2014-2015学年安徽省师大附中高一(上)期中数学试卷解析版

2014-2015学年安徽省师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）若集合X={x|x＞﹣1}，下列关系式中成立的为（）A．0⊆X B．{0}∈X C．∅∈X D．{0}⊆X2．（3分）下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（）A．B．C．，且a≠1）D．，且a≠1）3．（3分）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表：函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（3分）已知a=（），b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（3分）已知f（x）=ax3﹣﹣2（a，b≠0），若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣106．（3分）计算的结果为（）A．B．C．D．7．（3分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）已知为偶函数，且当任意＜+∞时，总有＜0，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（3）＜f（1）＜f（π） B．f（π）＜f（0）＜f（1） C．f（0）＜f（1）＜f （2）D．f（0）＜f（π）＜f（2）9．（3分）已知f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A． B． C．D．10．（3分）已知定义在D=[﹣4，4]上的函数f（x）=，对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|最大与最小值之和为（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则的值为．12．（4分）高一某班60名同学参加跳远和铅球测验，及格分别为40人和31人，这两项测验成绩均不及格的有4人，则这两项都及格的人数是．13．（4分）若log a＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．14．（4分）已知在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x3+lgx，则其解析式为f（x）=．15．（4分）已知函数f（x）=（其中e=2.71718…），有下列命题：①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；②对任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；③f（x）在R上单调递增，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；④f（x）无最值，g（x）有最小值；⑤f（x）有零点，g（x）无零点．其中正确的命题是．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16．（8分）设全集U=R，集合A={x|1≤2x＜8}，B={x|log2x≥1}．（Ⅰ）求∁U（A∩B）；（Ⅱ）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．（8分）计算下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（8分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）=f（x）+f（y），，且对于任意0＜α＜β，都有f（α）＞f（β）．（Ⅰ）求f（1）；（Ⅱ）若f（2x）﹣f（2﹣x）≥﹣1，求实数x的取值范围．19．（9分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．20．（8分）已知函数f（x）=a•2x﹣2﹣x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称．（Ⅰ）求g（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）+g（x）﹣1≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．（9分）已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）对任意的α，β∈（0，+∞），试比较与的大小；（Ⅱ）证明：f（）+f（）+…+f（）+f（）＜4027．（其中e=2.71718…）2014-2015学年安徽省师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）若集合X={x|x＞﹣1}，下列关系式中成立的为（）A．0⊆X B．{0}∈X C．∅∈X D．{0}⊆X【解答】解：根据集合中的不等式x＞﹣1可知0是集合X的元素即0∈X，则{0}⊆X故选：D．2．（3分）下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（）A．B．C．，且a≠1）D．，且a≠1）【解答】解：函数y=x的定义域为R，函数=，与函数y=x的解析式不同，所以不是同一函数；的定义域是{x|x≠0}，所以与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；函数的定义域是{x|x＞0}，与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；函数，与函数为同一函数．故选：D．3．（3分）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表：函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵f（2）f（3）＜0，∴连续函数f（x）在（2，3）上有一个零点，∵f（3）f（4）＜0，∴连续函数f（x）在（3，4）上有一个零点，∵f（4）f（5）＜0，∴连续函数f（x）在（4，5）上有一个零点，综上所述，函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个．故选：B．4．（3分）已知a=（），b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：因为0＜a=（）＜（）0=1，b=log 2＜=0，c=log＞=1，故选：C．5．（3分）已知f（x）=ax3﹣﹣2（a，b≠0），若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣10【解答】解：∵f（x）=ax3﹣﹣2（a，b≠0），f（﹣2）=2，∴f（﹣2）=﹣8a+﹣2=2，∴=4，∴f（2）=8a﹣﹣2=﹣4﹣2=﹣6．故选：C．6．（3分）计算的结果为（）A．B．C．D．【解答】解：=（log83+log83）（log94+log92）=×log 98====．故选：A．7．（3分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．8．（3分）已知为偶函数，且当任意＜+∞时，总有＜0，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（3）＜f（1）＜f（π） B．f（π）＜f（0）＜f（1） C．f（0）＜f（1）＜f （2）D．f（0）＜f（π）＜f（2）【解答】解：∵任意＜+∞时，总有＜0，则f（x）在（，+∞）递减，∵函数y=f（x+）为偶函数，且此函数是由f（x）左移个单位得到，∴函数f（x）关于x=对称，∴函数在（﹣∞，）递增，如图示：由图象的对称性知f（0）=f（3）、f（1）=f（2），∵f（x）在（，+∞）递减，∴f（π）＜f（3）＜f（2），∴f（π）＜f（0）＜f（1）故选：B．9．（3分）已知f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A． B． C．D．【解答】解：由题意得：，解得：≤a≤，故选：D．10．（3分）已知定义在D=[﹣4，4]上的函数f（x）=，对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|最大与最小值之和为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：画函数f（x）的图象如图：从图象上看，要满足对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立：∵f（﹣4）=0，f（4）=4，∴任意x∈D，f（﹣4）≤f（x）≤f（4），故满足|x1﹣x2|最大值为8，而对于任意x∈D，f（x）≤f（x）≤f（x），故满足|x1﹣x2|最小值为0，则|x1﹣x2|最大与最小值之和为8+0=8，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则的值为4．【解答】解：设幂函数的解析式为：f（x）=xα，因为幂函数f（x）的图象过点，即，所以解得：α=﹣2，即f（x）=x﹣2，所以=4．故答案为：4．12．（4分）高一某班60名同学参加跳远和铅球测验，及格分别为40人和31人，这两项测验成绩均不及格的有4人，则这两项都及格的人数是15人．【解答】解：根据题意得：40+31+4﹣60=15（人），则两项都及格的人数是15人．故答案为：15人13．（4分）若log a＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．【解答】解：∵log a＜1=log a a，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a，综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），故答案为：（0，）∪（1，+∞）14．（4分）已知在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x3+lgx，则其解析式为f（x）=．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0．∵当x＞0时，f（x）=x3+lgx，∴f（﹣x）=﹣x3+lg（﹣x），∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣lg（﹣x）．又f（0）=0．∴；故答案为：．15．（4分）已知函数f（x）=（其中e=2.71718…），有下列命题：①f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；②对任意x∈R，都有f（2x）=f（x）•g（x）；③f（x）在R上单调递增，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；④f（x）无最值，g（x）有最小值；⑤f（x）有零点，g（x）无零点．其中正确的命题是①③④⑤．（填上所有正确命题的序号）【解答】解：∵f（﹣x）=，g（﹣x）=，∴f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，命题①正确；f（2x）=f（x）•g（x）=，∴命题②不正确；函数y=e x，y=﹣e﹣x在实数集上均为增函数，∴f（x）在R上单调递增，设x1＜x2＜0，则=．∵x1＜x2＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）．g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，命题③正确；由③结合指数函数的单调性可知f（x）无最值，当x=0时，g（x）有最小值1，命题④正确；由f（x）=0，即，得x=0，∴f（x）有零点0，g（x）在x=0时有最小值1，且函数是偶函数，∴g（x）无零点，命题⑤正确．故答案为：①③④⑤．三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16．（8分）设全集U=R，集合A={x|1≤2x＜8}，B={x|log2x≥1}．（Ⅰ）求∁U（A∩B）；（Ⅱ）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）A={x|0≤x＜3}，B={x|x≥2}…2（分）C u（A∩B）={x|x＜2或x≥3}…4（分）（II）∵B∪C=C，∴B⊆C…6（分），∴17．（8分）计算下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解答】解：（I）原式=+1+﹣23×32=+1+8﹣72=﹣60.5．（II）原式===6．18．（8分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）=f（x）+f（y），，且对于任意0＜α＜β，都有f（α）＞f（β）．（Ⅰ）求f（1）；（Ⅱ）若f（2x）﹣f（2﹣x）≥﹣1，求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0．（Ⅱ）∵f（2x）﹣f（2﹣x）≥﹣1，∴f（2x）+f（）≥f（2﹣x），∴f（x）≥f（2﹣x），又∵对于任意0＜α＜β，都有f（α）＞f（β），∴，解得，0＜x≤1，∴x的取值范围为（0，1]．19．（9分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．【解答】解：（1）由题意得：，解得：a=1，b=2，c=1，∴f（x）=x2+2x+1；（2）由（1）得：F（x）=x2+（2﹣k）x+1，∴对称轴x=，开口向上，当≤﹣1，即k≤0时，g（k）=F（x）min=F（﹣1）=k，当﹣1＜＜1，即0＜k＜4时，g（k）=F（x）min=F（k）=﹣+k，当≥1，即k≥4时，g（k）=F（x）min=F（1）=4﹣k，综上：g（k）=．20．（8分）已知函数f（x）=a•2x﹣2﹣x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称．（Ⅰ）求g（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）+g（x）﹣1≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设p（x，y）为g（x）上任意一点，则p（x，y）关于y轴对称点为p′（﹣x，y），由题意知p′（﹣x，y）在f（x）图象上，故g（x）=a•2﹣x﹣2x．（Ⅱ）由f（x）+g（x）﹣1≥0得a（2﹣x+2x）﹣（2﹣x+2x）﹣1≥0，∵2﹣x+2x＞0∴a≥1+（x∈R）令y=t+，其中t=2x＞0，易知y在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴当t=1，即x=0时，y min=2∴=．故有：a≥．21．（9分）已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）对任意的α，β∈（0，+∞），试比较与的大小；（Ⅱ）证明：f（）+f（）+…+f（）+f（）＜4027．（其中e=2.71718…）【解答】解：（1）∀α，β∈（0，+∞）f（）﹣=ln﹣=ln﹣ln=ln又=（）2≥0，∴≥1，∴ln≥0，∴f（）≥（仅有α=β时等号成立）（2）。