24两直线的交点与距离公式
两条直线的交点坐标两点间的距离公式
方法点睛 1.用“坐标法”解决平面几何问题时,关键要结合图形的特征,建
立适当的平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方
便解决.建系的原则主要有两点:
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;
(2)如果条件中有互相垂直的两条直线,可考虑将它们作为两坐标轴;如果
图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果图形为轴对称图形,可
=
+ -1 = 0,
将①②联立得
解得
4- + 2 = 0,
=
把
1
- ,
5
6
.
5
1
6
x=- ,y= 代入直线方程(3m+1)x-(2m-1)·y+3m-1=0
5
5
得(3m+1)×
1
-5
的左边,
6
-(2m-1)×5+3m-1=0.
因此,不论 m 为何实数,直线(3m+1)x-(2m-1)y+3m-1=0 恒过定点
∴设所求的直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,λ∈R.
∵点 P(1,0)在直线上,∴1-2+λ(3+2)=0,解得
∴所求直线的方程为
1
λ= .
5
1
x+2y-2+ (3x-2y+2)=0,即
5
x+y-1=0.
返回目录
(2)证法一:令m=0,得x+y-1=0,①
令m=1,得4x-y+2=0,②
|PA|=|PB|,根据两点间距离公式建立关于x,y的方程,解方程组得点P的坐
标.(2)由|PA|=|PB|知点P在线段AB的垂直平分线上,再解由两条直线的方程
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式【考纲下载】1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的交点|P1P2|＝x2－x12＋y2－y121．两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？提示：两条直线相交⇔方程组有唯一解；两条直线平行⇔方程组无解；两条直线重合⇔方程组有无穷多解．2．使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 52．两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，95 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，95 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－95 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－953．(2014·烟台模拟)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )A.85B.32 C ．4 D ．8 4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为____________．5．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________.[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是____________．(2)(2014·锦州模拟)当0<k <0.5时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．【互动探究】若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．【方法规律】经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.已知直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0，分别求满足下列条件的k 的值：(1)l 1，l 2，l 3相交于一点； (2)l 1，l 2，l 3围成三角形．[例2] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【方法规律】(1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求直线方程．(2)关于轴对称问题的处理方法： ①点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．1．距离公式包括两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离．这三种距离在高考中经常体现，试题难度不大，多为容易题或中档题，以选择、填空的形式呈现，有时也会在解答题中有所体现．2．高考中对距离公式的考查主要有以下几个命题角度：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)求距离的最值．[例3] (1)(2014·安康模拟)点P到点A′(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于22，这样的点P共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(2)(2014·启东模拟)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________．与距离有关问题的常见类型及解题策略(1)求距离．利用两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线的距离公式直接求解，也可利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离．(2)已知距离求参数值．可利用距离公式，得出含参数的方程，解方程即可求解．(3)求距离的最值．可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值．1．在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，1)，则△OAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34 2．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间 的距离公式的注意点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
直线 l1,l2解方程 无 唯 组 穷 一多 解 解 ll11,,ll22重 相合 交
无解
l1,l2平行
举例
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y －2=0；l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
无解
l1,l2平行
3.3.2 两点间的距离
1.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
P1P2x2x12y2y12
O P x2 y2
作
课本:P104 2；P106. 2
业
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
M1
O
Q
N1
M2 x P1
P 1 P 2x2x12y2y12
练习P106
P1P2x2x12y2y12
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
பைடு நூலகம்
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
特别地，原点O（0，0）与现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
直线的交点坐标与距离公式09264
直线的交点坐标与距离公式一：两条直线的交点坐标：1、设两条直线分别为1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= 则1l 与2l 是否有交点，只需看方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩是否有唯一解若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无穷多解，则两直线重合例1、求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程。
经过两直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程为()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，都得到2220A x B y C ++=，因此，它不能表示直线2l 。
2、对称问题（1）点关于点的对称，点A(a ，b)关于()000,P x y 的对称点B （m ，n ），则由中点坐标公式002,2m x a n y b =-=-，即B （002,2x a y b --） 。
（2）点关于直线的对称，点()00,A x y 关于直线:0l Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的对称点()'11,Ax y ，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。
（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l上，然后再求出1l 上任意不同于交点的已知点1P 关于对称轴对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若直线1l 与对称轴l 平行，则在1l 上任取两不同点1P 、2P ，求其关于对称轴l 的对称点'1P 、'2P ，过'1P 、'2P 的直线就是2l。
直线的交点坐标与距离公式
A(1，cos θ )，B(sin θ ，1)，则△OAB的面积的取值范围
是( )
A (0，1］ C[1，3 ]
42
B [ 1 ，3 ]
22
D [ 1 ，3 ]
44
(2)圆C：x2+y2=4上的点到直线l:3x+4y-20=0距离的最大值为 ________. (3)已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行，且l1,l2之 间的距离为 5，求直线l1的方程.
b a
(1)
解 得1, ：x′=-b-1，y′=-a-1.
x
2
a
y 2
b
1
0，
4.已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_______. 【解析】依题设及两点间的距离公式得：
(a 0)2 (5 解10得)2 a=17±, 8. 答案:±8
第二节 直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
唯一解 无解 有无数组解
2.三种距离
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间 的距离 点P0(x0，y0)到直线 l:Ax+By+C=0的距离 两条平行线Ax+By+C1=0 与Ax+By+C2=0间的距离
| P1P2 | __(x_2___x_1)_2__(_y_2__y_1_)_2
【互动探究】本例题(2)中圆C变为椭圆C′：x2 y2 1，则最大
16 9
值如何？
【解析】设与l:3x+4y-20=0平行且与椭圆相切的直线l′的方
程为：3x+4y+c=0(c≠-20)，
直线的交点坐标与距离公式(2)
复习引入
直线方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 形式 y—y1=k(x—x1) y=kx＋b y—y1 x—x1 = y2—y1 x2—x1 x y ＋ =1 a b Ax+By+C=0 限制条件 不含垂直于 x 轴的 直线 不含垂直于 x 轴的 直线 不包括垂直于坐标 轴 不包括垂直于坐标 轴和过原点的直线 无限制
【例 3】 求经过点(2,3), 且经过两条直线 l1: x-3y-4=0, l2: 5x+2y+6=0 交点的直线方程.
A1x+B1y+C1=0 方程组 的解 A2x+B2y+C2=0
一组 一个 相交
无数组 无数个 重合
无解 零个 平行
两条直线 l1 , l2 的公共点 直线 l1 , l2 的位置关系
例题选讲
【例 1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标. (1) l1: x-y=0, (2) l1: 3x-y+4=0, (3) l1: 3x+4y-5=0, l2: 3x+3y-10=0. l2: 6x-2y-1=0 l2: 6x+8y-10=0.
例题选讲
【例 3】 求经过点(2,3), 且经过两条直线 l1: x-3y-4=0, l2: 5x+2y+6=0 交点的直线方程.
探究 2
当 λ 变化时, 方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示什么图 形？图形有何特点？
拓展：过两条直线 l1: A1x+B1y+C1=0 和 l2: A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,或 A2x+B2y+C2=0, 其中 λ∈R.
高中数学第二章直线和圆的方程-两条直线的交点坐标-两点间的距离公式课件新人教A版选择性必修第一册
即交点坐标为376，47．
(3)由题意可得52xx＋ ＋43yy＝ ＝2aa，＋1， 解得yx＝＝a2－a77＋2，3，
由于交点在第
四象限，所以2aa－7＋ 723＜＞00，，
解得－32＜a＜2．
两条直线相交的判定方法
方法一 方法二 方法三
联立直线方程解方程组，若有一解，则两条直线相交 两条直线斜率都存在且斜率不等 两条直线的斜率一个存在，另一个不存在
所以直线l1与l2平行．
题型2 过两条直线交点的直线的问题 求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满
足下列条件的直线l的方程： (1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行； (2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直．
解：由xx＋－y2－y＋24＝＝0，0， 得交点坐标为(0,2)． (1)因为直线 l 与 3x－4y＋1＝0 平行， 所以 l 的斜率 k＝34，l 的方程为 y＝34x＋2，即 3x－4y＋8＝0． (2)因为直线 l 与 5x＋3y－6＝0 垂直， 所以 l 的斜率 k＝35，l 的方程 y＝53x＋2，即为 3x－5y＋10＝0．
A．5
B． 37
C． 13
D．4
【答案】A
【解析】|MN|＝ 2＋12＋1－52＝5．
()
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________． 【答案】1或－5 【解析】由两点间距离公式，得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a ＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5．
则a的取值范围是________．
【答案】(1)B (2)376，47 (3)－32＜a＜2
【解析】(1)由题意知，l2 与 y 轴的交点在 l1 上，又因为 l2 与 y 轴的交 点为0，34，所以 A×0＋3×34＋C＝0，C＝－4．
两直线的位置关系及距离公式
06
总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
两直线平行与重合的判定
两直线垂直的判定
点到直线的距离公式
两平行线间的距离公式
通过比较两直线的斜率，可以 判断两直线是否平行或重合。 若两直线斜率相等且不重合， 则两直线平行；若两直线斜率 相等且重合，则两直线重合。
两直线垂直的充分必要条件是 它们的斜率互为负倒数。即， 若一直线的斜率为m，另一直线 的斜率为-1/m，则这两直线垂 直。
通过比较两直线的斜率，若斜率 相等且截距不等，则两直线平行。
相交关系
定义
两直线在同一平面内，且斜率不相等，则称两直线相 交。
性质
相交直线有且仅有一个交点，且相交形成的角的大小 与两直线的斜率有关。
判定方法
通过比较两直线的斜率，若斜率不相等，则两直线相 交。
重合关系
定义
两直线在同一平面内，且斜率和截距都相等，则称两直线重合。
THANKS
感谢观看
在同一平面内，两条直线的位 置关系有平行、相交和重合三 种。
直线的倾斜角是直线与x轴正方 向之间的夹角，取值范围是[0,π)。
直线的方程形式
一般式
Ax + By + C = 0（A、B不 同时为0）。
斜截式
y = kx + b（k是斜率，b是 截距）。
点斜式
两点式
y - y1 = k(x - x1)（k是斜率， (x1, y1)三个顶点分别为$A(1, 2)$，$B(-3, -2)$， $C(5, 6)$，求三角形ABC的面积。
解析
首先求出三角形ABC的三边所在直线的方程，然后利用点 到直线的距离公式求出三角形的高，最后利用底和高求出 三角形的面积。
两直线的交点与距离公式
直线的交点坐标与距离公式
内容：直线的交点坐标与距离公式教学目的1、会求两直线的交点坐标2、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式3、会求两条平行直线间的距离重难点1、重点：交点坐标的求解，点到点、点到直线的距离公式的运用2、难点：涉及交点和距离，求解直线方程教学过程1两条直线的交点坐标设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0两条直线的交点坐标就是方程组的解若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。
反之亦成立。
例题：1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标。
（1）l1：5x—2y=3 l2：3x+y=4（2）l1：2x—6y+5=0 l2：y=31（x+1）2、已知直线l1 ：（m+3）x+4y=5-3m l2:2x+(m+5)y=8问：m为何值时1）l1‖l2 2）l1与l2重合 3）l1与l2垂直3、求满足下列两个条件的直线l ：(1)过直线y=-x+1和y=2x+4的交点；(2)与直线x-3y+2=0 垂直。
2两点之间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝22y x +例题：1、已知点A （a ，—2）与B （0,13）间的距离是17，求a 的值。
2、在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程。
3点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离例题：1、求点P(3，-2)到下列直线的距离：2、已知点P (2，－1)(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？22122121)()(y y x x P P -+-=2200B A CBy Ax d +++=4两条平行直线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C2＝0间的距离例题：1、求两条平行线间的距离。
直线的交点坐标与距离公式课件PPT
1．求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直 线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程．
解： 法一：设所求的直线为 l，
由方程组2x＋x－y＋3y－2＝3＝0 0， 得xy＝ ＝－ －5753， . ∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴直线 l 的斜率 k＝－3. ∴根据点斜式有 y－－75＝－3x－－35， 即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
法二：
∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
题型二 两点间距离公式的应用 【例 2】 试在直线 x－y＋4＝0 上求一点 P，使点 P 到点 M(－ 2，－4)，N(4,6)的距离相等．
思路点拨：有以下两种思路：①设出 P 点坐标，根据条件列 出方程，由此求出 P 点坐标；②由条件求出线段 MN 的中垂线方 程，与已知直线方程联立，可得 P 点坐标．
自学导引
1．两条直线的交点坐标
(1)直线的交点坐标：设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 ， 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 就 是 方 程
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
(2)两直线位置关系与方程组 的解的关系：
4．已知点 P(x,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则 x ＝________.
直线的交点坐标与距离公式
4.已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等, 则a的值为________. 【解析】由点到直线的距离公式可得 解得a= 1 或a=-4. 答案: 1 或-4
2 2
3a 2 1 a 1
2
a 4 1 a 1
2
，
【母题变式溯源】
题号 1 2 3 4
知识点 两条直线平行 点到直线的距离 两条直线的交点 点到直线的距离
2 k 3 2 3
2
【巧思妙解】选C.当k=3时,两直线平行,故排除B,D;当 k=1时,两直线不平行,排除A.
(2)选B.若以O为直角顶点,则B在x轴A= ，则b=a3≠0.若∠B= 2 3 a b 2 ，根据垂直关系可知a · =-1,所以a(a3-b)=-1, 2 a 1 3 即b-a =0.以上两种情况皆有可能,故只有B满足条 a
第二节
直线的交点坐标与距离公式
【教材基础回顾】
1.两条直线平行与垂直的判定
条件 两条不重 合的直线 l1,l2,斜率 分别为 k1,k2 两直线位置关系 斜率的关系 k1=k2 _____ k1与k2都不存在 k1k2=-1 _______
平行
垂直
k1与k2一个为零、另 一个不存在
2.两条直线的交点 (1)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共
A1x B1 y C1 0, 点的坐标与方程组 的解一一对应. A x B y C 0 2 2 2
唯一解 交点坐标就是方程组的解. (2)相交⇔方程组有_______, 无解 (3)平行⇔方程组_____. 无数个解 (4)重合⇔方程组有_________.
交点式的公式
交点式的公式交点式是一种几何学上的概念，指的是两个直线或直线与平面之间的交点的表示方式。
交点式的基本公式可以通过解直线方程或者平面方程求出，其中包括两个未知量x和y。
交点式可以用于解决各种几何问题，例如计算两条直线之间的距离，求解两个平面之间的夹角等。
一、求解两条直线之间的交点式公式两条直线之间的交点可以通过解两条直线的方程组来求解。
设两条直线的方程分别为：y = k1x + b1y = k2x + b2k1、k2分别为两个斜率， b1、b2分别为两个截距。
将两个方程联立，得到如下的方程组：y = k1x + b1y = k2x + b2将第二个方程中的y代入第一个方程中，得到：k1x + b1 = k2x + b2x = (b2 - b1)/(k1 - k2)将这个x带入任何一个方程中，可以求出y的值。
这样就求出了两条直线之间的交点坐标(x, y)，也就是交点式公式。
实际应用场景：交点式的公式可以应用于计算两条直线的交点，以及计算两个直线之间的距离。
比如在道路建设中，可以通过计算两条道路的交点来设计道路交会的地方。
二、求解直线与平面之间的交点式公式与直线相交的平面可以通过解平面方程来求解。
平面方程的一般形式为：ax + by + cz + d = 0a、b、c是平面的法向量，d是平面到原点的距离。
与上面的方式类似，将直线的方程代入到平面方程中，可以求解出直线与平面之间的交点的坐标。
一条直线的方程为：x = a1t + x1y = b1t + y1z = c1t + z1另一个平面的方程为：ax + by + cz + d = 0将直线的方程代入到平面中，得到：a(a1t + x1) + b(b1t + y1) + c(c1t + z1) + d = 0解方程，得到：t = -(ax1 + by1 + cz1 + d)/(aa1 + bb1 + cc1)x = a1t + x1y = b1t + y1z = c1t + z1这样就求出了直线与平面之间的交点坐标。
高三数学直线的交点坐标与距离公式
点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足
• 解法二：设直线l的方程为 y － 2 ＝k(x＋1) ， 即kx－y＋k＋2＝0. • 由 • 由 • 则 得x＝ 得x＝ ＝－2，解得k＝－3.
• 变式 1. 如图，设一直线过点 (－1,1)，它被 两平行直线l1：x＋2y－1＝0， • l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直
在线段DC上．
【答题模板】
• 解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′， 则折痕EF所在直线的斜率
• k≤0.当k＝0时，A′与D重合，EF所在直线方程 为 y＝
• 当k＜0时，线段EF垂直平分OA′.故直线OA′的
• (2) 由 (1) 知 线 段 EF 的 方 程 为 y ＝ kx ＋
答案：B
• 3．直线l1经过点A(3,0)，直线l2经过点B(0,4)，
且l1∥l2，用d表示l1，l2间的距离，则(
• A． d ≥ 5 D．0<d≤5 • 答案：D B．3≤d≤5
)
C ． 0≤d≤5
• 4．直线l过点(2,1)，且原点到l的距离是1，
• 直线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 与直线 l2 ： A2x ＋
• 无论a取何值，直线l过A(1，－3)点， • 则直线l的斜率k≥0，即－(a＋1)≥0.解得a≤－
• 变式3.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1
＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，
• 则d的取值范围是( )
•
解析：本题考查数形结合思想，以及分
•将直线 l 的方程变为： x ＋ y － 2 ＋ λ(3x ＋ 2y －5)＝0，它表示过直线l1：x＋y－2＝0，l2： 3x ＋ 2y － 5 ＝ 0 的交点且不包含第二条直线
两条直线相交及点到直线的距离公式
课堂小结
• 1、两条相交直线的交点的求法 • 2、点到直线的距离公式
课堂练习
课本96页、99页 练习
作业
• 课本96页习题A组第5题 • 课本99页习题A组第1、3题
（ 2 ） 与 直 线 l 2 : x 5 y 6 0 垂 直 的 直 线 方 程
3 、 求 点 p ( 1 , 2 ) 到 直 线 l : 2 x y 5 0 的 距 离
4 、 已 知 点 p (a , 1 ) 到 直 线 x 2 y 8 0 的 距 离 等 于 5 ， 求 a 的 值
算 得 x ,y 即 得 交 点 坐 标 ( x ,y )
2 、 点 到 直 线 的 距 离 公 式
已 知 直 线 l : A x B y C 0 , 直 线 外 一 点 p ( x 0 , y 0 )
设 p到 l的 距 离 为 dA x0B y0C A 2B 2
注：直线方程必须化为一般式才可用公式
两直线相交与 点到直线的距离公式
知识回顾
1 、 已 知 直 线 l 1 :A 1 x B 1 y C 1 0 、 l 2 :A 2 x B 2 y C 2 0 那 么 l 1 与 l2 相 交 的 交 点 坐 标 求 解
AA21xxBB12yyCC1200
例题讲解
1 、 求 两 条 直 线 l1 :2 x 3 y 7 0 与 l2 :5 x 2 y 8 0 的 交 点 坐 标
2 、 求 经 过 两 条 直 线 x 3 y 3 0 和 3 x 2 y 2 0 的 交 点 ， 且
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
；
（2）点 P0 x0， y0 到直线 l： Ax+By+C =0 的距离为 （3）两条平行直线 l1：Ax+By+C1=0 、 l2： Ax+By+C2=0 间的距离为
3．对称中心的求法
； 。
若两点 P1 x1，y1 、P2 x2，y2 关于点 P x，y 对称，那么由中点坐标公式有点
4．对称问题
2
2
。
y1 -y2
A -
1
x1-x2 B
1．点 1，-1 到直线 x-y+1=0 的距离是（
）
1
A．
2
3
B．
2
32
C．
2
（理 提高）已知点 a，2 a>0 到直线 l： x-y+3=0 的距离为 1，则 a 的值为（
）
D．
2
2
A． 2
B． 2-1
2．两直线 l1 : 2x-y+1=0 、 l2： x-y-1=0的交点坐标是（
1． 两直线的交点
直线 l1： A1x+B1y+C1=0 与 l2：A2x+B2 y+C2 =0 的公共点的坐标与方程组
A1x+B1 y+C1=0 的解一一对应。 A2x+B2 y+C2 =0
相交 方程组
，方程组的解就是交点的坐标；平行
方程组
；重合 方程组
有
。
2． 距离
（1）点 P1 x1，y1 、 P2 x2，y2 之间的距离为
14．一条光线经过点 P（ 2， 3），射在直线 l： x+y+1=0 上，反射后经过点 （ 1）入射光线方程； （ 2）这条光线从点 P 到点 Q 所经过的路线的长度。
Q（1， 1），求
a-c
C．
1+m2
D ． 2+1 D ． -3，2
7 D． 10
20 D． a-c 1+m2
5．平面直角坐标系中直线 y=2 x+1 关于点 1，1 对称的直线方程为（
）
A． y=2 x-1
B． y=-2 x+1
C． y=-2 x+3
二．填空题
6．点 P（1， 1）关于直线 x+y-1=0 对称的点的坐标为
；
11．已知
11 + =1
a>0， b >0
，则点
0，b 到直线 3x-4 y-a=0 的距离的最小值为
。
ab
三．解答题
12．求经过直线 l1：2x+3y-5=0 ， l2：3x-2 y-3=0 的交点且平行于直线 2x+y-3=0 的直线方程；
13．求经过点 P(1， 2)的直线，且使 A（ 2， 3）， B（ 0， -5）到它的距离相等；
7．直线 x-2y+1=0 关于直线 x=11 时，两条直线 kx-y=k-1、 ky-x=2 k 的交点在第 2
9．与直线 7x+24 y=5 平行，并且与其距离等于 3 的直线方程为
D． y=2 x-3
； 象限； ；
10．已知点 M a，b 在直线 3x+4 y=15 上，则 a2 +b2 的最小值为
考纲解读
新课标高三数学一轮复习 24 两直线的交点与距离公式
1． 能用解方程组的方法求解两相交直线的交点坐标；
2． 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求解两条平行直线间的距离 考点分析
1． 在高考中多以选择题的形式出现；
2． 也可以放在解答题中进行考察； 3． 是每年必考的内容之一。 知识梳理
P 坐标
x= x1 +x2 2；
y= y1 +y2 2
若两个点 P1 x1，y1 、 P2 x2，y2 关于直线 l： Ax +By +C =0 A 0 对称，则线段 P1P2 的中点 P 在对称轴 l
上，而且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴
练习巩固 一．选择题
l ，那么
A x1 +x2 +B y1+y2 +C=0
C． 2- 2
）
A． -2，3
B． 2，- 3
C． -2，-3
3．两平行直线 3x+ y-3=0 与 6x+my+1=0 平行，则他们之间的距离为（
）
A． 4
2
B．
13
13
5
C．
13
26
4．若点 P a，b 、 Q c，d 都在直线 y=mx+k 上，则 PQ 为（ ）
A． a+c 1+m2
B． m a-c