导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)
导数与函数的零点知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数与函数的零点一、知识梳理1.利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．二、例题精讲 + 随堂练习考点一判断零点的个数【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x－4ln x的零点个数．解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a ＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－3x－4ln x＝x－3x－4ln x－2，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0，当x>3时，g(e5)＝e5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．【训练1】已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x，所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，所以h(1)h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x.由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．h′(x)＝e x－12x－12－1，记φ(x)＝e x－12x－12－1，则φ′(x)＝e x＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．解(1)函数f(x)＝ax＋x ln x的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a＋ln x＋1，因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋x ln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点．由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范围是(－2，－1)．【训练2】 已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2，1]上的最小值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ， 又f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1，所以f (x )＝e x －x ＋1，求导得f ′(x )＝e x －1.易知f (x )在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增， 所以当x ＝0时，f (x )在[－2，1]上取得最小值2. (2)由(1)知f ′(x )＝e x ＋a ，由于e x >0， ①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上是增函数， 当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0； 当x <0时，取x ＝－1a ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a <1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－a <0. 所以函数f (x )存在零点，不满足题意． ②当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a )． 在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 在(ln (－a )，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值．函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2<a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0)．考点三 函数零点的综合问题 【例3】 设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－ax 单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，假设存在b 满足0<b <a 4时，且b <14，f ′(b )<0， 故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)． 由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .【训练3】 (2019·天津和平区调研)已知函数f (x )＝ln x －x －m (m <－2，m 为常数)． (1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值；(2)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，且x 1<x 2，证明：x 1·x 2<1.(1)解 f (x )＝ln x －x －m (m <－2)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－xx ＝0， ∴x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(0，1)递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上递减．且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e －m ，f (e)＝1－e －m ， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －f (e)＝－2－1e ＋e>0， 函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值为1－e －m .(2)证明 由(1)知x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0，且0<x 1<1，x 2>1， ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， 由题意可知ln x 2－x 2＝m <－2<ln 2－2. 又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)递减，故x 2>2， 所以0<x 1，1x 2<1.则f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝ln x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2 ＝ln x 2－x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2 ＝－x 2＋1x 2＋2ln x 2.令g (x )＝－x ＋1x ＋2ln x (x >2)，则g ′(x )＝－1－1x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2x 2≤0，当x >2时，g (x )是减函数，所以g (x )<g (2)＝－32＋ln 4.因32－ln 4＝ln e 324>ln 2.56324＝ln （1.62）324＝ln 1.634＝ln4.0964>ln 1＝0，∴g (x )<0，所以当x >2时，f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2<0， 即f (x 1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2.因为0<x 1，1x 2<1，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 所以x 1<1x 2，故x 1x 2<1.三、课后练习1.直线x ＝t 分别与函数f (x )＝e x ＋1的图象及g (x )＝2x －1的图象相交于点A 和点B ，则|AB |的最小值为________. 解析 由题意得，|AB |＝|e t ＋1－(2t －1)| ＝|e t －2t ＋2|，令h (t )＝e t －2t ＋2，则h ′(t )＝e t －2，所以h (t )在(－∞，ln 2)上单调递减， 在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以h (t )min ＝h (ln 2)＝4－2ln 2>0， 即|AB |的最小值是4－2ln 2. 答案 4－2ln 22.若函数f (x )＝ax －ae x ＋1(a <0)没有零点，则实数a 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝a e x －（ax －a ）e x e 2x ＝－a （x －2）e x (a <0).当x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0， ∴当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝ae 2＋1.若使函数f (x )没有零点，当且仅当f (2)＝ae 2＋1>0， 解之得a >－e 2，因此－e 2<a <0. 答案 (－e 2，0)3.(2019·保定调研)已知函数f (x )＝a 6x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，103.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点，求m 的取值范围. 解 (1)因为函数f (x )＝a 6x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，103， 所以32a 3－4a －4a －2＝103，解得a ＝2，即f (x )＝13x 3－12x 2－2x －2， 所以f ′(x )＝x 2－x －2. 由f ′(x )>0，得x <－1或x >2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞). (2)由(1)知f (x )极大值＝f (－1)＝－13－12＋2－2＝－56， f (x )极小值＝f (2)＝83－2－4－2＝－163，由数形结合，可知要使函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有三个零点， 则－163<2m －3<－56，解得－76<m <1312.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，1312.4.已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示.由于f (0)＝f (3)＝2，1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 答案 D5.设函数f (x )＝ln x ＋m x (m >0)，讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数. 解 函数g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0). 设h (x )＝－13x 3＋x (x >0)，所以h ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1).当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0，此时h (x )在(0，1)内单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，此时h (x )在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ＝1时，h (x )取得极大值h (1)＝－13＋1＝23. 令h (x )＝0，即－13x 3＋x ＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝ 3. 作出函数h (x )的大致图象(如图)，结合图象知：①当m >23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象无交点.②当m ＝23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象有且仅有一个交点. ③当0<m <23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象有两个交点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23时，函数g (x )有且仅有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.6.(2018·江苏卷改编)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和. 解 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )， 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1， 所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意. 当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)， 当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.7.已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当0<－1a <e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数根. 解 (1)由已知可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝1－xx (x >0)； 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(0，1).(2)因为f ′(x )＝a ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ； 由f ′(x )>0，解得0<x <－1a ；由f ′(x )<0，解得－1a <x <e.从而f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e ，所以，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3.解得a ＝－e 2.(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， 所以|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2. 当0<x <e 时，g ′(x )>0； 当x >e 时，g ′(x )<0.从而g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减. 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1， 所以，|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12，所以，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数根.。
利用导数研究函数的零点讲义 解析版
利用导数研究函数的零点题型一 数形结合法研究函数零点1.(2024·南昌模拟节选)已知函数f (x )=(x -a )2+be x (a ，b ∈R )，若a =0时，函数y =f (x )有3个零点，求b 的取值范围.解：函数y =f (x )有3个零点，即关于x 的方程f (x )=0有3个根，也即关于x 的方程b =-x 2ex 有3个根.令g (x )=-x 2e x ，则直线y =b 与g (x )=-x 2ex 的图象有3个交点.g ′(x )=x (x -2)e x，由g ′(x )<0解得0<x <2；由g ′(x )>0解得x <0或x >2，所以g (x )在(-∞，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增.g (0)=0，g (2)=-4e2，当x >0时，g (x )<0；当x →+∞时，g (x )→0；当x →-∞时，g (x )→-∞，作出g (x )的大致图象如图所示，作出直线y =b .由图可知，若直线y =b 与g (x )的图象有3个交点，则-4e 2<b <0，即b 的取值范围为-4e 2，0 .感悟提升 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围.2.设函数f (x )=ln x +m x ，m ∈R ，讨论函数g (x )=f ′(x )-x 3零点的个数.解：由题意知g (x )=f ′(x )-x 3=1x -m x 2-x 3(x >0)，令g (x )=0，得m =-13x 3+x (x >0).设φ(x )=-13x 3+x (x >0)，则φ′(x )=-x 2+1=-(x -1)(x +1).当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，+∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，+∞)上单调递减.∴x =1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，∴x =1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)=23.结合y =φ(x )的图象(如图)可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m =23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m =23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.题型二 利用函数性质研究函数零点3.已知函数f (x )=(2a +1)x 2-2x 2ln x -4，e 是自然对数的底数，∀x >0，e x >x +1.(1)求f (x )的单调区间；(2)记p ：f (x )有两个零点；q ：a >ln 2.求证：p 是q 的充要条件.要求：先证充分性，再证必要性.(1)解：∵f (x )=(2a +1)x 2-2x 2ln x -4，∴f (x )的定义域为(0，+∞)，f ′(x )=4x (a -ln x ).∵当0<x <e a 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e a )上单调递增；∵当x >e a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(e a ，+∞)上单调递减.∴f (x )的单调递增区间为(0，e a )，单调递减区间为(e a ，+∞).(2)证明 先证充分性.由(1)知，当x =e a 时，f (x )取得最大值，即f (x )的最大值为f (e a )=e 2a -4.由f (x )有两个零点，得e 2a -4>0，解得a >ln 2.∴a >ln 2.再证必要性.∵a >ln 2，∴e 2a >4.∴f (e a )=e 2a -4>0.∵a>ln2>0，∀x>0，e x>x+1，∴e2a>2a+1>2a.∴f(e-a)=e-2a(4a+1)-4=4a+1e2a -4<4a+12a-4=12a-2<12ln2-2=1ln4-2<0.∴∃x1∈(e-a，e a)，使f(x1)=0；∵f(e a+1)=-e2a+2-4<0，∴∃x2∈(e a，e a+1)，f(x2)=0.∵f(x)在(0，e a)上单调递增，在(e a，+∞)上单调递减，∴∀x∈(0，+∞)，x≠x1且x≠x2，易得f(x)≠0.∴当a>ln2时，f(x)有两个零点.感悟提升 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.4.(2022·全国乙卷节选)已知函数f(x)=ax-1x-(a+1)ln x，若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.解：由f(x)=ax-1x-(a+1)ln x(x>0)，得f′(x)=a+1x2-a+1x=(ax-1)(x-1)x2(x>0).①当a=0时，f(x)=-1x-ln x，f′(x)=1-xx2，当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)≤f(1)=-1<0，所以f(x)不存在零点；②当a<0时，f′(x)=a x-1a(x-1)x2，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(1)=a-1<0，所以f(x)不存在零点；③当a>0时，f′(x)=a x-1a(x-1)x2，(ⅰ)当a=1时，f′(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(1)=a-1=0，所以函数f(x)恰有一个零点；(ⅱ)当a>1时，0<1a <1，故f(x)在0，1a，(1，+∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.因为f(1)=a-1>0，所以f1a>f(1)>0，当x→0+时，f(x)→-∞，由零点存在定理可知f(x)在0，1a上必有一个零点，所以a>1满足条件；(ⅲ)当0<a<1时，1a >1，故f(x)在(0，1)，1a，+∞上单调递增，在1，1a上单调递减.因为f(1)=a-1<0，所以f1a<f(1)<0，当x→+∞时，f(x)→+∞，由零点存在定理可知f(x)在1a，+∞上必有一个零点，即0<a<1满足条件.综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为(0，+∞).题型三 构造函数法研究函数零点5.已知函数f(x)=e x-1+ax(a∈R).(1)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)-ax+1e a=ln x+a有两个不同的实数解，求a的取值范围.解：(1)由题意，得f′(x)=e x+a.若a≥-1，则当x∈[0，+∞)时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，∴当x∈[0，+∞)时，f(x)≥f(0)=0，符合题意；若a<-1，令f′(x)<0，得x<ln(-a)，∴f(x)在(0，ln(-a))上单调递减，∴当x∈(0，ln(-a))时，f(x)<f(0)=0，不符合题意.综上，a的取值范围为[-1，+∞).(2)法一 由f(x)-ax+1e a=ln x+a，得e x-a=ln x+a.令e x-a=t，则x-a=ln t，ln x+a=t，∴x+ln x=t+ln t.易知y=x+ln x在(0，+∞)上单调递增，∴t=x，得a=x-ln x.则原问题可转化为方程a=x-ln x有两个不同的实数解.令φ(x)=x-ln x(x>0)，则φ′(x)=x-1 x，令φ′(x)<0，得0<x<1；令φ′(x)>0，得x>1，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴φ(x)min=φ(1)=1，∴a≥1.当a=1时，易知方程1=x-ln x只有一个实数解x=1，不符合题意.下证当a>1时，a=x-ln x有两个不同的实数解.令g(x)=x-ln x-a(a>1)，则g(x)=φ(x)-a，易知g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.∵g(e-a)=e-a>0，g(1)=1-a<0，∴g(x)在(e-a，1)上有一个零点.易知g(e a)=e a-2a，令h(a)=e a-2a，则当a>1时，h′(a)=e a-2>0，∴h(a)在(1，+∞)上单调递增，∴当a >1时，h (a )>h (1)=e -2>0，即g (e a )=e a -2a >0，∴g (x )在(1，e a )上有一个零点.∴当a >1时，a =x -ln x 有两个不同的实数解.综上，a 的取值范围为(1，+∞).法二 由f (x )-ax +1e a=ln x +a ，得e x =e a (ln x +a )，∴xe x =xe a (ln x +a )，即xe x =e a +ln x (ln x +a ).令u (x )=xe x ，则有u (x )=u (a +ln x ).当x >0时，u ′(x )=(x +1)e x >0，∴u (x )=xe x 在(0，+∞)上单调递增，∴x =a +ln x ，即a =x -ln x .下同法一.感悟提升 涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.6.(2021·全国甲卷节选)已知a >0且a ≠1，函数f (x )=x a ax (x >0).若曲线y =f (x )与直线y =1有且仅有两个交点，求a 的取值范围.解：曲线y =f (x )与直线y =1有且仅有两个交点，可转化为方程x a a x =1(x >0)有两个不同的解，即方程ln x x =ln a a 有两个不同的解.设g (x )=ln x x (x >0)，则g ′(x )=1-ln x x 2(x >0)，令g ′(x )=1-ln x x 2=0，得x =e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，故g (x )max =g (e )=1e ，且当x >e 时，g (x )∈0，1e ，又g (1)=0，所以0<ln a a <1e，所以a >1且a ≠e ，故a 的取值范围为(1，e )∪(e ，+∞).【A 级 基础巩固】7.已知函数f (x )=x -ae x ，a ∈R ，讨论函数f (x )的零点个数.解：f (x )=0等价于x -ae x =0，即x ex =a .设h (x )=x e x ，则h ′(x )=1-x ex ，当x <1时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x >1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴h (x )max =h (1)=1e.又当x <0时，h (x )<0；当x >0时，h (x )>0，且x →+∞时，h (x )→0，∴可画出h (x )大致图象，如图所示.∴当a ≤0或a =1e时，f (x )在R 上有唯一零点；当a >1e 时，f (x )在R 上无零点；当0<a <1e 时，f (x )在R 上有两个零点.8.(2024·青岛调研)已知函数f (x )=ln x +ax x，a ∈R .(1)若a =0，求f (x )的最大值；(2)若0<a <1，求证：f (x )有且只有一个零点.(1)解：若a =0，则f (x )=ln x x ，其定义域为(0，+∞)，∴f ′(x )=1-ln x x 2，由f ′(x )=0，得x =e ，∴当0<x <e 时，f ′(x )>0；当x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，e )上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减，∴f (x )max =f (e )=1e.(2)证明 f ′(x )=1x +a x -ln x -ax x 2=1-ln x x 2，由(1)知，f (x )在(0，e )上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减，∵0<a <1，∴当x >e 时，f (x )=ln x +ax x =a +ln x x>0，故f (x )在(e ，+∞)上无零点；当0<x <e 时，f (x )=ln x +ax x ，∵f 1e =a -e <0，f (e )=a +1e>0，且f (x )在(0，e )上单调递增，∴f (x )在(0，e )上有且只有一个零点，综上，当0<a <1时，f (x )有且只有一个零点.9.(2024·太原模拟节选)已知函数f (x )=xe x -x -1，讨论方程f (x )=ln x +m -2的实根个数.解；由f (x )=ln x +m -2，得xe x -x -ln x +1=m ，x >0，令h (x )=xe x -x -ln x +1，则h ′(x )=e x +xe x-1-1x =(x +1)(xe x -1)x(x >0)，令m (x )=xe x -1(x >0)，则m ′(x )=(x +1)·e x >0，∴m (x )在(0，+∞)上单调递增，又m 12 =e 2-1<0，m (1)=e -1>0，∴存在x 0∈12，1，使得m (x 0)=0，即e x 0=1x 0，从而ln x 0=-x 0.当x ∈(0，x 0)时，m (x )<0，h ′(x )<0，则h (x )单调递减；当x ∈(x 0，+∞)时，m (x )>0，h ′(x )>0，则h (x )单调递增；∴h (x )min =h (x 0)=x 0e x 0-x 0-ln x 0+1=x 0·1x 0-x 0+x 0+1=2，又易知，当x →0+时，h (x )→+∞；当x →+∞时，h (x )→+∞.∴当m <2时，方程f (x )=ln x +m -2没有实根；当m =2时，方程f (x )=ln x +m -2有1个实根；当m >2时，方程f (x )=ln x +m -2有2个实根.【B 级 能力提升】10.(2024·郑州模拟节选)已知函数f (x )=ln (x +1)-x +1，g (x )=ae x -x +ln a ，若函数F (x )=f (x )-g (x )有两个零点，求实数a 的取值范围.解：函数F (x )=f (x )-g (x )有两个零点，即f (x )=g (x )有两个实根，即ln (x +1)-x +1=ae x -x +ln a 有两个实根，即e x +ln a +x +ln a =ln (x +1)+x +1有两个实根，即e x +ln a +x +ln a =e ln (x +1)+ln (x +1)有两个实根.设函数h (x )=e x +x ，则e x +ln a +x +ln a =e ln (x +1)+ln (x +1)⇔h (x +ln a )=h (ln (x +1)).因为h ′(x )=e x +1>0恒成立，所以h (x )=e x +x 在R 上单调递增，所以x +ln a =ln (x +1)，x >-1，所以要使F (x )有两个零点，只需ln a =ln (x +1)-x 有两个实根.设M (x )=ln (x +1)-x ，则M ′(x )=-x x +1.由M ′(x )=-x x +1>0，得-1<x <0；由M ′(x )=-x x +1<0，得x >0，故函数M(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减区间为(0，+∞).故函数M(x)在x=0处取得极大值，也是最大值，且M(x)max=M(0)=0.易知当x→-1时，M(x)→-∞；当x→+∞时，M(x)→-∞.故要使ln a=ln(x+1)-x有两个实根，只需ln a<M(x)max=0，解得0<a<1.所以实数a的取值范围是(0，1).。
导数专题一零点问题1------导数专题超级经典讲义
导数专题四、零点问题【知识结构】【知识点】一、零点的定义：定义：一般地，如果函数)(x f y =在x α=处有实数根，即()0f α=，则α叫做这个函数()f x 的零点.1.函数值为零时x 的值；2.函数为零时，方程的解；3.函数的图象与x 轴交点；4.两个函数的交点；二、零点问题主要包括的题型包括： 1.是否有零点； 2.判断零点个数； 3.已知零点求参数 三、函数零点的判定：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点【考点分类】考点一、分类讨论求零点个数；【例1-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数;(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.不等式放缩：，0)1(2ln 2>+-+x a xx a 即可。
取a x a x x x x a x x a a x x -=>--∈>+-+-∴<<--≤,02)1,0(,0)1(2)1(,021,1ln 22，02)1231()123)(ln()1(2)ln()(22>=++-->++-=+++-=-a aa a aa a a a a a a a f)22(ln )2(1>-=>a f x 时，）内各有一个零点。
专题05 利用导数研究函数零点问题 (解析版)
导数及其应用专题五：利用导数研究函数零点问题一、知识储备1、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 二、例题讲解1．（2022·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数()e e x x f x x =+. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）讨论函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数.【答案】（1）单调递减区间是(,2)-∞-，单调递增区间是(2,)-+∞，极小值为21e -，无极大值；（2）详见解析. 【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，进而求得极值.（2）由（1）画出()f x 大致图象，由此对a 进行分类讨论，求得()g x 的零点个数. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且()(2)e x f x x '=+， 令()0f x '=得2x =-，则()'f x ，()f x 的变化情况如下表示：(2,)-+∞.当2x =-，()f x 有极小值为21(2)e f -=-，无极大值. （2）令()0f x =有1x =-：当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >，且()f x 经过212,e A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)B -，(0,1)C .当x →-∞，与一次函数相比，指数函数e x y -=增长更快，从而1()0e xx f x -+=→；当x →+∞时，()f x →+∞，()f x '→+∞，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数为()y f x =与y a =的交点个数. 当2x =-时，()f x 有极小值21(2)e f -=-. ∴关于函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点个数有如下结论： 当21e a <-时，零点的个数为0个； 当21e a =-或0a ≥，零点的个数为1个； 当210ea -<<时，零点的个数为2个. 【点睛】求解含参数零点问题，可利用分离常数法，结合函数图象进行求解.感悟升华（核心秘籍）本题讨论()()()g x f x a a =-∈R 零点的个数，将问题分解为()y f x =与y a =交点的个数，注意在利用导函数求()f x 单调性，极值后，画出草图，容易出错，本题利用极限x →-∞时，()0f x →，从而将草图画的更准确；三、实战练习1．（2022·河南高三开学考试（文））若函数()34f x ax bx =+－，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的递减区间；（2）若关于x 的方程()0f x k -=有一个零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）递减区间为()2,2-；（2）428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）对函数进行求导，利用()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩，解方程即可得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，对函数求导，根据导数的性质列表，即可得答案；（2）作出函数的图象，直线与函数图象需有1个交点，即可得答案； 【详解】（1）()23f x ax b '=-，由题意知()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩解得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故所求的解析式为()31443f x x x =-+，可得()()()2422f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，得2x =或2x =-，由此可得所以函数的递减区间为2,2-.(2)由(1)知，得到当2x <-或2x >时， ()f x 为增函数; 当22x -<<时， ()f x 为减函数，∴函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当43k <-或283k >时， ()f x 与y k =有一个交点，所以实数k 的取值范围为428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：根据函数的单调性做出该函数的大致图像，进而利用数形结合求解，考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．（2022·陕西西安中学高三月考（理））已知函数()()1xf x e ax a R =--∈.（1）试讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()()ln 1ln xg x e x =--，且()()f g x f x <⎡⎤⎣⎦在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）(],1-∞【分析】（1）通过求解函数的单调性，然后根据零点存在定理，通过讨论求解得出函数零点的个数；（2）根据（1）中结论，得到函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，将不等式转换为自变量的比较，最后得出结论． 【详解】解：（1）根据题意，可得()x f x e a '=-，则有：①若0a ，则()0x f x e a '=->，此时可得函数()f x 在R 上单调递增， 又因为(0)0f =，所以函数只有一个零点； ②若0a >，令()0f x '=，则有ln x a =，所以()0ln f x x a '>⇒>，此时函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增；()0ln f x x a '<⇒<，此时函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；即()(ln )1ln min f x f a a a a ==--，则有：()i 当ln 01a a =⇒=时，则()0f x ，此时函数()f x 只有一个零点；()ii 当ln 0a ≠时，即1a ≠时，则(ln )(0)0f a f <=，又因为x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 根据零点存在定理可得，此时函数()f x 在R 上有两个零点． 综上可得，当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）下面证明：0x ∀>，有()0g x x <<，先证：0x ∀>，有()0g x >，由（1）可知当1a =时，()()00min f x f ==，即当0x >时，1x e x ->，故0x ∀>，()()()1ln 1ln ln ln10x xe g x e x g x x ⎛⎫-=--==>= ⎪⎝⎭，再证0x ∀>，()g x x <；要证0x ∀>，()g x x <，只需证明0x ∀>，1x xe e x-<，即证0x ∀>，1x x e xe -<，即证0x ∀>，10x x xe e -+> 令()1(0)x x H x xe e x =-+>()0x H x xe '=>在(0,)+∞上恒成立，即得函数()H x 在(0,)+∞上单调递增，故有()(0)0H x H >=，即0x ∀>，10x x xe e -+>恒成立，即0x ∀>，有()0g x x <<，当1a ≤时，由（1）得，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则由上结论可知，[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，符合题意；当1a >时，由（1）得，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 此时当0ln x a <<时，0()ln [()]()g x x a f g x f x <<<⇔>，不合题意， 综上可得，1a ，即(],1a ∈-∞． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）()0,1. 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）把()f x 有两个零点，转化为2ln x xa x +=有两个解，令()2ln x x h x x+=，二次求导后得到函数()h x 的单调性和极值，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）若()f x 有两个零点，即2ln 0ax x x --=有两个解，2ln x x a x +=．设()2ln x x h x x +=，()312ln x h x xx '-=-， 设()12ln F x x x =--，因为函数()F x 在()0,∞+上单调递减，且()10F =， 所以当01x <<时，()0F x >，()0h x '>，当1x >时，()0F x <，()0h x '<． 以函数()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 且 x →+∞时，()0h x →，()11h =， 所以01a <<．即实数a 的取值范围为()0,1.4．（2022·沙坪坝·重庆南开中学）已知函数()e 1xf x x a -=++（R a ∈）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增；（2）()20,e -.【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的符号，进而得到函数的单调区间；（2）由（1）可以判断0a >，根据（1）可知()()min ln 0f x f a =<，进而根据零点存在定理结合放缩法得到答案. 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()1e xf x a -'=-，①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时，令()0f x '=得ln x a =， 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）由（1）可知，0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意.0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，因为函数有2个零点，所以()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=.记()()e 0x g x x x =-<，则()e 1xg x '=-，所以(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()010g x g >=>，则e xx >，于是2e2x x ->-，则x <0时，2e 4xx ->. 所以当x <0时，()214ax f x x >++，限定1x <-，则()()212844ax f x x x ax >+=+， 所以当1x <-且8x a<-时，()0f x >.于是，若函数有2个零点，则()20,e a -∈.【点睛】在“()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=”这一步之后，另一个特值不太好找，这时候需要利用e xx >得到2e2x x->-，进而根据放缩法得到结论. 5．（2022·赣州市第十四中学高三月考（文））已知函数()e 2xf x x =+. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()()()g x f x ax a =-∈R ，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数；（2）⎛⎫+∞⎪⎪⎭. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析可知，直线y a =与函数()22xeh x x x=+（0x ≠且2x ≠-）的图象有三个交点，利用导数分析函数()22xe h x x x=+的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()e 2xf x x =+的定义域为{}2x x ≠-，且()()()212x e x f x x +'=+，则当2x <-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当21x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，综上可得：()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数； （2）令函数()()0g x f x ax =-=，因为0x =不是方程的解，所以可得22xe a x x=+，构造函数()22xeh x x x =+（0x ≠且2x ≠-），则()()()22222x e x h x x x -'=+，由()0h x '=可得x =作出函数()h x 的图象如下图所示：由图可知，当a >时，函数y a =与函数()y h x =的图象有三个不同的交点，因此实数a 的取值范围是⎛⎫+∞⎪⎪⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6．（2022·天津静海一中高三月考）已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）-9，单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据(1)0f '-=即可求得a 的值，利用导函数求解单调区间；（2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，转化为()g x 有三个不同的零点.【详解】（1）由已知得2()36f x x x a '=-+， ∵在1x =-处的切线与x 轴平行 ∴(1)0f '-=，解得9a =-．这时2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'--- 由()0f x '>，解得3x >或1x <-； 由()0f x '<，解13x ．∴()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-． （2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，则原题意等价于()g x 图象与x 轴有三个交点． ∵2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--， ∴由()0g x '>，解得2x >或1x <； 由()0g x '<，解得12x <<．∴()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-；()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-．依题意得10210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<．故b 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．7．（2022·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R ．（1）当1a =时，求()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）3()=ln 24min f x +，()2max f x =；（2）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）当1a =时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）由()()0g x f x x =-=，分离参数得2ln ()x a h x x ==，根据函数2ln ()xh x x =得单调性作图，结合图像即可得出答案. 【详解】解：（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-，(21)(1)()x x f x x-+'=，∴()f x 在11[,)32单调递减，在1(,1]2单调递增，11114ln ln 339339f ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，()414112ln 993f e f ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，∴13()()ln 224min f x f ==+，()(1)2max f x f ==.（2）()()0g x f x x =-=2ln ()x a h x x ⇔==，则312ln ()xh x x -'=，∴()h x在单调递增，在)+∞单调递减，12h e=，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →， 作出函数2ln ()x h x x =和y a=得图像， ∴由图象可得，1(0,)2a e∈.8．（2022·全国高三专题练习）已知函数()ln f x a x bx =+的图象在点(1,3)-处的切线方程为21y x =--. （1）若对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，求实数k 的范围. 【答案】（1）[ln31--，)+∞；（2）3(ln2,0)4-.【分析】（1）()af x b x'=+，(0)x >，根据函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--．可得f '（1）2=-，f （1）3=-，解得a ，b ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数m 的取值范围． （2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数k 的取值范围．【详解】解：（1）()a f x b x'=+，(0)x >.函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--. f '∴（1）2=-，f （1）3=-，∴23a b b +=-⎧⎨=-⎩，解得3b =-，1a =.()ln 3f x x x ∴=-.13()13()3x f x x x --=-='，1[,)3x ∈+∞，()0f x '∴.∴当13x =时，函数()f x 取得最大值，1()ln313f =--.对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，所以()max m f x ，1[,)3x ∈+∞.ln31m ∴--.∴实数m 的取值范围是[ln31--，)+∞.（2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，∴1(21)(1)()23x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，解得12x =，1. 列表如下：由表格可知：当1x =时，函数()f x 取得极小值g （1）k =；当2x =时，函数()g x 取得极大值13()ln224g k =-++.要满足函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点， 3ln2040k k ⎧-++>⎪⎨⎪<⎩， 解得3ln204k -<<， 则实数k 的取值范围3(ln2,0)4-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力于计算能力，属于难题．9．（2022·全国高三开学考试）已知函数()()()21102f x x a x x =-+>. （1）若()()ln g x f x a x =+，讨论函数()g x 的单调性；（2）已知()()()2ln 222m x f x x x a x a =-++-+，若()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）求出导函数，对a 进行分类讨论：①0a ≤；②01a <<；③a =1；④a >1，利用导数研究单调性. （2）把()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点转化为关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭利用导数判断单调性，求出值域，即可求出a 的范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,+∞)，()()()()11x x a a f x x a x x--'=-++=. ①当0a ≤时，令()0f x '<，得到01x <<；令()0f x '>，得到1x >，此时()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当01a <<时，令()0f x '<，得到1<<a x ；令()0f x '>，得到0x a <<或1x >，此时()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数；③当a =1时,显然()0f x '≥恒成立，此时()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时,令()0f x '<，得到1x a <<；令()0f x '>，得到01x <<或x a >.此时()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.综上：①当0a ≤时， ()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当01a <<时， ()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数； ③当a =1时，()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时，()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.（2）()()()22ln 222ln 22m x f x x x a x a x ax x x a =-++-+=---+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，即关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭则()()2232ln 4=2x x x h x x +--'+， 令()2132ln 4,2p x x x x x ⎡⎫=+--∈+∞⎪⎢⎣⎭，，则()()()212x x p x x-+'=，显然()0p x '≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立,故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.因为p (1)=0，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，有()0p x <，即()0h x '<所以()h x 单调递减；当()1x ∈+∞，，有()0p x >，即()0h x '>所以()h x 单调递增； 因为()()9ln 24=,1,0111423ln 21532h h h h ⎛⎫⎛⎫+==-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 10．（2022·贵州贵阳一中（文））已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[0,1]上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）若函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 有1个零点，求b 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）76b <-或103b >．【分析】（1）利用导数分0a ，01a <<，1a =和1a >四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a 的值； （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，可得3211232b x x x =-++，构造函数3211()232h x x x x =-++，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案 【详解】解：（1）由3211()32f x x ax =-，2()()f x x ax x x a =--'=，当0a 时，()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0，所以()f x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)0f x f ==，不合题意；当01a <<时，则[0,]x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； [,1]x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-，31166a -=-，所以1a =，不满足01a <<；当1a =时，在[0,1]上，()0f x '且不恒为0，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f ==-=-，适合题意；当1a >时，在[0,1]上，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f a ==-=-，所以1a =，不满足1a >；综上，1a =． （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，所以3211232b x x x =-++，令3211()232h x x x x =-++，则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+'，所以(2)0,(1)0h h ''=-=，且当1x <-时，()0h x '<； 当12x -<<时，()0h x '>；当2x >时，()0h x '<，所以 117()(1)2326h x h =-=+-=-极小， 1110()(2)844323h x h ==-⨯+⨯+=极大，如图：函数()g x 有1个零点，所以76b <-或103b >．。
【数学】利用导数研究函数的零点问题讲评课件
答案见解析
【分析】将函数 的零点转个数化为 =
−
与
=
图像交点个
数，利用导数求得 的单调性和极值，进而求得函数 的零点个
数.
【详解】令 = ，得 = − ，
当 = 时， = − 无解，∴ 无零点，
当 ≠
时，
第10讲 利用导数研究函数零点问题
知识点一 讨论函数的零点问题
知识点二 根据函数的零点求参数的取值
知识点一 讨论函数的零点问题
例1
已知函数f x = ex + 2f ′ 0 x − cosx.
(1)求f x 的解析式；
【答案】 = − −
【分析】对函数求导后令 = 可得 ′ = −，即可求得
2e
a =______
【分析】常数分离得
=
= 有唯一的解，求出 的单调性与
极值，由 有且仅有一个零点可得 = .
【详解】当 = 时， = ≥ 恒成立， 在[, ]上无零点.
当 ≠ 时，即有 = = 在[, ]上有且仅有一个解.
即 ′ 在 , +∞ 上单调递增.
又 ′ = −＜， ′ = + − ＞，
根据零点存在定理可知∃ ∈ , ，使得 ′ = .
当��＜＜ 时， ′ ＜，所以 在 , 上单调递减；
当＞ 时， ′ ＞，所以 在 , +∞ 上单调递增.
上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为 、 ，且 ＜ ，
−
由图可知，当 ＜＜ 或 ＜＜时，＞ ，此时，
导数与函数的零点问题解析
导数与函数的零点问题解析在数学中，导数和函数的零点是非常重要的概念和问题。
导数可以描述函数的变化率，而函数的零点则表示函数在某一点上取值为零的情况。
在本文中，我们将对导数与函数的零点进行详细的解析和讨论。
一、导数的定义与作用导数是描述函数变化率的指标，可以用来衡量函数在某一点上的斜率或变化速度。
它定义为函数在某一点上的极限，即导数等于函数在该点处的切线斜率。
对于一个函数f(x)，它在点x处的导数可以通过以下公式计算得出：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h导数的概念对于理解函数的性质和行为非常重要，它可以帮助我们分析函数的增减性、凸凹性以及局部极值等特征。
通过导数，我们可以得出函数在各个点的斜率，从而推断函数的曲线形状和趋势。
二、函数的零点与解析函数的零点是指函数在某个点上的取值为零的情况。
换句话说，函数的零点是使得函数等于零的自变量的值。
寻找函数的零点在数学和实际问题中都具有重要的意义。
为了找到函数的零点，我们可以利用导数的概念和性质进行分析。
根据导数的定义，我们知道当函数在某一点的导数为零时，函数在该点可能存在极值或拐点。
因此，我们可以采用导数为零的点作为起点，通过求解函数的导数方程来找到函数的零点。
具体而言，我们可以按照以下步骤来解析函数的零点问题：1. 找到函数的导数方程。
2. 求解导数方程，得到导数为零的所有解。
3. 使用解析工具或数值逼近法，确定解的精确值或近似值。
4. 检验解是否满足函数为零的条件。
通过以上步骤，我们可以较为准确地求解函数的零点，从而揭示函数的性质和特征。
函数的零点问题在数学、经济、物理等领域具有广泛的应用，如寻找方程的根、求解最优化问题等。
三、解析与数值求解的比较在解析函数的零点问题时，我们依赖于函数的导数和解析工具的应用。
通过解析方法可以获得函数零点的精确解，这对于研究函数的性质和行为非常重要。
然而，对于一些复杂的函数和方程，解析求解可能变得非常困难甚至不可能。
导数及其应用讲导数与函数的零点
汇报人：日期:•导数概念•导数与函数零点•导数在几何中的应用目•导数在物理中的应用•导数的实际应用录导数概念函数f在x=x0点的导数是指当h趋近于0时，f(x0+h)与f(x0)之差与h的商的极限。
函数在某一点的导数描述了函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义导数的几何意义函数在某一点的导数1 2 3若函数f和g可导，则其和、差、积、商的导数等于各自导数的和、差、积、商。
线性性质若函数f和g可导，则f乘以g的导数为f的导数乘以g加上g的导数乘以f。
乘积法则幂函数的导数是幂函数的系数与自然对数的和。
幂函数的导数导数的运算性质导数与函数零点函数图像与x轴交点的横坐标称为函数的零点。
零点函数的零点实际上就是对应方程的根。
函数的零点与方程的根函数在零点两侧的函数值异号。
零点存在的条件函数零点的定义利用导数找函数零点导数与单调性函数的导数可以判断函数的单调性，如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0，函数单调递减。
找零点的步骤第一步，求函数的导数；第二步，根据导数判断函数的单调性；第三步，求出函数与x轴的交点，即函数的零点。
定理内容如果函数在区间[a,b]上连续，且在(a,b)上有导数，那么函数在(a,b)上至少有一个零点。
定理证明利用中值定理，当f'(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)上有导数时，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0，从而证明了定理。
函数零点存在性定理导数在几何中的应用导数可以用来表示函数图像在某一点的切线斜率。
当函数在某一点处可导时，函数图像在该点的切线斜率等于该点的导数值。
切线斜率给定曲线上的一个点以及该点的切线斜率，可以得出该点的切线方程。
切线方程在几何上描述了曲线在这一点处的切线。
切线方程切线斜率与曲线在某点的切线方程导数小于0的区间，函数值单调递减；导数大于0的区间，函数值单调递增。
极值点是导数为0的点。
最值在一定区间内，函数值有最大值和最小值。
最值点可能是区间的端点或是极值点。
函数零点培训讲义
画出)图象可用到以下方法：
图像变换技巧训练
C
C
A
函数题型分类讲解 1.求函数零点及判断零点所在区间
C
B 3
A
4
• 总结：通过把函数转换为两个熟悉的函数， 通过画图找出交点，代数判断点所在范围 或者零点之间关系。
变式训练、当堂检测
C
B
C
4
函数题型分类讲解 2.判断零点及方程根个数
B
A
C
C
变式训练、当堂检测
A C
C
A
D 3个 C
A
A
①③④
函数题型分类讲解 3.已知零点个数，求参数范围
【答案】 0 k 1 或 1 k 2
答案：B
B
C
A
(0，1)
函数题型分类讲解 4.已知存在零点，求参数范围
函数题型分类讲解 4.与导数大题结合
函数零点的解题策略
•
• • • • • • • • • • •
函数零点在高考中主要以选择、填空为主，在导数大题中也 会出现，考查学生对整个函数知识点的综合运用，有一定的 难度。 一、知识梳理 1．函数的零点： 使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． (1)函数的零点⇔方程的根； (2)零点存在理论：在区间[a，b]上连续；f(a)· f(b)<0. 2．常见求解方法 (1)直接解方程，如一元二次方程； (2)用二分法求方程的近似解； (3)一元二次方程实根分布规律； (4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点． 画出y＝f(x)图象可用到以下方法：
函数零点与导数
函数零点与导数函数零点与导数是数学中的基本概念之一，深入理解和运用这个概念可以为我们解决一些实际问题提供帮助。
本文将围绕函数零点与导数展开讨论，分步骤阐述它们的定义、关系以及应用。
一、函数零点的定义一个函数的零点是指函数在某一点上取值为0的点。
可以简单地将其理解为在函数图像上与X轴相交的点。
对于一个函数f(x)，其零点就是满足f(x)=0的x值。
二、导数的定义导数是用来描述函数斜率变化率的概念。
在微积分中，导数指的是函数在某一点上的瞬时变化率，可以理解为函数在某一点上的切线斜率。
具体地，我们可以使用以下公式求得一个函数f(x)在某一点x处的导数f’(x)：f’(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h其中，h表示x的增量。
求导后我们可以得到函数在某一点上的切线斜率。
三、函数零点与导数的关系函数的零点与导数之间存在着密切的关系。
在某一点处的零点是函数图像与X轴相交的点，因此在这个点处的函数值必然为0。
而在这一点附近，如果函数的值一直为正，说明该点左侧的曲线是上升的；反之，如果函数的值一直为负，说明该点左侧的曲线是下降的。
因此，在函数的零点处，函数左侧与X轴的夹角为45度，这也就是说在这个点上的切线斜率为0。
这意味着什么呢？如果我们在求函数零点的同时也求出了函数在该点处的导数，那么我们就可以根据导数的符号来确定函数在该点附近的斜率变化情况。
如果导数为正，说明函数在该点左侧的曲线上升，在该点右侧下降；反之，如果导数为负，说明函数在该点左侧的曲线下降，在该点右侧上升。
如果导数为0，则说明函数在该点处取到了极值。
四、函数零点与导数的应用在实际问题中，函数零点与导数常常被用来解决一些实际问题。
首先，函数的零点可以用来解方程。
对于一个已知的函数f(x)，如果我们想求它的零点，我们只需要将f(x)置为0，然后解方程即可。
例如，如果我们想求出函数f(x)=x2-2x-3的零点，我们只需要将其置为0，即x2-2x-3=0，然后解得x=3或x=-1。
导数专题一零点问题1------导数专题超级经典讲义
导数专题一零点问题1------导数专题超级经典讲义零点的定义：一般地，如果函数y=f(x)在x=α处有实数根，即f(α)=0，则α叫做这个函数f(x)的零点。
零点的判定：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。
零点问题主要包括的题型包括：1.是否有零点；2.判断零点个数；3.已知零点求参数。
分类讨论求零点个数是零点问题的一个考点。
下面以一个例题来说明。
例题：已知函数f(x)=alnx-(a+1)x，a∈R。
当a≤1时，讨论函数f(x)的零点个数。
解析：首先求出f'(x)=-a/(x^2)-a/(xlna)，然后分类讨论。
当a≤0时，f'(x)0，无零点。
当-10，在x∈(0,1)和(1,2)内各有一个零点。
综上所述，当a≤0时，f(x)有一个零点；当a=-1时，f(x)有一个零点；当-1<a<0时，f(x)有两个零点；当0<a≤1时，f(x)有两个零点。
已知函数 $f(x)= (2k-1)\ln x+\frac{2x}{k+2},k\in\mathbb{R}$，以下进行分析：首先，由于 $x>0$，所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $x\in (0,+\infty)$。
接着，我们来看函数 $f(x)$ 的零点情况：当 $k=1$ 时，$f(x)=\ln x+2$，很明显只有一个零点$x=e^{-2}$。
当 $k=e$ 时，$f(x)=(2e-1)\ln x+ \frac{2x}{e+2}$，$f(x)$ 不存在零点，因为 $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$，$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$，且 $f(x)$ 在$(0,+\infty)$ 上单调递增。
当 $k\neq 1,e$ 时，我们可以求出 $f(x)$ 的导函数为$f'(x)=\frac{2k-1}{x}+\frac{2}{(k+2)x^2}$，令 $f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，代入 $f(x)$ 可以得到$f(\frac{1}{2})=\frac{2k-1}{2}\ln \frac{1}{2}+\frac{1}{k+2}$，因此当 $01$ 时，$f(x)$ 不存在零点。
导数及其应用讲导数与函数的零点课件pptx
当函数存在多重根时，导数可能不存在，需要采用特殊的方法进行求解。
导数在多学科的交叉应用
物理应用
经济应用
计算机科学
导数在物理学中有广泛的应用，如速 度、加速度、电磁场等物理量的计算 都涉及到导数的概念。
导数在经济分析中也有重要应用，如 边际分析、弹性分析等都需要用到导 数的概念。
导数在计算机图形学、机器学习等领 域也有广泛的应用，如梯度下降算法 等涉及到导数的计算。
导数的未来发展趋势与挑战
高维导数
随着高维数据的不断增加，高维导数的计算成为了一 个重要的研究方向，需要研究有效的算法和软件实现 。
人工智能与导数
人工智能的发展也为导数的发展提供了新的机遇和挑 战，如采用神经网络等方法进行导数的计算等。
06
复习与思考题
导数的定义与性质方面的题目
01
02
总结词：掌握导数的定 义和性质
详细描述
03
04
05
1. 导数的定义：导数是 函数在某一点的变化率 ，反映了函数在这一点 附近的局部变化趋势。
2. 导数的性质：导数具 有一些重要性质，如单 调性、奇偶性、周期性 等，这些性质在研究函 数的性质和优化问题中 具有重要作用。
3. 导数的几何意义：导 数在几何上可以表示函 数曲线在某一点的切线 斜率，切线斜率的变化 趋势反映了曲线在该点 的变化趋势。
导数在寻找函数零点中的应用
导数在寻找单调递增区间内的零点中的应用
利用导数判断函数的单调性，从而确定零点所在的区间，再通过求导数来确定零点的具体位置。
导数在寻找单调递减区间内的零点中的应用
同样利用导数判断函数的单调性，从而确定零点所在的区间，再通过求导数来确定零点的具体位置。
导数的应用之零点问题辅导讲义-高三数学二轮专题复习
讲义 学员姓名： 年 级： 课 时 数：3 辅导科目：数学 学科教师： 讲义 授课主题
导数的应用：零点问题 教学目标
学会解决零点问题 教学重难点 含参数的零点问题的解决方案
教学内容
知识回顾
已知函数),()(2
3R b a b ax x x f ∈++= （1）试讨论)(x f 的单调性；
的a 的取值范围也可以不是题目中给出的范围，注意这个恰字就说明了必须要进行最后的验证。
例.已知函数32()f x x ax b =++
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若b c a =-，当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22
-∞-⋃⋃+∞，求c 的
值。
1.已知函数f(x)=ax 3+bx 2−3x 在x =±1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若过点A(1,m)(m ≠−2)可作曲线y =f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围．
2.若函数f(x)=ax 3−bx +4，当x =2时，函数f(x)有极值−43．
(1)求函数的解析式；(2)求函数的极值；
(3)若关于x 的方程f(x)=k 有三个零点，求实数k 的取值范围．
3.已知函数2()1x f x e ax bx =---
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；
（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。
1.设函数f(x)=−x 3+ax 2+bx +c 的导数满足，．。
《函数的零点》 讲义
《函数的零点》讲义一、函数零点的定义在数学中，函数的零点是一个非常重要的概念。
那什么是函数的零点呢？简单来说，如果函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ a 处的函数值 f(a) ＝ 0，那么x ＝ a 就叫做函数 y ＝ f(x) 的零点。
比如说，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，也就是 x 1 ＝ 0，解得 x ＝ 1。
所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
再比如函数 f(x) ＝ x² 4，令 f(x) ＝ 0，即 x² 4 ＝ 0，通过求解可得x ＝ 2 或 x ＝－2，所以 2 和－2 都是函数 f(x) ＝ x² 4 的零点。
二、函数零点存在性定理有了函数零点的定义，我们来看看函数零点存在性定理。
如果函数 y ＝ f(x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b) ＜ 0，那么函数 y ＝ f(x) 在区间（a, b) 内至少有一个零点。
这个定理非常有用，它为我们判断函数在某个区间内是否存在零点提供了依据。
比如说，函数 f(x) ＝ x² 2x 3 在区间 1, 4 上，f(1) ＝－4，f(4) ＝ 5，因为 f(1)·f(4) ＜ 0，所以函数在区间（1, 4) 内至少有一个零点。
但要注意，函数在区间内有零点，不一定只有一个零点。
三、函数零点与方程根的关系函数的零点与方程的根有着密切的关系。
方程 f(x) ＝ 0 的根就是函数 y ＝ f(x) 的零点。
例如，方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0 的根为 x ＝ 2 和 x ＝ 3，这两个值就是函数 f(x) ＝ x² 5x ＋ 6 的零点。
反过来，如果知道函数的零点，也就得到了相应方程的根。
通过求函数的零点来解方程，是一种重要的数学方法。
四、求函数零点的方法接下来，我们看看怎么求函数的零点。
第5讲 第3课时 利用导数研究函数的零点
第3课时利用导数研究函数的零点命题解读函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现.数形结合法研究函数的零点例1已知函数f (x )＝ln x －kx 3＋x 2恰有两个零点，求实数k 的取值范围.解：法一：由题知，方程ln x －kx 3＋x 2＝0，即ln x x 2＝kx －1恰有两个解，设h (x )＝ln x x 2，则函数h (x )的图象与直线y ＝kx －1有两个交点.h ′(x )＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3，当0<x <e 时，h ′(x )>0，当x >e 时，h ′(x )<0，∴h (x )在区间(0，e)上单调递增，在区间(e ，＋∞)上单调递减，∴h (x )max ＝h (e)＝12e，易知h (1)＝0，当x →0＋时，h (x )→－∞，当x→＋∞时，h (x )→0，作出函数h (x )的图象与直线y ＝kx －1如图所示.当直线y ＝kx －1与函数h (x )的图象相切时，设切点坐标为(x 0，ln x 0x 20)，则k ＝1－2ln x 0x 30＝ln x 0x 20＋1x 0，即3ln x 0＋x 20－1＝0，易得x 0＝1，∴当直线y ＝kx －1与函数h (x )的图象相切时，k ＝1.由图象知，当0<k <1时，直线y ＝kx －1与函数h (x )的图象恰有两个交点，即函数f (x )恰有两个零点，∴实数k 的取值范围为(0，1).法二：由题知，方程ln x －kx 3＋x 2＝0，即ln x x 3＋1x ＝k 恰有两个解，设g (x )＝ln x x 3＋1x，则函数g (x )的图象与直线y ＝k 有两个交点.g ′(x )＝1x ·x 3－3x 2ln x x 6－1x 2＝1－3ln x －x 2x 4，设m (x )＝1－3ln x －x 2，则m ′(x )＝－3x－2x <0，∴m (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，∵m (1)＝0，∴当0<x <1时，m (x )>0，即g ′(x )>0，当x >1时，m (x )<0，即g ′(x )<0，∴g (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝1，易知当x →0＋时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )的图象及直线y ＝k 如图所示.由图象知，当0<k <1时，函数g (x )的图象与直线y ＝k 恰有两个交点，即f (x )恰有两个零点，故实数k 的取值范围为(0，1).反思感悟数形结合法解决零点问题的思路(1)把函数的零点转化为直线与曲线的交点个数问题，利用图象求解.(2)若能分离参数，可将参数分离出来，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围.训练1已知函数f (x )＝e x －ax ＋2a ，a ∈R ，讨论函数f (x )的零点个数.解：令f (x )＝0，得e x ＝a (x －2)，当a ＝0时，e x ＝a (x －2)无解，∴f (x )无零点.当a ≠0时，1a ＝x －2ex ，令φ(x )＝x －2e x ，x ∈R ，∴φ′(x )＝3－x e x，当x ∈(－∞，3)时，φ′(x )>0；当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x )<0.∴φ(x )在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，且φ(x )max ＝φ(3)＝1e3，又x →＋∞时，φ(x )→0，x →－∞时，φ(x )→－∞，∴φ(x )的图象如图所示.当1a >1e3，即0<a <e 3时，f (x )无零点；当1a ＝1e3，即a ＝e 3时，f (x )有一个零点；当0<1a <1e3，即a >e 3时，f (x )有两个零点；当1a<0，即a <0时，f (x )有一个零点.综上所述，当a ∈[0，e 3)时，f (x )无零点；当a ∈(－∞，0)∪{e 3}时，f (x )有一个零点；当a ∈(e 3，＋∞)时，f (x )有两个零点.利用函数的性质研究函数的零点例2(2022·全国乙卷节选)已知函数f (x )＝ax －1x－(a ＋1)ln x ，若f (x )恰有一个零点，求a 的取值范围.解：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x 2－a ＋1x ＝（ax －1）（x －1）x 2.(ⅰ)当a ≤0时，ax －1<0恒成立，∴0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝a －1<0.此时f (x )无零点，不合题意.(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝1a，①当0<a <1时，1<1a，∴1<x <1a时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，0<x <1或x >1a时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在(0，1)f (x )的极大值为f (1)＝a －1<0，x →＋∞时，f (x )>0，∴f (x )恰有1个零点.②当a ＝1时，1＝1a，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝0，符合题意.③当a >1时，1a<1，f (x )(1，＋∞)减，f (x )的极小值为f (1)＝a －1>0，x →0时，f (x )→－∞，∴f (x )恰有1个零点.综上所述，a >0，即a 的取值范围为(0，＋∞).反思感悟利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.训练2已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1).证明：f (x )只有一个零点.证明：因为x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，当且仅当x ＝0时，g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增.故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点.又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点.综上，f (x )只有一个零点.构造函数法研究函数的零点例3(2021·全国甲卷节选)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝x a a x (a >0).若曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有且仅有两个交点，求a 的取值范围.解：曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有且仅有两个交点，可转化为方程x a a x ＝1(x >0)有两个不同的解，即方程ln x x ＝ln a a有两个不同的解.设g (x )＝ln x x(x >0)，则g ′(x )＝1－ln x x2(x >0)，令g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x >e 时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，故g (x )max ＝g (e)＝1e，且当x >e 时，g (x )又g (1)＝0，所以0<ln a a <1e，所以a >1且a ≠e ，即a 的取值范围为(1，e)∪(e ，＋∞).反思感悟涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.训练3已知函数f(x)＝x ln x－ax2(a∈R)，若f(x)在定义域内有2个零点，求a的取值范围.解：∵f(x)＝x ln x－ax2在定义域(0，＋∞)内有2个零点，∴y＝ln xx的图象与直线y＝a在(0，＋∞)上有2个不同的交点.令h(x)＝ln xx，x∈(0，＋∞)，∵h′(x)＝1－ln x x2，∴当x∈(0，e)时，h′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(e)＝1 e，又limx→0h(x)→－∞，limx→＋∞h(x)→0，∴a y＝ln xx的图象与直线y＝a在(0，＋∞)上有2个不同的交点，即a限时规范训练(二十三) 1.已知函数f(x)＝kx－ln x(k>0).(1)若k＝1，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值.解：(1)若k＝1，则f(x)＝x－ln x，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝1－1x，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1，∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞).(2)f(x)＝kx－ln x，f′(x)＝k－1x＝kx－1x(x>0，k>0).当0<x<1k时，f′(x)<0；当x>1k时，f′(x)>0.∴f(x)f(x)min＝1－ln1k，∵f(x)有且只有一个零点，∴1－ln 1k＝0，即k＝1e.2.已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R .若f (x )＝1有且仅有两个不相等实根，求实数a 的取值范围.解：由题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，ln x －ax ＋1＝1，即a ＝ln x x 有且仅有两个不相等实根，令g (x )＝ln x x ，h (x )＝a ，即g (x )与h (x )的图象有两个交点，g ′(x )＝1－ln x x 2，x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以函数g (x )的最大值为g (e)＝ln e e ＝1e，又因为x →0时，g (x )→－∞，x →＋∞时，g (x )→0，所以当a g (x )与h (x )的图象有两个交点，如图所示.所以实数a 3.已知函数f (x )＝ln x ＋ax x，a ∈R .(1)若a ＝0，求f (x )的最大值；(2)若0<a <1，求证：f (x )有且只有一个零点.解：(1)若a ＝0，则f (x )＝ln x x ，其定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－ln x x2，由f ′(x )＝0，得x ＝e ，∴当0<x <e 时，f ′(x )>0；当x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴f (x )max ＝f (e)＝1e .(2)证明：f′(x)＝1－ln xx2，由(1)知，f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∵0<a<1，∴当x>e时，f(x)＝ln x＋axx＝a＋ln xx>0，故f(x)在(e，＋∞)上无零点；当0<x<e时，f(x)＝ln x＋axx，∵a－e<0，f(e)＝a＋1e>0，且f(x)在(0，e)上单调递增，∴f(x)在(0，e)上有且只有一个零点，综上，f(x)有且只有一个零点.4.已知f(x)＝(x－1)e x－13ax3＋13a(a∈R).(1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当a≤e时，讨论函数f(x)零点的个数.解：(1)f(x)＝(x－1)e x－13ax3＋13a，则f′(x)＝x(e x－ax).∵函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝x(e x－ax)≥0在[0，＋∞)上恒成立，则e x－ax≥0，x≥0.当x＝0时，则1≥0，即a∈R；当x>0时，则a≤e x x，构建g(x)＝e xx (x>0)，则g′(x)＝（x－1）e xx2(x>0)，令g′(x)>0，则x>1，令g′(x)<0，则0<x<1，∴g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g(x)≥g(1)＝e，∴a≤e，综上所述，a≤e.即a的取值范围为(－∞，e].(2)f(x)＝(x－1)e x－13ax3＋13a＝(x－1)e x－13a（x2＋x＋1），令f(x)＝0，则x＝1或e x－13a(x2＋x＋1)＝0，对于e x－13a(x2＋x＋1)＝0，即e xx2＋x＋1＝13a，构建h(x)＝e xx2＋x＋1，则h′(x)＝x（x－1）e x （x2＋x＋1）2，令h′(x)>0，则x>1或x<0，令h′(x)<0，则0<x<1，∴h(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，h(0)＝1，h(1)＝e3且h(x)>0，当x∈R时恒成立，则当a＝e时，e xx2＋x＋1＝1 3 a有两个根x1＝1，x2<0；当0<a<e时，e xx2＋x＋1＝13a只有一个根x3<0；当a≤0时，e xx2＋x＋1＝13a无根.综上所述，当a≤0时，f(x)只有一个零点；当0<a≤e时，f(x)有两个零点.。
导数与函数的零点问题 - 上课讲义
题型四、导数与函数的零点问题理论：当函数具有极值点时，在这个极值点左右两则（局部），函数的单调性是不同的，这样就可以结合函数图象的变化趋势来确定方程解的个数，如果函数在定义域内有唯一的极值点且为极小值点，那么极小值点就是最小值点，当这个最小值小于零且左右侧均出现大于零的函数值时，函数就出现了两个零点，方程就有两个解；当这个最小值等于零或者虽然最小值小于零，但有一侧没有大于零的函数值时，函数就出现一个零点，方程就只有一个解。
（当有几个极值点时，类似考虑）思考：怎么论证()0f x =在(),a b 内的解个数问题？类型一、以根为载体，考查函数、方程、不等式及其它特性1.方程3269100x x x -+-=的实根的个数是 （ ） A.3 B.2 C.1 D.0 分析与解：记()326910f x x x x =-+-，则()()()()2343313f x x x x x '=-+=--，当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增；所以当1x =时，()f x 取得极大值()160f =-<，当3x =时，()f x 取得极小值()3100f =-<，所以()f x 有1个零点，即方程有1个实数解； 点评：一元三次函数()32f x ax bx cx d =+++的零点个数判断：①()()0f x f x ⨯>极小极大时，()f x 有1个零点； ②()()0f x f x ⨯=极小极大时，()f x 有2个零点； ③()()0f x f x ⨯<极小极大时，()f x 有3个零点；变式1：若方程0233=+-ax x （0>a ）有三个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1>a B. 0>a C. 31<<a D. 10<<a 分析与解：记()332f x x ax =-+，则()233f x x a '=-，令()0f x '=，得x a =实根，则((0fa f a ⋅-<，解得1a >，选A 。
高三数学辅导讲义《导数与函数的零点》教师版
导数与函数的零点一、 基础知识 1.函数零点定义：一般地，如果函数()y f x =在x a =处有实数根，即()f x ，则称a 叫做这个函数()f x 的零点。
2.函数零点的判定和转化：关键词：根令解→零点令交点方程()0f x =有实数根令函数()0f x =有解令函数()y f x =有零点令函数()y f x = 的图像与x 轴有交点令函数()f x 与()g x 有交点 3.零点问题主要包含的题型有： （1）零点个数讨论（2）零点存在与否求参数范围 （3）函数交点问题、图像问题 （4）隐零点的证明（后面讲解） 4.思维导图二、课堂练习 1. 零点个数讨论例1.函数23()()2x f x x =−的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解答】解：函数23()()2x f x x =−的零点的个数为23()02x x −=的解的个数，也就是2y x =，与3()2x y =交点的个数，两个函数的图象如图：交点有3个． 故选：C ．变式1.若2a >，则方程321103x ax −+=在(0,2)上恰好有 个根．【答案】1【解答】解：设321()13f x x ax =−+，则2()2(2)f x x ax x x a '=−=−．当(0,2)x ∈时，2a >，20x a ∴−<，()0f x '<，()f x 在(0,2)上为减函数． 又(0)f f （2）8111(41)4033a a =⨯−+=−<，()0f x ∴=在(0,2)上恰好有1个根． 故答案为1．变式2.设函数1()(0)3f x x lnx x =−>，则()(y f x = )A ．在区间( 1e，1)，(1,)e 内均有零点 B ．在区间( 1e，1)，(1,)e 内均无零点C ．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1,)e 内无零点D ．在区间( 1e，1)，内无零点，在区间(1,)e 内有零点 【答案】D【解答】解：由题得3()3x f x x−'=，令()0f x '>得3x >； 令()0f x '<得03x <<；()0f x '=得3x =，故知函数()f x 在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)+∞为增函数， 在点3x =处有极小值130ln −<； 又f （1）103=>，f （e ）103e =−<，11()103f e e=+>， 故选：D ．例题1.函数()cos(3)6f x x π=+在[0，]π的零点个数为 ．【答案】3 【解答】解：()cos(3)06f x x π=+=，362x k πππ∴+=+，k Z ∈，193x k ππ∴=+，k Z ∈， 当0k =时，9x π=，当1k =时，49x π=，当2k =时，79x π=，当3k =时，109x π=， [0x ∈，]π， 9x π∴=，或49x π=，或79x π=，故零点的个数为3， 故答案为：3变式1.已知函数2()(4)cos f x x x x =−，[2x π∈−，]2π，该函数零点的个数为 【答案】3【解答】解：函数2()(4)cos f x x x x =−，[2x π∈−，]2π，可得2(4)cos 0x x x −=，即240x x −=，解得0x =或4[2x π=∉−，]2π，舍去， cos 0x =，[2x π∈−，]2π，可得2x π=−，或2x π=， 所以函数的零点个数为3． 故答案为：3．2. 已知零点个数求参数（一个，两个，三个，复合函数的多个） 2.1无，一个，或者两个例1.已知函数()x f x e ax =−有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】(,0){}e −∞【解答】解：函数()x f x e ax =−有且只有一个零点， ∴函数x y e =与y ax =的图象有且只有一个交点，作函数x y e =与y ax =的图象如下，结合图象知，当0a <时成立， 当0a >时，相切时成立，故0()0x xxe e e x −'==−；故1x =； 故a e =；综上所述，实数a 的取值范围为(,0){}e −∞． 故答案为：(,0){}e −∞． 变式1.函数2()(1)lnxf x x e x=与函数()g x kx =恒有两不同的交点，则k 的取值范围是 ． 【答案】421[,)2e e【解答】解：由()0f x =，可得lnx kx x =，即为2lnxk x=在区间[1，2]e 上有两个实数解． 即直线y k =和2()lnxg x x=在区间[1，2]e 上有两个交点．由312()lnxg x x −'=，可得()g x 在[1递增，在(2]e 递减，即有()g x 在x =12e； 由g （1）0=，242()g e e =， 可得当4212k e e<时，直线y k =和函数()g x 的图象有两个交点． 即有函数()f x 在区间[1，2]e 上的有两个零点． 故答案为：421[,)2e e． 例2.已知函数()(xe f x kx e x=−为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．2(0,)4eC ．(0,)eD ．(0,)+∞【答案】B【解答】解：()0f x =，即0xe kx x−=，0x ≠，2xe k x ∴=，令2()xe g x x =，则3(2)()x e x g x x −'=，令()0g x '=，解得2x =，当2x >或0x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当02x <<时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，∴当2x =时，函数有极小值，即g （2）24e =， 且当0x <，时，()(0f x ∈，)+∞，函数()(xe f x kx e x=−为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，204e k ∴<<，故选：B ．变式1. 已知函数()()f x lnx kx k R =−∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有零点，求实数k 的取值范围； 【答案】见解答【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 求导数，得11()kxf x k x x−'=−=． ①若0k ，则()0f x '>，()f x 是(0,)+∞上的增函数； ②若0k >，令()0f x '=，得1x k=． 当1(0,)x k ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当1(x k∈，)+∞时，()0f x '<，()f x 是减函数．综上所述，当0k 时，()f x 的递增区间为(0,)+∞；当0k >时，()f x 的递增区间为1(0,)k ，递减区间为1(k，)+∞；（2）由lnx k x =有解，由()lnxg x x=的导数为21()lnx g x x −'=，当x e >时，()0g x '<，()g x 递减；当0x e <<时，()0g x '>，()g x 递增．即有x e =处取得极大值，且为最大值1e．则有1ke． 故函数()f x 有零点，实数k 的取值范围为(−∞，1]e；2.2三个零点例3.已知函数3223,01,()5,1.x x m x f x mx x ⎧++=⎨+>⎩若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】(5,0)−【解答】解：当01x 时，32()23f x x x m =++， 2()666(1)0f x x x x x '=+=+；故()f x 在[0，1]上是增函数，故若使函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点， 则函数()f x 在[0，1]与(1,)+∞上各有一个零点； 故0m <， 故(0)(1)050f f m ⎧⎨+>⎩， 解得，(5,0)m ∈−； 故答案为：(5,0)−．变式1.若函数3()35()f x x x a a R =−+−∈在3(3,)2−上有2个零点，则a 的取值范围是 ．【答案】{}31[,7)38【解答】解：若函数3()35f x x x a =−+−， 则2()333(1)(1)f x x x x '=−=−+， 令()0f x '>，解得：1x >或1x <−， 令()0f x '<，解得：11x −<<，故()f x 在(3,1)−−递增，在(1,1)−递减，在3(1,)2递增，故()()17f x f a =−=−极大值，()f x f =极小值（1）3a =−， 而(3)13f a −=−−，331()28f a =−，故(3)0(1)03()02f f f ⎧⎪−>⎪<⎨⎪⎪⎩或(3)0(0)0(1)0f f f −<⎧⎪>⎨⎪=⎩，解得：{}31[,7)38a ∈， 故答案为：{}31[,7)38．例3.设函数31,0()232,0x e x f x x mx x −⎧−>⎪=⎨⎪−−⎩（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(1,)+∞【解答】解：由分段函数可知，当0x >时，函数垂直一个零点； 故0x 时，3()32f x x mx =−−，2()33f x x m '=−，当0m 时，()0f x '，函数()f x 在0x 时，函数是增函数，不可能由零两个零点， 当0m >时，函数()f x在区间(,x −上是增函数，在(0)上是减函数， 又(0)20f =−<，所以(0f >时有两个零点，解得1m >， 实数m 的取值范围是(1,)+∞． 故答案为：(1,)+∞．变式 1.已知2(1),0(),0ln x x f x x ax x −<⎧=⎨−⎩，且()()2xg x f x =+有三个零点，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1(2，)+∞【解答】解：函数()()2x g x f x =+有三个零点，即方程()02xf x +=有三个根， 也就是函数()y f x =的图象与2xy =−的图象有三个不同交点． 如图：2xy =−与(1)(0)y ln x x =−<一定有一交点； 当0a 时，2(0)y x ax x =−的图象是图中虚线部分， ∴函数()y f x =的图象与2xy =−的图象有两个不同交点，不满足题意； 当0a >时，联立22x y y x ax⎧=−⎪⎨⎪=−⎩，得22(21)0x a x −−=． 若函数()y f x =的图象与2xy =−的图象有三个不同交点，则方程22(21)0x a x −−=有一0根一正根， 则2102a −>，即12a >． ∴实数a 的取值范围为：1(2，)+∞．故答案为：1(2，)+∞．变式2.已知函数()f x =若关于x 的方程()10f x m −+=恰有三个不等实根，则实数m 的取值范围为 ．【答案】(1,1)2e+ 【解答】解：当0x时，()x f x e==为(−∞，0]上的减函数， ()(0)0min f x f ∴==；当0x >时，()x f x e =，12212()xxx x e x e f x e −−'==．则1(2x ∈，)+∞时，()0f x '<，1(0,)2x ∈时，()0f x '>．()f x ∴在1(2，)+∞上单调递减，在1(0,)2上单调递增．()f x ∴的极大值为1()22f e=． 其大致图象如图所示：若关于x 的方程()10f x m −+=恰有三个不等实根，即()y f x =与1y m =−的图象有3个不同交点，则012m e<−<．得112m e<<+．∴实数m 的取值范围为1)+，故答案为：1)+．2.3复合函数多个零点 例4.已知函数()||xf x lnx =，若关于x 的方程2()(1)()0f x m f x m −++=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,)e B ．(1,)e C ．(,2)e e D ．(,)e +∞【答案】D【解答】解：当1x >时，()xf x lnx=，21()()lnx f x lnx −'=，()f x ∴在(1,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增， ∴当x e =时，()f x 取得极小值f （e ）e =，同理可得()f x 在(0,1)上单调递增， 作出()f x 的函数图象如图所示：由2()(1)()0f x m f x m −++=得()1f x =或()f x m =， 由图象可知()1f x =只有1解，()f x m ∴=有三个解，m e ∴>． 故选：D ．变式1.已知函数21(1)()(1)x x f x lnx x x⎧−<⎪=⎨⎪⎩关于x 的方程22[()](12)()0f x m f x m +−−=，有5不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A ．1(1,)e−B ．(0,)+∞C ．1(0,)eD ．1(0,]e【答案】C 【解答】解：设lnx y x =，则21lnxy x −'=， 由0y '=，解得x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，函数为增函数，当(,)x e ∈+∞时，0y '<，函数为减函数． ∴当x e =时，函数取得极大值也是最大值为f （e ）1e=． 方程22[()](12)()0f x m f x m +−−=化为[()][2()1]0f x m f x −+=． 解得()f x m =或1()2f x =−．如图画出函数图象： 可得m 的取值范围是1(0,)e．故选：C ．变式2. 已知函数3211()32f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若11()f x x =，则关于x 的方程2()()0f x af x b ++=的不同实根个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解答】解：函数3211()32f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，不妨假设12x x <，2()0f x x ax b ∴'=++=有两个不相等的实数根，∴△240a b =−>．由于方程2()()0f x af x b ++=的判别式 △'=△240a b =−>，故此方程有两解为1()f x x =或2()f x x =． 由于函数()y f x =的图象和直线1y x =的交点个数 即为方程1()f x x =的解个数；由于函数()y f x =的图象和直线2y x = 的交点个数，即为方程2()f x x =的解个数． 根据11()f x x =，画出图形，如图所示：由于函数()y f x =的图象和直线1y x =的交点个数为2，函数()y f x =的图象和直线2y x = 的交点个数为1，可得关于x 的方程1()f x x =或2()f x x =共有3个不同的实数根， 即关于x 的方程2()()0f x af x b ++=的不同实根个数为3．故选：B ．变式3.已知函数()x xf x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(−∞，2)(2⋃，)+∞ B ．1(1e−，)+∞C ．1(1e−，1) D ．(1,)e【答案】C【解答】解：由题意1()xxf x e −'=． 令1()0xxf x e −'=<，解得1x >； 令1()0xxf x e −'=>，解得1x <； 令1()0x xf x e−'==，解得1x =． ()f x ∴在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值1e．()f x 大致图象如下：假设2m =，令()t f x =．则2210t t ++=．解得1t =−，即()1f x =−． 根据()f x 图象，很明显此时只有一个解， 故2m =不符合题意，由此排除B 、D 选项； 假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =−，21t =−． 即()2f x =−，或()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解， 故3m =不符合题意，由此排除A 选项． 故选：C ．变式 4.已知函数()||f x ex lnx =（其中e 是自然对数的底数）．若关于x 的方程2()2()10f x mf x m +++=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．【答案】2(1,)3−−【解答】解：函数()||f x ex lnx =（其中e 是自然对数的底数）． ∴①当01x <<时，()f x exlnx =−，()(1)f x e lnx '=−+当10x e <<时，()0f x '>，当11x e<<时，()0f x '<，②当1x 时，()f x exlnx =，()(1)f x e lnx '=+()0f x '>，故当1x e =时，函数()f x 有极大值1()1f e=， 当1x =时，函数()f x 有极小值0， 作出函数()f x 对应的图象如图：设()t f x =，当1t >，或0t =时，方程()t f x =有1个解， 当1t =时，方程()t f x =有2个解， 当01t <<时，方程()t f x =有3个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，则方程2()2()10f x mf x m +++=等价为2210t mt m +++=，要使关于x 的方程2()2()10f x mf x m +++=恰好有4个不相等的实数根， 则方程2210t mt m +++=的两根，一个为0或大于1， 一个在区间(0,1)上，若方程2210t mt m +++=的一个根为0，则1m =−，方程可化为：220t t −=，不合题意； 若方程2210t mt m +++=的一个根大于1，一个在区间(0,1)上， 则101210m m m +>⎧⎨+++<⎩， 解得：2(1,)3m ∈−−，故答案为：2(1,)3−−三、课后练习1．已知函数2,0()()21,0x a x f x a R x x ⎧−=∈⎨−>⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(,1)−∞− B ．(−∞，1] C ．[1−，0) D ．(0，1]【答案】D【解答】解：由于函数2,0()()21,0x a x f x a R x x ⎧−=∈⎨−>⎩在R 上有两个零点，显然12x =是函数()f x 的一个零点，故方程20x a −=在(−∞，0]上有解． 再根据当(x ∈−∞，0]时，00221x <=，可得10a >， 故选：D ．2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2,02()2,2xx x x f x x x e⎧−<⎪=⎨−⎪⎩，若函数()()F x f x m =−有六个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．31(e −，1)4 B ．31(e −，0)(0⋃，1)4 C ．31(e −，0] D ．31(e −，0) 【答案】D【解答】解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()()F x f x m =−有六个零点， 则当0x 时，函数()()F x f x m =−有三个零点， 令()()0F x f x m =−=， 即()m f x =，①当02x <时，2211()()24f x x x x =−=−−+，当12x =时有最大值，即为11()24f =， 且()f x f >（2）242=−=−， 故()f x 在[0，2)上的值域为1(2,)4−，②当2x 时，2()0xxf x e −=<，且当x →+∞，()0f x →，3()x x f x e−'=， 令3()0xx f x e −'==，解得3x =， 当23x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当3x 时，()0f x '，()f x 单调递增， ()min f x f ∴=（3）31e =−， 故()f x 在[2，)+∞上的值域为31[e −，0)， 312e −>−， ∴当310m e−<<时，当0x 时，函数()()F x f x m =−有三个零点， 故当310m e −<<时，函数()()F x f x m =−有六个零点， 故选：D ．3．已知函数2()2221x f x e ax a e =−+−−，其中a R ∈，e 为自然对数的底数．若函数()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(2,21)e −B ．2(2,2)eC ．2(221e e −−，22)eD ．2(21,221)e e e −−−【答案】D【解答】解：函数2()2221x f x e ax a e =−+−−，2()42x f x e a ∴'=−，当0a 时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在R 上单调递增， ∴函数()f x 在区间(0,1)至多有一个零点，不满足题意， 0a ∴>，令()0f x '=，解得122ax ln =，∴当()0f x '>时，即122ax ln >，函数单调递增，当()0f x '<时，即122ax ln <，函数单调递减，()2221min f x a alna aln e ∴=−+−−，设g （a ）2221a alna aln e =−+−−，0a >g ∴'（a ）12ln lna =+−， 令g '（a ）0=，解得2a e =，g ∴∴'（a ）0>时，即02a e <<，函数单调递增， 当g '（a ）0<时，即2a e >，函数单调递减，g ∴（a ）42222214222222110max e eln e eln e e eln e eln e =−+−−=−−+−−=−<，函数()f x 在区间(0,1)内有两个零点， ∴(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩， 即2221022210a e e a a e +−−>⎧⎨−+−−>⎩，解得221221e a e e −<<−− 故选：D ．4．已知函数,0()1,0lnx x f x x x >⎧=⎨+⎩若()()F x f x m =+有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围是（ ） A ．(,)e −∞ B ．(,0)−∞ C ．[e ，0] D ．[1−，0]【答案】D【解答】解：作出()f x 的图象，()()F x f x m =+有两个零点， 即()f x m =−有两个不等实根1x ，2x ， 即为121m x lnx −=+=，可得11x m =−−，2m x e −=，1m −， 则12(1)m x x m e −=−−， 可设()(1)m g m m e −=−−，()m g m me −'=，由0m >时，()0g m '>，()g m 递增， 10m −<时，()0g m '<，()g m 递减，即0m =处()g m 取得极小值，且为最小值1−， 又120x x ，即有12x x 的范围是[1−，0]． 故选：D ．5．已知函数2,0()115||,024x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+−⎪⎩，函数2()g x x =，若函数()()y f x g x =−有4个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(5,)+∞ B ．15(5,)2C ．19(5,)2D ．19(5,]2【答案】B【解答】解：当0x >时，2x y =与2()g x x =有两个交点(2,4)，(4,16)． 要使函数()()y f x g x =−有4个零点， 只需：0x 时，115||24y a x =+−与2()g x x =有两个交点即可（如图）． 过点1(2−，15)4−作2()(0)g x x x =<的切线，设切点为2(,)m m切线方程为22()y m m x m −=−，把点1(2−，15)4−代入上式得52m =−，∴切线斜率为25m =−．115(0)024a +−<，解得152a <，∴实数a的取值范围为15(5,)2． 故选：B ．6．已知函数()()lnxf x kx k R x=−∈，在区间1[e ，2]e 上的有两个零点，则k 的取值范围 ， ． 【答案】42[e ,1)2e【解答】解：由()0f x =，可得lnxkx x=， 即为2lnxk x=在区间1[e ，2]e 上有两个实数解． 即直线y k =和2()lnxg x x=在区间1[e ，2]e 上有两个交点．由312()lnxg x x −'=，可得()g x 在1[e 递增，在，2]e 递减，即有()g x 在x =12e； 由21()g e e =−，242()g e e=，可得当4212k e e<时，直线y k =和函数()g x 的图象有两个交点． 即有函数()f x 在区间1[e，2]e 上的有两个零点．故答案为：42[e ，1)2e． 7．已知函数()||x f x xe =，若关于x 的方程2()2()30()f x tf x t R −+=∈有两个不等实数根，则t 的取值范围为 ．【答案】,213)2e e+ 【解答】解：,0()||,0x xxxe x f x xe xe x ⎧==⎨−<⎩，当0x 时，()0f x e xe'=+恒成立，所以()f x 在[0，)+∞上为增函数； 当0x <时，()(1)x x x f x e xe e x '=−−=−+， 由()0f x '=，得1x =−，当(,1)x ∈−∞−时，()(1)0x f x e x '=−+>，()f x 为增函数，当(1,0)x ∈−时，()(1)0x f x e x '=−+<，()f x 为减函数，所以函数()||x f x xe =在(,0)−∞上有一个最大值为11(1)(1)f e e−−=−−=， 要使方程2()2()30()f x tf x t R −+=∈有两个实数根， 令()f x m =，则方程2230m tm −+=应有两个不等根， 可得△24120t =−>，解得t >t < 由方程的根大于1e ，可得21230te e−+>，且1t e >，2132e t e +<<．故答案为：，213)2e e+．8．已知函数0()(1),0x f x ln x x =⎪−−<⎩，若函数()()F x f x kx =−有且只有两个零点，则k 的取值范围为 ． 【答案】1(2，1)【解答】解：由题意，0x，()f x ， 为双曲线2241y x −=在第一象限的部分，渐近线方程为12y x =； 由(1)y ln x =−−， 可得111y x'==−，可得0x =， 即(1)y ln x =−−在0x =处的切线方程为y x =， 此时函数()()F x f x kx =−有且只有1个零点， 若函数()()F x f x kx =−有且只有两个零点， 则k 的取值范围为1(2，1)，故答案为：1(2，1)．9．已知函数32()3(,0)f x mx mx m R m =−∈≠． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）当0m >，若函数()()1g x f x m =+−有三个零点，求m 的取值范围． 【答案】【解答】解：（Ⅰ）2()36f x mx mx '=−， 令()0f x '>，即2360mx mx −>，当0m >时，解得0x <或2x >，则函数()f x 的单调增区间是(,0)−∞和(2,)+∞； 当0m <时，解得02x <<，则函数()f x 的单调增区间是(0,2)； 综上，当0m <时，函数()f x 的单调增区间是(,0)−∞和(2,)+∞； 当0m <时，函数()f x 的单调增区间是(0,2)． （Ⅱ） 由()()1g x f x m =+−及32()3f x mx mx =−， 当0m >，32()31g x mx mx m =−+−，()3(2)g x mx x '=−，当()0g x '>，解得0x <或2x >，则函数()g x 的单调增区间是(,0)−∞和(2,)+∞；当()0g x '<，得02x <<，则函数()g x 的单调减区间是(0,2)， 所以()g x 有极大值(0)1g m =−和极小值g （2）15m =−， 因为()g x 有三个零点，则(0)10(2)150g m g m =−>⎧⎨=−<⎩，得：115m <<．10．设函数32()3f x x x =−−． （1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x m =−在[1−，2]上有三个零点，求实数m 的取值范围． 【答案】【解答】解：（1）由32()3f x x x =−−，得22()323()3f x x x x x '=−=−，当()0f x '>时，解得0x <或23x >；当()0f x '<时，解得203x <<． 故函数()f x 的单调递增区间是(,0)−∞，2(,)3+∞；单调递减区间是2(0,)3．（2）令()()h x f x m =−，则32()3h x x x m =−−−，2()32(32)h x x x x x ∴'=−=−，由（1）知，当函数()h x 在(,0)−∞上单调递增，在2(0,)3上单调递减，在2(,)3+∞上单调递增．∴函数()h x 在0x =处取得极大值(0)3h m =−−，在23x =处取得极小值285()327h m =−−， 由函数()y f x m =−在[1−，2]上有三个零点，则有：()()()10500030,285003271020h m h m h m m h ⎧−−−⎧⎪⎪>−−>⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎛⎫<−−< ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪−⎪⎪⎩⎩即，解得85327m −<<−，故实数a 的取值范围是85(27−，3)−． 11．给出定义在(0,)+∞上的两个函数2()f x x alnx =−，()g x x =−． （1）若()f x 在1x =处取最值．求实数a 的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(0，1]上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，试确定函数()()()6m x f x g x =−−【答案】【解答】解：（1）()2af x x x'=−由已知，f '（1）0= 即：20a −=， 解得：2a =，经检验2a =满足题意， 所以2a =．（2）2222()()()2()h x f x g x x alnx x ax x a x lnx =+=−+−=−+；1()4(1)h x x a x '=−+ 要使得2()2()h x x a x lnx =−+在区间(0，1]上单调递减，则()0h x '，即14(1)0x a x−+在区间(0，1]上恒成立；因为(0x ∈，1]，所以241x a x +；设函数24()1x F x x =+，则 ()max a F x ；2244()111()x F x x x x==++因为(0x ∈，1]，所以1[1x ∈，)+∞，所以211(())2min x x+=；所以()2max F x =，所以2a ．（3）函数()()()6m x f x g x =−−有两个零点．因为2()26m x x lnx x =−−+； 所以2()21m x x x '=−−= 当(0,1)x ∈时，()0m x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0m x '>； 所以()min m x m =（1）40=−<，324(1)(12)()0e e e m e e −−++=<，8424812(21)()0e e e m e e −++−=>； 4442()(1)2(7)0m e e e e =−+−> 故由零点存在定理可知：函数()m x 在4(e −，1)存在一个零点，函数()m x 在4(1,)e 存在一个零点， 所以函数()()()6m x f x g x =−−有两个零点． 12．已知m R ∈，函数2()()x f x x mx m e =++．（1）若函数()f x 没有零点，求实数m 的取值范围； （2）当2m >时，求函数()f x 的极大值． 【答案】【解答】解：（1）令2()()0x f x x mx m e =++=．0x e >，20x mx m ∴++=．函数()f x 没有零点，∴方程20x mx m ++=无实根． 则△240m m =−<，解得：04m <<．所以函数()f x 没有零点的实数m 的取值范围是(0,4)； （2）由2()()x f x x mx m e =++． 得：2()(2)()x x f x x m e x mx m e '=++++2(22)(2)()x x x x mx m e x x m e =+++=++．令()0f x '=，得：2x =−或x m =−． 当2m >时，2m −<−．所以，当(,)x m ∈−∞−时，()0f x '>，函数()f x 为增函数； 当(,2)x m ∈−−时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，当x m =−时，()f x 取得极大值，极大值为2()[()()]m m f m m m m m e me −−−=−+−+=．13．已知函数1()1(,0)xx f x a R a ae −=−∈≠． （1）当1a =时，求函数()f x 在(1，f （1）)处的切线；（2）若函数()f x 没有零点，求实数a 的取值范围（3）若函数()f x 恰有一个零点，试写出实数a 的取值范围．【答案】【解答】解：（1）当1a =时，1()1xx f x e −=−，2(1)2()x x e x e xf x e e −−−'==， f ∴'（1）1e =，又f （1）1=−，∴函数()f x 在(1，f （1）)处的切线为11(1)y x e+=−，即10x ey e −−−=；（2）1()1x x f x ae −=−，22(1)2()x x x xae x ae x f x a e ae −−−'==， 若0a >，则当(,2)x ∈−∞时，()0f x '>，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '<， ∴21()(2)1max f x f ae ==−，由2110ae −<，得21a e >； 若0a <，则当(,2)x ∈−∞时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， ∴21()(2)1min f x f ae ==−，由2110ae −>，得21a e >，a ∴∈∅． 综上，若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是21(,)e +∞； （3）由（2）知，当0a >时，函数图象大致形状如上图， 只有21()10max f x ae=−=，即21a e =时，函数()f x 恰有一个零点； 当0a <时，函数图象大致形状如下图， 函数()f x 恰有一个零点．综上，使函数()f x 恰有一个零点的实数a 的范围是0a <或21a e =．14．已知函数()xkx bf x e +=，曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为0x y −=． ()I 求k ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的零点个数． 【答案】 【解答】解：()()xkx bI f x e +=， ()xk kx bf x e −−∴'=曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为0x y −=， (0)1k b f e −∴'==，0(0)0bf e==， k e ∴=，0b =；（Ⅱ）1()x x f x e −=，11()x xf x e −−'=， ∴函数在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，当1x <时，f （1）10=>，当0x <时()0f x <，因此函数在(,1)−∞上有一个零点， 当1x >时，()0f x >恒成立，因此在(1,)+∞上没有零点， ∴函数()f x 的零点个数是1个．15．已知函数32()()f x x x x a x R =−−+∈，其中a 为实数．（Ⅰ）当1a =−时，求曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值；（Ⅲ）若函数()f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】【解答】解：（Ⅰ）当1a =−时，32()1f x x x x =−−+，2()321f x x x ∴'=−−，f （2）1=，f ∴'（2）7=，∴曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程为713y x =−；（Ⅱ）由()0f x '>可得13x <−或1x >，()0f x '<，可得113x −<<，∴函数的单调递增区间1(,)3−∞−，(1,)+∞，单调递减区间为1(3−，1)，()f x ∴的极大值为15()327f a −=+，极小值为f （1）1a =−； （Ⅲ）322()(1)(1)1f x x x x a x x a =−−+=−++−．由此可知x 取足够大的正数时()0f x >，取足够小的负数时()0f x <，()y f x ∴=与x 轴至少有一个交点． 函数()f x 有且仅有一个零点， ∴5027a +<或10a −>， 527a ∴<−或1a >． 声明：所有试题来自于网络，由山羊老师整理，恳请各位老师或者同学多多指点，提提意见。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的零点【题型一】函数的零点个数【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。
【例1】已知函数3()31,0f x x ax a =--≠()I 求()f x 的单调区间；()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。
变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=【答案】 -8【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．6【题型二】复合函数的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。
【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。
即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69):【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。
即：如果函数()f x 在区间[]a b ，上是一条连续不断曲线，并且()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在区间()a b ，上至少有一个零点。
即存在一点()0x a b ∈，，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。
其依据为：如果函数()f x 在区间[]a b ，上是单调函数，并且()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在区间()a b ，上至多有一个零点。
【例3】设函数329()62f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．变式：设函数()ln f x x =，()ag x x=，()()()F x f x g x =+。
若方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解，求实数m 的取值范围； 解析：方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解等价于方程ln x mx=在区间2[1,]e 上有唯一实数解。
记2ln ()[1,]x h x x e x =∈，则21ln ()x h x x-'=， 令()0h x '=，得：x e =， 当[1,]x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增；当2[,]x ee ∈时，()0h x '<，()h x 递减。
所以max 1()()h x h e e==。
易求得：(1)0h =，222()h e e =。
为使方程ln x m x=在区间2[1,]e 上有唯一实数解， 则直线y m =与函数ln ()xy h x x==的图象有唯一交点，根据()h x 的图象可知：1me=或 220m e ≤<。
故m 的取值范围是2210,e e ⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭。
【例4】已知函数()x f x e mx =-在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点【例5】（2013·江苏卷）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x-=)(，其中a 为实数．若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论．基础练习：1．己知()ln xf x a x a =--e ，其中常数0a >．（1）当a =e 时，求函数()f x 的极值；2．已知函数f （x ）＝12m （x －1）2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．当m ＞0时，若曲线y ＝f （x ）在点P （1，1）处的切线l 与曲线y ＝f （x ）有且只有一个公共点，求实数m 的值．3．已知函数1()1x f x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数).若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.4．已知函数f （x ）=13x 3+1－a 2x 2-ax -a ,x ∈R,其中a >0．若函数f （x ）在区间（-2,0）内恰有两个零点,求a 的取值范围；5．设1a >，函数a e x x f x-+=)1()(2．(1) 求)(x f 的单调区间 ；(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；参考答案与解析【例1】解析：（1）'22()333(),f x x a x a =-=- 当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞当0a >时，由'()0f x >解得x <x >由'()0f x <解得x <<当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为(。
（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值， 所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴= 所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-由'()0f x =解得121,1x x =-=。
由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=， 在1x =处取得极小值(1)3f =-。
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。
【例2】令3()3f x x x d =-=，则：()(())()h x f f x c f d c =-=-(1)先讨论关于d 的方程()=c f d 即33d d c -=根的情况：[]2, 2c ∈-2()333(1)(1)f d d d d '=-=-+∴()f d 在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,1-单调递减，在区间()1,+∞单调递增。
()(1)2f d f ==-极小值 ()(1)2f d f =-=极大值描绘出函数的草图，并据草图可得：方程()=c f d 根的情况如下表所示：(2)下面考虑方程()f x d =即33x x d -=根的情况：据上述表格及图形()f x d =和()=c f d 的根的情况如下表c 的范围()f d c =根d 的范围 ()=d f x 根的个数C 的取值范围根的个数 根或根的范围2c =-2个根 2d =-或1d =22c -<< 3个根 1d 、2d 、3d2c =2个根1d =-或2d =综上所述：当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点； 当2c <时，函数()y h x =有9 个零点。
【例3】解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34- (2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 【例4】 方法一：当0n =，可得()()xxh x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1xe e>， ①当1m e≤时，()0xh x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =， 所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e ≥-，从而11m e e-≤≤．②当1m e>时，由()0xh x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞， 当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-， 令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1m e e<<． 综上所述，1[,)m e e∈-． 方法二：当0n =，xe mx =①当0x =时，显然不成立；②当1x >-且0x ≠时，x e m x =，令xe y x=，则()221xx x e x e x e y x x --'==，当10x -<<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，01x <<时，0y '<，函数xe y x =单调递减，当1x >时，0y '>，函数x e y x =单调递增，又11x e y =-=-，1x y e ==，由题意知1[,)m e e∈-．【例5】a x g x-='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立，则a ≤e x ，故：a ≤1e．)0(11)(>-=-='x xax a x x f ． （ⅰ）若0＜a ≤1e ，令)(x f '＞0得增区间为（0，1a ）；令)(x f '＜0得减区间为（1a，﹢∞）．当x →0时，f （x ）→﹣∞；当x →﹢∞时，f （x ）→﹣∞； 当x ＝1a 时，f （1a ）＝﹣ln a －1≥0，当且仅当a ＝1e时取等号．故：当a ＝1e 时，f （x ）有1个零点；当0＜a ＜1e时，f （x ）有2个零点．（ⅱ）若a ＝0，则f （x ）＝﹣ln x ，易得f （x ）有1个零点． （ⅲ）若a ＜0，则01)(>-='a xx f 在)0(∞+，上恒成立， 即：ax x x f -=ln )(在)0(∞+，上是单调增函数， 当x →0时，f （x ）→﹣∞；当x →﹢∞时，f （x ）→﹢∞． 此时，f （x ）有1个零点．综上所述：当a ＝1e 或a ＜0时，f （x ）有1个零点；当0＜a ＜1e 时，f （x ）有2个零点．练习1、【答案】（1）()f x 有极小值0，没有极大值 【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（1）当e a =时，()e eln e xf x x =--，e ()e xf x x'=-， 而e()e xf x x'=-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '=， 当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，则()f x 在(0,1)上单调递减；当1x >时，()(1)0f x f ''>=，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 有极小值(1)0f =，没有极大值．2、【解析】由f ′（x ）＝mx －m －2＋1x，得f ′（1）＝－1，所以曲线y ＝f （x ）在点P （1，1）处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2． 由题意得，关于x 的方程f （x ）＝－x ＋2有且只有一个解， 即关于x 的方程12m （x －1）2－x ＋1＋ln x ＝0有且只有一个解．令g （x ）＝12m （x －1）2－x ＋1＋ln x （x ＞0）．则g ′（x ）＝m （x －1）－1＋1x ＝mx 2－(m ＋1)x ＋1x ＝(x －1)(mx －1)x（x ＞0）．①当0＜m ＜1时，由g ′（x ）＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g ′（x ）＜0得1＜x ＜1m， 所以函数g （x ）在（0，1）为增函数，在（1，1m ）上为减函数，在（1m，＋∞）上为增函数．又g （1）＝0，且当x →∞时，g （x ）→∞，此时曲线y ＝g （x ）与x 轴有两个交点． 故0＜m ＜1不合题意．②当m ＝1时，g ′（x ）≥0，g （x ）在（0，＋∞）上为增函数，且g （1）＝0，故m ＝1符合题意．③当m ＞1时，由g ′（x ）＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g ′（x ）＜0得1m＜x ＜1， 所以函数g （x ）在（0，1m ） 为增函数，在（1m，1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数．又g （1）＝0，且当x →0时，g （x ）→－∞，此时曲线y ＝g （x ）与x 轴有两个交点． 故m ＞1不合题意．综上，实数m 的值为m ＝1．3、【答案】解: 当1a =时,()11x f x x e =-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解.假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.又1k =时,()10xg x e =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1.解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e -=(*) 在R 上没有实数解.①当1k =时,方程(*)可化为10xe =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-. 令()x g x xe =,则有()()1xg x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -.综上,得k 的最大值为1.5、【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；【解析】（1）依题()()()()()222'1'1'10x x x f x x e x e x e =+++=+≥， ∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数；（2）∵ 1a >，∴ ()010f a =-<且()()22110a f a a e a a a =+->+->，∴ ()f x 在()0,a 上有零点，又由（1）知()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数， ()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点；【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识．【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出()f x 的导数，第（2）问首先要说明()0,a 内有零点再结合函数在(),-∞+∞单调性就易证其结论，第（3）问由导数的几何意义易得()221m m e a e+=-对比要证明的结论后要能认清1m e m ≥+的放缩作用并利用导数证明1m e m ≥+成立，则易证1m ≤-．。