测量学-6

m=±
[vv]
n −1
→ mx = ±
[vv]
n(n − 1)
由改正数计算算术平均值（最或然值）的中误差
加权平均值和精度评定
定权公式
• 设每次观测值的误差为m，有如下关系： • 一组观测值的权与它们的中误差的平方成反比
m2 Pi = 2 设m为常数, 称为单位中误差，则权之比为： mi P : P2 : ...Pn = 1 1 1 1 : 2 : ... 2 2 m1 m2 mn
2 2 2
误差传播定律
• 实际工作中，许多未知量不能直接观测，而是观测值 间接计算出来的，观测值中误差与观测值函数中误差 之间关系的定律，称为误差传播定律 • 如水准测量中，AB水准测量路线分3段施测，各段观 测高差分别为h1, h2, h3,则AB两点间的高差为：
hAB= h1+ h2,+h3
线性函数误差传播律
ρ = 0.6745 m
P ( −σ < ∆ < +σ ) ≈ 68 .3% P ( − 2σ < ∆ < + 2σ ) ≈ 95 .5 % P ( − 3σ < ∆ < +3σ ) ≈ 99 .7%
[∆ ]
• 限差（极限误差）
测量中规定的限差为：
∆ 容 = 3m, 严格时采用2m
• 相对误差
利用改正值计算中误差 • 白塞尔公式
∆1 = v1 + ( X − x) ∆ 2 = v2 + ( X − x)... ∆ n = vn + ( X − x ) [∆∆] = [vv] + 2[v]( X − x) + n( X − x) 2 [∆∆] = [vv] + n( X − x) 2 [∆∆] [vv] [vv] [∆] 2 [vv] [∆1 + ∆ 2 + ... + ∆ n ] + 2[∆1∆ 2 + ∆1∆ 3 + ... + ∆ n −1∆ n ] = + ( X − x) 2 = +( ) = + n n2 n n n n 2 2 2 [vv] [∆1 + ∆ 2 + ... + ∆ n ] = + n n2 [∆∆] m= n [vv] m 2 2 m = + n n [vv] m=± n −1
lim[Biblioteka ] = 0n偶然误差统计
频率直方图
误差分布曲线
• 观测次数 直方图 折线变成一条光滑曲线误 差的区间间隔无限缩小
σ是观测误差的标准差(方根差， 均方根差) ( f (∆ )偶函数， 曲线对称于纵轴， 第三特性)
∆ ↓ ，f (∆) ↑, ∆ = 0时，f (∆) max ∆ 拐 = ±σ ( f (∆)二阶导数 = 0) 1 = , ∆ ↑ f (∆ ) ↓, ∆ → +∞, f (∆ ) → 0 2π σ
即用相对中误差（相对误差）为中误差与观测值的比值，m/L 相对容许误差：
fs = ∑S 1 ∑ S / fs
导线测量中的全长相对闭合差
极限误差
算术平均值和观测值改正值
• 设在相向的观测条件下对未知量观测了n次 观测值为 设在相向的观测条件下对未知量观测了 次，观测值为L1、L2、…、 、 Ln。现在要根据这 个观测值确定出该未知量的最或然值。
2 2
单位权中误差公式
对于同一个量有n个不同精度观测值 m0 = P1m1
2 2 2 2 2
m0 = P2 m2 ... m0 = Pn mn m0
2 2
[Pmm] [P∆∆] [Pvv] = = = n n n −1
观测误差
• 真误差：观测值同真值（理论上的准确值）之差
∆ i = Li − X
• 引起误差的主要因素即观测条件
人引起的误差（感官的误差，工作态度） 仪器引起的误差（仪器的精度，仪器本身带有的误差） 客观环境引起的误差（地形、温度、风力、大气折射） • 在相同的观测条件下进行的一组观测，称为等精度观测，观 测条件下不相同时各次观测称为不等精度观测
偶然误差的特性
通过大量的实验统计表明，特别是观测次数 多时，总结出偶然误差有如下规律性：
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性 大 绝对值相等的正误差与负误差，其出现的可能性 相等 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值 趋近于零
n→ ∞
l1 + l2 + ... + ln [l ] = n n ∆1 = X − l1 x= ∆ 2 = X − l2 ... ∆ n = X − ln [∆] [l ] =X− n n
•
算术平均值和观测值之差是改正值
v1 = x − l1 v2 = x − l2 ... vn = x − l n [v] = n x − [l ] [l ] [v] = n − [l ] = 0 n
加权平均值的中误差
P L1 + P2 L2 + ... + Pn Ln [ PL] = x= 1 [ P] P + P2 + ... + Pn 1 Pn P P2 1 x= L1 + L2 + ... + Ln [ P] [ P] [ P] Pn 2 2 P 2 2 P2 2 2 2 1 mx = ( ) m1 + ( ) m2 + ... + ( ) mn [ P] [ P] [ P] 设单位权中误差为m 0，由定权公式有： Pn P P2 2 1 1 mx = m 0 ( 2 + + ... + ) = m0 2 2 [ P] [ P] [ P] [ p]
在相同的观测条件下进行的一组观测，得出的每 一个观测值都称为同精度观测值，同精度观测值 具有相同的标准差（中误差），但是同精度观测 值的真误差却彼此并不相等 可用中误差评定精度，中误差小的精度越高
• 其它指标
θ 平均误差： = ± n ρ 或然误差： 将一组误差按其绝对值大 小顺序排列，取居中的一个误差值作为精度 指标 当 n → ∞ 时 ， θ = 0.7979 m
∫σ
−
σ
f (∆)d∆ = 0.6826
(曲线同横轴的面积表示 误差个数与全部观测之 ) 比
∫ ∫
2σ 3σ
− 2σ −3σ
f (∆)d∆ = 0.9544 f (∆)d∆ = 0.9974
σ
−σ
既然∫
f (∆)d∆是个定值， 则：
σ越小， 曲线越陡， 误差分布较密集 , σ越大， 曲线越平缓， 误差分布较分散
偶然误差
在相同的观测条件下，对某个固定量进行的一系 列观测，如果观测结果的差异在正负号和数值上， 都没有表现出一致的倾向，即没有任何规律性， 这种误差称为偶然误差，如读数时估读小数的误 差，用经纬仪测角的照准误差
粗差（错误）
观测数据中存在的粗大误差，称为粗差， 粗差是由于作业人员的疏忽大意而造成的错误。 例如在观测时读错，记错等。 • 在进行观测数据处理时，按照现代测量误差理论，可 以消除或削弱系统误差；探测粗差的存在并剔除粗差； 对偶然误差进行适当处理，来求得被观测值的最可靠 值。
• 观测误差的分类
系统误差
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大 小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定 的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为系统误 差 系统误差具有累积性，对成果质量的影响较显著，但 其有一定的规律性，可用下列方法削弱其影响：
– 计算改正数，如钢尺量距时，对观测结果进行尺长改正 – 采用一定的观测方法，如，在水准测量中，可用前后视距离 相等的方法来消除水准仪I角对观测高差的影响。
钢尺量距： ms = n m 水准测量 : mhAB = n m站
ms = S mkm
mhAB = S mkm
一般函数误差传播律
上面的计算过程要求观测值必须是独立观测值， 上面的计算过程要求观测值必须是独立观测值， 即任意观测值之间不存在任何函数关系
[∆x∆y ] = 0 lim
n
算术平均值的中误差
观测条件的好坏在误差 曲线的形态上得以充分 反映， 而曲线的形态可用参数 来表达 σ
衡量精度的指标
• 精度：
精度是指一组观测值分布的密集或离散的程 度
• 几种常用的精度的指标
方差和中误差
方差 标准差 中误差
σ
2
= lim
n→ ∞
[∆ ]
2
n
σ = lim
n→ ∞
[∆ ]
2
n
m = ±
[∆ ]
2
n
中误差的特性：