初一升初二暑假数学教材
2024初一升初二暑假学习计划
2024初一升初二暑假学习计划暑假即将来临，对于初一升初二的学生来说，这是一个绝佳的时机来提升自己的学习能力和知识水平。
为了充分利用这个暑假，制定一份详细的学习计划是非常必要的。
下面是一个由易到难的阶段性学习计划，供大家参考。
第一阶段：基础知识巩固（1-2周）语文复习初一上学期的语文知识点，包括文学常识、文言文、现代文阅读等。
阅读经典文学作品，提高阅读能力和文学鉴赏能力。
数学复习初一上学期的数学知识，包括有理数、代数式、方程等。
完成相应的练习题，巩固所学知识。
英语复习初一上学期的英语知识点，包括语音、语法、词汇等。
听力和口语练习，提高英语听说能力。
第二阶段：学科进阶学习（3-4周）语文学习初二上学期的新知识，包括古代诗歌、文言文、现代文阅读等。
开始练习写作，提高写作能力。
数学学习初二上学期的新知识，包括一次函数、直角三角形等。
完成相应的练习题，加深对知识的理解。
英语学习初二上学期的新知识，包括词汇、语法、阅读等。
听力、口语和写作练习，提高英语综合运用能力。
第三阶段：强化提高（5-6周）语文重点攻克文言文和古代诗歌的难点，提高阅读和鉴赏能力。
加强写作练习，提高写作水平。
数学学习数学竞赛相关知识，提高数学思维能力。
深入钻研数学知识，加深对数学的理解。
英语提高英语听说和阅读能力，加强听力、口语和阅读练习。
学习英语写作技巧，提高英语写作水平。
第四阶段：综合复习（7-8周）语文、数学、英语全面复习初一和初二上学期的知识点，强化对知识的理解和记忆。
完成模拟试题和真题，检验学习成果。
针对薄弱环节进行重点突破，提高综合运用能力。
北师版数学初一升初二暑假衔接教材
第一讲、三角形总复习基础知识1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。
三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。
从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。
因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。
因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。
例题精讲一、三角形内角和定理的应用【例1】如图1，已知∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，E 是AD 上一点。
求证：∠>∠B E D C二、三角形三边关系的应用【例2】已知：如图，在∆A B C中，AB>AC ，AM 是BC 边的中线。
求证：()A M A B A C >-12。
三、角平分线定理的应用【例3】如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。
求证：AM 平分DAB 。
四、全等三角形的应用1、构造全等三角形解决问题【例4】已知如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。
求证：∆A M N的周长等于2。
2、“全等三角形”在综合题中的应用【例5】如图，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。
点B在AE的延长线上，点D在AF上。
若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。
求AC的长。
五、中考点拨【例6】如图，在∆A B C中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为【】A. 9B. 8C. 7D. 6六、题型展示【例7】已知：如图，∆A B C 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。
2022年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十五讲 等腰直角三角形 新人教版
DACBD A M EC B DA M CB 第十五讲：等腰直角三角形如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D. 根本性质：1．边：AB=AC ，DA=DB=DC=12BC ； 2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°； ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；3．形：等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACD.第一局部【能力提高】一、如图，M 为等腰Rt △ABC 斜边BC 的中点，D 为AB 上一点，ME ⊥MD 交直线AC 于点E.〔1〕求证：MD=ME ；其它结论：①AD+AE=AB ；②BD+CE=AB ；③△MDE 为等腰直角三角形；④12ABCADME S S四.〔2〕如图，假设D 为AB 反向延长线上一点，其它条件不变， 请完成图形并探究〔1〕中的结论.二、如图，点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD =∠CBD =15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ．〔1〕求证：DE 平分∠BDC；〔2〕假设点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．DAE C B A NM P E CB D E AC B图1三、如图，M 为等腰Rt △ABC 直角边AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，连结DE. 〔1〕求证：①∠ADB=∠CDE ；②AE+DE=BD ；〔2〕如图2，假设AM=CN ，AE ⊥BM 交BC 于点E ，BM 、EN 交于点P.求证：①∠AMB=∠CNE ；②AE+PE=BP.四、如图1，在等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，过点D 作AD 的垂线DE ，过点B 作AB的垂线BE.〔1〕求证：AD=DE ；E B D A C C A D B E图2图3CA DB EEBDA CCADBE 图4图5图6〔2〕拓展变化一：图形的演变〔纵深演变〕如图2和图3中，当D 分别在BC 的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE ；〔3〕拓展变化二：条件的演变〔横向演变〕如图4，图5，图6中，等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，以AD 为腰作等腰Rt △ADE ，连接BE ，求证AB ⊥BE.A CPA CPA CP第二局部【综合运用】五、〔1〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APB=90°，求证：∠APC=∠BPC=45°；〔2〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APC=45°，求证：∠APB=90°；〔3〕如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，CP 平分∠APB ，求证：∠APB=90°〔∠APC=∠BPC=45°〕；ACP ACPACHP B〔4〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC形外的一点，∠APC=∠BPC=45°，求证：AC=BC；〔5〕如图，在等腰△ABC中，AC=BC，P为△ABC形外的任一点，且∠APC=∠BPC=45°，求证：∠ACB=90°；〔6〕如图，在〔1〕～〔5〕的条件下，过C作CH⊥AP于点H.求证：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；ACHPDACBEODACBM EN〔7〕如图，当P点、C点在直线AB的同侧，类同〔1〕～〔6〕的条件、结论，进行探究.六、如图，以任意△ABC的两边AB、AC为腰作两个等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，连接BE、CD交于点O.〔1〕求证：BE=CD；〔2〕求∠BOC的度数；〔3〕连接AO，求证：AO平分∠DOE；〔4〕M、N分别为CD、BE的中点，判断△AMN的形状，并证明你的结论.。
人教版初一至初三(数学)课本目录
人教版初一至初三(数学)课本目录初一数学第一章有理数与小数• 1.1 有理数的概念• 1.2 有理数的比较与排序• 1.3 小数的概念与性质• 1.4 循环小数与无限不循环小数第二章代数式• 2.1 代数式的概念• 2.2 代数式的运算• 2.3 代数式的应用• 2.4 代数式的简化与展开第三章整式的乘法• 3.1 单项式与多项式• 3.2 单项式的乘法• 3.3 多项式的乘法• 3.4 四则运算与整式的应用第四章整式的除法• 4.1 整式的除法与余数• 4.2 整式的除法算法• 4.3 分式与整式的乘除• 4.4 分数方程与分式方程的应用第五章平面图形初步• 5.1 点、线、面的概念• 5.2 平面图形的分类• 5.3 直线与射线• 5.4 角的概念与性质第六章几何作图• 6.1 直线分割线段• 6.2 线段等分与角平分• 6.3 三角形的作图• 6.4 圆的作图初二数学第一章有理数的运算• 1.1 有理数的加法• 1.2 有理数的减法• 1.3 有理数的乘法• 1.4 有理数的除法第二章方程与不等式• 2.1 一元一次方程• 2.2 一元一次方程的应用• 2.3 一元一次方程组• 2.4 一次不等式与一元一次不等式组第三章平面图形的认识与性质• 3.1 平面图形的基本概念• 3.2 三角形与四边形• 3.3 正方形与长方形• 3.4 平行四边形与梯形第四章三角形与四边形• 4.1 三角形的基本概念• 4.2 三角形的性质与判定• 4.3 四边形的性质与判定• 4.4 多边形的性质与判定第五章分数与小数• 5.1 分数的概念与性质• 5.2 分数的加减运算• 5.3 分数的乘除运算• 5.4 分数方程的应用第六章相似与全等• 6.1 相似的概念与性质• 6.2 相似三角形的判定• 6.3 存在唯一相似三角形的条件• 6.4 各种平面图形的相似判定初三数学第一章一次函数与方程• 1.1 一次函数的概念与性质• 1.2 一次函数的图像与性质• 1.3 一次方程的解与应用• 1.4 一次不等式的解与应用第二章同比例与相似• 2.1 同比例的概念与性质• 2.2 解决同比例问题• 2.3 相似的概念与性质• 2.4 解决相似问题第三章数据的表示与应用• 3.1 统计图的制作与分析• 3.2 极值与数据的分析• 3.3 函数与数据的关系• 3.4 散点图与拟合直线第四章平面向量初步• 4.1 向量的基本概念与表示• 4.2 向量的运算与性质• 4.3 平面向量的数量积• 4.4 应用与解决问题第五章平面几何初步• 5.1 平面几何的基本概念• 5.2 平面的位置关系• 5.3 三角形的性质与判定• 5.4 二次曲线的性质与判定第六章空间几何初步• 6.1 空间几何的基本概念• 6.2 空间图形的测量与计算• 6.3 空间图形的展开与剖视• 6.4 空间几何与应用问题以上是人教版初一至初三数学课本的目录，涵盖了初一数学、初二数学和初三数学各个章节的内容。
初一升初二暑假学习计划表
初一升初二暑假学习计划表初一升初二暑假学习计划表「篇一」1.每天足量学习5小时,内容包括:寒假各科作业：语文阅读、数学练习、英语听力等2.每日早晨英语听力或口语30分钟3.中午保证一小时休息,下午学习或外出体育活动(运动能使人头脑更清醒)4.做数学竞赛书《初中数学竞赛新课标同步辅导(初二)》(这本书真的很好哦)记住先看例题，最好不要抄答案。
7：00 起床7：20 洗漱完毕7：20--7：50：跑步(锻炼哦)8：00吃饭8：20--9：10 做作业(语文阅读一篇和摘抄)9：25―11：25 数学《初中数学竞赛新课标同步辅导(初二)》11：25--11：45 看报课外书11：45--14：30午饭午休14：30--15：30 英语15：30--15：45 休息15：45―16：45物理16：45--17：00 休息17：00--18：00 其他科目复习晚饭20;00―21：30 电视，电脑，课外书，free21：30 睡觉初一升初二暑假学习计划表「篇二」眨眼间我们就告别了令人难忘的七年级，迎来了全新的八年级。
可以说八年级初中学习生活中最重要的`一个阶段，也是一个崭新的开始。
因此我们要制定一份适合自己的学习计划。
一、掌握学习方法。
首先得掌握学习计划，才能提高学习效率。
1、预习：能发现自己知识上的薄弱环节，在上课前补上这部分知识，不使它成为听课时的“绊脚石”。
这样就会顺利的理解新知识。
2、听课：听课是课堂上最重要的环节之一。
只有认真听讲才会把你课前预习的一些不太懂得知识分析的更加透彻，这样才能使成绩提高。
3、记课堂笔记：上课要养成记笔记的习惯，老师让记的都是重点。
经常对照笔记，回忆老师讲课的内容，加深理解，增强记忆，便于运用。
二、各科的学习1、语文：语文在与积累。
字词等基础的东西，需要平时多加积累。
阅读理解方面，就必须得多做练习。
作文要想的高分就必须多看文章，多练习。
2、数学：想学好数学就得注意这几点（1）深刻理解概念（2）多看一些例题（3）多做基础类型题（4）要注意适量的向外拓展一些知识。
(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)
目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
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第一讲 与三角形有关的线段 【2 】常识点1.三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾按序相接构成的图形叫做三角形.构成三角形的线段叫做三角形的边,相邻双方所构成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻双方的公共端点是三角形的极点. ☑ 三角形的表示办法三角形用符号“△”表示,极点是A,B,C 的三角形,记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的极点C 所对的边AB 可用c 表示,极点B 所对的边AC 可用b 表示,极点A 所对的边BC 可用a表示.常识点2.三角形的三边关系【探讨】随意率性画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点动身,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的双方之和大于第三边,可用字母表示为a+b ＞c,b+c ＞a,a+c ＞b拓展：a+b ＞c,根据不等式的性质得c-b ＜a,即双方之差小于第三边. 即a-b ＜c ＜a+b （三角形的随意率性一边小于另二边和,大于另二边差）【演习1】一个三角形的双方长分离为3cm 和7cm,则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【演习2】有下列长度的三条线段可否构成三角形？为什么？ (1)3,5,8; (2)5,6,10; (3)5,6,7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a.b.c,a+b ＞c,扎西以为：这三条线段能构成三角形.你赞成扎西的意见吗？为什么？ 【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形. （1）假如腰长是底边的2倍,那么各边的长是若干？ （2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 【演习】1.三角形三边为3,5,3-4a,则a 的规模是.2.三角形双方长分离为25cm 和10cm,第三条边与个中一边的长相等,则第三边长为.3.等腰三角形的周长为14,个中一边长为3,则腰长为4.一个三角形周长为27cm,三边长比为2∶3∶4,则最长边比最短边长.5.等腰三角形双方为5cm 和12cm,则周长为.6.已知：等腰三角形的底边长为6cm,那么其腰长的规模是________.abc(1)CBA7.已知：一个三角形双方分离为4和7,则第三边上的中线的规模是_________. 8.下列前提中能构成三角形的是（ ）A.5cm, 7cm, 13cmB.3cm, 5cm, 9cmC.6cm, 9cm, 14cmD.5cm, 6cm, 11cm 9.等腰三角形的周长为16,且边长为整数,则腰与底边分离为（ ） A.5,6 B.6,4 C.7,2 D.以上三种情形都有可能 11.一个三角形双方分离为3和7,第三边为偶数,第三边长为（ ） A.4,6 B.4,6,8 C.6,8 D.6,8,10 11.△ABC 中,a=6x,b=8x,c=28,则x 的取值规模是（ ） A.2＜x ＜14 B.x ＞2 C.x ＜14 D.7＜x ＜14 12.指出下列每组线段可否构成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=6 13.已知等腰三角形的双方长分离为11cm 和5cm,求它的周长.14.已知等腰三角形的底边长为8cm,一腰的中线把三角形的周长分为两部分,个中一部分比另一部分长2cm,求这个三角形的腰长.15.已知等腰三角形一边长为24cm,腰长是底边的2倍.求这个三角形的周长.16.如图,求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD常识点3 三角形的三条主要线段三角形的高(1)界说：从三角形的一个极点向它的对边地点的直线画垂线,极点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的论述办法 ①AD 是△ABC 的高 ②AD ⊥BC,垂足为D③点D 在BC 上,且∠BDA=∠CDA=90度 【演习】画出①.②.③三个△ABC 各边的高,并解释是哪条边的高.①②③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AB C A B CB ACABCDAC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有差别吗？_____________________________________________[探讨] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高,看看有什么发明？假如△ABC 是直角三角形.钝角三角形,上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线（1）界说：在三角形中,衔接一个极点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.【探讨2】如图,AD 为三角形ABC 的中线,△ABD 和△ACD 的面积比拟有何干系？【例2】如图,已知△ABC 的周长为16厘米,AD 是BC 边上的中线,AD=45AB,AD=4厘米,△ABD 的周长是12厘米,求△ABC 各边的长. ☑ 三角形的角等分线（1）界说：三角形的一个角的等分线与这个角的对边订交,这个角的极点和交点之间的线段叫做三角形的角等分线.[辨析]三角形的角等分线与角的等分线是一样的吗？ 画出△ABC 各角的角等分线,并解释是哪角的角等分线.[探讨]不雅察画出的三条角平线,你有什么发明？_______________________________ [自我检测]如图,AD.AE.CF 分离是△ABC 的中线.角等分线和高,则： (1)BD=______=12________;(2)BC=2_______=2_______;(3)∠BAE=_______=12_______;(4)∠BAC=2_______=2_______;(5)_______=________=90常识点4 三角形的稳固性三角形的三边长一旦肯定,三角形的外形就独一肯定,这共性质叫做三角形的稳固性.四边形则不具有稳固性. 钢架桥.屋顶钢架和起重机都是应用三角形的稳固性,伸缩门则是应用四边形的不稳固性.你还能举出一些例子吗？A B C BA C FEDCBA【试一试】1.如图,AD 是△ABC 的中线,已知△ABD 比△ACD 的周长大6cm,则AB 与AC 的差为_______2.如图,D 为△ABC 中AC 边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E 是AB 上一点,且△ABC 的面积等于△DEC 面积的2倍,则BE 的长为（ ）3.若点P 是△ABC 内一点,试解释AB+AC ＞PB+PC【课后功课】1.AD 是△ABC 的高,可表示为,AE 是△ABC 的角等分线,可表示为,BF 是△ABC的中线,可表示为.2.如图2,AD 是△ABC 的角等分线,则∠=∠=12∠;E 在AC 上,且AE=CE,则BE 是△ABC 的;CF 是△ABC 的高,则∠=∠=900,CFAB.3.如图3,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABC 的角等分线,若BD=2cm,则BC=;若∠BAC=600,则∠CAE=. 4.如图4,以AD 为高的三角形共有.5.三角形的一条高是一条……………………………（ ）A.直线B.垂线C.垂线段D.射线6.下列说法中,精确的是………………………………（ ） A.三角形的角等分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高.中线.角等分线必定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部 7.下列图形具有稳固性的是………………………………（ ）A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形 8.如图8,AD ⊥BC 于D,CE ⊥AB 于E,AD.CE 交于点O,OF ⊥CE,则下列说法中精确的是………………………………………………………（ ） A.OE 为△ABD 中AB 边上的高 B.OD 为△BCE 中BC 边上的高 C.AE 为△AOC 中OC 边上的高 D.OF 为△AOC 中AC 边上的高9. 如图,BD 是△ABC 的角等分线,DE ∥BC,交AB 于点E,∠A=45°,∠BDC=60°,求∠BED 的度数．CA B DEF图2 AB D EC 图3 A B ED C 图410.已知BD 是△ABC 的中线,AC 长为5cm,△ABD 与△BDC 的周长差为3cm.AB 长为3cm,求BC 的长. 11.如图11,在△ABC 中,∠ACB=900,CD 是AB 边上的高,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) △ABC 的面积;(2)CD 的长.12.如图12,D 是△ABC 中BC 边上一点,DE ∥AC 交AB 于点E,若∠EDA=∠EAD,试解释,AD 是△ABC 的角等分线.第二讲 与三角形有关的角 常识点1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800.【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是经由过程试验得到的,这个命题是不是真命题还须要证实,如何证实呢？回想我们小学做过的试验,你是如何操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的极点处,用量角度量出∠BCD 的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.想一想,还可以如何拼？①剪下∠A ,按图（2）拼在一路,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.图2②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一路,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800.假如把上面移动的角在图长进行转移,由图1你能想到证实三角形内角和等于1800的办法吗？ 证实：已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=1800..【例1】如图,C 岛在A 岛的北偏东30°偏向,B 岛在A 岛的北偏东100°偏向,C 岛在B岛的北偏西55°偏向,从C 岛看A.B 两岛的视角∠ACB 是若干度？【评论辩论】直角三角形的两锐角之和是若干度?A AA A图11A EB DC图12结论: 直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt △”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC. 由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形.常识点2.三角形的外角界说：三角形的一边与另一边的延长线构成的角,叫做三角形的外角. [自我探讨] 画出图中三角形ABC 的外角1.断定图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2.如图,(1)∠1.∠2都是△ABC 的外角吗？________________ (2)△ABC 共有若干个外角？___________________请在图中标出△ABC 的其它外角.3.探讨题：如图,这是我们证实三角形内角和定理时画的帮助线,你能就此图解释∠ACD 与∠A.∠B 的关系吗？∵C E ∥AB, ∴∠A=_____,_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________结论1___三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;结论2__三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个极点处有两个外角,便在盘算三角形外角和时,每个极点处只算一个外角,外角和就是三个外角的和.外角的感化：1.已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个,求另一个2.可证一个角等于另两个角的和3.证实两个角不相等的关系 [课后演习]1.填空：求出下列各图中∠1的度数.(1)如图,∠1=______;(2)如图,∠1=______;(3)如图,∠1=______;(1)1B AC D (3)1AB C D(4)AB C D 1(5)E AB C D 1(6)E AB CD12ABC1(2)1A B C D A(1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）(2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角,等于它的另一个不相邻的内角. ( ) (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. ( ) 2.已知：如图,∠1=30°,∠2=50°,∠3=45°, 则(1)∠4=______°;(2)∠5=______°.3.已知：如图∠1=40°,∠2=∠3,则 (1)∠4=______°;(2)∠2=______°.4.如图,AB ∥CD,∠B=55°,∠C=40°,则 (1)∠D=______°;(2)∠1=______°.5. 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外角,它们的和是若干？ 解：因为∠BAE=∠__+∠____, ∠CBF=∠__+∠___,∠ACD=__________, 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=（∠__+∠___）+（________）+（___________） =2（∠1+_________）=2×180°=360°. 6.已知：如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, ∠BAC=80°,∠C=40°,则∠BAD=________°. 7.已知：如图,BD 是△ABC 的角等分线, ∠A=100°,∠C=30°,则∠ADB=________°. 8.*如图,AD.BE 分离是△ABC 的高和角等分线,∠BAC=100°,∠C=30°,则∠1=________°. 9.如图所示,D,E 分离AC,AB 边上的点,DB,EC 相 交于点F,则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________10.△ABC 中,∠B=∠A+100,∠C=∠B+200,求△ABC 各内角的度数11.如图所示,已知∠1=∠2,∠BAC=70度,求∠DEF 的度数.12.如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分离等分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.第2题图54321第4题图DCBA1第3题图4321123DE FB AC第5题图DABCABDC1E ABDC第6题第7题第9题第8题OCBA13.如图所示,在△AB C 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321D CB A第三讲 多边形及其内角和一、 常识点总结11180223601332n n n n n ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎪︒-⎪︒⎨⎪⎪-⎩由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
初一升初二数学衔接
初一升初二数学衔接·第8讲——二元一次方程组的解法（七年级第八章）【知识要点】（一）二元一次方程(组)的定义1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．注意：二元一次方程定义中，关键在于方程中必须含有两个未知数，并且方程中含未知数的项的次数是1次．2．二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解．3．二元一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．注意体会二元一次方程组的两个特征：（1）方程组中共含有两个未知数，而每个方程所含未知数的个数可能是2个，也可能是1个；（2）方程组中至少含有两个方程. 每个方程中所含未知数的项的次数是1次． 对所给出的二元一次方程，要能熟练的整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a4．二元一次方程组的解 :二元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.即:满足方程组中每个方程的一对未知数的值称为该二元一次方程组的解．（二）二元一次方程组的解法 1．代入法：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式．（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来． （5）注意检验．2．加减法：用加减法解二元一次方程组的步骤．（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等． （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的两个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“{”联立起来． (5)注意检验．注意：解二元一次方程组的方法很多，但常用的方法是代入法和加减法．这两种方法各有长处，解题时应注意审题，选择一种恰当的方法解题．二元一次方程、二元一次方程组及其解法是在一元一次方程及其解法基础上学习的，要注意新旧知识的联系和转化：【典型例题】例1 判断下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是？为什么？（1）123-=-y x ； （2）13121=+y x ； （3）7532=-x ； （4）01=+xy ； （5）x 1+2y=4；（6）0=+y x ．自我解答：分析：根据二元一次方程的定义来判断． 解：（1）、（2）、（6）都是二元一次方程；（3）不是二元一次方程．因为它只含有一个未知数x ．（4）不是二元一次方程．因为方程中含未知数的项xy 的次数是2次．（5）不是二元一次方程．因为二元一次方程是整式方程，x1不是整式． 点评：二元一次方程是整式方程，方程中分母不能含有未知数．例2 判断下列说法是否正确： （1）二元一次方程734=-y x 的解是⎩⎨⎧-==11y x ； （2）⎩⎨⎧=-=01y x 是二元一次方程44-=-y x 的一个解； （3）方程组⎩⎨⎧+==-3203x y y x 是二元一次方程组；（4）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02113y x yx 是二元一次方程组； （5）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+0333231y x yx y x 是二元一次方程组； （6）方程组⎩⎨⎧=+=+154432z y y x 是二元一次方程组.自我解答：解：（1）不正确．⎩⎨⎧-==11y x 只是方程734=-y x 的一个解，该方程还有无数个其它的解．（2）正确．把x ＝－1，y ＝0代入方程44-=-y x 左右两边，其值相等． （3）正确．（4）不正确． 因为方程3x+y1=1不是二元一次方程．（5）正确．方程组中尽管有三个方程，但只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次．（6）不正确．因为方程组中含有三个未知数x ，y ，z ．点评：（1）区别“……是方程的（一个）解”与“方程的解是……”两种说法的含义．第一种说法只需判断所给数是否满足方程，第二种说法需判断方程的解集．在不限定条件下，二元一次方程的解有无限多个．（2）二元一次方程组中方程的个数可以是2个，也可以是3个，4个等．例3 已知方程132212=+-+n m y x 是一个二元一次方程，求m 和n 的值． 分析：二元一次方程必须同时满足下列条件：（1）是整式方程；（2）方程中含有两个未知数；（3）方程中含未知数的项的次数是1次． 自我解答：解：根据二元一次方程的意义可得： m ＋2＝1，1－2n ＝1 ∴m ＝－1，n ＝0点评：根据概念解题，必须掌握概念的全部含义．例4 已知方程632=-y x ．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 取何值时，y 的值为2？分析：用含x 的代数式表示y ，只需把x 看成已知数，把y 看成未知数，按一元一次方程的解法去解． 自我解答：解：（1）移项，得 632=-y x ，即623-=x y系数化为1，得 362-=x y （2）把y ＝2代入方程，得 2x －6＝6，2x ＝12∴x ＝6即当x ＝6时，y 的值为2． 例5 试求方程1323=+y x 的正整数解．分析：用含x 的代数式表示y ，注意条件“正整数解”，进一步讨论即可． 自我解答：解：由1323=+y x 可得2313x y -=． 根据题意，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝2．∴方程1323=+y x 的整数解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2351y x y x ；．例6 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ ② 02141① 13y x y x 分析：根据方程的特点，本题采用代入法较好． 自我解答：解法一：由①得 x ＝1－3y ③ 把③代入②得021)31(41=+-y y ，4141-=-y1=y 即把y =1代入③得 x ＝1－3×1＝－2． ∴ ⎩⎨⎧=-=12y x解法二：由②得x ＋2y ＝0，即x ＝－2y ③ 把③代入①得 －2y ＋3y ＝1，y ＝1把y ＝1代入③得 x ＝－2×1＝－2∴ ⎩⎨⎧=-=12y x点评：所选方程不同，变形的方式不同，代入后得到的方程也不同．但对有解方程而言，所得的结果应是相同的．例7 解方程组：⎩⎨⎧==+②42-3① 1223y x y x分析：观察方程①、②，发现y 的系数互为相反数，两方程相加，可消去y ，求得x 的值；方程中x 的系数相等，两方程相减，消去x ，可求得y 的值． 求出一个未知数的值后，代入原方程组任一方程可求得另一个未知数的值． 自我解答：解法一：①＋②，得6x ＝16，x ＝38把x ＝38代入①，得3×38＋2y ＝12y ＝2∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x解法二： ①－②，得2y ＋2y ＝12－4 4y ＝8 y ＝2把y ＝2代入①， 得3x ＋2×2＝12x ＝38∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x点评：两个方程相减时，第二个方程中各项符号要变号．例８ 解方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+② 2557①5531x y yx x 分析：先整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，再确定消去哪个未知数．自我解答：解：原方程组整理得： ⎩⎨⎧-=-=-④2575 ③ 5310y x y x③－④×2，得 －3y ＋14y ＝5＋50 11y ＝55 y ＝5把y ＝5代入③，得 10x －15＝5 x ＝2∴ ⎩⎨⎧==52y x点评：遇到形式比较复杂的方程组，首先化简成一般形式. 再决定采用什么方法去解题．例9 解方程组 ⎩⎨⎧-=+--=+--② 1)(5)(2① 21)(7)(6y x y x y x y x分析：根据此方程的特点，把（x －y ），（x ＋y ）分别看成整体，解出它们的值，再组成新的方程组求x 、y 的值． 自我解答：解：①－②×3， 得 8（x ＋y ）＝24x ＋y ＝3 ③ 把③代入②，得 6（x －y ）－21＝21 x －y ＝7 ④由③、④得 ⎩⎨⎧=-=+② 7① 3y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==25y x ．点评：此题充分利用了方程的特点，采用整体代换的方法．解题中充分利用这一方法，可给解题带来方便．例10 解方程组0.1x －2＝y ＋7＝0.7x ＋y分析：此题是方程组的一种特殊形式，将它改写在一般形式，再去求解． 自我解答：解：由原方程组可得：⎩⎨⎧+=-+=-y x x y x 7.021.0721.0整理，得⎩⎨⎧=--=-②26.0 ① 91.0y x y x①－②，得 0.7x ＝7， x ＝10． 把x ＝10代入①，得0.1×10－y ＝9，y ＝－8．∴ 原方程组的解是 ⎩⎨⎧-==810y x ．点评：此形式的方程组可改写成三个一般形式的方程组，任选其中一个，便可求得原方程组的解．例11 解方程组⎩⎨⎧=+=②102① 3:2:y x y x分析：根据比例的性质，由①得2y ＝3x ，代入②可求得x 值，进而求得y 的值．另一种方法是根据方程①，引入比例系数k ．解法如下： 自我解答：解：由方程①，设x ＝2k ③y ＝3k ④ 把③、④代入方程②得 2k ＋3k ＝16， ∴k ＝2把k ＝2代入③、④得 x ＝2， y ＝6．∴ ⎩⎨⎧==64y x ．点评：有比例的方程组，通过“设k ”的办法，可以简化解题过程． 例12 已知代数式q px x ++2，当x ＝－1时，它的值是－5；当x ＝－2时，它的值是4，求p 、q 的值．分析：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p 、q 的方程． 自我解答：解：当x ＝－1时，代数式的值是－5，得5)1()1(2-=+-+-q p①当x ＝－2时，代数式的值是4，得4)2()2(2=+-+-q p②将①、②两个方程整理，并组成方程组⎩⎨⎧=+--=+-④ 02③ 6q p q p 解方程组，便可解决． 结果：由④得q ＝2p 把q ＝2p 代入③，得 －p ＋2p ＝－6 解得p ＝－6把p ＝－6代入q ＝2p ＝－12所以p 、q 的值分别为－6、－12．例13 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+ ③ ②①325232 0z y x z y x z y x 分析：通过消元的方法,将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．自我解答：解：③－①，得y ＝3把y ＝3代入①和②，得⎩⎨⎧=+-=-⑤ 7④3z x z x ④＋⑤，得2x ＝4， x ＝2把x ＝2代入⑤，得z ＝5∴⎪⎩⎪⎨⎧===532 z y x 点评：本题常规解法是先转化为二元一次方程组,但本题运用技巧可直接得到一元一次方程． 例14 解方程组26553423=-+=+=+zy x z y z x ． 分析：首先把方程组转化为一般形式．自我解答：解：原方程组可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=++ ＝265 25z3y 2 423zy x z x 整理得，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+③②①125 103 823z y x z y z x ③×3－②，得15x －4z=26 ④ ①×2＋④，得21x ＝42， x ＝2把x ＝2代入①，得6＋2z ＝8， z ＝1把z ＝1代入②，得3y ＋1＝10， y ＝3∴⎪⎩⎪⎨⎧===1z 3y 2x 点评：题的关键是把方程组化为一般形式． 例15 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+53ny mx y x 与⎩⎨⎧=-=-512y x my nx 的解相同，求m 、n 的值．分析：不易直接解出方程组的解，但根据同解的定义把x ＋y ＝3和x －y ＝5组合成方程组即可． 自我解答：解：依题意得，⎩⎨⎧=-=+53y x y x解得⎩⎨⎧-==14y x 把x ＝4，y ＝－1代入⎩⎨⎧=-=-125my nx ny mx解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==731419n m点评：本题的解题关键是抓住了方程组的解相同的意义求解． 【中考链接】1．（南京市中考题）解方程组 ② 823① 02⎩⎨⎧=+=-y x y x解答：①＋②，得4x ＝8， ∴x ＝2，把x ＝2代入①，得2－2y ＝0， ∴y ＝1，∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12x x ． 2．（江苏省南通市中考题）某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+663227y x y x（B ）⎩⎨⎧=+=+1003227y x y x（C ）⎩⎨⎧=+=+662327y x y x（D ）⎩⎨⎧=+=+1002327y x y x答案：A3．（江苏省常州市中考题）解方程组：⎩⎨⎧=+=+② 82① 5y x y x解答：②－①，得x ＝3，把x ＝3代入①，得 3＋y ＝5 ∴y ＝2，∴方程组的解为⎩⎨⎧==23y x ． 4．（北京市海淀区中考题）解方程组⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x解答：由①得，x ＝4y －１ ③把③代入②，得２（4y －１）＋y ＝16 ∴y ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝7， 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==27y x ． 5．（江苏省苏州市中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-10231312y x y x 解答：把①去分母，化简得：3x －2y ＝8 ③ ②＋③，得：6x ＝18，∴x ＝3，把x ＝3代入②，得：9＋2y ＝10 ∴y ＝21所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧==213y x ．6．（江西省中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x yx 解答：由①得：x ＋1＝6y ③把③代入②，得 12y －y ＝11 ∴y ＝1把y ＝1代入③，得x ＋1＝6 ∴x ＝5所以原方程组的解是⎩⎨⎧==15y x ．仔细复习本讲例题及中考连接。
暑假初一升初二数学提高班教材(16讲)之欧阳科创编
欧阳科创编 2021.02.05汇世纪教育（包含集团旗下高端个性化教育品牌——学远教育）创办于2004年，专业从事中小学生课外文化辅导教育，企业以“促进区域教育公平，共享优质教育资源”为使命，致力于将优质教育资源、先进教学模式、专业教学服务提供到中小县城，帮助三四线城市的中小学生获得更好的教育和发展机会。
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初一升初二,你准备好了吗?做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。
初二是初中的一个重要时段，这一阶段你对知识的掌握程度，直接影响着你的中考成绩，学习上并没有初一那样绝对的“轻松”，面对初二的最大问题就是分化，简单概括为好的更好，差的更差。
那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢?那些新学期的优等生是如何炼成的呢?其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。
2014年初一升初二数学培优教材(培训学校专用)
2013年初一升初二暑期培优教材（数学）2013年07月第一讲 平方根【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a()a a =2()0≥a【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5）2544369++ （6）416925-⨯ 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯ 3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41（ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m B.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是a B.a 是S 的算术平方根 C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964（2）2243+ 【记一记 】100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192= 400202= 625252=第二讲 立方根【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
七年级升八年级数学暑期辅导材料.
与三角形有关的线段知识点1：三角形的边三角形的概念:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
（三角形的表示、边、顶点、内角）三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边。
三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2）按边分类（1） 按角分类锐角三角形三角形 直角三角形钝角三角形 （2）按边分类不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形考点1：认识三角形1.如图7.1.1-1的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是__________，顶点A 、B 、C 所对的边分别是___________，用小写字母分别表示为 __________.2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形.3.如图7.1.1-2所示，以AB 为一边的三角形有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个考点2：三角形三边关系4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，105.（2008·福州）已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm6.如果线段a 、b 、c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ） A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶47.已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（ ） A.15cm B.18cm C.15cm 或18cm D.不能确定图7.1.1-2 图7.1.1-1腰 腰底边顶角 底角 底角8.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ ） A.3，4，5 B.3a ，4a ，5a C.3+a ，4+a ，5+a D.三条线段之比为3∶5∶89.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm ，那么三边分别是________cm.10.已知等腰三角形的周长是25cm ，其中一边长为10cm ，求另两边长__________. 11.的木棒，还需要到某木材市场上购买一根.问：（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）选择哪一种规格的木棒最省钱？12. 如图所示,已知P 是△ABC 内一点,试说明PA+PB+PC>12(AB+BC+AC).13、如图，从A 经B 到C 是一条柏油马路，AC 是一条小路，人们从A 到C ，为什么不走柏油路，而喜欢走小路？请你用学过的知识解释一下原因。
初中数学教材目录（全）
初中数学教材目录（全）七年级上册（61）第1章有理数（19）第2章整式的加减（8）第3章一元一次方程（18）第4章图形认识初步（16）七年级下册（62）第5章相交线与平行线（14）第6章平面直角坐标系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程组（12）第9章不等式与不等式组（12）第10章数据库的收集整理与描述（9）八年级上册（62）第11章全等三角形（11）第12章轴对称（13）第13章实数（8）第14章一次函数（17）第15章整式的乘除与因式分解（13）八年级下册（61）第16章分式（14）第17章反比例函数（8）第18章勾股定理（8）第19章四边形（16）第20章数据的分析（15）九年级上册（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋转（8）第24章圆（17）第25章概率初步（15）九年级下册（48）第26章二次函数（12）第27章相似（13）第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（11）七年级上册第一章有理数1．1 正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2 有理数1．3 有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4 有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5 有理数的乘方数学活动小结复习题1 第二章整式的加减2．1 整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2 整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1 从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4 实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1 多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2 直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3 角4．4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4 部分中英文词汇索引七年级下册第五章相交线与平行线5．1 相交线5．2 平行线5．3 平行线的性质5．4 平移第六章平面直角坐标系6．1 平面直角坐标系6．2 坐标方法的简单应用第七章三角形7．1 与三角形有关的线段7．2 与三角形有关的角7．3 多边形及其内角和7．4 课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1 二元一次方程组8．2 消元8．3 再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1 不等式9．2 实际问题与一元一次不等式9．3 一元一次不等式组9．4 课题学习利用不等关系分析比赛（1）第十章实数10．1 平方根10．2 立方根10．3 实数八年级上册第十一章一次函数11．1 变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象11．2 一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄11．3 用函数观点看方程（组）与不等式第十二章数据的描述12．1 几种常见的统计图表12．2 用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁12．3 课题学习从数据谈节水第十三章全等三角形13．1 全等三角形13．2 三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明13．3 角的平分线的性质第十四章轴对称14．1 轴对称14．2 轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质14．3 等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系第十五章整式15．1 整式的加减15．2 整式的乘法15．3 乘法公式15．4 整式的除法15．5 因式分解八年级下册第十六章分式16．1 分式16．1 分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1 分式方程第十七章反比例函数17．1 反比例函数17．1 实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系第十八章勾股定理18．1 勾股定理18．2 勾股定理的逆定理第十九章四边形19．1 平行四边形19．1 特殊的平行四边形19．1 梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形第二十章数据的分析20．1 数据的代表20．2 数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3 课题学习体质健康测试中的数据分析九年级上册第二十一章二次根式21．1 二次根式21．2 二次根式乘除第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程22．2 降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3 实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系第二十三章旋转23．1 图形的旋转23．2 中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3 课题学习图案设计第二十四章圆24．1 圆24．2 与圆有关的位置关系24．3 正多边形和圆24．4 弧长和扇形面积实验与研究设计跑道第二十五章概率初步25．1 概率25．2 用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3 利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4 课题学习键盘上字母的排列规律九年级下册第二十六章二次函数26．1 二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2 用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3 实际问题与二次函数第二十四章相似27．1 图形的相似27．2 相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3 位似信息技术应用探索位似的性质第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2 解直角三角形第二十九章投影与视图29．1 投影29．2 三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3 课题学习制作立体模型。
七升八暑期衔接班数学讲义
2017年七升八暑期连接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形相关的线段；2.第二讲：与三角形相关的角；3.第三讲：与三角形相关的角度乞降；4.第四讲：专题一：三角形题型训练 ( 一) ；5.第五讲：专题二：三角形题型训练 ( 二) ；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判断（一） SAS；8.第八讲：全等三角形的判断（二） SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判断（三） HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩大训练；12.第十二讲：角均分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二） ;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形相关的线段【知识重点】一、三角形A 1．看法：①三条线段；②不在同向来线上；③首尾相连.2．几何表示：①极点；②内角、外角；③边；④三角形.B C3．三种重要线段及画法：①中线；②角均分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特别的等腰三角形）三、三角形的三边关系( 教具 )引例：已知平面上有 A、 B、 C 三点 . 依据以下线段的长度判断 A、B、C 存在的地点状况：(1)若 AB=9， AC=4， BC=5，则 A、B、C 存在的地点状况是：(2)若 AB=3， AC=10， BC=7，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：(3)若 AB=5， AC=4， BC=8，则 A、B、C 存在的地点状况是：(4)若 AB=3， AC=9， BC=10，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：(5)若 AB=4， AC=6， BC=12，则 A、 B、 C 存在的地点状况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段可否构成三角形或确立三角形第三边的长度或范围 .1．已知 BC=a，AC=b，AB=c.（1）A、B、C三点在同一条直线上，则 a，b，c 知足：；（2）若构成△ ABC，则 a，b，c 知足：；2．已知 BC=a，AC=b，AB=c，且 a＜b＜ c.（ 1 ） A 、 B 、 C三点在同一条直线上，则 a ， b ， c满足：；（ 2）若构成△ ABC，则 a，b， c 知足：；【新知讲解】例一、如图，在△ABC中 .①AD为△ ABC的中线，则线段==12②AE为△ ABC的角均分线，则==12③AF为△ ABC的高线，则==90°；④以 AD为边的三角形有⑤∠ AEC是的一个内角；是个外角 .G 例二、已知，如图，BD⊥AC， AE⊥ CG， AF⊥ AC，AG⊥ AB，A；B F ED C；；的一F则△ ABC的 BC边上的高线是线段().EBA D C(A)BD(B) AE(C) AF(D) AG例三、（1）以以下各组长度的线段为边，能．构成三角形的是 ().(A)7cm， 5cm， 12cm(B)6cm ， 8cm， 15cm(C)4cm， 6cm， 5cm(D)8cm， 4cm， 3cm（2）知足以下条件的三条线段不可以构成三角形的是．．.（ a、b、c均为正数）① a=5，b=9， c=7；中 1+a＞ b；④ a，b，c，此中②a∶ b∶ c=2∶3∶5；a+b＞ c；⑤ a+2，a+6， 5；③ 1， a， b，其⑥a＜b＜ c，此中 a+b＞ c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x 的取值范围是.发散：①已知三角形的三边长分别为 2 ， 5 ， 2x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2， 5，24x，则x的取值范围3是.③已知三角形三边长分别为个数为 ().2， x， 13，若x 为正整数，则这样的三角形(A)2(B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为 2 ， 5，则三角形周长l的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、 b，且 a＞ b，那么这个三角形的周长 l 的取值范围是.(A)3b＜ l＜ 3a(B)2a＜ l＜ 2a+2b(C)a+2b＜ l＜ 2a+b(D)a+2b＜ l＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5， 11-x ， 3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为是.2 ，， x-1，则的取值范围②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则知足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为 2 ，则三角形底边a的取值范围是；周长l 的取值范围是.④已知三角形三边的长范围是.个 .a、b、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值若它的周长小于19，则知足条件的三角形共有⑤若a、 b、 c是△ ABC 的三边长，化简| a b c | +|a b c |的结果为( ).(A)2b(B)0(C)2a(D)2a 2c⑥已知在△ ABC 中， AB=7， BC∶ AC=4∶ 3，则△ ABC 的周长l的取值范围为.【题型训练】1．以以下各组线段为边，能构成三角形的是().(A)2cm，3cm，5cm (B)5cm ，6cm，10cm (C)1cm ，1cm，3cm (D)3cm ，4cm，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶ 3；③1∶4∶6；④3∶ 4∶5；⑤3∶3∶ 6. 此中能构成三角形的有().(A)1组(B)2组(C)3组(D)4组3．三角形的以下线段中能将三角形的面积分红相等两部分的是（）(A) 中线(B)角均分线(C)高线(D)角均分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7， x，则 x 的取值范围是 ().(A)2 ＜ x ＜ 12(B)1＜x＜13(C)6＜x＜7 (D)1 ＜ x＜ 75．已知三角形的两边长分别为 3 和 5，则周长l的取值范围是 ().（ A）6＜l＜15（B）6＜l＜16（C）11＜l＜13（D）10＜l＜166．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则周长是 ().（A）21（B）27（C）32（D）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长 a 的范围为.8．等腰三角形的腰长为8，则底边长 a 的范围为.9．等腰三角形的周长为8，则腰长 a 的范围为；底边长 b 的范围为.10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l的范围为.11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边 a 的范围为.12．等腰三角形的周长为 14，一边长为3，则另两边长分别为.13．若 a、 b、 c 分别为△ ABC 的三边长，则｜ a+b-c ｜ - ｜ b-c-a｜ +｜ c-b-a ｜=.14．已知在 ABC中， AB=AC，它的周长为 16 厘米， AC 边上的中线 BD把 ABC 分红周长之差为 4 厘米的两个三角形，求ABC各边的长 . A15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ ABC中， AB=AC，BD为△ ABC的中线）把它的周长分为 15 厘米和 6 厘米两部分，求该三角形各边长.A D综合研究、三角形两条内、外角均分线的夹角与第三个内角之间的关系DB CB C1．如图，△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；2．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的外角∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；3．如图，在△ ABC中，∠ ABC的外角∠ CBD、∠ ACB的外角∠ BCE的均分线A 交于点 I ，研究∠ I 与∠ A 的关系 .B C例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角均分线的夹角与另两个内角之D E间的关系I发散研究一：如图，∠ ABD、∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I与∠A、∠D之A A I A间的数目关系 .DII发散研究二：如图，∠ ABD的均分线与∠ ACD的邻补角∠ ACE的均分线所在的直D B A CB B ACD IA C DIEB发散研究三：如图，∠ ABD的邻补角∠ DBE均分线与∠ ACD的邻补角∠ DCF的平B DC A C B CA E AI E D分线交于点 I ，研究∠ I 与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .DD BC 第二讲与三角形相关的角B C B DE【知识重点】E C FE FI F AI一、三角形按角分类 : ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；I二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠ A+∠B+∠1=180°）；12三、三角形的内角和定理的推论：B C①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠ 2=∠ A+∠ B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、 n 边形的内角和定理： （ n-2 ）× 180°；五、 n 边形的外角和为 360° .【新知讲解 】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5 倍，则它的边数是.③ 若一个正多边形的每一个内角都等于 144°，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2 倍°，则它的边数是.例二、如图，△ ABC 中，∠ A=50°，两条高线 BD 、CE 所在直线交于点 H ，求∠ BHC 的度数 . A AE例三、如图，△ ABC 中，∠ A=50°，两条角均分线 BD 、CE 交于点 I ，求∠ BIC 的 度数 .EADBCH例四、如图，四边形EDABCD 中，∠ A=∠ C ，∠ B=∠D ，求证： AB ∥ CD ，AD ∥BC.AI D DBCHC例五、如图， AB ∥ CD ， AD ∥ BC ，AE ⊥ BC ， AF ⊥CD ，求证：∠ B AD+∠ EAF=180°.BC例六、如图，六边形ABCDEF 中， AF ∥ CD ，∠ A=∠D ，∠ B=∠E ，求证： BC ∥ EF.例七、如图，在凸六边形 ABCDEF 中，∠ A+∠ B+∠ F=∠ C+∠D+∠E ，求证： BC ∥DEF.ECFA B【题型训练】1．如图，△ ABC 中， BD、 CE 为两条角均分线，若∠BDC=90°，∠ BEC=105°，求∠ A.2．如图，△ ABC中， BD、CE为两条角均分线，若∠BDC=∠ AEC，求∠ A 的度数 .3．如图，在△ ABC中， BD为内角均分线， CE为外角均分线，若∠BDC=125°，E ∠E=40°，求∠ BAC的度数 .AD4．如图，在△ ABC中， BD为内角均分线， CE为外角均分线，若∠BDC与∠ E 互补，求∠ BAC的度数 .B EC MAD第二讲作业B C M1．假如一个三角形三个内角的度数之比为2∶ 3∶ 7，这个三角形必定是 ().(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C) 锐角三角形(D) 钝角三角形2.以下图，∠ A、∠ 1、∠2 的大小关系是 ().(A) ∠A＞∠ 1＞∠ 2(B) ∠2＞∠ 1＞∠A(C) ∠A＞∠ 2＞∠ 1(D) ∠2＞∠ A＞∠13．下边四个图形中，能判断∠1＞∠ 2 的是 ().(A)(B)(C)(D)4．将一副三角板按以下图摆放，图中∠α的度数是().A．75°B．90°C．105°D．120°5. 在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=().(A) 30°(B) 45°(C)60°(D) 75°6．以下图，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，获得一个四边形，则∠1+∠ 2 的度数为 ( ).(A)120 °(B)180 °(C)240 °(D)300 °7．如图，在△ ABC中，∠ C＝ 70o，沿图中虚线截去∠C，则∠ 1＋∠ 2=( ).(A)360 o(B)250o(C)180o(D)140o8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、 E 分别是边 AB、 AC上，将△ ABC沿着DE折叠， A 与 A′重合，若∠ A=75°，则∠ 1+∠2= ().(A) 150°(B)210°(C)105°(D)75°9．如图，在△ ABC 中，∠ B=67°，∠ C=33°， AD是△ ABC的角均分线，则∠ CAD 的度数为（）(A)40°(B)45°(C)50°(D)55°10．已知 ABC的三个内角∠ A、∠ B、∠ C知足关系式∠B +∠C=3∠A，则此三角形( ).(A) 必定有一个内角为45(B)必定有一个内角为60(C) 必定是直角三角形(D)必定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式搁置，则图中∠AOB的度数为 ().O B A(A) 75°(B) 95°(C) 105°(D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是 ().(A) 正十六形(B)正十七形(C)正十八边形(D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大 180°，这个多边形的边数为 ( ).(A)7(B)8(C)9(D)1014.已知：在△ ABC中，∠B 是∠A的2倍，∠C 比∠A大20°，则∠A 等于().(A)40 °(B)60°(C)80°(D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是.16．如图，在△ ABC中， D、 E 分别是边 AB、 AC上的两点， BE、 CD订交于点 F，A ∠ A=62°，∠ ACD=40°，∠ ABE=20°，求∠ BFC的度数 .D E17．如图，已知直线DE分别交△ ABC的边 AB、AC于 D、E 两点，交F边 BC的延伸B C线于点 F，若∠B=67°，∠ ACB=74°，∠ AED=48°，求∠ BDF 的度数．第三讲：与三角形相关的角度乞降【知识重点】1．与三角形相关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度乞降.【新知讲解】例一、如图，直接写出∠ D 与∠ A、∠ B、∠ C之间的数目关系 .箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不一样的方法）：例二、三角形两条内、外角均分线的夹角与第三个内角之间的关系A 1．如图，△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的均分线交于点 I ，研究∠ I 与∠ A 的关系；I 2．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的外角∠ ACD的均分线交于点A I ，研究∠ IB CI与∠ A 的关系；3．如图，在△ ABC中，∠ ABC的外角∠ CBD、∠ ACB的外角B∠ BCE的平C分线交D于A点 I ，研究∠ I 与∠ A的关系 .B C例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角均分线的夹角与D另两个内角之EI间的关系发散研究一：如图，∠ ABD、∠ ACD的均分线交于点I ，研究∠ I 与∠A、∠D之A A I A间的数目关系 .DII发散研究二：如图，∠ ABD的均分线与∠ ACD的邻补角∠ ACE的均分线所在的直D B A CB B ACD I线交于点 I ，研究∠ IC与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .A I DEB发散研究三：如图，∠ ABD的邻补角∠ DBE均分线与∠ ACD的邻补角∠ DCF的平B DC B CC E A AA I E分线交于点 I ，研究∠ I D与∠ A、∠ D 之间的数目关系 .DD B例四、如图，在△ ABC中， BP、 BQ三均分∠ ABC， CP、 CQ三均分∠ ACB.CB BPC 的度数为DB（1）若∠A=60°，直接写出：∠E，∠ BQC的度数CC F为；EE FI FI I（2）连结 PQ并延伸交 BC于点 D，若∠ BQD=63°，∠ CQD=80°，求△ ABC三个内角的度数 .A例五、如图， BD、 CE交于点 M， OB均分∠ ABD，OC均分∠ ACE， OD均分∠ADB，OE均分∠ AEC，PQB D C求证：∠ BOE=∠ COD；A【题型训练】A O1．如图，求∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E 的度数和 .E 2．如图，求∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F 的度数和 .D MB3．如图，已知∠ 1=60°，求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠ F 的度数和 .发散研究：①如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠E= B ；E②如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E+∠F+∠ G=；③如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E+∠F=.④如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F=.⑤如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F+∠ G=；⑥如图，∠ A+∠ B+∠C+∠ D+∠ E+∠F+∠ G=；⑦如图， BC⊥EF，求∠ A+∠ B+∠ C+∠D+∠ E+∠ F 的度数 .第三讲作业DC C1．如图， B 岛在 A 岛的南偏西30°， A 岛在 C 岛的北偏西35°， B 岛在 C 岛的北偏西 78°，则从 B 岛看 A、 C两岛的视角∠ ABC的度数为 ().(A)65 °(B)72°(C)75°(D)78°2．如图， D、 E 分别是AB、AC上一点， BE、 CD订交于点F，∠ ACD=30°，∠ABE=20°，∠ BDC+∠ BEC=170°则∠ A 等于 ().(A)50 °(B)85°(C)70°(D)60°3．一副三角板，以下图叠放在一同，则图中∠的度数是().(A)75 °(B)60 °(C)65 °A(D)55 °DE4．如图，在△ ABC中，∠ BAC=36°，∠FC=72°， BD均分∠ ABC交 AC于点 D，AFB C∥BC，交 BD的延伸线于点 F，AE均分∠ CAF交 DF于 E 点. 我们定义：在一个三角形中，有一个角是 36°，其余两个角均为 72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有 ().(A)8 个(B)7个(C)6个(D)5个5．如图，∠ A=35°，∠ B=∠ C=90°，则∠ D的度数是 ().(A)35 °(B)45°(C)55°(D)65°6．如图，已知∠ A+∠ BCD=140°，BO均分∠ ABC，DO均分∠ ADC，则∠ BOD=().(A)40 °(B)60°(C)70°(D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，获得了一个四边形，则∠1+∠2=．8.如图，在△ ABC中，∠ A=80°，点 D 为边 BC延伸线上的一点，∠ ACD=150°，则∠B=.9．将一副直角三角板如上图搁置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为.10．一副三角板叠在一同如图搁置，最小锐角的极点 D 恰巧放在等腰直角三角板的斜 AB 上，BC 与 DE 交于点 M ．若∠ ADF=100°， ∠ BMD．11．如 ，在△ ABC 中，∠ B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ ACF 的均分 交于点 E ， ∠ AEC=______.12．如 ，∠ ACD 是△ ABC 的外角，∠ ABC 的均分 与∠ ACD 的均分 交于点A 1，∠A 1BC 的均分 与∠A CD 的均分 交于点 A ，⋯，这样下去， ∠A BC 的均分 与∠An ﹣ 1CD 的均分 交于点 A n ．12n ﹣1∠A=θ． ∠A =； A n =．113．已知：如1 ，在△ ABC 中，∠ ABC 、∠ ACB 的角均分 交于点O ，BOC901 A21 1 A ；如 2，在△中，∠、∠的两条三均分角 分1802ABCABCACB2交于点、 ，2 1，1 2；⋯⋯；O 1 BO 1 C180A BO 2 C180AO 23 333根 据以 上理解 ，当 n 等 分角，内 部有 n1 个交 点 ，你 以猜 想BO n 1 C =().AAAO 2On-121O(A)180AO 1O 2n nO 1(B)12BC BCBC180A 图1图2图3n n(C)n1 An 180n11(D)1180n 1 Ann14．在△ ABC 中，∠ C=∠ABC=2∠ A ， BD 是 AC 上的高， BE 均分∠ ABC ，求∠ DBE 度数 .第 四 讲专题一：三角形题型训练（一）【知识重点 】平行 、三角形内角和的 合运用【新知讲解】例一、如图，在四边形 ABCD中，∠A=∠ C=90°，BE、DF分别均分∠ ABC、∠ ADC，D 请你判断 BE、 DF的地点关系并证明你的结论.EF例二、如图，在四边形ABCD中，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC 的外角均分线与∠ADCAB C的均分线交于点E，请你判断 BE、 DE的地点关系并证明你的结论D.例三、如图，在四边形ABCD中，∠ A=∠ C=90°， BE、DF E分别均分∠ ABC、∠ADCAD 的外角，请你判断BE、 DF的地点关系并证明你的M结论B .CN例四、如图，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC的均分线与∠ ADC的均分线交于点E，请你BCD F判断 BE、 DE的地点关系并证明你的结论.ME例五、如图，∠ A=∠C=90°， BE均分∠ ABC，DF均分∠ ADC的的外角，请M你判断BC BE、 DE的地点关系并证明你的结论.DEFA例六、如图，∠ A=∠ C=90°，∠ ABC的外角均分线与B∠ADC的外角均分线交于点CNE EE，请你判断BE、 DE的地点关系并证明你的结论.AD例七、如图，△ ABC中， P 为 BC边上任一点， PD∥ AB， PE∥AC.MC （1）若∠ A=60°，求∠ DPE的度数；BA（2）若 EM均分∠ BEP， DN均分∠ CDP，试判断 EM与 DN之间的地点关系，A写出你的结论并证明.DE例八、如图，△ ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠ BDE＝∠ BED，∠ CDF＝∠ CFD.B P CNM（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；A （2） EM均分∠ BED，FN均分∠ CFD，若 EM∥FN，求∠ A 的度数 .EFA例九、如图，△ ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠ DBE＝∠ DEB，∠ DCF＝∠ DFC.B M D N E C（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；F （2） EM均分∠ BED，FN均分∠ CFD，若 EM∥FN，求∠ A 的度数 .B MD N C【题型训练】1．如图 1、图 2 是由 10 把相同的折扇构成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完整翻开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).(A) 36°(B) 42°(C) 45°(D)48°2．如图，在△ ABC中，∠ B=∠C，D 是 BC上一点， DE⊥BC交 AC于点 E，DF⊥ AB，垂足为 F，若∠ AED=160°，则∠ EDF等于 ().(A)50 °(B)60°(C)70°(D)80°3．如图，△ ABC中，∠B=∠C，∠ BAD=32°，∠ ADE=∠ AED，则∠ CDE=.4．已知△ ABC中，∠ ACB—∠ B=90°，∠ BAC 的均分线交BC于 E，∠ BAC的外角的均分线交BC的延伸线于 F，则△ AEF 的形状是.5．如图， AB∥ CD，∠ A=∠ C， AE⊥ DE，∠ D=130°，则∠ B 的度数为.6．如图：点D、 E、 F 为△ ABC三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 =．7．若一束光芒经过三块平面镜反射，反射的路线以下图，图中的字母表示相应的度数，若 c 60，∠ P=110°，则 d e 的值为，x的值.8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ BAD的均分线交边BC于点 M，连结 MD，且MD恰巧均分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD=，∠ABC=.第四讲作业1. 如图，已知△ ABC的三个极点分别在直线a、b 上，且 a∥ b，若∠ 1=120°，∠ 2=80°，则∠ 3 的度数是 ().(A)40 °(B)60°(C)80°(D)120 °2．如图， BD∥ EF，AE与 BD交于点 C，若∠ ABC=30°，∠ BAC=75°，则∠ CEF的大小为 ().(A)60°(B)75°(C)90 °(D)105 °3．如图，已知 D、E 在△ ABC的边上， DE∥BC，∠B=60°，∠ AED=40°，则∠ A 的度数为 ().(A)100 °(B)90°(C)80 °(D)70 °4．已知，直线 l 1∥l2，将一块含 30°角的直角三角板以下图搁置，∠1=25°，则∠2等于 ( ).(A) 30°(B)35°(C)40°(D)45°5．如图，将三角尺的直角极点放在直线 a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为 ().(A) 50°(B)60°(C)70°(D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在以下图的两条平行线m， n 上，测得=120°，则的度数是().(A)45 °(B)55 °(C)65 °(D)75 °7.如图，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°． D 为边 CA 延伸线上的一点， DE‖ AB,∠ADE=42°，则∠ B 的大小为 ( ).(A) 42 °(B) 45°(C) 48°(D)58°8．如图， B 处在 A 处的南偏西45°方向， C处在 A 处的南偏东15°方向， C 处在 B 处的北偏东80°方向，则∠ ACB 等于（）(A)65 °(B)72°(C)75°(D)78°9．如图，已知AC∥ ED，∠ C=26°，∠ CBE=37°，则∠ BED的度数是 ().(A)63 °(B)83°(C)73°(D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角极点放在直线 b 上．若∠ 1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥ BC，CD是∠ ACB的均分线，∠ B=70°，∠ A=60° .（1）求∠ EDC的度数；（2）求∠ BDC度数 .12．如图，∠ DAB+∠ D=180°， AC均分∠ DAB，且∠ CAD=25°，∠ B=95° .(1)求∠ DCA的度数；(2)求∠ FEA的度数 .13．如图， B 处在 A 处的南偏西 57°的方向， C 处在 A 处的南偏东15°方向， CA 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数 . 北第五讲专题一：三角形题型训练（二）南C知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边B三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ABC的周长为 10，且三边长为整数，求三边的长。
七升八暑假衔接学习讲义
七升八暑假衔接学习讲义TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】一、图形的1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2.由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠与D∠重合，它们是对应角.△ ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。
全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。
几何语言：∠A= ,∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°,∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。
解：2．如图7，△ABD≌△EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（ ） ○2全等三角形的周长相等.（ ）○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（ ） ○4全等三角形的面积相等.（ ）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ）4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。
5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E ,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗?例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABACDBOAD E∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等（1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ； （2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2． 如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ， 求证：△ACB ≌△ADB2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CFADCB EADC B FE ADCBE12求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ， 求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ， 求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2 求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA" 例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说ABoABCDEF明△AOB ≌△D OC2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。
2013初一升初二数学暑假补习专用资料
2013年初一升初二暑期补习教材（数学）2013年07月第一讲 平方根【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a()a a =2()0≥a【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41（3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5）2544369++ （6）416925-⨯ 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m B.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是a B.a 是S 的算术平方根 C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964（2）2243+【记一记 】100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第二讲 立方根【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
初升高暑假数学衔接教材(含答案)(7月20日).pdf
初升高暑假数学衔接教材
第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲 如何学好高中数学 ●
初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过 一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。 在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学 习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数 学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教 学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好 自己的数学学习。 一 高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确 实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下 子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了 统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也 对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。 高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进 的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从 经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概 念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本 概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十 多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的 难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习 工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第 三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构 进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到 多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二 不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种 题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升 入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还 象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前 没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初 三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如 此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。 存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多 知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分 同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、 寻找Байду номын сангаас识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有 些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。
初一升初二数学暑期衔接教案
初一升初二——第一讲 平方根一、学习目标1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
二、知识要点1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a三、典型例题例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169 例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5）2544369++ （6）416925-⨯ 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？四、经典练习1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m五、课后作业1、下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）2、2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964 （2）2243+初一升初二——第二讲 立方根一、学习目标1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
北师版七升八数学暑假衔接班补课讲义
整数(正整数、零、负整数)
有理数
有限小数或无限循环小数
分数(正分数、负分数)
实数(小数)
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
5．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
6．实数和数轴上点的对应关系: 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都
表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的关系.
二．解答题
1．已知 9 y2 16 0 ，且 y 是负数，求 3y+5 的算术平方根。
2.若实数 a、b、c 满足 a 3 (5 b)2 c 7 0 ，求代数式 a 的值。 bc
优生堂培训机构家庭作业（一）
4
.. 1
31 1、在实数 -2，0. ， ， ，0.80108 中，无理数的个数为（
7. 开平方: ①求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫被开方数。 ②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算。 ③平方与开平方互为逆运算.
8. (1) ( a )2＝a，(a≥0) (2)
a.........(a 0) a2 a 0.........(a 0)
7．实数的几个概念： （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.
二、【例题精讲】
例 1：将下列各数填在相应括号内：
，
2
， 3.14，
0.21 ， 3 27， 1 2 ，
3 33 3，
3
有理数集合{
}；
整数集合 {
}；
正数集合 {
}；
例 2：判断正误 （1）有理数包括整数、分数和零 （2）无理数都是开方开不尽的数 （3）不带根号的数都是有理数
初一升初二数学暑假补习资料
初一升初二数学暑假补习资料(华师版)(总47页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一节平方根［情景引入］【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根是0；③负数没有平方根。
2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。
4、开平方与平方的关系：互为逆运算。
5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。
6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。
①259； ②64； ④； ⑤49151； ⑥0。
例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根：①3625； ③； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23= ； （2）()231-= ； （5）210= ； （6）()2101-= ；（9）对于任意数x ，2x = ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x （4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。
例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。
例6、x为何值时，x1有意义。
x+-例7、已知1a的平方根是4±，求ba2+b+的平方根。
3-a的平方根是32-±，1例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m，他要用50块正方形的花岗岩。
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第1讲 平方根月 日 姓名：【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算 术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数； （3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根 （也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。
【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （3）()22.7 （4）()22-（5（6）例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根 （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3+（4）41225.0+⨯ 3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41（ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对 3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964（2）2243+记一记100102= 121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192= 400202= 625252=第6讲 立方根月 日 姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
2. 能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根，并理解两者之间的互逆关系，同时掌握立方根与平方根的区别。
3. 熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。
4. 会用立方根解决简单的实际应用问题，提高学生的应用能力。
【知识要点】1、立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即3x =a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（或叫做三次方根）。
2、立方与立方根的关系：若有x 3=a 成立，则a 是x 的立方，x 就是a 的立方根。
注：任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。
3、开立方的概念：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，a 叫做被开方数。
注：a a =33 ，a a =33)(4、正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数 注：正数的立方根大于负数的立方根，0是介于两者之间。
【典型例题】例1、（1）由于3)3(-的-27，则 是 的立方根。
（2）若=b 成立，则 是 的立方； 是 的立方根。
例2、（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，他的立方等于8？（2）－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？ 例3、求下列各数的立方根（1）512 （2）833- （3）0 （4）216.0-例4、比较三个数的大小:359-,0,36例5、若124-++b a =0，则a b -的立方根是多少？★例6、已知 x=n m n m -++3是m+n+3的算术平方根，y=322+-+n m n m 是m+2n 的立方根，求y-x 的立方根.【经典练习】姓名： 成绩：1、8-的立方根是2±； （ ） 2、5-没有立方根； （ ）3、2161的立方根是61； （ ）4、92-是7298-的立方根； （ ）5、负数没有平方根和立方根； （ ）6、a 的三次方根是负数，a 必是负数； （ ）7、立方根等于它本身的数只能是0或1； （ ）8、如果x 的立方根是2-，那么8-=x ； （ ） 9．5-的立方根是35-； （ ）10、2161-的立方根是没有意义； （ ） 11、271-的立方根是31-； （ ）3、计算3825-的结果是（ ）.A.3B.7C.-3D.-7★2、若3x+1的平方根是+4，求9x+19的立方根.【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名一、判断题： 1、729125的立方根是+95（ ）2、 负数没有立方根 （ ）3、 -37是-7的立方根 ( )4、 若33y x =，则x=y ( )5、 若x ≥y ，则33y x ≥ （ ）二．选择题1、若m<0,则m 的立方根是（ ）A 、3mB 、 -3mC 、+ 3mD 、 3m - 2、如果36x -是6-x 的立方根，那么（ ）A 、x<6B 、x=6C 、6≤xD 、x 是任意实数 三、填空题1、若x<0,2x = ,33x =2、比较大小3、2)4(-的算术平方根与3)4(-的立方根的乘积是4、若33)5(-=x ，则1--x =四、求下列各数的立方根． （1）1- （2）10001 （3）343- （4）8515五、能力拓展题。
已知b a +=+117，d c +=-117，（c a ,为整数，d b ,为正的纯小数），求d b +的平方根。
第7讲 平方根和立方根的应用月 日 姓名：【学习目标】1、进一步了解理解平方根，算术平方根，立方根和开立方的概念；2、会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算；熟练掌握一些基本数的平方和立方，以便解决开平方和开立方的运算。
3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用，让学生知道数学来源于实际生活，增强学生数学的学习兴趣。
【知识要点】1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系： （1） 区别：A 、根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。
B 、被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何数。
C 、 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；算术平方根只有一个，且是正数;立方根的结果只有一。
（2） 联系：二者都是与乘方运算互为逆运算。
特别注意： a a =2)( a a =2a a =33 a a =33)(2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。
3、比较两个无理数的大小：（1）＞b 0≥a ⇔＞b（2）a ＞b 3a ⇔＞3b 或 3a ＞3b4、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为0，且被开方数为非负数有意义。
5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。
【典型例题】例1、下列说法，正确的有（ ）（1） 只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果a 有立方根，那么a 一定是正数 ；（3）如果a 没有平方根，那么a 一定是负数 ；（4）立方根等于它本身的数是0； （5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。
A ．1个B 2个 C3个 D4 例2、a.由于6443=，则 是 的立方； 是 的立方根。
b.若 a -＞0,则=22)(a ; =33a例3、13-的相反数是 ；2-的绝对值是 ；()331-的倒数是 。
例4、A.若a=23-,b=-∣－2∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.A. a ＞b ＞cB. c ＞a ＞bC. b ＞a ＞cD. c ＞b ＞aB.比较大小：5.1 ；例5、多项选择题：下列各数没有算术平方根的是（ ），有立方根的是（ ）A ．－﹙－2﹚B ．3)3(-C ．2)1(-D ．11.1例6、如果53-x +1有意义，则x 可以取的最小整数为 ，若有意义，最小值是 。
例7、 A 、解方程 8)12(3-=-xB 、若8-+b a =0，则ab 的立方根是多少？【经典练习】姓名： 成绩：一、 判断题（1） 只有正数才有平方根、算术平方根和立方根； （ ） （2） 如果a 没有平方根 ，那么a 也没有立方根 ； （ ） （3） 如果a 有立方根 ，那么a 也有平方根 ； （ ） （4） 算术平方根等于它本身的数为0； （ ） （5） a 的三次方根是负数，a 必是负数； （ ） （6） 36344=43634 （ ）二、填空题1、 81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ；3、若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；1、12+x 的算术平方根是2，则=x （ ）A.23-B. 23C. 21D. 21-2、 若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是( )A. 0B. 1C. 0 和1D. -1和1 3、若-a-b ＞0，则2)(b a +=（ ）.A. -a-bB. b a +C. b a -D. b a +4、比较大小：A.若a=2)5(--,b=-∣－1∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.A. a ＞b ＞cB. c ＞a ＞bC. b ＞a ＞cD. c ＞b ＞a2、若a ＞0，3422-+-b a =0成立，则a ba22-的算术平方根、平方根及立方根分别是多少？【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名一、判断题：1、下列说法中正确的是（ ） A 、－4没有立方根B 、1的立方根是±1C 、361的立方根是61D 、－5的立方根是35-2、在下列各式中：327102=34 3001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 43、下列说法中，正确的是（ ）A 、一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B 、一个有理数的立方根，不是正数就是负数C 、负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，14、若81-x +x -81有意义，则3x =______. 二、.判断下列各式是否正确成立.(1) 若｜a ｜＞b ,则a 2＞b 2（ ）（2）若a ＞b ，则a ＞b ，且3a ＞3b （ ）(2) 32633=33·3263 （ ） 三、填空题1、 平方根是它本身的数是____； 立方根是其本身的数是____；算术平方根是其本身的数是________。