北京市人大附中高考数学模拟试卷(含解析)
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份) (含答案解析)
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={2,3，5，7，11}，B={x|x2>9}，则A∩B=()A. {3,5，7，11}B. {7,11}C. {11}D. {5,7，11}2.若复数(a+1)+(a2−1)i(a∈R)是实数，则a=()A. −1B. 1C. ±1D. 不存在3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A. y=1x B. y=(12)xC. y=|x|D. y=−x34.等差数列{a n}中，a2+a5+a8=12，则前9项和S9=()A. 18B. 24C. 36D. 485.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sinα=()A. −45B. −35C. 35D. 456.已知实数a<b，那么()A. a−b<0B. a−b>0C. a2<b2D. 1a <1b7.某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()A. 3∈AB. 5∈AC. 2√6∈AD. 4√3∈A8.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P(x,y)在抛物线C上，且x=1，则|PF|=()A. 98B. 32C. 178D. 529.函数f(x)=1x+ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.10. 方程|lgx|+x −3=0实数解的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．12. 已知向量a ⃗ =(2,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．13. 一个容量为20的样本数据，已知分组与频数分别如下：[10,20)，2个；[20,30)，3个；[30,40)，4个；[40,50)，5个；[50,60)，4个；[60,70]，2个．则样本在[10,50)上的频率是__________．14. 函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为___________．15. 已知|cos θ|=15，5π2<θ<3π，那么sin θ2=____. 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,A >0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)在[−π4,π6]上的值域．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAC；(Ⅱ)侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；(Ⅲ)求二面角A−PD−C的余弦值．18.某快递公司(为企业服务)准备在两种员工付酬方式中选择一种，现邀请甲、乙两人试行10天．两种方案如下：甲无保底工资，送出50件以内(含50件)，每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每出送一件再支付2元．分别记录其10天的件数，得到如下茎叶图：若将频率视作概率，回答以下问题：(1)记甲的日工资额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(2)如果仅从日工资额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．+ln x−1．19.已知a∈R，函数f(x)=ax(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值．20.椭圆C：x24+y2=1的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为12的直线l与椭圆C交于P、Q两点(点P在第一象限)．(Ⅰ)求证：直线AP、BQ的斜率之和为定值；(Ⅱ)求四边形APBQ面积的取值范围．21.设k为正整数，若数列{a n}满足a1=1，且(a n+1−a n)2=(n+1)k，则称数列{a n}为“k次方数列”．(1)设数列{a n}为“2次方数列”，且数列{a nn}为等差数列，求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n}为“4次方数列”，且存在正整数m满足a m=15，求m的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查交集的求法，是基础题．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={2,3，5，7，11}，B ={x|x 2>9}={x|x <−3或x >3}，∴A ∩B ={5,7，11}．故选：D ．2.答案：C解析：本题考查复数的概念.根据复数是实数，可知a 2−1=0，由此可得a 的值．解：∵复数(a +1)+(a 2−1)i(a ∈R)是实数，∴a 2−1=0，解得a =±1．故选C ．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，属于基础题．分别判断各选项函数的奇偶性、单调性即可．解：A.y =1x 是奇函数，在区间(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，但是在定义域内不是减函数，不符合题意；B .y =(12)x 是非奇非偶函数，不符合题意；C .y =|x| 是偶函数，不符合题意；D .y =−x 3是奇函数，且在定义域R 上单调递减，符合题意．故选D ．解析：解：在等差数列{a n}中，∵a2+a5+a8=12，由等差数列的性质得：a5=13(a2+a5+a8)=4，∴前9项和为：S9=(a1+a9)×92=9×a5=36．故选：C．根据等差数列的性质求出a5的值，再根据前n项和公式求出S9即可．本题考查了等差数列的性质与前n项和公式的运用，是基础题目．5.答案：D解析：本题考查任意角的三角函数，属于基础题．直接根据三角函数的定义，即可求得结果．解：∵角α的终边过点P(3,4)，则|OP|=√32+42=5，，故选D．6.答案：A解析：本题主要考查了不等式的比较大小，属于基础题．解：实数a<b，则a−b<0，故A正确，B错误，若a=−2，b=0，则a2>b2，故C错误，若a=1，b=2，则1a >1b，故D错误．故选A．解析：本题考查几何体的三视图．由几何体的三视图可知该几何体为三棱柱截去一个三棱锥，判断出线面的位置关系，由勾股定理求几何体的棱长，即可得答案．解：由几何体的三视图可知该几何体为三棱柱截去一个三棱锥，如图所示，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，且AF⊥AB，DE⊥DC，DE⊥BD，所以EC=√DC2+DE2=4√2，EF=FB=√AF2+AB2=2√5，BE=√DE2+BD2=√42+4√22=4√3，A为此几何体所有棱的长度构成的集合，所以A={2,4,4√2,4√3,4√5}．故选D．8.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．解：由y=2x2，得x2=y2，则p=14；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178．故选：C．9.答案：B解析：本题考查了图象的画法，由函数的性质结合特殊值可排除得答案．解：当x<0时，函数f(x)=1x +ln(−x)，由函数y=1x，y=ln(−x)都单调递减知函数f(x)=1x+ln(−x)单调递减，排除C，D；当x>0时，函数f(x)=1x +ln x，此时，f(1)=11+ln1=1，而选项A的最小值为2，故可排除A，B正确，故选B．10.答案：C解析：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．方程|lgx|+x−3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数，结合图象得出结论．解：方程|lgx|+x−3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数，如图所示：函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数为2，故选C．11.答案：32解析：本题考查了二项式求展开式的特定项、求展开式的系数和问题，属于中档题．由题意可得2C52+aC51=15，解得a=−1，再令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．解：(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，即2C52+aC51=15，解得a=−1，设(2−x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6令x=1，得25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=32．故答案为32．12.答案：2解析：解：由已知得到a⃗⋅b⃗ =2×(−3)+2×4=−6+8=2；故答案为：2．利用平面向量的数量积的坐标表示解答．本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；a⃗=(x,y)，b⃗ =(m,n)，则a⃗⋅b⃗ =xm+yn．13.答案：710解析：本题考查频率的概念．本题属于容易题．解：由题知[10,50)上的频率为2+3+4+520=1420=710．故答案为：71014.答案：[−π,π3]解析：本题考查正弦函数的图象与性质，根据正弦函数的单调递增区间可得结果． 解：因为−π≤x ≤π2， 所以−π6≤12x +π3≤7π12，所以函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为： −π6≤12x +π3≤π2， 解得−π≤x ≤π3． 故答案为[−π,π3]．15.答案：−√155解析：本题考查了三角函数二倍角公式是应用，属于基础题.先将|cosθ|=15去绝对值得cosθ=−15，再由二倍角公式得1−2sin 2θ2=−15，解出sin θ2的值即可． 解：∵5π2<θ<3π，|cosθ|=15，∴cosθ=−15， 由二倍角公式得1−2sin 2θ2=−15， ∴2sin 2θ2=65，∴sin 2θ2=35， ∵sin θ2<0， 所以sin θ2=−√155．故答案为−√155．16.答案：解：(1)函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中ω>0，A >0，|φ|<π2)的图象，可得A =1，14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2． 再根据五点法作图可得2×π3+φ=π，∴φ=π3，∴f(x)=sin(2x +π3).(2)在[−π4,π6]上，2x +π3∈[−π6,2π3]，所以，当2x +π3=π2，即x =π12,f(x)max =f(π12)=1； 当2x +π3=−π6，即x =−π4,f(x)min =f(−π4)=−12． 所以函数f(x)的值域为[−12,1]．解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． (2)利用正弦函数的定义域和值域，即可求得函数y =f(x)在[−π4,π6]上的值域．17.答案：解：因为∠PAD =90°，所以PA ⊥AD.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，所以PA ⊥底面ABCD.又因为∠BAD =90°， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AD =2，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,2，0)，P(0,0，1)．(Ⅰ)证明：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0, 0, 1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1, 1, 0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1, 1, 0)，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC =A ，所以CD ⊥平面PAC.(4分)(Ⅱ)设侧棱PA 的中点是E ，则E(0,0,12)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,12)． 设平面PCD 的一个法向量是n =(x,y ，z)，则{n ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2, −1)， 所以{−x +y =02y −z =0取x =1，则n =(1,1，2)．所以n ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)⋅(−1,0,12)=0，所以n ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE//平面PCD.(8分)(Ⅲ)由已知，AB ⊥平面PAD ，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)为平面PAD 的一个法向量． 由(Ⅱ)知，n =(1,1，2)为平面PCD 的一个法向量． 设二面角A −PD −C 的大小为θ，由图可知，θ为锐角， 所以cosθ=n⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6×1=√66． 即二面角A −PD −C 的余弦值为√66.(13分)解析：(I)由已知易得，AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD 的方向向量及平面PAC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．(II)设侧棱PA 的中点是E ，我们求出直线BE 的方向向量及平面PCD 的法向量，代入判断及得E 点符合题目要求；(III)求现平面APD 的一个法向量及平面PCD 的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A −PD −C 的余弦值．利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18.答案：解：(1)设甲日送件量为a ，则当a =48时，X =48×3=144，当a =49时，X =49×3=147，当a =50时，X =50×3=150，当a =51时，X =50×3+5=155，当a =52时，X =50×3+5×2=160， ∴X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160． ∴X 的分布列为：所以E(X)=144×110+147×310+150×15+155×15+160×15=151.5(元); (2)乙日送件量为：48×0.2+49×0.1+50×0.2+51×0.3+52×0.2=50.2乙的日均工资额为：50+50.2×2=150.4(元)， 而甲的日均工资额为：151.5元，150.4元<151.5元， 因此，推荐该公司选择乙的方案．解析：本题考查茎叶图、离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题． (1)根据离散型随机变量的性质求出分布列和数学期望即可； (2)根据甲、乙的均值判断即可．19.答案：解：函数定义域x ∈(0,+∞)，所以 f′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，x ∈(0,+∞)．因此 f′(2)=14.即曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 14． 又 f(2)=ln2−12，所以曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y −(ln2−12)=14(x −2)， 即x −4y +4ln2−4=0．(2)因为 f(x)=ax +lnx −1，所以 f′(x)=−ax 2+1x =x−a x 2.令f′(x)=0，得x =a ．①若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0,e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0,a)上单调递减， 当x ∈(a,e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a,e]上单调递增， 所以当x =a 时，函数f(x)取得最小值ln a ．③若a ≥e ，则当x ∈(0,e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，所以当x =e 时，函数f(x)取得最小值 ae .综上可知，当a ≤0时，函数f(x)在区间(0,e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ae ．解析：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．(1)把a =1代入到f(x)中化简得到f(x)的解析式，求出f′(x)，因为曲线的切点为(2,f(2))，所以把x =2代入到f′(x)中求出切线的斜率，把x =2代入到f(x)中求出f(2)的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；(2)借助于导数，将函数f(x)=ax +lnx −1的最值问题转化为导函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解．20.答案：(Ⅰ)证明：设直线l 方程为：y =12x +b 代入椭圆C ：x 24+y 2=1并整理得：x 2+2bx +2b 2−2=0设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−2bx 1x 2=2b 2−2．从而k AP +k BQ =y 1x1−2+y 2−1x 2=x 1x 2+(b−1)(x 1+x 2−2)(x 1−2)x 2=2b 2−2+(b−1)(−2b−2)(x 1−2)x 2=0，所以直线AP 、BQ 的斜率之和为定值0． (Ⅱ)设C ：x 24+y 2=1的左顶点和下顶点分别为C 、D ，则直线l 、BC 、AD 为互相平行的直线，所以A 、B 两点到直线l 的距离等于两平行线BC 、AD 间的距离d =√1+14．∵|PQ|=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+14|x 2−x 1|，∴S APBQ =12d ⋅|PQ|=|x 2−x 1|=√8−4b 2，又p 点在第一象限， ∴−1<b <1， ∴S ∈(2,2√2]．解析：略21.答案：解：(1)因为数列{a n}为“2次方数列”，所以(a n+1−a n)2=(n+1)2，于是a2−a1=±2.又a1=1，故a2=−1或a2=3．当a2=3时，由数列{a nn }为等差数列，得数列{a nn}的首项为1，公差为12，所以a nn =1+(n−1)×12=12(n+1)，所以a n=12(n2+n)，经检验，满足题意;当a2=−1时，由数列{a nn }为等差数列，得数列{a nn}的首项为1，公差为−32，所以a nn =1−32(n−1)=−32n+52，所以a n=−32n2+52n，经检验，不满足题意，舍去．综上所述，数列{a n}的通项公式为a n=12(n2+n)．(2)因为数列{a n}为“4次方数列”，所以a n+1−a n=±(n+1)2，即a n=1±22±32±⋯±n2．因为a m=15，当m≤3时，a m的最大值是1+22+32=14，所以m≤3时不成立;当m=4时，因为1±22±32±42等于−28，−20，−10，−2，4，12，22，30，所以m=4时不成立;当m=5时，因为1−22+32−42+52=15，所以m的最小值为5．综上所述，m的最小值为5．解析：本题考查新定义下的数列问题，属于较难题．(1)根据新定义：数列{a n}为“2次方数列”，则(a n+1−a n)2=(n+1)2，于是a2−a1=±2.}为等差数列，得到通项公又a1=1，故a2=−1或a2=3.分别对a2的两种情况讨论，借助于数列{a nn式；(2)根据数列{a n}为“4次方数列”，得到a n+1−a n=±(n+1)2，即a n=1±22±32±⋯±n2.由a m=15，分别讨论当m≤3时当m=4时，当m=5时是否成立，成立即为所求．。
北京市人大附中近年届高考数学模拟预测卷四文(含解析)(最新整理)
北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题一、选择题（本大题共8小题,共40。
0分)1.已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0｝，B=｛x|x-4≤0｝，则∁U(A∩B)=( )A. 或B. 或C。
D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合A,B，然后进行交集、补集的运算即可．【详解】解：A=｛x｜x＜—1｝，B=｛x|x≤4}；∴A∩B={x｜x＜-1｝；∴∁U(A∩B)={x|x≥—1}．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的概念,以及交集、补集的概念及运算．2。
若a=log3，b=log39.1，c=20。
8，则a，b，c的大小关系为（）A。
B. C. D。
【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】.故选：C．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．3。
设x，y∈R，则“|x|≤1且|y|≤1" 是“x2+y2≤2"的( )A。
充分不必要条件 B. 必要不充分条件C。
充要条件D。
既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的定义分析判断得解。
【详解】解：|x｜≤1且｜y｜≤1,所以,反之不成立，例如取x=0，y=．∴“｜x｜≤1且｜y｜≤1” 是“x2+y2≤2”的充分不必要条件．故选:A．【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质、充分必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a 的取值范围是（）A. B. C。
D。
【答案】B【解析】【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率,求得满足直线ax—y=0上存在区域D 上的点时的a的范围．【详解】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0）,要使直线ax—y=0上存在区域D上的点，则直线ax—y=0的斜率a∈［k OB，k OA］，联立，得A（1,3）,联立，得B（2，1），∴．∴a，故选：B．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法,是中档题．5.若直线是圆的一条对称轴，则的值为（ )A。
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)(解析版)
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．（4分）集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．（4分）已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±13．（4分）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y＝x+2B．y＝sin x C．y＝x﹣x3D．y＝2x4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（）A．10B．9C．8D．75．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣6．（4分）设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A．a+b＞c B．ab＞c2C．D．7．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2，且∉S B．2，且∈SC．，且D．，且8．（4分）已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．B．2（﹣1）C．4D．49．（4分）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A．①③B．③④C．②③D．②④10．（4分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解x i（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（）A．（0，101]B．（0，99]C．（0，100]D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．（5分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为．12．（5分）若向量满足，则实数x的取值范围是．13．（5分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①．②．14．（5分）函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为．15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x＝是函数f（x）的对称轴；③f（）＝0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．18．（14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）19．（14分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．（15分）设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．21．（14分）对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k ≤n，且a1+a2+…+a k＝n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k ＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，a k＝b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．【分析】求出集合B，再求出交集【解答】解：A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＞3或者x＜﹣1}，则A∩B＝（3，+∞），故选：A．2．【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．【解答】解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．3．【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．【解答】解：A：y＝x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：y＝sin x的值域[﹣1，1]，不符合题意；C：y＝x﹣x3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y＝2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．4．【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，∴a3﹣2d+a3+d＝5，∴4﹣d＝5，解得d＝﹣1，∴a1＝2+2＝4，a6＝a1+5d＝4﹣5＝﹣1，∴S6＝＝＝9，故选：B．5．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．6．【分析】利用不等式的可加性得a+b＞2c，由此可判断选项C正确．【解答】解：∵a＞c，b＞c，∴a+b＞2c，∴．故选：C．7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝2，AE＝CE＝2，BE＝．故选：D．8．【分析】设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．【解答】解：设P（x，y），可得＝＝＝x≥2＝4．当且仅当x＝2时取得最小值4．故选：D．9．【分析】结合图象直接观察得解．【解答】解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故②④正确．故选：D．10．【分析】由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数y＝x﹣在[，1）上取值范围，即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝的图象如右：关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解，可得y＝f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，可以判断0＜a≤1，x1+x2＝2×（﹣5）＝﹣10，|lgx3|＝|lgx4|≤1，且≤x3＜1，1＜x4≤10，可得﹣lgx3＝lgx4，即lgx3+lgx4＝0，即有x3x4＝1，x4＝，故（x1+x2）（x3﹣x4）＝﹣10（x3﹣），又由函数y＝x﹣在[，1）上递增，可得函数y＝x﹣在[，1）上的值域为[﹣9.9，0），可知﹣10（x3﹣）的取值范围为（0，99]．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数．【解答】解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•2r＝2r•x12﹣2r，令12﹣2r＝8，解得r＝2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：22＝60，故答案为：60．12．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．【解答】解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜3⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．【分析】直接由频率折线图得结论．【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．故答案为：①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．14．【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x＝0时，2x+＝；当x＝a时，2x+＝2a+，∴2a+≤，∴0＜a≤，故答案为：π；．15．【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．【分析】（Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意知选择①②；由函数f（x）的周期为π，得ω＝＝2；又x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．17．【分析】（Ⅰ）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到AB∥OC，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（Ⅲ）假设存在，设出点E的坐标，通过AB⊥DE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵O是AD的中点，AD＝2BC＝2，BC∥AD，∴OA∥BC，且OA＝BC＝1，∴四边形AOBC是平行四边形，∴AB∥OC，∵AB不在平面POC内，OC在平面POC内，∴AB∥平面POC；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又OD＝CD＝1，CD⊥AD，∴四边形OBCD是正方形，则OB⊥OD，又PO⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），，设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角O﹣PC﹣D的平面角为θ，则；（Ⅲ）假设线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE，设E（r，t，s），则（r，t，s﹣2）＝λ（1，1，﹣2）＝（λ，λ，﹣2λ），故，即E （λ，λ，2﹣2λ），∴，又，∴，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE．18．【分析】（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II ）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X ＝0，1，2，求出分布列和数学期望； （III ）根据题意，求出即可．【解答】解：（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为， 在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人； （II ）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人， 记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，选出的8名男生中随机抽取2人，则X ＝0，1，2， 则P （X ＝0）＝，P （X ＝1）＝，P （X ＝2）＝，X 的分布列如下：x 0 1 2 p故E （X ）＝0，（III ）m 的最小值为4．19．【分析】（Ⅰ）求出函数在x＝2处的导数f′（2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）＝+2x﹣（a+2），则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．【分析】（Ⅰ）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（Ⅱ）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度，由|AB|＝|CD|，可得m2＝n2，进而得证；（Ⅲ）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1⊥x轴，与题设矛盾，进而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，且四边形ABCD 为矩形，∴；（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x＝ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m2﹣2＝0，∴，且△＝4m2t2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＞0，即t2﹣m2+2＞0，∴＝＝，同理可得，∵四边形ABCD为平行四边形，∴|AB|＝|CD|，即m2＝n2，由m≠n，故m＝﹣n，即m+n＝0，即得证；（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（Ⅱ）可知，m＝﹣n，∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|＝|OB|，那么，则，∴x1＝x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．21．【分析】（Ⅰ）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”．（Ⅱ）欲使k最大，只须a i最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值．（Ⅲ）当n为奇数时，f n＝0，满足f n≤g n；当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而f n≤g n；当n＝2时，f2＝g2；当n＝4时，f4＝g4；当n≥6时，f n≤g n．由此能证明f n≤g n，并能求出等号成立的n的值为2，4．【解答】解：（Ⅰ）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）．（Ⅱ）解：欲使k最大，只须a i最小，当n为偶数时，a1＝a2＝…＝a k＝2，k＝，当n为奇数时，a1＝a2＝…＝a k﹣1＝2，a k＝3，k＝．（Ⅲ）证明：①当n为奇数时，不存在a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即f n＝0，满足f n≤g n；②当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，…，1）和（1，1，…，1，a1﹣1，a2﹣1，…，a k﹣1）这两种各数均为奇数的分拆，∴f n≤g n；③当n＝2时，a i均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2＝g2；当n＝4时，a i均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4＝g4；当n≥6时，对于每一种a i均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，…，1），∴f n≤g n．综上，使得f n≤g n中等号成立的n的值为2，4。
北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一(解析版)
北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为，，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.3.若向量，，则（）A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐标，再求模长即可.【详解】则=故选：D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数g（x）的对称轴，然后求出ω的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．【详解】由2x kπ得x，即函数f（x）的对称轴为x，由ωx kπ得x，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，x，即0≤x，则函数f（x）在[0，π]上的递增区间是[0，]，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据函数的对称性求、求出对称轴和ω是解决本题的关键．6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A. 或；B. 或；C. 或；D. 或；【答案】D【解析】【分析】先确定单调递减，则转化为在的最小值大于等于f(2)即可.【详解】由题函数单调递减，所以在;则在的最小值大于等于f(2)=1；令t= ，则t≥2在恒成立，即-2≥0恒成立，令g(x)=-2,其对称轴x=,∴或综上解得或故选:D.【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数-2≥0恒成立是本题关键，是难题.7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为1．故选：C．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．8.已知直线y=2b与双曲线的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为,若则双曲线的离心率为（）A. 4或B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意表示出点的坐标，又得到关于离心率的方程即可求出结果【详解】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题二、填空题共6小题。
2020年北京市人大附中高考数学(4月份)模拟试卷 含解析
2020年高考数学（4月份）模拟试卷一、选择题1．集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±13．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y＝x+2B．y＝sin x C．y＝x﹣x3D．y＝2x4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（）A．10B．9C．8D．75．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣6．设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A．a+b＞c B．ab＞c2C．D．7．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2，且∉S B．2，且∈SC．，且D．，且8．已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．B．2（﹣1）C．4D．49．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A．①③B．③④C．②③D．②④10．设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解x i（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（）A．（0，101]B．（0，99]C．（0，100]D．（0，+∞）二、填空题（共6小题）.11．在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为．12．若向量满足，则实数x的取值范围是．13．在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①．②．14．函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为．15．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（共6小题）16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x＝是函数f（x）的对称轴；③f（）＝0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．17．在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．18．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成（结绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．论不要求证明）19．设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．21．对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k≤n，且a1+a2+…+a k＝n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，a k＝b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）参考答案一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）【分析】求出集合B，再求出交集解：A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＞3或者x＜﹣1}，则A∩B＝（3，+∞），故选：A．2．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±1【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．3．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y＝x+2B．y＝sin x C．y＝x﹣x3D．y＝2x【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．解：A：y＝x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：y＝sin x的值域[﹣1，1]，不符合题意；C：y＝x﹣x3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y＝2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（）A．10B．9C．8D．7【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出．解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，∴a3﹣2d+a3+d＝5，∴4﹣d＝5，解得d＝﹣1，∴a1＝2+2＝4，a6＝a1+5d＝4﹣5＝﹣1，∴S6＝＝＝9，故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．6．设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A．a+b＞c B．ab＞c2C．D．【分析】利用不等式的可加性得a+b＞2c，由此可判断选项C正确．解：∵a＞c，b＞c，∴a+b＞2c，∴．故选：C．7．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2，且∉S B．2，且∈SC．，且D．，且【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝2，AE＝CE＝2，BE＝．故选：D．8．已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．B．2（﹣1）C．4D．4【分析】设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．解：设P（x，y），可得＝＝＝x≥2＝4．当且仅当x＝2时取得最小值4．故选：D．9．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A．①③B．③④C．②③D．②④【分析】结合图象直接观察得解．解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故②④正确．故选：D．10．设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解x i（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（）A．（0，101]B．（0，99]C．（0，100]D．（0，+∞）【分析】由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数y＝x﹣在[，1）上取值范围，即可得到所求范围．解：函数f（x）＝的图象如右：关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解，可得y＝f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，可以判断0＜a≤1，x1+x2＝2×（﹣5）＝﹣10，|lgx3|＝|lgx4|≤1，且≤x3＜1，1＜x4≤10，可得﹣lgx3＝lgx4，即lgx3+lgx4＝0，即有x3x4＝1，x4＝，故（x1+x2）（x3﹣x4）＝﹣10（x3﹣），又由函数y＝x﹣在[，1）上递增，可得函数y＝x﹣在[，1）上的值域为[﹣9.9，0），可知﹣10（x3﹣）的取值范围为（0，99]．故选：B．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）11．在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为60．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数．解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•2r＝2r•x12﹣2r，令12﹣2r＝8，解得r＝2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：22＝60，故答案为：60．12．若向量满足，则实数x的取值范围是（﹣3，1）．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜3⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①甲省控制较好，确诊人数趋于减少．②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．【分析】直接由频率折线图得结论．解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．故答案为：①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．14．函数的最小正周期为π；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为．【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x＝0时，2x+＝；当x＝a时，2x+＝2a+，∴2a+≤，∴0＜a≤，故答案为：π；．15．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为②③．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x＝是函数f（x）的对称轴；③f（）＝0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．解：（Ⅰ）由题意知选择①②；由函数f（x）的周期为π，得ω＝＝2；又x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．17．在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到AB∥OC，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（Ⅲ）假设存在，设出点E的坐标，通过AB⊥DE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论．解：（Ⅰ）连接OC，∵O是AD的中点，AD＝2BC＝2，BC∥AD，∴OA∥BC，且OA＝BC＝1，∴四边形AOBC是平行四边形，∴AB∥OC，∵AB不在平面POC内，OC在平面POC内，∴AB∥平面POC；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又OD＝CD＝1，CD⊥AD，∴四边形OBCD是正方形，则OB⊥OD，又PO⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），，设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角O﹣PC﹣D的平面角为θ，则；（Ⅲ）假设线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE，设E（r，t，s），则（r，t，s﹣2）＝λ（1，1，﹣2）＝（λ，λ，﹣2λ），故，即E（λ，λ，2﹣2λ），∴，又，∴，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE．18．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成（结绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．论不要求证明）【分析】（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X＝0，1，2，求出分布列和数学期望；（III）根据题意，求出即可．解：（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人；（II）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，选出的8名男生中随机抽取2人，则X＝0，1，2，则P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，X的分布列如下：x012p故E（X）＝0，（III）m的最小值为4．19．设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．【分析】（Ⅰ）求出函数在x＝2处的导数f′（2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）＝xlnx ﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x ）＝+2x﹣（a+2），则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．【分析】（Ⅰ）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（Ⅱ）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度，由|AB|＝|CD|，可得m2＝n2，进而得证；（Ⅲ）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1⊥x轴，与题设矛盾，进而得出结论．解：（Ⅰ）由题意可得，，且四边形ABCD为矩形，∴；（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x＝ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m2﹣2＝0，∴，且△＝4m2t2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＞0，即t2﹣m2+2＞0，∴＝＝，同理可得，∵四边形ABCD为平行四边形，∴|AB|＝|CD|，即m2＝n2，由m≠n，故m＝﹣n，即m+n＝0，即得证；（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（Ⅱ）可知，m＝﹣n，∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|＝|OB|，那么，则，∴x1＝x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．21．对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k≤n，且a1+a2+…+a k＝n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，a k＝b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）【分析】（Ⅰ）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”．（Ⅱ）欲使k最大，只须a i最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值．（Ⅲ）当n为奇数时，f n＝0，满足f n≤g n；当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而f n≤g n；当n＝2时，f2＝g2；当n＝4时，f4＝g4；当n≥6时，f n≤g n．由此能证明f n≤g n，并能求出等号成立的n的值为2，4．解：（Ⅰ）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）．（Ⅱ）解：欲使k最大，只须a i最小，当n为偶数时，a1＝a2＝…＝a k＝2，k＝，当n为奇数时，a1＝a2＝…＝a k﹣1＝2，a k＝3，k＝．（Ⅲ）证明：①当n为奇数时，不存在a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即f n＝0，满足f n≤g n；②当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，…，1）和（1，1，…，1，a1﹣1，a2﹣1，…，a k﹣1）这两种各数均为奇数的分拆，∴f n≤g n；③当n＝2时，a i均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2＝g2；当n＝4时，a i均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4＝g4；当n≥6时，对于每一种a i均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，…，1），∴f n≤g n．综上，使得f n≤g n中等号成立的n的值为2，4．。
北京市人大附中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
高考数学模拟试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知U=R，函数y=ln（1-x）的定义域为M，集合N={x|x2-x＜0}．则下列结论正确的是（）A. M∩N=NB. M∩（∁U N）=∅C. M∪N=UD. M⊆（∁U N）2.已知复数z满足z（1-i）2=1+i（i为虚数单位），则=（）A. -+iB. --iC. +iD. -i3.某种最新智能手机市场价为每台6000元，若一次采购数量x达到某数值，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的y=513000元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为（）A. 80B. 85C. 90D. 1004.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的x的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 45.已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（）A. 2B.C.D.6.已知a＞0且a≠1，函数在[-2，2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.7.函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则f（x）在上的单调递增区间为（）A. B. C. D.8.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=2，∠ASB=120°，SA⊥AD，则四棱锥外接球的表面积为（）A. 16πB. 20πC. 80πD. 100π二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=的取值范围为______10.设等差数列（a n）的前N项和为S n，若a1+a3+a5=15，S4=16，则a4=______11.若角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=3x上，则=______12.已知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0，PQ的中点为M（x0，y0），且-1≤y0-x0≤7，则的取值范围是______．13.椭圆C：+=1的右焦点为F（1，0），左顶点为A，线段AF的中点为B，圆F过点B，且与C交于D，E，△BDE是等腰直角三角形，则圆F的标准方程是______．14.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）=e-x（2x+3）-f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）=1，若关于x的不等式f（x）-m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．16.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）若△ABC外接圆半径为3，，求△ABC的面积．17.已知如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．（1）在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（画图说出作法，不用说明理由）；（2）求证：D1B⊥平面DEF．18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将A（0.9kg），B（1.3kg），C（1.8kg），D（2.5kg）四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他支付的快递费为45元的概率．19.已知函数f（x）=a ln x-e x-1+1，其中a∈R．（1）若x=1是函数f（x）的导函数的零点，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤0对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．20.从抛物线y2 =36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由1-x＞0，解得：x＜1，故函数y=ln（1-x）的定义域为M=（-∞，1），由x2-x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2-x＜0}=（0，1），∴M∩N=N，故选：A．分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．2.【答案】B【解析】解：由z（1-i）2=1+i，得z=，∴．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由程序框图可知：y=，（1）若x≤80，令6000x=513000，解得x=85.5，舍去；（2）若80＜x≤120，令6000×0.95x=513000，解得x=90，（3）若x＞120，令6000×0.85x=513000，解得x≈100.6，舍去．综上，x=90．故选：C．根据程序框图得出y关于x的函数解析式，再分情况解方程得出x的值即可．解决程序框图题应注意三个方面，一是搞清判断框内的条件是计数变量还是累计变量表示；二是注意判断框的条件是否含等号；三是准确利用赋值语句与变量间的关系把握程序框图的整体功能．4.【答案】C【解析】解：若输入x=1，则S=0，k=1，k=k+1=2，S==，x=1+1=2，S≥不成立，k=3，S=+=+=，x=3，S≥不成立，k=4，S=+=，x=4，S≥不成立，k=5，S=+=，x=5，S≥成立，输出x=5，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用程序框图进行模拟运算是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图所示；则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为2．故选：D．根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长．本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+2，f′（x）=6x2+6x=6x（x+1），由f′（x）＞0得x＞0（舍）或-2≤x＜-1，此时f（x）为增函数，由f′（x）＜0得-1＜x≤0，此时f（x）为减函数，则当x=-1时，f（x）取得极大值，极大值为f（-1）=3，当x=-2时，f（x）取得最小值，最小值我f（-2）=-2，∵f（x）在[-2，2]上的最大值为3，∴当0＜x≤2时，函数f（x）=a x+1的最大值不能超过3即可，当a＞1时，f（x）为增函数，则当0＜x≤2时，函数f（x）=a x+1的最大值为f（2）=a2+1≤3，即a2≤2，得1＜a≤，当0＜a＜1时，f（x）为减函数，则f（x）＜a0+1=1+1=2，此时满足条件．综上实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a≤，故选：A．根据分段函数的表达式，分别求出函数递增[-2，0]和（0，2]上的最大值，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：函数图象向右平移个单位长度，得到y=cos[2（x-）+φ]=cos（2x+φ-），所得图象关于原点对称，则φ-=kπ+，得φ=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=-1时，φ=-，则f（x）=cos（2x-），由2kπ-π≤2x-≤2kπ，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，∵x∈，∴当k=0时，-≤x≤，即-≤x≤，即f（x）在上的单调递增区间为，故选：A．根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出φ的值，结合函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：由四边形ABCD为矩形，得AB⊥AD，又SA⊥AD，且SA∩AB=A，∴AD⊥平面SAB，则平面SAB⊥平面ABCD，设三角形SAB的外心为G，则GA=．过G作GO⊥底面SAB，且SO=1，则OS=．即四棱锥外接球的半径为．∴四棱锥外接球的表面积为S=．故选：B．由已知证明平面SAB⊥平面ABCD，由正弦定理求出三角形SAB外接球的半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】（-∞，-1]∪[1，+∞）【解析】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=的几何意义的可行域内的点与D（4，-4）点连线的斜率，可得z=≥k DA==1，z=≤k DO==-1．则目标函数z=的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）．故答案为：（-∞，-1]∪[1，+∞）．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断求解即可．本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键．10.【答案】7【解析】解：由a1+a3+a5=15，S4=16，可得，解得a1=1，d=2，故a4=1+3×2=7，故答案为：7．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第四项的求法，考查等差数列的性质性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】【解析】解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=3x上，∴tanθ=3，则==，故答案为：．利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于基础题．12.【答案】（-∞，-2]∪[-，+∞）【解析】解：∵直线x+2y-1=0与x+2y+3=0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1=0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1=0，而满足不等式-1≤y0-x0≤7，如图，联立，解得A（，），联立，解得B（-5，2），的几何意义为线段AB上的点与原点连线的斜率，∵k AO=-2，，∴的取值范围是（-∞，-2]∪[-，+∞）．故答案为：（-∞，-2]∪[，+∞）．根据直线平行的性质求出M的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．本题考查轨迹方程的求法，考查简单线性规划知识的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.【答案】（x-1）2+y2=【解析】解：如图设A（-a，0），可得a＞1，c=1，b2=a2-1，线段AF的中点为B（，0），圆F的圆心为F（1，0），半径r=|BF|=，设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，-n），由△BDE为等腰直角三角形，可得k BD=1，即=1，即n=m-，由D在圆F：（x-1）2+y2=（）2上，可得（m-1）2+（m-）2=（）2，化简可得（m-1）（2m-1+a）=0，解得m=1或m=（舍去），则n=，将D（1，）代入椭圆方程，可得+=1，化简可得a=2或（舍去），（另解：由题意可得DE为椭圆的通径长，且有=，解得a=2）则圆F的标准方程为（x-1）2+y2=，故答案为：（x-1）2+y2=．设A（-a，0），可得a＞1，c=1，求得AF的中点B的坐标，可得圆F的半径和方程，设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，-n），由△BDE为等腰直角三角形，可得m，n的关系，将D的坐标代入圆的方程，解方程可得m=1，求出n，代入椭圆方程，解方程可得a=2，即可得到圆F的方程．本题考查椭圆的方程和性质，以及圆的方程的求法，考查等腰直角三角形的性质，注意运用点满足圆的方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.【答案】（-e，0]【解析】解：∵f'（x）=e-x（2x+3）-f（x），∴f（x）+f'（x）=e-x（2x+3），即[f（x）+f′（x）]e x=（2x+3），即[f（x）e x]′=2x+3，即f（x）e x=x2+3x+c，即f（x）=，∵f（0）=1，∴f（0）=0+0+c=1，即c=1，则f（x）=，则f'（x）=e-x（2x+3）-f（x）=e-x（x2+x-2），由f′（x）＞0得-2＜x＜1，此时f（x）为增函数，由f′（x）＜0得x＞1或x＜-2，此时f（x）为减函数，即当x=-2时，f（x）取得极小值f（-2）=-e-2，∵f（-1）=-e，f（-3）=e2，且当x＞1时，f（x）＞0，由图象知，要使不等式f（x）＜m的解集中恰有两个整数，则满足f（-1）＜m≤0，即-e＜m≤0，即实数m的取值范围是（-e，0]，故答案为：（-e，0]根据条件进行转化，求出函数f（x）的解析式，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，以及利用导数研究极值单调性问题，根据条件求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键．15.【答案】解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴a n=6+（n-1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴S n=6n+=2n2+4n，==，∴T n===-＜，（T n）min=T1=-=．故≤T n＜．【解析】（1）由题意得，由此能求出a n=4n+2．（2）由a1=6，d=4，得S n=2n2+4n，==，从而T n==-＜，由此能证明≤T n＜．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．16.【答案】解：（Ⅰ）由及正弦定理得2sin A cos C+2cos A sin C+3cos A sin B=0，从而2sin（A+C）+3cos A sin B=0即2sin B+3cos A sin B=0，又△ABC中sin B＞0，∴．（Ⅱ）△ABC外接圆半径为3，，由正弦定理得，再由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A=（b+c）2-2（1+cos A）bc，及，得bc=6，∴△ABC的面积．【解析】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式的边化角，结合sin B＞0，可求cos A的值；（Ⅱ）由正弦定理求a，结合余弦定理求bc，最后由面积公式得结果．17.【答案】解：（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．由题意知MN∥A1C1（或∥EF），四边形MNAC为梯形，且，过M作MP⊥AC于点P，可得，，得，∴梯形MNAC的面积=．证明：（2）证法1：在长方体中ABCD-A1B1C1D1，设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，如图，，由DE=DF得DQ⊥EF，又EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，，∴∠D1QD=∠BD1D，∴∠QD1B+∠D1QD=∠DD1B+∠BD1Q=90°，∴DQ⊥D1B，∴D1B⊥平面DEF．证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，，由BB1⊥平面A1B1C1D1可知BB1⊥EF，又B1D1⊥EF，BB1∩B1D1=B1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，由得tan∠QDD1=tan∠D1BD，得∠QDD1=∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD=∠QDB+∠QDD1=90°，∴DQ⊥D1B，又DQ∩EF=Q，∴D1B⊥平面DEF．【解析】（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．推导出四边形MNAC为梯形，过M作MP⊥AC于点P，由此能求出梯形MNAC 的面积．（2）证法1：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，推导出EF⊥平面BB1D1D，从而EF⊥D1B，推导出DQ⊥D1B，由此能证明D1B⊥平面DEF．证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，推导出BB1⊥EF，从而EF⊥平面BB1D1D，EF⊥D1B，推导出DQ⊥D1B，由此能证明D1B⊥平面DEF．本题考查几何图形面积的求法，考查空间中直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：（1）每天包裹数量的平均数为0.1×50+0.1×150+0.5×250+0.2×350+0.1×450=260；--------------------------------------------（2分）【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为】设中位数为x，易知x∈（200，300），则0.001×100×2+0.005×（x-200）=0.5，解得x=260．所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件．-----------------------------------------（4分）（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为260×5-3×100=1000（元），所以该公司平均每天的利润有1000元．-------------------------------------------------（7分）（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重0.9+1.8+2.5=5.2（千克），礼物B、C、D共重1.3+1.8+2.5=5.6（千克），都超过5千克，------------------（8分）故E和F的重量数分别有1.8和4.7，2.5和4.0，2.2和4.3，2.7和3.8，3.1和3.4共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）------------------------------（10分）故所求概率为．----------------------------------------------------------------------------------（12分）【解析】（1）根据频率分布直方图，将每一组的中点作为改组数据的代表值，对应的频率作为权重，取加权平均即可．（2）根据（1）中得到的平均值，求出每天的费用，减去300元的前台工作人员工资即可．（3）将4件礼物分成2个包裹，且每个包裹重量都不超过5kg，共有5种分法，其中快递费用为45的有3种，可得概率．本题考查了用频率分布直方图估计平均值，考查频率公式，频率分布直方图的应用，古典概型的概率求法．属于基础题．19.【答案】解：（1）函数f（x）=a ln x-e x-1+1，其中x＞0；∴f′（x）=-e x-1，又x=1是函数f（x）的导函数的零点，∴f′（1）=a-e0=0，解得a=1，∴f（x）=ln x-e x-1+1，∴f′（x）=-e x-1，且在（0，+∞）上是单调减函数，f′（1）=0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；（2）f′（x）=-e x-1，x∈[1，+∞）；①a≤0时，f′（x）＜0在x∈[1，+∞）上恒成立，则f（x）是单调递减函数，且f（x）≤f（1）=0-1+1=0，∴f（x）≤0恒成立，符合题意；②当a＞0时，f′（x）是x∈[1，+∞）上的单调减函数，且f′（1）=a-1；若a-1≤0，即a≤1，则f（x）在x∈[1，+∞）上单调递减，且f（x）≤f（1）=0，满足题意；若a-1＞0，即a＞1，则易知存在x0∈[1，+∞），使得f′（x0）=0，∴f（x）在（1，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，∴x∈（1，∞）时，存在f（x0）＞f（1）=0，则f（x）≤0不恒成立，不符合题意；综上可知，实数a的取值范围是（-∞，1]．【解析】（1）对函数f（x）求导数，利用x=1是函数f（x）导函数的零点求出a的值，再判断f（x）的单调性与单调区间；（2）求函数f（x）的导数，讨论①a≤0时f′（x）＜0在x∈[1，+∞）上恒成立，得出f （x）≤f（1）=0，符合题意；②a＞0时，f′（x）是x∈[1，+∞）上的单调减函数，利用f′（1）=a-1，讨论a≤1时，f（x）≤f（1）=0，满足题意；a＞1时，易知存在x0∈[1，+∞），使得f′（x0）=0，且f（x0）＞f（1）=0，不符合题意；由此求出a的取值范围．本题考查了函数的单调性与导数的综合应用问题，也考查了分类讨论思想与不等式恒成立问题，是综合题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则点Q的坐标为（x0，0）．因为．所以（x-x0，y-y0）=2（x0-x，-y）．即．因为点P在抛物线y2=36x上．所以y02=36x0，即（3y）2=36x．所以点M的轨迹C的方程为y2=4x．（2）设直线x=my+1与曲线C的交点坐标为A（，y1），B（，y2），由得y2-4my-4=0．由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-4．设点T（，y0），则k AT==．所以直线AT的方程为y-y0=（x-）．令x=-1，得点D的坐标为（-1，）．同理可得点E的坐标为（-1，）．如果以DE为直径的圆过x轴某一定点N（n，0），则满足．因为（-1-n，）•（-1-n，）=（1+n）2+．所以（1+n）2+=0．即（1+n）2-4=0，解得n=1或n=-3．故以DE为直径的圆过x轴上的定点（1，0）和（-3，0）．【解析】（1）利用已知条件转化为抛物线的定义，即可求点M的轨迹C的方程．（2）设直线x=my+1与曲线C的交点坐标为A（，y1），B（，y2），T（，y0），由韦达定理和直线的斜率，可得直线AT的方程，即可求出点D，E的坐标，根据向量的数量积即可求出．本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2023年北京市高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年北京市高考数学模拟试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则( )A. B. C. D. 53. 双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于( )A. B. C. D.4. 的展开式的二项式系数之和为8，则二项式展开式中的常数项等于( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为( )A. B. C. D.6. 已知函数，则不等式的解集为( )A. B.C. D.7. 宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中，，，那么的值为( )A. B. C. 4 D.8. 设为等比数列，若m，n，p，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知圆C：与直线1：，P为直线1上一动点，若圆上存在点A，使得，则的最大值为( )A. B. 4 C. 2 D.10. 《九章算术商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马四棱锥，一个鳖臑三棱锥，若P为线段CD上一动点，平面过点P，平面，设正方体棱长为1，，与图中的鳖臑截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是( )A. B.C. D.11. 的零点为______.12. 正方形ABCD中，，P为BC中点，Q为DC中点，则______；若M为CD上的动点，则的最大值为______.13. 已知函数其中为实数，若对恒成立，则满足条件的值为______写出满足条件的一个值即可14. 已知抛物线C：的焦为，则抛物线C的方程是__________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则__________.15. 小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月的关系的散点图.有以下叙述：①与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好；②按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过；③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；④按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的蔓延到至少需要经过3个月.其中正确的说法有______填序号16.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，M为棱的中点．求证：；求证：平面；求二面角的余弦值．17. 在中，，，_____.求c的值.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数235154035定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数满意度指数012在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．19. 已知椭圆E：过点，且离心率为求椭圆E的方程；过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知，过M且与y 轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程. 20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若，讨论函数的单调性；当时，恒成立，求a的取值范围.21. 设数列A：，，…，的各项均为正整数，且…若对任意…，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；若集合…，2019，，且任意i，…，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，又因为，所以，故选：由集合的补集得：，由集合的交集得：，得解．本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属简单题．2.【答案】C【解析】解：复数z满足，，故选：利用复数模长的定义和性质求解．本题主要考查了复数模长的定义和性质，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为双曲线的方程为：，所以它的渐近线方程为，即渐近线的斜率分别，即渐近线的倾斜角为和，所以一条渐近线与y轴的夹角为，故两条渐近线所成的锐角为故选：先求得渐近线的方程，进而求得渐近线的倾斜角，然后即可求得正确答案．本题考查了双曲线的渐近线的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：的展开式的二项式系数之和为8，则，解得，故展开式的通项为，令，解得，故二项式展开式中的常数项等于故选：先求出n ，再结合二项式定理，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：角的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点，，，，，，则，，故选：利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：令，得，得或；在同一坐标系内画出与的图象，如图所示，则不等式的解集为故选：令求得x 的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式的解集．本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查黄金矩形的定义，以及向量数量积的定义和运用，考查运算能力，属于基础题．由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．【解答】解：由黄金矩形的定义，可得，，在矩形ABCD中，，则，故选：8.【答案】A【解析】解：设等比数列的公比为r，则，，若，则成立，即充分性成立，当时，若，则不一定成立，即必要性不成立，故是的充分不必要条件．故选：根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为1，圆心到直线l的距离，可知直线与圆相离，由正弦定理可得三角形PAC的外接圆的直径，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值为故选：由已知可得直线与圆相离，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值．本题考查直线与圆位置关系的应用以及正弦定理的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查推理能力与计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：如图，设，，，，则为等腰直角三角形，则，，平面，，平面PMN，平面，平面平面，而平面平面，平面平面，，可得，则由，得，，即，则S关于x的函数图象大致是故选：由题意画出截面图，证明平面截三棱锥所得截面为等腰直角三角形，求其面积关于x的关系式，则答案可求．本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】，2【解析】解：当时，，解得；时，，解得，函数的零点为：，故答案为：，利用方程的根求解函数的零点即可．本题考查函数的零点的求法，是基础题．12.【答案】1 3【解析】解：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，P为BC中点，Q为DC中点，则：，，，，，；设，，则，，时，取最大值故答案为：1，可以点D为原点，以直线DC为x轴，建立平面直角坐标系，然后即可得出，，，从而可得出的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；可据题意设，并且，而进行数量积的坐标运算即可求出，从而可得出的最大值．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】【解析】解：由题意，对恒成立，可得时，取得最大值或最小值．若时，取得最大值，可得，若时，取得最小值，可得，故答案为：根据，可得时，取得最大值或最小值．即写出答案；本题考查了三角形函数的性质的应用．属于基础题14.【答案】6【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．利用抛物线的焦点坐标，求解p，然后求解抛物线方程，进而结合抛物线的有关性质即可得解．【解答】解：抛物线C：的焦为，可得，则抛物线C的方程是；M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则，则故答案为：；615.【答案】①②③【解析】解：对于①，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，对应的y分别为，，，，当浮萍蔓延的面积与时间月的关系为时，当，，，时，对应的y分别为，，，，通过比较已知散点图可知，与函数相比，函数作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好，故①正确，对于②，当时，，故第5个月时，浮萍的面积就会超过，故②正确，对于③，由可知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故③正确，对于④，由可知，当时，，当时，，即需要经过2个月，故④错误．故答案为：①②③．根据图象，求出函数的表达式，然后依次求解，本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查计算能力，属于中档题．16.【答案】证明：因为平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，即证明：设的中点为N，连接MN，则，连接，因为且，所以是平行四边形，所以，所以平面平面，所以平面解：以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，可得、、、、依题意，是平面ADE的一个法向量，，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，，因为二面角的平面角是钝角，所以，二面角的余弦值为【解析】证明，结合，推出平面，然后证明设的中点为N，连接MN，则，连接，证明，推出平面平面，即可证明平面以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直以及平面与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：选择①：由正弦定理知，，因为，，，所以，因为，所以，由余弦定理知，，所以，解得或5，当时，，所以，又，，所以，，所以，不符合题意，故选择②：因为，由正弦定理得，，又，，所以，由余弦定理知，，所以，解得或选择③：因为，所以，因为，所以，当时，由余弦定理知，，所以；当时，由余弦定理知，，所以，综上，或【解析】选择①：结合正弦定理与二倍角公式，可得，再由余弦定理求出或5，检验知，当时，，进而得解；选择②：结合二倍角公式与正弦定理，可得，再由余弦定理，得解；选择③：由三角形面积公式可得，从而知的值，再由余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】本小题满分13分解：由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为，分所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为分设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件所以，，分由用频率估计概率得：，分因为事件与相互独立，其中，2，，所以分所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：X012PB餐厅“满意度指数”Y的分布列为：Y012P因为；，所以，会选择B餐厅用餐．分注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．【解析】由对A餐厅评分的频率分布直方图，求解对A餐厅“满意度指数”为0的频率．然后求解对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件求出概率，利用独立重复概率乘法公式求解即可．从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出结果．本题考查概率的应用，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．19.【答案】解：由已知可得，解得，，所以椭圆E的方程为，证明：由题意可知点P所在直线必然垂直于x轴，设为，设直线MN的方程为：，，，联立方程，消去y整理可得：，所以，，则直线DN的方程为：，令，则，所以，故点P在定直线上．【解析】由已知建立方程组，联立即可求解；设点P所在的直线为，再设出直线MN 的方程以及点M，N，的坐标，并与椭圆方程联立，再写出直线DN的方程，求出点P的横坐标，利用韦达定理化简即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的分析问题的能力以及运算推理能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即：由，可得，由于，的解为，，当，即时，，则在上单调递增，当，即时，在区间，上，；在区间上，，所以在，上单调递增；在上单调递减．当，即时，在区间，上，；在区间上，，则在，上单调递增，在上单调递减．当时，因为，所以，，所以，则在上单调递增，成立，当时，，所以在上单调递增，所以成立，当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上，，不符合题意，综上所述，a的取值范围是【解析】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．当时，根据题意可得，计算，对求导得，再由导数的几何意义可得，进而写出切线方程．求导得，令的解为，，分三种情况：当，当，当，讨论正负，进而可得的单调区间．对求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论导数的正负得到的单调性，进而可得a的取值范围．21.【答案】解：，，2，4，7不具有性质P；，，，，2，3，6具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质由题意可知，，，，…，，若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为证明：假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b 是一个具有性质T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337 个，不妨设此集合为，从中取出337 个数，记为，，…，且…，令集合…，由假设，对任意，2，…，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68 个元素，不妨设这个集合为，从中取出68 个数，记为，，…，，且…，令集合…，由假设，对任意，2，…，68，存在…，使得，对任意，由假设，，，在，，，中至少有一个集合包含中的至少17 个元素，不妨设这个集合为，从中取出17 个数，记为，，…，，且…，令集合…，，由假设，对任意，2，…，17，存在…，使得，对任意，同样，由假设可得，，同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3 个元素，不妨设这个集合为，从中取出3 个数，记为，，，且，同理可得由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．【解析】根据，可知1，2，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，6具有性质P；由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；假设结论不成立，即对任意…，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b 是一个具有性质T 的数列；当时，，a，b 是一个具有性质T 的数列；当时，a，a，b 是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(一)(5月份)(有答案解析)
5.答案：D
解析：解：根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何 体，如图所示；
则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形， 所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为 2 ． 故选：D． 根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多 面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值 是面对角线的长． 本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题．
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（2）设数列{ }的前 n 项和为 Tn，求证： ≤Tn＜ ．
16. △ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足
．
（Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）若△ABC 外接圆半径为 3，
，求△ABC 的面积．
17. 已知如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=4，
（x）（e 是自然对数的底数），且 f（0）=1，若关于 x 的不等式 f（x）-m＜0 的解 集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是______ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分） 15. 已知等差数列{an}的公差 d≠0，它的前 n 项和为 Sn，若 S5=70，且 a2，a7，a22 成等 比数列． （1）求数列{an}的通项公式；
19. 已知函数 f（x）=alnx-ex-1+1，其中 a∈R．
（1）若 x=1 是函数 f（x）的导函数的零点，求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）≤0 对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数 a 的取值范围．
北京市高考模拟考试数学试卷及答案解析
北京市高考模拟考试数学试卷及答案解析班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．已知集合{|10}M x x =->，集合{|20}N x x =-≥，则（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N ⋂=∅D ．M N ⋃=R2．若a b >，c d >则下列不等式一定正确的是（ ） A ．ac bd >B ．a c b d ->-C ．a bd c> D ．ac bd ad bc +>+ 3．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为（ ）A ．1516B ．316C ．152D ．1544．若圆()()22:122C x y ++-=被直线260ax by ++=平分，由点(),P a b 向圆C 作切线，切点为A ，则PA 的最小值是（ ）A ．4B ．C ．3D ．65．已知数列{}n a 为等比数列，则“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆221259x y +=与双曲线22217x y a -=焦点重合，该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．34C ．49D ．1697．正方体中，点P ，Q ，R ，S 是其所在棱的中点，则PQ 与RS 是异面直线的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()[]sin 2,,f x x x a b =∈，则“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知a 为单位向量，则“||||1a b b +-=”是“存在0λ>，使得b a λ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a m =且对任意的*n ∈N 都有121++=+n n a a n ，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ）①存在实数m ，使得{}n a 为等差数列； ②存在实数m ，使得{}n a 为等比数列；③若存在*k ∈N ，使得155k k S S +==，则实数m 唯一. A ．② B ．①C ．①③D ．①②③二、填空题11．设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．12．若分段函数()321,023,0x x x x f x x ⎧++<=⎨-≥⎩，将函数()()[],,y f x f a x m n =-∈的最大值记作[],a Z m n ，那么当22m -≤≤时，[]2,2Z m m +的取值范围是___________.13．已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.14．)221ln13log 4812lg123100-⎛⎫-++= ⎪⎝⎭________．三、双空题四、解答题16．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 为等腰直角三角形，侧面11AA C C ⊥底面,ABC D 为AC 中点1AB BC AA ==(1)求证1BD A D ⊥；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1A CC B --的余弦值. 条件①111AC B C ⊥；条件②：11AA B C = 17．已知函数()()2sin cos sin 1f x x x x =-+ (1)求函数()f x 的单调递减区间； (2)若π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.18．某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：并整理得到频率分布直方图如图所示．(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数； (3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．19．已知函数()ln(1)sin cos f x x x x =+++. (1)当[0,π]x ∈时，求证()0f x >； (2)若()1f x ax ≤+恒成立，求a 的值.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，设过点(2,1)P -的直线椭圆交E 于M ，N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =． (1)求椭圆E 的方程： (2)证明：直线HN 过定点．21．已知数表11121221222n n n a a a A a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭中的项(1,2;1,2,,)ij a i j n ==互不相同，且满足下列条件：①{}1,2,,2ij a n ∈；②()112(1)0(1,2,,)m m m a a m n +--<=.则称这样的数表2n A 具有性质P .(1)若数表22A 具有性质P ，且124a =，写出所有满足条件的数表22A ，并求出1112a a +的值；(2)对于具有性质P 的数表2n A ，当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，求证：存在正整数()1k k n ≤≤，使得12k a n =； (3)对于具有性质P 的数表2n A ，当n 为偶数时，求11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值.参考答案与解析1．B2．D【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项；利用作差法可判断D 选项.3．A【分析】利用二项式的通项公式即可得出．【详解】解：二项式的展开式的通项公式为123161()2r r r r T C x -+=⋅⋅ 令1230r -=，解得：4r =∴二项式的展开式中的常数项为446115()216C =. 故选：A ．【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题． 4．A【分析】根据圆()()22122x y ++-=被直线260ax by ++=平分，得到直线260ax by ++=过圆的圆心，代入圆心坐标的3a b -=，即可得到点P 的轨迹方程为3x y -=，然后根据相切得到PA AC ⊥，利用勾股定理得到PA =PC 的最小值即可.【详解】因为圆()()22122x y ++-=被直线260ax by ++=平分，所以直线260ax by ++=过圆的圆心 由圆的方程得圆心C1,2，代入直线得2260a b -++=，整理得3a b -=因为点(),P a b ，所以P 为直线3x y -=上一动点因为PA 与圆相切，所以PA AC ⊥，PA ==PA 最小时，PC 也最小min PC ===min 4PA ==. 故选：A. 5．C【分析】先考虑充分性，再考虑必要性即得解.【详解】解：如果{}n a 为常数列，则123,,a a a 成等差数列，所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的充分条件；123,,a a a 等差数列，所以22131112,2,1a a a a q a a q q =+∴=+∴=，所以数列为111,a a a ,所以数列是常数列，所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的必要条件. 所以“{}n a 为常数列”是“123,,a a a 成等差数列”的充要条件. 故选：C 6．A【分析】计算出焦点坐标，再由双曲线,,a b c 关系列式求解a ，从而得离心率. 【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，焦半距为4 在双曲线中，c=4，所以2716a +=，解得3a = 所以双曲线的离心率为43c e a ==. 故选：A 7．C【分析】对于A ，B ，D ，利用两平行线确定一个平面可以证明直线PQ 与RS 共面，对于C ，利用异面直线的定义推理判断作答．【详解】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，11A C 则11//AC A C ，如图8．A【分析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】因为函数sin 2y x =为周期为π的函数又πb a -≥，所以函数()[]sin 2,,f x x x a b =∈的最大值为1 所以“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的充分条件； 由π02x ≤≤时，可得02πx ≤≤，则0sin 21x ≤≤ 当且仅当π4x =时等号成立所以()sin 2f x x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，此时π0π2-<所以“πb a -≥”不是“f （x ）的最大值为1”的必要条件 所以“πb a -≥”是“f （x ）的最大值为1”的充分而不必要条件 故选：A. 9．B【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例0b =即可，对于后者是否推前者，由后者可得,a b 共线且同方向，则||||||1a b b a b b a +-=+-==，即后者能推出前者，最后即可判断. 【详解】若0b =，则||||1a b b a +-==，但此时不存在0λ>，使得b a λ= 故不存在0λ>，使得b a λ=，故前者无法推出后者 若存在0λ>，使得b a λ=，则,a b 共线且同方向此时||||||1a b b a b b a +-=+-==，故后者可以推出前者故“||||1a b b +-=”是“存在0λ>,使得b a λ=的必要不充分条件” 故选：B. 10．B所以1212321n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，则22n n a a +-=所以数列{}2n a 、{}21n a -为等差数列，且公差为2 由123a a +=，1a m =得，23a m =-所以1,211,2n m n n k a m n n k+-=-⎧=⎨-++=⎩()*k N ∈11．【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值 【详解】1212i,3i z z m =+=+ 23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．[3,12]【分析】求出(2)f ，作出函数()1y f x =-的图象，然后对m 分类，求[]2,2Z m m +的最大值即可.【详解】由题知，()321,023,0x x x x f x x ⎧++<=⎨-≥⎩，得(2)1f =对于最大值2Z 型，对应函数()()()32,0124,0x x x x y f x f a f x x ⎧+<⎪=-=-=⎨-≥⎪⎩，图象草图如下：当21m -≤<-，021m ≤+<时，3232(),1,1042,02x x x m x y x x x x m ⎧-+≤<-⎪=+-≤<⎨⎪-≤≤+⎩由图象知，0(,1)x ∃∈-∞-使200(1)3y x x =-+=，则0[2,)m x ∈-时函数最大值为2(1)(3,4]y m m =-+∈，而0(,1)m x ∈-时函数最大值为3y =所以，上述情况最大值范围为[3,4]；当10m -≤≤，122m ≤+≤时，32,042,02xx x m x y x m ⎧+≤<=⎨-≤≤+⎩ 由图象知，函数最大值恒为3；当02m <≤，224m <+≤时，42,224,22x x m x y x m ⎧-≤≤=⎨-<≤+⎩由图象知，存在2log 7x =时3y =，则2(0,log 72)m ∈-时函数最大值为3y =，而2(log 72,2]m ∈-时函数最大值为224[3,12]m y +=-∈所以，上述情况最大值范围为[3,12]； 综上，[]2,2Z m m +的取值范围是[]3,12 故答案为：[]3,12 13．32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ± 不妨设(,)2pP p因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧 又||6FQ = (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-= 0,3p p >∴=所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 14．34-【分析】结合指数幂、对数运算法则化简求值【详解】原式)222232333log 222323223132lg101221232344423-⨯-----⎛⎫=-++=--+=--⨯=- ⎪⎝⎭15．2π()5,10 【分析】①利用正弦定理求得sin B 的值， 结合角B 的取值范围可求得结果；②作出图形，结合图形可得出角B 有两个解时，a 满足的不等式，进而可求得a 的取值范围.【详解】①由正弦定理sin sin a b A B =可得110sin 2sin 15b A B a ⨯=== 0B π<< 2B π∴=；②在ABC 中，b=10，6A π=如下图所示：若使得角B 有两个解，则sin b A a b <<，即510a <<. 故答案为2π()5,10. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了利用三角形多解求边长的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 16．(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面11AAC C ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）选①，取11A C 的中点E ，连接1,B E CE ，证明1AC A D ⊥，再以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.选②，取11A C 的中点E ，连接1,,B E CE DE ，利用勾股定理证明1AD A D ⊥，再以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为AB BC =，D 为AC 中点 所以BD AC ⊥又因为面11AA C C ⊥面ABC ，面11AAC C 面ABC AC =，BD ⊂面ABC所以BD ⊥平面11AAC C又1A D ⊂平面11AAC C ，所以1BD A D ⊥； （2）选①，取11A C 的中点E ，连接1,B E CE 则1A E DC ∕∕且1A E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1A D CE ∕∕ 因为1111A B B C =，E 为11A C 的中点所以111AC B E ⊥又11111111,,,AC B C B C B E B B C B E ⊥⋂=⊂平面1CB E 所以11A C ⊥平面1CB E又11AC A C ∕∕，所以AC ⊥平面1CB E 又CE ⊂平面1CB E ，所以AC CE ⊥ 因为1A D CE ∕∕，所以1AC A D ⊥如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系由1AB BC AA ==12,2AC A D == 则()()()()10,0,0,0,1,0,1,0,0,2,0,2D B C C -- 则()()11,1,0,1,0,2CB CC ==- 因为BD ⊥平面11AAC C所以()0,1,0DB =即为平面11AAC C 的一条法向量 设平面1BCC 的法向量为(),,n x y z = 则有1020n CB x y n CC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()2,2,1n =-则22cos ,133n DB n DB n DB⋅-===-⨯ 由图可知，二面角1A CC B --为锐二面角 所以二面角1A CC B --的余弦值为23.选②，取11A C 的中点E ，连接1,,B E CE DE 则1A E DC ∕∕且1A E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1A D CE ∕∕且1A D CE = 因为1C E DC ∕∕且1C E DC =所以四边形1A DCE 为平行四边形，所以1BD B E ∕∕且1BD B E = 又因为1BD A D ⊥，所以1CE B E ⊥又11AA BC =11BD B E == 所以2CE =，则12A D CE ==在1ADA △中，因为22211AD A D A A +=所以1AD A D ⊥如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系 下同选①的答案.17．(1)π5π,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)⎣【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式可得()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数单调性，列出不等式求解即可；（2）求出函数()f x 的相位范围，利用正弦函数单调性求出函数的最值即可求解.【详解】（1）()22sin cos 2sin 1f x x x x =-+πsin 2cos 224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由ππ3π2π22π,Z 242k x k k +≤+≤+∈得：π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递减区间是π5ππ,π(Z)88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ11π2,4412x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦又函数sin y x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π11π,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减且ππ11πsin 1,sin 4212===πsin 214x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π24x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的值域为⎣. 18．(1)0.2 (2)25人(3)众数为75；测评成绩的75%分位数为78.75 (4)3:2【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值；（2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间[)40,50内的人数；（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的75%分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在那个区间，在通过频率求出；（4）先由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可得出总体中男女生的比例估计.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：()0.020.040.02100.8++⨯= 则分数小于60的频率为：10.80.2-=故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；（2）由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：()0.010.020.040.02100.9+++⨯= 则分数在区间[)40,50内的人数为：1001000.955-⨯-=人 则总体中分数在区间[)40,50内的人数为550025100⨯=人； （3）由频率分布直方图可得分数在区间[)70,80的频率最高 则随机抽取的100名学生分数的众数估计为75由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8 则测评成绩的75%分位数落在区间[)70,80上 则测评成绩的75%分位数为0.35701078.750.4+⨯=； （4）由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=人 因为样本中分数不小于70的男女生人数相等 所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=人又因为样本中有一半男生的分数不小于70 所以样本中的男生共有30260⨯=人 则样本中的女生共有1006040-=人所以总体中男生和女生人数的比例估计为60:403:2=. 19．(1)证明见解析(2)2a =【分析】（1）化简π()ln(1)4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，分类讨论3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和3π,π4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，πln(4x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的正负，即可证明；（2）因为()1f x ax ≤+，令()ln(1)sin cos 1g x x x x ax =+++--，（1x >-），要使()0g x ≤恒成立，只要max [()]0g x ≤，对()g x 求导，讨论()g x 的单调性，即可得出答案.【点睛】关键点点睛：第二问，确定函数在0处取得最值，且把定义域分段研究是关键20．(1)22143x y += (2)直线HN 过定点(2,0)-，证明见解析.【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P 的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线TN 的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【详解】（1）解：因为椭圆E 的方程为2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点则222411914a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b = 所以椭圆E 的方程为：22143x y +=. （2）因为3(2,0),1,2A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()3:22AB y x =+①假设过点(2,1)P -的直线过原点，则2x y =-，代入22143x y +=可得(M，N ，代入AB 方程()322y x =+，可得()3(2)2T ，由MT TH =得到(6)H .求得HN 方程：)2y x =+ 过点(2,0)-. ②分析知过点(2,1)P -的直线斜率一定存在，设1122210,(,),(,)kx y k M x y N x y -++=. 联立22210,143kx y k x y -++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)(168)4(443)0k x k k x k k +++++-= 可得21222122168434(442)43k k x x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩ 所以()121221264243k y y k x x k k ++=+++=+()()()()2221212121223122121244143ky y kx k kx k k x x k kx x k kk +=++++=+++++=+且()()()()1221122112122242121221(*)43kx y x y x kx k x kx k kx x k x x k -+=+++++=++=+ 因为点H 满足MT TH =，所以T 为MH 的中点联立()1,322x x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()()111113(,2),(,32).2T x x H x x y ++- 可求得此时112221236:()x y y HN y y x x x x +---=-- 假设直线HN 过定点(2,0)-将(2,0)-，代入整理得12121221126()2()3120x x y y x y x y x x -+++++--= 将(*)代入，得222964824122448482448360,k k k k k k k +++---+--= 显然成立综上，可得直线HN 过定点(2,0)-. 21．(1)答案见解析 (2)证明见解析(3)21128n n +【详解】（1）满足条件的数表22A 为141424233231⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，所以1112a a +的值分别为5，5，6. （2）若当11121n a a a +++取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =.由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数不妨设此时数表为1112122222n n n a aa A n aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ①若存在1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P 调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n =.②若对任意的1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数(1)k k n ≤≤，使得12k a n =.【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立.。
2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷(理科)(一)(3月份)-含详细解析
2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）副标题一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.已知全集U=R，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≥4}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. 0，B.C. D. 0，2.若复数z=，则|z|=（）A. 8B.C. 2D.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.B.C. 2D.4.已知a=，b=，c=，则（）A. B. C. D.5.已知数列{a n}的前n项和S n=2+λa n，且a1=1，则S5=（）A. 27B.C.D. 316.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面7.函数f（x）=a x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是（）A. B. C. D.8.已知函数y=sin（ωx+φ）的最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（）A. B.C. D.9.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（）A. B. C. D.10.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2到渐近线的距离为4，且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为（）A. 2B. 4C. 6D. 811.已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. B. C. D.12.函数，方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0有4个不相等实根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.13.设集合A={x∈Z|x2-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. 1， C. 0， D.14.已知i为虚数单位，复数z=，则z3=（）A. iB.C. 1D.15.命题“∀x∈[0，2]，x2-2x≤0”的否定是（）A. ∀ ∈，B. ∈，C. ∀ ，D. ∈，16.f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（-）=（）A. B. C. 1 D.17.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.18.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A. B. C. D.19.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A.B.C.D.20.如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）21.已知向量=（2，-4），=（-3，-4），则向量与夹角的余弦值为______．22.设x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．23.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．24.正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______．25.双曲线-y2=1的焦距是______，渐近线方程是______．26.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是______．27.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是______．28.已知函数，，＜，若关于x的方程f（x）=k有两个不同零点，则k的取值范围是______．29.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为______．30.设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若∈，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得，，中的每个元素都是极大向量；③若，，，，，中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是______．三、解答题（本大题共13小题，共162.0分）31.在△ABC，，BC=2．（1）若AC=3，求AB的长；（2）若点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．32.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：（记为ω）的关系式为：S=，，＜，＞，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=33.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．34.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+-1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l 与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．35.已知函数f（x）=ln x-kx+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：＜∈，＞36.已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．37.设a，b，c＞0，且ab+bc+ca=1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）38.已知．（I）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．39.某车险的基本保费为a（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记为事件：一续保人本年度的保费不高于基本保费，求（）的估计值；（Ⅱ）某公司有三辆汽车，基本保费均为a，根据随机调查表的出险情况，记X为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出X的分布列；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．40.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PAC都是正三角形，AC=2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面PAC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：EF⊥ED；（Ⅱ）求点F到平面PAB的距离．41.已知函数f（x）=e x-a（x+1）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当a=0时，曲线y=f（x）（x＞0）总在曲线y=2+ln x的上方．42.已知⊙O：x2+y2=4和椭圆C：x2+2y2=4，F是椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交⊙O于点Q（P，Q不重合），l 是过点Q的⊙O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与⊙F 的位置关系，并证明你的结论．43.数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足：a k＜1（k=1，2，…，n）．记A n的前k项和为S k，并规定S0=0．定义集合E n={k∈N*，k≤n|S k＞S j，j=0，1，…，k-1}．（Ⅰ）对数列A5：-0.3，0.7，-0.1，0.9，0.1，求集合E5；（Ⅱ）若集合E n={k1，k2，…，k m}（m＞1，k1＜k2＜…＜k m），证明：＜1（i=1，2，…，m-1）；（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足S n＞C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2}，A={-2，-1，0，1，2}，∴∁U B={x|-2＜x＜2}，即A∩（∁U B）={-1，0，1}故选：D．由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），然后根据集合的基本运算求解即可本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.【答案】D【解析】解：复数z=，则|z|===．故选：D．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．本题考查复数的模的求法，复数的基本运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h=2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC=1，AB=2，AB⊥BC，∴三棱锥的体积V==，故选：A．根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即可．本题考查了棱锥的结构特征与三视图，体积计算，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：由a==b==根据指数函数的单调性，∴a＞b．a==，c=，∴a＜c，可得：b＜a＜c．故选：A．利用指数函数的单调性即可比较大小．本题考查了指数函数的单调性的运用和化简能力．属于基础题．5.【答案】C【解析】解：S n=2+λa n，且a1=1，∴1=a1=S1=2+λ，解得λ=-1．∴n≥2时，S n=2-a n=2-（S n-S n-1），化为：S n-2=（S n-1-2），S1-2=-1，∴S n-2=-，即S n=2-，则S5=2-=，故选：C．S n=2+λa n，且a1=1，可得1=a1=S1=2+λ，解得λ=-1．n≥2时，S n=2-a n=2-（S n-S n-1），化为：S n-2=（S n-1-2），S1-2=-1，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D．利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．7.【答案】A【解析】解：函数f（x）=y=a x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，即x-1=0，可得x=1，那么：y=1．∴恒过点A（1，1）．把x=1，y=1带入各选项，经考查各选项，只有A没有经过A点．故选：A．根据指数函数的性质求出A的坐标，将A的坐标带入考查各选项即可．本题考查了指数函数的性质，恒过定点的求法．属于基础题．8.【答案】A【解析】解：函数y=sin（ωx+φ）的最小正周期为，故：，解得：ω=4，直线是其图象的一条对称轴，故：，（k∈Z）解得：φ=k（k∈Z），当k=1时，φ=，故选：A．直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：模拟执行程序，可得前6步的执行结果如下：s=0，n=1；满足条件，执行循环体，s=，n=2；满足条件，执行循环体，s=0，n=3；满足条件，执行循环体，s=0，n=4；满足条件，执行循环体，s=，n=5；满足条件，执行循环体，s=0，n=6…观察可知，s的值以3为周期循环出现，当n的值除以3余1时，可得对应的s 的值为，由于：2014=671×3+1所以：判断条件为n≤2014？时，s=符合题意．故选：A．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，观察可知，s的值以3为周期循环出现，可得判断条件为n≤2014？时，s=符号题意．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设渐近线为，∵右焦点F2到渐近线的距离为4，∴，即b=4．∵双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，这个点是右顶点，∴c-a=2．∴（c-a）2=4=b，⇒（c-a）4=b2=（c-a）（c+a），∴c+a=（c-a）3=8．则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8，故选：D．设渐近线为，可得，即b=4．又c-a=2．即（c-a）2=4=b，⇒（c-a）4=b2=（c-a）（c+a），c+a=（c-a）3=8．即可得到这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8，本题考查了双曲线的性质，转化思想，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则有x+y=a+c=2b，则b=，c===，则这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=，又由x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，则b+c+y=（x+3y）=（cosα+3sinα）=sin（α+φ）≤，即这个等差数列后三项和的最大值为；故选：D．根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，由等差数列的性质可得b、c的值，分析可得这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=，进而设x=2cosα，y=2sinα，则b+c+y=（x+3y）=（cosα+3sinα），利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用12.【答案】C【解析】解：函数是连续函数，x=0时，y=0．x＞0时，函数的导数为f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x=1处取得极大值，f（x）∈（0，]x＜0时，f′（x）=-＜0，函数是减函数，作出y=f（x）的图象，设t=f（x），关于x的方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0即为t2-（m+1）t+1-m=0，有1个大于实根，一个根在（0，）；由题意可得：解得m∈．故选：C．利用函数的导数，求出函数的极值，利用函数的图象以及极值，判断m的范围即可．求得f（x）的导数，可得单调区间和极值，作出f（x）的图象，设t=f（x），关于x的方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0，解得t，再由图象可得m的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：A={x∈Z|-1＜x＜3}={0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故选：B．先求出集合A={0，1，2}，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．14.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z3=i3=-i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．15.【答案】D【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈[0，2]，x2-2x≤0”的否定是“x0∈[1，2]，x02-2x0＞0”．故选：D．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，可得命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（-）=-f（）=-f（）=-log2=1．故选：C．利用分段函数以及函数的奇偶性转化求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．17.【答案】D【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：（a＞0，b＞0）．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，取焦点F（c，0），∵焦点到渐近线的距离为3，∴，解得b=2，a=2，因此该双曲线的方程为：-=1．故选：D．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．18.【答案】B【解析】解：两名同学分3本不同的书，基本事件包含：（0，3），（1a，2），（1b，2），（1c，2），（2，1a），（2，1b），（2，1c），（3，0），共8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为：p=．故选：B．两名同学分3本不同的书，利用列举法求出基本事件包含8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，由此能求出一人没有分到书，另一人分得3本书的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1x=，y=4不满足条件，执行循环体，n=2，x=，y=8，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=，y=16，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=，y=32，此时，x＜y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．20.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．本题考查了几何体三视图的应用问题，由三视图还原出几何体是解题的关键．【解答】解：如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为4，高为4，如图：所以三棱锥的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，球心为O，设球的半径为r，则：r2=4+（4-r）2，解得r=，则该几何体的外接球表面积为：4πr2=25π．故选：D．21.【答案】【解析】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量，，则||=2，||=5，且•=2×（-3）+（-4）×（-4）=10，cosθ===，故答案为：．根据题意，设向量与夹角为θ，由向量的坐标计算公式可得||、||以及•的值，由向量数量积的坐标计算公式cosθ=，计算可得答案．本题考查向量的夹角的计算，涉及向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．22.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-y得y=x-z，平移直线y=x-z，由图象直线当直线y=x-z经过B（2，0）时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大为z=2-0=2，即z=x-y的最大值是2，故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．23.【答案】C【解析】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品C为一等奖；故答案为：C．根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．本题考查了合情推理的问题，注意“这四位同学中有两位说的话是对的”的这一条件．验证法的应用．24.【答案】4π【解析】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故答案为：4π根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E 点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．25.【答案】2y=±x【解析】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．26.【答案】10【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，-1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（-1）2=10，故答案为：10．由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．27.【答案】【解析】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y-2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1．直线l截圆C所得的弦长=2=．故答案为．利用弦长=，（其中d为弦心距）公式即可计算出．熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．28.【答案】（0，1）【解析】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）=k有两个不同解，∴0＜k＜1．故答案为：（0，1）．作出f（x）的函数图象，根据图象得出k的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．29.【答案】【解析】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n-1=1023，∴n=10，∴最小正方形的边长为=．故答案为：．正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．30.【答案】②③【解析】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．在①中，假如所有向量都相等显然是没有极大向量的；在②和③中，关键是：3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0．本题考查命题真假的判断，考查新定义的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．31.【答案】解：（1）设AB=x，则由余弦定理有：AC2=AB2+BC2-2AB•BC cosB，即32=22+x2-2x•2cos60°，解得：，所以；（2）因为，所以．在△BCD中，由正弦定理可得：，因为∠BDC=2∠A，所以．所以，所以．【解析】（1）设AB=x，通过AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB，求解即可．（2）在△BCD中，由正弦定理可得：，转化求解A即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．32.【答案】22 8 30 63 7 70 85 15【解析】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．33.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×正方形=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．34.【答案】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，则M（1，0）到直线x-y+-1=0的距离d==1，∴b=d=1，离心率e===，解得：a=，∴椭圆C的标准方程；（2）①当直线斜率不存在时，由，解得x=1，，不妨设，，，，∵k1+k3=2，∴，∴m，n的关系式为3n=2m．②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x-1），联立椭圆整理得：（3k2+1）x2-6k2x+3k2-3=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴，=，=．∴，∴m，n的关系式为3n=2m．【解析】（1）由点到直线的距离公式d==1，求得b=1，由e===，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，直线的斜率公式的综合应用，综合性较强，运算量大，极易出错，属于中档题．35.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为，，，当k≤0时，＞，在（0，+∞）上是增函数，当k＞0时，若∈，时，有＞，若∈，时，有＜，则f（x）在，上是增函数，在，上是减函数．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为，要使f（x）≤0恒成立，则即可，即-ln k≤0，得k≥1．（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即ln x＜x-1，在x∈[2，+∞）上恒成立，令x=n2，则l n n2＜n2-1，即2l n n＜（n-1）（n+1），从而＜，＜得证．【解析】（1）求出函数的定义域，导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（2）利用（1）的结论，通过函数的最大值，转化求解即可．（3）由（2）知，f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x-1，在x∈[2，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2-1，即2lnn＜（n-1）（n+1），然后化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．36.【答案】解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（，），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2-ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．【解析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C1、C2得到，P，Q的极坐标，求距离即可．本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化，理解自变量的关系是关键．37.【答案】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，即证（a+b+c）2≥3，由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1，即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，即为a2+b2+c2≥1，①由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca=1，。
2020届北京市人民大学附属中学高考模拟(4月)数学试题解析
2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月）数学试题一、单选题1．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =I （ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞U C ．(2,)+∞D ．(2,3)答案：A计算()(),13,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 解：{}()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .故选：A . 点评：本题考查了交集运算，属于简单题.2．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±答案：C将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 解：因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-. 故选：C 点评：本题考查复数的基本定义，属基础题.3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2xy =答案：C依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 解：A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C . 点评：本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7答案：B 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.解：3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B . 点评：本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．B ．CD ．25-答案：A设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.解：如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+ 依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 点评：本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 6．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 答案：C取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 解：,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 点评：本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且23SB ．22S ，且3SC ．22S ∈，且23S ∉D ．22S ∈，且23S ∈答案：D首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长. 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以：2AB BC CD AD DE =====，22AE CE ==，22(22)223BE =+=.故选：D.. 点评：本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.8．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ） A 3B ．51)C ．5D ．4答案：D如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 解：如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=， 设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4x x=，即2x =时等号成立. 故选：D .点评：本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 9．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④答案：D计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 解：()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 点评：本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，答案：B画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 解：()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .点评：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.二、填空题11．在二项式()622x +的展开式中，8x 的系数为________. 答案：60直接利用二项式定理计算得到答案. 解：二项式()622x +的展开式通项为：()6212216622rr r r rr r T Cx C x --+=⋅=⋅，取2r =，则8x 的系数为226260C ⋅=.故答案为：60. 点评：本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．若向量()()221a x b x ==r r ，，，满足3a b ⋅<r r ，则实数x 的取值范围是____________.答案：()3,1-根据题意计算223a b x x ⋅=+<r r，解得答案. 解：()()221a x b x ==r r ，，，，故223a b x x ⋅=+<r r ，解得31x -<<.故答案为：()3,1-. 点评：本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13．函数()24f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________. 答案：π8π直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.解：()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 点评：本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 14．集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2；②a 的值可以为2； ③a 的值可以为22+； 答案：②③根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC ：()21y x =-，得到()1,21A -，()21,1C+，得到答案.解：如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，集合B ：1xy x y +=+，故()()110x y --=，即1x =或1y =， 集合A ：x y a +=，A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 故AC 所在的直线的倾斜角为22.5︒，tan 22.521AC k =︒=-，故AC ：()21y x =-，解得()1,21A -，此时2a =，()21,1C+，此时22a =+.故答案为：②③.点评：本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.三、双空题15．在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.①_________________________________________________. ②_________________________________________________.答案：甲省比乙省的新增人数的平均数低 甲省比乙省的方差要大 直接根据折线图得到答案. 解：根据折线图知：①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大. 故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大. 点评：本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.四、解答题16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件：①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴；③04f π⎛⎫=⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调.（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 答案：（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 解：（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈；由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意，若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立， 所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.17．在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//BC AD ，CD AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，且222PO AD BC CD ====（Ⅰ）求证：//AB 平面POC ； （Ⅱ）求二面角O PC D --的余弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E ，使得AB DE ⊥，若存在指出点E 的位置，若不存在请说明理由.答案：（Ⅰ）详见解析；10；（Ⅲ）存在，点E 为线段PC 的中点. （Ⅰ）连结OC ，BC AO =，//BC AD ，则四边形ABCO 为平行四边形，得到证明.（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面PCD 法向量为1(0,2,1)n =u r，平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-u u r u u u r，计算夹角得到答案.（Ⅲ）设(,,)E x y z ，计算(,1,22)DE λλλ=--u u u r ，(1,1,0)AB =u u u r，根据垂直关系得到答案. 解：（Ⅰ）连结OC ，BC AO =，//BC AD ，则四边形ABCO 为平行四边形.//AB OC AB POC OC POC ⎧⎪⊄⎨⎪⊂⎩平面平面//AB ⇒平面POC . （Ⅱ）PO ⊥平面ABCD ，CD ADOD BC CD⊥⎧⇒⎨==⎩四边形OBCD 为正方形. 所以OB ，OD ，OP 两两垂直，建立如图所示坐标系，则(1,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)B ，设平面PCD 法向量为1(,,)n x y z =u r ，则1110(0,2,1)0n CD n n PD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu vu v u u u v ， 连结BD ，可得BD OC ⊥，又BD PO ⊥所以，BD ⊥平面POC ，平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-u u r u u u r，设二面角O PC D --的平面角为θ，则121210cos 5||||n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r .（Ⅲ）线段PC 上存在点E 使得AB DE ⊥，设(,,)E x y z ，(,,2)(1,1,2)(,,22)PE PC x y z E λλλλλ=⇒-=-⇒-u u u r u u u r(,1,22)DE λλλ=--u u u r ，(1,1,0)AB =u u u r ，102AB DE AB DE λ⊥⇒⋅=⇒=u u u r u u u r ，所以点E 为线段PC 的中点. 点评：本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明)答案：(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 (Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 解：(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：X1 2 p5141528328()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥.故m 的最小值为4. 点评：本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 答案：(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 (Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.解：(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点，设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.点评：本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20．设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l P 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 答案：(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 (Ⅰ)计算得到故1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛- ⎝⎭，1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2D ⎛- ⎝⎭，计算得到面积.(Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 解：(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故1,2A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220kx k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 点评：本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.) 答案：(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = (Ⅰ)根据题意直接写出答案. (Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时，根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案. 解：(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =. 点评：本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
北京人大附中高考数学模拟试卷
人大附中高考数学模拟试卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k .一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合,},3|||{},02|{2R B A a x x B x x x A =⋃<-=>--=若集合，则实数a 的取值范围是 （A ）[1，2] （B ）（－1，2） （C ）[－1，2] （D ）（－2，1）2. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 其中正确的两个命题的序号是（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③ 3. 下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数x y 2log =的图象重合的函数是（A ）xy 2= （B ）x y 21log =（C ）xy 421⋅=（D ）21log 1y x =+4. 如右图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为5. 函数sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图象是（ ）(A ) (B ) (C ) (D ) 6. 设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （A ）4)11)((≥++b a b a （B ）2332ab b a ≥+（C ）b a b a 22222+≥++ （D ）b a b a -≥-||7. 设a 、b 是方程0cos cot 2=-+θθx x 的两个不相等的实数根，那么过点A （a ,a 2）和B （b ，b 2）的直线与圆122=+y x 的位置关系是（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）随θ的值变化而变化 8. 函数()()()sin 0f x M x ωϕω=+>，在区间[],a b 上是增函数，且()(),f a M f b M =-=，则函数()()cos g x M x ωϕ=+在区间[],a b 上（A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.9. 若实数x 、y 满足y x z y x y x y x 2,009382+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+则的最大值为 . 10. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0,若存在自然数3≥m ，使得a m =S m , 当n >m 时，S n 与a n 的大小关系为：n S _______n a ．（填“>”；“<”或“＝”）11. 2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案xy Oxy Oxy OxyO里） .（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）12. 某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为______________．13. 设,,a b c 是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）=a b a b ； （2）()()b c a c a b -不与向量c 垂直．； （3）a b a b -<-； （4）若0a b =，则0a =，或者0b =； （5）()()a b c b c a =； （6）()()22323294a b a b a b +-=-其中真命题的序号为_____________________________.14. 某纺织厂的一个车间有n （n>7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则=+++++747372717n a a a a a ；若2334333231=+++++n a a a a a ，说明： ______ .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （1）求A CB 2cos 2sin2++的值； （2）若3=a ，求bc 的最大值。
北京市人大附中高考数学零模试卷(理科).docx
2016年北京市人大附中高考数学零模试卷（理科）一、选择题1．设全集U=R，集合A={x∈R|x2﹣2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|x＞1} D．{x|1＜x＜2}2．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B．C．D．5．设等比数列{an }的公比为q，前n项和为Sn．则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A．B． C．D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图，则（）A．﹣1 B．1 C．D．08．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④ B．②C．③D．③④二、填空题9．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．10．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB= ．11．一几何体的三视图如下：其体积为．12．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．则直线l的倾斜角为；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离的最小值为．13．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．14．已知A、B为函数y=f（x），x∈[a，b]图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，又已知向量=λ+（1﹣λ），若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数f（x）=x﹣在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为．三、解答题.15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边， =．（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．16．如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．（Ⅲ）在PC 上是否存在一点Q ，使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为．17．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，IEC （国际电工委员会）风能风区分类标准如表：风能分类 一类风区 二类风区平均风速m/s 8.5﹣﹣10 6.5﹣﹣8.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A 、B 两个小型风能发电项目．调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A 项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4； B 项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A 项目的资金为x （x ≥0）万元，投资B 项目资金为y （y ≥0）万元，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出x ，y 满足的条件，并将它们表示在平面xOy 内；（2）记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．18．已知函数f （x ）=﹣（1+2a ）x+ln （2x+1），a ＞0．（1）已知函数f （x ）在x=2取得极小值，求a 的值；（2）讨论函数f （x ）的单调区间；（3）当a ＞时，若存在x 0∈（，+∞）使得f （x 0）＜﹣2a 2，求实数a 的取值范围．19．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0），坐标平面上一点P 满足：△PF 1F 2的周长为6，记点P 的轨迹为C 1．抛物线C 2以F 2为焦点，顶点为坐标原点O ．（Ⅰ）求C 1，C 2的方程；（Ⅱ）若过F 2的直线l 与抛物线C 2交于A ，B 两点，问在C 1上且在直线l 外是否存在一点M ，使直线MA ，MF 2，MB 的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．20．正整数数列{a n }满足：a 1=1，（Ⅰ）写出数列{a n }的前5项；（Ⅱ）将数列{a n }中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k }，试用n k 表示n k+1（不必证明）；（Ⅲ）求最小的正整数n ，使a n =2013．2016年北京市人大附中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U=R，集合A={x∈R|x2﹣2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|x＞1} D．{x|1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的y=e x+1＞1，得到B={y|y＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：D．0.3，则a，b，c的大小关系是（）2．设a=20.3，b=0.32，c=log2A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．【解答】解：∵0＜0.32＜1log0.3＜0220.3＞10.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a∴log2故选B．3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【考点】定积分．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故答案为．4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B．C．D．【考点】选择结构．【分析】本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项．【解答】解：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数，A中的函数不能输出，因为此函数没有零点；B中的函数可以输出，验证发现，函数是奇函数且当x=0时函数值为0，故B正确；C中的函数不能输出，因为不存在零点；D中的函数不能输出，因为它是偶函数，不是奇函数．故选B．5．设等比数列{an }的公比为q，前n项和为Sn．则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的S4=2S2，把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和，得到公比的平方是1，从而得到结果．【解答】解：∵等比数列{an }的前n项和为Sn，S 4=2S2，∴a 1+a 2+a 3+a 4=2（a 1+a 2）∴a 3+a 4=a 1+a 2，∴q 2=1，⇔“|q|=1”∴则“|q|=1”是“S 4=2S 2”的充要条件，故选：C ．6．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C 124种 结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有C 61C 101C 41种选法．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C 124种 结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有C 61C 101C 41种选法，∴P==，故选A ．7．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，）的部分图象如图，则（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．0【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f （x ）的解析式，再利用函数的周期性求得的值．【解答】解：由函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，）的部分图象的周期性可得==﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得 2×+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），且函数的周期为π．∴f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（π）=1+﹣﹣1﹣+=0，∵2013=6×335+3，故=f（）+f（）+f（）=1+﹣=1，故选B．8．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④ B．②C．③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF 是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF ⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E ，C'M ，C'N ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF 为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF 的面积是个常数．M ，N 到平面C'EF 的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C ．二、填空题9．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由图得到复数z 1，z 2，然后利用复数的除法运算把复数化简为a+bi （a ，b ∈R ）的形式，则答案可求．【解答】解：由图可知z 1=﹣2﹣i ，z 2=i ， 则=． 该复数对应的点为（﹣1，2），该点位于第二象限．故答案为二．10．如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA=∠DBA ．若AD=m ，AC=n ，则AB= ．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．【解答】解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AC•AD=mn，即．故答案为：．11．一几何体的三视图如下：其体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该三棱锥的高和底面三角形的一边及此边上的高，进而可求该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该三棱锥的高为6，其底面三角形的一边及此边上的高分别为5与2.4，由棱锥的体积公式V=，则该几何体的体积为．故答案为 12．12．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．则直线l的倾斜角为；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离的最小值为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】化直线的参数方程为普通方程，求出直线的斜率，由直线倾斜角的范围和倾斜角的正切值等于斜率可求直线的倾斜角；化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心和半径，由圆心到直线的距离减去圆的半径得到点Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，则直线l的斜率为k=，设l的倾斜角为α，由0≤α＜π，且tanα=，所以；由曲线C的参数方程为（θ为参数），则（x﹣2）2+y2=1．所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，则圆心C到直线l的距离为d=，所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为．故答案为，．13．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】分类讨论，设双曲线的方程，利用焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，求出几何量，即可得到双曲线的方程．【解答】解：焦点在x轴上时，设方程为（a＞0，b＞0），则∵焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴c=5，∴∴C的方程为；焦点在y轴上时，设方程为（a′＞0，b′＞0），则∵焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴c′=5，∴∴C的方程为故答案为或．14．已知A、B为函数y=f（x），x∈[a，b]图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，又已知向量=λ+（1﹣λ），若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数f（x）=x﹣在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为．【考点】平面向量的综合题．【分析】先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立，即，由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，），∴直线AB方程为y=（x﹣1）∴=y1﹣y2=﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（当且仅当x=时，取等号）∵x∈[1，2]，∴x=时，∴故答案为：三、解答题.15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边， =．（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】（I）由条件利用正弦定理求得cosA=，从而求得 A=．（II）由A=，可得 B+C=．化简函数y等于 2sin（B+），再根据＜B+的范围求得函数的定义域．【解答】解：（I）△ABC中，∵，由正弦定理，得：，…即 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，…∴cosA=，A=．…（II）∵A=，∴B+C=．…故函数y==sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=2sin（B+）．…∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴sin（B+）∈（，1]，…故函数的值域为（1，2]．…16．如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）若M为PA中点，证明MN∥AC，利用线面平行的判定，即可证明AC∥平面MDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面PBC的法向量，即可求直线PE与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）确定平面QAD的法向量，利用平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，结合向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，∵△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，∴MN∥AC…因为MN⊂面MDE，又AC⊄面MDE，所以AC∥平面MDE…（Ⅱ）解：∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，又AD⊂平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD，∴AD⊥平面PDCE，又PD⊂平面PDCE，∴AD⊥PD．…以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，…设面PBC的法向量=（x，y，1），应有即：解得：，所以…设PE与PBC所成角的大小为θ，∵∴，…（Ⅲ）解：设﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面QAD的法向量为=（x′，y′，1），即：…解得：，所以…∵面PBC的法向量，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．∴，…∴所以，PC上存在点Q满足条件，Q与P重合，或…17．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区分类标准如表：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s 8.5﹣﹣10 6.5﹣﹣8.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目．调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；（2）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目，可得x，y满足的条件，从而可得平面区域；（2）利用未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2，可得随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）利用平面区域，即可求得一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目可得，表示的区域如图所示；（Ⅱ）随机变量ξ的分布列为ξ 0.4x ﹣0.2x P0.6 0.4∴Eξ=0.24x﹣0.08x=0.16x ； 随机变量η的分布列为η 0.35y ﹣0.1y 0 P 0.60.2 0.2∴Eη=0.21y﹣0.02y=0.19y ； （Ⅲ）z=Eξ+Eη=0.16x +0.19y，可得x=y=50根据图象，可得x=y=50时，估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值为17.5万元．18．已知函数f （x ）=﹣（1+2a ）x+ln （2x+1），a ＞0．（1）已知函数f （x ）在x=2取得极小值，求a 的值；（2）讨论函数f （x ）的单调区间；（3）当a ＞时，若存在x 0∈（，+∞）使得f （x 0）＜﹣2a 2，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）先求导，利用函数f （x ）在x=2取得极小值，则f'（x ）=0，解a ． （Ⅱ）解导数不等式f'（x ）＞0或f'（x ）＜0，判断函数的单调区间． （Ⅲ）将不等式转化为最值恒成立问题，利用导数求函数的最值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为，且f'（x ）=x ﹣（1+2a ）+，…因为函数f （x ）在x=2取得极小值，所以f'（2）=0， 即f'（2）=2﹣（1+2a ）+=0，．…解得a=1．…经检验：a=1时，函数f （x ）在x=2取得极小值，所以a=1．… （Ⅱ）f'（x ）=x ﹣（1+2a ）+==令f'（x ）=0，则x=或x=2a…i、当2a＞，即a＞时，x（﹣，）（，2a）2a （2a，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗所以f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）…ii、当2a=，即a=时，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，所以f（x）的增区间为（，+∞）…iii、当0＜2a＜，即0＜a＜时，x（﹣，2a）2a（2a，）（，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗所以f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）…综上所述：0＜a＜时，f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+∞）a＞时，f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）（Ⅲ）由题意，a＞时，存在x0∈（，+∞），f（x）＜，即a＞时，f（x）在（，+∞）上的最小值小于．…由（Ⅱ）a＞时，f（x）在（，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，f（x）在（，+∞）上的最小值为f（2a），…所以f（2a）＜，即＜…化简得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，，又a＞，所以，所求实数a的取值范围为．…19．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0），坐标平面上一点P 满足：△PF 1F 2的周长为6，记点P 的轨迹为C 1．抛物线C 2以F 2为焦点，顶点为坐标原点O ． （Ⅰ）求C 1，C 2的方程； （Ⅱ）若过F 2的直线l 与抛物线C 2交于A ，B 两点，问在C 1上且在直线l 外是否存在一点M ，使直线MA ，MF 2，MB 的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）利用△PF 1F 2的周长为6，结合椭圆的定义，可求C 1的方程；利用抛物线C 2以F 2为焦点，顶点为坐标原点O ，可得C 2的方程；（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程，利用直线MA ，MF 2，MB 的斜率依次成等差数列，即可求得结论． 【解答】解：（Ⅰ）依题意可知，△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|，由于|F 1F 2|=2，故|PF 1|+|PF 2|=4，由于|PF 1|+|PF 2|＞|F 1F 2|，故点P 的轨迹为C 1为以F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分，且a=2，c=1，故， 故C 1的方程为：；C 2的方程为：y 2=4x ．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），设直线AB 的方程为：x=my+1，，故，故，由，y 2﹣4my ﹣4=0，故y 1+y 2=4m ，y 1y 2=﹣4， 故m （x 0+1）（x 0﹣my 0﹣1）=0，因为直线AB 不经过点M ，故x 0﹣my 0﹣1≠0，故m=0或x 0+1=0， 当m=0时，C 1上除点外，均符合题意；当m ≠0时，则当x 0=﹣1时，椭圆上存在两点和都符合条件．20．正整数数列{a n }满足：a 1=1，（Ⅰ）写出数列{a n }的前5项；（Ⅱ）将数列{a n }中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k }，试用n k 表示n k+1（不必证明）；（Ⅲ）求最小的正整数n ，使a n =2013．【考点】数列递推式；数列的函数特性． 【分析】（Ⅰ）由数列{a n }满足递推公式，令n=1，2，3，4及a 1=1，我们易得到a 2，a 3，a 4，a 5，的值；（Ⅱ）由（1）和条件可归纳数列{n k }中每一项的值与序号的关系，由归纳推理出n k 的一个通项公式，再由（Ⅰ）归纳出数列{a n }中项之间的关系式，再得到项数之间的关系式； （Ⅲ）把（Ⅱ）的结论化为2n k+1+1=3（2n k +1），记2n k +1=x k ，转化为新的等比数列{x k }，利用此数列的通项公式进而求出n k 的表达式，把n k+1=3n k +1转化为不等式“a n ≤3n k +1=n k+1”，给k 具体值结合（Ⅱ）的结论，进行注意验证a n 与2013的大小关系，一直到n 8+2﹣m=2013，进而求出m 的值，代入对应的式子求出n 的值． 【解答】解：（Ⅰ）令n=1代入得，a 2=a 1+1=2，令n=2代入得a 3=a 2+2=4；令n=3代入得a 4=a 3﹣3=1， 令n=4代入得a 5=a 4+4=5；∴a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=1，a 5=5；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n 1=1，n 2=4，n 3=13，…， 猜想使的下标n k 满足如下递推关系：n k+1=3n k +1，k=1，2，3，…．对k 归纳：k=1，2时已成立，设已有，则由（Ⅰ）归纳可得， ，，，，…．归纳易得：，，故当m=n k +1时，=．因此n k+1=3n k +1，（k=1，2，3，…）成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，n k+1=3n k +1，则2n k+1=2（3n k +1）， 即2n k+1+1=3（2n k +1），记2n k +1=x k ， 则x k+1=3x k ，x 1=3，故，因此，由n k+1=3n k +1，k=1，2，3，…可知， 当n ≤3n k =n k+1﹣1时，a n ≤3n k +1=n k+1． 因此，当n ＜n 7时，a n ≤n 7==1093；而当n 7≤n ＜n 8时，要么有a n ≤1094，要么有a n ≥2×1094，即a n 取不到2013， 进而考虑n 8≤n ＜n 9的情况， 由（Ⅱ）得，，则n 8+2﹣m=2013，解得m=1269，解得n 8+2m ﹣1=5817故．=2013的最小n为5817．故使得an& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考& 2016年10月13日鑫达捷。
人大附中高考模拟数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 - 1B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 2x + 12. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 + a2 + a3 = 12，a4 + a5 + a6 = 36，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面内的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(2) = 1，则a、b、c的值分别为（）A. a = 1, b = -2, c = 1B. a = 1, b = -1, c = 0C. a = 2, b = -1, c = 1D. a = 2, b = -2, c = 05. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角A的正弦值为（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/56. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^27. 若函数y = ax^2 + bx + c在x = 1时取得极小值，则a、b、c应满足的条件是（）A. a > 0, b > 0, c > 0B. a < 0, b < 0, c > 0C. a > 0, b < 0, c > 0D. a < 0, b > 0, c > 08. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f(x)在x = 1处取得极值，则此极值为（）A. 极大值1B. 极小值1C. 极大值-1D. 极小值-19. 在直角坐标系中，若点P的坐标为(a, b)，点Q的坐标为(a + 1, b + 1)，则直线PQ的斜率为（）A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 已知函数y = log2(x + 1)，则该函数的定义域为（）A. x > -1B. x ≥ -1C. x < -1D. x ≤ -1二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。
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北京市人大附中2015届高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x2﹣x﹣2＞0}，集合B={x||x﹣a|＜3}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．[1，2] B．（﹣1，2）C．[﹣1，2] D．（﹣2，1）2．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β正确的命题是（）A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③3．（5分）下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数y=log2x的图象重合的函数是（）A．y=2x B．y=log x C．y=•4x D．y=log2+14．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC 的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B． C． D．6．（5分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥7．（5分）设a，b是方程x2+（cotθ）x﹣cosθ=0的两个不等实根，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随θ的值而变化8．（5分）（1999•广东）函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值﹣M二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.9．（5分）若x，y满足则z=x+2y的最大值为．10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，若存在自然数m≥3，使得a m=S m，当n ＞m时，S n与a n的大小关系为：S n a n．（填“＞”；“＜”或“=”）11．（5分）2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）．（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）12．（5分）某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为．13．（5分）设，，是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）|•|=||•||；（2）（•）﹣（•）不与向量垂直．；（3）||﹣||＜|﹣|；（4）若•=0，则=0，或者=0；（5）（•）=（•）；（6）（3+2）•（3﹣2）=9||2﹣4||2其中真命题的序号为．14．（5分）某纺织厂的一个车间有n（n＞7，n∈N*）台织布机，编号分别为1，2，3，…，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，…，n．定义记号a ij，如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定a ij=1，否则a ij=0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则a17+a27+a37+a47+…+a n7=；若a31+a32+a33+a34+…+a3n=2，说明．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，（1）求的值；（2）若a=，求bc的最大值．16．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD 上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（14分）某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：00～5：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房．请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？18．（14分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．19．（12分）已知函数的最大值不大于，又当．（1）求a的值；（2）设．证明．20．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．北京市人大附中2015届高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x2﹣x﹣2＞0}，集合B={x||x﹣a|＜3}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．[1，2] B．（﹣1，2）C．[﹣1，2] D．（﹣2，1）考点：绝对值不等式的解法；并集及其运算．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：求出两个集合，然后利用并集求解即可．解答：解：集合A={x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，集合B={x||x﹣a|＜3}={x|a﹣3＜x＜a+3}，若A∪B=R，可得a﹣3＜﹣1并且a+3＞2，解得a∈（﹣1，2）．故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，二次不等式的解法，并集的应用，考查计算能力．2．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β正确的命题是（）A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．解答：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即③正确．∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故④错误；故选D点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数y=log2x的图象重合的函数是（）A．y=2x B．y=log x C．y=•4x D．y=log2+1考点：对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化；指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：从自己熟悉的知识入手，易知A、y=log2x与y=2x互为反函数，则图象关于y=x对称；B、y=log x=﹣log2x易知是y=log2x变换而来的；C、两个函数的底不同；D、y=log2+1=﹣log2x+1易知是y=log2x变换而来的．解答：解：A、易知：y=log2x与y=2x互为反函数，则图象关于y=x对称，两者图象翻折得到．B、∵y=log x=﹣log2x∴关于x轴对称，两者图象翻折得到D、y=log2+1=﹣log2x+1与y=log2x图象关于x轴对称，再向上平移一个单位．两者图象翻折再平移得到．C、两个函数的底不同不会由变换得到．故选C点评：本题主要考查数形结合的思想，函数解析式有内在联系，则图象间有变换关系，同样，图象间有变换关系，则函数间有内在联系，在探讨过程中作适当的等价变形是很重要的．4．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC 的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）A．B．C．D．考点：曲线与方程．专题：图表型．分析：根据题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，利用抛物线的定义推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．看图象中，A的形状不符合；B的B点不符合；D的A点符合．从而得出正确选项．解答：解：依题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．点评：本题是基础题，考查抛物线的定义和考生观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想．5．（5分）函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B． C． D．考点：函数的图象；正弦函数的图象．专题：作图题；压轴题；分类讨论．分析：本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．解答：解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A选项对应的图象符合．故选A．点评：本题考查的是函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．6．（5分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥考点：基本不等式．分析：根据基本不等式的性质可知．≥排除A，取，判断出B不成立．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排除C；看a＜b和a≥b，时D项均成立排除D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2≥0，∴≥故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了学生对基础知识的掌握．7．（5分）设a，b是方程x2+（cotθ）x﹣cosθ=0的两个不等实根，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．随θ的值而变化考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：利用韦达定理表示出a+b与ab，求出直线AB的斜率，表示出直线AB，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，与r比较大小即可得到直线与圆的位置关系．解答：解：由题意可得，a+b=﹣cotθ，ab=﹣cosθ，且cot2θ+4cosθ＞0，又A（a，a2）、B（b，b2），得到直线AB的斜率k==a+b，∴直线l AB：y﹣b2=（b+a）（x﹣b）即y=（b+a）x﹣ab，∴cotθx+y﹣cosθ=0，∵圆心（0，0）到直线AB的距离d==1=r，∴直线AB与圆位置关系是相切．故选B点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：韦达定理，直线斜率的求法，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8．（5分）（1999•广东）函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值﹣M考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：由函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，可利用赋值法进行求解即可解答：解：∵函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M采用特殊值法：令ω=1，φ=0，则f（x）=Msinx，设区间为[﹣，]．∵M＞0，g（x）=Mcosx在[﹣，]上不具备单调性，但有最大值M，故选：C点评：本题综合考查了正弦函数与余弦函数的图象及性质，利用整体思想进行求值，在解题时要熟练运用相关结论：y=Asin（wx+φ）为奇（偶）函数⇒φ=kπ（φ=kπ+）（k∈Z）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.9．（5分）若x，y满足则z=x+2y的最大值为7．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过可行域内的点A时，从而得到z=x+2y的最大值即可．解答：解：在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分（O为原点），A （3，2），由图可知，最优解为A （3，2），故Z max=7．故答案为：7．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，若存在自然数m≥3，使得a m=S m，当n ＞m时，S n与a n的大小关系为：S n＜a n．（填“＞”；“＜”或“=”）考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据s m=s m﹣1+a m=a m可得s m﹣1=0，由a1＞0可得该数列的公差d＜0，a m﹣1=﹣a1，从而可比较S n与a n的大小．解答：解：∵s m=s m﹣1+a m=a m，∴s m﹣1=0，即，又m≥3，a1＞0，∴a m﹣1=﹣a1＜0，∴等差数列{a n}的公差d＜0，∴当n＞m时，a n＜0，∴s n=s m﹣1+a m+a m+1+…+a n＜a n．故答案为：＜．点评：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．11．（5分）2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）=1．（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设椭圆方程为：=1（a＞b＞0），由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a﹣c，最大值为a+c，列出方程，解方程，即可得到a，b，进而得到椭圆方程．解答：解：设椭圆方程为：=1（a＞b＞0），由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a﹣c，最大值为a+c，则a﹣c=6370+200=6970，a+c=350+6370=6720，解得，a=6845，b2=a2﹣c2=6970×6720，则有椭圆方程为=1．故答案为：=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆上的点到焦点的距离的最值，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为840．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，按照4个人选择入站口的数目分4种情况讨论：①、4个人选择同一个入口处入站，②、4个人选择2个不同的入口处入站，③、4个人选择3个不同的入口处入站，④、4个人选择4个不同的入口处入站；每种情况下分析入站口选择的情况数目、分组的情况数目以及每组人与人之间的顺序，由分步计数原理可得每种情况下进站的方案数目，进而由分类计数原理将4种情况下的进站的方案数相加即可得答案．解答：解：根据题意，分4种情况讨论：①、4个人选择同一个入口处入站，共有4个入口处，即有4种选择，考虑4个人之间的顺序，有A44=24种情况，则此时有4×24=96种进站的方案；②、4个人选择2个不同的入口处入站，在4个入口处选2个，有C42=6种选法，将4个人分成2组，如果每组2人，有C42=3种分组方法，将这两组对应2个入口，有A22=2种情况，考虑每组2人的顺序，有A22A22=4种不同的顺序，则每组2人有6×3×2×4=144种进站的方案，如果一组1人，另一组3人，有C43C11=4种分组方法，将这两组对应2个入口，有A22=2种情况，考虑3人组3人之间的顺序，有A33=6种不同的顺序，则每组2人有6×4×2×6=288种进站的方案，则选择2个入口处入站，有144+288=432种进站的方案；③、4个人选择3个不同的入口处入站，在4个入口处选3个，有C43=4种选法，将4个人分成2组，必然一组2人，剩余2组每组1人，有C42=6种分组方法，将这两组对应3个入口，有A33=6种情况，考虑2人组2人之间的顺序，有A22=2种不同的顺序，则此时有4×6×6×2=288种进站的方案；④、4个人选择4个不同的入口处入站，将4人全排列，对应4个入口处即可，此时有A44=24种不同的进站的方案，则一共有96+432+288+24=840种不同的进站的方案；故答案为：840．点评：本题考查排列、组合的运用，解题的关键是正确的分类讨论，务必做到不重不漏．13．（5分）设，，是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）|•|=||•||；（2）（•）﹣（•）不与向量垂直．；（3）||﹣||＜|﹣|；（4）若•=0，则=0，或者=0；（5）（•）=（•）；（6）（3+2）•（3﹣2）=9||2﹣4||2其中真命题的序号为（6）．考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的模，向量的数量积运算法则，向量垂直的充要条件等知识点逐一判断6个结论的真假，可得答案．解答：解：（1）中，向量，不共线，故cosθ≠±1，|•|=||•||•|cosθ|≠||•||，故（1）错误；（2）[（•）•﹣（•）•]•=（•）•（•）﹣（•）•（•）=0，故（•）•﹣（•）•与向量垂直，故（3）错误；（3）若=，则||﹣||=|﹣|=0，故（3）错误；（4）若•=0，则=，或者=，或者⊥，故（4）错误；（5）（•）•表示一个与共线的向量，（•）•表示一个与共线的向量，当与不共线时，两者一定不相等，故（5）错误；（6）（3+2）•（3﹣2）=92﹣42=9||2﹣4||2．故（6）正确；故真命题的序号为：（6），故答案为：（6）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了向量的基本运算，难度不大，属于基础题．14．（5分）某纺织厂的一个车间有n（n＞7，n∈N*）台织布机，编号分别为1，2，3，…，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，…，n．定义记号a ij，如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定a ij=1，否则a ij=0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则a17+a27+a37+a47+…+a n7=1；若a31+a32+a33+a34+…+a3n=2，说明a31，a32，a33，…，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机．考点：进行简单的合情推理．专题：转化思想．分析：对于第一个空由题意叙述的a ij的含义可以知道，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a17，a27，a37，，a n7中有且仅有一个值为1，其余值为0，即可得求解；对于第二个空由题意叙述的a ij的含义可以知道a31，a32，a33，，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0．解答：解：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a17，a27，a37，，a n7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴a17+a27+a37+a n7=1同理，由a31+a32+a33++a3n=2．说明a31，a32，a33，，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机．故答案为：1； a31，a32，a33，，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机．点评：此题重在理解好题意定义的a ij的含义，重点考查了学生的理解能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，（1）求的值；（2）若a=，求bc的最大值．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；余弦定理．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的降幂公式，结合已知cosA=可求得+cos2A的值；（2）利用余弦定理与基本不等式即可求得bc的最大值．解答：解：（1）∵在△ABC中，A+B+C=π，cosA=，∴原式=+cos2A=+2cos2A﹣1=+﹣1=﹣．（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，∵a=，∴3=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤（当且仅当b=c时取等号）．∴bc的最大值是．点评：本题考查二倍角的余弦与三角函数间的关系式，考查余弦定理与基本不等式，属于中档题．16．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD 上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．考点：直线与平面垂直的性质；反三角函数的运用；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；压轴题；探究型；向量法．分析：（I）法一：几何法：要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．（II）法一：求二面角C1﹣EF﹣A的大小，转化为求C1﹣EF﹣C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．求解即可．法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．解答：解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（6分）（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，∴tan∠C1HC=．∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=π﹣arctan2．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为．解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）∴∴=1﹣1=0，即D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔即x=．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1﹣EF﹣A的平面角．∵，∵．∴，=，即．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为π﹣arccos．点评：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．空间向量计算法容易出错．17．（14分）某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：00～5：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房．请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？考点：分布的意义和作用．专题：应用题；等差数列与等比数列．分析：设第n天去健身房的人数为a n，去娱乐室的人数为b n，得a n+b n=150；根据题意，推导出a n的通项公式，判断n→+∞时，a n是否稳定于某一个常数即可．解答：解：记第n天去健身房的人数为a n，去娱乐室的人数为b n，则a n+b n=150；当n=1时，则a1=150﹣b1，当n≥2时，a n=（1﹣10%）a n﹣1+20%b n﹣1=（1﹣10%）a n﹣1+20%（150﹣a n﹣1）=30+0.7a n﹣1，则a n﹣100=0.7（a n﹣1﹣100），即=0.7；∴数列{a n﹣100}是a1﹣100为首项，以0.7为公比的等比数列；∴a n﹣100=（a1﹣100）•0.7n，即a n=（a1﹣100）•0.7n+100；当n→+∞时，0.7n→0，∴（a1﹣100）•0.7n→0，∴a n→100；即随着时间的推移，去健身房的人数应稳定于100人左右．点评：本题考查了等比数列的概念与应用问题，也考查了递推数列的应用问题，考查了数学建模能力与逻辑推理能力，是综合性题目．18．（14分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；应用题．分析：（1）各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，利用相互独立事件的概率公式做出各个路段堵车的概率，得到选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．（2）由题意知路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件的概率公式，写出变量对应的概率，做出期望值．解答：解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．∵各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，∴路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1﹣P（）=1﹣P（）•P（）•P（）=1﹣[1﹣P（AC）][1﹣P（CD）][1﹣P（DB）]=1﹣；（3分）同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1﹣P（）=（小于）路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1﹣P（）=（大于）显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．P（ξ=0）=P（）=P（ξ=1）=P（AC•）+P（•CF•）+P（）=P（ξ=2）=P（AC•CF•）+P（AC••FB）+P（•CF•FB）=P（ξ=3）=P（AC•CF•FB）=，∴Eξ=0×+1×答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为．点评：本题考查离散型随机变量的期望和相互独立事件的概率，本题是一个易错题，易错点在题目中出现的道路情况比较多，需要仔细写出不要出错．19．（12分）已知函数的最大值不大于，又当．（1）求a的值；（2）设．证明．考点：二次函数的性质；数列与函数的综合．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）由函数的最大值不大于，求得a2的范围，再由第二个条件即可得到a的值（2）由第一问a的值确定f（x）的解析式，然后利用数学归纳法证明该不等式．解答：解：（1）由于的最大值不大于，所以，即a2≤1．①又时，所以即解得a≥1．②由①②得a=1．（2）由（1）知f（x）=x﹣①当n=1时，，不等式成立；因，所以，故n=2时不等式也成立．②假设n=k（k≥2）时，不等式成立，因为的对称轴为，知f（x）在为增函数，所以由得于是有，所以当n=k+1时，不等式也成立．根据①②可知，对任何n∈N*，不等式成立．点评：本题是道难题，考查了二次函数的性质以及函数与数列的综合问题，在证明第二问的不等式式注意数学归纳法的应用．20．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．考点：圆与圆的位置关系及其判定；恒过定点的直线；相交弦所在直线的方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过已知条件求出直线MN的方程，直线MN是直线系，即可得到直线过的定点，问题得到证明；（2）求出以AB和CD为直径的圆的方程，然后求两圆相交弦的直线方程，说明公共弦过原点O．∠OHT=90°．得到点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点）即可．解答：解：（1）设AB斜率为k，将AB方程与抛物线方程联立，求得M，将k换为得N（2k2+1，﹣2k），由两点式得MN方程为（1﹣k2）y=k（x﹣3），则直线MN恒过定点T（3，0）；…（7分）（2）由抛物线性质，以AB、CD为直径的⊙M、⊙N的半径分别为x M+1，x N+1，于是可得两圆方程分别为和，两式相减可得其相交弦所在直线方程为（x M﹣x N）x+（y M﹣y N）y=，则公共弦过原点O．所以∠OHT=90°．于是，点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点），其轨迹方程为…（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．。