导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)

函数的零点

【题型一】函数的零点个数

【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。

【例1】已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠

()I 求()f x 的单调区间；

()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =

的图象有三个不同的交点，

求m 的取值范围。

变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程

()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则

1234_________.

x x x x +++=

【答案】 -8

【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间

[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知

1212

x x +=-，

344

x x +=．

所以12341248

x x x x +++=-+=-．

6

【题型二】复合函数的零点个数

复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。

【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况

【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数

1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数

322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个

相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69):

【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点

【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：

如果函数()f x 在区间[]a b ，上是一条连续不断曲线，并且()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在区间()a b ，上至少有一个零点。即存在一点()0x a b ∈，，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.

（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：

如果函数()f x 在区间[]a b ，上是单调函数，并且()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在区间

()a b ，上至多有一个零点。

【例3】设函数3

2

9()62

f x x x x a =-

+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；

（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．

变式：设函数()ln f x x =，()a

g x x

=

，()()()F x f x g x =+。若方程()f x mx =在区间2[1

,]e 上有唯一实数解，求实数m 的取值范围； 解析：方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解等价于

方程ln x m

x

=在区间2

[1,]e 上有唯一实数解。 记2

ln ()[1,]x h x x e x =∈，则2

1ln ()x h x x

-'=， 令()0h x '=，得：x e =， 当[1

,]x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增；

当2[,]x e

e ∈时，()0h x '<，()h x 递减。所以max 1()()h x h e e

==

。 易求得：(1)0h =，2

2

2()h e e =

。

为使方程ln x m x

=

在区间2

[1,]e 上有唯一实数解， 则直线y m =与函数ln ()x

y h x x

==的图象有唯一交点，

根据()h x 的图象可知：1

m

e

=

或 2

20m e ≤<。

故m 的取值范围是2210,e e ⎡

⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣

⎭⎩⎭。

【例4】已知函数()x f x e mx =-在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；

【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点

【例5】（2013·江苏卷）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x

-=)(，其中a 为实数．若)

(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论．