2019高考数学(江苏)+考前冲刺册：必备一+主干知识回扣

必备一主干知识回扣技法一函数性质1.函数的单调性(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为A,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在这个区间I上是增(减)函数.(2)证明方法:定义法、导数法.2.函数的奇偶性(1)定义:对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.(2)图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.3.函数零点(1)对于函数y=f(x),x∈D,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x(x∈D)称为函数y=f(x)的零点,实质上函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,它是实数而不是点.函数y=f(x)-g(x)的零点可以看成是方程f(x)-g(x)=0的根或函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点的横坐标.(2)零点存在性定理:一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.这一定理一般用来证明函数有零点,其逆命题是假命题.技法二导数1.导数的几何意义:f'(x0)表示曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.2.常见的导数公式:(x n)'=nx n-1;(a x)'=a x ln a(a>0且a≠1);(e x)'=e x;(log a x)'=(a>0且a≠1);(ln x)'=;(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x.3.导数的运算法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x);=-(g(x)≠0).4.导数与函数的单调性:f'(x)>0⇒函数f(x)在相应区间上为单调增函数;f'(x)<0⇒函数f(x)在相应区间上为单调减函数.5.导数与函数的极值、最值:(1)函数的极值:设函数f(x)在点x0附近有定义,且对x0附近的所有点都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大(或小)值,其中x0称为极值点,f(x0)称为极值,所以极值点是实数而不是点.(2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得.技法三基本初等函数1.指数的概念及运算性质:(1)()n=a(n∈N*);当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|;(2)正数的分数指数幂的意义:=;-==(a>0,m、n∈N*,且n>1).2.对数的概念及运算性质:(1)a b=N⇔log a N=b(a>0且a≠1);(2)对数的运算法则:log a(M·N)=log a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=nlog a M(a>0且a≠1);(3)换底公式:log a N=(a>0且a≠1,b>0且b≠1).3.指数函数的定义:一般地,函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数;对数函数的定义:一般地,函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数;幂函数的定义:一般地,形如y=x a的函数叫做幂函数.4.指数函数、对数函数的图象和性质:技法四三角函数1.任意角的三角函数的定义:sinα=,cosα=,tanα=.2.同角三角函数的关系式(同角公式):平方关系:sin2α+cos2α=1,商数关系:tanα=.3.诱导公式:k·±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是奇变偶不变,符号看象限.4.三角函数的图象和性质:x x∈R,x≠+kπ,k∈Z2kπ-,2kπ+,k∈Zkπ-,kπ+,k∈Z2kπ+,2kπ+,k∈Z特别关注:(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性,要注意函数的定义域.(2)三角函数的值域与最值的常见题型:一是可以利用三角公式化为标准型y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0);二是转化为基本函数型,如:y=cos2x-sin x+1,y=sin2x+sin x+cos x均可以通过换元转化为二次函数;三是利用导数法.(3)三角函数的周期:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)都可以利用周期公式T=求解;y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)利用周期公式T=求解.y=|Asin(ωx+φ)|(A>0,ω>0)、y=|Acos(ωx+φ)|(A>0,ω>0)和y=|Atan(ωx+φ)|(A>0,ω>0)的周期都是T=;y=|Asin(ωx+φ)+b|(A>0,ω>0,b≠0)的周期公式是T=.(4)奇偶性:y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ+,k∈Z.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ+,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ,k∈Z.(5)对称性:求对称轴、对称中心;已知对称轴或对称中心,求参数的取值(用特值法).5.三角恒等变换:(1)两角和与差的三角函数:sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;;tan(α±β)=..(2)二倍角公式:sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=-(3)降幂公式:sin2α=-;cos2α=.6.解三角形:(1)正弦定理:===2R;S△ABC=absin C=bcsin A=casin B.(2)余弦定理:cos A=-,cos B=-,cos C=-,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.技法五平面向量1.平面向量共线定理:(1)向量b与非零向量a共线⇔存在唯一的实数λ,使得b=λa.(2)平面向量共线定理的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.2.平面向量基本定理:若e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1、e2称为基底.3.两个向量的数量积:(1)向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角.注意:夹角的范围是[0,π];作图时两向量一定要共起点.(2)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=|a||b|·cosθ.注意:数量积运算的结果是数量,而线性运算的结果仍然是向量.技法六数列1.等差数列与等比数列:2.已知数列的递推公式,求通项公式的常用方法:累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法.3.常见复杂数列求和的基本数学思想:转化与化归思想,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数列求和.常用方法:(1)并项求和法(正负相间的项的求和);(2)裂项相消法;(3)错位相减法;(4)分组求和法.求和时先分析通项,再选择求和方法.技法七不等式1.不等式的重要性质:①若a<b,且ab>0,则>,即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变;②如果不等式两边同时乘(或除以)一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.基本不等式:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即若a,b>0,则≥(当且仅当a=b时,取等号).基本变形:①a+b≥2;≥ab;②若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,≥.(2)基本应用:求函数最值注意:①一正二定三相等;②积定和最小,和定积最大.已知a,b为正数.当ab=p(常数)时,a+b≥2,当且仅当a=b=时,a+b取得最小值2;当a+b=s(常数)时,ab≤,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.技法八直线与圆1.几个距离公式:(1)两点间距离公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=--;(2)点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式:d=;(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离公式:d=.2.(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ E2-4F>0),把一般方程配方得+=-(D2+E2-4F>0).(2)判断直线与圆的位置关系的方法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小,若d>r,则相离;若d=r,则相切;若d<r,则相交.3.圆与圆的位置关系.设☉C1的半径为r1,☉C2的半径为r2,d=|C1C2|,则☉C1与☉C2相外离⇔d>r1+r2;☉C1与☉C2相外切⇔d=r1+r2;☉C1与☉C2相交⇔|r1-r2|<d<r1+r2;☉C1与☉C2相内切⇔d=|r1-r2|;☉C1与☉C2相内含⇔0≤d<|r1-r2|.技法九椭圆1.椭圆的定义(1)第一定义平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.需要注意的是:常数大于|F1F2|.若常数等于|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若常数小于|F1F2|,则无轨迹.表达式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).(2)第二定义:平面内动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)的轨迹是椭圆,定点是椭圆的一个焦点,定直线是与焦点同侧的准线,常数e是椭圆的离心率,焦点在x轴上的椭圆,准线方程是x=±;焦点在y轴上的椭圆,准线方程是y=±.2.椭圆的标准方程及其几何性质技法十空间直线与平面的位置关系1.平行公理(公理4):平行于同一条直线的两条直线平行,符号语言:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.直线和平面平行:(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号表示:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)性质定理:若一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.3.直线和平面垂直:(1)判定定理:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,符号表示为:a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=A⇒a⊥α.(2)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示为:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.4.平面与平面平行:(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;符号表示:a∥α,b∥α,a∩b=P,a⊂β,b⊂β⇒α∥β.(2)性质:①如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面;②性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.5.平面与平面垂直:(1)判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,符号表示为:a⊥α,a⊂β⇒α⊥β.(2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示为:α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂α⇒a⊥β.。