2017-2018学年北京市丰台区高二上学期期中数学试卷与解析(文科)(a卷)
2017北京丰台二中高三(上)期中数学(文)
2017北京丰台二中高三（上）期中数学（文）一、选择题（只需从四个选项中选出唯一正确的选项，每题5分，共40分）1. “”是“”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 函数是（）．A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数3. 数列前项的和是（）．A. B. C. D.4. 若是数列前项的和，则（）．A. B. C. D.5. 设，满足约束条件，则的最小值是（）．A. B. C. D.6. 某市出租车的车费计算如下：路程在以内（含）为元，达到后，每增加加收元，达到后，每增加加收元，增加不足按四舍五入计算，某乘客乘坐该种出租车交了元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的数，可以是（）．A. B. C. D.7. 已知棱形长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（）．A. B. C. D.8. 若，，且有意义，则（）．A. B. C. D.二、填空题（只需填出正确结果，每题5分，共30分）9. 设集合，集合，则__________．10. 若，，则向量，夹角的余弦值为__________．11. 若，其中是实数，是虚数单位，那么__________．12. 若正数，的倒数和为，则的最小值为__________．13. 已知函数的零点在区间内，那么__________．14. 对大于或等于的自然数的次幂进行如图的方式“分裂”，仿此，的“分裂”中最大的数是__________．三、解答题（必须写出详细的解答过程、推理依据及正确答案共：80分）15. 已知函数．（）求函数的最小正周期．（）求函数的单调递增区间．16. 在中，．（）求的值．（）当的面积最大时，求角的大小．17. 已知等比数列中，，．（）若为等差数列，且满足，，求数列的通项公式．（）若数列满足，求数列的前项和．18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，，，分别是棱，，的中点．（）求证：平面．（）求证：平面．（）如果，求三棱锥的体积．19. 已知函数，，．（）若在处与直线相切，求，的值．（）在（）的条件下，求在上的最大值．20. 设数列的前项和为，已知，，．（）写出，的值，并求数列的通项公式．（）记为数列的前项和，求．（）若数列满足，，求数列的通项公式．数学试题答案一、选择题（只需从四个选项中选出唯一正确的选项，每题5分，共40分）1.【答案】A【解析】∵，∴“”是“”的充分不必要条件，故选．点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”2.【答案】D【解析】令，则，∴是非奇非偶函数，故选．3.【答案】C【解析】数列表示以为首项，为公差的等差数列，∴，故选．4.【答案】D【解析】．故选．5.【答案】B考点：线性规划．6.【答案】A解得．故选．7.【答案】C【解析】试题分析：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为；当正视图为对角面时，其面积最大为，因此满足棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围是，因此皆有可能，而，故不可能的为.考点：1.三视图；2.正方体的几何特征.8.【答案】C【解析】，，，故选．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.二、填空题（只需填出正确结果，每题5分，共30分）9.【答案】【解析】∵集合，，故．点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．10.【答案】0【解析】故答案为：011.【答案】【解析】，所以。
2023-2024学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(A卷)【答案版】
2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线x +y ＝0的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，则圆心C 与半径r 分别为（ ） A ．C （1，﹣1），r ＝4 B ．C （﹣1，1），r ＝4C ．C （1，﹣1），r ＝2D ．C （﹣1，1），r ＝23．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则D 1B →=（ ）A ．a →+b →−c →B ．a →+b →+c →C ．a →−b →−c →D ．−a →+b →+c →4．已知直线l 经过点M （2，1），且与直线x ﹣2y +1＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣4＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．2x ﹣y ﹣3＝0D ．x ﹣2y ＝05．若直线l 的方向向量为u →，平面α的法向量为n →，则下列选项中能使l ⊥α成立的是（ ） A ．u →=（2，1，1），n →=（﹣1，1，1） B ．u →=（1，2，0），n →=（﹣2，﹣4，0） C ．u →=（1，2，4），n →=（1，0，1） D ．u →=（1，﹣1，2），n →=（0，3，1）6．已知直线l 1：ax +（a +2）y +1＝0，l 2：x +ay ﹣2＝0，若l 1‖l 2，则实数a ＝（ ） A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．﹣2或07．若直线l ：y ＝kx +3与圆C ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，且∠AOB =π3（其中O 为原点），则k 的值为（ ） A ．−√3B ．−√3或√3C ．√2D ．−√2或√28．已知圆C ：x 2+y 2﹣mx +3y +3＝0关于直线l ：mx +y ﹣m ＝0对称，则实数m ＝（ ）A ．−√3B ．﹣1C ．3D ．﹣1或39．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为2，M ，N 分别为棱AD ，AC 的中点，则直线BN 和FM 夹角的余弦值为（ ）A ．56B ．√116C ．√216D ．√15610．已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −4)2+(y −2)2=1，过动点M （a ，b ）分别作圆C 1，圆C 2的切线MA ，MB （A ，B 分别为切点），若|MA |＝|MB |，则√(a −3)2+(b +2)2的最小值为（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．已知直线l 的斜率为2，且在y 轴上的截距为1，则直线l 的方程为 ．12．已知i →，j →，k →为空间两两垂直的单位向量，且a →=i →+2j →−k →，b →=3i →−j →+4k →，则a →•b →= ． 13．已知A （1，1），B （4，0），C （0，n ）三点共线，则n ＝ ．14．已知圆C ：x 2+y 2﹣2nx +2ny +2n 2﹣8＝0上存在两个点到点A （﹣1，1）的距离均为√2，则实数n 的一个取值为 ．15．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段A 1C 1上运动，则总有CP ⊥BD ；②若点P 在线段AD 1上运动，则三棱锥B ﹣DPC 1体积为定值； ③若点P 在线段A 1B 上运动，则直线CP 与平面ACD 1所成角为定值；④若点P 满足CP →=CD →+λCC 1→(0≤λ≤1)，则过点A 1，P ，C 三点的正方体截面面积的取值范围为[√62，√2]．其中所有正确结论的序号为 ．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4． （Ⅰ）求经过点（3，﹣2）的圆C 的切线方程； （Ⅱ）求直线l ：2x ﹣y +2＝0被圆C 截得的弦长．17．（13分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝BC ，AC ⊥BC ，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；（Ⅱ）求直线BD 与平面A 1BE 所成角的正弦值．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠BCD =π3，AB ＝1，PB ＝2，PD ⊥CD ，PB ⊥BD ，N 为棱PC 的中点．条件①：BC ＝2；条件②：平面PBD ⊥平面ABCD ． 从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题： （Ⅰ）求证：AB ⊥PB ；（Ⅱ）若点M 在线段AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为√55，求线段CM 的长． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在直线l ：y ＝x ﹣1上，且半径为1． （Ⅰ）若圆心C 也在直线y ＝﹣2x +8上，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N （0，3），若圆C 上存在点M ，使|MN |＝|MO |，求圆心C 的横坐标的取值范围．20．（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面CDE⊥平面ABCD，AF‖DE，DE⊥CD，DE=3AF=3√6．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求平面BEF与平面BDE夹角的余弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点P，使得AP∥平面BEF？若存在，指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由．21．（15分）在平面直角坐标系中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义ρ（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为点A到点B的“折线距离”．（Ⅰ）已知A（1，2），B（3，0），求ρ（A，B）；（Ⅱ）已知直线l：√3x+y−4=0．（i）求坐标原点O与直线l上一点的“折线距离”的最小值；（ii）求圆C：x2+y2＝1上一点与直线l上一点的“折线距离”的最小值．2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线x +y ＝0的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解：∵直线x +y ＝0的斜率为﹣1， 设直线x +y ＝0的倾斜角为α， 又0≤α＜180°， ∴α＝135°． 故选：D ．2．已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，则圆心C 与半径r 分别为（ ） A ．C （1，﹣1），r ＝4 B ．C （﹣1，1），r ＝4C ．C （1，﹣1），r ＝2D ．C （﹣1，1），r ＝2解：圆C ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，可得圆心C 与半径r 分别为C （﹣1，1），r ＝2． 故选：D ．3．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则D 1B →=（ ）A ．a →+b →−c →B ．a →+b →+c →C ．a →−b →−c →D ．−a →+b →+c →解：D 1B →=D 1D →+DB →=A 1A →+DC →+DA →=−A 1A →+AB →−AD →=−c →+a →−b →故选：C ．4．已知直线l 经过点M （2，1），且与直线x ﹣2y +1＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣4＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．2x ﹣y ﹣3＝0D ．x ﹣2y ＝0解：设与直线x ﹣2y +1＝0垂直的直线方程为2x +y +m ＝0， 因为直线过M （2，1），所以4+1+m ＝0，即m ＝﹣5，此时直线方程为2x +y ﹣5＝0．故选：B．5．若直线l的方向向量为u→，平面α的法向量为n→，则下列选项中能使l⊥α成立的是（）A．u→=（2，1，1），n→=（﹣1，1，1）B．u→=（1，2，0），n→=（﹣2，﹣4，0）C．u→=（1，2，4），n→=（1，0，1）D．u→=（1，﹣1，2），n→=（0，3，1）解：直线l的方向向量为u→，平面α的法向量为n→，对于A，μ→⋅n→=−2+1+1＝0，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，μ→=−12n→，则l⊥α，故B正确；对于C，μ→≠λn→，∴不能使l⊥α成立，故C错误；对于D，μ→≠λn→，∴不能使l⊥α成立，故D错误．故选：B．6．已知直线l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay﹣2＝0，若l1‖l2，则实数a＝（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．﹣2或0解：直线l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay﹣2＝0，l1‖l2，则a•a＝a+2，解得a＝2或﹣1，经经验，当a＝2或﹣1时，直线l1，l2不重合，故a＝2或﹣1．故选：C．7．若直线l：y＝kx+3与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，且∠AOB=π3（其中O为原点），则k的值为（）A．−√3B．−√3或√3C．√2D．−√2或√2解：∵y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于点（0，1），设A（0，1），又∵∠AOB=π3，∴△AOB是等边三角形，∴圆心（0，0）到直线的距离d=|3|√1+k=√3，解得k ＝±√2． 故选：D ．8．已知圆C ：x 2+y 2﹣mx +3y +3＝0关于直线l ：mx +y ﹣m ＝0对称，则实数m ＝（ ） A ．−√3B ．﹣1C ．3D ．﹣1或3解：因为圆C ：x 2+y 2﹣mx +3y +3＝0，可得圆心C （m 2，−32）， 因为圆C ：x 2+y 2﹣mx +3y +3＝0关于直线l ：mx +y ﹣m ＝0对称， 所以圆心C 在直线l ：mx +y ﹣m ＝0上， ∴m ×m 2−32−m ＝0，∴m ＝3或m ＝﹣1， 当m ＝﹣1时，圆C ：x 2+y 2+x +3y +3＝0，D 2+E 2﹣4F ＝1+9﹣4×3＜0， 方程不表示圆，故m ＝﹣1舍去，当m ＝3时，圆C ：x 2+y 2﹣3x +3y +3＝0，D 2+E 2﹣4F ＝9+9﹣4×3＞0， 方程表示圆，故m ＝3符合题意， 综上所述：m ＝3． 故选：C ．9．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为2，M ，N 分别为棱AD ，AC 的中点，则直线BN 和FM 夹角的余弦值为（ ）A ．56B ．√116C ．√216D ．√156解：取BCDE 各边中点H ，K ，I ，G ，连接HI ，KG ，FE ，由正八面体的性质可得三线交于一点，设为O ，由正八面体的性质可得HI ，KG ，FE 两两垂直，以O 为坐标原点，HI ，KG ，FE 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B （1，﹣1，0），C （1，1，0），A （0，0，√2），D （﹣1，1，0），F （0，0，−√2）， 则N （12，12，√22），M （−12，12，√22）， 所以BN →=（−12，32，√22），FM →=（−12，12，3√22）， 所以cos ＜BN →，FM →＞=BN →⋅FM →|BN →|⋅|FM →|=14+34+64√124×√204=52√3×√5=√156，所以直线BN 和FM 夹角的余弦值为√156． 故选：D ．10．已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −4)2+(y −2)2=1，过动点M （a ，b ）分别作圆C 1，圆C 2的切线MA ，MB （A ，B 分别为切点），若|MA |＝|MB |，则√(a −3)2+(b +2)2的最小值为（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55解：∵过动点M （a ，b ）分别作圆C 1，圆C 2的切线MA ，MB （A 、B 分别为切点），若|MA |＝|MB |， ∴|AC 1|2﹣1＝|AC 2|2﹣1，即a 2+b 2﹣1＝（a ﹣4）2+（b ﹣2）2﹣1，即2a +b ﹣5＝0，即动点M （a ，b ）在直线2x +y ﹣5＝0上， √(a −3)2+(b +2)2的几何意义为M 到定点（3，﹣2）的距离， 则点（3，﹣2）到直线2x +y ﹣5＝0的距离为√222=√55，故√(a −3)2+(b +2)2的最小值为√55． 故选：A ．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．已知直线l 的斜率为2，且在y 轴上的截距为1，则直线l 的方程为 y ＝2x +1 ． 解：直线l 的斜率为k ＝2，且在y 轴上的截距为b ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝2x +1． 故答案为：y ＝2x +1．12．已知i →，j →，k →为空间两两垂直的单位向量，且a →=i →+2j →−k →，b →=3i →−j →+4k →，则a →•b →= ﹣3 ． 解：∵i →，j →，k →为空间两两垂直的单位向量，∴|i →|=|j →|=|k →|=1，i →⋅j →=i →⋅k →=j →⋅k →=0， ∴a →⋅b →=（i →+2j →−k →）⋅(3i →−j →+4k →)=3i →2−2j →2−4k →2=3﹣2﹣4＝﹣3． 故答案为：﹣3．13．已知A （1，1），B （4，0），C （0，n ）三点共线，则n ＝ 43．解：A （1，1），B （4，0），C （0，n ）， 则AB →=(3，−1)，BC →=(−4，n)， A （1，1），B （4，0），C （0，n ）三点共线， 则3n ＝（﹣1）×（﹣4），解得n =43． 故答案为：43．14．已知圆C ：x 2+y 2﹣2nx +2ny +2n 2﹣8＝0上存在两个点到点A （﹣1，1）的距离均为√2，则实数n 的一个取值为 1（答案不唯一） ．解：A （﹣1，1）的距离均为√2的点是以√2为半径的圆A ，方程为：（x +1）2+（y ﹣1）2＝2， 圆C ：x 2+y 2﹣2nx +2ny +2n 2﹣8＝0， 圆心为C （n ，﹣n ），半径2√2，圆心距|AC |=√(n +1)2+(−n −1)2=√2|n +1|，由题意可得两圆相交， 即√2＜√2|n +1|＜3√2，解得 n ∈（﹣4，﹣2）∪（0，2）． 故答案为：1（答案不唯一）．15．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段A 1C 1上运动，则总有CP ⊥BD ；②若点P 在线段AD 1上运动，则三棱锥B ﹣DPC 1体积为定值； ③若点P 在线段A 1B 上运动，则直线CP 与平面ACD 1所成角为定值；④若点P 满足CP →=CD →+λCC 1→(0≤λ≤1)，则过点A 1，P ，C 三点的正方体截面面积的取值范围为[√62，√2]．其中所有正确结论的序号为 ①②④ ． 解：对①，如图，连接B 1D 1，A 1C ，在正方体中，B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥CC 1，CC 1∩A 1C 1＝C 1， CC 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，又CP ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥CP ，又正方体中，B 1D 1∥BD ，所以CP ⊥BD ，故①正确； 对②，如图，因为AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1， 所以P 到平面BDC 1的距离为定值，因为V B−DPC 1=V P−BDC 1，而S △BDC 为定值， 所以V P ﹣BDC 1为定值，故三棱锥B ﹣DPC 1体积为定值，故②正确； 对③，如图，在正方体中，A 1B ∥D 1C ，A 1B ⊄平面ACD 1，BC 1⊂平面ACD 1，所以A 1B ∥平面ACD 1，所以P 到平面ACD 1的距离h 为定值，设直线CP 与平面ACD 1所成角为θ，而sinθ=ℎCP， CP 不是定值，所以θ不为定值，故③错误；对④，因为CP →=CD →+λCC 1→=CD →+λDD →，且0≤λ≤1，所以点P 在线段DD 1上运动，在B 1B 上取一点P 1，使得|DP |＝|B 1P 1|＝a ，a ∈[0，1]，连接A 1P 1，P 1C ，P A 1，PC ，易知PC ∥A 1P 1，且PC ＝A 1P 1，即P ，C ，A 1，P 1四点共面，即过P ，C ，A 1三点的截面为截面PCP 1A 1，以点D 为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：则C （0，1，0），A 1（1，0，1），P （0，0，a ），P 1（1，1，1﹣a ），CA 1→=(1，−1，1)．CP →=(0，−1，a)，因为|CA 1→|=√3，|CP →|=√1+a 2，CP →⋅CA 1→=1+a ，所以截面PCP 1A 1的面积为S ＝2S △CPA 1=|CP →|•|CA 1→|sin ∠PCA 1=√(|CP →|⋅|CA 1→|)2−(CP →⋅CA 1→)2=√3+3a 2−1−2a −a 2=√2•√(a −12)2+34， 当a =12时，S min =√62，当a ＝0或a ＝1时，S max =√2，所以过A 1，P ，C 三点的正方体截面面积最小值为√62，最大值为√2， 过点A 1，P ．C 三点的正方体截面面积的取值范围为[√62，√2]，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4．（Ⅰ）求经过点（3，﹣2）的圆C 的切线方程；（Ⅱ）求直线l ：2x ﹣y +2＝0被圆C 截得的弦长．解：（Ⅰ）由圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4．可得圆C 的圆心为C （1，2），半径为r ＝2．当切线斜率不存在时，其方程为x ＝3，圆心C （1，2）到直线x ＝3的距离为2，则此时直线x ＝3与圆C 相切，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y +2＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ﹣2＝0，则圆心（1，2）到切线的距离√k 2+1=2，解得k =−34， 所以此时切线的方程为3x +4y ﹣1＝0．综上：切线的方程为x ＝3或3x +4y ﹣1＝0．（Ⅱ）由圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4．可得圆C 的圆心为C （1，2），半径为r ＝2．则圆心C （1，2）到直线l 的距离d =√2+1=2√55．所以直线l 被圆C 所截得的弦长为：2√r 2−d 2=8√55．17．（13分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝BC ，AC ⊥BC ，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；（Ⅱ）求直线BD 与平面A 1BE 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥平面A1B1C1，因为C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D．因为AC＝BC，所以A1C1＝B1C1因为D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1，因为AA1∩A1B1＝A1，AA1⊂平面AA1B1B，A1B1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B．（Ⅱ）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，因为AC⊥BC，所以CC1，AC，BC两两垂直，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝2，则B（0，2，0），A1（2，0，2），D（1，1，2），E（0，0，1）．所以BD →=（1，﹣1，2），BE →=（0，﹣2，1），EA 1→=（2，0，1），设平面A 1BE 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）．所以{n →⋅BE →=0n →⋅EA 1→=0，即{−2y +z =02x +z =0， 令z ＝2，则x ＝﹣1，y ＝1．所以n →=（﹣1，1，2）．所以cos ＜BD →，n →＞=BD →⋅n →|BD →|⋅|n →|=13， 设直线BD 与平面A 1BE 所成角为θ，所以sin θ＝|cos ＜BD →，n →＞|=13，故直线BD 与平面A 1BE 所成角的正弦值为13． 18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠BCD =π3，AB ＝1，PB ＝2，PD ⊥CD ，PB ⊥BD ，N 为棱PC 的中点．条件①：BC ＝2；条件②：平面PBD ⊥平面ABCD ．从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：（Ⅰ）求证：AB ⊥PB ；（Ⅱ）若点M 在线段AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为√55，求线段CM 的长． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：选①：BC ＝2．（Ⅰ）证明：因为平行四边形ABCD ，所以CD ＝AB ＝1，因为BC ＝2，∠BCD =π3，所以在△BCD 中，BD =√22+12−2×2×1×cos π3=√3．所以BD 2+CD 2＝BC 2，所以BD ⊥CD ．又PD ⊥CD ，PD ∩BD ＝D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PB ．又因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PB ．选②：平面PBD ⊥平面ABCD ．证明：因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PB ⊥BD ，PB ⊂平面PBD ． 所以PB ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PB ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BA ，BD ，BP 两两垂直，以B 为原点，BA →，BD →，BP →为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B （0，0，0），D(0，√3，0)，P （0，0，2），C(−1，√3，0)，A （1，0，0），N(−12，√32，1)，所以BD →=(0，√3，0)，BN →=(−12，√32，1)，AN →=(−32，√32，1)， 设平面BDN 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BD →=√3y =0n →⋅BN →=−12x +√32y +z =0， 令x ＝2，则y ＝0，z ＝1．所以n →=（2，0，1）．因为点M 在直线AN 上，设MN →=λAN →(0≤λ≤1)，所以MN →=(−32λ，√32λ，λ)，故点M 到平面BDN 的距离为d =|MN →⋅n →|n →||=25=√55， 得λ=12，所以MN →=(−34，√34，12)，所以M(14，√34，12)， 所以CM =√142．19．（15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在直线l ：y ＝x ﹣1上，且半径为1．（Ⅰ）若圆心C 也在直线y ＝﹣2x +8上，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N （0，3），若圆C 上存在点M ，使|MN |＝|MO |，求圆心C 的横坐标的取值范围． 解：（Ⅰ）设圆心C （a ，b ），由题意得{b =a −1b =−2a +8，解得{a =3b =2， 所以圆心C （3，2），又圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝1；（Ⅱ）设M （x ，y ），由N （0，3），|MN |＝|MO |，可得√x 2+(y −3)2=√x 2+y 2，两边平方，整理得y =32，所以点M 既在圆C 上又在直线y =32上，即圆C 和直线y =32有公共点，所以|a −1−32|≤1，解得32≤a ≤72， 所以a 的取值范围是[32，72]．20．（15分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，平面CDE ⊥平面ABCD ，AF ‖DE ，DE ⊥CD ，DE =3AF =3√6．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求平面BEF 与平面BDE 夹角的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点P ，使得AP ∥平面BEF ？若存在，指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：因为平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE ∩平面ABCD ＝CD ，DE ⊥CD ，DE ⊂平面CDE ， 所以DE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，因为BD ∩DE ＝D ，DB ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）因为DA ，DC ，DE 两两垂直，以B 为原点，以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：因为DE =3AF =3√6，AD ＝3，所以BD =3√2，AF =√6．则A （3，0，0），F(3，0，√6)，E(0，0，3√6)，B （3，3，0），C （0，3，0），所以BF →=（0，﹣3，√6），EF →=（3，0，﹣2√6），设平面BEF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），所以{n →⋅BF →=(x ，y ，z)⋅(0，−3，√6)=−3y +√6z =0n →⋅EF →=(x ，y ，z)⋅(3，0，−2√6)=3x −2√6z =0，令z =√6，则x ＝4，y ＝2，所以n =(4，2，√6)，因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →为平面BDE 的一个法向量，CA →=（3，﹣3，0），所以cos ＜n →，CA →＞=n →⋅CA →|n →||CA →|=√6)⋅(3√4+2+(√6)⋅√3+(−3)=√1313，设平面BEF 与平面BDE 夹角为θ，所以cos θ＝|cos ＜n →，CA →＞|=√1313，所以平面BEF 与平面BDE 夹角的余弦值√1313． （Ⅲ）线段CE 上存在点P ，点P 为CE 中点，满足AP ∥平面BEF ，证明如下： 设CP →=λCE →（0≤λ≤1），因为CE →=（0，﹣3，3√6），AC →=（﹣3，3，0），所以CP →=（0，﹣3λ，3√6λ），所以AP →=AC →+CP →=（﹣3，3，0）+（0，﹣3λ，3√6λ）＝（﹣3，3﹣3λ，3√6λ）， 由（Ⅱ）知平面BEF 的一个法向量为n →=（4，2，√6），因为AP ∥平面BEF ，所以AP →•n →=0，所以4×（﹣3）+2×（3﹣3λ）+√6×3√6λ＝0，解得λ=12，所以线段CE 上存在点P ，点P 为CE 中点，满足AP ∥平面BEF ．21．（15分）在平面直角坐标系中，对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义ρ（A ，B ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为点A 到点B 的“折线距离”．（Ⅰ）已知A （1，2），B （3，0），求ρ（A ，B ）；（Ⅱ）已知直线l ：√3x +y −4=0．（i ）求坐标原点O 与直线l 上一点的“折线距离”的最小值；（ii ）求圆C ：x 2+y 2＝1上一点与直线l 上一点的“折线距离”的最小值．解：（Ⅰ） A （1，2），B （3，0），由定义可得ρ（A ，B ）＝|1﹣3|+|2﹣0|＝4．（Ⅱ）（i ）直线l ：√3x +y −4=0与x 轴的交点M(4√33，0)，与y 轴的交点N （0，4）， 设直线l 上任意一点Q (t ，4−√3t)（t ∈R ）．当点Q 在线段MN 的延长线上时，ρ（O ，Q ）≥ρ（O ，N ）；当点Q 在线段NM 的延长线上时，ρ（O ，Q ）≥ρ（O ，M ）；当点Q 在线段MN 上时，ρ（O ，Q ）≥ρ（O ，M ）．∵ρ（O ，N ）＝4，ρ(O ，M)=4√33， ∴ρ(O ，Q)≥4√33． 综上，当点Q 与点M 重合时，坐标原点与直线l 上一点的“折线距离”的最小值为4√33． （ii ）由（i ）可知，设P 1是圆C 上任意一点，Q 1是直线l 上任意一点，当且仅当P 1Q 1∥x 轴时，ρ（P 1，Q 1）的最小值为P 1Q 1，如图所示．过P 1作直线l 的垂线，垂足为H 1，则P 1H 1P 1Q 1=√32， ∴P 1Q 1=2√33P 1H 1． 当P 1H 1取最小值时，P 1Q 1取得最小值．过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，当且仅当P 1与P 重合时，P 1H 1取到最小值PH ．易知PH ＝1，∴P 1Q 1的最小值为2√33， 即圆C ：x 2+y 2＝1上一点与直线l 上一点的“折线距离”的最小值为2√33．。
北京市丰台区2017-2018学年高二上学期期中考试物理(文)试题(A卷)
丰台区2017-2018高二上学期期中考试物理（文科）一、单项选择题（本题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的. 每小题2分，共40分）1．如图1所示，把一条导线平行地放在磁针上方附近，当电流通过导线时，磁针会发生偏转。
首先观察到这个实验现象的物理学家是A ．奥斯特B ．爱因斯坦C ．法拉第D ．欧姆2．下列物理量中属于矢量的是A ．路程B ．电功C ．电流 D. 速度3.在国际单位制中，单位是“库仑”的物理量是A ．电荷量B ．电流C ．电压 D. 电阻4．真空中有两个静止的点电荷，若保持它们的电荷量不变，而把它们之间的距离变为原来的二分之一，则两电荷间的库仑力将变为原来的A ．2倍B ．4倍C ．21倍 D ．41倍5. 下列物理量中，用来描述电场强弱和方向的是A ．电场力B ．电场强度C ．电动势 D. 电容6．在匀强磁场中，垂直磁场方向放一个面积为3.0×10-2 m 2的线框，若穿过线框所围面积的磁通量为1.5×10-3 Wb ，则磁场的磁感应强度大小为A ．4.5×10-4 TB ．4.5×10-2 TC ．5.0×10-4 TD ．5.0×10-2 T7．如图2所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，通电直导线与磁场方向垂直，导线长度为L ，导线中电流为I ，该导线所受安培力的大小F 是图1IO-311311u/Vt/s0.01 0.020.03 图 4A ．BIL F =B ．IBL F =C ．BILF =D ．LBI F =8．在下面所示的四幅图中，正确标明通电导线所受安培力F 方向的是A ．B ．C ．D ．9．在图3所示的实验中，能在线圈中产生感应电流的是A ．磁铁N 极停在线圈中 B ．磁铁S 极停在线圈中 C ．磁铁静止在线圈上方 D ．磁铁向线圈插入的过程10．图4是一正弦式交变电流的电压图像。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．60° 3．设a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．＜B ．a 3＞b 3C ．＞D ．a 2＞b 24．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．148．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11．若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．定义算式⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若不等式（x ﹣a ）⊗（x+a ）＜1对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x 2+x ﹣2＞0的解集为 ．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 ．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD 的长；（2）求∠ADC 的度数．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm 2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm 为长度单位分米），上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ．（1）若设版心的高为xdm ，求海报四周空白面积关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b ．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c 取最小值时，求△ABC 的面积．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的函数特性．【分析】利用符号为（﹣1）n 与绝对值为即可得出．【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是a n =（﹣1）n．故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题．2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a2＞b2【考点】不等式比较大小．【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6=3，a 4=2，∴6a 1+d=3，a 1+3d=2，解得a 1=﹣7，d=3． 则a 5=﹣7+3×4=5， 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，由得，即A （1，5），此时OA 的斜率k=5，由得，即C （2，4），此时OC 的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，由余弦定理可得：cosA=，解得A=．故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，可得S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，也是等比数列，S 12﹣S 8===8．S 12=14． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，可得，可得sin2A=sin2B ． 可得2A=2B 或2A+2B=π，即：A=B 或A+B=；故选：D ．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解： =====，故选C．【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z=3x+4y=6+12=18．max即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．若等差数列{an }的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n =a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故选：C．【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an= 2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式．【解答】解：由于在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，故答案为 2n ﹣1．【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得b 2﹣3b+2=0，进而可解得b 的值．【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1=b 2+3﹣2×b ×，整理可得：b 2﹣3b+2=0，∴解得：b=1或2． 故答案为：1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理．【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．【解答】解：①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以“=”当且仅当“”成立，故②为真；③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；④易知，当q=1时结论不正确．总上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…解得BD=3…方法二：由已知得∠BDC=30°，故…由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD= …∴BD=3…（2）在△ABD 中，由余弦定理得：…∴∠ADB=45° … 由已知∠BDC=30°…∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，∵a 1+a 4=10，a 3=6．∴，解得， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…故海报四周空白面积为，…即S（x）=2x++8，x＞0…（2）由基本不等式得：…当且仅当时取等号…∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…∴sinA=2sinAcosC，…∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…∴c的最小值为2，故．…方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ，…∴c 2=16﹣3a （4﹣a ）=3（a ﹣2）2+4，…∴当a=2时，c 的最小值为2，故． …【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1． 【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a ，b 的值；（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m 讨论，求解不等式的解集即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x 2+ax+b=0两根分别为0，2，…将两根代入方程得∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f （x ）＜m 2﹣1为x 2﹣2x ＜m 2﹣1， 即[x ﹣（1﹣m ）][x ﹣（1+m ）]＜0，…∴当m=0时，1﹣m=1+m ，不等式的解集为Φ；…当m ＞0时，1﹣m ＜1+m ，不等式的解集为{x|1﹣m ＜x ＜1+m}； … 当m ＜0时，1+m ＜1﹣m ，不等式的解集为{x|1+m ＜x ＜1﹣m}．… （如上，没有“综上所述…”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n 项和，利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把b n =变形，利用裂项相消法化简，代入S n =得答案；（Ⅲ）把a n 、T n 代入T n ﹣λa n ≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1==n ，当n=1时，a 1=S 1=1也符合上式，∴a n =n ；（Ⅱ）∵，∴=；（Ⅲ）∵存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，∴存在n ∈N *，使得成立，即有解，∴，而，当n=1或n=2时取等号，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．。
2017-2018学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(文科)(a卷)
2017-2018学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（文科）（A卷）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）已知椭圆方程，那么该椭圆的焦点坐标是（）A．（﹣4，0），（4，0）B．（0，，（0，）C．（0，﹣4），（0，4）D．（，0）（，0）3．（4分）已知直线m：y=k（x+1）﹣2恒过点P，那么点P坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）4．（4分）经过点（5，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．x﹣y﹣4=0 B．x+y﹣6=0C．x﹣5y=0或x﹣y﹣4=0 D．x﹣5y=0或x+y﹣6=05．（4分）若直线ax+8y+2=0平行于直线2x+ay﹣2=0，则实数a的值是（）A．0 B．4 C．﹣4 D．±46．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．B．10 C．D．7．（4分）已知方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜﹣3 C．m＞2或m＜﹣3 D．﹣3＜m＜28．（4分）已知点P（x，y）满足条件，那么x2+y2的最大值是（）A．37 B．13 C．D．59．（4分）直线与圆O：x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．2C．2＜m＜4 D．2＜m＜410．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°．若这样的点P有4个，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．0D．0二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）双曲线的离心率为；渐近线方程为．12．（4分）若三点A（a，2），B（2，5），C（﹣1，﹣1）共线，则a的值等于．13．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l通过点F2且与椭圆C相交于A、B两点．若△ABF1的周长是8，且2c=a，则椭圆C的方程为．14．（4分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=﹣2x+y的最大值是；最小值是．15．（4分）已知直线l：mx﹣y+1=0被圆x2+y2=4截得的弦长为，那么m的值等于．16．（4分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（2，1）作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．三、解答题共4个小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（8分）已知A（﹣2，0），B（1，3），直线l经过点B且垂直于直线AB，直线l与x轴相交于点C．（1）求直线AB的方程以及线段BC的垂直平分线；（2）求△ABC的外接圆方程．18．（9分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，直线l经过点A（3，5）且与圆M 相切．（1）求圆M的圆心坐标以及半径；（2）求直线l的方程．19．（9分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l通过右焦点F2，且直线l的倾斜角是45°．（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF1的面积．20．（10分）已知椭圆的离心率为，点A（﹣2，0），B（2，0）都在椭圆T上，P为椭圆T上异于A，B的任意一点．以AB为一边作矩形ABCD，且|AD|=|BC|=2b，直线DP，CP分别交x轴于E，F两点．（1）求椭圆T的方程；（2）求证：为定值，并求该定值．2017-2018学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、单选题共10小题；每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）已知椭圆方程，那么该椭圆的焦点坐标是（）A．（﹣4，0），（4，0）B．（0，，（0，）C．（0，﹣4），（0，4）D．（，0）（，0）【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得椭圆焦点的位置，由椭圆的几何性质计算可得c的值，由焦点坐标公式即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆方程，其焦点在x轴上，且a2=9，b2=7，则c==，则椭圆的焦点坐标为（，0）、（﹣，0）；故选：D．【点评】本题考查椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆标准方程的形式．3．（4分）已知直线m：y=k（x+1）﹣2恒过点P，那么点P坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【分析】令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得定点的坐标．【解答】解：直线m：y=k（x+1）﹣2，令x+1=0，求得x=﹣1，y=﹣2，可得该直线恒过点P（﹣1，﹣2），故选：A．【点评】本题主要考查直线经过定点问题，令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得定点的坐标，属于基础题．4．（4分）经过点（5，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．x﹣y﹣4=0 B．x+y﹣6=0C．x﹣5y=0或x﹣y﹣4=0 D．x﹣5y=0或x+y﹣6=0【分析】当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=a，把点A（5，1）代入方程求得a值．【解答】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是y=x，即x﹣5y=0；当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=a，把点A（5，1）代入方程得a=6，直线的方程是x+y=6即x+y﹣6=0．综上，所求直线的方程为x﹣5y=0或x+y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查用点斜式、截距式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．5．（4分）若直线ax+8y+2=0平行于直线2x+ay﹣2=0，则实数a的值是（）A．0 B．4 C．﹣4 D．±4【分析】利用两直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线ax+8y+2=0平行于直线2x+ay﹣2=0，∴，解得a=±4．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．6．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．B．10 C．D．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求面积，只需求出区域图形的面积即可．【解答】解：不等式组的可行域如图，图形是三角形，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），C（，）区域面积为：=．故选：C．【点评】本题考查了二元一次不等式与一次函数的关系及三角形面积的计算方法，注意运用图形结合可以更直观地得解．7．（4分）已知方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜﹣3 C．m＞2或m＜﹣3 D．﹣3＜m＜2【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得（m﹣2）（m+3）＞0，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若方程表示双曲线，必有（m﹣2）（m+3）＞0，解可得m＜﹣3或x＞2，即么实数m的取值范围是m＜﹣3或x＞2，故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，关键是掌握双曲线的标准方程的形式．8．（4分）已知点P（x，y）满足条件，那么x2+y2的最大值是（）A．37 B．13 C．D．5【分析】先画出满足约束条件的平面区域，z=x2+y2表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最大值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，由图得当为A点时取得目标函数的最大值，可知A点的坐标为（1，6），代入目标函数中，可得z max=12+62=37．故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．9．（4分）直线与圆O：x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．2C．2＜m＜4 D．2＜m＜4【分析】联立，得：4x2+2x+m2﹣4=0，由直线与圆O：x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，利用根的判别式、韦达定理能求出实数m的取值范围．【解答】解：联立，得：4x2+2x+m2﹣4=0，∵直线与圆O：x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，设两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，解得2＜m＜4．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．10．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°．若这样的点P有4个，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．0D．0【分析】以线段F1F2为直径的圆与椭圆有4个公共点，可得b2＜c2，进一步求出椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：以线段F1F2为直径的圆与椭圆有4公共点，∴b2＜c2，即a2﹣c2＜c2，．∴．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是基础题．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）双曲线的离心率为；渐近线方程为y=±x．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，计算可得c的值，由离心率公式计算可得e，由渐近线方程计算可得双曲线的渐近线，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a==4，b==3，则c==5，其离心率e==，渐近线方程为：y=±x；故答案为：，y=±x．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．12．（4分）若三点A（a，2），B（2，5），C（﹣1，﹣1）共线，则a的值等于．【分析】利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出a【解答】解：∵三点A（a，2），B（2，5），C（﹣1，﹣1）∴=（2﹣a，3），=（﹣3，﹣6），∵三点A（a，2），B（2，5），C（﹣1，﹣1）共线，∴﹣6（2﹣a）=﹣3×3，∴a=，故答案为：．【点评】本题考查三点共线的应用，向量坐标的求法、考查向量共线的坐标形式的充要条件．13．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l通过点F2且与椭圆C相交于A、B两点．若△ABF1的周长是8，且2c=a，则椭圆C的方程为．【分析】由题意画出图形，可得4a=8，则a=2，结合2c=a求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：如图，由已知得：|AB|+|AF1|+|BF1|=4a=8，∴a=2．又2c=a=2，∴c=1，∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的方程为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用定义法求椭圆的标准方程，是基础题．14．（4分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=﹣2x+y的最大值是；最小值是﹣4．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=﹣2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得A（2，0），代入目标函数z=﹣2x+y得z=﹣2×2+4=﹣4．由图象可知当直线y=2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（，），代入目标函数z=﹣2x+y得z=﹣2×+=﹣．即目标函数z=﹣2x+y的最大值为．故答案为：；﹣4．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（4分）已知直线l：mx﹣y+1=0被圆x2+y2=4截得的弦长为，那么m的值等于0．【分析】圆心（0，0）到直线l的距离d=，由直线l：mx﹣y+1=0被圆x2+y2=4截得的弦长为，得=2，由此能求出结果．【解答】解：圆心（0，0）到直线l的距离d=，∵直线l：mx﹣y+1=0被圆x2+y2=4截得的弦长为，∴=2，解得m=0．故答案为：0．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式、圆的性质的合理运用．16．（4分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（2，1）作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．【分析】设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB 的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a，求出椭圆方程．【解答】解：设切点坐标为（m，n）则=﹣1即m2+n2﹣n﹣2m=0∵m2+n2=4∴2m+n﹣4=0即AB的直线方程为2x+y﹣4=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣4=0；b﹣4=0解得c=2，b=4所以a2=b2+c2=20故椭圆方程为故答案为：．【点评】本题考查椭圆方程的求法，圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系：a2=b2+c2，考查计算能力．三、解答题共4个小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（8分）已知A（﹣2，0），B（1，3），直线l经过点B且垂直于直线AB，直线l与x轴相交于点C．（1）求直线AB的方程以及线段BC的垂直平分线；（2）求△ABC的外接圆方程．【分析】（1）求出直线AB的方程，从而求出直线BC的方程，进而求出C（4，0）和BC的中点，由此能求出BC的垂直平分线方程．（2）由AB⊥BC，得到圆心坐标为点A和点C的中点坐标（1，0），r==3，由此能求出圆的方程．【解答】（9分）解：（1）∵A（﹣2，0），B（1，3），∴由已知k AB==1，则直线AB的方程为：y﹣3=x﹣1，即AB：x﹣y+2=0．…（1分）∵直线l经过点B且垂直于直线AB，直线l与x轴相交于点C．∴k BC=﹣1，则直线BC的方程为：y﹣3=﹣（x﹣1），即BC：x+y﹣4=0，…（2分）令y=0，则x=4，∴C（4，0）．…（3分）BC的中点是（），…（4分）则线段BC的垂直平分线方程为：y﹣=x﹣，即BC的垂直平分线方程为：x﹣y﹣1=0．…（6分）（2）∵AB⊥BC，∴圆心坐标为点A和点C的中点坐标（1，0）…（7分）r==3，…（8分）∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=9．…（9分）【点评】本题考查直线方程、圆的方程的求法，考查直线、圆、中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（9分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，直线l经过点A（3，5）且与圆M相切．（1）求圆M的圆心坐标以及半径；（2）求直线l的方程．【分析】（1）直接利用圆的标准形式，进一步求出圆的圆心和半径．（2）利用直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．【解答】解：（1）∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 …（1分）∴圆心坐标为（1，2），R=2，（2）①当直线l斜率存在时：设直线l方程为：y﹣5=k（x﹣3），…（4分）即l：kx﹣y+5﹣3k=0，线l与圆M切，所以：所以k=，…（6分）因此，直线l的方程为：5x﹣12y+45=0②当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为：x=3经验证符合．…（8分）综上：直线l的方程为：x=3或5x﹣12y+45=0 …（9分）【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，切线的求法的应用．19．（9分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l通过右焦点F2，且直线l的倾斜角是45°．（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF1的面积．【分析】（1）由椭圆方程结合隐含条件求得c，代入椭圆离心率公式得答案；（2）写出直线l的方程，与椭圆方程联立求得A，B的坐标，得到|AB|，再由点到直线的距离公式求出F1到直线l的距离，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）由椭圆，得a2=8，b2=4，∴c==2，则e=；（2）由（1）知，F2（2，0），直线l的斜率为k=tan45°=1，∴直线l的方程为：y=x﹣2，联立，得3x2﹣8x=0，解得A（0，﹣2），B（），∴|AB|=，点F1到直线l的距离为：d=，∴．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．20．（10分）已知椭圆的离心率为，点A（﹣2，0），B（2，0）都在椭圆T上，P为椭圆T上异于A，B的任意一点．以AB为一边作矩形ABCD，且|AD|=|BC|=2b，直线DP，CP分别交x轴于E，F两点．（1）求椭圆T的方程；（2）求证：为定值，并求该定值．【分析】（1）由已知得a=2，e=，得c=，b=即可．（2）设P（x0，y0），可得DP直线方程为y﹣2=（x+2），E（）同理得F（），|AE|=||，|BF|=||，|EF|=|﹣2﹣﹣2|=||，即可．【解答】解：（1）由已知a=2，e=，得c=，所以，b=，椭圆C的方程：．证明有：（2）因为A（﹣2，0），B（2，0），不妨记C（2，2），D（﹣2，2），设P（x0，y0），所以：DP直线方程为y﹣2=（x+2），则E（）同理，CP直线方程为y﹣2=，则F（），|AE|=||，|BF|=||，|AE|•|BF|=||•||=，|EF|=|﹣2﹣﹣2|=||，所以=1为定值．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．。
2017-2018学年第一学期高二级(文科)数学期中考试答案
2017-2018学年度第二学期高二级文科数学期中试题答案一、选择题：CBCA DADC BDCB 二、填空题：13.1; 14.b 21+a 41 ；15,-1；16.26、【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法.【解析】ln ln 1e π>=，51log 2log 2<，1212z e -===，故选答案A.9、【解析】由12n n S a +=可知 ，当1n =时得211122a S == 当2n ≥时，有12n n S a += ① 12n n S a -= ②①－②可得122n n n a a a +=-即132n n a a +=，故该数列是从第二项起以12为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为2113()22nn a -⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(2)n n =≥， 故当2n ≥时，1113(1())3221()3212n n n S ---=+=- 当1n =时，11131()2S -==，故选答案B本题还有其它方法11．圆222210x x y y -+-+=的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为1242tan 1314θ⋅==-，该角的余弦值等于35，选B.（不排除其它方法）15、答案：1-（y 的系数是负的）；三、解答题 17.解：（1）211cos 22cos 1212cos 2cos 22+-++=++A A A A 2c o s c o s 22A A += ……2分505153212592=⋅+⋅= ……………… 5分 （2）,2,4sin 21===b A bc S ABC ∆中，54cos 1sin 2=-=A A ……… 7分代入解得5=c …… 8分 由余弦定理得： 1753522254cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ………10分 17=∴a ………11分18． 【解析】（1）由312S =，530S =得：11331251030a d a d +=⎧⎨+=⎩……2分解得：12,2a d ==……4分 所以2n a n =.……5分 （2）因为11111()(1)(1)(21)(21)22121n n a a n n n n ==--+-+-+……7分所以1111133557(21)(21)n T n n =++++⨯⨯⨯-⋅+111111111[()()()()]21335572121n n =-+-+-++--+……9分 11(1)22121n n n =-=++.……11分 19【解析】(1)由已知得1//2EF AB EF AB =且 取AD 的中点G,连结GH,GF则1GH//2AB AB =且GH//,EF GH EF GH EFGH ∴=∴且即为平行四边形FG//EH ，,平面且平面EH ADF FG ADF ⊄⊂∴E H∥平面EAD …………4分 (2)EH ABCD ⊥平面,且FG//EH,FG ABCD FG ADF ∴⊥⊂平面且平面ADF ABCD ∴⊥平面平面 …………8分(3) 由（1）（2）可得，平行四边形EFGH 为矩形， ∴HG ⊥FG，有∵HG⊥AD，∴HG⊥平面EAD ∴EF⊥平面EAD ，∴EF 为三棱锥E-ADE 的高且EF=GH=1，又因为1=××21=ΔEG AD S EAD ，∴31=1•1•31=AFD E V -. …………12分20（一）直接法（除了原点）的轨迹方程为所以点，设根据垂径定理020)2(),2(),(),2(),,(),(90222=-+∴=--∙=--∙=∙∴--==∴=∠x y x M y x x y x y x y x y x y x M OMC点评：挖掘圆的几何特征：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，一定联想垂径分弦定理，挖掘出CM OA ⊥，再把CM OA ⊥坐标化的方法：（优选方法（1） （1）向量转化法：0CM OA ⋅=;(2)斜率转化法：分类有无斜率利用1CM OA k k ⋅=-；（3）勾股定理：222OM MC OC +=直接法：根据已知条件找到一个等式，只要将有关的点代入等式，等式里除了所求点的坐标为(x,y),其它点的坐标已知，化简此等式就是所求点的轨迹方程（二）定义法（除了原点））的轨迹方程为（所以点），半径中点（圆心为）为直径的圆（除了原点的轨迹为以点，设根据垂径定理11-1||211,0),(9022=+∴==∴=∠y x M OC r OC OC M y x M OMC定义法：根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，判断点的轨迹符合每个曲线的性质，在使用待定系数法求出轨迹方程,CM OA ⊥∴点M 在以OC 为直径的圆上（下略）这是：利用圆的性质（直径所对的圆周角是直角的逆定理） （三）相关点代入法（除了原点））即（）（（（上在曲线（点中点为设11-42)224)24)2),(22220220),(,),(22222020220000000000=+=+-∴=+-∴=+-⎩⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=∴y x y x y x y x y x A y y xx y y y x x x OA M y x A y x M相关点代入法：已知某点A 的曲线方程，找出所求点P 坐标与点A 坐标之间的关系，用点P 坐标表示点A 坐标，代入点A 所在的曲线方程并化简。
2017-2018学年北京市丰台区高二上学期期中考试语文试题(A卷)Word版
丰台区2017-2018学年度第一学期期中联考高二语文（A卷）考试时间：120分钟分数：120分第Ⅰ卷（选择题共24分）一、语文基础知识及语言运用本大题共6小题，每小题2分，共12分。
1.下列加点字注音、字形全都正确的一项是A．舸．舰（gě）载．欣载奔（zǎi）辐射再接再励B．炽．热（chì）所向披靡．（mí）消遣哀声叹气C．戏谑．（xuè）轻鸢．剪掠（yuān）脉搏锱铢必较D．晕．车（yùn）蕴藉．丰富（jí）怂恿不径而走2．依次填入下列各句横线处的词语，恰当的一组是①日本政界一些人妄图日本侵华的历史，引起中日两国人民的强烈反对。
②端午节，民间有在身上挂香包的习俗，据说，这样可以疾病。
③见到这一情景，她那满腔怨恨，似乎一下子都了。
A．窜改驱除融解 B．篡改祛除融解C．窜改祛除溶解 D．篡改驱除溶解3．下列句子中，加点成语使用恰当的一项是A．有人开玩笑说：“犹太金融资本家打个喷嚏，不少银行都将连锁感冒。
”这可不是骇人．．听闻．．，他们在全球政治经济领域的作用确实非常大。
B．五十年来，我国取得了一批批举世瞩目的科研成果，这同几代科技工作者殚精竭虑．．．．，忘我工作是密不可分的。
C．文学期刊接连倒闭，许多钟情于文学的读者却不以为然．．．．，反映出刊物与读者之间的隔膜已十分严重。
D．这对小学同学分别多年，没想到偶然间萍水相逢．．．．，彼此都十分激动。
4.下列语句中，没有．．语病的一项是A．历史证明，无论西方还是东方，一个大国的崛起过程，必然是国民意识的复苏过程，更是民族自信心、自豪感、凝聚力空前增强的时代。
B．《中国人最易读错的字》一书选取了近200个左右最易读错的字，除了从语音的正误方面做出是非判断外，还对读错的原因进行分析。
C．宗璞笔下的战争没有刀光剑影，却烙刻了深重的精神创痕，并具有一种柔性的书卷气息。
那种浸入骨髓的文化质感，令人掩卷难忘。
D．当克隆人的脚步越来越近的时候，我们应及时思考、广泛讨论，并尽快建立健全有关克隆人的伦理、法律与社会问题的共识。
【精品】2017-2018学年北京四中高二(上)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年北京四中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）下列四个条件中，能确定一个平面的条件是（）A．空间任意三点B．空间两条直线C．空间两条平行直线D．一条直线和一个点2．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面3．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β4．（5分）在四面体P﹣ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有（）个．A．0个B．1个C．3个D．4个5．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E7．（5分）把正方形ABCD沿对角线BD折，使平面ABD⊥平面CBD后，下列命题正确的是（）A．AB⊥BC B．AC⊥BDC．CD⊥平面ABC D．平面ABC⊥平面ACD8．（5分）如图所示，点P为三棱柱ABC﹣A1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥P﹣BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．2V B．3V C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．（5分）已知平面α，β和直线，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β．（i）当满足条件时，有m∥β；（ii）当满足条件时，有m⊥β．（填所选条件的序号）10．（5分）已知m、l是直线，a、β是平面，给出下列命题：（1）若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；（2）若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；（3）若m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；（4）若l?β，且l⊥α，则α⊥β；（5）若m?α，l?β，且α∥β，则l∥m．其中正确的命题的序号是．11．（5分）底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是．12．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=PC=，已知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．14．（5分）如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是．①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．三、解答题：本大题共3小题，共30分15．（10分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图，则四棱锥P﹣ABCD的表面积和体积．16．（10分）若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥AC．17．（10分）如图，已知PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上的一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC中点，F为PB的中点．（I）求证：EF∥面ABC；（II）求证：EF⊥面PAC；（III）求三棱锥B﹣PAC的体积．一、选填题：本大题共5小题，每小题5分，共25分18．（5分）下列说法正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真19．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．20．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在（）位置时，平面D1BQ∥平面PAO．A．Q与C重合B．Q与C1重合C．Q为CC1的三等分点D．Q为CC1的中点21．（5分）若a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，①当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β；②当b?α时，若α⊥β，则b⊥β③当b?α时，若a∥α，则a∥b：④若a，b异面，则有无数条直线与a，b都垂直；⑤若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b．真命题的序号是．22．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．二、解答题：本大题共2小题，第6题10分，第7题15分.23．（10分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．24．（15分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．2017-2018学年北京四中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）下列四个条件中，能确定一个平面的条件是（）A．空间任意三点B．空间两条直线C．空间两条平行直线D．一条直线和一个点【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解．【解答】解：对于A：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故A错．对于B：当这两条直线是异面直线时，则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故B错．对于C：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故C 对；对于D：此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故D错．故选：C．【点评】本题主要考察确定平面的公理及推论．解题的关键是要对确定平面的公理及推论理解透彻！2．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选：B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．3．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．4．（5分）在四面体P﹣ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有（）个．A．0个B．1个C．3个D．4个【分析】由题意画出图形得答案．【解答】解：如图，PA⊥底面ABC，△ABC是∠ABC为直角的直角三角形，则四面体P﹣ABC的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个．故选：D．【点评】本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题．5．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D 结合实物举反例即可．【解答】解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选：D．【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．第11页（共28页）6．（5分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E 是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：A 不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1；C 正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为A 1C 1所在的平面与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点，故A 1C 1∥平面AB 1E 不正确；故选：C ．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．7．（5分）把正方形ABCD 沿对角线BD 折，使平面ABD ⊥平面CBD 后，下列命题正确的是（）A ．AB ⊥BCB ．AC ⊥BD C ．CD ⊥平面ABC D ．平面ABC ⊥平面ACD【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，设正方形ABCD 边长为2，则AB=BC=CD=AD=2，。
北京市第四中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题文
B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α β=l，那么 l⊥平面γ
D. 如果平面α⊥平面β，那么平面 α内所有直线都垂直于平面β
6. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1 垂直底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述 正确的是
2. 在空间直角坐标系 O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2， 0），（2，2，2）. 画该四面体三视图中的正视图时，以 xOz 平面为投影面，则得到正视图可以为
3. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点， 当点 Q 在（ ）位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO.
A. l1⊥l2，l2⊥l3 l1 ∥l3
B. l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C. l1∥l2∥l3 l1，l2，l3 共面
D. l1，l2，l3 共点 l1，l2，l3 共面
3. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
（3）由第 2 问知 BC⊥面 PA C,∴BC 是三棱锥 B-PAC 的高；AC=BC=PA= 2 ，
∴ VB PAC
1 3
(SPAC
)
BC
1 (1 32
2
2)
2
2 3
卷（Ⅱ）
81
1. D
2. A 3. D 4. ①④⑤ 5.
4
6. 证：（1）∵SA=BA，AF⊥SB，∴SF= BF，由题 SE=EA，∴EF∥AB，∵EF 平面 ABC
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(文科)带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：． 【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为 ． 【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0． 所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39， 所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。
北京市丰台区2017-2018学年高二上学期期中考试数学理
丰台区2017-2018学年度第一学期期中联考试卷高二理科数学（A 卷） 考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知直线l 的方程为y x =-+1，那么直线l 的倾斜角是 A ．-45B ．45C ．60D ．1352．已知点(,)P 11，Q 为直线x y +-=10上任意一点，那么||PQ 的最小值是A ．1B ．2C D 3．若两条直线x ay +-=210与()a x ay --+=110平行，则a 的值为 A ．12B ．12或0 C ．0 D ．324．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，回到原来的位置，则直线l 的斜率为A ．3B ．-3C ．-13D ．135．方程x y x y m +++-=220表示一个圆，则m 的取值范围是A ．m <-12B ．m >-12C ．m ≤-12D ．m ≥-126．若直线x y --=20被圆()x a y -+=224所截得的弦长为a 的值为A ．0或4B ．1或3C ．-1D ．-2或67．若双曲线221y x n-=的离心率为2，则n ＝ A ．-3 B ．13C ．1D ．38.直线03=+-m y x 与圆4:22=+y x O 在第二象限内有两个不同交点，则实数m 的取值范围是A ．20<<mB ．322<<mC ．42<<mD ．432<<m9．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上．由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，11216||,||43F B F F ==．则截口BAC 所在椭圆的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1610．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥032031y x y x y ，且目标函数)(R a y ax z ∈+=，若取得最大值时的唯一最优解是)2,1(，则实数a 的取值范围是A ．(,)(,)-∞-+∞112B ． (,)-112C ．(,)(,)-∞-+∞112 D ． (,)-112第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
北京市丰台区高二上学期期中考试数学A卷试题含答案
丰台区2019-2020学年度第一学期期中联考试卷高二数学（A 卷） 考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知()e =x f x ，则(0)f '=A ．0B ．e1C ．1D ．e2．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是A ．22a b >B ．2ab a >C ．2b ab >D ．a b <3．若等差数列{}n a 满足1320+=a a ，2440+=a a ，则公差d 等于A ．5B ．10C ．15D ．204．命题“对任意∈x N ，都有0≥x ”的否定是A ．存在∉x N ,使得0x <B ．存在∈x N ,使得0≥xC ．存在∈x N ,使得0x <D ．对任意∈x N ,都有0x <5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12()n n a a n +=∈N ，则5S 等于A ．30B ．31C ．62D ．646．按数列的排列规律猜想数列23，45-，87，169-，…的第10项是 A ．51219B ．51219-C ．102421D ．102421-7．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设1212()()-=-f x f x k x x ，则下列不等式正确的是A ．12)()''<<k f x f xB ．12()()''<<f x k f xC ．21()()''<<f x f x kD ．12()()''<<f x f x k8. 已知函数()f x 在R 上可导，“0x =是函数()y f x =的极值点”是“(0)=0f '”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 89yxOx 2x 1y7 4 5 8 1 3 5 2 6若数列{}n x 满足12=x ，且对任意*∈n N ，点1(,)+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则2020=x A ．2B ．4C ．7D ．810．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，那么下列说法中正确的是A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线B ．函数()()f x g x -有两个极值点C ．对于任意0x >()()≥f x g x 恒成立D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
【精品】2017-2018学年北京师大附中高二(上)期中数学试卷(文科)
∥n
6．（ 4 分）已知椭圆
的一个焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合，则该椭圆
的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）已知双曲线的焦点在 x 轴上，焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与
直线 x﹣2y+1=0 平行，则双曲线的标准方程为（
）
第 1 页（共 20 页）
A． ﹣y2=1
B．x2﹣ =1
第 4 页（共 20 页）
2017-2018 学年北京师大附中高二 （上）期中数学试卷（文 科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项）
1．（4 分）已知命题
，则￢ p 是（ ）
A．
B．
C．
D． 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题，可以求出￢ p． 【解答】解：因为命题 p 是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得： ￢ p． 故选： C． 【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定， 要求掌握含有量词的命题的否 定的两种形式，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
（）
A．乙，丁
B．甲，丙
C．甲，丁
D．乙，丙
10．（ 4 分）如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， P 为底面 ABCD上的动点， PE⊥
A1C 于 E，且 PA=PE，则点 P 的轨迹是（
）
A．线段 C．椭圆的一部分
B．圆弧 D．抛物线的一部分
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 11．（5 分）已知直线 x+2y=0与直线 x+（a+1）y+4=0垂直，则实数 a 的值是
北京市第四中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题文
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京四中2017-2018学年上学期高中二年级期中考试数学试卷（文科）试卷分为两卷，卷（I） 100分，卷（II） 50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（I）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A. 空间任意三点B. 空间两条直线C. 空间两条平行直线D. 一条直线和一个点2. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A. l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B. l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C. l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D. l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB. 若m⊥α，n⊥α，则m∥nC. 若m∥α，n∥α，则m∥nD. 若m ∥α，m∥β，则α∥β4. 在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个5. 下列命题中错误．．的是A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，αIβ=l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC 中点，则下列叙述正确的是A. CC1与B1E是异面直线B. AC⊥平面ABB1A1C. AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D. A1C1∥平面AB1E7. 把正方形ABCD沿对角线BD折，使平面ABD⊥平面CBD后，下列命题正确的是A. AB⊥BCB. AC⊥BDC. CD⊥平面ABCD. 平面ABC⊥平面ACD8. 如图所示点P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为A. 2VB. 3VC. 43VD.32V二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α; ②m⊥α; ③m⊂α; ④α⊥β; ⑤α∥β（1）当满足条件___________（填序号或序号组合）时，有m∥β；（2）当满足条件_____________（填序号或序号组合）时，有m⊥β.10. 己知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题正确的是（1）若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；（2）若l平行于α，则l平行于α内所有直线；（3） m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；（4）若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；（5）m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l.11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是_____________.12. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=PC=2，己知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是__________.13. 某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_______________.14. 如下图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，己知△A'DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，不考虑A'与A、F重合的情形，给出下列命题：①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A'DE；③三棱锥A'-FED的体积有最大值.其中真命题的序号是_______________.三、解答题：本大题共3小题，共30分15. 已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示：（I）求四棱锥P-ABCD的表面积；（II）求四棱锥P-ABCD的体积.16. 若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC17. 如图，已知PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上的一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC中点，F为PB的中点.（I）求证：EF∥面ABC；（II）求证：EF⊥面PAC；（III）求三棱锥B-PAC的体积.卷（Ⅱ）一、选填题：本大题共5小题，每小题5分，共25分1. 下列说法正确的是A. 一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C. 一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真2. 在空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）. 画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在（）位置时，平面D1BQ∥平面PAO.A. Q与C重合B. Q与C1重合C. Q为CC1的三等分点D. Q为CC1的中点4. 若a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，①当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β；②当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β③当b⊂α时，若a∥α，则a∥b：④若a，b异面，则有无数条直线与a，b都垂直；⑤若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b.真命题的序号是_________________.5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上. 若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为____________.二、解答题：本大题共2小题，第6题10分，第7题15分.6. 如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点，求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA.7. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由。
北京市丰台区高二数学上学期期中试题 理(A卷)
丰台区2017-2018学年度第一学期期中联考试卷高二理科数学（A 卷）考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知直线l 的方程为y x =-+1，那么直线l 的倾斜角是A ．-45B ．45C ．60D ．1352．已知点(,)P 11，Q 为直线x y +-=10上任意一点，那么||PQ 的最小值是A ．1B ．2C ．2D 3．若两条直线x ay +-=210与()a x ay --+=110平行，则a 的值为A ．12B ．12或0C ．0D ．324．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，回到原来的位置，则直线l 的斜率为A ．3B ．-3C ．-13D ．13 5．方程x y x y m +++-=220表示一个圆，则m 的取值范围是A ．m <-12B ．m >-12C ．m ≤-12D ．m ≥-126．若直线x y --=20被圆()x a y -+=224所截得的弦长为，则实数a 的值为A ．0或4B ．1或3C ．-1D ．-2或67．若双曲线221y x n -=的离心率为2，则n ＝ A ．-3 B ．13 C ．1 D ．38.直线03=+-m y x 与圆4:22=+y x O 在第二象限内有两个不同交点，则实数m 的取值范围是A ．20<<mB ．322<<mC ．42<<mD ．432<<m9．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上．由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，11216||,||43F B F F ==．则截口BAC 所在椭圆的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1610．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥032031y x y x y ，且目标函数)(R a y ax z ∈+=，若取得最大值时的唯一最优解是)2,1(，则实数a 的取值范围是A ．(,)(,)-∞-+∞112 B ． (,)-112 C ．(,)(,)-∞-+∞112 D ． (,)-112第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
北京市丰台区高二地理上学期期中试题 文(A卷)
丰台区2017-2018学年度第一学期期中考试联考高二地理（文卷）考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意要求的。
请将所选答案前的字母，按规定要求填涂在答题卡第1～50题的相应位置上。
（每题1分。
选对一项得1分，多选则该小题不得分。
）双子座距离地球约30万光年（银河系直径约10万光年）。
根据所学知识完成1题。
1.双子座属于A.河外星系B.银河系C.太阳系D.地月系浅层地能主要指地球浅层地表数百米内的土壤砂石和地下水所蕴藏的低温热能。
据测量，我国近百米内的土壤每年可采集的低温能量达1.5万亿千瓦，储量大，分布普遍，被喻为“绿色聚宝盆”。
据此，完成2～4题。
2.浅层地能存在的内部圈层是A.地壳B.地幔C.地核D.软流层3.浅层地能的主要来源最可能是A.地球内部B.太阳辐射C.地面辐射D.大气辐射4.人们了解地球内部结构主要依靠的技术包括①钻探技术②地震波③北斗定位④岩石分析A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④地-气系统(大气和地面)吸收太阳短波辐射(能量收入)，又向外发射长波辐射(能量支出)，能量收支的差值，称为辐射差额。
图1为沿海某地多年平均辐射差额的月份分配。
读图，完成5、6题。
图15.地-气系统内存在着能量传递与转换，传递与转换形式多样，其中能促使地面辐射增强的大气过程是A.大气对太阳辐射的散射增强B.大气对太阳辐射的吸收增强C.大气逆辐射增强D.大气对地面辐射的反射增强6.若只考虑辐射差额对气温的影响，该地气温最高的月份是A.1月B.4月C.7月D.8月2016年1月我国出现强冷空气，多地气温降到史上最低，被誉为“世纪寒潮”。
多年未下雪的广州、南宁也飘起雪花。
图2 为“历史出现降雪最南界”示意图。
读图，完成7、8题。
图27.多年以来，跟厦门相比，广州不容易下雪的原因有①暖气团干燥，冷风来临不易凝结成雨②纬度更低，气温更高③更靠近海洋，受海洋影响更大④北边地形阻挡，冷空气不易影响⑤珠三角城市热岛效应更加明显A.①②③B.②③④C.③④⑤D.②④⑤8.1951～1980和1981～2015两个时间段降雪南界比较，反映了A.华南地区气候变暖B.华南地区气候变湿C.华南地区冬天变冷D.华南地区降水减少图3为我国部分干湿地区及农业生产区示意图。
北京市丰台区2017-2018学年高二历史上学期期中试题 文(A卷)
丰台区2017-2018学年度第一学期期中考试联考高二历史（文科）考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.“苟无事迹，虽圣人不能做《春秋》，苟不知其事迹，虽以圣人读《春秋》，不知所以褒贬。
”《四库全书总目》中这段话体现的史学原则是①秉笔直书②言必有据③论从史出④以小见大A．①② B．②③ C．①③ D．②④2．以下主张体现春秋战国时期儒家思想的是A．仁者爱人，民贵君轻 B．祸兮福之所倚，福兮祸之所伏C．兼爱非攻，节用尚俭 D．法不阿贵，以法治国3．以下我国古代医药学的重要成就属于汉代、奠定后世中医临床学理论基础的是A．《黄帝内经》 B．《伤寒杂病论》 C．五禽戏 D．《本草纲目》4．北朝时期总结我国黄河中下游农业生产经验，并且为我国现存最早最完整农书是A．《氾胜之书》 B．《齐民要术》 C．《农书》 D．《农政全书》5.2015年，中国药学家屠呦呦在诺贝尔医学奖颁奖典礼上谈到东晋葛洪《肘后备急方》对她的启发。
该书主要记述各种急性病症的简便治疗方法，并略记了病因、症状。
下列对此书的评述，正确的是A．该书体现了我国古代科技重经验和实用的特点B．该书反映了当时“西学东渐”的文化潮流C．该书创立了当时世界上最先进的药物分类法D．该书奠定了中医学理论的基础6．朱熹提出“存天理，灭人欲”，这里的“天理”是指A.天体运行法则 B．社会发展规律 C．三纲五常 D．“天人感应”学说7.“此心此理，我固有之，所谓万物皆备于我，昔之圣贤得我心之所同然者耳。
”这一主张来自于A．道家学派 B．佛教禅宗 C．朱熹的理学 D．陆九渊的心学8．有西方学者认为：“近代世界赖以建立的种种发明与发现可能有一半来源于中国。
”传入河北、山东、甘肃、陕西、内蒙古、北京、天津资源投稿qq：2355394501河北、山东、甘肃、陕西、内蒙古、北京、天津 资源投稿 qq ：2355394501 2欧洲并对近代世界产生深远影响的宋代科技成就是A ．地动仪B ．造纸术C ．雕版印刷术D ．指南针9.明朝中后期，王阳明学说在中国士大夫中流行。
北京市丰台区17—18学年上学期高二期中考试数学(文)试题(B卷)(附答案)
丰台区2017-2018学年度第一学期期中联考试卷高二文科数学（B 卷）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知过两点(2,0),(4,)A B a -的直线斜率为1，那么a 的值是 A. 6- B. 4- C. 4 D. 62. 二元一次不等式2360x y ≥--表示的平面区域是A. B. C. D. 3. 圆心坐标为C(-1,2)，且与x 轴相切的圆的方程为A ． 22(1)(2)1x y -++=B ．22(1)(2)4x y -++= C ． 22(1)(2)1x y ++-= D ．22(1)(2)4x y ++-= 4. 圆1C ：122=+y x 与圆2C ：098622=+--+y x y x 的位置关系是 A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 5．直线013=++y x 的倾斜角是A ．30°B ．60°C ．120°D ．-60°6. 已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得的弦长 为4，那么实数a 的值为A.8-B.6-C.4-D.2-7. 若y x 、满足条件20,40,0.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则y x z +=21的最大值为A ．25B ．3C ．27D ．48. 若双曲线221y x m -=的离心率为3，则实数m 等于A ．2B ．2C ． 3D ．49. 若双曲线C ：222210,0x y a b a b -=>>,()的一条渐近线方程为xy 25=，且与椭圆131222=+y x 有公共焦点，则双曲线C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22143x y -= D ．22154x y -=10.设直线y kx =与椭圆22143x y +=相交于A B ,两点，分别过,A B 向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于A ．32±B ．23±C ．12±D ．2±第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
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2017-2018学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（文科）（A卷）一、单选题共10小题；每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（4分）已知椭圆方程，那么该椭圆的焦点坐标是（）A．（﹣4，0），（4，0）B．（0，，（0，）C．（0，﹣4），（0，4） D．（，0）（，0）3．（4分）已知直线m：y=k（x+1）﹣2恒过点P，那么点P坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2） C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）4．（4分）经过点（5，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．x﹣y﹣4=0 B．x+y﹣6=0C．x﹣5y=0或x﹣y﹣4=0 D．x﹣5y=0或x+y﹣6=05．（4分）若直线ax+8y+2=0平行于直线2x+ay﹣2=0，则实数a的值是（）A．0 B．4 C．﹣4 D．±46．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．B．10 C．D．7．（4分）已知方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜﹣3 C．m＞2或m＜﹣3 D．﹣3＜m＜28．（4分）已知点P（x，y）满足条件，那么x2+y2的最大值是（）A．37 B．13 C．D．59．（4分）直线与圆O：x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．2C．2＜m＜4 D．2＜m＜410．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°．若这样的点P有4个，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．0D．0二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）双曲线的离心率为；渐近线方程为．12．（4分）若三点A（a，2），B（2，5），C（﹣1，﹣1）共线，则a的值等于．13．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l通过点F2且与椭圆C相交于A、B两点．若△ABF1的周长是8，且2c=a，则椭圆C的方程为．14．（4分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=﹣2x+y的最大值是；最小值是．15．（4分）已知直线l：mx﹣y+1=0被圆x2+y2=4截得的弦长为，那么m的值等于．16．（4分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（2，1）作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．三、解答题共4个小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（8分）已知A（﹣2，0），B（1，3），直线l经过点B且垂直于直线AB，直线l与x轴相交于点C．（1）求直线AB的方程以及线段BC的垂直平分线；（2）求△ABC的外接圆方程．18．（9分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，直线l经过点A（3，5）且与圆M 相切．（1）求圆M的圆心坐标以及半径；（2）求直线l的方程．19．（9分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l通过右焦点F2，且直线l的倾斜角是45°．（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF1的面积．20．（10分）已知椭圆的离心率为，点A（﹣2，0），B（2，0）都在椭圆T上，P为椭圆T上异于A，B的任意一点．以AB为一边作矩形ABCD，且|AD|=|BC|=2b，直线DP，CP分别交x轴于E，F两点．（1）求椭圆T的方程；（2）求证：为定值，并求该定值．2017-2018学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、单选题共10小题；每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故选：C．2．（4分）已知椭圆方程，那么该椭圆的焦点坐标是（）A．（﹣4，0），（4，0）B．（0，，（0，）C．（0，﹣4），（0，4） D．（，0）（，0）【解答】解：根据题意，椭圆方程，其焦点在x轴上，且a2=9，b2=7，则c==，则椭圆的焦点坐标为（，0）、（﹣，0）；故选：D．3．（4分）已知直线m：y=k（x+1）﹣2恒过点P，那么点P坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2） C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【解答】解：直线m：y=k（x+1）﹣2，令x+1=0，求得x=﹣1，y=﹣2，可得该直线恒过点P（﹣1，﹣2），故选：A．4．（4分）经过点（5，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．x﹣y﹣4=0 B．x+y﹣6=0C．x﹣5y=0或x﹣y﹣4=0 D．x﹣5y=0或x+y﹣6=0【解答】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是y=x，即x﹣5y=0；当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=a，把点A（5，1）代入方程得a=6，直线的方程是x+y=6即x+y﹣6=0．综上，所求直线的方程为x﹣5y=0或x+y﹣6=0．故选：D．5．（4分）若直线ax+8y+2=0平行于直线2x+ay﹣2=0，则实数a的值是（）A．0 B．4 C．﹣4 D．±4【解答】解：∵直线ax+8y+2=0平行于直线2x+ay﹣2=0，∴，解得a=±4．故选：D．6．（4分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．B．10 C．D．【解答】解：不等式组的可行域如图，图形是三角形，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），C（，）区域面积为：=．故选：C．7．（4分）已知方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜﹣3 C．m＞2或m＜﹣3 D．﹣3＜m＜2【解答】解：根据题意，若方程表示双曲线，必有（m﹣2）（m+3）＞0，解可得m＜﹣3或x＞2，即么实数m的取值范围是m＜﹣3或x＞2，故选：C．8．（4分）已知点P（x，y）满足条件，那么x2+y2的最大值是（）A．37 B．13 C．D．5【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，由图得当为A点时取得目标函数的最大值，可知A点的坐标为（1，6），代入目标函数中，可得z max=12+62=37．故选：A．9．（4分）直线与圆O：x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．2C．2＜m＜4 D．2＜m＜4【解答】解：联立，得：4x2+2x+m2﹣4=0，∵直线与圆O：x2+y2=4在第二象限内有两个不同交点，设两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，解得2＜m＜4．故选：C．10．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°．若这样的点P有4个，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．0D．0【解答】解：以线段F1F2为直径的圆与椭圆有4公共点，∴b2＜c2，即a2﹣c2＜c2，．∴．故选：A．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）双曲线的离心率为；渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a==4，b==3，则c==5，其离心率e==，渐近线方程为：y=±x；故答案为：，y=±x．12．（4分）若三点A（a，2），B（2，5），C（﹣1，﹣1）共线，则a的值等于．【解答】解：∵三点A（a，2），B（2，5），C（﹣1，﹣1）∴=（2﹣a，3），=（﹣3，﹣6），∵三点A（a，2），B（2，5），C（﹣1，﹣1）共线，∴﹣6（2﹣a）=﹣3×3，∴a=，故答案为：．13．（4分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l通过点F2且与椭圆C相交于A、B两点．若△ABF1的周长是8，且2c=a，则椭圆C的方程为．【解答】解：如图，由已知得：|AB|+|AF1|+|BF1|=4a=8，∴a=2．又2c=a=2，∴c=1，∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的方程为．故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=﹣2x+y的最大值是；最小值是﹣4．【解答】解：作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=﹣2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得A（2，0），代入目标函数z=﹣2x+y得z=﹣2×2+4=﹣4．由图象可知当直线y=2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（，），代入目标函数z=﹣2x+y得z=﹣2×+=﹣．即目标函数z=﹣2x+y的最大值为．故答案为：；﹣4．15．（4分）已知直线l：mx﹣y+1=0被圆x2+y2=4截得的弦长为，那么m的值等于0．【解答】解：圆心（0，0）到直线l的距离d=，∵直线l：mx﹣y+1=0被圆x2+y2=4截得的弦长为，∴=2，解得m=0．故答案为：0．16．（4分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（2，1）作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．【解答】解：设切点坐标为（m，n）则=﹣1即m2+n2﹣n﹣2m=0∵m2+n2=4∴2m+n﹣4=0即AB的直线方程为2x+y﹣4=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣4=0；b﹣4=0解得c=2，b=4所以a2=b2+c2=20故椭圆方程为故答案为：．三、解答题共4个小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（8分）已知A（﹣2，0），B（1，3），直线l经过点B且垂直于直线AB，直线l与x轴相交于点C．（1）求直线AB的方程以及线段BC的垂直平分线；（2）求△ABC的外接圆方程．【解答】（9分）解：（1）∵A（﹣2，0），B（1，3），∴由已知k AB==1，则直线AB的方程为：y﹣3=x﹣1，即AB：x﹣y+2=0．…（1分）∵直线l经过点B且垂直于直线AB，直线l与x轴相交于点C．∴k BC=﹣1，则直线BC的方程为：y﹣3=﹣（x﹣1），即BC：x+y﹣4=0，…（2分）令y=0，则x=4，∴C（4，0）．…（3分）BC的中点是（），…（4分）则线段BC的垂直平分线方程为：y﹣=x﹣，即BC的垂直平分线方程为：x﹣y﹣1=0．…（6分）（2）∵AB⊥BC，∴圆心坐标为点A和点C的中点坐标（1，0）…（7分）r==3，…（8分）∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=9．…（9分）18．（9分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，直线l经过点A（3，5）且与圆M 相切．（1）求圆M的圆心坐标以及半径；（2）求直线l的方程．【解答】解：（1）∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 …（1分）∴圆心坐标为（1，2），R=2，（2）①当直线l斜率存在时：设直线l方程为：y﹣5=k（x﹣3），…（4分）即l：kx﹣y+5﹣3k=0，线l与圆M切，所以：所以k=，…（6分）因此，直线l的方程为：5x﹣12y+45=0②当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为：x=3经验证符合．…（8分）综上：直线l的方程为：x=3或5x﹣12y+45=0 …（9分）19．（9分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l通过右焦点F2，且直线l的倾斜角是45°．（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF1的面积．【解答】解：（1）由椭圆，得a2=8，b2=4，∴c==2，则e=；（2）由（1）知，F2（2，0），直线l的斜率为k=tan45°=1，∴直线l的方程为：y=x﹣2，联立，得3x2﹣8x=0，解得A（0，﹣2），B（），∴|AB|=，点F1到直线l的距离为：d=，∴．20．（10分）已知椭圆的离心率为，点A（﹣2，0），B（2，0）都在椭圆T上，P为椭圆T上异于A，B的任意一点．以AB为一边作矩形ABCD，且|AD|=|BC|=2b，直线DP，CP分别交x轴于E，F两点．（1）求椭圆T的方程；（2）求证：为定值，并求该定值．【解答】解：（1）由已知a=2，e=，得c=，所以，b=，椭圆C的方程：．证明有：（2）因为A（﹣2，0），B（2，0），不妨记C（2，2），D（﹣2，2），设P（x0，y0），所以：DP直线方程为y﹣2=（x+2），则E（）同理，CP直线方程为y﹣2=，则F（），|AE|=||，|BF|=||，|AE|•|BF|=||•||=，|EF|=|﹣2﹣﹣2|=||，所以=1为定值．。