2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测6-1不等关系与不等式

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2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸期中)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>bc 2＋1解析：A 选项不对，当a >0>b 时不等式不成立，故排除；B 选项不对，当a ＝0，b ＝－1时不等式不成立，故排除；C 选项不对，当c ＝0时，不等式不成立，故排除；D 选项正确，由于1c 2＋1>0，又a >b 故a c 2＋1>b c 2＋1，故选D. 答案：D2．(2018届衡水模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c <d ，则a c >bd C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b 则1a <1b解析：当c ＝0时，故A 错误；若a >b >0，c <0<d ，则a c <bd ，故B 错误； ∵c >d ，∴－d >－c ∴a －d >b －c ，故C 不一定正确；若ab >0，则a >b .可以分a >b >0和0>a >b 两种情况，都有1a <1b ，故D 正确．故选D.答案：D3．(2017届渝中区校级模拟)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a cD.a b >ac解析：∵0<a <1，b >c >0，∴a b <a c ，b a >c a ，log a b <log a c ，a b <ac .∴只有D 错误，故选D.答案：D4．(2017届柳州一模)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是() A．x a>y b B．x a<y bC．a xb y解析：y＝a x(0<a<1)在R上单调递减，y＝x a(a>1)在(0，＋∞)上单调递增，∵x>y>1,0<a<b<1，故a x<a y1，b>1”是“ab>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b ＝－2时，ab＝4>1.故选A.答案：A6．已知a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2>c2B．a|b|>c|b|C．ac>bc D．ab>ac解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0，b可大于0，可等于0，也可小于0，则当b＝0时，A、B均不成立．又∵c<0，a>b，∴ac<bc，∴C不成立．∵a>0，b>c，∴ab>ac.D成立．答案：D7．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是() A．a>b B．a＝bC．am＋m－1，所以a<b，选C.答案：C8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时教室D ．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4sv 1＋v 2，故乙先到教室．答案：B9．(2017届四川乐山模拟)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：票面1.2元的每套1.2×5＝6元，票面2元的每套2×4＝8元，则由题意可得x ，y 应满足的条件如下：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，6x ＋8y ≤50，x ，y ∈N *，即⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.答案：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N*11．若1a <1b <0，则下列不等式： ①1a ＋b<1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ； ④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号) 解析：由1a <1b <0，得b <a <0， ①因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<0，1ab >0，所以1a ＋b<1ab 成立，即①正确； ②因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |>0，即|a |＋b <0，所以②错误；③因为b <a <0且1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④因为b <a <0，所以b 2>a 2，所以ln b 2>ln a 2成立，所以④错误．故正确的是①③.答案：①③12．(2017届湖北期末)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，因此(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们买团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价每人为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ，因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠。

高考数学一轮复习6.1不等关系与不等式的解法课时跟踪训练文

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 6.1不等关系与不等式的解法课时跟踪训练文一、选择题1．(2014·西安五校第三次模拟)若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0≤x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：集合A ＝{x |0≤x <1}，集合B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A. 答案：A2．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}解析：因为一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，所以可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，即10x <12，x <－lg 2，故选D.答案：D3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式成立的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0解析：因为a －|b |>0，所以a >|b |≥0，所以，不论b 为何实数都有b ＋a >0. 答案：C4．(2014·洛阳一模)设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7 解析：由A 可知x <－1或x >3，如图．若A ∪B ＝R ，则x 2＋ax ＋b ＝0的两根x 1，x 2必有x 1≤－1，x 2≥3. 又A ∩B ＝(3,4]，故x 1＝－1，x 2＝4. ∴－1＋4＝－a ，∴a ＝－3，－1×4＝b ，∴b ＝－4，故a ＋b ＝－7. 答案：D5．(2015·天津一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1x <0，x －1x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤ 2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤ 2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤ 2－1}解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x ＋x ＋1[－x ＋1＋1]≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋x ＋1[x ＋1－1]≤1，∴x <－1或－1≤x ≤ 2－1.∴x ≤ 2－1. 答案：C6．已知a 、b 、c ∈R ，则下列推理：①a c 2>b c2⇒a >b ；②a 3>b 3，ab >0⇒1a <1b；③a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b；④0<a log b11－a. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由a c 2>b c 2可知c 2>0，∴a c2·c 2>b c2·c 2，即a >b ，∴①正确．由a 3>b 3，ab >0，可得a >b >0或b <a <0，∴1a <1b，∴②正确．由a 2>b 2，ab >0可得a >b >0或a b >0时1a <1b ，但a 1b，故③不正确．∵0<a log b (1＋a )．又∵log b (1＋a )－log b 11－a＝log b (1－a 2)>0，∴log b (1＋a )>log b 11－a ，∴log a (1＋a )>log b 11－a ，故④正确．答案：C 二、填空题7．(2015·辽宁五校高三模拟)函数y ＝log134x 2－3x 的定义域为________．解析：函数y ＝log 134x 2－3x 的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解得－14≤x <0或34<x ≤1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，18．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是__________．解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1a 2＝a ＋ba －b2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b.答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则ca的取值范围是__________．解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )，又a >b >c ， ∴a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0， ∴1>－a ＋c a >c a ，∴1>－1－c a >ca， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a <－1，c a >－2，∴－2<c a <－12.答案：－2，－12三、解答题10．已知b >a >0，x >y >0，求证：xx ＋a >yy ＋b.证明：xx ＋a －yy ＋b ＝x y ＋b －y x ＋ax ＋a y ＋b＝bx －ayx ＋a y ＋b.∵b >a >0，x >y >0，∴bx >ay ，x ＋a >0，y ＋b >0， ∴bx －ayx ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b.11．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为Ø.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为Ø.12．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：解法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.解法二：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a ≤－1，g －1≥0，解得－3≤a ≤1.。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关系与不等式 Word版含解析

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸期中)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>bc 2＋1解析：A 选项不对，当a >0>b 时不等式不成立，故排除；B 选项不对，当a ＝0，b ＝－1时不等式不成立，故排除；C 选项不对，当c ＝0时，不等式不成立，故排除；D 选项正确，由于1c 2＋1>0，又a >b 故ac 2＋1>b c 2＋1，故选D. 答案：D2．(2018届衡水模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c <d ，则a c >bd C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b 则1a <1b解析：当c ＝0时，故A 错误；若a >b >0，c <0<d ，则a c <bd ，故B 错误； ∵c >d ，∴－d >－c ∴a －d >b －c ，故C 不一定正确；若ab >0，则a >b .可以分a >b >0和0>a >b 两种情况，都有1a <1b ，故D 正确．故选D.答案：D3．(2017届渝中区校级模拟)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a cD.a b >ac解析：∵0<a <1，b >c >0，∴a b <a c ，b a >c a ，log a b <log a c ，a b <ac .∴只有D 错误，故选D.答案：D4．(2017届柳州一模)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是() A．x a>y b B．x a<y bC．a xb y解析：y＝a x(0<a<1)在R上单调递减，y＝x a(a>1)在(0，＋∞)上单调递增，∵x>y>1,0<a<b<1，故a x<a y1，b>1”是“ab>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b ＝－2时，ab＝4>1.故选A.答案：A6．已知a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2>c2B．a|b|>c|b|C．ac>bc D．ab>ac解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0，b可大于0，可等于0，也可小于0，则当b＝0时，A、B均不成立．又∵c<0，a>b，∴ac<bc，∴C不成立．∵a>0，b>c，∴ab>ac.D成立．答案：D7．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是() A．a>b B．a＝bC．am ＋m －1，所以a <b ，选C.答案：C8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时教室D ．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．答案：B9．(2017届四川乐山模拟)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：票面1.2元的每套1.2×5＝6元，票面2元的每套2×4＝8元，则由题意可得x ，y 应满足的条件如下：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，y ≥2，6x ＋8y ≤50，x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.答案：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N*11．若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号) 解析：由1a <1b <0，得b <a <0，①因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0，所以1a ＋b <1ab 成立，即①正确； ②因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |>0，即|a |＋b <0，所以②错误；③因为b <a <0且1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④因为b <a <0，所以b 2>a 2，所以ln b 2>ln a 2成立，所以④错误．故正确的是①③.答案：①③12．(2017届湖北期末)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，因此(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们买团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价每人为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ，因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠。

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理

合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章不等式、推理与证明第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1

a

锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习6.1不等关系与不等式(含答案详析)

高效达标A 组基础达标(时间： 30 分钟满分： 50 分)若时间有限，建议选讲 3， 6，8 一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)(2013 绵·阳质检 )若 a>b ，则以下各式正确的选项是 (D) 22B. ac>bcA. a >b C. a ＋ c>b － c D. a － c>b －c可用特别值法，当 a ＝ 1， b ＝－ 2 时，A 错；当 c ＝ 0 时，B 错；当 a ＝ 2， b ＝ 1，c＝－ 2 时，C 错；依据不等式的性质知 D 正确．a b已知 ab ≠ 0，那么“ b >1”是“ a <1”的 (A)A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件a a － b>1 即>0， ∴ a>b>0bb或 b a<b<0，此时 a<1 建立；反之 b a<1， ∴a －b a>0，即a>b ，aa>0 或 a<0， a1.应选 A.若 a>b>0，则以下不等式不建立的是 (C)1 1A. <B. |a|>|b|a b1a1bC. a ＋ b<2 abD. 2 <21ab1 1ab1 ∵ a>b>0，∴ a |b|，a ＋ b>2 ab ，又 2 >2 ＞ 0，∴ 2 <2 ，应选 C.(2013 ·东调研丹 )若 1<a<3，－ 4<b<2，则 a － |b|的取值范围是 (C)A. ( －1， 3)B. (－ 3，6)C. (－ 3， 3)D. (1，4)∵－ 4<b<2， ∴ 0≤|b|<4， ∴－ 4<－ |b|≤ 0.又 1<a<3， ∴－ 3<a － |b|<3.应选 C. 二、填空题 (每题 5 分，共 10 分)(2013 ·州调研徐 )用锤子以平均的力敲击铁钉进入木板，跟着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会愈来愈大，使得每次钉入木板部分的铁钉长度为前一次的1*k (k ∈ N ) ．已知一个铁钉受击 3 次后所有进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是铁钉长的4，则从中4＋ 4 777k <1，(k ∈ N *)__．提炼出一个不等式组为__4 447＋7k ＋7k 2≥ 1一单位的甲、乙、丙三人出差到 A 城做事；在安排住宿时，他们有三种住宿方案可供选择： (1) 三人同住一套间； (2) 二人住标准间 (双人间 )、一人住一个单间； (3) 三人各住一个单间．若旅馆方面对每个套间、标准间及单间的标价分别为300 元、 160 元和 60 元；同时对客户推行打折优惠，但这三类房间的折率各不同样，分别为 50%、65%和 85%，这三人选择住宿方案中最经济的为第 __(1)__ 种．若选择方案 (1)，则需支付： y 1＝ 300× 50%＝ 150(元 )；若选择方案 (2) ，则需支付： y 2＝ 160× 65%＋60× 85%＝ 155(元 )；若选择方案 (3) ，则需支付： y 3＝ 60× 85%× 3＝ 153(元 )．∵ y 1<y 3<y 2 ，∴选择第 (1)种方案．三、解答题 (共 20 分)(10 分 )已知 a>b>c>1，设 M ＝a － c ，N ＝ a － b ，P ＝ 2a ＋b－ ab ，试比较 M ，N ，2P 的大小．∵ b>c>1 ，∴ b> c ，∴－b< － c ， (2 分 )∴ a － b<a － c ，即 N<M.(4 分 )∵ P －N ＝a ＋ b － 2 ab － (a － b)＝ b － 2 ab ＋ b＝ b( b － 2 a ＋ 1)＝ b[( b － a)＋ (1－ a)]， (7 分 )又 a>b>c>1， ∴ b － a<0， 1－ a<0， ∴ P －N<0 ， ∴ P<N.(9 分 )综上可知， P<N<M.(10 分)(10 分 )甲、乙两人同时从同地沿同一路线走到同一地址，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半行程以速度m 行走，另一半行程以速度 n 行走，问：甲、乙两人谁先抵达指定地址？设从出发地到指定地址的行程为 s ，甲、乙两人走完整程所需时间分别是t 1， t 2，1 1n ＝ s ，s＋ s ＝ t 2，即 t 1＝ 2s ，t 2＝ s （ m ＋ n ） .(3 分)则 tm ＋ t2mn22 2m2n m ＋ n∴ t 1－ t 2＝ 2s2 2－ s （ m ＋ n ）＝ s[4mn －（ m ＋ n ） ]＝－ s （ m － n ） .(6 分)m ＋ n2mn 2（ m ＋n ） mn 2mn （ m ＋n ）因为 s ， m ， n 都是正数， ∴当 m ＝n 时， t 1－ t 2＝ 0，即 t 1＝ t 2 ， ∴甲、乙两人同时抵达指定地址； (8 分)当 m ≠ n 时， t 1－t 2 12， ∴甲先抵达指定地址． (10 分)<0，即 t <tB 组提优操练(时间： 30 分钟满分： 50 分)若时间有限，建议选讲 4， 6，8一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)某校正高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分y 高于380 分，体育成绩 z 超出 45 分，用不等式表示就是 (D)x ≥ 95，x ≥ 95，x>95 ， x ≥ 95，A. y ≥ 380，B.y>380 ， C. y>380 ， D. y>380，z>45z ≥ 45z>45z>45x ≥ 95，“不低于”即“≥” ，“高于”即 “ >，”“超出”即 “ >，”∴ y>380 ，z>45.(2013 深·圳月考 )已知实数 a ， b ，c 知足 c<b<a ，且 ac<0，那么 (A)A. ab>acB. c(b －a)<0C. cb 2<ab 2D. ac(a － c)>0∵ c<b<a ，且 ac<0，，∴ c<0， a>0，∵ b>c ， ∴ab>ac ，应选 A.(2013 黄·冈质检 )已知 x>y>z ， x ＋y ＋ z ＝ 0，则以下不等式中建立的是 A. xy>yz B. xz>yzC. xy>xzD. x|y|>z|y|(C)x>0，∵ x>y>z ，x ＋ y ＋z ＝ 0，∴3x>x ＋ y ＋ z ＝ 0，3z<x ＋ y ＋z ＝ 0，∴x>0 ，z<0.∴由可得 xy>xz ，应选 C. y>z1 13 3，则不正确的若 a |b|；② ab不等式的个数是 (C)A. 0B. 1C.2D.31 1由 a b ，②不正确； a ＋b<0 ，ab>0，则332.a ＋ b<ab 建立， ③正确； a >b ， ④正确，故不正确的不等式的个数为二、填空题 (每题 5 分，共 10 分)2 2 222假如 a ∈ R ，且 a ＋a ＜ 0，那么 a ，a，－ a ，－ a 的大小关系是 __－ a ＞ a ＞－ a ＞a__．由 a 2＋ a ＜ 0，即 a(a ＋ 1)＜ 0，解得－ 1＜ a ＜ 0.由不等式的性质可知－ a ＞ a 2＞ 0，而a ＜－ a 2＜ 0， ∴a ＜－ a 2＜ 0＜ a 2＜－ a ＜ 1.21 y 1x 3若 x ， y 知足 3≤ xy ≤ 8， 9≤ x 2≤ 4，则y 4的最大值是 __27__．1 y1 x2∵ ≤ 2≤ ，∴4≤≤ 9，x29 x4y2∴ y∈[16 ， 81]．又 3≤xy2≤ 8， ∴ xy 12∈ 18， 13 ，32 23∴x4＝x ·12∈ [2，27] ，故 x4的最大值是 27.yy xyy 三、解答题 (共 20 分)mx(10 分 )已知 m ∈ R ， a>b>1, f(x) ＝ x －1，试比较 f(a)与 f(b) 的大小．mx 1∵ f(x) ＝x － 1 ＝ m 1＋x － 1 ， (1 分)11∴ f(a)＝ m 1＋ a － 1 ， f(b) ＝ m 1＋b － 1 .(3 分 )∵ a>b>1， ∴ a － 1>b － 1>0.∴ 1＋ 1 <1＋ 1.(5 分 )a － 1b － 1①当 m>0 时， m11 1＋ a －1 <m 1＋ b － 1 ，即 f(a)<f(b) ； (6 分 )②当 m ＝0 时， f(a)＝ f(b) ； (7 分 )11 ③当 m<0 时， m 1＋ a －1 >m 1＋ b － 1 ，即 f(a)>f(b) ． (8 分 )综上可知，当 m>0 时， f(a)<f(b) ；当 m ＝ 0 时， f(a)＝ f(b) ；当 m<0 时， f(a)>f(b) ． (10分 )(10 分 )设 a 1≈ 2，令 a 2＝ 1＋1.1＋ a 1(1)证明： 2介于 a 1，a 2 之间；1， a 2 中哪一个更靠近2；(2)求 a(3)你能设计一个比 a 2 更靠近2的 a 3 吗？并说明原因．(1) ∵( 2－ a 1)( 2－a 2 )＝ (1 2－ a 1) · 2－1－2－ a ） 21＋ a 1 （ 1－ 2）（＝1＜ 0，1＋ a 1∴ 2介于 a 1 ，a 2 之间． (4 分)2 2－1－1 ＝（ 1－ 2）（ 2－ a 1）(2)∵ | 2－ a |＝1＋ a 11＋ a 12－ 1＝1＋ a 1 | 2－ a 1|＜ | 2－ a 1|，∴ a 2 比 a 1 更靠近 2.(8 分 )1(3)令 a3＝ 1＋，1＋ a22－ 1由(2)知| 2－a3|＝1＋a2| 2－a2|＜| 2－a2|.则 a3比 a2更靠近 2.(10 分 )。

2019年高考数学(文)一轮复习第六章不等式、推理与证明跟踪检测 (三十二)不等关系与不等式及答案

课时跟踪检测 (三十二) 不等关系与不等式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是( )A．A≤B B．A≥BC．A＜B D．A＞B解析：选B 由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．2．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是( )A．1a－b>1aB．1a>1bC．|a|>|b| D．a2>b2解析：选A 取a＝－2，b＝－1，则1a－b>1a不成立．3．若a，b都是实，则“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 由a－b＞0得a＞b≥0，则a2＞b2⇒a2－b2＞0；由a2－b2＞0得a2＞b2，可得a＞b≥0或a＜b≤0等，所以“a －b＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件，故选A．4．(2017·资阳诊断)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )A．若a>b，则|a|>|b| B．若a>b，则1a <1 bC．若|a|>b，则a2>b2D．若a>|b|，则a2>b2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2．5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( )A ．(a －1)(b －1)＜0B ．(a －1)(a －b )＞0C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4． 6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b；若ab ＞0，则1a ＞1b．∴a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥2168．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －aa 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋ba －b2a 2b 2．∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b2≥0．∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b ．答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b9．已知存在实a 满足ab 2>a >ab ，则实b 的取值范围是__________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11，此式无解．综上可得实b 的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e a －c2>e b －d2．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0．又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1a －c2<1b －d2．又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2·ca <4，∴ca的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________．解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得a －b m a a ＋m ＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0．即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ．即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ．答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝⎛⎭⎪⎫1－n 5．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。

高中数学课时跟踪检测：不等关系与不等式含解析

课时跟踪检测（三）不等关系与不等式一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．设a ,b ∈[0,＋∞),A ＝a ＋b ,B ＝a ＋b ,则A ,B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得,B 2－A 2＝－2ab ≤0,且A ≥0,B ≥0,可得A ≥B . 2．若a ＜b ＜0,则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2解析：选A 取a ＝－2,b ＝－1,则1a －b ＞1a不成立． 3．(浙江十校联盟适考)设a ＞0且a ≠1,则“a b＞1”是“(a －1)b ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若a b＞1,因为a ＞0且a ≠1,所以当0＜a ＜1时,b ＜0,此时(a －1)b ＞0成立；当a ＞1时,b ＞0,此时(a －1)b ＞0成立．若(a －1)b ＞0,因为a ＞0且a ≠1,所以当0＜a ＜1时,b ＜0,此时a b＞1；当a ＞1时,b ＞0,此时a b ＞1.所以“a b＞1”是“(a －1)b ＞0”的充要条件．4．(金华模拟)设a ,b ∈R,若a －|b |＞0,则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a ＞0 B ．a 3＋b 3＜0 C ．a 2－b 2＜0D ．b ＋a ＞0解析：选D 利用赋值法,令a ＝1,b ＝0,排除A 、B 、C,选D.5．b g 糖水中有a g 糖(b ＞a ＞0),若再添m g 糖(m ＞0),则糖水变甜了．试根据这一事实,提炼出一个不等式____________．答案：a b ＜a ＋mb ＋m二保高考,全练题型做到高考达标1．已知a 1,a 2∈(0,1),记M ＝a 1a 2,N ＝a 1＋a 2－1,则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1),又∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),∴a 1－1＜0,a 2－1＜0. ∴(a 1－1)(a 2－1)＞0,即M －N ＞0.∴M ＞N .2．若1a ＜1b ＜0,给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a ＜1b＜0,故可取a ＝－1,b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0,所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0,ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0,所以④错误,综上所述,可排除A 、B 、D,故选C.法二：由1a ＜1b＜0,可知b ＜a ＜0.①中,因为a ＋b ＜0,ab ＞0,所以1a ＋b ＜1ab,故①正确； ②中,因为b ＜a ＜0,所以－b ＞－a ＞0,故－b ＞|a |,即|a |＋b ＜0,故②错误； ③中,因为b ＜a ＜0,又1a ＜1b ＜0,则－1a ＞－1b ＞0,所以a －1a ＞b －1b,故③正确；④中,因为b ＜a ＜0,根据y ＝x 2在(－∞,0)上为减函数,可得b 2＞a 2＞0,而y ＝ln x 在定义域(0,＋∞)上为增函数,所以ln b 2＞ln a 2,故④错误．由以上分析,知①③正确．3．(宁波模拟)设a ,b 是实数,则“a ＞b ＞1”是“a ＋1a ＞b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －1ab,若a ＞b ＞1,显然a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －1ab＞0,则充分性成立,当a ＝12,b ＝23时,显然不等式a ＋1a ＞b ＋1b成立,但a ＞b ＞1不成立,所以必要性不成立．4．若m ＜0,n ＞0且m ＋n ＜0,则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3,n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ,又由于m ＜0＜n ,故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．5．设a ＜0,b ＜0,则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系是( )A ．p ＞qB ．p ≥qC ．p ＜qD ．p ≤q解析：选D p －q ＝b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝b 3＋a 3－a 2b －ab 2ab ＝a a 2－b 2－b a 2－b 2ab ＝a －b a 2－b 2ab＝a －b2a ＋bab.因为a ＜0,b ＜0, 所以a －b 2a ＋bab≤0,即p ≤q ,故选D.6．已知a ,b 为实数,且a ≠b ,a ＜0,则a ________2b －b 2a (填“＞”“＜”或“＝”)．解析：∵a ≠b ,a ＜0,∴a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝a －b 2a ＜0,∴a ＜2b －b 2a.答案：＜7．已知函数f (x )＝ax ＋b,0＜f (1)＜2,－1＜f (－1)＜1,则2a －b 的取值范围是________．解析：由函数的解析式可知0＜a ＋b ＜2,－1＜－a ＋b ＜1,又2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b ),结合不等式的性质可得2a －b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 8．已知a ＋b ＞0,则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0,(a －b )2≥0,∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ,则实数b 的取值范围是__________．解析：∵ab 2＞a ＞ab ,∴a ≠0, 当a ＞0时,b 2＞1＞b ,即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞1，b ＜1，解得b ＜－1；当a ＜0时,b 2＜1＜b ,即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＜1，b ＞1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞,－1)．答案：(－∞,－1)10．实数x ,y 满足3≤xy 2≤8,19≤y x 2≤14,求x3y4的取值范围．解：∵19≤y x 2≤14,∴4≤x 2y ≤9,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2∈[16,81]．又∵3≤xy 2≤8.∴1xy 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，13,∴x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27],故x 3y4的取值范围为[2,27]．三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且满足b ＋c ≤3a ,则ca的取值范围为( ) A ．(1,＋∞) B ．(0,2) C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，1＋b a ＞ca ，1＋c a ＞b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得,0＜2·c a＜4,∴c a的取值范围为(0,2)．2．设a ,b ∈R,定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若m ⊗n ≥2,p ⊕q ≤2,则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m ＞n ，即n ≥m ≥2或m ＞n ≥2,所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p ＞q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q ＜p ≤2或p ≤q ≤2,所以p ＋q ≤4.故选A.3．设a 1≈2,a 2＝1＋11＋a 1.(1)证明：2介于a 1,a 2之间； (2)求a 1,a 2中哪一个更接近 2.解：(1)证明：∵(2－a 1)(2－a 2)＝(2－a 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1－11＋a 1＝1－22－a 121＋a 1＜0.∴2介于a 1,a 2之间．(2)|2－a 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1－11＋a 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－22－a 11＋a 1＝2－11＋a 1|2－a 1|＜|2－a 1|.∴a2比a1更接近 2.。

【高考汇编】2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测汇编295页(含答案解析)

2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测汇编目录2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-1集合Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-2同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-3三角函数的图象与性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-5三角恒等变换Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-6正弦定理和余弦定理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-7正弦定理和余弦定理的应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-1平面向量的概念及其线性运算Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-2平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-3平面向量的数量积与平面向量应用举例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-4数系的扩充与复数的引入Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-1数列的概念与简单表示法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-2等差数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-3等比数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-4数列求和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关系与不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-2一元二次不等式及其解法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-3二元一次不等式（组）及其简单的线性规划问题Word 版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-4基本不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-5合情推理与演绎推理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-6直接证明与间接证明Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-1空间几何体的结构特征及三视图与直观图Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-2空间几何体的表面积与体积Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点、线、面之间的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-4直线、平面平行的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-5直线、平面垂直的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-2两条直线的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-3圆的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-5椭圆Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-6双曲线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-7抛物线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-8圆锥曲线的综合问题Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-1随机事件的概率Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-2古典概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-3几何概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-2随机抽样Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-3用样本估计总体Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-4变量间的相关关系、统计案例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-2参数方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-1绝对值不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-2不等式的证明Word版含解析[课时跟踪检测] [基础达标]1．(2017届河北石家庄二模)设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∩N ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}＝{x |－2<x <3}，则M ⊆N ，故选C. 答案：C2．(2018届安徽六安质检)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：由题意，得A ＝{x |x <2}．又因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .又因为B ＝{x |x <a }，所以a ≥2，故选D. 答案：D3．(2017届河北唐山二模)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1,2} B ．{0,1,3} C ．{0,2,3}D ．{1,2,3}解析：因为M ∩N ＝{1}，所以log 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1，即M ＝{2,1}，N ＝{3,1}，所以M ∪N ＝{1,2,3}，故选D.答案：D4．(2017届四川泸州一模)已知集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |log 2x >1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2,2] B ．(－2,1] C ．(0,3)D ．(1,3)解析：∵集合B ＝{x |log 2x >1}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]．∵集合A ＝{x |－2<x <3}＝(－2,3)，∴A ∩(∁R B )＝(－2，2]，故选A.答案：A5．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3.又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：C6．(2018届邯郸质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－3≤x <2}C ．{x |－2≤x <2}D ．{x |－3≤x ≤2}解析：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}＝{x |x >2或x <－2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0＝{x |－3≤x <1}，∴∁U A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x <1}．故选A. 答案：A7．(2017届江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案：C8．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∵B ＝{x |－1<x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．答案：{x |－3<x ≤－1}9．(2017届福建泉州二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：∵B ∩(∁U A )＝∅，∴B ⊆A .∵A ＝{－1,2}，∴根据题意知B ＝∅或{－1}或{2}．若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12.答案：0或1或－1210．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 12．设集合A ＝{x |(x －2m ＋1)(x －m ＋2)<0}，B ＝{x |1≤x ＋1≤4}． (1)若m ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值集合．解：集合B ＝{x |0≤x ≤3}．(1)若m ＝1，则A ＝{x |－1<x <1}，则A ∩B ＝{x |0≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .当A ＝∅即m ＝－1时，A ∩B ＝A ；当A ≠∅即m ≠－1时，(ⅰ)当m <－1时，A ＝(2m －1，m －2)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥0，m －2≤3，⇒12≤m ≤5，所以m 的值不存在．(ⅱ)当m >－1时，A ＝(m －2,2m －1)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2m －1≤3，⇒m ＝2.综上，m 的取值集合是{－1,2}．13．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2<0}(m >0)． (1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m >0，所以B ＝(－3m ，m )． (1)m ＝2时，B ＝{x |－6<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}． (2)要使B ⊆A ，只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5⇒m ≤23，所以0＜m ≤23，综上，知m 的取值范围是0<m ≤23.[能力提升]1．(2018届河南开封月考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．答案：B2．(2017届辽宁大连三模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <0D ．a ≤0解析：因为y ＝lg x 的定义域为{x |x >0}，依题意知，对数函数y ＝lg x 的图象与直线x ＝a 没有交点，所以a ≤0.答案：D3．(2017届山东潍坊模拟)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：(1)若a 1∈A ，由①可知a 2∈A ，又A 中只有两个元素，所以a 3∉A ，此时与②矛盾，所以a 1∉A .(2)若a 2∈A ，那么由②可得a 3∈A ，此时a 4∉A ，满足题设条件，所以{a 2，a 3}是一个满足条件的A .(3)若a 2∉A ，由于集合A 中只有两个元素，那么集合A 只可能是{a 3，a 4}，而这与③矛盾．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}4．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸质检)“x >3”是“1x <13”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：“x >3”⇒“1x <13”；反之不成立，例如取x ＝－1.因此“x >3”是“1x <13”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4，∴m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．答案：A3．(2017届山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B4．命题p ：“若x 2<1，则x <1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：q ：若x <1，则x 2<1.令x ＝－2，∴x 2＝4，∴q 假． ∵p ：x 2<1，则－1<x <1，∴p 真，故选B. 答案：B5．(2018届鹤壁模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∧q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题解析：因为tan45°＝1，所以p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1是真命题，所以綈p 是假命题．因为x ＝0，x 2＝0，所以命题q ：∀x ∈R ，x 2>0是假命题，所以綈q 是真命题，所以p ∧q 是假命题，綈p ∧q 是假命题，綈p ∧綈q 是假命题，故选择D.答案：D6.(2017届江西新余调研)设p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋m >0；q ：函数f (x )＝－13x 3＋2x 2－mx －1在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则Δ＝16－4m <0，解得m >4；若q 为真，则f ′(x )＝－x 2＋4x －m ≤0在R 上恒成立，则Δ＝16－4m ≤0，解得m ≥4，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A7．(2018届河北唐山二模)已知a ，b 为实数，则“a 3y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2 C.x >yD ．x 3>y 3解析：由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A 、B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C.答案：C9．(2017届浙江宁波一模)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4解析：若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，所以a >3.答案：A10．(2018届河北唐山月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：p ：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．又q ：x >a ，故a ≥1.答案：[1，＋∞)11．(2017届河南濮阳第二次检测)若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．解析：由于f (0)＝m ＋23，因为函数y ＝f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23.由于“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，因此a <－23，故实数a 能取的最大整数为－1.答案：－112．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 13．(2018届江西九江地区高三七校联考)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，命题q ：3a －1＋1<0.(1)若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若“綈q ”是“a ∈[m ，m ＋1]”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)关于命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0， a >0时，显然不成立，a ＝0时成立，a <0时只需Δ＝a 2＋4a <0即可，解得－4<a <0，故p 为真时，a ∈(－4,0]；关于命题q ：3a －1＋1<0，解得－2<a <1，命题“p 或q ”为假命题，即p ，q 均为假命题，则a ≤－4或a ≥1.(2)綈q ：a ≤－2或a ≥1，所以m ＋1≤－2或m ≥1，所以m ≤－3或m ≥1.14．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．求： (1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件；(3)若綈p 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． (2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，(3)P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且SP ，∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [能力提升]1．(2017届济南模拟)若a ＝log 2x ，b ＝2x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：函数a ＝log 2x ，b ＝2x的图象如图所示，由图象可知，若a >b ，则x >2，即x >1成立，反之，若x >1，当x ＝32时，a 0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]3．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]4．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5. 又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧－5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，②由①得a 无解；由②解得0<a ≤2－ 3.[课时跟踪检测][基础达标]1．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：∵綈p ：∃x 0∈R,2x 0≥3x 0，要使(綈p )∧q 为真，∴綈p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x≥1，∴x ≤0. 由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2. 答案：D2．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，故选C答案：C3．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案：C4．(2017届湖北荆州一模)命题“自然数的平方大于零”的否定是( ) A ．∃x ∈Z ，x 2≤0 B ．∀x ∈N ，x 2≤0 C ．∃x ∈N ，x 2≤0D ．∃x ∈N ，x 2＜0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“自然数的平方大于零”的否定是：∃x ∈N ，x 2≤0.故选C.答案：C5．命题p ：若a 0，使得x 0－1－ln x 0＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：命题p ：若a sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．綈p解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.答案：B7．(2018届河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有上实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∨(綈q )，(綈p )∨(綈q )是真命题，故选C.答案：C8．(2017届辽宁大连二模)命题p ：“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x 0＋cos2x 0>a ”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a < 2C ．a ≥1D ．a ≥ 2解析：依题意，命题p 的否定綈p ：“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a ”应为真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a 恒成立，而sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[1， 2 ]，所以实数a 的取值范围是a ≥ 2. 答案：D9．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析：原命题是全称命题，条件为“∀x ∈R ”，结论为“∃n ∈N *，使得n ≥x 20”，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．答案：D10．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．解析：由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1. 所以实数m 的取值范围是1<m <2. 答案：(1,2)11．(2017届山东青岛模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，现有以下结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)解析：当x 0＝π4时，tan x 0＝1，所以命题p 为真；不等式x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，所以命题q也为真，故命题“p 且q ”是真命题，①正确；命题“p 且綈q ”是假命题，②正确；命题“綈p 或q ”是真命题，③正确；命题“綈p 或綈q ”是假命题，④正确．答案：①②③④12．(2018届山东潍坊质检)已知命题p ：∀x >0,2ax －ln x ≥0.若命题p 的否定是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 的否定是：∃x 0>0,2ax 0－ln x 0<0，即不等式2ax －ln x <0有解．而不等式2ax －ln x <0可化为2a <ln x x ，令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，可得g (x )在x ＝e 处取得最大值1e ，因此要使不等式2a <ln xx 有解，只需2a <1e ，即a <12e.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，12e 13．(2017届湖北百所重点校高三联考)已知函数f ()x ＝log 0.3()4x －1的定义域为A ，m >0，函数g ()x ＝4x－1()0<x ≤m 的值域为B .(1)当m ＝1时，求()∁R A ∩B ；(2)是否存在实数m ，使得A ＝B ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －1>0，log 0.3(4x －1)≥0，解得14<x ≤12，即A ＝⎝⎛⎦⎤14，12. 当m ＝1时，因为0<x ≤1，所以14<4x －1≤1，即B ＝⎝⎛⎦⎤14，1，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎦⎤12，1. (2)因为B ＝⎝⎛⎦⎤14，4m －1，若存在实数m ，使A ＝B ，则必有4m －1＝12，解得m ＝12，故存在实数m ＝12，使得A ＝B .14．已知命题p ：∃x 0∈[0,2]，log 2(x ＋2)<2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：对于命题p ：f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在[0,2]上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )的最小值为f (0)＝1，若p 为真命题，则2m >1，∴m >12.对于命题里q ，Δ＝4－12m 2>0即m 2<13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，∴－33<m <33.(1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，故－33<m ≤12，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－32，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 、q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m >12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33；若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，即－33<m ≤12. 综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.15．已知m ∈R ，命题p ：对∀x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：∃x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．解：(1)设y ＝2x －2，则y ＝2x －2在[0,1]上单调递增， ∴y min ＝－2.∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴m 2－3m ≤－2，即m 2－3m ＋2≤0，解得1≤m ≤2. ∴m 的取值范围为[1,2]．(2)a ＝1时，y ＝2x 在区间[－1,1]上单调递增，∴y max ＝2. ∵存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1. ∵p ∧q 假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假，①当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1＜m ≤2；②当p 假q 真时，可得⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，解得m <1.综上可得1＜m ≤2或m ＜1.∴实数m 的取值范围是(－∞，1)∪(1,2]．[能力提升]1．(2017届江西南昌二模)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是“∃x 0>0，x 0x 0－1≤0或x 0＝1”，即“∃x 0>0,0≤x 0≤1”，故选B.答案：B2．(2018届山东临沂调研)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项，∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项，存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项，x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．答案：C3．(2017届湖北百校联考)已知命题p ：对任意x ∈(0，＋∞)，log 4x <log 8x ；命题q ：存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q解析：当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ，所以命题p 是假命题；函数y ＝tan x 的图象与y ＝1－3x 的图象有无数个交点，所以存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，即命题q 是真命题，故(綈p )∧q 是真命题，选D.答案：D4．(2017届河南安阳模拟)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．解析：命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1.答案：{m|m≤－2或m>－1}[课时跟踪检测][基础达标]1．与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )且角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．答案：C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0解析：在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A 、C 、D 三项．答案：B3．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25B.25 C ．0D.25或－25解析：因为x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，所以r ＝－5a ，所以sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25.故选A. 答案：A4．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．tan1<sin1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1解析：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad>π4 rad.因为OM <22<MP <AT ，所以cos1<sin1<tan1.故选D.答案：D5．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周角的16，即为－16×2π＝－π3.答案：C6．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( ) A ．sin2 B ．－sin2 C ．cos2D ．－cos2解析：因为r ＝(2sin2)2＋(－2cos )2＝2，由任意角三角函数的定义得sin α＝yr ＝－cos2.答案：D7．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．答案：C8．已知点A 的坐标为(43，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.332B.532C.112D.132解析：设OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则OB 的倾斜角为π3＋α.因为A (43，1)，所以tan α＝143，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝n m ， n m ＝3＋1431－3×143＝1333，即m 2＝27169n 2，因为m 2＋n 2＝(43)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49，所以n ＝132或n ＝－132(舍去)，所以点B 的纵坐标为132.答案：D9．某扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6. ∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：51810．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22，根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π411．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6. (1)求AB ；(2)求这个扇形所含的弓形的面积．解：(1)∵120°＝23π rad ，∴AB ＝23π×6＝4π.(2)S 弓＝S 扇－S △AOB ＝12×6×4π－12×63×3 ＝12π－9 3.12．若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α的值．解：在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则|OP |＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，sin α＋cos α＝15；当t <0时，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，sin α＋cos α＝－15.综上得sin α＋cos α的值为±15.13．已知α为第四象限角，cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解：∵α为第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－513.∴tan α＝sin αcos α＝－512.[能力提升]1．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：B2．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2角终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限；其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2角终边在第二、四象限． (3)当α2角在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．[课时跟踪检测][基础达标]1．tan ⎝⎛⎭⎫－233π的值为( ) A.3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：tan ⎝⎛⎭⎫－233π＝tan ⎝⎛⎭⎫－8π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 答案：B4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A.223B ．－223C.13D ．－13解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 答案：D5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.答案：B6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在；当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan θ＝sin αcos α＝－43，故选D.答案：D7．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25. 答案：－258．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55. 答案：559．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan －π－π3＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得，sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.11．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.12．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，①所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，②所以由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[能力提升]1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋cos 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.[课时跟踪检测][基础达标]1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象做关于x 轴的对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.答案：D2．设偶函数f (x )的部分图象如图所示，△KML 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cosπx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 答案：D3．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称，故选C. 答案：C4．(2017届河南中原名校模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6 B.5π6 C.7π6D.11π6解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π，所以π<φ<2π.所以当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．答案：C5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π，ω>0得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意结合选项知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.答案：A6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2。

高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义理(含解析)-

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则b a b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析因为c 0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立，当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型一不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定答案 C解析显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________．答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型二不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解本题采用分类讨论思想．原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型三二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围．解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

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＝
－qq－4 1＜0，所以பைடு நூலகம்a33＜Sa55.
综上可知Sa33＜Sa55.
若本例中“q＞0”改为“q＜0”,试比较它们的大小. 解：由例题解法知当 q≠1 时，Sa33－Sa55＝－qq－4 1. 当－1＜q＜0 时，Sa33－Sa55＜0，即Sa33＜Sa55；当 q＝－1 时，Sa33－Sa55＝0, 即Sa33＝Sa55；当 q＜－1 时，Sa33－Sa55＞0，即Sa33＞Sa55.
()
解析：A 中，只有 a＞b＞0，c＞d＞0 时，才成立；B 中，由 a＜b＜0，得 a2＞ab＞b2 成立；C，D 通过取 a＝－2， b＝－1 验证均不正确．答案：B
[例 3] 已知函数 f(x)＝ax2＋bx，且 1≤f(－1)≤2， 2≤f(1)≤4.求 f(－2)的取值范围．
[自主解答] f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b. 设 m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. 则mm＋－nn＝＝－ 4，2，解得mn＝＝31.， ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10.即 f(－2)的取值范围为[5,10]．
[巧思妙解] 因为1a＜1b＜0，故可取 a＝－1，b＝－2. 显然a＋1 b＝－13，a1b＝12，此时①成立；因为|a|＋b＝1 －2＝－1＜0，所以②错误；因为 a－1a＝－1－－11＝0，b －1b＝－2－－12＝－32，所以③成立；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0， ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．结合选项可知 C 正确．
()
A．1
B．2
C．3
D．4

2019年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32 不等关系与不等式理

2019年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32不等关系与不等式理[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2|a ＋b |解析：令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知选项D 错误，故选D ．3．(2017·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．(2017·广东实验中学模拟)已知0<a 1a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 正确．5．(2017·四川成都模拟)已知a ，b 为非零实数，且a a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b解析：若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a ＞a b，故D 错；若ab ＜0，即a ＜0，b ＞0，则a 2b ＞ab 2，故B 错．6．(2017·陕西西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.二、填空题7．(2017·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是a b2＋b a2≥1a ＋1b.解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，所以a ＋ba －b2a 2b2≥0，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．(2017·江苏模拟)若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为⎝ ⎛⎪⎫－92，132. 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．(2017·贵州遵义模拟)已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1a . 其中正确的是①③④(只填序号即可)．解析：对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确；对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg xy.∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围．解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即c a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.。

广东高考导与练文科数学一轮复习课时训练6.1不等关系与不等式(含答案详析)

第六篇不等式(必修5)第1节不等关系与不等式课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013泰安模拟)如果a>b,则下列各式正确的是( D )(A)a·lg x>b·lg x (B)ax2>bx2(C)a2>b2 (D)a·2x>b·2x解析:∵a>b,2x>0,∴a·2x>b·2x.故选D.2.(2013山东省德州市期末联考)设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b ≥2”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若a≥1,b≥1,则a+b≥2.当a=5,b=时有a+b≥2成立,但b<1,所以“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分而不必要条件.故选A.3.(2013潍坊模拟)若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是( B )(A)（-,）(B)（-,0）(C)（0,）(D)（-,0）解析:∵-<α<β<π,∴-<α<π,-π<-β<,∴-<α-β<,又α-β<0,∴-<α-β<0.故选B.4.若a<b<0,则以下结论正确的是( C )(A)a2<ab<b2(B)a2<b2<ab(C)a2>ab>b2(D)a2>b2>ab解析:法一由a<b<0得即所以a2>ab>b2.故选C.法二由a<b<0得a-b<0,则a2-ab=a(a-b)>0,即a2>ab,ab-b2=b(a-b)>0,即ab>b2,因此a2>ab>b2.故选C.5.(2013南平模拟)如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( C )(A)ab>ac (B)c(b-a)>0(C)cb2<ab2(D)ac(a-c)<0解析:由条件知a>0,c<0,则选项A、B、D一定正确,当b=0时,选项C 不正确.故选C.6.(2013浙江龙泉市模拟)如果a<b<0,那么,下列不等式中正确的是( D )(A)< (B)a2<b2(C)>(D)<解析:法一由a<b<0,所以>0,a<b两边同乘以得:<,故选项A错;由a<b<0,得-a>-b>0,两边平方得:a2>b2,故选项B错;由a<b<0,得a-b<0,所以a(a-b)>0,若>成立,则>成立,即a>a-b成立,也就是b>0成立,与已知矛盾,故选项C错;由a<b<0得<<0,所以->->0,则=（-）2<（-）2=,故选项D正确.法二∵a<b<0,故可取a=-3,b=-2,∴=->-=,故选项A错;a2=9,b2=4,∴a2>b2,故选项B错;a-1=-1,∴=-1<-=,故选项C错;=,=,∴<,故选项D正确.故选D.7.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则( D )(A)c>b>a (B)b>c>a(C)a>c>b (D)a>b>c解析:∵1<log23<log25<log27,∴>>>0,即log32>log52>log72,a=log3(3×2)=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,∴a>b>c.故选D.二、填空题8.已知a+b>0,则+与+的大小关系是.解析:+-=+=(a-b)=.∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0.∴+≥+.答案:+≥+9.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是. 解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0,当a>0时,b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.答案:(-∞,-1)10.(2013南昌一模)现给出三个不等式:①a2+1>2a;②a2+b2>2(a-b-);③+>+.其中恒成立的不等式共有个.解析:①∵a2+1-2a=(a-1)2≥0,故①不恒成立;②∵a2+b2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,∴a2+b2>2（a-b-）恒成立.③∵(+)2=17+2,(+)2=17+2,又∵>,∴17+2>17+2,∴+>+,成立.答案:211.(2013滨州模拟)A杯中有浓度为a的盐水x克,B杯中有浓度为b 的盐水y克,其中A杯中的盐水更咸一些.若将A,B两杯盐水混合在一起,其咸淡的程度可用不等式表示为.解析:依题意知混合后盐水的咸淡程度m应满足b<m<a,又m=, 所以混合后的咸淡程度用不等式表示为:b<<a.答案:b<<a三、解答题12.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7枝,练习本至少买6本.写出满足条件的不等式.解:设铅笔买x枝,练习本买y本(x,y∈N*),总钱数为0.6x+0.7y,且不大于10,∴13.若α,β满足试求α+3β的取值范围.解:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.由解得∴α+3β=-(α+β)+2(α+2β),∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,∴两式相加,得1≤α+3β≤7.B组14.(2013清远市调研)设a>b,c>d,则下列不等式恒成立的是( D )(A)a-c>b-d (B)ac>bd(C)> (D)b+d<a+c解析:取a=-1,b=-2,c=1,d=0代入验证知选项A、B、C不成立,由同向不等式可加性知选项D恒成立,故选D.15.(2013南京一模)给出下列四个命题:①若a>b>0,则>;②若a>b>0,则a->b-;③若a>b>0,则>;④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2.其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上).解析:①作差可得-=,而a>b>0,则<0,①是假命题.②a>b>0,则<,进而可得->-,所以可得a->b-,②是真命题;③-===<0,③是假命题;④当a-b<0时此式不成立,④是假命题.答案:②16.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.解:设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.所以y1-y2=x+xn-nx=x-nx=x.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.。

高考数学一轮复习课时跟踪检测(三)不等关系与一元二次不等式(含解析)-人教版高三全册数学试题

课时跟踪检测(三) 不等关系与一元二次不等式一、题点全面练1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m 解析：选D m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．3．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.4．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值X 围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )的图象开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.5．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )A ．13B ．18C ．21D ．26解析：选C 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f 2≤0，f 1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a ＞0，解得5＜a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6,7,8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.6．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为________．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值X 围是(－3,0]．答案：(－3,0]7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 8．对于实数x ，当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)9．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. (1)某某数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2. (2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12. 10．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝f x x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试某某数a 的取值X 围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4. 因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f x x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g 0≤0，g 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34. 则实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分1．不等式x2x －1>1的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析：选A 原不等式等价于x 2x －1－1>0，即x －2x －12x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2|a ＋b | 解析：选D 由题可知b <a <0，所以A 、B 、C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误．3．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >z 得xy >xz .故选C.4．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值X 围是________．解析：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β ≤7.所以α＋3β的取值X 围为[1,7]．答案：[1,7]5．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值X 围．解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f －1>0，f 1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值X 围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．。

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14．已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小．解：p －q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1，当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，∴a 3＋1a 2＋1>1.∴log a a 3＋1a 2＋1>0；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，∴a 3＋1a 2＋1<1.∴log a a 3＋1a 2＋1>0.综上可得p －q >0，∴p >q .[能力提升]1．(2017届安徽合肥一模)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c 可得a >c ；由b ＋c >c ＋a 可得b >a ，于是有c <a 0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：解法一：f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 21－x 22)＋2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝2a (x 1－x 2)<0，故f (x 1)<f (x 2)．解法二：函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，二次函数的图像开口向上，对称轴为x ＝－1.∵x 1＋x 2＝0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，∴f (x 1)<f (x 2)．答案：A3．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，1324．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，所以a －x ＝b －y ，因此①不成立，因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此③也不成立．因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，所以a y ＝bx ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④5．已知a >0且a ≠1，m >n >0，比较A ＝a m ＋1a m ，B ＝a n ＋1a n 的大小．解：A －B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a m ＋1a m －⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＝a m －a n ＋1a m －1a n ＝(a m －a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a m ＋n .当0<a <1时，∵m >n >0，∴0<a m ＋n <1，∴1a m ＋n>1，∴1－1am ＋n <0，而a m －a n <0，∴A －B >0，因此A >B .当a >1时，∵m >n >0，∴a m ＋n >1，∴1am ＋n <1，∴1－1am ＋n >0，而a m －a n >0，∴A －B >0，此时A >B .综上所述，A >B .。