试试卷考试科目：概率论与数理统计 得 分：学生所在系： _________ 姓名 ______________ 学 号：______________________（考期：2008年1月22日，闭卷，可用计算器）一、 （15分）一串0,1数字（独立同分布）组成的序列中1的概率p 代表了某种有用的 信息，由于某种原因需要对其保密。
现对该串数字进行随机加密，对序列中的每一个数字抛 一枚硬币（每次正面出现的概率为〃），若抛出的为正面，则原序列的数字不变，若抛出的 为反面，则原序列中相应的数字由工变成1-工（即0变成1, 1变成0）。
加密后的序列可 以公布，其中1的概率p*可以估计出来。
若知道〃的值，就可以从加密后的序列中的1的频 率为〃*计算出原序列的p,所以〃称为“密钥”。
（1） 现己知p = 0.7 ,如果“密钥” "=0.4,试求p ；（2） 试说明为什么均匀硬币（7 = 0.5）不适合用来加密。
二、 （15 分）设随机变量 X 满足：| X |< 1, P （X = -1） = 1/8, P （X = 1） = 1/4 ,而且, X 在（-1, 1）内任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。
试求：（1） X 的概率分布函数F （x ） = P （X < x ）；（2）X 取负值的概率； （3） X 的数学期望项X ）。
三、（20分）二维随机变量（X,F ）的密度函数为:（1）试求系数A = ? ； （2） X 与Y 是否独立?（3）试求Z = X + Y 的密度函数心（z ）；(4) 试求W (X|X + y = l)of(x, y)=（而-（35）3 > 0, > > 0)其他四、（20分）设样本（X“X2，・・・,X〃）抽自正态总体X ~N（", 1）,々为未知参数（1）试求0 = P（X>2）的极大似然估计0"（结果可用（D（.）的形式表示）;（2）写出日的（1一。
2007-08概率统计A卷试题及答案
2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷答案一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = 0.3 ． 解 已知()0.2,()0.6P A B P A B == ，0.2()()()()2()P A B P A P B P AB p P AB ==+-=- ，0.6()1()1()P A B P A B P AB ==-=- ，()0.4P AB =， 0.3p =2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．解 设A 表示事件“甲乙相邻而坐”。
样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A 包含的基本事件数为1129!⨯⨯11292()0.21110P A ⨯⨯===！！ 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x ，有limn x P →∞⎫≤=⎬⎭()x Φ或22t xdt -⎰． 4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= 16 ．解 (21)(2)D X Y D X Y -+=-(2)()2cov(2,)D X D Y X Y =+- 4()()4cov(,)D X D Y X Y =+-4()()4XY D X D Y ρ=+-=165．设~(0,1)X N ，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ 0．975 ．解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即{}0.0251.96P X =≥{}1.96P X =≤{}110.0250.9751.96P X -=-=>6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k =11n -时， 221()ni i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．7．设总体2~(,)X N μσ，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，2σ未知，若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠~ t (n-1).二、选择题（每小题3分，满分18分）X Y 与满足条件()()()D X Y D X D Y +=+， 则下面结论不成立的是（ C ）（A ）X Y 与不相关．（B ）()()()E XY E X E Y =．（C ）X Y 与相互独立． （D ）cov(,)0X Y =．2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2()0,||.2k x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ B ）（A ）14． （B ）12． （C ）0． （D ）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ） （A ）112． （B ）0． （C ）12． （D ）1． 解 设1,i 0,i i X ⎧=⎨⎩第个战士拿到自己的枪，第个战士没拿到自己的枪，1,2,,12i = ，则1(),12i E X = 设X 表示拿到自己枪的人数.则121i i X X ==∑1212111()()12112i i i i E X E X E X ==⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭∑∑4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ A ） （A ）()()()Z X Y F z F z F z =．（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--．（C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ C ）（A ）1022211~(9)kk Xχσ=∑．（B ）1021~(9)k k X t =∑．（C ）1022211~(10)k k X χσ=∑． （D ）1021~(10)k k X t =∑．6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ B ） （A ）221/2(1)a n χχ-≤-． （B ）221(1)a n χχ-≤-． （C ）221/2()a n χχ-≤．（D ）221()a n χχ-≤．三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率． 解 设A 表示“系统发生故障”的事件，i B 表示“有i 个元件发生故障”的事件，1,2,3i =；由全概率公式 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 由已知，1()0.25P A B =，2()0.6P A B =，3()0.95P A B =1213()0.20.80.384P B C =⨯⨯= ，2223()0.20.80.096P B C =⨯⨯= ，3333()0.20.008P B C ==所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P 2．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 2.0 a b若()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.解 (1)由 0.10.21a b +++=,()E X =10.100.212a b -⨯+⨯+⨯+⨯=1,解得a =0.3, b =0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.{}0P Y =={}0P X ==0.2,{}1P Y =={}1P X =-+{}1P X ==0.1+0.3=0.4, {}4P Y =={}==2X P 0.4, 因此Y=X 2 的分布律为Y 0 1 4 P 2.0 0.4 0.43．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,0<1,(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数A ； （2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤． 解（1）由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有 1001d d 6yAy Ax x ==⎰⎰，得6A =； （2）()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰, 当0x ≤或1x ≥时，()X f x =0,当01x <<时，1()6d 6(1)X x f x x y x x ==-⎰， 所以6(1),01;()0.X x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它同理 23,01;()0.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它（3）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与不相互独立 （4）11201(1)6d d 4xx P X Y x x y -+≤==⎰⎰.4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为0;e ,()0,0.xX x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 20;1e ,()20,0.yY y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的概率密度．解法1 由卷积公式 ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=-⎰因为e >0;()00.xX x f x x -⎧=⎨≤⎩ 21e>0;()200.yY y f y y -⎧⎪=⎨⎪≤⎩所以 0()()()d e ()d xZ X Y Y f z f x f z x x f z x x -+∞+∞-∞=-=-⎰⎰e ()d t zY z t z x f t t --∞=--⎰令e()d t zzY f t t --∞=⎰当0z ≤时 ()e ()d 0t zzZ Y f z f t t --∞==⎰ 当0z >时 201()e ()d ee d 2tt zt zzzZ Y f z f t t t ----∞==⎰⎰2e (e 1),z z -=- ()()()d Z X Yf z f x f z x x +∞-∞=-⎰2e (e 1),0,0,0.zz z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩解法2 先求Z 的分布函数()Z F z . 联合密度函数为21,0,0,(,)()()20,,y x X Y e e x y f x y f x f y --⎧>>⎪==⎨⎪⎩其它(){}{}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰当0z ≤时, ()(,)0,Z x y zF z f x y dxdy +≤==⎰⎰当0z >时, 21()(,)2yx Z x y zDF z f x y dxdy e e dxdy --+≤==⎰⎰⎰⎰20012yzz x x e dx e dy ---=⎰⎰221z ze e --=-+分布函数为 221,0()0,0z z Z e e z F z z --⎧⎪-+>=⎨⎪≤⎩再求导,得概率密度 2e (e 1),0,()()0,0.zz Z Z z f z F z z -⎧⎪->'==⎨⎪≤⎩5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量． 解 设12,,,n x x x ，相应的样本观测值，则似然函数为2()22122221L(,)11exp ()22i x ni nni i x μσμσμπσσ--===⎛⎫⎧⎫=--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑取对数，得222211ln L(,)(ln 2ln )()22n i i n x μσπσμσ==-+--∑将2ln L(,)μσ分别对μ与2σ求偏导数，并令其等于零， 得方程组2122241ln 1()0ln 1()022ni i ni i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 解此方程组，得到参数μ和2σ的最大似然估计值是12211ˆ;1().n i i ni i x x n x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 因此,μ和2σ的最大似然估计量是12211ˆ;1().n i i ni i X X n X X n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >． 证明 因为()(|)()()()()()(|)()1()1()P AB P A B P B P AB P A AB P A P AB P A B P B P B P B =--===--由 (|)(|)P A B P A B >， 所以得()()()()1()P AB P A P AB P B P B ->- ()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->- ()()()P AB P A P B ∴>从而 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-即()()()()P AB P A P A P BA > ()()()()P AB P BA P A P A > 所以(|)(|)P B A P B A >．2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{}21202ni i n P X n n=-<<≥∑． 证明 根据2221~()ni X n χχ=∑，且22(),()2E n D n χχ==，由切比雪夫不等式，有{}{}2221|()|02ni P P E nX n χχ=-<<<∑22()21D n n nχ-≥-=．。
2007-2008年第一学期概率论考试试卷A
课程代码： 座位号：新疆大学2007—2008学年度第一学期期末考试《概率论与数理统计》试卷A姓名: 学号: 专业:学院: 班级:2008年1月一、填空题（每空3分，共36分）1. 从某班学生中任选一名学生，设A 为“选到一名女生”，B 为“选到一名数学爱好者”，C 为“选到一名歌手”.（1）用文字表述C B A 为 ；（2）在 条件下，ABC ＝A ；（3）B A =且C A =用文字描述为 。
2.已知1(),()3P A P A ==则 。
3.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,其概率密度为 。
4. 已知X~N(0,1),且Y = -2X-1,则E(Y)= ,D(X)= .5.统计量是指.6.设总体X 中抽得样本X 1 ,X 2 ,…,X n ,其样本均值可表示为 ，样本方差可表示为： 。
7.设X~ N(μ, σ2)，从总体X 中抽取容量为n 的样本X 1 ,X 2 ,…,X n ,样本均值与样本方差分别是2S X ，,则~ ,2211()~ni i X μσ=-∑ 。
二、计算题(共64分)1.(15分)已知10支晶体管中有3个次品，现从中不放回地连续依次取出两支，求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率；（3）求两次都是次品的概率。
2.(10分) 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p，某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买1张，直到中奖为止，求该人购买奖券数的概率分布.3.(10分)一位教师对8名学生的高考成绩进行猜测，如果说教师猜对每名学生成绩的可能性均为1/4,问： （1）平均能猜对几名学生的成绩？ （2）猜对6名或6名以上学生成绩的概率是什么？4.(15分)设随机变量X 的概率密度为 ,01()0,kx x f x α⎧<<=⎨⎩其它, 已知E(X)=0.75.求：(1)常数k,α；(2)分布函数F(X)。
5.(14分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：1,||,01(,)0,y x x f x y <<<⎧=⎨⎩其它求：（1）cov(X,Y); (2)验证X 与Y 是否独立；（3）验证X 与Y 是否相关。
山东建筑大学2007-2008(1)概率论与数理统计试题(A卷)解答
1 3
（B）
2 5
（C）
1 5
（ D）
4 15
二．填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 一个均匀骰子，掷一次，朝上那面点数不小于 2 的概率是___5/6_____. 2. 射击两次，事件 Ai 表示第 i 次命中目标（i=1,2） ，则事件“至多命中一次”可表示为
A1 A2
.
3. 设 P ( A) 0.5, P ( B ) 0.6, P ( A B ) 0.9 , 则 P(B-A)=___0.4_______. 4. 设随机变量 X~N（0,1） ，φ（x）为其分布函数，则φ（x）+φ（-x）=___1____. 5. 设 X 与 Y 相互独立，且 D(X)=3,D(Y)=5，则 D(2X-Y+1)=_17___. 三．解答下列各题（每小题 6 分，共 30 分） 1. 一口袋装有 4 只白球, 5 只红球. 从袋中任取一只球后, 放回去, 再从中任取一只球. 求下列事 件的概率: 1) 取出两只都是红球; 2) 取出的是一只白球, 一只红球. 解：以 A 表示事件“取出两只都是红球” ，以 B 表示“取出的是一只白球, 一只红球” 。 由于是有放回取球，因而样本点总数 n=9×9=81。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 有利于事件 A 的样本点数 k1=5×5＝25 事件 A 发生的概率为 P(A)=k1/n=25/81。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 有利于事件 B 的样本点数 k2=2×4×5＝40 事件 B 发生的概率为 P(B)=k1/n=40/81。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 2. 有两个口袋，甲袋中盛有 2 个白球，1 个黑球；乙袋中盛有 1 个白球，2 个黑球。由甲袋中任 取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，求从乙袋中取得白球的概率。 解：以 A 表示 “从乙袋中取得白球” ，以 B1、B2 分别表示从甲袋中取得白球、黑球。 由于 B1∪B2=Ω， 可用全概率公式 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2) =2/3×2/4+1/3×1/4 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 =5/12 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分
概率论期末复习
F 0 .05 ( 7 , 8 ) 3 . 5 t 0 .05 ( 17 ) 1 . 74 t 0 .025 ( 15 ) 2 . 13
F 0 .05 ( 8 , 9 ) 3 . 23 t 0 .025 ( 17 ) 2 . 11 t 0 .05 ( 15 ) 1 . 75
F 0 .025 ( 8 , 9 ) 4 . 10
7.总体的未知参数 的点估计 ˆ 1 比 ˆ 2 有效指的是_____。
8.设 ( X , X , , X ) 为总体 X 的一个样本，则总体 X 的方差的矩估计量为_____。
1 2 n
二、(12分)甲、乙、丙三人独立的向飞机各射击一次， 命中率分别为0.5，0.6，0.7， (1) 求飞机被击中的概率； (2) 已知飞机被击中一次，求甲击中飞机的概率。
关于X的边缘概率密度
fX (x)
5.设随机变量X~N(5,4)，则P{X<13/2}+P{X<7/2}=___.
6.随机变量X与Y的相关系数越接近于1，则 X,Y的 线性相关程度越 . 7.在区间(0,1)中随机的取两个数， 则事件“两数之和小于4/3”的概率为_____.
8.设总体X在区间[1,b]上服从均匀分布，b>1未知， 则对于来自总体的样本值(2.3, 1.6, 2.7, 2.2, 1.3, 1.1), b的矩估计值为____.
(B )P{ X x} f ( x )
(C ) P { X x } F ( x ) ( D ) P { X x } F ( x )
4. 设正态总体期望的置信区间长度 则其置信度为
( A)
2
L
2S n
t ( n 1)
南昌航空大学概率论期末考试 2007—2008第一学期
2007—2008第一学期一、填空题（每空2分，共16分）1．某地区成年人患结核病的概率为015.0，患高血压的概率为08.0。
设这两种病的发生是相互独立的，则该地区内任一成年人同时患为两种病的概率为0012.0。
2．一批产品中有10个正品和2个次品，现随机抽取两次，每次取一件，取后不放回，则第二次取出的是次品的概率是6/1。
3．设C B A ,,为三个随机事件，41)()()(===C P B P A P ，)()(AC P AB P = 61)(==BC P ，0)(=ABC P ，则=⋃⋃)(C B A P 41。
4．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=其它,011|,|)(x x x f ，则=)(X E 0 。
5．已知1)(=X E ，2)(=Y E ，3)(=XY E ，则Y X ,的协方差=),Cov(Y X 1 。
6．设总体X 服从参数为λ的指数分布，其中λ未知，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，则λ的矩估计为∑==n i i X n 11ˆλ。
7．设总体X 服从正态分布),(2σμN ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，2S 为样本方差，且)1(~222-n cS χσ，则常数=c 1-n 。
8．设随机变量Y X ,相互独立，)(~12n X χ，)(~22n Y χ，则随机变量~//21n Y n X ),(21n n F 。
二、有两箱同类型的零件，第一箱装30只，其中10只一等品，其它为次品；第二箱装40只，其中18只一等品，其它为次品。
现从两箱中任取一箱，然后再从该箱中任取一只零件。
1）求此零件是一等品的概率；2）若已知取出的是一等品，问该零件取于第二箱的概率。
（12分）用i A )2,1(=i 表示第i 箱的产品，用B 表示取到一等品，则5.0)()(21==A P A P ，31)|(1=A B P ，209)|(2=A B P 1）12047)()|()()|()(2211=+=A P A B P A P A B P B P 2）4727)()()|()()()|(2222===B P A P A B P B P B A P B A P 。
2007—2008学年概率论第一学期期终考试及参考答案
¯ ∼ N (0, 1), X ¯ − 1 ∼ N (−1, 1). (2) X 7. (1) E (X ) =
θ , θ +1
ˆ MM = θ
¯ X ¯; 1−X n i =1
(2) ln L(θ) = n ln θ + (θ − 1)
ln Xi , θ MLE = −
n i=1
n . ln Xi
1
上
专业
海
班级
海
事
姓名
大
学
学号
试
卷
得分
概率论与数理统计(卷A): 20080114
本试卷共8大题(第1, 2, 5, 6题每题10分, 第3, 4, 7, 8题每题15分) 可能用到的分位点表如下: z0.05 = 1.645 z0.0025 = 1.960 t0.025 (27) = 2.0518 t0.05 (27) = 1.7033 t0.025 (28) = 2.0484 t0.025 (29) = 2.0452 t0.05 (29) = 1.6991 t0.05 (13) = 1.7709 F0.025 (11, 16) = 211) = 3.28 F0.025 (7, 6) = 5.70 F0.025 (6, 7) = 5.12 1. 设A, B为两事件, 已知P(A) = 0.3, P( B) = 0.5, 计算: (1) 若A, B相互独立, 求P(A ∪ B); ¯ ). (2) 若P(A| B) = 0.4, 求P(A| B
3 8. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 从两条自动化流水线上分别抽取样 本(X1 , · · · , X12 )与(Y1 , · · · , Y17 ), 观测后算得 x ¯ = 10.6(g), y ¯ = 9.5(g), s2 1 = 2.4, 2 s2 = 4.7, 假 设 这 两 条 流 水 线 上 灌 装 的 番 茄 酱 的 重 量 分 别 服 从 正 态 分 2 2 2 布N (µ1 , σ2 1 )与 N (µ2 , σ2 ), 且相互独立. µ1 , σ1 , µ2 , σ2 均未知. 求:
(答案)-08级《线性代数与概率论》(A)期末考试试题
08级《线性代数与概率统计》期末考试试题（A 卷）2009学年（1）学期《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。
”姓名：___________________学号：____________________分数：____________________（答案一律写在答题纸上）一、是非题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”）（共10分）1、设A 是m ×n 矩阵，若m <n ，则A X=0有无穷多个解。
（ √ ）2、对于随机变量X 、Y ，若ρXY ≠0，则X 与Y 必定不相互独立。
（ √ ）3、基础解系中的解向量一定线性无关。
（ √ ）4、已知()(),A B A B A B A B C ++++++=则C =B 。
（ √ ）5、交换行列式的某两行，行列式的值变为相反数。
（ √ ）6、将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币均匀是合理。
（ × ）7、包含有θ向量的任意一个向量组一定线性相关。
（ √ ） 8、对于事件A 、B 、C ，必定有A +（B -C ）=A +B -C 成立。
（ × ） 9、[1]是单位矩阵，但不是初等矩阵。
（ × ）10、在样本空间S 中存在两个事件A 、B 满足()()()A B P AB P A P B φ⋂==且（ √ ）二、选择题（20分）1、已知A 、B 、C 为某随机试验中的事件，则下列各式一定正确的是（ D ） （A ）();A B B A -+= （B ）()();A B C A B C +-=+- （C ）;A C B C A B +=+⇒= （D ）以上答案都不一定正确2、设ξ～f （x ），如果恒有0≤f （x ）≤1，则（ D ） （A ）1N(,);25ξμ（B ）2N(1,);ξσ（C ）21N(,);25ξσ（D ）N(,2)ξμ3、设向量组123,,ααα线性无关，向量β1可由123,,ααα线性表出，而向量β2不能由123,,ααα线性表出，则对于任意常k ，必有（ A ）。
08概率论试题A含答案
线
学 号：
广东工业大学考试试卷 ( )
课程名称:
概率论与数理统计
试卷满分 100 分
考试时间: 2008 年 6 月 27 日 ( 第 18 周 星期 五 )
一、单项选择题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
1. 已知 P(A) 0.5 , P(B) 0.4 , P(A B) 0.6 , 则 P(A B) = ( )
fY ( y)
2
y
0
（2）
(0 y 4 ), (其 他).
X+Y
0
１
２
pi
0.2
0.4
0.4
（4） B
Y2
0
１
pi
0.3
0.7
（3） 1/9 （4）0.0062 （5） P( A , ˆ2 ; ˆ2 （6） ,
三、解 设 A={患有肺癌}, B={可疑病人吸烟}, 则由条件得：
（1） 试取α =0.05，检验假设 H0:μ =10 H1:μ 10;
(6 分)
（2） 求σ 的置信度为 0.95 的置信区间.
(4 分)
备用数据：x2 分布、t 分布的上侧α 分位数
x
2 0.05
(8)=15.507
x
2 0.025
(8)=17.535
x
2 0.975
(8)=2.180
t 0.025 (8)=2.3060
广东工业大学试卷用纸，共 8 页，第 7 页
广东工业大学试卷用纸，共 8 页，第 8 页
八、(8 分) 证明：（契比雪夫大数定理）设随机变量 X1, X 2 , , X n ,
《概率论》考试试题(含答案)
《概率论》考试试题（含答案） ................................................................................................... 1 解答与评分标准 . (3)《概率论》考试试题（含答案）一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12(),()23P A P B == 则()P AB 可能为（ ） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ ）(A)12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A)518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3xxa be F x e +=+，则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B =_____.2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22af x x x =++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______.三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为, 03()10, x<0x>3Ax f x x⎧⎪=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望.五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是η＝1 η=2 η＝4 η＝5ξ＝0 0.05 0.12 0.15 0.07 ξ＝1 0.03 0.10 0.08 0.11 ξ＝2 0.070.010.110.10(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？ (注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=)九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明AB 与C 相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________.十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824 假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)解：1(18201834183118161824)18255ξ=++++=-------------------2分 已知10.95, 0.05αα-==，0.02521.96u u α==---------------------------5分10σ=，n=5,0.025210 1.96108.7755u u nασ⨯===-------------------8分所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分解答与评分标准一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分四．解：（1）⎰⎰∞∞-==+=34ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）⎰==+=<1212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3300()()[ln(1)]1AxE xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 10--------------------------------2分 η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη⋅的分布列为ξη⋅0 1 2 4 5 8 10。
2007-2008a(参考答案)
华东政法大学2007-2008学年第一学期期末考试商学院07级各专业《高等数学》A 卷参考答案一、填空题（每题2分，共20分）(1) e(2) 0(3) -2(4) 0(5) 3(6) C x F +-)(c o s(7) xdy x dx yxy y ln 1+- (8) ⎰⎰ee y dx y xf dy ),(10(9 ) 1/2 (10) 222-。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分）(1) C (2) B (3) D (4) A (5) A (6) B (7) C （8）A （9）C （10）A三、计算题（每小题6分，共30分）1、解：x x xf x x dt t tf x x x x F 2)(0)(00lim lim )(lim 20→→→=⎰= （3分）2/)(lim 0x f x →= 02/)0(==f （5分）所以当0=x 时，F （x ）在x=0处连续。
（6分）2、解：)111111(1lim )21111(lim 1nn n n n n n n n +++++=++++∞→∞→ n n i n i n 111lim 1∑=∞→+= （2分） ⎰+=1011dx x （4分）2ln |)1ln(10=+=x （6分）3、解：323552x x y -= 0)'52(332351310'＝令x x x x y -=-=，所以x=1是函数的稳定点。
X=0是函数的不可导的点，这两点是可能的极值点。
在0)('),0,(>-∞x f ,0)('),1,0(<x f ,0)('),,1(>∞x f所以函数的单调区间增区间为)0,(-∞),1(∞，单调递减区间为)1,0(在点x=0处，函数取得极大值0； 在点x=1处，函数取得极小值－3。
（3分）)12()'(''3239101310+==--x x y x x 令,0''=y 则x=-1/2，则在0)(''),,(21<--∞x y ，0)(''),,(21>+∞-x y ，因此，函数在区间),(21--∞内凸，在),(21+∞-内凹。
概率论与数理统计2007~2008学年期中考试试题
概率论与数理统计试题 班 姓 学号 第 1 页2007~2008学年第一学期概率论与数理统计期中考试试题1、已知,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 求)(AB P .2、设7.0)(,4.0)(==B A P A P ,若A 与B 相互独立， 求P (B ).3、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，求第二个人取得黄球的概率.4、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=.,1,,,,0)(2b x b x a c x a x x F 又已知41}21{=≤X P ，求常数c b a ,,5、设),(~2σμN X ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为1/2， 求μ的值.6、设二维随机变量)Y X ，（的分布函数为 ⎩⎨⎧>>+--=----其它. ,0,0,0 ,1),(5.05.05.05.0y x e e e y x F y x y x问随机变量X 与Y 是否独立，为什么？7、若随机变量)4,1(~N X ，)5,2(~N Y ，且两随机变量相互独立， 试求随机变量Y X Z +=的概率密度. 二、（共32分，每题8分）1、设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x e x f x ,21)(||求随机变量X 的分布函数)(x F2、设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛6/16/26/16/210641~X ，（1）求X 的分布函数)(x F ；（2）求{}{}{}.4 ,51 ,62<<≤≤<X P X P X P3、设随机变量（X ，Y ）在区域G 上服从均匀分布，G 为x y x y ==与2所围城的区域. 试求（X ，Y ）的联合概率密度及边缘概率密度.4、设随机变量X 具有概率密度, 0,40 , 8)(⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它.x xx f X试求随机变量82+=X Y 的概率密度.三、(8分) 2、某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为60、30、10件，现从中随机抽取一件，记. ,0 ,1⎩⎨⎧=等品没有抽到等品若抽到i i X i ，求21X X ，的联合分布律.四、（10分）设随机变量X 和Y 相互独立，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=. ,010 ,1 )(其它，x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0 ,0,0 ,)(y y e y f yY求随机变量Y X Z +=的概率密度.五、（15分）设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-. ,0,0,0,),()32(其它y x Ae y x f y x （1）试确定常数A ； （2）求出),(Y X 的联合分布函数； （3）判断X 与Y 是否独立； （4）求}12{<+Y X P .试题 班级 姓名 学号 第2 页一 、（共35分，每题5分）1、已知,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 求___)(AB P .2、设7.0)(,4.0)(==B A P A P ,若A 与B 相互独立， 求P (B ).3、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，求第二个人取得黄球的概率.4、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.2/,1,2/0,sin ,0,0)(ππx x x A x x F（1） 求常数A ；（2）求)6/|(|π<X P .5、设),(~2σμN X ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为1/2，求μ的值.6、设二维随机变量)Y X ，（的分布函数为 ⎩⎨⎧>>+--=----其它. ,0,0,0 ,1),(5.05.05.05.0y x e e e y x F y x y x问随机变量X 与Y 是否独立，为什么？7、设随机变量X 服从均值为3的指数分布，求：]12[+X E ，]32[+X D . 二、（共32分，每题8分）1、设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x e x f x ,21)(||求随机变量X 的分布函数)(x F .2、设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛6/16/26/16/210641~X ，（1）求X 的分布函数)(x F ；（2）求{}{}{}.4 ,51 ,62<<≤≤<X P X P X P3、设随机变量（X ，Y ）在区域G 上服从均匀分布，G 为x y x y ==与2所围城的区域. 试求（X ，Y ）的联合概率密度及边缘概率密度.4、设随机变量X 具有概率密度, 0,40 , 8)(⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它.x xx f X 试求随机变量82+=X Y 的概率密度.三、(8分) 甲乙两人对同一目标进行射击，命中率分别为0.6、0.5， 在下列两种情形下，分别求事件“已知目标被机中，它是甲机中”的概率.(1)在甲、乙两人中随机地挑选一人，由他射击一次； (2)甲、乙两人独立地各射击一次.四、（10分）设随机变量X 和Y 相互独立，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=. ,010 ,1 )(其它，x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0 ,0,0 ,)(yy e y f yY 求随机变量Y X Z +=的概率密度.五、（15分）设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-. ,0,0,0,),()32(其它y x Ae y x f y x （1）试确定常数A ； （2）求出),(Y X 的联合分布函数； （3）判断X 与Y 是否独立； （4）求}12{<+Y X P . 一，1、已知,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 求___)(AB P .2、设7.0)(,4.0)(==B A P A P ,若A 与B 相互独立， 求P (B ).3、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，求第二个人取得黄球的概率. 4、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.2/,1,2/0,sin ,0,0)(ππx x x A x x F （1）求常数A ；（2）求)6/|(|π<X P .5、设),(~2σμN X ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为1/2，求μ的值.6、设二维随机变量)Y X ，（的分布函数为 ⎩⎨⎧>>+--=----其它.,0,0,0 ,1),(5.05.05.05.0y x e e e y x F y x y x问随机变量X 与Y 是否独立，为什么？7、若随机变量)4,1(~N X ，13+=X Y ，试求随机变量Y 的概率密度. 二、（共32分，每题8分） 1、设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x e x f x ,21)(||求随X 的分布函数)(x F .2、设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛6/16/26/16/210641~X ，（1）求X 的分布函数)(x F ；（2）求{}{}{}.4 ,51 ,62<<≤≤<X P X P X P3、设随机变量（X ，Y ）在区域G 上服从均匀分布，G 为x y x y ==与2所围城的区域. 试求（X ，Y ）的联合概率密度及边缘概率密度.4、设随机变量X 具有概率密度, 0,40 , 8)(⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它.x xx f X 试求随机变量82+=X Y 的概率密度.三、(8分) 甲乙两人对同一目标进行射击，命中率分别为0.6、0.5， 在下列两种情形下，分别求事件“已知目标被机中，它是甲机中”的概率.(1)在甲、乙两人中随机地挑选一人，由他射击一次； (2)甲、乙两人独立地各射击一次.四、（10分）设随机变量X 和Y 相互独立，其概率密度⎩⎨⎧≤≤=. ,010 ,1 )(其它，x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0 ,0,0 ,)(y y e y f yY 求随机变量Y X Z +=的概率密度.五、（15分）设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-. ,0,0,0,),()32(其它y x Ae y x f y x （1）试确定常数A ； （2）求出),(Y X 的联合分布函数； （3）判断X 与Y 是否独立； （4）求}12{<+Y X P . 一 、简单公式做题（每个问3分）1、已知 6.0)(,3.0)(,4.0)(===B A P B P A P 。
概率论试卷A参考答案(武)
试卷(A 卷)参考答案及评分标准考试方式：闭卷 学分: 3学分 考试时间：110 分钟一、填空题(每题 3 分，共 30分)1、率为85%．若某人今年已50岁，则他的寿命大于60岁 的概率为 0.88 ． 2、在假设检验问题中，当减小显著性水平α时，拒绝域将变 小 ． 3、设X 服从泊松分布，若26EX =，则(1)P X ==22e -．4、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ，则{},P a X b Y d <≤≤=(,)(,)F b d F a d -．5、设随机变量,X Y 相互独立，且均服正态分布(0,1)N ，则{min(,)0}P X Y ≤= 34． 6、设随机变量X 和Y 不相关，则(2)D X Y -=()4()D X D Y + ．7、设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，今对X 进行4次独立观测，以Y 表示观测值大于0.5的观测次数，则{}1P Y ≥=1516． 8、设1(,)~(1,1;4,9;)2X Y N , 则(,)Cov X Y =__3___．9、在区间估计理论中，当样本容量给定时，置信度与置信区间长度的关系是：置信度1α-越大，置信区间长度越__长__． 10、 随机变量()X t n ,则2~X (1,)F n 分布．二、概率论试题(45分) 1、(9分) 某卡车运送防“禽流感”用品，装了10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。
到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱。
现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。
（记A ：从剩下9箱中任取2箱都是民用口罩；k B ：丢失的一箱为k ，3,2,1=k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花）解：222355422219991318()()()210536k k k C C C P A P B P A B C C C ===⋅+⋅+⋅=∑ (5分).83368363)(/21)(/)()()(2924111=÷=⋅==A P C C A P B A P B P A B P (4分)2、（9分)设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，2ln Y X =-，求Y 的概率密度． (9分) 解: 由于()2ln y g x x ==-在（0,1）上严格单调，可以使用公式 (2分)(0,1)x ∈时 ，2()yx h y e-==，(0,)y ∈+∞，'21()2y h y e -=-， (4分)由密度转换公式，得210()200yY ey f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(3分)3、(9分)一生产线生产的产品是成箱包装的，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。
2007级概率论与数理统计试题A
天津师范大学考试试卷2008 —2009 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）科目：概率论与数理统计 学院：管理学院专业：所有专业一、单项选择题:在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代（每小题3分，本大题共15分）1.3313()A B A B ==-=盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取个球，设事件“个中至少有个白球”，事件“个中恰好有一个白球”，则事件A . 2至少个白球 B. 2恰好个白球 C. 3恰好个白球 D. 无白球2.10110X X 18P ≤=将个球依次编号至放入袋中，从中任取两个，两球号码之和记作，则（）（）A.1825 B.1625C . 4445D. 43453.01p(),0,x X x C <<=⎩=设随机变量的概率密度为其他则（）A. 1B. 0 C .23 D.324.1()()2,cov(,),()6E X E Y X Y E XY ===-=设则（）A. 16- B . 236C. 4D. 2565. 22120010~(,),,,,,n X N X X X X S H H μσσμμμμ=↔≠ 设总体未知，且为其样本，为样本均值，为样本标准差，则对于假设检测问题：：应选用的统计量是（）A .B.C.D.二、 填空题:（每空3分，本大题共15分）1.{}10015050().A P A ==设有一批产品共件，其中有件是次品，现从中任取件，则事件所取件产品中无次品的概率 2.8%或509950100C C2.(2,)5(3,)(1),9(1).X p Y p P X P Y ≥=≥=设随机变量服从参数为的二项分布，随机变量服从参数为的二项分布，若则19273.0,1()ln ,1,1,().X X x X F x x x e x e f x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩设随机变量的分布函数为则概率密度为1,1()0,X x ef x x⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他4.212342212342(,,,)~(0,2)11(2)(3),2040,.X X X X X N Y X X X X Y χ=-+-设是取自正态总体的简单随机样本，统计量服从分布其自由度为25.20.0250.05~(,0.9)95,0.95.( 1.96, 1.65)X N X z z μμ===设由来自正态总体容量为的简单随机样本，得样本均值则未知参数的置信度为的置信区间为(4.412,5.588)三、 计算题:（每小题10分，本大题共70分）1.0.10.20.3三个电子元件串联的电路中，每个元件断电的概率依次为，，，且各元件是否断电相互独立，问电路断电的概率是多少？解123123123123""12311()1()()()(610.90.80.7(80.496.(10i i i A P A P PP P P P A A A A A A A A A A A A A =====-=-∙∙=-=-⨯⨯=设第个元件断电，，，，又设“电路断电”，则（）（）（） (3分)分)分)分)2...n X 若有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的若每把钥匙试开一次后除去，试求试开次数的数学期望 解由题意知X 的所有可能取值为：1，2，…，n. 且有1111{}(1)(1)(1)1(2)(1)1,1,2,.P X k n n n k n k k n n==--------==⋯ ， （4分） 于是X 的分布律为:12111kXnnnnP⋯⋯（8分） 因此2111211)(+=⨯⋯+⨯+⨯=n n n n n X E （10分）3.,01()0,15().28(1),11(2)().42ax b x X f x P X a b P X +<<⎧=⎨⎩>=<≤已知随机变量的密度为其他且求；计算解21012212151()1()2811)102(3155()18282112(61352828f x dx P x a bx ax b dx a a bx dx bx aa b b b a x x x +∞-∞=>=⎧+=⎪⎧+=⎪⎪⎪⎨⎨+=⎪⎪+=⎩⎪⎪⎩⎧=+=⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪+=⎩⎪⎩⎰⎰⎰由（）及可知（得分)即得分)2112211441,01(2)1()20,11112{}()()(8142222411117()(102416432x x f x x P x f x dx x dx x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩⎛⎫<≤==+=+ ⎪⎪⎝⎭=-+=⎰⎰由（）知其他分)分)4.{}22(,)2,01,01,(,)0,,(1)(2)()()(3)(,)(,)1.X Y X Y ax xy x y f x y a f x f y X Y D x y x y ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩=+<设二维随机向量的联合密度函数为其他求：常数；边缘密度和；随机向量落入区域内的概率1122(1)1(,)(2)1,2;33f x y dxdy dx a x dya a y x +∞+∞-∞-∞==+=+=⎰⎰⎰⎰所以（2分）122202(2)()(,)201()(22)2301,()0022,01()30,X X X X f x f x y dyx f x x xy dy x x x x f x dy x x x f x +∞-∞+∞-∞=≤≤=+=+<>=∙=⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰当时，有（3分）当或时有所以（4分）其他；122202(2)()(,)201()(22)301,()002,01()30,Y Y Y Y f y f x y dxy f y x xy dx y f y dx y y f y +∞-∞+∞-∞=≤≤=+=+<>=∙=⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰当时，有（5分）当y 或y 时有所以（6分）其他；112201230140253{}(,)(22)912(2)0322()331121()0355xDP X Y f x y dxdy dx x xy dyx x y xy dy x x dx x x -∈==+-=+=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）（，）D （分）（10分）5.ρ设随机变量X 服从参数为2的泊松（poisson)分布，随机变量Y 服从区间（0，6）上均匀分布，且它们的相关系数记Z=X-2Y ，求E(Z)和D(Z)。
2007-2008概率论与数理统计A
三．判断题（每小题2分，共10分）（正确的请在题前括号内打√,否则打 ）
（）1．如果 , ，则 不相关与独立是一回事
（）2．如果 , ，且 独立， 则
（）3．.统计量 是总体方差 的无偏估计
（）4．若 , ,则当 充分大时，
近似服从
（）5．若 则
四．品,各自产品产量占全厂的30％、25％、45％。而甲、乙、丙三车间的次品率分别为4％,4％,2％。
4．一批产品共10件,其中2件次品,从中随机抽取3次,每次抽1件,
抽后不放回,则第3次抽到次品的概率为。
5．若 ，且 ，则 。
6．袋中有若干红球和白球，现从中取100个， 、 分别表示取出
的红球和白球数，则 、 的相关系数为。
二．单选题（每小题4分，共24分）
1．设 为两个概率不为0的随机事件，且互不相容，
中国海洋大学命题专用纸（首页）
2006-2 07-08学年第1学期试题名称：概率论与数理统计A共2页第1页
专业年级学号姓名授课教师分数
题目
一
二
三
四
得分
一．填空题（每小题3分，共18分）
1．设 为随机事件， .
则 。
2．总体 则 已知时，
的置信度为95%区间估计为（，）。
3．若随机变量 的分布密度为
则常数 。
授课
教师
刘宝生
石洪华
命题教师或命题负责人签字
集体
院系负责人签字
年月日
中 国海洋大学命题专用纸（附页）
学年第07-08学年第1学期试题名称：概率论数理统计A共2页第2页
5．若 , 都是分布函数，为使 一定是分布函数；
应取下列各组中的。
； ；
； 。
07-1-A(答案)概率论与数理统计试卷和答案.doc
华东理工大学2006 - 2007学年第一学期《概率论与数理统计》课程考试试卷A 2007. 1一、填空题(共20分，每小题4分)1.设事件4,8仅发生一个的概率为0. 3,且P(A) + P(B) = 0.5,则A,8至少有一个发生的概率为0. 4 …2.设离散型随机变量X的分布函数为0 x <-2F(x)=修-2 < x < 31 3 < x2 3则X的分布律为—P(X = -2) = g,P(X = 3) = -3.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，用切比雪夫不等式估计得到3P(IX-3I> 4)< —o4.若随机变量g ~ U[l,6],则方程尸+ gx + l = 0有实根的概率为_0.85.设Xi，X2，X3，X4是来自正态总体N(0,4)的一个简单随机样本，则当a = 土，》=嘉，时统计量X = a(X] - NX?)' +^(3X3 -4X』服从/分布。
二、选择题(共20分，每小题4分)1.若对任意的随机变量X, EX存在，则E(E(EX))等于(C )。
A. 0B. XC. EXD. (EX)?2.设4和8是任两个概率不为0的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是(D )(A) ■和万不相容(B)云和万相容(C) P(AB)^P(A)P(B)(D) P(A-B)^P(A)3.设袋中有a只黑球，万只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为(D )。
bD. ---------(Q +/?)4.在下列函数可以作为随机变量的概率密度函数(A2x 0 B. f(x)= <x20<x<l其他C. /W = <cosx,0<X<7l其他D. f(x)= <2e-vx >x<05.若X~P(3),P~N(2,5)/x,yL,且Z = X-2Y+2,贝iJ(D) 2A. 8-V15B. 8 +2V15 C. 13-应 D. 23 + 2应A b(bf八b-1D . x_z •(a + b)(a + Z? — 1) a + Z? — 1三、计算证明题(共60分)1.(10分)设有2台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03,第二台机床出废品的概率为0.06,加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。
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新疆大学2007—2008学年度第一学期期末考试
《概率论与数理统计》试卷A 答案
一、填空题
1. （1）C B A 表示该生是爱好数学的男生，但不是歌手；
（2）,BC A A ABC ⊂⇔=表示全班女生都是爱好数学的歌手；
（3）B A =且C B A C A ==⇒=，表明选到的女生一定是爱好数学者，但不是歌手.同时如选到的如不是歌手，则一定是爱好数学的女生.
2.2/
3.
3.f(x)=,00,0
x e x x λλ-⎧>⎨<⎩ 4..E(Y)=-3,D(X)=4.
5.统计量是指样本函数中不含有任何参数。
6. 2211
11,()1n n i i i i X X S X X n n ====--∑∑. 7.t(n-1),2()n χ.
二、计算题
1.解答：设A —“第一次抽到次品”，B —“第二次抽到次品”，
P(A)=3/10,P(B|A)=2/9,P(AB)=P(A)P(B|A)=1/15.
2.解答：设“k =ξ”表示购买k 次，前k-1次都未中奖，而第k 次中奖，故ξ的概率分布为
.)1()(1p p k P k --==ξ ,2,1=k
3.解答：
（1）设ξ为猜对的学生的个数，则ξ服从二项分布，其期望为
.2418=⨯==np E ξ
即老师平均能猜到2名学生的成绩.
（2）.0042.0)43()41()6(888
6=∑=≥-=k k k k C P ξ 即猜对6名或6名以上学生成绩的概率为0.0042.
4．(1)K=3,2α=;
(2)
23,01()0,0,()0;01;
1x x f x x F x x x ⎧<<=⎨⎩≤=<<≥3其它
当时当时，F(x)=t 当时，F(x)=1.
5.cov(X,Y)=0，所以X 与Y 不相关；又因为f(x,y)不等于f(x)f(y),所以不独立。