浙江省象山中学2014届高三下学期第一次月考数学(文)试题

浙江省象山中学2014届高三下学期第一次月考数学（文）试题一、选择题1. 复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是 （ ）A.2＋iB.2－iC.－1＋i D .－1－i 2. “1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的 （ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则()U A B ð为 （ ） A.{}1,2,4 B.{}2,3,4 C .{}0,2,4 D.{}0,2,3,44. 为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象 （ ）A.向右平移π6个单位B.向左平移π3个单位C.向左平移π6个单位 D .向右平移π3个单位5. 已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于 A. 130 B. 120 C . 55 D. 50 （ ）7.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于（ ）CA ． 2B ．3 D ．98. 执行如图的程序框图，则输出的λ值是 A ．－2B ． 0 C. 2 D .－2或09. 若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是 A.4π B.6πC.56π D .34π （ ）10. 已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5log 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =c的值为 ．12. 在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是 ．13. 若函数cos ,0,4()()(2)1,0.3x x f x f f x x π->⎧=-=⎨++≤⎩则 ． 14. 正方体的外接球与内切球的表面积的比值为 ．15. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）． A.（不等式选做题）若不等式32x x m --+≥有解，则实数m 的取值范围 ． B.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 2ρθθ-=所表示的曲线上一动点，4,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭，则PQ 的最小值为 ．C.（几何证明选讲选做题）如图（3），已知AB 是圆O 的直径， C 是AB 延长线上一点，CD 切圆O 于D ，CD=4，AB=3BC ， 则圆O 的半径长是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本题满分12分）PF E DC B A已知向量吗m 21+cos 2sin ,sin 2x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n 1cos 22,2sin 2x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设函数()f x =m •n ，x ∈R . (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 值域.17. （本题满分12分）已知向量),(),1,2(y x b a ==（Ⅰ）若{1,0,1},{2,1,2}x y ∈-∈--，求向量a b ⊥的概率；（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组(,)x y 构成区域Ω：1122x y -<<⎧⎨-<<⎩，求二元数组(,)x y 满足22y x +≥1的概率.18. （本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD ==E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求三棱锥P BCD -的体积．19. （本小题满分12分）数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=. (1)求数列{}n a 通项公式；(2)若13na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n b 的通项公式及前n 项和.20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△2MNF 的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．21. （本小题共14分）已知函数()ln af x x x=+(0)a >.象山中学2014月考试数学答案（文科）一. 选择题DCCDC CBDDD 二.填空题11.3π12. 1213. 32 14. 3:1 15. A 5m ≤ C3三、解答题：16. 解（1）因为()f x =m •n 211cos 222sin 1cos 2222x x x x x +=-=π1sin 26x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. …………………………………………………4分所以其最小正周期为2ππ2T ==. …………………………………………………6分 （2）由（1）知()π1sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. …………………………………………………………10分17解：（Ⅰ）从{1,0,1},{2,1,2}x y ∈-∈--取两个数,x y 的基本事件有(1,2),(1,1),(1,2),(0,2),------(0,1),(0,2),(1,2),(1,1),(1,2)---，共9种 ………2分设“向量a b ⊥”为事件A若向量a b ⊥，则20x y += …………3分∴事件A 包含的基本事件有(1,2),(1,2)-，共2种 …………5分 ∴所求事件的概率为2()9P A =…………6分 （Ⅱ）二元数组(,)x y 构成区域Ω={(,)|11,22}x y x y -<<-<< 设“二元数组(,)x y 满足22y x +≥1”为事件B 则事件B =22{(,)|11,22,1}x y x y x y -<<-<<+≥如图所示…………9分 ∴所求事件的概率为21()11248P B ππ⨯=-=-⨯ …………12分19.解：（1）由已知得11n n a a +-=，故数列{}n a 是等差数列，且公差1d =. ……………………………………………２分 又32a =，得10a =，所以1n a n =-. …………… ……………………………４分（2）由（１）得，113n n b n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()11111233n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111123333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+. ……………………………………6分()()11111333122213n nn n n n n S -⎛⎫- ⎪++-⎝⎭=+=+-. ………………………………12分 20. 解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =．因为12e =所以222222314b ac e a a -==-=， 所以23b =． 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………………5分（II ）(1)由题意,当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -.又A ，B 两点在椭圆C 上，所以2200143x x +=，20127x =． 所以点O 到直线AB的距离7d ==．…………………………………8分 (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=．由已知0∆>．所以122834kmx x k +=-+， 212241234m x x k -=+．因为OA OB ⊥， 所以12120x x y y +=．即．1212()()0x x kx m kx m +++=．所以22222224128(1)03434m k m k m k k-+-+=++． 整理得)1(12722+=k m ，满足0∆>． 所以点O 到直线AB 的距离7d ===为定值．………13分21. 解(Ⅰ) ()ln af x x x=+，定义域为(0,)+∞, 则|221()a x af x x x x-=-=. 因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈，所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a . …………6分(Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤ 0(30)x >>， 所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立. 又当00x >时, 200311222x x -<-+≤,所以a 的最小值为12. …………14分。