高中数学课件：第一章 1.2.1 平面的基本性质与推论

AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分
别与平面α相交于点E，G，H，F.求证： E，F，G，H四点必定共线．
证明：∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β. 又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β， 即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的
∴P∈面AA1D1D，P∈面ABCD. 即P是面AA1D1D和面ABCD的公共点． 又面AA1D1D∩面ABCD＝DA， ∴P∈DA，∴D1F、CE、DA三线共点.
[研一题]
[例4] 下列关于异面直线的叙述： ①不在同一平面内的两条直线是异面直线； ②不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线； ③既不平行也不相交的两条直线是异面直线；
∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本性质3可知： 点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平
面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR， ∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR，
2．平面的基本性质与推论
平面 基 本 内容 作用 判断直 线是否 图形
如果一条直线上的
两点 在一个平面内， 那么这条直线上的所 有点都在这个平面内 (即直线在 平面 经过直线)
性
质 1
在平面
内的依 据
平面内 或
平
面
基 本 性 质
内容
作用
图形
经过不在同一条直线上
的 三点 ，有且只有一个
平面(即不共线的三点 确 定一个平面)
矛盾． ∴b⊂α，即直线a，b，l共面． 上面所证为平面的存在性，下面证明平面的惟一性． 假设过a，b，l还有另外一个平面β， 则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有 一个平面相矛盾，因此过a，b，l有且只有一个平面．
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不 在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，图形分
别如图所示．
[悟一法] 点与直线及平面的位置关系只能用“∈”或“∉”；直 线与平面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示．由符号语言画相
应图形时，要注意实虚线的标识．
[通一类]
4．点、线、面之间的关系的符号表示 点A在直线a上(或直线a经 过点A) 点A在直线a外(或直线a不 经过点A) 点A在平面α内(或平面α经 过点A) A∈α A∉a A∈a
元素
与集 合间 的关 系 A∉α
点A在平面α外(或平面α不
经过点A)
直线a在平面α内(或平
面α经过直线a)
直线a与平面α 无公共点 直线a与平面α 相交于点A
[悟一法] “异面直线”是指不同在任何一个平面内的两条直线， 它们既不相交，也不平行．但不能错误地认为分别在两 个平面内的直线就是异面直线．
[通一类] 4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱所在的直线中，与直线 AB是异面直线的条数是 A．2 B．3 ( )
C．4
D．5
解析：如图，正方体的前面与底面所在平面的交线为AB， 故与直线AB是异面直线的棱所在的直线只能在其余的五
(2)也可以说明a、b相交于一点A，b与c相交于一点B， 再说明A、B是同一点，从而得到a、b、c三线共点． 2．证明线共点主要利用基本性质1，基本性质3作为推 理的依据．
[通一类] 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1 的中点． 求证：CE、D1F、DA三线共点．
证明：∵E、F 分别为 AB、AA1 的中点， 1 1 ∴EF∥2D1C，且 EF＝2D1C， ∴D1F 与 CE 必相交． 设 D1F∩CE＝P. ∵D1F⊂面 AA1D1D， CE⊂面 ABCD.
a⊂α
两个
集合
a∩α＝∅
间的 关系
a∩α＝A
直线a与直线b相
交于点A 平面α与 a∩b＝A 两个 集合 α∩β＝a 间的
平面β相交于直线a
关系
[小问题·大思维]
1．三点确定一个平面吗？
提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面．当 三点不在同一条直线上时，确定一个平面． 2．空间四个点可以确定几个平面？ 提示：若空间四个点共线，过这四个点有无数个平面； 若空间四个点仅有三点共线可以确定一个平面；若空间 四个点没有任何三点共线，可以确定四个平面，如四面
确定平面及两 个平面重合的 依据
2
平
面
内容
作用
图形
基 如果不重合的两个平 本 面有 一个 公共点， 判断两平面相 性 那么它们有且只有一 质 条过这个公共点的公 交，线共点， 点共线的依据
3
共直线
平面
内容
作用
图形
推
论 1 推 论
经过 一条直线 和
直线外的一点 ， 有 且只有一个平面 确定平
面的依
又∵Q∈直线BC，
∴Q∈面，又Q∈α，∴Q∈PR. ∴P、Q、R三点共线．
[悟一法]
证明点共线问题的常用方法：方法一是首先找出两
个平面，然后证明这几个点都是这两个平面的公共点，
根据基本性质3，这些点都在交线上．方法二是选择其 中两点确定一条直线，然后证明另外的点也在其上．
[通一类] 2．如图所示，在四边形ABCD中，已知
经过两条相交直线， 据 有且只有一个平面
2
平面 推
内容
作用
图形
经过两条 平行 直线， 确定平面 论 有且只有一个平面 的依据
3
3．共面与异面直线 (1)如果空间几个点或几条直线都在同一平面内，那么就说
它们 共面 ．
(2)如果两条直线共面，那么它们 平行或相交 ． (3)不相交又不平行的直线叫做 异面直线 ． (4)判断两条直线为异面直线的方法：与平面相交于一点的 直线和平面内不经过 交点 的直线是异面直线．
读教材·填要点
1.2
课前预习·巧设计
第 一 章 立 体 几 何 初 步
点、 线、 面 之 间 的 位 置 关 系
1.2.1
小问题·大思维
考点一 平面 的基
名师课堂·一点通
考点二 考点三 考点四 解题高手
NO.1课堂强化
本性
质与 推论
创新演练·大冲关
No.2课下检测
[读教材·填要点] 1．点和直线的基本性质 (1)连接两点的线中，线段 最短 ． (2)过两点有一条直线，并且 只有 一条直线．
5．分别在两个平面内的直线是异面直线吗？ 提示：不一定．如下图中的a与b，
在图(1)中a∥b；图(2)中a与b相交；图(3)中a∥b.
[研一题]
[例1] 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之
间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α； (2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. [自主解答] (1)点A在平面α内，点B不在平面α内；
④分别在两个平面内的两条直线是异面直线．
其中，正确叙述的所有序号为________．
[自主解答]
不同在任何一个平面内的两条直线是异
面直线．“不在同一平面内”不能等同于“不同在任何一个
平面内”，故①不正确，②正确．空间两条直线有三种情
形：平行、相交、异面，故③正确．分别在两个平面内 的两条直线可能是平行直线或相交直线，故④不正确． [答案] ②③
法二：直线a∥b⇒a，b确定平面α ⇒A∈α，B∈α l∩a＝A⇒A∈a A∈l，B∈l l∩b＝B⇒B∈b ⇒l⊂α⇒a，b，l 共面．
法三：(反证法)设直线a和l确定的平面为α，
假设直线b不在平面α内，过点B在平面α内作直线b′∥a， 又b∥a，
则过点B可作两条直线b、b′与a平行，这与平行公理相
体模型．所以空间四个点可以确定一个平面或四个平面
或无数个平面．
3．三条直线两两相交，可以确定几个平面？
提示：三条直线两两相交，若有一个交点，则可以确
定一个平面或三个平面；若有三个交点，则可以确定 一个平面． 4．没有公共点的两条直线是异面直线吗？ 提示：两条异面直线既不平行，也不相交．没有公共
点的两条直线可能是平行直线或异面直线．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. ∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P. ∴a、b、c三条直线相交于同一点．
[悟一法] 1．证明三线共点常用的方法是 (1)先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点 在两个平面内．于是该点在这两个平面的交线上，从而得
到三线共点．
1．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线 CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB. 解：根据条件，画出图形如图．
[研一题]
[例2] 已知△ABC在平面α外，它
的三边所在的直线分别交平面α于P、Q、 R(如图)，求证：P、Q、R三点共线．
[自主解答]
法一：∵AB∩α＝P，
条中，由于AB∥C1D1，所以与直线AB是异面直线的棱所
在的直线为CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．
答案：C
已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、 l有且只有一个平面． [证明]法一：∵a∥b，∴a，b 确定一个平面α.
a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β，
又∵B∈α，B∈β，a⊂α，a⊂β，∴平面α与β重合． 故直线a，b，l共面．
公共直线， ∴E，F，G，H四点必定共线.
[研一题]
[例3] 如图，三个平面α、β、γ
两两相交于三条直线，即α∩β＝c， β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行． 求证：a、b、c三条直线必过同一点．