2016中考数学专题预测解析：32+动态几何之双(多)动点形成的最值问题
专题33 动态几何之线动形成的最值问题(压轴题)-决胜2016中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
一、选择题1. （2015陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线2y x x 6=--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．6二、填空题 三、解答题1. （2014年福建莆田14分）如图，抛物线C 1：y=（x+m ）2（m 为常数，m ＞0），平移抛物线y=﹣x 2，使其顶点D 在抛物线C 1位于y 轴右侧的图象上，得到抛物线C 2．抛物线C 2交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，设点D 的横坐标为a ． （1）如图1，若m=12． ①当OC=2时，求抛物线C 2的解析式；②是否存在a ，使得线段BC 上有一点P ，满足点B 与点C 到直线OP 的距离之和最大且AP=BP ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=m -（0＜m ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m 的式子表示）．【答案】解：（1）当m=12时，抛物线C 1：y=（x+12）2． ∵抛物线C 2的顶点D 在抛物线C 1上，且横坐标为a ，∴D （a ，（a+12）2）． ∴抛物线C 2：y=﹣（x ﹣a ）2+（a+12）2（I ）． ①OC=2，∴C （0，2）．∵点C 在抛物线C 2上，∴﹣（0﹣a ）2+（a+12）2=2，解得：a=74，代入（I ）式， 得抛物线C 2的解析式为27y x x 22=-++． ②在（I ）式中，令y=0，即：﹣（x ﹣a ）2+（a+12）2=0，解得1x 2a 2=+或1x 2=-，∴B （12a 2+，0）. 令x=0，得：1y a 4=+，∴C （0，1a 4+）．设直线BC 的解析式为y=kx+b ，则有：12a k b 021b a 4⎧⎛⎫++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩，解得1k 21b a 4⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.∴直线BC 的解析式为：11y x a 24=-++．假设存在满足条件的a 值．∵AP=BP ，∴点P 在AB 的垂直平分线上，即点P 在C 2的对称轴上.∵点B 与点C 到直线OP 的距离之和≤BC ，只有OP ⊥BC 时等号成立，∴OP ⊥BC ．如答图1所示，设C 2对称轴x=a （a ＞0）与BC 交于点P ，与x 轴交于点E ，则OP ⊥BC ，OE=a ． ∵点P 在直线BC 上，∴P （a ，11a 24+），PE=11a 24+． ∵tan ∠EOP=tan ∠BCO=12a OB 221OC a 4+==+，∴11a PE 242OE a +==，解得：1a 6=．∴存在1a 6=，使得线段BC 上有一点P ，满足点B 与点C 到直线OP 的距离之和最大且AP=BP（2）P 1m -，1），P 2m ，﹣3），P 3（m -，3），P 4（m -，3）．【考点】1.二次函数综合题；2. 线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.线段垂直平分线的性质；7.锐角三角函数定义；8. 等边三角形的判定和性质；9.分类思想的应用．.∴抛物线C 2：y=﹣（x ﹣a ）2+（a+m ）2．令y=0，即﹣（x ﹣a ）2+（a+m ）2=0，解得：x 1=2a+m ，x 2=﹣m ，∴B （2a+m ，0）．∵OB=m -，∴2a+m=m ，解得m -．∴D m ，3）．AB=OB+OA=m -+m=．如答图2所示，设对称轴与x 轴交于点E ，则DE=3，，OE=OB ﹣m -．∵tan ∠ABD=DEBE =，∴∠ABD=60°． 又∵AD=BD ，∴△ABD 为等边三角形．作∠ABD 的平分线，交DE 于点P 1，则P 11=，∴P 1m -，1）. 在△ABD 形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P 2、P 3、P 4．在Rt △BEP 2中，P 23=，∴P 2m ，﹣3）.易知△ADP 3、△BDP 4均为等边三角形，∴DP 3=DP 4=AB=，且P 3P 4∥x 轴．∴P 3（m -，3）、P 4（m -，3）．综上所述，到△ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P 1m ，1），P 2m ，﹣3），P 3（m -，3），P 4（m -，3）．2. （2014年广东广州14分）已知平面直角坐标系中两定点A （﹣1，0）、B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a≠0）过点A ，B ，顶点为C ，点P （m ，n ）（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围； （3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a≠0）过点A （﹣1，0）、B （4，0），∴a b 2016a 4b 20--=⎧⎨+-=⎩，解得：1a 23b 2⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴抛物线的解析式为：213y x x 222=--.∵22131325y x x 2x 22228⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴C 325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．（3）存在. ∵m ＞32，∠APB 为直角，∴P （3，﹣2）.根据平移和对称的性质可得，点B′的坐标为59,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，点B″的坐标为541,28⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设直线A B″的解析式为：y=kx+b ，则k b 0541k b 28-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩有，解得41k 2841b 28⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴线A B″的解析式为：4141y x 2828=--. 当25y 8=-时，93x 82=.∴39315t 28241=-=.∴将抛物线向左平移1541个单位连接A 、B 、P′、C′所构成的多边形的周长最短．【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的与方程的关系；5.二次函数的性质；6.圆周角定理；7.轴对称的应用（最短线路问题）．【分析】（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．（2）以AB 为直径作圆M ，则抛物线在圆内的部分的点（即点P 在抛物线上AE 和BF 之间），能使∠APB 为钝角，所以﹣1＜m ＜0，或3＜m ＜4．（3）将BP 沿PC 平移，使得点P 与点C 重合，点B 落在点B′处，作直线25y 8=-，则点C 在这条直线上，以直线25y 8=-为对称轴，作B′的对称点B″，连接A B″，当点C 为A B″与直线25y 8=-的交点C′时，AC+BP 最小，即AC′+BP′最小.3. （2014年湖北鄂州12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数5y x m 4=+的图象与x 轴交于A （﹣1，0），与y 轴交于点C ．以直线x=2为对称轴的抛物线C 1：y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B ．（1）求m 的值及抛物线C 1：y=ax 2+bx+c （a≠0）的函数表达式． （2）设点D （0，2512），若F 是抛物线C 1：y=ax 2+bx+c （a≠0）对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）两点，试探究1211M F M F+是否为定值？请说明理由．（3）将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线C 2：()221y x h 4=--，h ＞1．若当1＜x≤m 时，y 2≥﹣x 恒成立，求m 的最大值．（2）1211M F M F+为定值，理由如下： 要使△ADF 的周长取得最小，只需AF+DF 最小，如答图，连接BD 交x=2于点F ，因为点B 与点A 关于x=2对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF 最小． 令215y x x 44=-++中的y=0，则x=﹣1或5 ，∴B （5，0）．∵D （0，2512）， ∴由待定系数法可求直线BD 解析式为525y x 1212=-+．∴F （2，54）． 令过F （2，54）的直线M 1M 2解析式为y=kx+b ，则52k b 4+=，∴5b 2k 4=-．∴直线M 1M 2的解析式为5y kx 2k 4=+-．由25y kx 2k 415y x x 44⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得x 2﹣（4﹣4k ）x ﹣8k=0，∴x 1+x 2=4﹣4k ，x 1x 2=﹣8k ． ∵112255y kx 2k,y kx 2k 44=+-=+- ，∴y 1﹣y 2=k （x 1﹣x 2）． ∴M 1M 2==()241k ===+，M 1=，M 2=．∴M 1F•M 2F==()21241k M M ==+=． ∴1212121212M F M F M M 111M F M F M F M F M F M F++===⋅⋅为定值． （3）设y 2=﹣x 的两根分别为s ，t ， ∵抛物线C 2：()221y x h 4=--（h ＞1）可以看成由21y x 4=-向右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，s ，t 的值不断增大，∴当1＜x≤m ，y 2≥﹣x 恒成立时，m 最大值在t 处取得． ∴当s =1时，对应的t 即为m 的最大值．将s =1代入y 2=﹣x 得（1﹣h ）2=4，解得h=3或﹣1（舍去）． 将h=3代入y 2=﹣x 有()21x 3x 4--=-，解得x=1或x=9．∴t=9．∴m的最大值为9．【考点】1．二次函数综合题；2．线动平移问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．一元二次方程根与系数的关系；7．勾股定理．4. （2014年湖北咸宁10分）如图1，P（m，n）是抛物线2xy14=-上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【探究】（1）填空：当m=0时，OP= ▲ ，PH= ▲ ；当m=4时，OP= ▲ ，PH= ▲ ；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线2xy14=-上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【答案】解：（1）OP=1，PH=1；OP=5，PH=5． （2）猜想：OP=PH ．证明如下： （3）如答图1，记PH 与x 轴交点为Q ，则PQ ⊥x 轴，∵P 在二次函数2x y 14=-上，∴设P （m ，2m 14-），则PQ=2m 14-，OQ=m ． ∵△OPQ 为直角三角形，∴2m 14===+，PH=y P ﹣（﹣2）=（2m 14-）﹣（﹣2）=2m 14+．∴OP=PH ．（3）如答图2，连接OA ，OB ，过点A 作AC ⊥l 于C ，过点B 作BD ⊥l 于D ，此时AC 即为A 点到l 的距离，BD 即为B 点到l 的距离．则有OB=BD ，OA=AC ， 在△AOB 中，∵OB+OA ＞AB ，∴BD+AC ＞AB ．当AB 过O 点时，∵OB+OA=AB ，∴BD+AC=AB ． 综上所述，BD+AC≥AB ．∵AB=6，∴BD+AC≥6，即A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值为6．【考点】1．二次函数综合题；2．线动问题；3．曲线上点的坐标与方程的关系；4．勾股定理；5．三角形三边关系．5. （2014年四川泸州12分）如图，已知一次函数11y x b 2=+的图象l 与二次函数22y x mx b =-++的图象'C 都经过点B （0,1）和点C ，且图象'C 过点A （52-，0）. （1）求二次函数的最大值；（2）设使21y y >成立的x 取值的所有整数和为s ，若s 是关于x 的方程131x 0a 1x 3⎛⎫++= ⎪--⎝⎭的根，求a 的值；（3）若点F 、G 在图象'C 上，长度为5的线段DE 在线段BC 上移动，EF 与DG 始终平行于y 轴，当四边形DEFG 的面积最大时，在x 轴上求点P，使PD+PE 最小，求出点P 的坐标.【答案】解：（1）∵二次函数22y x mx b =-++经过点B （0，1）与A （2，0），∴((2b 122m b 0=⎧⎪⎨--+++=⎪⎩，解得m 4b 1=⎧⎨=⎩.∴C′：()222y x 4x 1x 25=-++=--+.∴二次函数的最大值为5.（2）由（1）知，2121y x 1,y x 4x 12=+=-++ 联立y 1与y 2得：21x 1x 4x 12+=-++，解得x=0或x=72，当x=72时，11711y 1224=⋅+=，∴C （72，114）．∴使y 2＞y 1成立的x 的取值范围为0＜x ＜72，所有整数为1，2，3.∴s=1+2+3=6．代入方程131x 0a 1x 3⎛⎫++= ⎪--⎝⎭得13610a 163⎛⎫++= ⎪--⎝⎭，解得a=17. （3）∵点D 、E 在直线l ：11y x 12=+上， ∴设D （p ，1p 12+），E （q ，1q 12+），其中q ＞p ＞0．∴EF=（﹣p 2+5）﹣（1p 22+）=﹣p 2﹣12p+3． S 四边形DEFG =12（DG+EF ）•EH=12 [（﹣p 2+72p ）+（﹣p 2﹣12p+3）]×2=﹣2p 2+3p+3.∴当p=34时，四边形DEFG 的面积取得最大值，∴D （34，118）、E （114，198）．如答图2所示，过点D 关于x 轴的对称点D′，则D′（34，118-）.连接D′E ，交x 轴于点P ，PD+PE=PD′+PE=D′E ，由两点之间线段最短可知，此时PD+PE 最小． 设直线D′E 的解析式为：y=kx+b ，则有311k b481119k b48⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得15k889b32⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴直线D′E的解析式为：1589y x832=-．令y=0，得x=8960，、∴P（8960，0）．【考点】1.二次函数和代数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数最值；6.勾股定理；7.轴对称的应用（最短线路问题）；8.数形结合思想和方程思想的应用.【分析】（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值.（2）联立y1与y2得，求出点C的坐标为C（72，114），因此使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜72，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值.（3）分两步：第1步，确定何时四边形DEFG的面积最大；第2步，利用轴对称的性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标．6．（2014年山西省13分）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和 OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和 O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设 O′A′B′C′与 OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设抛物线W的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线W 经过O （0，0）、A （4，0）、C （﹣2，3）三点，∴c 016a 4b c 04a 2b c 3=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：1a 4b 1c 0⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩．∴抛物线W 的解析式为21y x x 4=-．∵()2211y x x x 2144=-=--，∴顶点D 的坐标为（2，﹣1）． （2）由 OABC 得，CB ∥OA ，CB=OA=4．又∵C 点坐标为（﹣2，3），∴B 点的坐标为（2，3）． 如答图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，由平移可知，点C′在BE 上，且BC′=m ． ∴BE=3，OE=2.∴EA=OA ﹣OE=2． ∵C′B′∥x 轴，∴△BC′G ∽△BEA. ∴BC C G BE EA ''=，即m C G 32'=.∴C′G=2m 3． 由平移知， O′A′B′C′与 OABC 的重叠部分四边形C′HAG 是平行四边形．∴()22233S C G C E m 3m m 3322⎛⎫='⋅'=⋅-=--+ ⎪⎝⎭.∴当m=32时，S 有最大值为32．（3）存在．点M 的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移、面动平移和双动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.相似三角形的判定和性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，化为顶点式求出顶点D 的坐标.（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图1，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值.（3）在（2）的条件下，抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线W′，∵D （2，﹣1），∴F （6，52-）.∴抛物线W′的解析式为：()215y x 642=--．设M （t ，0），以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，分点N 在x 轴上方、下方两种情况讨论：①若点N 在x 轴下方，如答题2所示：过点D 作DP ∥y 轴，过点F 作FP ⊥DP 于点P ，∵D （2，﹣1），F （6，52-），∴DP=32，FP=4.过点N 作DQ ⊥x 轴于点Q ，由四边形FDMN 为平行四边形，易证△DFP ≌△NMQ ，∴MQ=FP=4，NQ=DP=32.∴N （4+t ，﹣32）.将点N 坐标代入抛物线W′的解析式()215y x 642=--，得：()2153t 2422--=-，解得：t=0或t=4，∴点M 的坐标为（0，0）或（4，0）.②若点N 在x 轴上方，（请自行作图）与①同理，得N （4﹣t ，32）将点N 坐标代入抛物线W′的解析式()215y x 642=--，得：()2153t 10422--=，解得：t=6或t=14，∴点M 的坐标为（6，0）或（14，0）．综上所述，存在这样的点M 和点N ，点M 的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．7．（2014年陕西省10分）已知抛物线C ：y=﹣x 2+bx+c 经过A （﹣3，0）和B （0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N ． （1）求抛物线C 的表达式； （2）求点M 的坐标；（3）将抛物线C 平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x 轴的交点记为N′．如果以点M 、N 、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？ 【答案】解：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （﹣3，0）和B （0，3）两点，∴93b c 0c 3--+=⎧⎨=⎩，解得b 2c 3=-⎧⎨=⎩．∴此抛物线的解析式为：2y x 2x 3=--+．（2）∵()22y x 2x 3x 14=--+=-++，∴M （﹣1，4）．（3）由题意，以点M 、N 、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN 的对边只能是M′N′，∴MN ∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16．∴NN′=4．i ）当M 、N 、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C 向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii ）当M 、N 、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C 先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．【考点】1.二次函数图象与平移变换；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数的性质；4.平行四边形的性质；5.分类思想的应用．【分析】（1）直接把A （﹣3，0）和B （0，3）两点代入抛物线y=﹣x 2+bx+c ，求出b ，c 的值即可．（2）把（1）中抛物线的解析式化为顶点式可得出其顶点坐标．（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．8. （2013年四川乐山13分）如图1，已知抛物线C 经过原点，对称轴x=3-与抛物线相交于第三象限的点M ，与x 轴相交于点N ，且tan MON 3∠=。
专题24 动态几何之双(多)动点形成的函数关系问题(压轴题)
《中考压轴题》专题24：动态几何之双（多）动点形成的函数关系问题一、选择题1.如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B-A-D-C和B-C-D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是A．当t=4秒时，S=43B．AD=4C．当4≤t≤8时，S=23t D．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积2.如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为A．B．C．D，3.如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是A ．AE=6cmB ．4sin EBC 5∠=C ．当0＜t ≤10时，22y t 5=D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形4.如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，22y t 5=；③直线NH 的解析式为5y t 272=-+；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒。
专题32 动态几何之双(多)动点形成的最值问题(压轴题)
《中考压轴题》专题32：动态几何之双（多）动点形成的最值问题一、填空题1.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．2.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．3.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．二、解答题1.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？2.如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？3.如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数关系式；②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．4.在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．（1）如图①，当点E 自D 向C ，点F 自C 向B 移动时，连接AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 与DF 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E ，F 分别移动到边DC ，CB 的延长线上时，连接AE 和DF ，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E ，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE ，DF ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E ，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx 4=+-与x 轴交于点A（﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M ，H 分别从点A ，B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点H 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ，设点M 的运动时间为t 秒（t ＞0）．求点M 的运动时间t 与△APH 的面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．6．如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴相交于A、B两点．（1）试求点A、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．7．如图，直线4y x83=-+与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx 3(a 0)=+-≠与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使CBK PBQ S S 5:2=△△：，求K 点坐标.9.如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC ．（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ；（4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10.如图，直线y x 412=-+与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y=x 交于点C ．在线段OA 上，动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 从点A 出发向点O 做匀速运动，当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交直线AB 、OC 于点E 、F ，连接EF ．若运动时间为t 秒，在运动过程中四边形PEFQ 总为矩形（点P 、Q 重合除外）．（1）求点P 运动的速度是多少？（2）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 为正方形？（3）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 的面积S 最大？并求出最大值．11.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发，分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t （秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为点C 、D ，连结CD 、QC ．（1）求当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）设△QCD 的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系，并求S 的最大值？（3）若⊙P 与线段QC 只有一个交点，请直接写出t 的取值范围．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．13.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P 是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N 以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．14.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=22．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．16.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．17.如图，正方形AOCB 在平面直角坐标系xOy 中，点O 为原点，点B 在反比例函数k y x =（x ＞0）图象上，△BOC 的面积为8．（1）求反比例函数k y x=的关系式；（2）若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t 表示，△BEF 的面积用S 表示，求出S 关于t 的函数关系式，并求出当运动时间t 取何值时，△BEF 的面积最大？（3）当运动时间为34秒时，在坐标轴上是否存在点P ，使△PEF 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C 的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．19.如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒53个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？20.如图，甲、乙两人分别从A(1)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．21.如图，在O A B C中，点A在x轴上，∠A O C=60o，O C=4c m．O A=8c m．动点P从点O出发，以1c m／s的速度沿线段O A→A B运动；动点Q同时．．从点O出发，以a c m／s的速度沿线段O C→C B运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．22.如图，抛物线2y x 2=-++与x 轴交于C ．A 两点，与y 轴交于点B ，点O 关于直线AB 的对称点为D ，E 为线段AB 的中点．（1）分别求出点A ．点B 的坐标；（2）求直线AB 的解析式；（3）若反比例函数k y x=的图象过点D ，求k 值；（4）两动点P 、Q 同时从点A 出发，分别沿AB ．AO 方向向B ．O 移动，点P 每秒移动1个单位，点Q 每秒移动12个单位，设△POQ 的面积为S ，移动时间为t ，问：S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t 值；若不存在，请说明理由．23.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜103）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．24.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD 上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．。
专题31 动态几何之单动点形成的最值问题(压轴题)
《中考压轴题》专题31：动态几何之单动点形成的最值问题一、选择题1.已知点A的坐标为（2，0），点P在直线y=x上运动，当以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为【】A．（1，﹣1）B．（0，0）C．（1，1）D．2.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为【】A. B.1 C.2 D.3.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为【】A. B.1 C.2 D.7.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是【】A．B．C．D．8.如图，在圆O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知：圆O 半径为52，tan ∠ABC ＝34，则CQ 的最大值是【】A ．5B ．154C ．253D ．2039.如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【】A.1(,0)2 B.(1,0) C.3(,0)2 D.5(,0)210.如图，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点P 在折线C －D －E 上移动，若点C 、D 、E 的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B 的横坐标的最小值为1，则点A 的横坐标的最大值为【】A.1B.2C.3D.411.如图为反比例函数1y=x在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为【】A．4B．3C．2D．112.如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A．8B．12C．212D．172二、填空题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是»CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．2.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．3.如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．4.如图，在边长10cm为的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm。
2016人教版中考数学压轴题专题五动态问题之双(多)动点问题-1.doc
专题二双（多）动点针对练习参考答案一、双（多）动点形成的函数关系问题和最值问题.1. 解：（1）当点P 运动到E 点时，t ＝5，∴BE ＝BQ ＝5 由y ＝12BQ ·AB ＝10，得AB ＝4 ∴AE ＝ BE 2－AB 2＝ 52－4 2＝3当点Q 运动到C 点时，t ＝12，∴BC ＝12 ∴ED ＝12－3＝9，∴BE ＋ED ＝5＋9＝14 当点P 由D 运动到C 时，点Q 始终在C 点∴图2中的图象FG 对应的是点Q 在C 点、点P 在DC 上运动时y 与t 之间的函数关系 ∵y 最大＝1 2 BC ·AB ＝12×12×4＝24，∴F （14，24） 当点P 运动到C 时，t ＝14＋4＝18，∴G （18，0） 设线段FG 的函数关系式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧14k ＋b ＝2418k ＋b ＝0 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6b ＝108 ∴线段FG 的函数关系式为y ＝－6x ＋108（14≤t ＜18） （2）∵QD 平分∠PQC ，∴∠1＝∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠3，∴PD ＝PQ 过P 作PH ⊥BC 于H∵BQ ＝t ，EP ＝t －5，AE ＝3 ∴BH ＝AP ＝t －5＋3＝t －2∴QH ＝t －( t －2 )＝2，PD ＝12－( t －2 )＝14－t ∴PQ ＝ PH 2＋QH 2＝42＋2 2＝2 5∴14－t ＝25，∴t ＝14－2 5 ∴当QD 平分∠PQC 时，t ＝14－2 5A B DCE Q P123H（3）S四边形BCDE ＝12(DE＋BC)·AB＝12(9＋12)×4＝42当点P在BE上运动时∵y最大＝12BQ·AB＝12×5×4＝10∴S△BPQ ≤10，∴S五边形PQCDE ≥32∴S△BPQ :S五边形PQCDE ＜1:2当点P在ED上运动时EP＝t－5，BQ＝t，PD＝14－t，QC＝12－t若S四边形PQCD ＝2S四边形BQPE ，则PD＋QC＝2(EP＋BQ) ∴14－t＋12－t＝2(t－5＋t)，解得t＝6若S四边形BQPE ＝2S四边形PQCD ，则EP＋BQ＝2(PD＋QC)∴t－5＋t＝2(14－t＋12－t)，解得t＝19 2∴存在t＝6和t＝192，使PQ将四边形BCDE的面积分成1:2的两部分A BDC PEQA BDCPEQ二、双（多）动点形成的面积问题和最值问题.1.解：（1）在Rt△AOB中，∠AOB＝60°，OB＝2 3∴∠OBC＝30°，OA＝OB·cos60°＝ 3∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°∴OC＝OAcos30°＝2∵∠BOC＝∠OBC＝30°，∴BC＝OC＝2 （2）当0≤t＜2时，过Q作QD⊥AB于D则PC＝2－t，QD＝QC·sin60°＝32t，又∴S＝12PC·QD＝12(2－t)·32t＝－34t2＋32t当2＜t≤4时，过Q作QE⊥OC轴于E∴S＝12PC·QE＝12(t－2)·32(t－2)＝34(t－2)2（3）①当MO＝MP时，∠MOP＝∠MPO＝30°∴PQ⊥OQ，∴OP＝2OQ∴4－t＝2(t－2)，解得t＝8 3∴∠OQP ＝180°－(60°＋75°)＝45°过P 作PF ⊥QO 于F ，则∠QPF ＝∠PQF ＝45° ∴PF ＝QF ，∴32 (4－t)＝(t －2)－12(4－t) 解得t ＝6＋233③当OP ＝PM 时，则∠OMP ＝∠MOP ＝30°＝∠QOA ∴PQ ∥y 轴，不可能 综上，当t ＝83 或t ＝ 6＋23 3时，△OPM 为等腰三角形2．解：（1）∵△AOB 为等边三角形，AC 平分∠OAB∴AC ⊥OB ，∴∠PCQ ＝90° 当0＜t ≤2时，CP ＝3t ，CQ ＝t∴S ＝1 2 CP ·CQ ＝ 1 2 3t ·t ＝ 3 2t2当2＜t ＜6时，过P 作PF ⊥AC 于F在Rt △PF A 中，∠P AF ＝30°∴PF ＝1 2 P A ＝ 12(6 3－ 3t)∴S ＝ 1 2 CQ ·PF ＝ 1 2 t · 1 2 (6 3－ 3t )＝－ 3 4 t 2＋33 2t（2）∵△AOM 绕点A 顺时针旋转60°得△ABD∴AD ＝AM ，∠MAD ＝60° ∴△AMD 是等边三角形 设AM ＝x①当点M 在x 轴上方，且在OD 的左侧时则AD ＝AM ＝x ，过M 作MG ⊥x 轴于G 在Rt △AMG 中，∠MAG ＝30°，∴MG ＝12x ∴S △OMD＝S △OMA＋S △AMD －S △OAD＝1 2 ×4 3·1 2 x ＋ 3 4 x 2－ 12×43·x ＝ 3 4x 2－3x 令 3 4x 2－ 3x ＝33，解得x 1＝－2（舍去），x 2＝6 ∴AM ＝6，∴MG ＝3，AG ＝33∴M （3，3）②当点M在x 轴上方，且在OD 的右侧时则AD ＝AM ＝x ，过M 作MH ⊥x 轴于H 在Rt △AMH 中，∠MAH ＝30°，∴MH ＝12x ∴S △OMD＝S △OAD－S △OMA －S △AMD＝1 2 ×4 3·x － 1 2 ×4 3·1 2 x － 3 4x2 ＝－3 4x 2＋3x令－ 3 4x 2－ 3x ＝3 3，整理得：x2－4x ＋12＝0△＝(－4)2－4×12＝－32＜0，∴方程无实数解 ③当点M 在x 轴下方时 过M 作MN ⊥x 轴于N ，则∠MAN ＝∠OAC ＝30° ∴∠DAN ＝90°，∴∠OAD ＝90°∴S △OMD＝S △OAD＋S △AMD －S △OAM＝1 2 ×4 3·x ＋ 3 4 x 2－ 1 2 ×4 3·1 2x ＝ 3 4x 2＋3x 令 3 4x 2＋ 3x ＝33，解得x 1＝－6（舍去），x 2＝2 ∴AM ＝2，∴MN ＝1，AN ＝3综上：存在点M （3，3）或M （53，－1），使△OMD 的面积等于333．解：（1）2提示：当DE 经过点C 时∵DE ⊥PQ ，PD ＝QD ，∴PC ＝CQ ∴6－t ＝2t ，∴t ＝2（2）过A 作AM ⊥BC 于M ，过Q 作QN ⊥BC 于N则△QNC ∽△AMC ，∴QNAM＝QCAC∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ，∴AM ＝AB 2－BM 2＝4（cm ）∴ QN 4 ＝ 2t 5 ，∴QN ＝ 85t∴S ＝S △ABC － S △QPC ＝ 1 2 ×6×4－ 1 2 (6－t )· 85t即S ＝ 4 5t2－ 245t ＋12（0≤t ≤52）（3）存在∵DE ⊥PQ ，∴当PQ ⊥AC 时△PQC ∽△PDE 此时△PQC ∽△AMC ，∴QCMC＝PCAC即2t3＝6－t5 ，∴t ＝1813∴存在以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△PDE 相似，此时t ＝18134．解：（1）若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD ＝QC由QC ＝3t ，BA ＋AP ＝5t ，得10＋15－5t ＝3t ，解得t ＝258经检验，当t ＝258时，PQ ∥DC（2）①当点E 在CD 上时，分别作AF ⊥BC 于F ，DG ⊥BC 于H则四边形ADGF 为矩形，∴FG ＝AD ＝15Q DE C ABP M B CADP Q E∵△ABF ≌△DCG ，∴BF ＝CG ＝12(BC －FG)＝6，∴DG ＝AF ＝102－62＝8又QC ＝3t ，∴QE ＝QC ·tan C ＝3t ·DGCG＝4t ∴S ＝S △EQC＝12QC ·QE ＝1 2·3t ·4t ＝6 t2 即S ＝6 t2（0＜t ≤2）②当点E 在DA 上时，作DH ⊥BC 于H 则CH ＝6，∴ED ＝QH ＝QC －CH ＝3t －6∴S ＝S 梯形DEQC＝1 2 (ED ＋QC )·DH ＝ 12(3t －6＋3t)·8＝24t －24即S ＝24t －24（2＜t ≤7）③当点E 到达A 点时，用时(6＋15)÷3＝7（s ）此时点P 运动的路程为7×5＝35＝AB ＋AD ＋DC 即点P 恰好运动至点C ，整个运动随之结束（4）①当点P 在BA （包括点A ）上，即0＜t ≤2时，过点P 作PF ⊥BC 于F则PF ＝PB ·sin B ＝4t，又QE ＝4t ，∴PF ＝QE易得四边形PFQE 为矩形，此时△PQE 总能成为直角三角形 ②当点P 、E 都在AD （不包括点A 但包括点D ）上，即2＜t ≤5时 由QE ⊥BC 和AD ∥BC 可知，此时，△PQE 为直角三角形，但点P 、E 不能B C A DP Q E F G A D PE H BCA DPQ EF重合，即5t －10＋3t －6≠15，解得t ≠318③当点P 在DC 上（不包括点D 但包括点C ），即5＜t ≤7时由ED ＞5×3－6＝9，可知点P 在以QE ＝8为直径的圆的外部，故∠EPQ 不会是直角 由∠PEQ ＜∠DEQ ，可知∠PEQ 一定是锐角由于∠PQE ≤∠CQE ，只有当点P 与C 重合，即t ＝7时，∠PQE ＝90°，△PQE 为直角三角形综上所述，当△PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0＜t ≤5且t ≠318或t＝7ADPE。
中考数学 专题33 动态几何之线动形成的最值问题(含解析)
专题33 动态几何之线动形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写线动形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，线动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
1.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．5【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.2.如图，矩形ABCD中， BC=2，点P是线段BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，平移线段PE得到CF，连接EF。
问：四边形P CFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由。
【答案】解：有。
依题意，得四边形PCFE是平行四边形。
设BP=x，则PC=2﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，【考点】四边形综合题，旋转和平移问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。
动态几何之“双动点”问题(含解析)
动态几何之“双动点”问题（含解析）1. 已知，如图，在△ABC 中，已知AB =AC =5 cm ，BC =6 cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线QD 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ，且QD ⊥BC ，与AC ，BC 分别交于点D ，Q ；当直线QD 停止运动时，点P 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （0＜t ＜3）s ．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ//AC ？（2）设四边形APQD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形APQD ：S △ABC =23：45？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第1题图解：（1）当t s 时,PQ//AC ，∵点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线QD 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ， ∴BP ＝t ，BQ ＝6−t ． ∵PQ//AC ， ∴△BPQ ∽△BAC ，第1题解图∴C B Q B B A BP =，即665t t -=，解得t ＝1130s ． ∴当t 为1130s 时，PQ//AC ；（2）过点A 、P 作AN ⊥BC ，PM ⊥BC 于点N 、M ， ∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ， ∴BN ＝CN ＝3cm ， ∴AN ＝222235-=-BN AB ＝4cm ．∵AN ⊥BC ，PM ⊥BC ， ∴△BPM ∽△BAN ， ∴AN PM AB BP =，即45PM t =，解得PM ＝t 54， ∴S △BPQ ＝21BQ ·PM ＝21（6−t ）·t 54＝t t 512522+-， ∵AB ＝AC ＝5cm ，AN=4cm ,CN=3cm ,DQ//AN , ∴△CDQ ∽△CAN ， ∴CN CQ AN DQ =，即34tDQ =，∴DQ=34t , ∴S △CDQ ＝21CQ ·DQ ＝32t 2． ∵S △ABC ＝21BC ·AN =21×6×4＝12， ∴y ＝S 四边形APQD ＝S △ABC −S △CDQ −S △BPQ ＝12−32t 2−（t t 512522+-）＝12−t t 5121542-（0＜t ＜3）； （3）存在．∵由（2）知，S 四边形APQD ＝S △ABC −S △CDQ −S △BPQ ＝12−21t 2−（t t 512522+-）＝12−t t 5121542-，S △ABC ＝12， ∴452312512154122=-t t -，解得t 1＝411412-+，t 2＝411412--（舍去）． ∴当t ＝4114123-+s 时，S 四边形APQD ：S △ABC ＝23：45．2. 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，点P 从点A 出发，沿折线AB −BC 向终点C 运动，在AB 上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒34个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．设点P 运动的时间为t 秒．（1）求线段AQ 的长；（用含t 的代数式表示）（2）连接PQ ，当PQ 与△ABC 的一边平行时，求t 的值；（3）如图②，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，以PE ，EQ 为邻边作矩形PEQF ，点D 为AC 的中点，连接DF ．设矩形PEQF 与△ABC 重叠部分图形的面积为S ．①当点Q 在线段CD 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；②直接写出DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2时t 的值．第2题图解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，由勾股定理得：AC ＝2222610-=-BC AB ＝8，∵点Q 在CA 上，以每秒34个单位移动， ∴CQ ＝34t ， ∴AQ ＝AC -CQ =8−34t ．（2）∵P 点从AB -BC 总时间36510+=4s , ∵点P 在AB 或BC 上运动，点Q 在AC 上， ∴PQ 不可能与AC 平行， ①当点P 在AB 上，则PQ//BC ，此时AC AQ AB AP =，即834810t 5t-=，解得t =s 23; ②当点P 在BC 上,此时PQ//AB ，∴CA CQ BC CP =，即46-3t 2368t-=（），解得t ＝3s ， 综上所述，t ＝32s 或3s 时，PQ 与△ABC 的一边平行； （3）①∵点D 是AC 的中点， ∴CD=4，当点Q 运动到点D 时，t 34＝4，解得t ＝3， 点Q 与点E 重合时，t 316＝AC ＝8，得t ＝23，分三种情况讨论如下： （i ）点Q 与点E 重合时，316t ＝AC ＝8，得t ＝23，当0≤t ≤23，此时矩形PEQF 在△ABC 内，如解图①所示，∵AP ＝5t ，易得AE ＝4t ，PE ＝3t ，∴EQ ＝AQ －AE ＝8－34t －4t ＝8－316t ， ∴S ＝PE ×EQ ＝3t （8－316t ）＝－16t ２＋24t ；第２题解图（ii ）点P 与点B 重合时，5t ＝10，得t ＝2，当23≤t ≤2时，如解图②所示，设QF 交AB 与T ，则重叠部分是矩形PEQF 的面积减去△PFT 的面积． ∵AQ ＝8－34t ，∴QT ＝43AQ =43（8－34t ）=6-t ， ∴FT =PE -QT =3t -(6-t )=4t -6, EQ =AE -AQ =4t -(8-34t )=316t -8, ∴S =PE ·EQ -21EQ ·Ft =3t ·（316t -8)-21·（316t -8)（4t -6） =316t 2+8t -24； (iii )当2<t ≤3,点P 在BC 上，且点F 在△ABC 外，如解图③所示，此时点E 与点C 重合，PC ＝6－3（t －2）＝12－3t ，QC ＝34t ，QT ＝43(8-34t )＝6－t ，BP ＝3（t －2），PR ＝34·3（t －2）＝4t －8，FR ＝FP －PR ＝34t －（4t －8）＝8－38t ，FT ＝43FR ＝6－2t ． ∴S ＝PT ×QC －21FR ·FT ＝（12－3t ）·34t －21·（8－38t ）·（6－2t ） ＝－320t ２+32t －24；第２题解图②53，56. 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4．动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回．点P ，Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达C 时停止运动，点Q 也同时停止．连接PQ ，设运动时间为t （0＜t ≤5）秒．（1）当点Q 从B 点向A 点运动时（未到达点A ）求S △APQ 与t 的函数关系式；写出t 的取值范围； （2）在（1）的条件下，四边形BQPC 的面积能否为△ABC 面积的1513？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由；（3）伴随点P 、Q 的运动，设线段PQ 的垂直平分线为l ，当l 经过点B 时，求t 的值．第3题图解：（1）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝222243+=+BC AB ＝5；如解图①，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，AP ＝t ，AQ ＝3−t ，第3题解图①则∠AHP ＝∠ABC ＝90°，∵∠PAH ＝∠CAB ，∴△AHP ∽△ABC ， ∴BCPHAC AP =， ∵AP ＝t ，AC ＝5，BC ＝4， ∴PH ＝54t ，∴S △APQ ＝21（3−t ）·54t ， 即S ＝−2t 52＋t 56，t 的取值范围是：0＜t ＜3． （2）在（1）的条件下，四边形BQPC 的面积能为△ABC 面积的1513．理由如下： 依题意得：−2t 52＋t 56=21152 ×3×4，即−2t 52＋t 56=54． 整理，得（t −1）（t −2）＝0， 解得t 1＝1，t 2＝2， 又0＜t ＜3，∴当t ＝1或t ＝2时，四边形BQPC 的面积能为△ABC 面积的1513； （3）①如解图②，当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ，第3题解图②BQ ＝BP ＝AP ＝t ，∠QBP ＝∠QAP ， ∵∠QBP ＋∠PBC ＝90°，∠QAP ＋∠PCB ＝90° ∴∠PBC ＝∠PCB ，∴CP ＝BP ＝AP ＝t ∴CP ＝AP ＝21AC ＝21×5＝2.5， ∴t ＝2.5；②如解图③，当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ，第3题解图③BP ＝BQ ＝3−（t −3）＝6−t ，AP ＝t ，PC ＝5−t ，过点P 作PG ⊥CB 于点G ， 则PG//AB ， ∴△PGC ∽△ABC ， ∴BCGCAB PG AC PC ==， ∴PG ＝AC PC ·AB ＝53（5−t ）， CG ＝AC PC ·BC ＝54（5−t ）， ∴BG ＝4−54(5−t ）＝54t ， 由勾股定理得BP 2＝BG 2＋PG 2， 即（6−t ）2＝（54t ）2＋[53（5−t ）]2， 解得t ＝1445． 综上所述，伴随点P 、Q 的运动，线段PQ 的垂直平分线为l ，经过点B 时，t 的值是2.5或1445． 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ，点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点P 运动到点E 停止运动，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？（2）当点Q 在BE 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t ，使PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为S △PQE ：S 五边形PQBCD ＝1：29？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．解：（1）如解图①，在Rt △ABC 中，第4题解图AC ＝6，BC ＝8， ∴AB ＝2286+＝10．∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点．， AD ＝DC ＝3，AE ＝EB ＝5，DE//BC 且DE ＝21BC ＝4， ∵PQ ⊥AB ，∴∠PQB ＝∠C ＝90°， 又∵DE//BC ，∴∠AED ＝∠B ， ∴△PQE ∽△ACB ，∴BCQEAB PE =. 由题意得：PE ＝4−t ，QE ＝2t −5， 即852104-=-t t ，解得t ＝1441； （2）如解图②，过点P 作PM ⊥AB 于M ， 由△PME ∽△ACB ，得ABPEAC PM =， ∴10t -46=PM ，得PM ＝53（4−t ）．S △PQE ＝21EQ ·PM ＝21（5−2t ）·53（4−t ）＝53t 2−1039t ＋6， S 梯形DCBE ＝21×（4＋8）×3＝18， ∴y ＝S 梯形DCBE -S △PQE =18−（53t 2−1039t ＋6）＝−53t 2+1039t ＋12． （3）假设存在时刻t ，使S △PQE ：S 五边形PQBCD ＝1：29， 则此时S △PQE ＝301S 梯形DCBE ， ∴53t 2−1039t ＋6＝301×18，即2t 2−13t ＋18＝0， 解得t 1＝2，t 2＝29（舍去）． 当t ＝2时， PM ＝53×（4−2）=56，ME ＝54×（4−2）＝58， EQ ＝5−2×2＝1，MQ ＝ME ＋EQ ＝58＋1＝513， ∴PQ ＝22MQ PM +＝52055135622=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．∵21PQ ·h ＝S △PQE =53， ∴h ＝56·)2056(20520562055或=. 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒． （1）求线段CD 的长；（2）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得S△CPQ ：S △ABC =9：100？若存在，求出t 的值；若不存在，则说明理由；（3）是否存在某一时刻t ，使得△CPQ 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t 的值；若不存在，则说明理由．解：（1）如解图①，∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC ＝21BC •AC ＝21AB •CD ． ∴CD ＝1086⨯=⨯AB AC BC ＝4.8， ∴线段CD 的长为4.8；（2）①过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如解图②所示．由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝4.8−t ．∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∴∠HCP ＝90°−∠DCB ＝∠B ．∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°,∴∠CHP ＝∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ， ∴AB PC AC PH =,∴10t 8.48-=PH ， ∴PH ＝t 54-2596，∴S △CPQ ＝21CQ ·PH ＝21t （t 54-2596）＝−52t 2+2548t ； ②存在某一时刻t ，使得S △CPQ ：S △ABC ＝9：100．∵S △ABC ＝21×6×8＝24，且S △CPQ ：S △ABC ＝9：100， ∴（−52t 2+2548t ）：24＝9：100． 整理得：5t 2−24t ＋27＝0．即（5t −9）（t −3）＝0．解得：t ＝59或t ＝3． ∵0≤t ≤4.8，∴当t ＝59秒或t ＝3秒时，S △CPQ ：S △ABC ＝9：100； （3）①若CQ ＝CP ，如解图①，则t ＝4.8−t ；解得：t ＝2.4；②若PQ ＝PC ，如解图②所示，∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ，∴QH ＝CH ＝21QC ＝21t ． ∵△CHP ∽△BCA ．∴ABCP BC CH =, ∴108.4621t t -=，解得：t ＝55144； ③若QC ＝QP ，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如解图③所示．同理可得：t ＝1124． 综上所述：当t 为2.4秒或55144秒或1124秒时，△CPQ 为等腰三角形．第5题解图6. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BD ⊥AC 于点D ，且BD =8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2 cm /s ；同时直线PQ 由点B 出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动过程中始终保持PQ//AC ，直线PQ 交AB 于点P 、交BC 于点Q 、交BD 于点F ．连接PM ，设运动时间为t （0＜t ＜5）．（1）当t 为何值时，PM//BC ？（2）设四边形PQCM 的面积为y cm 2，求y 与t 之间的函数关系式； （3）已知某一时刻t ，有S 四边形PQCM =43S △ABC 成立，请你求出此时t 的值.第6题图解：（1）∵当PM//BC 时，△APM ∽△ABC ， ∴AP ＝AM ，∴10−t ＝2t ，∴t ＝310； （2）∵四边形PQCM 为梯形，y ＝21（PQ ＋MC ）DF ， ∵PQ ＝PB ＝t ，MC ＝10−2t ，BF ：BD ＝BP ：AB ,∴BF ＝54108 t t ， ∴DF ＝8−t 54, ∴y ＝21(t ＋10−2t )·(8−t 54）=252t −8t ＋40； （3）由（2）知，252t −8t ＋40=40×43， 解得t ＝10±53，又∵0<t<5,∴当t ＝10-53s 时，使S 四边形PQCM ＝43S △ABC 成立.7. 如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，AD ＝6 cm ，CD ＝4 cm ，BC ＝BD ＝10 cm ，点P 由B 出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE//AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ ＝252S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由； （4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．第7题图解：（1）当PE//AB 时，∴DBDP DA DE =． 而DE ＝t ，DP ＝10−t ，∴10106t t -=， ∴t ＝415， ∴当t ＝415s 时，PE//AB ； （2）∵AD//BC ,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，∴EF//CD ，∴四边形CDEF 是平行四边形,∴∠DEQ ＝∠C ，∠DQE ＝∠BDC ．∵BC ＝BD ＝10，∴△DEQ ∽△BCD ,∴CD EQ BC DE =,410EQ t =, ∴EQ ＝52t , 如解图，过B 作BM ⊥CD 交CD 于M ，过P 作PN ⊥EF 交EF 于N ，∵BC ＝BD ，BM ⊥CD ，CD ＝4cm ，∴CM ＝21CD ＝2cm ， ∴BM ＝6496410021022==-=-cm ，∵EF//CD ，∴∠BQF ＝∠BDC ，∠BFG ＝∠BCD ，又∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ，∴∠BQF ＝∠BFG ，∵ED//BC ，∴∠DEQ ＝∠QFB ，又∵∠EQD ＝∠BQF ，∴∠DEQ ＝∠DQE ，∴DE ＝DQ ，∴ED ＝DQ ＝BP ＝t ，∴PQ ＝10−2t ．又∵△PNQ ∽△BMD ， ∴BM PN BD PQ =，∴6410210PN t =-，∴PN ＝)5t -，∴S △PEQ ＝21EQ ·PN ＝⨯⨯t 5221)5t -=2255-+；第7题解图（3）存在.此时t 的值为1s 或4s .S △BCD ＝21CD ·BM ＝21×4×46＝86， 若S △PEQ =252S △BCD ， 则有2646255-+=252×86, 解得t 1＝1，t 2＝4，∴当t=1或4时，S △PEQ =252S △BCD ； （4）五边形PFCDE 的面积不发生变化.理由如下：在△PDE 和△FBP 中，∵DE ＝BP ＝t ，PD ＝BF ＝10−t ，∠PDE ＝∠FBP ，∴△PDE ≌△FBP （SAS ）．∴S 五边形PFCDE ＝S △PDE ＋S 四边形PFCD ＝S △FBP ＋S 四边形PFCD ＝S △BCD ＝86,∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．8. 如图．在△ABC 中．AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，AD 是BC 边上的高．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动．速度为1 cm /s ．同时，直线EF 由BC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1 cm /s ，EF//BC ，并且EF 分别交AB 、AD 、AC 于点E ，Q ，F ，连接PQ ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形BDFE 是平行四边形？（2）设四边形QDCP 的面积为y （cm 2），求出y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形QDCP ：S △ABC ＝9：20？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使点Q 在线段AP 的垂直平分线上？若存在，求出此时点F 到直线PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．第8题图解：（1）如解图①中，连接DF ，第8题解图①∵AB ＝AC ＝5，BC =6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3，在Rt △ABD 中，AD ＝223-5＝4，∵EF//BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴ADAQ BC EF =， ∴446t EF -=， ∴EF ＝23（4−t ）， ∵EF//BD ，∴EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形， ∴23（4−t ）＝3， ∴t ＝2，∴t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；（2）如解图②中，作PN ⊥AD 于N ，第8题解图②∵PN //DC ， ∴AC AP DC PN =， ∴553t PN -=， ∴PN ＝53（5-t ）， ∴y ＝21DC ·AD −21AQ ·PN ＝6−21（4−t ） ·53（5−t ）＝6−（t t 10271032-＋6）=t t 10271032+-（0＜t ＜4）； （3）存在.理由：由题意（t t 10271032+-）：12＝9：20， 解得t ＝3或6（舍去）；∴当t ＝3s 时，S 四边形QDCP ：S △ABC ＝9：20；（4）存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H ．第8题解图③∵QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝21AP ＝21（5−t ），由题意cos ∠CAD ＝AQ AN C A AD =， ∴()544521=--t t ， ∴t ＝37， ∴t ＝37s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上． ∵sin ∠FPH ＝53=PF FH ， ∵PA ＝5−37＝38，AF ＝AQ ÷122554=， ∴PF ＝127， ∴FH ＝207． ∴点F 到直线PQ 的距离h ＝207．9. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC ＝2，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，同时动点Q 从点C 出发，以相同的速度沿射线BC 运动，当点P 出发后，过点Q 作QE ⊥BD ，交直线BD 于点E ，连接AP 、AE 、PE 、QE ，设运动时间为t （秒）．（1）请直接写出动点P 运动过程中，四边形APQD 是什么四边形？（2）请判断AE ，PE 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）设△EPB 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式；（4）直接写出△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍时t 的值．第9题图解：（1）四边形APQD 是平行四边形；【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，P 、Q 速度相同， ∴∠ABE ＝∠EBQ ＝45°，AD ∥BQ ，AD ＝BC ＝2，BP ＝CQ ， ∴BC ＝AD ＝PQ ，∴四边形APQD 是平行四边形.（2）AE ＝PE ，AE ⊥PE ；理由如下：∵EQ ⊥BD ，∴∠PQE ＝90°−45°＝45°，∴∠ABE ＝∠EBQ ＝∠PQE ＝45°，∴BE ＝QE ，在△AEB 和△EPQ 中，AB PQ ABE PQE BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△EPQ （SAS ），∴AE ＝PE ，∠AEB ＝∠PEQ ，∴∠AEP ＝∠BEQ ＝90°，∴AE ⊥PE ；（3）过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如解图①所示：BQ ＝t ＋2，EF ＝22+t ， ∴y ＝21×22+t ×t ，即y ＝t t 41212+；第9题解图①（4）△EPQ 面积是△EDQ 面积的2倍时t 的值为1或3.【解法提示】分两种情况：① 当P 在BC 延长线上时，作PM ⊥QE 于M ，如解图②所示：第10题解图②∵PQ ＝2，∠BQE ＝45°，∴PM ＝22PQ ＝2，BE ＝QE ＝22BQ ＝22（t ＋2）， ∴DE ＝BE −BD ＝22（t ＋2）−22＝22t -2, ∵△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍， ∴21×22（t ＋2）×2＝2×21（22t −2）×22（t ＋2）， 解得t ＝3或t ＝−2（舍去），∴t ＝3；②当P 在BC 边上时，解法同①，此时DE ＝2-22t ， ∵△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍， ∴21×22（t ＋2）×2＝2×21（2-22t ）×22（t ＋2）， 解得：t ＝1或t ＝−2（舍去），∴t ＝1；综上所述，△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍时t 的值为：1或3．。
初中数学动点产生的最值问题专项讲解
初中数学动点产生的最值问题专项讲解一、如图1,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图2,连接A、B与l的交点即为所求.图1 图2 图3 图4二、如图3,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图4,做点B关于直线l 的对称点B/,连接AB/与l的交点即为点P.因为A、B两点是固定的,所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小时,做法也是一样的.三、如图5,在直线l上找到两点EF(点E在点F的左侧),EF的距离是定值,使得AE+EF+FB最小.做法如图6,过A做AA'∥l且AA'=EF,做B关于直线l的对称点B′,连接A'B'与直线l的交点即为F,过A做A'F的平行线与直线l的交点即为点E 同样地,因为AB两点是固定的,所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时,也是用同样的方法图5 图6 图7 图8四、如图7,直线a与直线b平行,在直线a上找到一点A,过点A作直线b的垂线交于点B,如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短.做法如图8,做PD垂直直线b交直线a于点C,交直线b于点D,在PD上截取PECD,连接EQ,EQ与直线b的交点即为点B,过点B做直线a的垂线,交点即为点A,连接PA即可.这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题.五、如图9,在直线l上找到一点M,使得|MA-MB|最小;直线l上找到一点N,使|NA-NB|最大.做法如图10,做AB 的中垂线与直线l 相交,交点即为M 、此时|MA-MB|有最小值0.如图11,延长BA 与直线l 相交,交点即为N 、此时|NA-NB|有最大值为AB.图9 图10 图11六、如图12,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、OB 上找到一点N 使三角形PMN 的周长最小.做法如图13,分别作点P 关于QA 、OB 的对称点P1、P2,连接P1P2、与OA 的交点即为M,与OB 的交点即为N.此时,三角形PMN 的周长最短.图12 图13 图14 图15七、如图14,点P 是∠AOB 内部一点,在OA 上找到一点M 、过点M 作AMN 垂直OB 交OB 于点N,使得PM+MN 的最小.做法如图15,作点P 关于OA 的对称点Q,做QN 垂直OB 于N 、则QN 与OA 的交点为M.八、如图16,在三角形ABC 中找到一点P,使得PA+PB+PC 最小.做法如图17,分别以AB 、BC 、AC 为边向外做等边三角形,连接AD 、BE 、CF 的交点就是符合条件的点P.lABlP2OOO图16 图17 图18 图19九、如图18,三角形ABC 是等腰直角三角形,C 是直角顶点、以C 为圆心,21AB 长为半径作圆,在⊙C 上找到一点P,使得PA+22PB 最短. 做法如图19,取BC 的中点D,连接AD,则AD 与⊙C 的交点即为P. 注:在⊙C 上任取一点P,连接PC,PB,∵CP CD =CB CP =22,且∠PCD=∠BCP ∴△PCD ∽△BCP ， ∴PD =22PB学思路铺垫已知:二次函数y=-2x 2+3x-23与直线y=x 交于A 、B 两点,点A 在点B 的左侧. (1)A 、B 两点的坐标分别是__________、(2)在y 轴上找到一点C,使得三角形ABC 的周长最小,则点C 的的坐标为_______ (3)若以M 为圆心的圆经过AB 两点,且圆心角AMB 是直角,请写出M 的坐标_____;若以M 为圆心,以2为半径作圆,在此圆上找到一个点P,使PA+22PB 最小,则此最小值为_____________，_____________ 思路：①两定点在定直线同侧,作对称；②先转化22PB,取MB 的中点Q,连接AQ, 则AQ 的长度即为所求. 压轴题(山东滨州中考)如图2-4-20,已知直线y=kx+b(k 、b 为常数)分别与x 轴、y 轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x 2+2x+1与y 轴交于点C. (1)求直线y=kx+b 的函数解析式；(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x 2+2x+1上的任意一点,设点P 到直线AB 的距离为d,求d 关于x 的函数解析式,并求d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=-x 2+2x+1的对称轴上移动,点F 在直线AB 上移动,求CE+EF 的最小值提能力1.(山东烟合中考)如图2-4-21,抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,AB=4,矩形OBDC 的边CD=1,延长DC 交抛物线于点E (1)抛物线的解析式为________;(2)如图2-4-22,点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点,过点P 作y 轴的平行线交直EO 于点G,作PH ⊥EO,垂足为H.设PH 的长为l,点P 的横坐标为m,求L 与m 的函解析式(不必写出m 的取值范围),并求出l 的最大值.2.(山东东营中考)如图2-4-23,直线y=33x+3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点,点A 在x 轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax 2+bx+3经过A,B 两点.(1)A 、B 两点的坐标分别为_____________;抛物线的解析式为____________ (2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点,过点M 作MH ⊥BC 于点H,作MD ∥y 轴交BC 于点D,求△DMH 周长的最大值.3.(湖南岳阳中考)如图2-4-24,抛物线y=32x 2+bx+c 经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-32x-32交y 轴于点E,且与抛物线交于A,D 两点,P 为抛物线上一动点(不与A,D 重合.(1)抛物线的解析式为________;(2)当点P 在直线l 下方时,过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M,PN ∥y 轴交l 于点N,求PM+PN 的最大值4.(天津中考)已知抛物线y= x 2+bx-3(b 是常数)经过点A(-1,0). (1)该抛物线的解析式和顶点坐标分别为________;(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P 关于原点的对称点为P /.当点P /落在第二象限内,并且P /A 2取得最小值时,求m 的值.5.(湖南怀化中考)如图2-4-25,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax 2+bx-5与x 轴交于点A(-1,0),B(5,0),与y 轴交于点C. (1)抛物线的函数表达式为________;(2)若点K 为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x 轴,y 轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM 的周长最小,求出点P,Q 的坐标6.(甘肃兰州中考)如图2-4-26,抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-21x-6交y 轴于点C.点E 是直线AB 上的动点,过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F,交抛物线于点G.(1)抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式为________;(2)已知E(-2,0),H(0,-1)以点E 为圆心,EH 长为半径作圆,点M 为⊙E 上一动点,求21AM+CM 的最小值.。
动态几何之双多动点形成的最值问题
一、选择题二、填空题1. （2013年湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是▲ ．如图，取AB的中点O，连接OH、OD，则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OH=AO=AB=1。
在Rt△AOD中，，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小。
最小值=。
三、解答题1. （2013年湖南张家界12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=O C．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°。
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴。
（4）存在。
如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段C′C″的长度。
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′。
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长。
中考数学中利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
中考数学中利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1——垂线段最短，或模型2——两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析.
一、求两动点到一定点距离和的最小值
此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换
至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值
此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.
三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值
此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1解法求解.
四、求两动点到另一动点距离和的最小值
一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
五、求三动点构成的三角形周长的最小值
三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用模型1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解.
六、求三动点到一定点距离和的最小值
解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1求解.。
【吴老师讲数学】2016年中考中的最值问题（二）
【吴老师讲数学】2016年中考中的最值问题（二）上一期我们讲过三种几何最值，大家还记得吗？一、点点线最短；二、点线点最短；三、点线线点最短，相信同学们对这三类题目已经有了较新的认识，那么今天我们来看看另两类的几何最值：一个是造桥选址，一个是面积最值.一、造桥选址造桥选址问题是在河的两岸分别有A、B两点，求作一桥使从A到B的路程最短.如图，一般做法是把点A向下平移一个“河宽”到A'，再连接A'B与河有交点M，过M作另一河岸的垂线MN，则MN的位置即为桥的位置（如）.二、面积最值面积最值比较特殊，一般可以构造函数，根据函数的最值解决问题，这种方法我们下次在函数最值时再讲，今天要就题论题，讲2016年陕西中考25题第（3）题，应用三角形的两边之和大于第三边，在三角形的三个顶点在一线上时边长有最值来解决.三、2016年真题1、（2016.重庆.26（2））如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）经过B、C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止.点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长.参考答案及解析：（1）.△ABC的形状为直角三角形.由函数解析式可求得A、B、C 三点的坐标，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.（2）.最短路径的长为：在此我主要说明一下点N在y轴的什么位置时才能使点Q的路径最短：仔细阅读题意可以发现其实点Q的最短路径就可以看作从点P 出发经过y轴与抛物线的对称轴所构成的“河宽”，最后到达点A.根据造桥选址问题的解题策略，先把点P向左平移一个“河宽”到点P'，再连接P'A，则P'A与y轴的交点即为点N的位置.然后分别求得P'、N的坐标，求出点Q的最短路径长为PP'+AP'的和.2、（2016.陕西.25题（3））问题提出（1）略（2）略(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90度，EF=FG= √5米,∠EHG=45度.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF<>< p=''><>（参考答案：能裁出，所裁得四边形EFGH的面积为.如图，因为EG的长度一定，当FG最大时，面积最大.由全等易得四边形EFGO为正方形，构造圆Ｏ，因为∠EOG=∠EFG=90度，∠EHG=45度，所以点Ｇ在圆O上，由勾股定理构造方程可求得BG=AF=1，所以GC=EC=5,所以点F、O、C三点共线，当点G也在线段FC上时，FG最大，从而求得四边形EFGH的面积.）四、一展身手（山东省竞赛题）正△ABD和正△CBD的边长为a，现在把它们拼合起来，如图所示，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足：AE+CF=a.求△BEF面积的最小值.。
中考数学压轴题：妙解双动点问题,一眼识题,学霸解题技巧!
中考数学压轴题：妙解双动点问题，一眼识题，学霸解题技巧！在中考数学考试中，往往有一些让人挠头的难题，其中之一便是双动点问题。
这类问题考查了学生对于坐标系的理解以及对于两点之间的距离计算的能力。
今天，我们将会介绍一种妙解双动点问题的方法，帮助大家轻松应对这类题目，掌握学霸解题技巧！首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一只蜗牛位于坐标系原点O，它以每分钟2厘米的速度向右移动，同时一个虫子位于坐标系中的点A(-2, 3)，它以每分钟1厘米的速度向上移动。
我们需要确定蜗牛和虫子相遇所需的时间。
解决这个问题的关键在于理解两点之间的距离与速度之间的关系。
我们知道，两点之间的距离等于它们横坐标之差的平方加上纵坐标之差的平方再开方。
现在我们设蜗牛和虫子相遇时的时间为t分钟，则蜗牛移动的距离为2t厘米，虫子移动的距离为t厘米。
根据距离公式，我们可以得到以下等式：√[(2t)^2 + (t - 3)^2] = t接下来，我们就可以按照一般的解方程的方法来求解此等式。
首先，我们对该等式进行平方运算，并化简为二次方程的形式：(2t)^2 + (t - 3)^2 = t^2化简后得到：4t^2 + t^2 - 6t + 9 = t^2继续化简为：5t^2 - 6t + 9 = 0现在，我们可以使用求根公式来解这个二次方程。
根据求根公式，方程的解为：t = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a将a、b、c代入公式中，得到：t = (-(-6) ± √((-6)^2 - 4*5*9))/(2*5)继续计算可得：t = (6 ± √(36 - 180))/10因为36-180是一个负数，所以方程无实数解。
这意味着蜗牛和虫子永远不会相遇。
通过这个例子，我们可以看到妙解双动点问题并不是一件容易的事情。
接下来，让我们来介绍一种更简便的方法，帮助我们一眼识题，轻松解决双动点问题。
这个方法就是使用向量来分析问题。
2016中考精选题 动态 最值类问题
2016中考动态最值类问题（无锡）17．如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．18．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s 的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O 点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了s时，以C 点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．(泸州）16、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），点P 在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC =90︒，则a的最大值是_______。
(泰州）（台州）10. 如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）A. 6B. 1132C. 9D. 332(安徽）(鄂州B ）(扬州）(重庆）26.如图1，二次函数12-212+=x x y 的图象与一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0,1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ：S 四边形AONB =1：48.（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD //x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥BC 于点F ，当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH +22BH 的值最小，求点H 的坐标和GH +22BH 的最小值；（3）如图2，直线AB 上有一点K （3,4），将二次函数12-212+=x x y 沿直线BC 平移，平移的距离是t (t ≥0)，平移后抛物线使点A ，点C 的对应点分别为点A ’，点C ’；当△A ’C ’K 是直角三角形时，求t 的值。
动态几何中的双动点最值问题的求解策略
动态几何中的双动点最值问题的求解策略双动点问题将几何知识与数学知识融合一起，综合考查学生应用知识的能力．这类问题综合度高，立意深，对学生的能力要求高，往往形成学生学习中的难点，尤其是双动点问题中的最值问题，对学生思维要求更高．如何引导学生解决这类问题，成为中考复习的一个要点．本文以双动点中的线段最值问题、面积最值问题、情景最值问题为例，进行详解，以期找到解决这类问题的一般方法．一、双动点形成的线段最值问题例1 如图l，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和l，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．解析由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，如图2，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD=AB=AD=3．∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1．∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．点评本题需要综合应用菱形的性质，相切两圆的性质；等边三角形的判定和性质，才能使问题得以解决．在数学思维应用中要特别重视数形结合的思想，从中找到最值的条件是关键．二、双动点问题形成的面积最值问题例2如图3，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．解析如图4，过点O作OC垂直AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB．∵∠AMB =45°，∴∠AOB =2∠AMB =90°, ∴△OAB 是等腰直角三角形,∴ OA 而S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，∵当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB的距离最大，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E点时，四边形MANB 面积最大．∴四边形MANB 面积最大值：S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =12AB ·CD+12AB·CE=12AB·(CD+CE)=12AB·DE=12× 点评 本题将圆与三角形知识综合在一起，需要深刻理解垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，通过两动点运动，找到组成四边形的两三角形面积最值情景，从而使问题得以解决．三、双动点问题中形成的情景最值问题例3 如图5，直线y =43x -+8与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，动点P 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿AO 方向向点O 匀速运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿BA 方向向点A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t (s)(0<t ≤3)．(1)写出A ，B 两点的坐标；(2)设△AQP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式；并求出当t 为何值时，△AQP 的面积最大；(3)当t 为何值时；以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似?并直接写出此时点Q 的坐标．解析 (1)令y =0，则43x -+8=0，解得x =6；令x =0，则y =8．所以OA =6，OB =8，所以点A (6，0)，B (0，8)(2)在Rt △AOB 中，由勾股定理得，AB ．因为点P 的速度是每秒2个单位，点Q 的速度是每秒1个单位所以AP =2t ，AQ =AB-BQ =10-t ．所以点Q 到AP 的距离为AQ·sin∠AOB=(10-t)×810=45(10-t)．所以△AQP的面积S=122t·45(10-t)=45-t2+5t(0<t≤3)．又因为S=45-(t-5)2+20，45-<0，0<t≤3，所以当t=3时，△AQP的面积S最大=845.(3) t=3013秒时，点Q的坐标是(1813，8013)．。
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专题32 动态几何之双（多）动点形成的最值问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。
本专题原创编写双（多）形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，双（多）形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
1. 如图1，在□ABC D 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB ＝AD ＝7，AH 现有两个动点E 、F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动. 在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E 、F 两点同时停止运动. 设运转时间为t 秒.
（1）求线段AC 的长；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；
（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度(0360)αα︒<<︒. 在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F′，G 的对应点为G′. 设直线F′G′与射线DC 、射线AC 分别相交于M 、N 两点.试问：是否存在点M 、N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM 的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）7；（2
）)2270t 312847S t t <t 4553228t t 4<t 73
3⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎪⎪⎫=-+≤⎨⎪⎭⎪⎪-≤⎪⎩；（3
）存在，494. 【解析】
（3）存在.
如图2，当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，AE=AC=7，AF=21，EF=14.
△EFG 绕点C 旋转过程中，以∠MCN 为底角的等腰三角形△CMN 有两种情况： ①当∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图1，
过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J.
在△CMI 中，由勾股定理得222CI IM CM +=，即()2
22a b ⎫++=⎪⎪⎝⎭，
二者联立，解得49b 4
=，∴CM ==②当∠CNM 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图2，
过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J.
在等边△CG ′I 中，易得7
IG',CI 2= .
考点：1.双动点和面动旋转问题；2.勾股定理；3. 线段垂直平分线的性质；4.等边、腰三角形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6. 旋转的性质；7.相似三角形的判定和性质；8. 等腰三角形存在性问题；9.分类思想的应用.
二.应用轴对称的性质求最值问题
2. 如图，正方形AOCB 在平面直角坐标系xOy 中，点O 为原点，点B 在反比例函数4y x =
（x ＞0）图象上， OB=（OC ＞OA ）． （1）求点B 的坐标；
（2）若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒1个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．当运动时间为12
秒时，在x 轴上是否存在点P ，使△PEF 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵点B 在反比例函数4y x
=（x ＞0）图象上， ∴可设点B 坐标为（a ，a 4
），
∵，∴24221617a a 11a 160a 1a 4a
=+⇒-+=⇒==或。
∵OC ＞OA ，∴点B 坐标为（4，1）。
（2）存在，
∵运动时间为t=
12
，动点E 的速度为每秒2个单位，点F 的速度为每秒1个单位，
∴AE=1， BF 12
=。
∴点E 的坐标为（1，1），点F 的坐标为（4，
12
）。
如图，作F 点关于x 轴的对称点F 1，得F 1（4，12-），经过点E 、F 1作直线，
由E （1，1），F 1（4，12-）可得直线EF 1的解析式是13y x 22
=-+， 当y 0=时，x 3=，∴P 点的坐标为（3，0）。
【考点】反比例函数综合题，双动点问题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的应用（最短线路问题）。
3. 如图，已知二次函数228y x x 833
=-++的图象经过点A 、B 和点C ．连接AC ，有两动点P 、Q 同时从点O 出发，其中点P 以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 按O→A→C 的路线运动，点Q 以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA 按O→C→A 的路线运动，当P 、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设P 、Q 同时从点O 出发t 秒时，△OPQ 的面积为S ．
（1）请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（2）设S 0是②中函数S 的最大值，求出S 0的值．
【答案】解：（1）∵二次函数的图象228y x x 833
=-++经过点A 、B 和点C ，
∴令y=0，得x=2-或x=6；令x=0，得y=8。
∴A（6，0），C （0，8）。
分三种情况讨论如下，
情况1：当0≤t≤1时，如图1， S=12OP•OQ=12
×3t×8t=12t 2。
情况2：当1＜t≤2时，如图2，
作QE⊥OA，垂足为E ， S=12OP•EQ=12×3t×7232t 5-248108t t 55
=-+。
()()2212t 0t 148108S t t 1<t 25513228824t 2<t<5
511⎧⎪≤≤⎪⎪=-+≤⎨⎪⎪⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎩。
（2）根据（1）的函数即可得出S 的最大值：
当0≤t≤1时，S =12t 2
，函数的最大值是12； 当1＜t≤2时，S 248108t t 55=-
+，函数的最大值是24320
； 当2＜t ＜2411，S=12QP•OF 132288t 55=-+，函数的最大值不超过245。
∴0243S 20=。
【考点】二次函数综合题，单双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，分类思想、数形结合思想的应用。