重庆大学复变函数2009-2010

重庆大学《复变函数》课程试卷
2009~2010 学年 第 一 学期
开课学院：数理学院 课程号：10021020
考试日期：2009-12.
考试
方
式
：
考试时间：120分钟
一、 单项选择题（3分/每小题，共30分）
⒈ 复数
11i i
-+等于（ 1 ）.
① i - ② i ③ 2i -
④ 2i
⒉ 复数2i 的辐角等于（ 3 ）.
① 56π- ② 6
π
③ 52()6
k k Z ππ-
+∈
④
2()6
k k Z π
π+∈
⒊ 方程120z z i ---=表示的曲线是（ 1 ）.
① 直线 ② 圆 ③ 双曲线 ④ 抛物线
4.下列数中为实数的是（ 3 ）.
① ln(1)- ② sin i ③ i i
④ 5. 若函数2222()2()f z x xy y i y axy x =+-
++-在复平面上处处解析，则实数
a =（ 4 ）.
① 0 ② 1
③
2-
④ 2
6. 设3232()3(3)f z x xy i y x y =---，则()f i '=（ 2 ）.
① 3 ② 3-
③ 33i -- ④ 33i -+
7. 设Γ为连接由0到1i +的直线段， 则积分z zdz Γ
⋅⎰的值为（ 2 ）.
① 2
(1)3
i -+
② 2
(1)3
i +
③ )3
i -
+
④)3
i +
8. 若Γ为正向圆周2z =，则2
cos ()
z dz z i Γ
=
-⎰
（ 4 ）.
① sin i - ② sin i
③ 2sin i i π
④ 2sin i i π-
9. 级数211n z z z z
++++++ 的收敛域为（ 2 ）.
① 1z <
② 01z << ③ 1z <<+∞
④ 空集
10. 设0
n
n n c z ∞
=∑的收敛半径为4, 则0
(21)n n n n c z ∞
=-∑的收敛半径等于（ 3 ）.
① 1
2
② 1
8
③ 2
④ 8
命题人：
组题人：
审题人：
命题时间：
教务处制
学院 专业、班 年级 学号 姓名
公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊
封
线
密
二、 填空题（2分/每小空，共20分）
11. ln z 的解析区域是 复平面除去原点及负实轴后的区域 12. 1i 的模等于 2()k e k Z π-∈ . 13. 设3
1()(1)1
3
f z z i z =
-++，z 为()0f z '=的根，则A r g z =
24(0,1)2
k k ππ+=
14. 函数2()Im f z z z =在 z =0 可导 15. 设2
()e
f z d z ζ
ζ
ζζ==
-⎰
（2z <）
，则()2
f i π
'=
-2π
16 级数2
(01)n
n
n q z q +∞
=<<∑的收敛半径= +∞
17 21()(1)
z
f z z e =
-以0z =为 3 级极点
18 设3
cos ()z f z z
=
，则Re [(),0]s f z = -1
2
.
19 幂级数0()n n n c z i +∞
=+∑在z i =发散，则该级数在2z =处的敛散性为发散
20 积分4
1sin z dz z
==⎰
-2π .
三、 试讨论函数2()f z x iy =-在何处可导，在何处解析，并求出()f z 在可
导点处的导数。

(8分)
解：2(,),(,)u x y x v x y y ==-在全平面处处可微且在12
x =-上满足C-R 条件，
故()f z 在12
x =-上可导，且11()212
2
f iy '-
+=-⨯
=-。

()f z 在全平面处处不
解析。

四、 已知2
2
()(,)(2)2
2
x
y
f z u x y i xy =---
在复平面上解析，求()f z . （8
分）
解：()(2)2(2)2u f z i x y x y i x y z iz x ∂'=
--=+--=-∂
故22
1()2
f z z iz c
=-+
五、 计算积分2
12
(1)
z
z i e
dz z z -=
+⎰
. （8分）
解：
2
112
2
()
2[
](sin 1cos1)
(1)
()
z
z
z
z i z i z i e
e
e
z z i dz dz i i z z z i
z z i ππ=-=
-=
+=
==-+-+⎰
⎰
六、 1) 求函数1()2
z
f z e
z =-在02z <-<+∞内的Laurent 展式.
（6分）
2) 求出函数sin ()(1)
z
z f z z e =+在复平面C 上的所有奇点并判别它们的类
型. （6分）
解：1）2
2
2
1
1
1
()(2)
022
!z n n f z e e
e
z z z n +∞
--==⋅
⋅=-<-<+∞
-∑
2）()f z 以0z =为可去奇点，以(21)z k i π=+为一级极点。

七、 利用留数计算实积分22
0sin 2cos d π
θθθ
+⎰
（8分）
解：
2
2
22
22
2
2
2
1
1
1
(
)
sin 1(1)
212cos (41
22z z z z iz d dz dz z iz z z z z
π
θ
θθ==--=⋅=+++++
⎰
⎰⎰
=2
2
2
2
2
2
(1)
{lim[
](441
z z z z z ππ
→-'-+=-++
八、 设()f z 在单位圆1z <内解析且1()1f z z
≤
-，证明：(0)4f '≤
（6分） 证：取Γ为圆
12
z =
的正向，则()f z 在Γ及其内部解析，故
2
2
2
21
1
1
1()11()111
12(0)24122222
()2
f z z f z f dz dz dz i
z
z
z
πππ
π
πΓ
Γ
Γ
-
-'=
≤
≤
=
⋅=⎰
⎰
⎰。