平面向量的数量积的性质
平面向量数量积的性质及其运算-精品
平面向量数量积的性质及其运算1、平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为仇则：—♦T—♦T—•（1）a•e=e•a=lalcosG；（2）3=Z・E=（）;（判定两向量垂直的充要条件）（3）当W，E方向相同时,a*b=lallH；当彳,E方向相反时，a•b=-Iallbh特别地：W=l孑或可=5客（用于计算向量的模）（4）cose=- （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）lallbl（5）ll*bKldlbl2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a・b二b・a；（2）数乘向量的结合律：（入a）・b=A（a・b）=a・（入b）;（3）分配律：（a•b）・cWa,（b,c）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（W土E）2=/±2：**.②（W-E）（；+E）=a 2-b2.®b-C）丰（a-b）-o从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①\n〃=mn”类比得到“黑三品•盛②“（〃z+〃）t=mt+nt ff类比得到“（a+b）e c=a•c+b・c”；③“0,侬=加=〃7=〃”类比得到晨声0,l-c=b->a=b w;④“依•川=|司・|川”类比得到⑤“（〃?•〃）t=m（〃•1）”类比得到“（a•»c=a•（b,c）”；―♦—♦-♦⑥“注二旦”类比得到冬二？第.以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.beb b,ca解：・・,向量的数量积满足交换律，A u mn=nm n类比得到“黑EV”，即①正确；・・,向量的数量积满足分配律，.•・"（"+〃）t=mt+nf f类比得到“（a+b）・c=a•c+b,c”，即②正确；・・•向量的数量积不满足消元律，J“岸0,/加=加=加=〃”不能类比得到“3#0,W£三a=b"，即③错误；,•,1a•HW|a|・|bl，・・・“依•川=|〃?|・|川”不能类比得到“|，，=可・|讣；即④错误；・・,向量的数量积不满足结合律，・・・“（〃?•〃）t=m（〃•，）”不能类比得到“G4）£=；•£：）”，即⑤错误；・・,向量的数量积不满足消元律，・・.反£二旦”不能类比得到乌工二，beb b-ca即⑥错误.故答案为：①②.向量的数量积满足交换律，由“〃〃?=〃〃?”类比得到二EG"；向量的数量积满足分配律，故“（加+〃）t=mt+nt ff类比得到“G+三）・7=W・丁+b-c";向量的数量积不满足消元律，故"/WO, 不能类比得到“《卢。
平面向量的数量积
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率 （1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹 角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求 证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要 条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明： （λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
平面向量数量积的概念及几何意义
平面向量数量积的概念及几何意义平面向量的数量积是指在平面上的两个向量之间进行的一种运算，也叫做点乘或内积。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量之间的夹角的余弦值与两个向量长度的乘积。
平面向量的数量积可以通过向量的坐标表示进行计算，公式如下：将向量a的坐标表示为a=(a1,a2)将向量b的坐标表示为b=(b1,b2)则两个向量的数量积表示为a·b=a1*b1+a2*b2几何意义：1.夹角：数量积的大小与两个向量之间的夹角有关。
若两个向量夹角为锐角，则其数量积为正值；若夹角为钝角，则其数量积为负值；若夹角为直角，则其数量积为零。
这是因为余弦函数在0°~90°范围内是递增的，所以夹角越小，余弦值越大。
2.正交性：若两个向量的数量积为零，则它们相互垂直，即两个向量是正交的。
这表示两个向量的方向相互垂直，没有共线的分量。
这个性质在几何中非常重要，特别是在研究平面直角坐标系中的直线和曲线时。
3. 向量的投影：平面向量的数量积还可以用于计算向量在另一个向量上的投影。
两个非零向量a和b的数量积可以表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别是向量a和b的长度，θ是a和b之间的夹角。
根据这个公式，可以得到向量a在向量b上的投影p的长度为p=，a，cosθ。
4.长度：向量本身的长度也可以通过数量积来计算。
一个非零向量a 的数量积a·a=，a，^2，其中，a，是向量a的长度。
这个公式也适用于负向量，只需要取绝对值即可。
所以，一个向量的长度等于它自身的数量积的平方根。
值得注意的是，数量积的结果是一个标量，而不是一个向量。
它只表示两个向量之间的关系，而不表示它们自身的性质。
数量积在解决几何问题、力学分析以及线性代数等领域中都有广泛的应用。
通过理解数量积的概念和几何意义，我们可以更好地应用向量进行问题的分析和解决。
平面向量的数量积和向量积的定义和性质
平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。
接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。
一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。
数量积是一个标量。
1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。
5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。
数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。
通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。
二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。
给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。
向量积是一个向量。
1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。
4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。
平面向量的数量积和数量积的性质
平面向量的数量积和数量积的性质在数学中，向量是具有大小和方向的物理量，常用于描述物体的位移和力的方向。
平面向量是指在平面上表示的向量，它由两个有序实数组成，并且可以在平面上进行运算。
其中，数量积是平面向量的一种重要的运算，它描述了两个向量之间的相对方向和大小关系。
一、平面向量的数量积的定义在平面上，设有两个向量a=(a1,a2)和a=(a1,a2)，其数量积表示为a·a。
根据向量的数量积的定义，可得：a·a=a1a1+a2a2二、平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质，下面将分别进行介绍。
性质一：交换律向量的数量积满足交换律，即a·a=a·a。
这是因为根据数量积的定义可知：a·a=a1a1+a2a2a·a=a1a1+a2a2对比两式，可以发现a·a和a·a的表达式是相同的，因此向量的数量积满足交换律。
性质二：分配律向量的数量积满足分配律，即a·(a+a)=a·a+a·a，其中a和a为平面上的两个向量。
这一性质可以用如下方式证明：设向量a=(a1,a2)，a=(a1,a2)，a=(a1,a2)，则有：左边=a·(a+a)=(a1,a2)·[(a1+a1),(a2+a2)]=a1(a1+a1)+a2(a2+a2)=a1a1+a1a1+a2a2+a2a2右边=a·a+a·a=a1a1+a2a2+a1a1+a2a2左边=右边，根据向量的数量积的定义可知，分配律成立。
性质三：数量积与向量的夹角向量的数量积与向量的夹角有一定的关系。
设向量a=(a1,a2)和a=(a1,a2)，它们之间的夹角记为a，且a∈[0,a]。
则有：a·a=a1a1+a2a2=|a||a|cos a其中|a|和|a|分别表示向量a和a的模，cos a表示a的余弦值。
平面向量的数量积
三、平面向量数量积的几何意义:
B
b
O | b | cos
a • b a b cos
a
A
rr r
r rr
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的
r
方向上的投影数量 b cos的乘积.
7
四、平面向量数量积的运算律:
(1)交换律：a • b b • a
(2)数乘结合律：(a) •b (a •b) a •(b) (3)分配律：(a b) •c a •c b•c
求向量模的依据
5cos a • b 00,180 0 a b 求向量夹角的依据
11
例1 已知 a 5, b 4,a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o 510 ( 1)
2 10.
12
பைடு நூலகம்2：求证：
(1)(a b)2 a2 2a b b2; (2)(a b)(a b) a2 b2.
r r 2 r 2 r r r 2
4. a b a 2a • b b
9
五、平面向量数量积的重要性质:
设
是非零向量，
方向相同的
单位向量，
的夹角，则:
1a • e e • a a cos
2a b a •b 0 判断两个向量垂直的依据
a
•
b
10
五、平面向量数量积的重要性质:
4a• a a2 a2
1
一、平面向量的夹角:
2
二、平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量
r a
和
r b
，它们的夹角为
rr
,
我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积
平面向量的数量积及其性质
平面向量的数量积及其性质平面向量是数学中的一个重要概念，数量积则是描述平面向量之间的一种运算。
本文将介绍平面向量的数量积以及它的性质。
1. 数量积的定义及计算方法数量积，也称为点乘或内积，是两个向量之间的一种运算。
对于平面上的向量A和B，它们的数量积记为A·B，计算方法如下：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别是向量A和B的模，θ是A和B之间的夹角。
2. 数量积的几何意义数量积具有几何意义，它表示一个向量在另一个向量上的投影长度乘以另一个向量的模。
具体来说，如果向量A的方向与向量B的夹角θ为锐角或直角，则A·B大于0；如果θ为钝角，则A·B小于0；如果θ为180度，则A·B等于0。
3. 数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A数量积满足交换律，即向量的数量积与它们的顺序无关。
（2）分配律：(A + B)·C = A·C + B·C数量积满足分配律，即两个向量之和与另一个向量的数量积等于它们分别与该向量的数量积之和。
（3）数量积与夹角的关系：A·B = 0 当且仅当 A 和 B 垂直当两个向量的数量积为0时，它们相互垂直。
（4）数量积与向量模的关系：A·A = |A|^2向量A的数量积等于它的模的平方。
4. 应用举例（1）判断向量的大小关系根据向量的数量积性质，可以通过比较两个向量的数量积来判断它们的大小关系。
若A·B > 0，则表示向量A的模大于向量B的模；若A·B < 0，则表示向量A的模小于向量B的模。
（2）计算向量的夹角利用数量积的定义，可以通过求解方程cosθ = A·B / (|A| |B|)来计算两个向量的夹角θ。
（3）求解平面向量的模根据数量积的性质，可以利用向量的数量积来求解向量的模。
若已知向量A与另一个向量B垂直，且知道A·B的值，那么可以通过方程A·B = |A| |B| cos90° = 0求解出向量A的模。
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
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性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
4.3平面向量的数量积
已知点 F(1,0)， P 在 y 轴上运动， M 在 x 轴上运动． 点 点 设 → → → → P(0，b)，M(a,0)且PM·PF＝0，动点 N 满足 2PN＋NM＝0. (1)求点 N 的轨迹 C 的方程； (2)F′为曲线 C 的准线与 x 轴的交点，过点 F′的直线 l 交曲线 C 于不同的两点 A、B，若 D 为 AB 中点，在 x 轴上存 → → → → 在一点 E，使AB·(AE－AD)＝0，求|OE|的取值范围(O 为坐标 原点)．
k2≠0， 2 2 2 2 k x ＋2(k －2)x＋k ＝0，由 Δ＞0
⇒0＜k ＜1，
2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 2－k2 2 则 x0＝ k2 ，y0＝ k ，
→ → → ⇒→ → ∵AB·(AE－AD)＝0⇒AB⊥DE， 2 1 2－k 2 故直线 DE 方程为 y－ ＝－ (x－ 2 )， k k k 2 令 y＝0，得 xE＝1＋ 2(0＜k2＜1) k → ∴x ＞3，即|OE|的取值范围是(3，＋∞)．
2
【例5】已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) 0<α < β < π （1）求证：a+b与a－b互相垂直； （2）若|ka+b|=|ka－b|，求α－β（其中k ∈ R且k≠ 0） － （ （3）|ka+b|= 3 |a-kb|,其中k>0. ①用k表示a·b； ②求a·b最小时，a与b的夹角.
【解】 (1)P(0，b)，M(a,0)，设 N(x，y)， 2 → → 由PM·PF＝0⇒a＋b ＝0，① 由
→＋NM＝0⇒2x＋a－x＝0， → 2PN ⇒ 2(y－b)－y＝0
a＝－x， ⇒ 1 b＝2y.
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积知识点整理1.定义与性质：-向量的数量积定义为：设有两个向量A=(A₁,A₂)和A=(A₁,A₂)，则它们的数量积定义为A·A=A₁A₁+A₂A₂。
-数量积的结果是一个实数。
2.计算方法：-垂直坐标法：直接计算坐标相乘再相加。
-几何解释法：通过几何图形来计算，利用向量的长度和夹角的三角函数关系。
-运算律：满足交换律、分配律和结合律。
3.辅助定理：-平行四边形法则（平行四边形法则）：设有向量A、A和A，则有A·A+A·A=A·(A+A)。
-向量延长线法则：设有向量A和向量A，则有A·A=A·A。
4.性质：-零向量性质：零向量与任何向量的数量积都等于0，即A·A=A。
-等量向量性质：等量向量的数量积等于它们的模长的乘积，即A·A=∣A∣∣A∣。
-单位向量性质：单位向量与任意向量的数量积等于原向量的模长乘以单位向量的模长，即A·A=∣A∣，其中A为单位向量。
-归一型：对于任何非零向量A，总是可以找到一个单位向量A，使得A=∣A∣A。
5.夹角与正交性：- 夹角余弦定理：设有向量A和向量A，则有A·A =∣A∣∣A∣cosθ，其中θ为A与A之间的夹角。
-夹角性质：若A·A=0，则A与A垂直，称为正交向量或垂直向量。
-垂直定理：当且仅当A·A=0时，A与A垂直。
6.平面向量能否为0？-若A·A=0，则向量A与向量A相互垂直。
-反之，若向量A与向量A相互垂直，则A·A=0。
7.一些常用公式的推导：- 向量投影：设有向量A和向量A，A为向量A在向量A上的投影，则有A = (∣A∣cosθ)A，其中θ为两向量之间的夹角，A为单位向量。
- 向量投影的计算公式：向量A在向量A上的投影A的大小为∣A∣cosθ，其中A为两向量之间的夹角。
8.应用：-判断两向量是否垂直。
平面向量的数量积和向量积
平面向量的数量积和向量积在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。
平面向量是指在平面内表示的向量。
平面向量具有一些重要的运算，其中包括数量积和向量积。
一、数量积数量积又称为点积或内积，表示为A·B，其中A和B为平面向量。
数量积的定义如下：A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。
数量积的性质如下：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中k为常数4. 垂直性质：向量A和向量B垂直，当且仅当A·B = 05. 平行性质：向量A和向量B平行，当且仅当A·B = |A||B|数量积的计算方法：设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则A·B = Ax·Bx + Ay·By。
二、向量积向量积又称为外积或叉积，表示为A×B，其中A和B为平面向量。
向量积的定义如下：A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于平面的单位向量。
向量积的性质如下：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B+C) = A×B + A×C3. 结合律：k(A×B) = (kA)×B = A×(kB)，其中k为常数4. 零向量性质：向量A和向量B平行，当且仅当A×B = 05. 平面性质：向量A和向量B所确定的平面与向量A×B垂直向量积的计算方法：设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则A×B = (0, 0, Ax·By - Ay·Bx)。
平面向量的数量积
1、运算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2、向量不能约分(a b a c b c) 结合律不成立 (a b)c a(b c)
2
θ
a B1
),此时a b
A
0
(
2
,
θa
], 此时a
b0
θa
,此时a
b
0
三、数量积的几何意义
2
数量积 a b等于a的长度|a |与 b 在 a的方向上的
投影| b | cos θ的乘积，结果可以是正数、零或负数
例1、已知 a 5, b 4, a与b的夹角＝120，
左边是与c共线的向量，右边是与a共线 的向量，而一般a与c不共线
向量的数 量积不满 足结合律
例3. 证明下列各式: (1)( a+b )2=a2+2a·b+b2; (2)( a+b )·( a-b )=a2-b2.
证明: (1)( a+b )2=( a+b )·( a+b )
=a ·( a+b )+b ·( a+b ) 分配律
F
┓
s
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F
平面向量的数量积与向量垂直
平面向量的数量积与向量垂直平面向量的数量积是向量运算中的一种重要概念，它可以用来判断两个向量之间的夹角以及它们是否垂直。
本文将介绍平面向量的数量积的定义、性质以及与向量垂直的关系。
1. 平面向量的数量积的定义平面向量的数量积也称为内积或点积，表示为a·b。
对于平面上的两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a与b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c(3) 数量积为0的条件：a·b = 0，当且仅当向量a与b垂直。
3. 平面向量的数量积与向量垂直的关系根据数量积为0的条件，可以得出以下结论：若a·b = 0，则向量a与b垂直。
以证明为例，假设a·b = 0，即|a|·|b|·cosθ = 0。
由于向量模长均为非负数，所以可以得出结论：cosθ = 0。
而当cosθ = 0时，夹角θ为90度或其整数倍，即向量a与b垂直。
反之亦成立，即若向量a与b垂直，则a·b = 0。
基于以上性质，可以通过计算平面向量的数量积来判断两个向量之间的关系，特别是向量是否垂直。
4. 使用数量积判断向量是否垂直的实例例1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-3, 2)，判断向量a与向量b是否垂直。
解：计算向量a·b = |a|·|b|·cosθ = 2·(-3) + 3·2 = -6 + 6 = 0。
由于a·b = 0，根据数量积与向量垂直的关系可知，向量a与向量b垂直。
例2：已知向量c = (1, 2)和向量d = (3, 4)，判断向量c与向量d是否垂直。
平面向量的数量积(整理2019年11月)
几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B
B
B
b
Oθ
a B1 A
b
θ
B1
OaBiblioteka bθaA O (B1)
A
2、平面向量数量积的重要性质
ab为非零向量，e为单位向量
• （1）e· a = a · e =| a | cosθ
• （2）a ⊥ b的充要条件是 a ·b =0
A
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
• (3) 当 a与b同向时， a ·b = |a | | b | ;
•
当 a 与b 反向时，a ·b = - |a | | b
|
•
特别地：a ·a=| a | 2 或 | a | =
•
• （4）cosθ=
|
（5）| a·b | ≤ | a | | b
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• （2）因为直线的夹角范围为[00 ，900 ]，所以向量的夹
角范围也为[00 ，900 ]。
（3）已知b为非零向量因为0×a =0， a ·b = 0,所以a = 0
• (4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a ·b ·c = a·（b ·c）
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的3、夹已角知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
于朔、望日两次入朝。我原以为是厨师生了感冒，像在一个半圆
3、平面向量的数量积满足的运算率
（1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
平面向量的数量积有哪些性质
平面向量的数量积有哪些性质平面向量的数量积是向量运算中的一个重要概念，它有许多性质和特点。
在本文中，我们将探讨平面向量的数量积的性质，以及它在几何和向量运算中的应用。
一、数量积的定义和计算公式平面向量的数量积，也叫做点积或内积，表示为a·b。
对于两个平面向量a和b，它们的数量积的计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示夹角。
二、数量积的性质1. 可交换性：a·b = b·a2. 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c，其中a、b、c为三个平面向量3. 数量积与夹角的关系：如果向量a和b夹角为θ，则a·b = |a| |b| cosθ。
特别地，当θ为90度时，a·b = 0，即两个垂直的向量的数量积为0。
4. 向量与自身的数量积：a·a = |a|^2，即向量的数量积等于向量的模长的平方。
5. 数量积与平行关系：如果向量a和b平行，则a·b = |a| |b|。
三、数量积的应用1. 判断两个向量的夹角：通过计算两个向量的数量积，可以求得它们的夹角。
当夹角为锐角时，数量积为正；当夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为直角时，数量积为0。
2. 计算向量的模长：已知向量a和它与某个已知向量的夹角，可以通过数量积的公式反推出向量a的模长。
3. 判断向量是否垂直或平行：通过计算两个向量的数量积，可以判断它们是否垂直或平行。
若数量积为0，则两个向量垂直；若数量积不为0，则两个向量不垂直。
若数量积为|a| |b|，则两个向量平行；若数量积不为|a| |b|，则两个向量不平行。
4. 求解平面向量的投影：通过数量积的计算，可以求解一个平面向量在另一个向量上的投影。
通过研究平面向量的数量积的性质和应用，我们可以更好地理解和应用向量运算。
数量积不仅仅是一种计算方式，它还与向量的夹角、垂直性、平行性等几何特征密切相关，具有很高的实用价值。
平面向量的数量积定理
平面向量的数量积定理平面向量的数量积定理是数学中关于向量乘法的一个重要定理。
它可以简化向量的运算，提供了计算向量相互之间的夹角和长度的方法。
本文将详细介绍平面向量的数量积定理及其应用。
1. 数量积的定义和性质在平面内，设有两个向量a和a，我们将向量a与向量a的数量积表示为a·a。
数量积的定义如下：a·a = |a| |a| cos a其中，|a|表示向量a的长度，|a|表示向量a的长度，a表示向量a和向量a之间的夹角。
数量积有以下几个重要性质：- 交换律：a·a = a·a- 分配律：(a+a)·a = a·a + a·a- 数量积与零向量的关系：a·0 = 0，其中0表示零向量- 零向量的数量积为0：0·0 = 02. 数量积的计算为了计算平面向量的数量积，我们需要了解向量的长度和夹角的计算方法。
2.1 向量长度的计算设有一个向量a = a1a + a2a ，a1和a2为实数，a 和a 分别为坐标轴上的单位向量。
向量a的长度可以通过以下公式计算：|a| = √(a1^2 + a2^2)2.2 向量夹角的计算若有两个非零向量a和a，它们之间的夹角a可以通过以下公式计算：cos a = a·a / (|a| |a|)3. 数量积定理的应用平面向量的数量积定理可以应用于求解向量的夹角和长度，以及解决几何和物理问题。
3.1 夹角的计算根据数量积的定义，我们可以得到以下关系：cos a = a·a / (|a| |a|)若已知向量a和a的数量积a·a和向量的长度|a|、|a|，可以通过上述关系求解夹角a。
3.2 长度的计算已知两个向量a和a之间的夹角a以及向量a的长度|a|，可以通过以下公式计算向量a的长度|a|：|a| = |a| |cos a| / cos(π-a)3.3 几何和物理问题的应用数量积定理在几何和物理问题中有广泛的应用。
高中数学向量的数量积
高中数学向量的数量积向量的数量积是高中数学中的一个重要概念，学生在学习该概念时，首先需要理解它的定义、规律以及具体应用。
本文将从以下三个方面对向量的数量积做出详细介绍：向量的数量积定义及其性质、向量的数量积的几何意义、向量的数量积的具体应用。
一、向量的数量积定义及其性质：向量的数量积又称为点积，它是在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，两个向量的数量积。
“数量积”是指两个向量相乘之后的结果，结果是一个标量。
设 OX 和 OY 是平面直角坐标系中的两条坐标轴，分别表示实数轴和虚数轴，原点 O 是两条坐标轴的交点。
设有两个向量 a 和 b，a = (x1,y1)，b = (x2, y2)，则向量 a 和 b 的数量积记作 a·b = x1x2 + y1y2。
向量的数量积有下面几个重要性质：1. 交换律：a·b = b·a。
2. 数量积为0的条件：若 a·b = 0，则向量 a 与向量 b 垂直。
3. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。
4. 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中 k 为实数。
5. 数量积的平方长度：a·a = |a|²，其中 |a| 表示向量 a 的长度。
二、向量的数量积的几何意义：在平面直角坐标系中，向量的数量积还可以解释为向量 a 在向量 b 上的投影的长度。
具体地说，向量 a 在向量 b 上的投影长度为a·cosθ，其中θ是向量 a 与向量 b 之间的夹角。
因此，向量的数量积还可以解释为：若两个向量夹角为α，则它们之间的夹角余弦值为它们数量积除以它们长度的乘积，即：cosα = a·b / |a||b|。
三、向量的数量积的具体应用：向量的数量积在数学中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 求向量的模长：|a| = √(a·a)，其中a为向量。
平面向量的数量积的性质
【问题导思】已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角.1.若a·b＝0，则a与b有什么关系？【提示】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b.2.a·a等于什么？【提示】|a|·|a|cos 0°＝|a|2.(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b?a·b＝0；(3)a·a＝|a|2即|a|＝a·a；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.(1)(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).(2013·海淀高一检测)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4×(－12)＝－10.(2)∵|a|cos θ＝5×cos 120°＝－5 2，∴a在b方向上的射影的数量为－52.1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a ·b .1.(2013·玉溪高一检测)已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则a 在b 方向上的射影的数量是( )A.－4B.4C.－2D.2【解析】 cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－126×3＝－23，向量a 在向量b 方向上的射影的数量为|a |cos<a ，b >＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4，故选A. 【答案】 A2.已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a 、e 之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，分别求出a ·e 及向量a 在e 方向上的正射影的数量.【解】 当向量a 和e 之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，|a|·|e|cos 45°＝6×1×22＝32；|a|·|e|cos 90°＝6×1×0＝0；|a|·|e|cos 135°＝6×1×(－22)＝－3 2.当向量a 和e 之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，a 在e 方向上的正射影的数量分别为：|a |cos θ＝6×cos 45°＝32；|a |cos θ＝6×cos 90°＝0；|a |cos θ＝6×cos 135°＝－3 2.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.【思路探究】利用a·a＝a2或|a|＝a2求解.【自主解答】由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2 3.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，试求|a＋b|的值.【解】∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，∴|a＋b|＝|3(e1＋e2)|＝3|e1＋e2|＝3?e1＋e2?2＝3e21＋2e1·e2＋e22＝32＋ 2.(2014·济南高一检测)若向量a，b，c两两所成的角均为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b与向量a＋c的夹角θ的余弦值.【思路探究】先利用已知条件，分别求出(a＋b)·(a＋c)，|a＋b|和|a＋c|的大小，再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】∵(a＋b)·(a＋c)＝a2＋a·b＋a·c＋b·c＝1＋1×2×cos 120°＋1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－9，2|a＋b|＝?a＋b?2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3，|a＋c|＝a2＋2a·c＋c2＝7，∴cos θ＝?a ＋b ?·?a ＋c ?|a ＋b ||a ＋c |＝－923×7＝－32114， 所以向量a ＋b 与a ＋c 的夹角θ的余弦值是－32114.1.求向量a ，b 夹角的流程图2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算. (1)(2014·辽宁师大附中高一检测)若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则a 与c 的夹角为( )A.0B.π6C.π3D.π2(2)(2014·贵州省四校高一联考)若|a |＝2，|b |＝4且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.2π3 B.π3 C.4π3 D.－2π3【解析】 (1)∵a ·c ＝a ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ＝a ·a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ·b a ·b ＝a 2－a 2＝0，又a ≠0，c ≠0，∴a ⊥c ，a 与c 的夹角为π2，故选D.(2)因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，即a ·b ＝－a 2＝－4，所以cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，又因<a ，b >∈[0，π]，所以a 与b 的夹角是2π3 ，故选A.【答案】 (1)D (2)A混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误设两向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°.若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【错解】 由已知得e 1·e 2＝2×1×12＝1，于是(2t e1＋7e2)·(e1＋t e2)＝2t e21＋(2t2＋7)e1·e2＋7t e22＝2t2＋15t＋7.因为2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，所以2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－12.【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.【防范措施】若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180°，其数量积也为负.【正解】由已知得e1·e2＝2×1×12＝1，于是(2t e1＋7e2)·(e1＋t e2)＝2t e21＋(2t2＋7)e1·e2＋7t e22＝2t2＋15t＋7.因为2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，所以2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－12.但是，当2t e1＋7e2与e1＋t e2异向共线时，它们的夹角为180°，也有2t2＋15t＋7<0，这是不符合题意的.此时存在实数λ，使得2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)，即2t＝λ且7＝λt，解得t＝±14 2.故所求实数t的取值范围是－7，－142∪⎝⎛⎭⎪⎫－142，－12.1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).2.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是()A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0B.若λa＝0，则a＝0或λ＝0C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD.若a·b＝a·c，则b＝c【解析】由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.【答案】 B2.(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.【解析】由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|2＝－13.【答案】－1 33.已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的射影是________.【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60°＝4×12＝2.【答案】 24.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.【解】(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，<a，b>＝π2.∴a·b＝|a||b|cosπ2＝4×5×0＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×32＝10 3.一、选择题1.|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】 c ⊥a ，设a 与b 的夹角为θ，则(a ＋b )·a ＝0，所以a 2＋a ·b ＝0，所以a 2＋|a ||b |cos θ＝0，则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.故选C. 【答案】 C2.若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 的模为( )A.2B.4C.6D.12【解析】 ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |2－2|a |－24＝0，∴|a |＝6.【答案】 C3.△ABC 中，AB →·AC →＜0，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＜0，∴cos A ＜0.∴A 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形.【答案】 C4.(2014·怀远高一检测)已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12【解析】 ∵a ·b ＝(i －2j )·(i ＋λj )＝1－2λ＞0，∴λ＜12，又a 、b 同向共线时，a·b ＞0，设此时a ＝k b (k ＞0)，则i －2j ＝k (i ＋λj )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，－2＝kλ，∴λ＝－2，∴a 、b 夹角为锐角时，λ的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，故选A. 【答案】 A5.(2014·皖南八校高一检测)在△OAB 中，已知OA ＝4，OB ＝2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP →·AB →＝( )A.6B.－6C.12D.－12【解析】 设AB 的中点为M ，则OP →·AB →＝(OM →＋MP →)·AB →＝OM →·AB →＝12(OA →＋OB →)·(O B →－OA →)＝12(OB →2－OA →2)＝－6.故选B.【答案】 B二、填空题6.(2014·北大附中高一检测)向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.【解析】 因为a·b ＝|a ||b |cos 120°＝－32，所以|5a －b |2＝25a 2－10a ·b ＋b 2＝25－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9＝49，所以|5a －b |＝7. 【答案】 77.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于________.【解析】 ∵(3a ＋2b )⊥(λa －b )∴(λa －b )·(3a ＋2b )＝0，∴3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝2，|b |＝3，a ⊥b ，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0，∴12λ－18＝0，∴λ＝32.【答案】 328.(2014·温州高一检测)已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________.【解析】 设a ，b 的夹角为θ，由b ·(a －b )＝0，得|b |·|a |cos θ－|b |2＝0.解得|b |＝0或|b |＝|a |cos θ＝cos θ≤1，所以|b |的取值范围是[0,1].【答案】 [0,1]三、解答题9.已知向量a 、b 的长度|a |＝4，|b |＝2.(1)若a 、b 的夹角为120°，求|3a －4b |；(2)若|a ＋b |＝23，求a 与b 的夹角θ.【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. 又|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a －4b |＝419.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2a ·b ＋22＝(23)2，∴a ·b ＝－4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－44×2＝－12. 又 θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.10.已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值.【解】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，∴－k a2＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0.∴k＝14(t 2－3t)＝14(t－32)2－916(t≠0).故当t＝32时，k取最小值－916.11.(2014·淄博高一检测)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝7.(1)求a与b夹角的大小；(2)求a＋b与b夹角的大小；(3)求|3a＋b||3a－b|的值.【解】(1)设a与b的夹角为θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝12，∴|a||b|cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为π3.(2)设a＋b与b的夹角为α，∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋12＝32，|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝3，|b|＝1，∴cos α＝?a＋b?·b|a＋b||b|＝323＝32，又α∈[0，π]，∴a＋b与b的夹角为π6. (3)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，(3a－b)2＝9|a|2－6a·b＋|b|2＝9－3＋1＝7，∴|3a＋b||3a－b|＝137＝917.(教师用书独具)已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b).【思路探究】证明a＋b与a－b垂直，转化为证明a＋b与a－b的数量积为零.【自主解答】∵|2a＋b|＝|a＋2b|，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，∴a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b).1.解本题的关键是找出a与b的关系，由已知条件建立方程组不难找出a与b的关系.2.非零向量a·b＝0?a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝m a－3b，求当m为何值时，c与d垂直？【解】由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.由c⊥d，得c·d＝0，∴c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b)＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87.∴42m－87＝0，∴m＝2914，即m＝2914时，c与d垂直.。
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已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角.1.若a·b＝0，则a与b有什么关系？【提示】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b.2.a·a等于什么？【提示】|a|·|a|cos 0°＝|a|2.(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2即|a|＝a·a；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.(1)(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).(2013·海淀高一检测)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ ＝5×4×cos 120°＝5×4×(－12)＝－10. (2)∵|a |cos θ＝5×cos 120°＝－52， ∴a 在b 方向上的射影的数量为－52.1.在书写数量积时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a ·b .1.(2013·玉溪高一检测)已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则a 在b 方向上的射影的数量是( )A.－4B.4C.－2D.2【解析】 cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－126×3＝－23，向量a 在向量b 方向上的射影的数量为|a |cos<a ，b >＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4，故选A.【答案】 A2.已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a 、e 之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，分别求出a ·e 及向量a 在e 方向上的正射影的数量.【解】 当向量a 和e 之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时， |a|·|e|cos 45°＝6×1×22＝32； |a|·|e|cos 90°＝6×1×0＝0； |a|·|e|cos 135°＝6×1×(－22)＝－3 2. 当向量a 和e 之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，a 在e 方向上的正射影的数量分别为：|a |cos θ＝6×cos 45°＝32； |a |cos θ＝6×cos 90°＝0； |a |cos θ＝6×cos 135°＝－3 2.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.【思路探究】利用a·a＝a2或|a|＝a2求解.【自主解答】由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2 3.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，试求|a ＋b|的值.【解】∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，∴|a＋b|＝|3(e1＋e2)|＝3|e1＋e2|＝3(e1＋e2)2＝3e21＋2e1·e2＋e22＝32＋ 2.(2014·济南高一检测)若向量a，b，c两两所成的角均为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b与向量a＋c的夹角θ的余弦值.【思路探究】先利用已知条件，分别求出(a＋b)·(a＋c)，|a＋b|和|a＋c|的大小，再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】∵(a＋b)·(a＋c)＝a2＋a·b＋a·c＋b·c＝1＋1×2×cos 120°＋1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－9 2，|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3，|a＋c|＝a2＋2a·c＋c2＝7，∴cos θ＝(a＋b)·(a＋c)|a＋b||a＋c|＝－923×7＝－32114，所以向量a＋b与a＋c的夹角θ的余弦值是－321 14.1.求向量a ，b 夹角的流程图2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.(1)(2014·辽宁师大附中高一检测)若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则a 与c 的夹角为( ) A.0 B.π6C.π3 D.π2(2)(2014·贵州省四校高一联考)若|a |＝2，|b |＝4且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( )A.2π3B.π3C.4π3D.－2π3【解析】 (1)∵a ·c ＝a ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ＝a ·a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ·b a ·b ＝a 2－a 2＝0，又a ≠0，c ≠0，∴a ⊥c ，a 与c 的夹角为π2，故选D.(2)因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，即a ·b ＝－a 2＝－4，所以cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，又因<a ，b >∈[0，π]，所以a 与b 的夹角是2π3 ，故选A.【答案】 (1)D (2)A混淆两向量夹角为钝角与两向 量数量积为负之间关系致误设两向量e1，e2满足：|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2t e1＋7e2与向量e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【错解】由已知得e1·e2＝2×1×12＝1，于是(2t e1＋7e2)·(e1＋t e2)＝2t e21＋(2t2＋7)e1·e2＋7t e22＝2t2＋15t＋7. 因为2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，所以2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－1 2.【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.【防范措施】若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180°，其数量积也为负.【正解】由已知得e1·e2＝2×1×12＝1，于是(2t e1＋7e2)·(e1＋t e2)＝2t e21＋(2t2＋7)e1·e2＋7t e22＝2t2＋15t＋7. 因为2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，所以2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－1 2.但是，当2t e1＋7e2与e1＋t e2异向共线时，它们的夹角为180°，也有2t2＋15t＋7<0，这是不符合题意的.此时存在实数λ，使得2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)，即2t＝λ且7＝λt，解得t＝±14 2.故所求实数t的取值范围是－7，－142∪⎝⎛⎭⎪⎫－142，－12.1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).2.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|cos〈a，b〉·c是一个与c 共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是()A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0B.若λa＝0，则a＝0或λ＝0C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD.若a·b＝a·c，则b＝c【解析】由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.【答案】 B2.(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.【解析】由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|2＝－13.【答案】－1 33.已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的射影是________.【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60°＝4×12＝2.【答案】 24.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.【解】(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，<a，b>＝π2.∴a·b＝|a||b|cos π2＝4×5×0＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×32＝10 3.一、选择题1.|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cos θ＝0，则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.故选C.【答案】 C2.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )A.2B.4C.6D.12 【解析】 ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72， ∴|a |2－2|a |－24＝0， ∴|a |＝6. 【答案】 C3.△ABC 中，AB →·AC →＜0，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＜0， ∴cos A ＜0.∴A 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形. 【答案】 C4.(2014·怀远高一检测)已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 【解析】 ∵a ·b ＝(i －2j )·(i ＋λj )＝1－2λ＞0，∴λ＜12，又a 、b 同向共线时，a·b ＞0，设此时a ＝k b (k ＞0)，则i －2j ＝k (i ＋λj )，∴⎩⎨⎧k ＝1，－2＝kλ，∴λ＝－2，∴a 、b 夹角为锐角时，λ的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，故选A.【答案】 A5.(2014·皖南八校高一检测)在△OAB 中，已知OA ＝4，OB ＝2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP →·AB →＝( )A.6B.－6C.12D.－12【解析】 设AB 的中点为M ，则OP →·AB →＝(OM →＋MP →)·AB →＝OM →·AB →＝12(OA →＋OB →)·(O B →－OA →)＝12(OB →2－OA →2)＝－6.故选B.【答案】 B 二、填空题6.(2014·北大附中高一检测)向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.【解析】 因为a·b ＝|a ||b |cos 120°＝－32，所以|5a －b |2＝25a 2－10a ·b ＋b 2＝25－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9＝49，所以|5a －b |＝7.【答案】 77.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于________. 【解析】 ∵(3a ＋2b )⊥(λa －b ) ∴(λa －b )·(3a ＋2b )＝0， ∴3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0. 又∵|a |＝2，|b |＝3，a ⊥b ，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0， ∴12λ－18＝0，∴λ＝32. 【答案】 328.(2014·温州高一检测)已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________.【解析】 设a ，b 的夹角为θ，由b ·(a －b )＝0，得|b |·|a |cos θ－|b |2＝0.解得|b |＝0或|b |＝|a |cos θ＝cos θ≤1，所以|b |的取值范围是[0,1].【答案】 [0,1]三、解答题9.已知向量a 、b 的长度|a |＝4，|b |＝2. (1)若a 、b 的夹角为120°，求|3a －4b |； (2)若|a ＋b |＝23，求a 与b 的夹角θ. 【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 120° ＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.又|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2 ＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304， ∴|3a －4b |＝419.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝42＋2a ·b ＋22＝(23)2，∴a ·b ＝－4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－44×2＝－12.又 θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.10.已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值.【解】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0. ∴k ＝14(t 2－3t )＝14(t －32)2－916(t ≠0). 故当t ＝32时，k 取最小值－916.11.(2014·淄博高一检测)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|3a －2b |＝7. (1)求a 与b 夹角的大小； (2)求a ＋b 与b 夹角的大小； (3)求|3a ＋b ||3a －b |的值. 【解】 (1)设a 与b 的夹角为θ，(3a －2b )2＝9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7，又|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝12， ∴|a ||b |cos θ＝12， 即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3.(2)设a ＋b 与b 的夹角为α，∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a ·b ＝1＋12＝32， |a ＋b |＝a 2＋b 2＋2a·b ＝3，|b |＝1， ∴cos α＝(a ＋b )·b |a ＋b ||b |＝323＝32，又α∈[0，π]，∴a ＋b 与b 的夹角为π6. (3)(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13， (3a －b )2＝9|a |2－6a·b ＋|b |2＝9－3＋1＝7，∴|3a ＋b ||3a －b |＝137＝917.(教师用书独具)已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b).【思路探究】证明a＋b与a－b垂直，转化为证明a＋b与a－b的数量积为零.【自主解答】∵|2a＋b|＝|a＋2b|，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，∴a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b).1.解本题的关键是找出a与b的关系，由已知条件建立方程组不难找出a与b 的关系.2.非零向量a ·b ＝0⇔a ⊥b 是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？【解】 由已知得a ·b ＝3×2×cos 60°＝3. 由c ⊥d ，得c ·d ＝0， ∴c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b ) ＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2 ＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87. ∴42m －87＝0，∴m ＝2914，即m ＝2914时，c 与d 垂直.。