浙江高考基本不等式小题狂练
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
基本不等式50练(答案)
基本不等式（答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ．【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______.【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ．【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________ 【答案】8【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______. 【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221ab a +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ． 【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______. 【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 .【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ） A. 47B. 2233C. 2D.32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22ba ba +-的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________.【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa， 则ba 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高考数学解不等式基本训练题及参考答案
高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ ） A (-1,1)∪(2,3) B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ ） A b 3>b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ ） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x <b 或x >b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。
基本不等式专题练习(含参考答案)
数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
基本不等式练习题带答案
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基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式11 .函数y=x+ -(x>0)的值域为().XA. 2] U [2,+x)B. (0,+x)C. [2 ,+x) D . (2,+x)a +b i2. 下列不等式：①a2+ 1>2a；②- -<2；③/ +三 > 1,其中正确的个数是p ab x 十3().A. 0 B . 1 C. 2 D . 33. 若a>0, b>0,且a + 2b — 2 = 0,则ab的最大值为().1B. 1C. 2D. 414. (2011重庆)若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值，则a=( ).X —2A. 1+ 2B. 1+ 3C. 3D. 4t2—4t+ 15. 已知t>0,则函数y= t 的最小值为利用基本不等式求最值1 1【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为X y2x2(2)已知0v x v 5,贝U y= 2x—5x2的最大值为________ .⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y—xy= 0,贝U x+ y的最小值为_________ .利用基本不等式证明不等式【例2] ?已知a>0, b>0, c>0,求证：bC+ 学+ ab>a+ b+ c.a b c3 1（2010四川）设a>b>0,贝U a2+ + 的最小值是（）.ab a a—bC. 3⑵当x>0时，贝U f(x)= x2+ 1的最大值为1【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = x+一的最小值为_____________x—I【训练2】已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c= 1.1 1 1 求证：一+匚+ 9.a b c利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】?（2010 山东）若对任意x>0, x2+3x+［三a恒成立，则a的取值范围是 3 1【训练3】（2011宿州模拟）已知x>0, y>0, xy= x+ 2y,若xy>m—2恒成立, 则实数m的最大值是________ .考向三利用基本不等式解实际问题【例3】？某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用•当侧面的长度为多少时，总造价最低？双基自测1.答案 C1 12•解析 ①②不正确，③正确，/ +孑亍二(x 2+ 1) + 齐1 — 1>2—1二1.答案 B13. 解析 v a >0, b >0, a + 2b = 2,二 a + 2b = 2>2.2ab ，即 ab <㊁.答案 A4. 解析 当 x >2 时，x — 2>0, f(x)= (x — 2) + x-—2 + 2>2 寸 x — 2 X ^—^+ 21二4,当且仅当x — 2二严(x >2),即x = 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，xx ——2 =3,即a = 3.答案 C t 2—4t + 1 15.解析 v t >0,二 y = t = t +1 — 4>2 — 4= — 2,当且仅当t = 1 时取等 号.答案 —2【例 1】解析(1) v x >0, y >0,且 2x +y = 1,••」+J4 + 4= 3 + y +生3+ 2頁.当且仅当匕空时，取等号.x y x y x y x y2x 2 2 12x十w 2= 1,当且仅当x = J 即x = 1时取等号.答 x +x案(1)3+ 2 2 (2)1 1【训练 1].解析(1) V x > 1,二 f(x)= (x — 1) + — + 1>2+ 1 = 3 当且仅当 xx — 12 1=2 时取等号.(2)y = 2x — 5X 2= x(2 - 5x) = 55x(2 — 5X),5x + 2 一 5x 1—5x >0,.°. 5x(2 — 5x) < 2= 1 ,• y <5 当且仅当 5x = 2— 5x ,2 511 2 8即 x =5时，y max = 5.(3)由 2x + 8y — xy = 0,得 2x + 8y =xy ,「.~ + ~ = 1, 8 2 8y 2x 4y x /4y x• x + y = (x + y) + = 10+ +—= 10 + 2 +_ > 10+ 2X 2X = 18,x y x y x y . x y ， 当且仅当 4y = x，即 x = 2y 时取等号，又 2x + 8y — xy = 0,「. x = 12, y = 6, xy•••当 x = 12, y = 6 时，x + y 取最小值 18.答案 (1)3 (2# (3)18【例 2】证明■/a >0, b >0, c >0, • bc + 甲》2 bcca= 2c ； bc + ab >2a b \ a b a c：加2b ； -+瞥2 - Ob - 2a.以上三式相加得：2齐?+学>2(abc ca ab , + b + c)，即 + , + 》a + b + c. ’ a b c111a + b + c 【训练2] 证明 ■/ a >0, b >0, c >0,且 a + b + c = 1,二一+乙+一= +a b c a a+七+a+± 二 3+b +c +b +?+a +」3+ ?+a +a +a + e +b b c a a b b c c a b a c b c⑵ v x >0,「. f(x) = x 2+ 2一••• 5x v 2,21> 3+ 2+ 2+ 2= 9,当且仅当a = b = c =3时，取等号. X X 解析 若对任意x > 0x 2+ 3x + [ w a 恒成立，只需求得 尸x 2 + 3x +〔的最大值即 1 ■ x x 1 5当且仅当 可，因为 x > 0,所以 y =x 2+ 3x + 1 = —口W x +—+3 2 x1 1 等号，所以a 的取值范围是5，+^答案 5，+^ 【训练3】解析 由x >0,y >0,xy = x + 2y >2 - 2xy,得 xy > 8,于是由 恒成立，得m — 2<8, m < 10,故m 的最大值为10.答案 10 一 12 【例3.解 由题意可得，造价y = 3(2x X 150+ — X400)+ 5 800= 900 x x = 1时取 m — 2< xy x +16 + 5 x 16 800(0< x < 5),贝U y = 900 x +丁 + 5 800>900X 2入x =号，即x =4时取等号.故当侧面的长度为4米时，总造价最低.正解 Ta >0,b >0, 且 a + b = 1, 1,2 b 2a b 2a a + b (a +b )=1+ 2 + a + 3 + 2 aF = 3 + 22・a +b =1, b = 2a a = b ，当且仅当 【示例】. 1 2 •••_+==a b当且仅当 x X16+ 5 800= 13 000(元),a = 2—1, 1 2即b =2—2时，a +b 的最小值为3+2 2.1 1 1 1 【试一试】 尝试解答］a2 +1 + ~ = a 2 — ab + ab +1 + ~ = a(a — b)+ aba a —b ab a a — b —+ ab+W >2 气 /a a — b •+ 2、/ab^= 2+ 2= 4.当且仅当 a(a — a a — b ab . a a — b ；ab ' 1 1b)=—且ab = ab ，即a = 2b 时，等号成立.答案 D a a — b ab。
历届浙江高考不等式小题汇编
1 1 (B) ab (C) a 2 b 2 2 (D) a 2 b 2 3 2 2 2010（15）若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy，则 xy 的最小值是
(A) abΒιβλιοθήκη .2011 （16） 若实数 x, y 满足 x2 y 2 xy 1 ， 则 x y 的最大值是___________________________。 2012（9） ．若正数 x，y 满足 x 3 y 5xy, 则3x 4 y 的最小值是
A.
24 5
B.
的最小值为(
)
5.已知 a,b 都是正实数,且满足 log4(2a+b)=log2 ������������,则 2a+b 的最小值为( (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 6.已知正实数 x,y 满足 xy+2x+y=4,则 x+y 的最小值为 7.已知 2a=3b=6c,k∈Z,不等式
������ +������ ������
28 5
C. 5
D. 6
2013（16）.设 a , b ∈R，若 x 0 时恒有 0 x4 x3 ax b ( x2 1)2 ,则 ab 等于______________. 2014（16） ．已知实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则 a 的最大值是________． 练习： 1.若不等式������ >m 的解集是{x︱0<x<2},则实数 m 的值为( (A)2 (A)6
高中数学基本不等式习题专练
高中数学基本不等式习题专练(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学基本不等式专题训练1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． )b a R b ,a ()2b a (ab ab 2b a 2时等号成立当且仅当和变形式=∈+≤≥++: 2．重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；常用式：),()()(2222时等号成立当且当b a R b a b a b a =∈+≥+),,(222时等号成立当且当c b a R c b a ac bc ab c b a ==∈++≥++),,()()(32222时等号成立当且当c b a R c b a c b a c b a ==∈++≥++3.两个不等式链(1)a 2＋b 22≥(a ＋b2)2≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 4.利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 应用一：求最值 题型一：基本不等式直接运用用1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．a 2+b 2＞2abB ．C ．D ．2．下列结论正确的是（ ）A ．当x ＞0且x ≠1时，lgx+≥2B ．当x ＞0时，+≥2C ．当x ≥2时，x+的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x ﹣无最大值3.若x ＞0，则x+的最小值为 ．4．已知x ，y ∈R +，且x+4y=1，则xy 的最大值为 ．5．设实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则x+y 的最大值为 ． 6．若实数a ，b 满足+=，则ab 的最小值为（ ） A ． B ．2 C ．2 D ．47.已知t ＞0，则函数的最小值为 ． 8.若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项 9．若b 为实数，且a+b=2，则3a +3b 的最小值为（ ）A ．18B ．6C ．2D ．2 10.不等式)10)(1(<<-=x x x y 的最大值是 ,此时x=_____ .11．若a ＞b ＞1，P=，Q=（lga+lgb ），R=lg，则（ ） A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q 12．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．题型二： 拼凑或拆项之后使用基本不等式1. 当1x >时，函数11y x x =+-的最小值为_____ ,此时x=_____ 2.函数 12,33y x x x =+>-的最小值是_____ ,此时x=_____ 3. 函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值是_____ ,此时x=_____ 的最小值为函数1x 2x y 22++= ,此时x=_____5.若x<0，则2 + x + 4x的最大值是 ,此时x=_____ 6.若x ＞4，则函数x x y －＋＝－41 （ ）A 有最大值—6 B 有最小值6 C 有最大值—2 D 有最小值27. 当时，求(82)y x x =-的最大值 ,此时x=_____8.已知,x y R +∈，且满足134xy +=，则xy 的最大值为 题型三： 连续使用基本不等式1.已知a ＞0，b ＞0，则的最小值是（ ）A2 B C4 D5 2．若x ，y 是正数，则+的最小值是（ ）A ．3B ．C ．4D ． 3．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则的最小值为 ． 4．设x ，y 为正数，则（x+y ）（+）的最小值为（ ）5. 设a ＞0，b ＞0．若是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（） D.6．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ）7．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ） A ． B ． C ．D ．4 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD=1，则4a+c 的最小值为 ．题型四：基本不等式与一元二次不等式结合求最值1．已知,x y 是正实数，3=--y x xy ，则y x +的最小值为_________。
(浙江专用)高考数学第七章不等式4第4讲基本不等式高效演练分层突破
第4讲基本不等式[基础题组练] 1．当x ＞0时，函数f (x )＝22x有( )x ＋1A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值22 1≤ 2＝1. 分析：选B.f (x )＝x ＋x2x · 1x1当且仅当x ＝x ，x ＞0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.22ab2．设非零实数a ，b ，则“a ＋b ≥2ab ”是“b ＋a ≥2”成立的( )A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件22222ab分析：选B.因为a ，b ∈R 时，都有a ＋b －2ab ＝(a －b )≥0，即a ＋b ≥2ab ，而b ＋a22ab≥2?ab >0，所以“a ＋b ≥2ab ”是“b ＋a ≥2”的必需不充分条件．3．(2020·嘉兴期中)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为()A ．3B ．4 9 11 C.2D.2分析：选B.因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，所以x＋2＋x ＋2y 2－8≥0，y2设x ＋2y ＝t ＞0，12所以t ＋4t －8≥0，所以t 2＋4t －32≥0， 即(t ＋8)(t －4)≥0， 所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4. 4．若log 4 (3 a ＋4)＝log 2ab ，则 a ＋ b 的最小值是( )bA ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋43D ．7＋4 3分析：选D.由题意得ab ＞0， a ＞0， 3＋4＞0，所以b ＞0.ab又log(3a ＋4b )＝log2ab ，4所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，4 3 即3a ＋4b ＝ab ，故a ＋b ＝1.所以＋＝(＋) 4 33a 4b＋b ＝7＋＋a bab aba3 a 4≥7＋2b ·a ＝7＋43.3a 4bD.当且仅当b ＝a 时取等号．应选2a b5．不等式x＋x <b ＋a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是()A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2ab2分析：选C.依据题意，因为不等式x ＋x <b ＋a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则xa ba ba b2＋x <b ＋a min ，因为b ＋a ≥2 b ·a ＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x ＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．6．(2020·绍兴市高三教课质量议论1 221)若正数a ，b 满足： ＋ ＝1，则－1＋－2的最a bab小值为()3 2 A ．2B.2C. 5D ．1＋3224122a2 1分析：选A.由a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，得b ＝a －1>0，所以a －1>0，所以a －1＋b －22＋1＝ 2＋ a －12 · a －1 2 a －112 同＝a － 2 ≥2a － ＝2，当且仅当 ＝ 2 和＋＝1 a －12a11 2a －1 ab－1－2a时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以21a －1＋b －2的最小值为2，应选A.7．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则 ab 的最大值为________．分析：由基本不等式得 a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤a ＋b2＝2114，当且仅当a ＝b ＝2时取到等号．1 答案：2458．(2020·嘉兴期中)已知0＜x ＜4，则x (5－4x )的最大值是________．5 分析：因为0＜x ＜4， 所以0＜5－4x ＜5，114＋5－ 4 x 2 255所以x (5－4x )＝4·4x (5－4x )≤4·2＝16，当且仅当x ＝8时取等号，故最25大值为16.25答案：16xy9．(2020·温州市瑞安市高考模拟 )若x ＞0，y ＞0，则x ＋2y ＋x 的最小值为________．分析：设 y ＝t ＞0，则 x ＋ y 1 ＋t ＝1 1 1 1 1＋2t x x ＋2y x ＝ 2t 1＋2t ＋(2 t ＋1)－≥2 1＋2t ×1＋ 2 2 2 112－1y－2＝ 2－2，当且仅当t ＝2 ＝x 时取等号．答案：2－12a 2＋110．(2020·宁波十校联考)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c ＞1，则(2ab －1)·c2＋ c －1的最小值为________．分析：因为a ＋b ＝1，a 2＋1a 2＋（a ＋b ）2所以2ab －1＝2ab－1＝a ＋b≥2a ·b ＝2，b 2ab 2a当且仅当a＝ b 即 a ＝ 2－1，＝2－2时取等号，b 2aba 2＋122 1所以(2ab －1)·c ＋c －1≥ 2c ＋c －1＝2(c －1＋c －1＋1)≥3 2，当且仅当 c ＝2时取等号．答案：3 211．已知x >0， >0，且2＋8 y － xy ＝0，求y x(1) xy 的最小值；(2) x ＋y 的最小值．8 2解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＋y ＝1，82 828又x >0，y >0，则 1＝x ＋y ≥2 x ·y ＝xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.8 2(2) 由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＋y ＝1，8 2则x ＋y ＝x ＋y ·(x ＋y )2x8y 2x 8y ＝10＋y ＋ x ≥10＋2 y ·x ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12. 行驶中的汽车，在刹车时因为惯性作用，要连续往前滑行一段 距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽 车的刹车距离s (m)与汽车的车速 v (km/h)满足以下关系：nvv 2＝＋s 100 4006＜s 1＜8， (n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据以以下图，此中14＜s 2＜17.(1) 求n 的值；(2) 要使刹车距离不超出12.6m ，则行驶的最大速度是多少？ 解：(1)由试验数据知，1＝ 2 ＋4， 2＝ 7 ＋ 49 ，s5ns10n426＜n ＋4＜8，5所以49714＜10n ＋4＜17，5＜n ＜10，解得5 95 .2＜n ＜14 又n ∈N ，所以n ＝6.(2)由(1) 知，s ＝ 3v ＋v 2，v ≥0.50 400 3vv 2依题意，s ＝＋≤12.6，50 400即v 2＋24v －5040≤0，解得－84≤v ≤60. 因为v ≥0，所以0≤v ≤60. 故行驶的最大速度为60km/h.[综合题组练]1. 以以下图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC两边分别交于 M ，N → → → →两点，且AM ＝xAB ，AN ＝yAC ，则x ＋2y 的最小值 为()1A ．2B.33＋2 23C.3D.4→21→→ 1→1→1→ 1→分析：选 C.由已知可得AG ＝3×2(AB ＋AC )＝3AB ＋3AC ＝3x AM ＋3y AN ，又M 、G 、N 三点1 1 11 11 112yx 3＋22 共线，故3＋3 y ＝1，所以＋＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·x ＋y ·3＝3 3＋x ＋y ≥ 3xxy (当且仅当x ＝ 2y 时取等号)．应选C.2．已知 x >0，>0，2＋＝1，若4 2＋ y 2＋ xy －<0恒成立，则的取值范围是( )yx yxmmA ．(－1，0)∪17B. 17，＋∞，＋∞16161717C. 16，2D. 1，16分析：选 B.4x 2＋y 2＋xy －m <0恒成立，即 m >4x 2＋y 2＋ xy 恒成立．因为x >0，y >0，212x ＋y ＝1，所以1＝2x ＋y ≥22xy ，所以0<xy ≤4 (当且仅当 2x ＝y ＝2时，等号成立)．因为4x 2＋y 2＋ xy ＝(2x ＋y )2－4xy ＋xy ＝1－4xy ＋xy ＝－4xy －1 2 ＋17，所以 4x 2＋y 28 1617 17＋ xy 的最大值为16，故m >16，选B.3．(2020·杭州学军中学考试 )已知a ＜b ，若二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x恒成立，则M ＝a＋2＋4 c 的最小值为________．bb －a分析：由条件知a ＞0， b－＞0.由题意得＝ 2－4ac ≤0，解得c≥b 2，所以＝ab4aMb 2a ＋2b ＋4c a ＋2b ＋4·4aa 2＋2ab ＋b 2 [2a ＋（b －a ）]2（b －a ）2＋4a （b －a ）＋4a 2 b －a≥b －a＝a （b －a ）＝a （b －a ）＝a （b －a ）b －a4ab －a4a＝ a ＋b －a ＋4≥2a ·b －a ＋4＝4＋4＝8，当且仅当b ＝3a 时等号成立，所以M 的最小值为8.答案：8a 2＋2b 24．(2020·浙江省名校联考)已知a ＞0，b ＞－1，且a ＋b ＝1，则a ＋b ＋1的最小值 为____________．分析： a 2＋2 b 2 2 （b ＋1）2－2（b ＋1）＋1 2 1＋ ＝a ＋＋ b ＋ 1 ＝a ＋＋b ＋1－2＋，又a ＋ a b ＋ 1 a ab ＋1 2 1 2 12 1 a ＋13 b ＋1 ＝1，＞0，＋1＞0，所以 a ＝ ＋ ＋＋＋1－2＋ ＝＋ ＋ a ＋ 2＝＋ b abab ＋1a b 1b ＋122 a b＋2（ a 3 b ＋1 a 3＋22 b ＋1 a ＋1）≥2＋2 a · 2（＋1）＝2 ，当且仅当＝ 2（ ＋1）即a ＝4－bbab2 2，b ＝22－3时取等号，所以a 2＋2b 23＋2 2＋的最小值为2.ab ＋1答案：3＋2 225．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；11(2) x ＋y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．2x ＋5y ＝20，x ＝5，所以有解得2x ＝5y ，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2) 因为x >0，y >0，11 11 2x ＋5y 1 5y 2x 所以x ＋y ＝x ＋y · 20 ＝207＋x ＋y ≥15y 2x 7＋210 207＋2x ·y＝ 20.5y 2x当且仅当x ＝y 时，等号成立．2x ＋5y ＝20，x ＝ 1010－203 ，由 5 y 2解得＝ x，20－410 x yy ＝3.1 17＋2 10所以x ＋y 的最小值为 20 .6. (2020·义乌模拟)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ 开拓为水果园种植桃树，已知角A 为 120°，AB ，AC 的长度均大于200米，此刻界限 AP ，AQ 处建围墙，在 PQ 处围篱笆笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为 200米，如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高 1.5米，造价均为每平方米 100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使篱笆笆用料最省？解：设 ＝ x 米， ＝ 米．APAQy1 33 x ＋y2(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝2xy ·sin120°＝ 4xy .所以S ≤42 ＝2500 3.x ＝y ，当且仅当x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”．(2) 由题意得100×(x ＋1.5y )＝20000，即x ＋1.5y ＝200.要使篱笆笆用料最省，只需222 2 2 2 2－其长度PQ 最短，所以PQ ＝x＋y －2xy cos120 °＝x ＋y ＋xy ＝(200－1.5y ) ＋y ＋(200＝ 2＋ ＝8002120000400 ，当 ＝ 800 时， 有1.5y )y 1.75y1.75y 400y 400007737PQ最小值 200 212007 ，此时x ＝.7。
08-19年浙江高考数学基本不等式所有试题
08-19年浙江高考所有基本不等式题均值不等式练习1（08年浙江高考文科第5题）：已知0≥a ，0≥b ，且2=+b a ，则（）A .21≤ab B .21≥ab C .222≥+b a D .322≤+b a解：2a b +≤KEY：C 练习3（14年高考浙江卷文科倒数第二道填空题）：已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，1222=++c b a ，则a 的最大值为______________。
（方法一简单）解：方法一：利用：2b c +-≤0>a ，0<+c b ），∴22212423a a a -≤⇒≤。
方法二（消元）：a b c =--代入得：22222212()12b c bc b c bc ++=⇒+=+≤2()12b c ++⇒22()[()[3b c b c a b c +≤⇒+∈⇒=-+∈-。
KEY：3求什么保留什么练习1.3（10年浙江高考文科）：已知正实数x ，y 满足26x y xy ++=，则xy 的最小值为______________。
（方法一简单）解：方法一：⇒≥+-⇒-≤⇒-=+≤⋅03620)()6(84)6(4)2(22222xy xy xy xy xy y x y x 18≥xy 或2≤xy （266x y xy ++=>）∴18≥xy 。
方法二：由基本不等式得266x y xy ++=≥，设0t =>，则260t --≥⇒(t t -+0t ≥⇒≥或t ≤。
∴18xy ≥，验证等号可取到。
KEY：18平方法练习1.1（11年浙江高考文科）：已知实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是_____________。
解：12)(222+=++=+xy xy y x y x （即可理解为对条件配方也可理解为对所求式子平方），而221133x y xy xy xy ++=≥⇒≤。
∴34)(2≤+y x 。
高考数学专题专练(浙江版)(基本不等式汇编)
班级：姓名：时间：专练主题：多元变量最值问题总第练基础部分：1.已知正数,x y 满足21x y +=，则11xy+的最小值为；2.已知正数,x y 满足21x y +=，则1x x y +的最小值为；3.已知正数,x y 满足1x y +=，则49+1+2x y +的最小值为；4.已知正数,x y 满足0x y >>且2x y +=，则21+3y x x y+-的最小值为；5.已知正数,x y ，则2+y x+2x y x y+的最大值为；+2y 2x+x y x y+的最小值为；6.已知正数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为；7.已知正数,x y 满足2+6x y xy +=，则xy 的最小值为；解题笔记：9.已知正数,x y 满足221x y +=，则2241+2+1x y +的最小值为；10.已知3030x y x y >><<或，则()()2423x y y x y -+-的最小值为；11.在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若已知224sin()6b c bc A π+=+，则tan tan tan A B C ++的最小值是；12.若,,x y z 均为正实数，且满足1xyz =，则()()()111x y z +++的最小值为；13.若已知0,,>c b a ，则bcab c b a 2222+++的最小值为；14.设,,x y z 是正实数，则2221010x y z xy yz zx++++的最小值为；15.设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为；解题笔记：22.已知，且，则的最小值为；23.已知A，B，C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝ca＋b＋bc的最小值是________；24.已知函数f(x)＝3x＋a与函数g(x)＝3x＋2a在区间(b，c)上都有零点，则a2＋2ab＋2ac＋4bcb2－2bc＋c2的最小值为________；25.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则b2a2＋c2的最大值为____________．解题笔记：。
(最新整理)基本不等式练习题(带答案)
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基本不等式1. 若a ∈R ,下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ )Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3。
设x 〉0，则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A 。
10B 。
。
。
5. 若x ， y 是正数，且141xy+=，则xy 有 （ ）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166。
若a ， b ， c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111a b c++≥．a b c ++≤7. 若x 〉0， y >0，且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2 D ．11xy≥8. a ，b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 ( ） Ａ．22a b ab a b +≤+ 22a b aba b +≤+ Ｃ．22ab a ba b +≤+ Ｄ．22ab a ba b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有( ）Ａ．2p q x +=Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10。
浙江新高考数学理一轮复习限时集训：6.4基本不等式(含答案详析)
限时集训 (三十五 )基本不等式(限时：50 分钟满分： 106 分 )一、选择题(本大题共8 个小题，每题5 分，共 40 分)1． (2012·建高考福 )以下不等式必定建立的是()A ． lg( x 2＋14) ＞lg x(x ＞ 0)B ． sin x ＋ sin 1x ≥ 2(x ≠k π， k ∈ Z)C ． x 2＋ 1≥ 2|x|(x ∈ R)1D.x 2＋ 1＞ 1(x ∈ R)2． (2012 陕·西高考 )小王从甲地到乙地来回的时速分别为a 和 b(a<b)，其全程的均匀时速为 v ，则 ()A ． a<v<ab B ． v ＝ aba ＋ ba ＋ bC. ab<v<2D ． v ＝ 21＋ 1的最小值是 ()3．若 a>0 ， b>0，且 ln(a ＋ b)＝ 0，则 a b1A. 4 B ． 1C ． 4D ． 84． (2013 宁·波模拟 )已知 a ， b ∈R ，且 ab ＝ 50，则 |a ＋ 2b|的最小值是 () A ． 20 B ． 150C ． 75D ． 15102x ＋ 25． (2013 淮·北模拟 )函数 y ＝ x － 1 (x>1) 的最小值是 ( )A ． 2 3＋ 2B ．2 3－2C ． 2 3D ． 21 1k≥ 0 恒建立，则实数 k 的最小值等于 ()6．设 a>0 ， b>0，且不等式 a ＋ b ＋ a ＋ b A ． 0B ． 4C ．－ 4D ．－ 27．已知 M 是△ ABC 内的一点，且AB ·AC ＝ 2 3，∠ BAC ＝ 30°，若△ MBC ，△ MCA和△ MAB 的面积分别为 1，x ， y ，则 1＋4的最小值是 ()2x yA ． 20B ． 18C ． 16D ． 198．若 a>b>0，则代数式 a2＋1的最小值为 ()b a－ bA． 2B． 3 C． 4D． 5二、填空题 (本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24分)19．设 x>0，则 y＝ 3－ 2x－x的最大值为 ________．10． (2013 济·南模拟 )已知 x>0， y>0， lg 2 x＋ lg 8 y＝ lg 2，则1＋1的最小值为 ________．x 3y11．某企业租地建库房，每个月土地占用费y1与库房到车站的距离成反比，而每个月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，假如在距车站10 公里处建库房，这两项花费y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项花费之和最小，库房应建在离车站______ 公里处．12．若 a>0，b>0 ，a＋ b＝ 2，则以下不等式对全部知足条件的a，b 恒建立的是 ______(写出全部正确命题的编号)．① ab≤1；②a＋b≤2；③ a2＋ b2≥ 2；④ a3＋b3≥ 3；11⑤＋≥2.13．已知 x>0，y>0， x＋ 2y＋ 2xy＝ 8，则 x＋ 2y 的最小值是 ________．14．关于使－ x2＋2x≤ M 建立的全部常数 M 中，我们把 M 的最小值1叫做－ x2＋ 2x 的12“上确界”．若 a，b∈ (0，＋∞ )，且 a＋ b＝1，则－2a－b的“上确界”为 ________．三、解答题 (本大题共 3 个小题，每题14 分，共42 分)15．已知 a>0， b>0， c>0， d>0.求证：ad＋ bc＋bc＋ ad≥4.bd ac16．已知 x>0，y>0，且 2x＋ 8y－ xy＝ 0，求 (1)xy 的最小值； (2)x＋ y 的最小值．17．提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况．在一般状况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米 /小时 )是车流密度 x(单位：辆 /千米 )的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时，造成拥塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超出 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米 /小时．研究表示：当20≤ x≤200 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当 0≤ x≤200 时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内经过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/小时 )f(x)＝ x·v(x)能够达到最大，并求出最大值( 精准到 1 辆 /小时 )．答案[ 限时集训 (三十五 )]1． C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B8.C9．分析：∵x>0，∴2x＋1≥22，x1∴－ 2x＋x≤ －22，则 y≤3－ 2 2.答案： 3－ 2210．分析：由 lg 2x＋ lg 8 y＝(x＋3y)lg2 ＝lg2 ，得 x＋3y＝ 1，故1＋1＝ (x＋ 3y)1＋1＝2x3y x3y ＋ 3yx＋ 3yx≥ 4.答案： 411．分析：设 x 为库房与车站距离，由已知20y1＝ x ； y2＝ 0.8x 花费之和y＝ y1＋y2＝ 0.8x＋20x≥2020，即 x＝5时“＝”建立．20.8x·＝8，当且仅当0.8x＝x x答案： 5a＋ b212．分析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab≤＝ 1，当且仅当 a＝ b 时4取等号，故①正确； ( a＋ b)2＝ a＋ b＋ 2ab＝ 2＋ 2ab≤4，当且仅当 a＝ b 时取等号，得 aa2＋ b2a＋ b 2a3＋ b3＝ (a ＋b≤ 2，故②错误；因为≥＝ 1，故 a2＋ b2≥ 2建立，故③正确；2 4＋b)( a2＋ b2－ ab)＝ 2(a2＋ b2－ ab)，∵ab≤ 1，2 2 2 23 31 11 1 a ＋ b∴－ab ≥ － 1，又 a ＋ b ≥ 2，∴a ＋ b － ab ≥ 1，∴a ＋b ≥ 2，故④错误； a ＋b ＝ a ＋ b · 2＝ 1＋ a b 2b ＋2a ≥1＋ 1＝2，当且仅当 a ＝ b 时取等号，故⑤正确．答案： ①③⑤13． 分析： 依题意得 (x ＋ 1)(2y ＋ 1)＝ 9，(x ＋ 1)＋ (2y ＋ 1)≥ 2x ＋ 1 2y ＋ 1 ＝ 6，x ＋ 2y ≥ 4，当且仅当 x ＋ 1＝2y ＋ 1，即 x ＝ 2，y＝ 1 时取等号，故 x ＋ 2y 的最小值是 4.答案： 414． 分析： 由题意知，求－ 121 22a － b 的 “ 上确界 ” 相当于求－2a － b 的最大值．∵－1－ 2＝－ 1 ＋ 2 1＋ 2＋ b＋ 2a2a b2a b (a ＋ b)＝－ 22ab≤ － 5 b 2a5－ 22a·＝－ －22b29121 29＝－ 2(当且仅当 a ＝ 3， b ＝ 3时等号建立 ) ，∴－2a －b 的 “ 上确界 ” 为－ 2.答案：－9215． 证明： ad ＋bc bc ＋ ad＋ ＝ a ＋ c ＋bdac b db ＋ d ＝ a ＋ b ＋c ＋ d≥ 2＋ 2＝ 4(当且仅当 a ＝ b ， c ＝ d 时，取 “ ＝” )，a cb a dc ad ＋bc bc ＋ ad故 bd ＋≥ 4.ac16． 解： (1)∵x>0， y>0，∴xy ＝ 2x ＋ 8y ≥ 2 16xy ，即 xy ≥8 xy ，∴ xy ≥8，即 xy ≥64.当且仅当 2x ＝ 8y ，即 x ＝16， y ＝ 4 时， “ ＝” 建立． ∴xy 的最小值为 64.(2)∵x>0， y>0，且 2x ＋8y － xy ＝ 0，∴2x＋8y＝ xy，即2＋8＝ 1. y x282x8y≥ 10＋22x 8y＝ 18，∴x＋ y＝ (x＋ y) ·＋x ＝10＋＋x·y y y x2x8y当且仅当y＝x，即 x＝ 2y＝ 12 时“＝” 建立．∴x＋ y 的最小值为 18.17．解： (1)由题意，当0≤ x≤20 时， v(x)＝ 60；当 20≤x≤ 200 时，设 v(x)＝ ax＋ b，200a＋ b＝ 0，则由已知得20a＋ b＝ 60，1a＝－3，解得200b＝3 .故函数 v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤ x＜ 20，13 200－ x ， 20≤ x≤ 200.(2)依题意并由 (1)可得f(x)＝60x，0≤ x＜ 20，13x 200－ x ， 20≤ x≤ 200.当 0≤x≤ 20 时， f(x)为增函数，故当 x＝ 20 时， f(x)获得最大值为60× 20＝ 1 200；当 20≤ x≤ 200 时，1f(x)＝3x(200－ x)≤1x＋ 200－ x2＝10 000，323当且仅当 x＝ 200－ x，即 x＝ 100 时，等号建立．10 000因此，当 x＝ 100 时， f(x)在区间 [20,200] 上获得最大值.10 000综上，当 x＝ 100 时， f(x)在区间 [0,200] 上获得最大值≈ 3 333，即当车流密度为100 辆 /千米时，车流量能够达到最大，最大值约为 3 333 辆 /小时．。
高三基本不等式练习题
高三基本不等式练习题在高中数学的学习中，不等式是一个重要的概念和工具。
而基本不等式是构建其他不等式的基础，对于高三学生来说，熟练掌握基本不等式的运用至关重要。
本文将为大家提供一些高三基本不等式的练习题，以帮助大家巩固相关知识。
1. 给定 a > b，证明 a + c > b + c。
解法：由于 a > b，我们可以得到 a - b > 0，同样我们可以得到 c > 0。
那么，将这两个不等式相加，得到 (a - b) + c > 0 + c，即 a + c > b + c。
2. 给定 a > b，证明 -a < -b。
解法：由于 a > b，我们可以得到 a - b > 0，同时我们可以得到 -1 < 0。
那么，将这两个不等式相乘，得到 (-1)(a - b) > 0(a - b)，即 -a + b > 0，同理 -a < -b。
3. 给定 a > 0，证明 1/a > 0。
解法：由于 a > 0，我们可以得到 1 > 0。
那么，将这两个不等式相除，得到 1/a > 0。
4. 给定 a < b，证明 -b < -a。
解法：由于 a < b，我们可以得到 b - a > 0，同时我们可以得到 -1 < 0。
那么，将这两个不等式相乘，得到 (-1)(b - a) > 0(b - a)，即 -b + a > 0，同理 -b < -a。
5. 给定 a < b，c > 0，证明 ac < bc。
解法：由于 a < b，我们可以得到 a - b < 0，同时我们可以得到 c > 0。
那么，将这两个不等式相乘，得到 (a - b)c < 0c，即 ac - bc < 0，同理 ac < bc。
高考真题与模拟训练 专题14 基本不等式(试题版)
专题14 基本不等式第一部分真题分类1．（2021·江苏高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b++的最小值是（） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13B ．12C ．9D ．63．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（） A ．0B ．1C ．2D ．34．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+5．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．①B ．②C ．①②D ．①②③6．（2020·海南高考真题）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥-D 2a b ≤7．（2021·天津高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 8．（2020·天津高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 9．（2020·江苏高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______．10．（2019·天津高考真题（文））设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.11．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.12．（2020·全国高考真题（文））设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34．第二部分模拟训练一、单选题1．已知定义在R 上的函数()23y f x =+-是奇函数，当()2,x ∈+∞时，()142f x x x '≥+--，则不等式()()3ln 10f x x -+>⎡⎤⎣⎦的解集为（） A ．()2,+∞ B ．()()1,0,e -⋃+∞ C ．()()0,2,e ⋃+∞D ．()()1,02,-⋃+∞2．已知椭圆方程为()222133y x a a +=>，,A B 是上､下顶点，P 为椭圆上的一个动点，且APB ∠的最大值为120°，若((6,0,6M N -，则14PM PN+的最小值为（）A ．9B ．3C ．53D ．323．已知正数m ，n 满足482m n ⨯=,则32m n +的最小值为（）A ．24B ．18C ．16D ．124．已知1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，若△2ABF 为等边三角形，则221b a +的最小值为（） A ．63B ．663+C ．626+D ．265．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且·1a b =，则||a b +的最小值为（） A ．1B ．2C ．2D ．66．设函数()()2ln 0,0f x a x bx a b =+>>，若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线2e 0x y +-=垂直，则11a b+的最小值为（） A ．1B ．12C ．322-D ．322+7．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos sin 0c A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( ) A ．2B ．23C ．4D ．328．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，3BC CD =，则ADB ∠的最大值为（）A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π 二、填空题9．设曲线()2ln 0y a x xa =+>上任意一点的切线为l ，若l 的倾斜角的取值范围是,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则实数a =______.10．对于任意的正实数a ，b ，则2222953a a b a b+++的取值范围为___________.11．已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____. 12．在正项等比数列{}n a 中，11a =，前三项的和为7，若存在*,m n ∈N 14m n a a a =，则11m n+的最小值为__________. 三、解答题13．已知函数()()32f x x x m m =-+->的最小值为1． （1）求不等式()2f x x m +->的解集﹔ （2）若2223232a b c m ++=，求2ac bc +的最大值．14．已知函数()221g x ax x b =-++，,a b ∈R ，且关于x 的不等式()0g x <的解集为{}|13x x -<<，设()()g xf x x=.（1）若存在[]01,3x ∈，使不等式()002f x x m -≥成立，求实数m 的取值范围；（2）若方程()2213021x xf k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.15．已知()34f x x x =-++． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若()f x 的最小值是k ，且222a b k +=，求22916a b +的最小值．16．设()()322f x x ax x x =+-∈R ，其中常数a ∈R .（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式()332f x x >在区间1[,1]2上有解，求实数a 的取值范围；（3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()()22h x h m x n+-=，则函数()y h x =的图象有对称中心(),m n .利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用a 表示)；若不是，证明你的结论.。
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浙江高考基本不等式小题狂练
. ,0263,.12222的取值范围求满足已知y x y x x y x +=+-. ,3,0,0.2的最大值是则且设ab b a ab b a =++>>.,)0,0(1913.的最小值求已知y x y x y x +>>=+. 14,12,.422的最小值为则满足已知正实数ab b a b a b a ++=+ . 11)
[0,)(2)(.52的最小值为则的值域为二次函数a c c a R x c x ax x f ++++∞∈++=. 4,522122,.6的最小值是则满足已知正数y x y x y x y x +=+++
. 2,0,0,322.7的最小值为则已知b a b a ab b a +>>=++. 3)1(,1log ,8.1的最小值则满足已知正实数b b a b a b a ++-=+. 21111,1,.9的最小值为则满足已知正实数y x M xy y x +++=≤.,451.10的最大值为则实数使得若存在正实数x y x x y xy y +=-. 12)21(,11,0,0.112的最小值为则且已知-+⋅-+=+>>>c c ab a b a c b a . , 11.062,0,0.1222的值为此时的最小值是则设ab b a b a b a b a +=--+>>. 1
)(],1,0[)(,,.13的最大值为则满足对任意的函数为实数设ab x f x b ax x f b a ≤∈+=
. ,40,0.142
2的最小值为那么且已知实数b a b a ab b a -+-=>>. ,511,.15是的最大值与最小值之和则满足若正数y x y x y x y x +=+++ . 1
1,0lg lg .1622的最小值是的实数恒成立则满足不等式已知λλ≤+++=+b b a a b a . ,4,.1722的最大值为则满足实数xy y x y x y x -+=+. )4(2120,0.1822的最大值是则且若b a ab S b a b a +-==+>>
. 1
,,,.
3,2,.192
的最小值是则设已知中如图在三棱锥+===-=⋅=-ab c c CD b BC a AD AB ABC D
.
23,,.20=-=-===
∠===AOB 且设π. 2)12(,1,,.2122222的取值范围是则代数式为实数若ab b a b a a b a ---+++≤. 2.143,.2222的取值范围是则满足若正实数y x y xy x y x +=++.,1.232222的最大值和最小值求已知y x xy y x -==-+μ.11,,5454,24.min max 2222的值求
设满足实数S S y x S y xy x y x ++==+-。