信号处理中的一些非线性问题

在信号处理中，也存在着大量的非线性问 题。我们在这一章里只是有选择的介绍几 种经典的方法。
5-1 同态滤波
通常，一个信号由不同的成分构成，
而且构成的方式也不尽相同。例如它可以
是真实信号 s 和噪声v 相加而成
x s v
（5-1-1）
或者更广一些，如§3-3-3中所讨论的线性
模型：
x Hs v
x F(x)
（ 5-3-1）
的解，而且它可以按迭代格式
xn1 F (xn )
（ 5-3-2）
来进行计算，只要此迭代格式收敛。当然
并不是所有形为式（5-3-2）的迭代格式都 可用来解方程的。例如对于代数方程
x5 x 1 0
（ 5-3-3）
可化成 x 1 x5 @f (x),则求解方程（5-3-3）
6
0
x
1
），故 ，表明 g(x') g(x'') g'( ) x' x'' 5 x' x''
g
6
是压缩算子。因此迭代格式 xn1 g(xn )收敛
于方程 x g(x) 的解。
还可指出，这个例子可选用更为一般的
迭代格式 xn1 g (xn ) ，其中 g 为
第五章 信号处理中的一些非线性问题
绪论
本章介绍非线性问题的以下几种求解 方法：1.线性化（例如台劳展开并略去高 阶项，同态变换）；2.迭代法计算；3.用简 单表示复杂，即逼近（例如台劳展开，伏 特拉展开，人工神经网络等）。
非线性现象在自然界到处存在，比线 性现象多得多，也复杂的多。可以说， “线性”仅仅是一种，而“非线性”则是 无穷多种的统称。难于用统一的方法来研 究。
x(n)
x%
xˆ
xˆ(n)
yˆ (n)
yˆ
y%
y(n)

*
g
g
*
图5-1-2 卷积同态滤波系统
在实际中，卷积同态系统的线性环节 常取做如下形式：
L{xˆ(n)} {(n)xˆ(n)}
其中{ (n)}为序列。显然这是普通的线性映 射，根据的取值情况，又可将分为以下几 类：
1.低通
写成 x1 ox2 x3。例如对于普通加法，2o3 5 ，3o4.5 7.5；对于普通乘法，2o3 6 ， 3o4.5 13.5 。在抽象代数中，如果在一个 集合中定义一种（或几种）运算，且这些 运算满足一定的运算规律，则常称此集合 为一个代数，例如线性空间、群、环、域 布尔代数等都是代数。
噪声。如§4-7中那样，假定 wk和 vk 都是零
均值的白噪声。
这里非线性是指状态向量而言的。
现在假定 x* 是差分方程 k
xk 1
f（k x
）
k
（ 5-2-3）
的解，即
x* k1
f（k x*k）
将f
k
和
h
k按
x* k
作台劳展开
f（k xk）
f（k x*k）+f（k' x*k）(xk
x* k
)
，则称映射 是满射。
现有集合 X 和 Y 分别定义有运算 o和
g 。如果从 X 到 Y 的映射都是满射，而且
对于任意的 x1, x2 X 均有等式
(x1 o x2 ) (x1)g(x2 )
（5-1-7）
则称是 X从 Y到的同态映射。
在信号与系统的分析中，通常涉及的
是系统的输入信号的集合X 和输出信号
[0,1]内有根且仅有一根。若设 f (x) 1 x，5
则由中值定理 f (x') f (x'') 5 4 x' x'' 可以看出
不是 [0,1]上的压缩算子，所以不能利用压
缩映像原理。而式（5-3-4）中的函数g(x)
有关系式 g'(x) 及 5 (1 x4) 6
g ' ( x)
5（其中
对 X中任意两个元素 x1和 x2所构成有序对
(x1, x2 )都有X中的元素 x3与之对应，便称在 X 中定义了一种运算。若该运算定义为普
通的加法，则 (2,3) 5 ；(3, 4.5) 7.5 。若该 运算定义为普通的乘法，则 (2,3) 6 ，
(3, 4.5) 13.5。如果记该运算为 o，则可以
消除噪声。例如第三章中的最小二乘滤波 和第四章的维纳滤波都可用来恢复式（5-
1-3）中的 s 。
本节介绍的同态滤波方法，对于模型（51-3）和（5-1-4）都是适用的，而且对于 不同的成分可以起到分别处理的作用。在 做精确描述之前，我们先简述同态滤波的 思想方法。
以乘积模型（5-1-4）为例，考虑到 对数能将乘积转换成相加，从而成为线性 模型，于是可按照图5-1-1所示的过程进 行滤波，其中 和 为根据需要而选取的
，其中的运算定义为普通的函数相乘，
则映射
x x%(e jw )
是同态映射，因为根据卷积定理有
(x1 * x2 ) (x1)(x2 )
从而 {X ,,Y}是个同态系统。
（5-1-9）
显然，对于卷积定理成立的变换（离 散和连续的傅里叶变换、z变换等）都可以 导致类似的同态系统。
对于如模型（5-1-3）所示的卷积型信 号，易知可通过傅里叶变换或z变换环节， 这样做就把卷积化成乘积。相应的滤 波系统如图5-1-2所示，它称为卷积同态 滤波系统，其中，线性环节 L之前有三个 环节：F ，ln ，F 1。F 表示傅里叶变换。输入
拿赫空间， F 是映 X 为 X 的算子。设 Q 是
算子 F 的定义域中的一个子集。如果存在
常数 q (0,1) ，使得对任意的 均有 x', x'' Q
F(x' ) F(x'' ) q x' x''
（ 5-3-5）
则称 F 是集合 Q上的压缩算子，称 q为压缩
系数
压缩映像原理：设算子 F 映巴拿赫空 间 X 中的闭集 Q 为自己，且 F 为 Q 上的压 缩算子，压缩系数为 q ，则 F 在 Q 内存在
唯一的不动点 x*，若 x0 为 Q 中的任意一点，
则迭代格式
收敛于 xn1 F(xn ) ，并x* 有误差估
计
xn x*
qn 1 q
F (x0 ) x0
（ 5-3-6）
例 5-3-1 仍然考察前面求解方程
x5 x 1 0 的例子。由于 h(x) x5 x 1在区 间 [0,1] 上严格单调且 h(0) 1h(1) 1 ，故h(x)在
依次为0.58,0.64,0.68,0.71,0.73,0.74,0.75, 0.75,…，因此x 0.75是原方程(5-3-3)的一 个近似解。
由此产生一个很自然的问题：什么情
形下迭代格式 xn1 F(xn )是收敛的，而且收 敛于方程 x F(x) 的解？我们在更为广泛的
情形下即巴拿赫空间进行讨论。设 X 是巴
x sv
ln x ln s ln v
y ln s ln v
y sv
ln
L
exp
图5-1-1 乘积同态系统
一我些们代把数线概性念 环节 L之前的环节称为该系统 一的的的D*1些范特环 e为简畴征节[] 。了单。系称确的设统为切代 ， 逆X 为的数 常 特一叙概 记 征给述念 为 系定同， 统D*。的态它 ，这们记滤非里属为波空D于，集D**1。抽需合ln，这象要，里之代引如后数进果
成分 xr主要由图像 g 的高频成分组成，它
反映画面上物象边缘的突变部分。若将此
g(m, n) 输入到图5-1-1所示的乘积同态系统， 则相应的输出为
y(m,
n)
x i
(m,
n)xr
(m,
n)
（5-1-6）
当参数 ， 取得满足 1， 1 时，该乘
积同态系统的滤波效果是：
既使照明成分压缩，又使反射成分增强。 由此可见，此种滤波方法可以同时对照明 成分和反射成分分别进行不同的处理。
的集合Y 。如果这时是从 X到Y 的同态映 射，则称为同态系统，并记为 {X ,,Y}。
例 5-1-1 设 x {x(n)}是双边无穷序列，
其傅里叶频谱
x%(e jw ) x(n)e jnw
（5-1-8）
n
存在。这样的序列全体为 X 。X 中的运算
定义为序列卷积。定义集合 Y {x%(e jw), x X}
L
（ 5-2-4） （ 5-2-5）
h（k xk）
h（k x*k）+h（'k x*k）(xk
x* k
)
L
（ 5-2-6）
舍去高次项，代（5-2-1）和（ 5-2-2），
再令 ， 并将 以 xk
xk
x* k
yk
yk
hk
(x* k
)
k (xk )
代替（ k
@k
(x* k
)
k (xk ) 本身是误差项，所以
就是求 f 的不动点。为此，设 x0 0 ，利用
迭代格式 xn1 f (xn ) ，得到 x1 1，x2 0 ，x3 1
，x4 0 ，…，毫无结果。这表明此迭代格式
是无效的，然而若把方程(5-3-3)改写成
x 5 x 1 x5 @g(x) 6 66
（ 5-3-4）
取 x0 0，则利用迭代格式 xn1 f (xn ) 可得到
(n)
1, 0,
n n
N N
2.高通
(n)
0, 1,
n n
N N
3.带通
4.点阻
(n)
1, 0,
M n 其他
N
(n) 01,,其n 他Nk , k 0, 1, 2,L