2012年高考理科数学试题及答案(浙江卷WORD版)
2012年高考真题——浙江卷理科数学试题及答案word解析版
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式|x|(2x-1)≤0的解集是A. ( - , ]B. ( - ,0) U (0, ]C.[- -, + )D. [0, ]2. 如图,把一个单位圆八等分，某人向圆内投镖，则他投中阴影区域的概率为A. B .C. D.3. 在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C = 120°,c= a,则A. a > bB. a < bC. a = bD. a与b的大小关系不能确定4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框内应填入的条件为A. a≥5B. a≥4C. a≠t3D.a≥25. 若x=1是函数的一个极值点,则 0等于A. B. C. 或 D. 或6. “a = l”是“直线 ax + (2 -a)y =O 与 x- ay = 1 垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知平面向量a,b满足a丄b，a = (1, -2)，|b| = ，则b等于A. (4,2)B. (6,3)C.(4，2)或（-4，-2)D.(-6,-3)或(6,3)8. —个底面是等腰直角三角形的三棱柱,其侧棱垂直底面,侧棱长与底面三角形的腰长相等，它的三视图中的俯视图如图所示，若此三棱柱的侧面积为8+ 在，则其体积为A.4B.8 C4 D.9. 下列函数中，周期为，且在[ ]上为增函数的是A. B.C. D.10. 已知函数f(x) =2x，g(x)=lon2x,h(x)=x2则A.它们在定义域内都是增函数B.它们的值域都是(0，+ )C.函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称D.直线y=x- -是曲线y=h(x)的切线11. 巳知椭圆与双曲线有公共焦点F1,F ¬2,点P是两曲线的一个交点，若|PF1|.|PF2|=2，则B2 + n2的值为A.1B.2C.3D.412. 已知正方形OABC的四个顶点分别是0(0，0)，A(1，0),B(1，1)，C(0，1),设u=x2-y2 ，v=2xy是一个由平面xOy到平面UOV上的变换,则正方形OABC在这个变换下的图形是第II卷（非选择题:共90分）二、填空题:本大题共4小题,毎小题4分,共1 6分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若复数z= (a+2i) (1-2i) (a∈ R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_____14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过l，3，6，10，…，可以用如图所示的三角形点阵来表示，那么第10个点阵表示的数是_______15.已知实数x,y满足则z-2x-3y的最大值是_______,16. 函数f(x)对任意实数x都有 , ，给出如下结论：①函数g(x)对任意实数x都有，g(x+π)=g(x-π);②函数f1(x),(幻是偶函数；③函数f2(x)是奇函数；④函数f1(x)，F2(X)都是周期函数，且π是它们的一个周期.其中所有正确结论的序号是________三、解答题:本大题共6小题，共7 4分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17. (本小题满分12分）数列{ an}中,a1 =3,an=an -1 +3(n≥2,n ),数列{bn}为等比数列b1=a2,b2 =a4(I)求数列{an}的通项公式；(II)求数列{bn}的前n项和.18. (本小题满分12分）如图，等边ΔABC的中线AF与中位线D E相交于点G,将ΔAED沿DE折起到ΔA'ED的位置.(I)证明:BD//平面A'EF;(II)当平面A'ED丄平面BCED时，证明:直线A'E与 BD不垂直.19. (本小题满分12分）函数.f(x)=Asin( x+ )(A>0, >0,0< < 在一个周期内的图象如图所示,P是图象的最髙点，Q是图象的最低点，M是线段PQ与x轴的交点，且，(I)求函数y=f(x)的解析式；(II)将函数y =f (x)的图象向右平移2个单位后得到函数y = g(x)的图象，试求函数h(x)=F(X).g(x)图象的对称轴方程.20. (本小题满分12分）中国经济的髙速增长带动了居民收入的提髙.为了调查髙收人(年收入是当地人均收入10 倍以上)人群的年龄分布情况，某校学生利用暑假进行社会实践，对年龄在[25,55)的人群随机调査了1000人的收入情况，根据调査结果和收集的数据得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图.(I)补全频率分布直方图,根据频率分布直方图,求这1000人年龄的中位数；(II)求统计表中的a,b;(III)为了分析髙收入居民人数与年龄的关系，要从髙收入人群中按年龄组用分层抽样的方法抽取25人作进一步分析，则年龄在[30，40)的髙收人人群应抽取多少人？21. (本小题满分12分）已知圆C1：x2 + (Y -1)2 = 1，抛物线C2的顶点在坐标原点,焦点F为圆C1的圆心.(I)已知直线L的倾斜角为：，且与圆C1相切,求直线L的方程；(II)过点F的直线m与曲线C1,C2交于四个点,依次为 A，B，C，D( 如图），求|AC|•丨BD|的取值范围.22. (本小题满分14分）巳知函数f(x)的定义域是(0, 是f(x)的导函数，且在(0，+ )内恒成立.(I)求函数f()= 的单调区间；(II)若f(x) =lnx+ax2，求a的取值范围；(III)设x0是f(x)的零点,m,n∈ (0，x0），求证:。
2012年全国高考浙江理科数学试题详细解析
+ a5 (1 + x ) 两 边 连 续 对 x 求 导 三 次 得 ：
5
60 x 2 = 6a3 + 24a4 (1 + x ) + 60a5 (1 + x ) 2 ，再运用赋值法，令 x = −1 得： 60 = 6a3 ，即 a3 = 10 ．
【点评】本题是二项式定理与函数的综合，通过二项展开式的系数与函数是的系数比较求解是常见的做法. 15.在 ∆ABC 中， M 是 BC 的中点， AM = 3 ， BC = 10 ，则 AB ⋅ AC = ________.
3
2 。将 ∆ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程
故体积等于
1 1 × 3 × 1× 2 × = 1 ． 2 3
【点评】该题主要考察空间几何体的三视图以及多面体体积的计算，抓住其直观图的形状特点是关键. 12.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________。
a b
D．若 2 − 2a = 2 − 3b ，则 a < b
a b
【答案】A 【解析】若 2a + 2a = 2b + 3b ，必有 2a + 2a > 2b + 2b ．构造函数： f ( x ) = 2 x + 2 x ，则 f ′ ( x ) = 2 x ⋅ ln 2 + 2 > 0 恒成立， 故有函数 f ( x ) = 2 x + 2 x 在 x > 0 上单调递增，即 a > b 成立．其余选项用同样方法排除． 【点评】此题主要考察函数的性质和比较大小，利用单调性比大小是常用的一种方法，而单调性除了根据基本初 等函数来 判断之外更重要的是导数法. 10. 已知矩形 ABCD ， AB = 1 ， BC = 中。 A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置，三对直线“ AC 与 BD ” ， “ AB 与 CD ” ， “ AD 与 BC ”均不垂直 【答案】B 【解析】 取一长方形动手按照其要求进行翻着， 观察在翻着过程， 即可知存在某个位置， 使得直线 AB 与直线 CD 垂直. 【点评】此题主要考察空间图形的形状大小位置的变化规律的，动手可以直观的感受到其中的奥妙. 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 11.已知某三棱锥的三视图（单位： cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm . 【答案】 1 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．
2012年浙江省高考理科数学试题
绝密★考试结束前2012年浙江省重点中学高三年级第一次联考试题数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}20A x x a =-≤，{}40B x x b =->，N b a ∈,，且(){}3,2=N B A ，由整数对()b a ,组成的集合记为M ，则集合M 中元素的个数为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （2）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 （A ）8- （B ）2- （C ）1- （D ）0（3）在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6463，则事件A 恰好发生一次的概率为（A ）41 （B ）43（C ）649 （D ）6427（4）设α，β，γ为不同的平面，m ，n 为不同的直线，下列命题正确的是（A ）,,,n n m m αβαβ⊥⊥⊥⊥若则 （B ）,,,m m αγαγβγβ=⊥⊥⊥ 若则 （C ）,,,m m αγβγαβ⊥⊥⊥⊥若则 （D ）,,,l m l m αβαββ⊥=⊥⊥ 若则 （5）关于函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=22sin πx x f ，有下列四个命题：①()x f 的最小正周期是2π；②()x f 是偶函数；③()x f 的图像可以由()x x g 2sin =的图像向左平移2π个单位；④若()54-=x f ， 22ππ<<-x ，则1010cos =x ，则正确命题的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （6）已知a ，b 为非零的不共线向量，设条件()b a b M -⊥:，条件:N 对任意R ∈x ，不等式b a b x a -≥-恒成立．则M 是N 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线设O为坐标原点，若于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，开始1,1,0===y x i1+=i i yx y += yx x -=yx +输出结束是否（第2题）?3≤i()R ∈+=n m OB n OA m OP ,，且92=mn ，则该双曲线的离心率为 （A ）223 （B ）553 （C ）423 （D ）89（8）若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 相交于P ，Q 两点，且点P ，Q 两点关于直线0=+y x 对称，则在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+0100y kx x y m y x λ下，目标函数y x z λ+=的最大值小于2，则λ的取值范围是 （A ）()21,1+（B ）()+∞+,21 （C ）()3,1 （D ）()+∞,3（9）已知函数()()()R ∈--=t t t x x f t 2，设b a <，()()()()()()()⎩⎨⎧≥<=x f x f x f x f x f x f x f b a b b a a ,,，若函数 ()b a x x f -++有四个零点，则a b -的取值范围是（A ）()52,0+ （B ）()32,0+ （C ）()+∞+,52 （D ）()+∞+,32 （10）已知集合{}3,2,1=M ，{}4,3,2,1=N ．定义函数N M f →:．若点()()1,1f A ，()()2,2f B ，()()3,3f C ，ABC ∆的外接圆圆心为D ，且()R ∈=+λλDB DC DA ，则满足条件的函数()x f 的个数是（A ）6 （B ）10 （C ）12 （D ）16绝密★考试结束前非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2012年全国高考理科数学试题及答案浙江卷word
2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50分）注意事项：i •答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2 •每小题选岀答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上参考公式：如果事件A，B互斥，那么柱体的体积公式如果事件A，B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高P A B =P A P B 锥体的体积公式1如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V =丄Sh3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高P n（k ）=C：p k（1 —p厂，（k =0,1,2,川，n ）球的表面积公式台体的体积公式S =4 T R21 ________V =—h（s +J SS T +S2）球的体积公式3其中S,S2分别表示台体的上底、下底面积，V =- T R33h表示台体的高其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合A={x|1 v x v 4}，B={x|x2—2x—3< 0}，贝U A n （C R B）=A. （1，4）B. （3，4）C. （1，3）D. （1，2）【解析】A= （1，4），B= （—3，1），则A n （C R B） = （1，4）.【答案】A2. 已知i是虚数单位，则3+i=1 -iA. 1-2iB . 2-iC . 2+ iD . 1 + 2i【解析】3+i = 3+i 1+i=匕=1 + 2i .1 _i2 2【答案】D3. 设a，R,贝厂'a= 1”是“直线1仁ax + 2y- 1 = 0与直线12：x + (a+1)y + 4= 0 平行”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当a= 1时，直线11：x+ 2y- 1 = 0与直线12：x + 2y + 4 =0显然平行；若直线11与直线12平行，则有：？二丄，解之得：a1 a +1=1or a=- 2 .所以为充分不必要条件.【答案】A4. 把函数y= cos2x+ 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y= cos2x+ 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：屮=cos x+ 1,向左平移1个单位长度得：y2= cos( x —1) + 1,再向下平移1个单位长度得：y3= cos( x —1).令x= 0,得：y3>0; x = - 1，得：y3 = 0;观察即得答案.【答案】B5. 设a, b是两个非零向量.A. 若| a+ b| = |a| - | b|，则a丄bB. 若a丄b,则| a+ b| = | a| - | b|C. 若| a+ b| = | a| —| b|，则存在实数入，使得a=入bD. 若存在实数入，使得a= X b,则| a+ b| = | a| —| b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，v |a+ b| = |a| —| b| , 则a, b共线，即存在实数X ,使得a= X b.如选项A：| a+ b| = | a| —| b|时，a, b可为异向的共线向量；选项B：若a丄b,由正方形得| a+ b| = | a| —| b|不成立；选项D：若存在实数X，使得a= X b, a, b可为同向的共线向量，此时显然| a + b| = | a| —| b|不成立.【答案】C6. 若从1, 2, 2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种【解析】1, 2, 2,…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：C2C：=6O种；4个都是奇数：C； = 5种.•••不同的取法共有66种.【答案】D7. 设S是公差为d(d z0)的无穷等差数列｛a n｝的前n项和，则下列命题错误的是• •A.若d v 0,则数列｛S｝有最大项B. 若数列｛S｝有最大项，则d v 0C. 若数列｛S｝是递增数列，则对任意的n N*，均有S>0D. 若对任意的n N*，均有S>0,则数列｛S｝是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1, 0, 1, 2, 3,….满足数列｛S｝是递增数列，但是S n>0不成立.【答案】C是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P, Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若|MF| _ L.F1FK则C的离心率是A. 」3 2C. 2D. ,3_ b；(x+c)，得：，竿).二直线MN为：y—bc b c +a c +ay_ _ _xL a_- -(x—旦),c c a3令y_ 0 得：X M= # 2.又T | MF| _ I F1F2I _2c,—3c_xc -a解之得：e2=Z」，即e_^ .a a 2， 28.如图，F i, F2分别是双曲线C:2 2:一爲=1( a, b>0)的左右焦点，B a b【解析】如图：| OB = b, | 0F| = c. 直线PQ为：y = b(x+ c)，两条渐近线为: c 二k pQ_ b, k MN_—-.c ci b y_ (x+ c)c，得:I b 'y__ xi ay=ax. 由3cM_ --- 2 ,c a(第8题图)【答案】B9.设a>0, b>0.A. 若2a 2a =2b 3b，贝y a> bB. 若2a 2a =2b 3b，贝y av bC. 若2a _2a =2b _3b，贝y a> bD. 若2a _2a =2b _3b，则a v b【解析】若2a 2a =2b 3b ,必有2a 2a . 2b - 2b .构造函数:f x ]=2- 2x , 则「x i=2x l n22.0恒成立，故有函数f x[=2x2x在X > 0上单调递增，即a>b成立.其余选项用同样方法排除.【答案】A10.已知矩形ABCD AB= 1, BC=© .将A ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A. 存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C. 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D. 对任意位置，三直线“ AC与BD, “AB与CD, “AD与BC均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的.【答案】C绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1•用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上2 •在答题纸上作图，可先使用28分.11.已知某三棱锥的三视图 示，则该三棱锥的体积等于 ____________ cm i .【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形.故体积等于* 3 1 2 3“. 【答案】1值是 4 513.设公比为q (q >0)的等比数列｛ a n ｝的前n 戈—退H 为｛S ｝.若5 =3& +2 , S4=3a 4 +2，贝卩 q = ________________ .【解析】将S2-3a 2 2 , S 4 =3a 4 2两个式子全部转化成用a , q表示的二、填空题：本大题共 12 .若程T 1i23 4 5 67小题，每小题4分，2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑幵始【解析】T , i 关系如下图: 【答案】i 120式子.即印:印:鬥2 3 3 3 ,两式作差得：a1q^Fa1q^3a1q(q^1),即：Q +ai^ba1q +a1q =3ag +2 72q -q - 3= 0,解之得：q=2or q--1(舍去).【答案】2214 .若将函数f x =X5表示为其中a。
2012年理数高考试题答案及解析-浙江-(5451)
b c
， kMN ＝﹣
y＝ b c b a
b c
．
b c y＝ b a x
直线 PQ 为： y＝
b c
(x＋ c)，两条渐近线为：
y＝
b a
( x＋ c )
x ．由
y＝
，得： Q(
x
ac c a
，
bc c a
y＝
( x＋ c)
)；由
，得：
P(
ac bc bc b ac ， ＝﹣ (x － )．∴直线 MN 为： y － )， c a c a c a c c a c c
选择题部分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
．
净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么 P A B P A P B
a5 1 a4 C 4a 4
1
即：
C5 a 5 C5 a5
3
4
0 a3 0
a3
10 ．
法 二 ： 对 等 式 ：
60 x
2
f x
60 a5 (1
x
5
a0
2
a1 1 x
a2 1 x
2
a5 1 x 1 得： 60
5
两 边 连 续 对
10 ．
x
求 导 三 次 得 ：
6a3
24 a 4 (1
x)
x) ，再运用赋值法，令
S2 3a2 2 ， S4 3a4 3a 2 2 a1q
2012年浙江高考数学试题(理数)
b ⎧ y＝ ( x＋c) ⎪ b b ac bc ⎪ c 直线 PQ 为：y＝ (x＋c)，两条渐近线为：y＝ x．由 ⎨ ，得：Q( ， )； c a c−a c−a ⎪ y＝ b x ⎪ ⎩ a b ⎧ y＝ ( x＋c ) ⎪ − ac bc bc b − ac ⎪ c 由⎨ ，得：P( ， )．∴直线 MN 为：y－ ＝﹣ (x－ )， c+a c+a c+a c c+a ⎪ y＝- b x ⎪ a ⎩
A．若 2 a + 2a = 2b + 3b ，则 a＞b
B．若 2 a + 2a = 2b + 3b ，则 a＜b C．若 2 a − 2 a = 2 b − 3b ，则 a＞b D．若 2 a − 2 a = 2 b − 3b ，则 a＜b 【解 析 】若 2 a + 2a = 2b + 3b ， 必有 2 a + 2a > 2 b + 2b ．构 造函 数： f ( x ) = 2 x + 2 x ， 则
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只 ． 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的． 1．设集合 A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则 A∩( C RB)＝ A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)
【解析】A＝(1，4)，B＝[－1，3]，则 A∩( C RB)＝(3，4)． 【答案】B 2．已知 i 是虚数单位，则 A．1－2i 【解析】
3+i ＝ 1− i
B．2－i
C．2＋i
D．1＋2i
( 3 + i ) (1+ i ) 2 + 4 i 3+i ＝ ＝ ＝1＋2i． 1− i 2 2
2012年高考理科数学浙江卷(含答案解析)
绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至6页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50分）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 柱体体积公式 ()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()C (1)(0,1,2,,)kk n kn nP k p p k n -=-= 球体的面积公式台体的体积公式24πS R =121()3V h S S =球的体积公式其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|14}A x x =＜＜，集合2{|230}B x x x =--≤, 则R A B =ð（ ）A. (1,4)B. (3,4)C. (1,3)D. (1,2)(3,4)2. 已知i 是虚数单位，则3i1i+=-（ ） A. 12i - B. 2i - C. 2i +D. 12i +3. 设a ∈R ，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 把函数cos21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（ ）A.B.C.D. 5. 设a ，b 是两个非零向量（ ）A. 若+=-|a b ||a ||b |，则⊥a bB. 若⊥a b ，则+=-|a b ||a ||b |C. 若+=-|a b ||a ||b |，则存在实数λ，使得λ=b aD. 若存在实数λ，使得λ=b a ，则+=-|a b ||a ||b |6. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 （ ）A. 60种B. 63种C. 65种D. 66种7. 设n S 是公差为0d d ≠（）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 （ ） A. 若0d <，则列数n {}S 有最大项 B. 若数列n {}S 有最大项，则0d <C. 若数列n {}S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有n 0S > D. 若对任意*n ∈N 均有n 0S >，则数列n {}S 是递增数列8. 如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若212||||MF F F =，则C 的离心率是（ ）A.B.C.D.9. 设0a >，0b >.（ ）A. 若2223a b a b =++，则a b >B. 若2223a b a b =++，则a b <C. 若2223a b a b =--，则a b >D. 若2223a b a b =--，则a b <10. 已知矩形ABCD ，1AB =，BC =。
2012高考浙江理科数学试题及答案(高清版)
2012高考浙江理科数学试题及答案(高清版)2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：球的表面积公式S＝4πR2球的体积公式πR3V＝43其中R表示球的半径锥体的体积公式ShV＝13其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高柱体的体积公式V＝Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高台体的体积公式h(S1＋S2)V＝1其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积．h表示台体的高如果事件A，B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P n (k )＝C k n P k (1－P )n －k(k ＝0,1,2，…，n )一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(U Q )＝( )A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}2．已知i 是虚数单位，则3i 1i +-( ) A ．1－2i B ．2－i C ．2＋iD ．1＋2i3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )5．设a，b是两个非零向量，()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是() A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列8．如图，F1，F2分别是双曲线C：22221x ya b-=(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B 与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()AB C D9．设a＞0，b＞0，()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC=ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD 垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD 垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC 垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于__________ cm3．12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．13．设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n 项和为S n，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝__________．14．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝__________．15．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB AC⋅=__________．16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a ＝__________．17．设a∈R，若x＞0时均有［(a－1)x－1］(x2－ax－1)≥0，则a＝__________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2A=，sin B C．cos3(1)求tan C的值；(2)若a=ABC的面积．19．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．20．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是BAD＝120°，且PA⊥平面边长为ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．21．如图，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)．．原点．．O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．22．已知a ＞0，b ∈R ，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b ．(1)证明：当0≤x ≤1时，①函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ；②f (x )＋|2a －b |＋a ≥0；(2)若－1≤f (x )≤1对x ∈［0,1］恒成立，求a ＋b 的取值范围．【自选模块】3．“数学史与不等式选讲”模块(10分) 已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A ．(1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围．4．“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：2cos3sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝＋(t 为参数)与曲线C ：2cos sin x y θθ⎧⎨⎩＝，＝(θ为参数)相交于不同两点A ，B ．(1)若π3α=，求线段AB 中点M 的坐标； (2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．1． B 由已知得，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以R B ＝{x |x ＜－1，或x ＞3}．所以A ∩(R B )＝{x |3＜x ＜4}．2．D ∵23i (3i)(1i)3+3i+i+i 24i 12i 1i (1i)(1i)22++++====+--+， ∴选D ．3． A l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．4． A y ＝cos2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应的图象为A 项．5． C 由|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方可得，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，即a ·b ＝－|a ||b |，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即a 与b 反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b ＝λa ．6． D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C 1＝(种)，取2奇数2偶数的取法有2245C C 60⋅=(种)，取4个数均为奇数的取法有45C 5=(种)，故不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．7． C 若{S n }为递增数列，则当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＞0，即n ≥2时，a n 均为正数，而a 1是正数、负数或是零均有可能，故对任意n ∈N *，不一定S n 始终大于0．8． B 由题意知F 1(－c,0)，B (0，b )， 所以1F Bb kc =，直线F 1B 的方程为b y x b c =+， 双曲线的渐近线方程为b y x a=±． 由,b y x b c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得Q (ac c a -，bc c a -) 由,b y x b c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得P (ac a c -+，bc a c+) 设PQ 中点坐标N (x 0，y 0)，则2021()2ac ac a c x c a a c b =-=-+ 201()2bc bc c y c a a c b =+=-+． 即N (22a c b ，2c b )又因MN ⊥F 1B ，∴11MNF B c k k b=-=-．所以直线MN 的方程为：222()c c a c y x b b b-=--令y ＝0得32c x b=．由|MF 2|＝|F 1F 2|得：32c b －c ＝2c ，即c 2＝3b 2． 故a 2＝c 2－b 2＝2b 2，22232c e a ==，所以e =．9． A 考查函数y ＝2x ＋2x 为单调递增函数，若2a ＋2a ＝2b ＋2b ，则a ＝b ，若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞b ．10． B 当AC ＝1时，由DC ＝1，AD =，得∠ACD 为直角，DC ⊥AC ，又因为DC ⊥BC ，所以DC ⊥面ABC ． 所以DC ⊥AB ． 11．答案：1解析：由图可知三棱锥底面积131322S =⨯⨯=(cm 2)，三棱锥的高h ＝2 cm ，根据三棱锥体积公式，11321332V Sh ==⨯⨯=(cm 3)． 12．答案：1120解析：当i ＝1时，T ＝11＝1，当i ＝2时，12T =，当i ＝3时，11236T ==，当i ＝4时，116424T ==，当i ＝5时，11245120T ==，当i ＝6时，结束循环，输出1120T =．13．答案：32解析：由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，两边同除以a2得，2q2－q－3＝0，即32q=或q＝－1(舍)．14．答案：10解析：x5＝［(1＋x)－1］5，故a3为［(1＋x)－1］5的展开式中(1＋x)3的系数，由二项展开式的通项公式得T r＋1＝5C r(1＋x)r·(－1)5－r令r＝3，得T4＝35C(1＋x)3·(－1)2＝10(1＋x)3．故a3＝10．15．答案：－16解析：AB·AC＝(AM＋MB)·(AM＋MC)＝2AM＋AM·MC＋AM·MB＋MB·MC＝|AM|2＋(MB＋MC)·AM＋|MB||MC|cosπ＝9－25＝－16．16．答案：94解析：x2＋(y＋4)2＝2到直线y＝x的距离为=y＝x2＋a到y＝x，而与y＝x的直线有两条，分别是y＝x＋2与y＝x－2，而抛物线y＝x2＋a开口向上，所以y＝x2＋a与y＝x＋2相切，可求得94a=．17．答案：32解析：因为x＞0，所以由不等式可得：(a－1－1x )(x－a－1x)≥0即［a－(1＋1x )］［a－(x－1x)］≤0设f(x)＝1＋1x ．g(x)＝x－1x，则上式为(a－f (x ))(a －g (x ))≤0．(*)因g ′(x )＝1＋21x ＞0，f ′(x )＝－21x ＜0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调减，g (x )在(0，＋∞)上单调增．令f (x )＝g (x )，即1＋1x ＝x －1x， 也就是x 2－x －2＝0，解得x ＝－1(舍)，x ＝2即当0＜x ＜2时，f (x )＞g (x )，不等式(*)的解为g (x )≤a ≤f (x )当x ≥2时，f (x )≤g (x )不等式(*)的解为f (x )≤a ≤g (x )．要使不等式恒成立，则a ＝f (z )＝g (2)＝32． 18．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin 3A ==，又cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C2sin 3C C +． 所以tan C =(2)由tan C =sinC =，cos C =．于是sinB C ==．由a =sin sin a cA C =，得c =设△ABC 的面积为S ，则1csin 2S a B ==．19．解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝3539C 5C 42=， P (X ＝4)＝124539C C 10C 21⋅=， P (X ＝5)＝214539C C 5C 14⋅=，P (X ＝6)＝3439C 1C 21=．所以X 的分布列为X 3 4 5 6P 542 1021 514 121(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133． 20． (1)证明：因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线． 所以MN ∥BD ．又因为MN 平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．(2)解：方法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝2336BD AB ==．又因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AC ．在直角△PAC中，AC =PA =，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下， A(0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(0,)，M(32-)，N(，32)，Q)．设m＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量．由33(2AM =-，33(2AN =，，知302230.22x y x y -+=⎪⎪⎪+=⎪⎩，取z ＝－1，得m ＝(0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由3(2QM =-，3(2QN =，知30,230.2x y zx y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩取z ＝5，得n ＝(0,5)．于是cos 〈m ，n 〉＝||||⋅=⋅m n m n ． 所以二面角A -MN -Q 的平面角的余弦值为33． 方法二：在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA ，BD= AB ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ． 所以PB =PC =PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ =NQ ，且AM =12PB =12PD =AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ， 则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB =PA =故在△AMN 中，AM =AN =3，MN =12BD =3，得AE =．在直角△PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ =，QC =2，PQ =4，在△PBC 中，2225cos 26PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅，得MQ ==在等腰△MQN 中，MQ =NQMN =3，得2QE==．在△AEQ中，2AE=，2QE=，AQ=222cos2AE QE AQAEQAE QE+-∠==⋅．所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为33．21．解：(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得1,2ca==⎪⎩得1,2,ca=⎧⎨=⎩所以椭圆方程为22143x y+=．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M．当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由22,3412y kx mx y=+⎧⎨+=⎩消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①则∆＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，12221228,34412.34kmx xkmx xk⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以线段AB的中点M(2434kmk-+，2334mk+)，因为M在直线OP上，所以22323434m kmk k-=++，得m＝0(舍去)或32k=-．此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则∆＝3(12－m 2)＞0，12212,3.3x x m m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩所以|AB |＝·|x 1－x 2|＝6设点P 到直线AB 距离为d ，则d ==．设△ABP 的面积为S ，则1||2S AB d =⋅= 其中m ∈(-，0)∪(0,．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈［-，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)·(m －1)(m －1)．所以当且仅当m ＝1，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1，S 取到最大值． 综上，所求直线l 方程为3x ＋2y＋－2＝0．22． (1)证明：①f ′(x )＝12ax 2－2b ＝12a (x 2－6b a )．当b ≤0时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在［0，＋∞)上单调递增．当b ＞0时，f ′(x )＝12a (x ＋6b a )(x －6b a )，此时f (x )在［0，6b a ］上单调递减，在［6b a ，＋∞)上单调递增．所以当0≤x ≤1时，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{－a ＋b,3a －b }＝3,2,,2a b b a a b b a-≤⎧⎨-+>⎩＝|2a －b |＋a ． ②由于0≤x ≤1，故 当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )＋3a －b ＝4ax 3－2bx ＋2a ≥4ax 3－4ax ＋2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．当b ＞2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )－a ＋b ＝4ax 3＋2b (1－x )－2a ＞4ax 3＋4a (1－x )－2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6(x －3)(x ＋3)，于是39所以，当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0， 故f (x )＋|2a －b |＋a ≥2a (2x 3－2x ＋1)≥0． (2)由①知，当0≤x ≤1时，f (x )max ＝|2a －b |＋a ，所以|2a －b |＋a ≤1．若|2a －b |＋a ≤1，则由②知f (x )≥－(|2a －b |＋a )≥－1．所以－1≤f (x )≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是|2|1,0,a b a a -+≤⎧⎨>⎩即20,31,0a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩或20,1,0.a b b a a -<⎧⎪-≤⎨⎪>⎩在直角坐标系aOb 中，不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC ．作一组平行直线a +b =t (t ∈R)， 得－1＜a +b ≤3，所以a +b 的取值范围是(－1,3］．【自选模块】3．解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，得x ≤－3．当－3＜x ≤12时，原不等式化为4－x ≥2x ＋4，得－3＜x ≤0． 当12x >时，原不等式化为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2．综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2} (2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x ＞－2时，|2x －a |＋x ＋3＝|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或13a x -≤，所以a ＋1≤－2或113a a -+≤，得a ≤－2．综上，a 的取值范围为a ≤－2．4．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2．将曲线C 的参数方程化为普通方程24x ＋y 2＝1．(1)当π3α=时，设点M 对应参数为t 0． 直线l方程为12,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程24x ＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则1228213t t t +==-，所以，点M 的坐标为(1213，13-． (2)将=2+cos sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩，代入曲线C 的普通方程24x ＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2212cos 4sin αα+，|OP |2＝7，所以22127cos 4sin αα=+，得25tan 16α=． 由于∆＝32cos α(α－cos α)＞0，故tan 4α=．．所以直线l的斜率为4。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数(浙江卷)解析版
该套试题立足基本知识点，全面考查新课标、新理念、新课程、新考纲，既有基本知识、基本方法、基本思想的考查，也有综合能力、方法的考量；既有横向的综合、又有横向的综合，试题难度按层次递增.2012浙江理科数学真题解析（专版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|0322≤--x x }, 则A ∩（C R B ）= A (1,4) B (3,4) C (1,3) D (1,2)∪（3,4）2. 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】3+3+(1+)2+4=12..1(1)(1+)2i i i ii D i i i ==+--（）故选 【考点定位】此题主要考察复数的代数运算以及复数的概念，是复数内容的主要考点.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5.设a，b是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λ aD.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|6.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种B.63种C.65种D.66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C=种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种．【答案】D【考点定位】该题主要考察分类组合，考察分析分体和解决问题的能力.学会分类处理是关键.7设n s 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A.若d ＜0，则列数﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*n N ∈,均有0>n SD.若对任意*n N ∈,均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列8.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的在左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M 。
2012年高考浙江数学(理)试卷解析(精析word版)(学生版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试 浙江数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件A,B 互斥 ，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A,B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)= (1)(0,1,2,...,)k k n k n C p p k n --=台体的体积公式 V=11221()3h S S S S ++其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球体的面积公式S=4πR 2球的体积公式V=43πR 3 其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|0322≤--x x }, 则A ∩（C R B ）=A (1,4)B (3,4)C (1,3)D (1,2)∪（3,4）2. 已知i 是虚数单位，则31i i+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y-1=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.设a ，b 是两个非零向量。
2012浙江高考理科数学试题及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题部分（共50分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式 13V sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a =（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2（2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位，若z=1+i,则(1)z z +⋅=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D ）3（3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（4）下列命题中错．误．的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β（B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()423πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）33 （B ）33- （C ）539 （D ）69- （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a = （B ）2a =13 （C ）212b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。
【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(浙江卷)(纯word书稿)
2012·浙江卷(理科数学)1．[2012·浙江卷] 设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁B)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)1．B[解析] 本题主要考查不等式的求解集合的关系与运算等．由于B＝{x|x2－2x －3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，则∁B＝{x|x<－1或x>3}，那么A∩(∁B)＝{x|3<x<4}＝(3,4)，故应选B.[点评] 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键．2．[2012·浙江卷] 已知i是虚数单位，则3＋i1－i＝()A．1－2i B．2－iC．2＋i D．1＋2i2．D[解析] 本题主要考查复数的四则运算，检测学生对基础知识的掌握情况．3＋i 1－i ＝(3＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2＋4i2＝1＋2i，故应选D.[点评] 复数的四则运算是每年高考的必考内容之一，以送分题为主．3．[2012·浙江卷] 设a∈，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a ＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．A[解析] 本题主要考查直线的平行关系与充要条件的判断等基础知识和基本方法．法一：直接推理：分清条件和结论，找出推出关系即可．当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行，所以条件具有充分性；若直线l1与直线l2平行，则有：a 1＝2a ＋1，解之得：a ＝1 或 a ＝－2，经检验，均符合，所以条件不具有必要性．故条件是结论的充分不必要条件．法二：把命题“a ＝1”看作集合M ＝{1}，把命题“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”看作集合N ＝{1，－2}，易知M ⊆N ，所以条件是结论的充分不必要条件，答案为A.4．[2012·浙江卷] 把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )图1－14．A [解析] 本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题．考查函数图象变换方法和技巧．把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝cos x ＋1的图象；然后向左平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x＋1)＋1的图象；再向下平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1－1＝cos(x ＋1)的图象；结合各选项中的图象可知其图象为选项A 中的图象，故应选A.5．[2012·浙江卷] 设，是两个非零向量( ) A ．若|＋|＝||－||，则⊥ B ．若⊥，则|＋|＝||－||C ．若|＋|＝||－||，则存在实数λ，使得＝λD ．若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－||5．C [解析] 本题主要考查平面向量的相关概念与性质，以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质．法一：对于选项A ，若|＋|＝||－||可得·＝－||||，则与为方向相反的向量，A 不正确；对于选项B ，由⊥，得·＝0，由|＋|＝||－||，·＝－||||，B 不正确；对于选项C ，若|＋|＝||－||可得·＝－||||，则与为方向相反的共线向量，∴＝λ；对于选项D ，若＝λ，当λ>0时，|＋|＝||＋||，当λ<0时，可有|＋|＝||－||，故不正确．法二：特值验证排除．先取＝(2,0)，＝()－1，0，满足||a ＋b ＝||a －||b ，但两向量不垂直，故A 错；再取＝()2，0，＝()1，0，满足＝λ，但不满足||a ＋b ＝||a －||b ，故D 错；取＝()2，0，＝()0，－1，满足⊥，但不满足||a ＋b ＝||a －||b ，故B 错，所以答案为C.6．[2012·浙江卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种6．D [解析] 本题考查排列组合计数原理等基础知识，考查灵活运用知识与分析解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C 25C 24＝60种；③4个都是奇数：C 45＝5种．∴不同的取法共有66种．[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．7．[2012·浙江卷] 设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈*，均有S n >0D ．若对任意n ∈*，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列7．C [解析] 本题考查等差数列的通项前n 项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．法一：特值验证排除．选项C 显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不恒成立．法二：由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，根据二次函数的图象与性质知当d <0时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，那么d >0，但对任意的n ∈*，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的；故应选C.[点评] 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据．图1－28．[2012·浙江卷] 如图1－2所示，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62 C. 2 D. 38．B [解析] 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线间的位置关系，直线间的交点，双曲线的方程与几何性质等．依题得直线F 1B 的方程为y ＝bc x ＋b ，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－cb (x －3c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b c x ＋b ，y ＝－ba x 联立解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b ，y ＝ba x联立解得点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫acc －a ，bc c －a ，那么可得线段PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cb 2，c 2b ，代入y ＝－c b (x －3c )并整理可得2c 2＝3a 2，可得e ＝ca ＝32＝62，故应选B.[点评] 众多的信息与复杂的计算是阻碍本题求解的关键，解答时要静下心来，分析点直线曲线的关系，求解对应的坐标并加以正确计算．9．[2012·浙江卷] 设a >0，b >0( ) A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >b B ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <b C ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >b D ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b9．A [解析] 本题考查构造函数利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察构想推理的能力．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，必有2a ＋2a >2b ＋2b .构造函数：f (x )＝2x ＋2x ，则f (x )＝2x ＋2x 在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立，故A 正确，B 错误．其余选项用同样方法排除．10．[2012·浙江卷] 已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直10．B [解析] 本题主要考查空间几何体的判定与分析问题．考查空间想象能力和动手操作能力．对于AB ⊥CD ，因为BC ⊥CD ，由线面垂直的判定可得CD ⊥平面ACB ，则有CD ⊥AC ，而AB ＝CD ＝1，BC ＝AD ＝2，可得AC ＝1，那么存在AC 这样的位置，使得AB ⊥CD 成立，故应选B.[点评] 解决折叠问题时，可以先通过实际操作，找到可行性后再加以合理判断与分析．实际解决此类问题时可以通过草稿纸加以折叠分析后直接判断．图1－311．[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－3所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.11．1 [解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算处理能力和空间想象能力．由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则V ＝13Sh ＝13×12×1×3×2＝1.[点评] 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度关系等．图1－412．[2012·浙江卷] 若某程序框图如图1－4所示，则该程序运行后输出的值是________．12.1120 [解析] 本题主要考查算法的程序框图及其应用．当i ＝1时，T ＝11＝1，而i ＝1＋1＝2，不满足条件i >5；接下来，当i ＝2时，T ＝12，而i ＝2＋1＝3，不满足条件i >5；接下来，当i ＝3时，T ＝123＝16，而i ＝3＋1＝4，不满足条件i >5；接下来，当i ＝4时，T ＝164＝124，而i ＝4＋1＝5，不满足条件i >5；接下来，当i ＝5时，T ＝1245＝1120，而i ＝5＋1＝6，满足条件i >5；此时输出T ＝1120，故应填1120.[点评] 对于程序框图问题，关键是正确识别与推理，通过逐步推理与分析加以正确判断．13．[2012·浙江卷] 设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.13.32 [解析] 本题主要考查等比数列的求和以及二元方程组的求解．当q ＝1时，由S 2＝3a 2＋2得a 2＝－2，由S 4＝3a 4＋2得a 4＝2，两者矛盾，舍去，则q ≠1，联立方程⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1(1－q 4)1－q＝3a 1q 3＋2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝32，故应填32.[点评] 注意分类，必须对q ＝1加以讨论，否则直接利用等比数列的求和公式容易导致遗漏．14．[2012·浙江卷] 若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.14．10 [解析] 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理．法一：由于f (x )＝x 5＝[](1＋x )－15那么a 3＝C 25(－1)2＝10，故应填10.法二：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再运用赋值法，令x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.法三：由等式两边对应项系数相等．即⎩⎨⎧a 5＝1，C 45a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 14a 4＋a 3＝0⇒a 3＝10.[点评] 正确地把函数与二项展开式加以对比，再结合二项式定理加以分析与应用．注意等式的拆分与组合．15．[2012·浙江卷] 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.15．－16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质平面向量的线性运算与数量积． 法一：AB →·AC →＝(MB →－MA →)·(MC →－MA →)＝MB →·MC →－MB →·MA →－MA →·MC →＋MA →2＝5×5×cos180°－5×3×cos ∠BMA －3×5×cos ∠AMC ＋32＝－16，故应填－16.法二：特例法：假设△ABC 是以ABAC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC→|·cos ∠BAC ＝－16.[点评] 对平面向量进行正确的线性分解是解决本题的关键，同时注意向量的夹角之间的关系与应用．16．[2012·浙江卷] 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.16.94 [解析] 本题在新定义背景下考查直线圆和抛物线的方程，一二次曲线之间的位置关系与导数的几何意义等基础知识，考查学生综合运用知识的能力和学情，考查函数方程和数形结合的数学思想．求出曲线C 1到直线l 的距离和曲线C 2到直线l 的距离，建立等式，求出参数a 的值. 曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即d －r ＝||－42－2＝2，由y ＝x 2＋a 可得y ′＝2x ，令y ′＝2x ＝1，则x ＝12，在曲线C 1上对应的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a ，所以曲线C 1到直线l 的距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a 直线l 的距离，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2＝2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，a ＝－74或a ＝94，当a ＝－74时，曲线C 1：y ＝x 2－74与直线l ：y ＝x 相交，两者距离为0，不合题意，故a ＝94.17．[2012·浙江卷] 设a ∈，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.17.32 [解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用，考查数形结合和转化化归的数学思想．令y 1＝()a －1x －1，y 2＝x 2－ax －1，则函数y 1＝()a －1x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P ()0，－1.考查函数y 1＝()a －1x －1，令y ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0，同时只有a －1>0即a >1时才有可能满足x ∈()0，＋∞时，y 1·y 2≥0； 考查函数y 2＝x 2－ax －1，显然只有过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0时才能满足x ∈()0，＋∞时，y 1·y 2≥0，代入得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，可得()a －12＋a ()a －1－1＝0,2a 2－3a ＝0解得a ＝32或a ＝0，舍去a ＝0，得答案：a ＝32.18．[2012·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．18．解：(1)因为0＜A＜π，cos A＝23，得sin A＝1－cos2A＝53.又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以tan C＝ 5.(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B＝5cos C＝56.由a＝2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝ 3.设△ABC的面积为S，则S＝12ac sin B＝52.19．[2012·浙江卷] 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．19．解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121.所以X的分布列为E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝13 3.图1－520．[2012·浙江卷] 如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且P A⊥平面ABCD，P A＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．20．解：(1)因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD . (2)方法一：连结AC 交BD 于O .以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得 AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC .在Rt △P AC 中，AC ＝23，P A ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下，A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32， 6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32， 6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，263. 设＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，6，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，6知⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋6z ＝0.取z ＝－1，得 ＝(22，0，－1)．设＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－536，－32，63，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－536，32，63知⎩⎪⎨⎪⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0，取z ＝5，得＝(22，0,5)． 于是cos 〈，〉＝m·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333. 方法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得 AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ＝3AB . 又因为P A ⊥平面ABCD ，所以 P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD . 所以PB ＝PC ＝PD . 所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以 MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN . 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则 AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角． 由AB ＝23，P A ＝26，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得 AE ＝332.在直角△P AC 中，AQ ⊥PC ，得 AQ ＝22，QC ＝2，PQ ＝4.在△PBC 中，cos ∠BPC ＝PB 2＋PC 2－BC 22PB ·PC ＝56，得MQ ＝PM 2＋PQ 2－2PM ·PQ cos ∠BPC ＝ 5. 在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ ＝5，MN ＝3，得 QE ＝MQ 2－ME 2＝112.在△AEQ 中，AE ＝332，QE ＝112，AQ ＝22，得 cos ∠AEQ ＝AE 2＋QE 2－AQ 22AE ·QE ＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.图1－621．[2012·浙江卷] 如图1－6，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点．．．．O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．21．解：(1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧(2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 因为M 在直线OP 上，所以 3m3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2. 得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则 Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2. 设点P 到直线AB 的距离为d ，则 d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，23]．u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)． 所以当且仅当m ＝1－7，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7，S 取到最大值． 综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.22．[2012·浙江卷] 已知a >0，b ∈，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (1)证明：当0≤x ≤1时， (i)函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ； (ii)f (x )＋|2a －b |＋a ≥0；(2)若－1≤f (x )≤1对x ∈[0,1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．22．解：(1)(i)f ′(x )＝12ax 2－2b ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－b 6a .当b ≤0时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 当b ＞0时，f ′(x )＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 6a . 此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 6a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 6a ，＋∞上单调递增． 所以当0≤x ≤1时，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{－a ＋b,3a －b }＝⎩⎨⎧3a －b ，b ≤2a ，－a ＋b ，b ＞2a＝|2a －b |＋a . (ii)由于0≤x ≤1，故 当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )＋3a －b ＝4ax 3－2bx ＋2a ≥4ax 3－4ax ＋2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)． 当b ＞2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )－a ＋b ＝4ax 3＋2b (1－x )－2a ＞4ax 3＋4a (1－x )－2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0. 故f (x )＋|2a －b |＋a ≥2a (2x 3－2x ＋1)≥0.(2)由(i)知，当0≤x ≤1时，f (x )max ＝|2a －b |＋a ，所以 |2a －b |＋a ≤1.若|2a －b |＋a ≤1，则由②知 f (x )≥－(|2a －b |＋a )≥－1.所以－1≤f (x )≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是 ⎩⎨⎧|2a －b |＋a ≤1，a ＞0， 即⎩⎨⎧2a －b ≥0，3a －b ≤1，a ＞0或⎩⎨⎧2a －b ＜0，b －a ≤1，a ＞0.③在直角坐标系aOb 中，③所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC .做一组平行线a ＋b ＝t (t ∈)，得 －1＜a ＋b ≤3.所以a ＋b 的取值范围是(－1,3]．23．“数学史与不等式选讲”模块已知a ∈，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A . (1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝，求a 的取值范围．解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，综合得x ≤－3.当－3<x ≤12时，原不等式化为－x ＋4≥2x ＋4，综合得－3<x ≤0. 当x >12时，原不等式为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2. 综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x >－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13， 所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2， 综上，a 的取值范围为a ≤－2.24．“矩阵与变换和坐标系与参数方程”在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程x 24＋y 2＝1.(1)当α＝π3时，设点M 对应参数为t 0.直线l 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则 t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7. 得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理
浙江理科1.(2012浙江,理1)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁R B)=().A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)B由已知得,B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},所以∁R B={x|x<-1,或x>3}.所以A∩(∁R B)={x|3<x<4}.2.(2012浙江,理2)已知i是虚数单位,则31ii+-=().A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2iD∵31ii+-=(3)(1)(1)(1)i ii i++-+=2332i i i+++=242i+=1+2i,∴选D.3.(2012浙江,理3)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A l1与l2平行的充要条件为a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1∥l2的充分不必要条件.4.(2012浙江,理4)把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是().A y=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1=cos x+1,再向左平移1个单位长度得y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1),故相应的图象为A.5.(2012浙江,理5)设a,b是两个非零向量,().A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|C 由|a+b|=|a|-|b|两边平方可得,|a|2+2a·b+|b |2=|a|2-2|a||b|+|b|2,即a·b=-|a||b|,所以cos <a,b>=-1,即a 与b 反向,根据向量共线定理,则存在实数λ,使得b=λa.6.(2012浙江,理6)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ). A .60种B .63种C .65种D .66种D 和为偶数共有3种情况,取4个数均为偶数的取法有44C =1(种),取2奇数2偶数的取法有24C ·25C =60(种),取4个数均为奇数的取法有45C =5(种),故不同的取法共有1+60+5=66(种).7.(2012浙江,理7)设S n 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,则下列命题错误的是( ). A .若d<0,则数列{S n }有最大项 B .若数列{S n }有最大项,则d<0C .若数列{S n }是递增数列,则对任意n ∈N *,均有S n >0D .若对任意n ∈N *,均有S n >0,则数列{S n }是递增数列C ∵{S n }为递增数列,∴当n ≥2时,S n -S n-1=a n >0,即n ≥2时,a n 均为正数,而a 1是正数、负数或是零均有可能,故对任意n ∈N *,不一定S n 始终大于0.8.(2012浙江,理8)如图,F 1,F 2分别是双曲线C:22x a-22y b=1(a,b>0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M.若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是( ). ABCDB 设双曲线的半焦距为c,则|OB|=b,|OF 1|=c.∴k PQ =b c,k MN =-c b.直线PQ 为:y=b c(x+c),两条渐近线为:y=±b ax.由b y (x c),c b y x,a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得:Q ac bc ,c a c a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭; 由b y (x c),c b y x,a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得:P ac bc ,c a c a -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.∴直线MN 为:y-222bc c a -=-222c a c x b c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭, 令y=0得:x M =322c c a -.又∵|MF 2|=|F 1F 2|=2c,∴3c=x M =322c c a -,解之得:e 2=22c a =32,即9.(2012浙江,理9)设a>0,b>0,( ). A .若2a +2a=2b +3b,则a>b B .若2a +2a=2b +3b,则a<b C .若2a -2a=2b -3b,则a>b D .若2a -2a=2b -3b,则a<bA 考查函数y=2x +2x 为单调递函数,若2a +2a=2b +2b,则a=b,若2a +2a=2b +3b,∴a>b.10.(2012浙江,理10)已知矩形将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,( ).A .存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B .存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C .存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D .对任意位置,三对直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直B 当AC=1时,由得∠ACD 为直角,DC ⊥AC,又因为DC ⊥BC,所以DC ⊥面ABC. 所以DC ⊥AB.11.(2012浙江,理11)已知某三棱锥的三视图(单位:cm )如图所示,则该三棱锥的体积等于 cm 3.1 由图可知三棱锥底面积S=12×1×3=32(cm 2),三棱锥的高h=2 cm ,根据三棱锥体积公式,V=13Sh=13×32×2=1(cm 3).12.(2012浙江,理12)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 .1120 当i=1时,T=11=1,当i=2时,T=12,当i=3时,T=123=16,当i=4时,T=164=124,当i=5时,T=1245=1120,当i=6时,结束循环,输出T=1120.13.(2012浙江,理13)设公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则q= .32 由已知S 4-S 2=3a 4-3a 2,即a 4+a 3=3a 4-3a 2,即2a 4-a 3-3a 2=0,两边同除以a 2得,2q 2-q-3=0,即q=32或q=-1(舍).14.(2012浙江,理14)若将函数f(x)=x 5表示为f(x)=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+…+a 5(1+x)5,其中a 0,a 1,a 2,…,a 5为实数,则a 3= .10 由x 5=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+…+a 5(1+x)5可得,555554444444553333333334455·,0?,0?,x a C x x a C x a C x x a C x a C x a C x ⎧=⎪=+⎨⎪=++⎩可解得543a 1,a 5,a 10.=⎧⎪=-⎨⎪=⎩15.(2012浙江,理15)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB ·AC = . -16 AB ·AC =(AM +MB )·(AM +MC )=2AM +AM ·MC +AM ·MB +MB ·MC =|AM |2+(MB +MC )·AM +|MB ||MC |cos π=9-25=-16.16.(2012浙江,理16)定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y=x 2+a到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离,则实数a= .94 x 2+(y+4)2=2到直线y=x,所以y=x 2+a 到y=x 而与y=x 平行,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x 2+a 开口向上,所以y=x 2+a 与y=x+2相切,可求得a=94.17.(2012浙江,理17)设a ∈R,若x >0时均有[(a -1)x -1](x 2-ax -1)≥0,则a = .32当a ≤1时,(a-1)x-1<0,而x 2-ax-1在x 取正无穷大时为正,故不满足题意,所以a>1. 所以(a-1)x-1在x ∈10,a 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上小于0, 在x ∈1,a 1⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上大于0,要满足题意,x 2-ax-1在x ∈10,a 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上也小于0, 在x ∈1,a 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上大于0, 故x=1a 1-使x 2-ax-1=0,解得a=32.18.(2012浙江,理18)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知cos A=23,sin C.(1)求tan C 的值;(2)若求△ABC 的面积. 解:(1)因为0<A<π,cos A=23,得sinC=sin B=sin (A+C) =sin A cos C+cos A sin CC+23sin C.所以tan(2)由tan 得sincos .于是sin由a Asin =c Csin ,得c设△ABC 的面积为S,则S=12ac sin 19.(2012浙江,理19)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出此3球所得分数之和.(1)求X 的分布列; (2)求X 的数学期望E(X). 解:(1)由题意得X 取3,4,5,6,且P(X=3)=3539C C =542,P(X=4)=124539·C C C =1021, P(X=5)=214539·C C C =514, P(X=6)=3439C C =121. 所以X 的分布列为(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=133.20.(2012浙江,理20)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面是边长为,∠BAD=120°,且PA ⊥平面分别为PB,PD 的中点. (1)证明:MN ∥平面ABCD;(2)过点A 作AQ ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q 的平面角的余弦值. (1)证明:因为M,N 分别是PB,PD 的中点,所以MN 是△PBD 的中位线. 所以MN ∥BD.又因为MN ⊄平面ABCD, 所以MN ∥平面ABCD.(2)解法一:连结AC 交BD 于O,以O 为原点,OC,OD 所在直线为x,y 轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得又因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥AC.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得QC=2,PQ=4,由此知各点坐标如下,32⎛⎝,N32⎛⎝,Q⎝⎭.设m=(x,y,z)为平面AMN的法向量.由AM=32⎝,AN=32⎝,知3y0,23y0.2-=+=取z=-1,得m设n=(x,y,z)为平面QMN的法向量.由QM=32⎛⎝⎭,QN=32⎛⎝⎭知3y0,23y0.2⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取z=5,得n于是cos<m,n>=m?n|m||n|.所以二面角A-MN-Q解法二:在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得又因为PA ⊥平面ABCD, 所以PA ⊥AB,PA ⊥AC,PA ⊥AD. 所以PB=PC=PD. 所以△PBC ≌△PDC.而M,N 分别是PB,PD 的中点, 所以MQ=NQ,且AM=12PB=12PD=AN.取线段MN 的中点E,连结AE,EQ, 则AE ⊥MN,QE ⊥MN,所以∠AEQ 为二面角A-MN-Q 的平面角.由故在△AMN 中,AM=AN=3,MN=12BD=3,得在直角△PAC 中,AQ ⊥PC,得在△PBC 中,cos ∠BPC=222PB PC BC 2PB?PC +-=56,得在等腰△MQN 中得.在△AEQ 中得cos ∠AEQ=222AE QE AQ 2AE?QE+-所以二面角A-MN-Q21.(2012浙江,理21)如图,椭圆C:22x a+22y b =1(a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1),不过原点．．．．O 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(1)求椭圆C 的方程;(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程. 解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得c 1,a 2=⎪⎩得c 1,a 2.=⎧⎨=⎩ 所以椭圆方程为2x 4+2y 3=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),线段AB 的中点为M.当直线AB 与x 轴垂直时,直线AB 的方程为x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线AB 的方程为y=kx+m(m ≠0),由22y kx m,3x 4y 12=+⎧⎨+=⎩消去y,整理得 (3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0,① 则Δ=64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m 2-12)>0,12221228km x x ,34k 4m 12x x .34k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以线段AB 的中点M 224km 3m ,34k 34k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 因为M 在直线OP 上,所以23m 34k +=22km 34k -+, 得m=0(舍去)或k=-32.此时方程①为3x 2-3mx+m 2-3=0,则 Δ=3(12-m 2)>0,12212x x m,m 3x x .3+=⎧⎪⎨-=⎪⎩所以|x 1-x 2设点P 到直线AB 距离为d,则设△ABP 的面积为S,则S=12|AB|·其中m ∈∪令u(m)=(12-m 2)(m-4)2,m ∈u'(m)=-4(m-4)(m 2-2m-6)=-4(m-4)·所以当且仅当取到最大值.故当且仅当取到最大值.综上,所求直线l 方程为22.(2012浙江,理22)已知a >0,b ∈R,函数f (x )=4ax 3-2bx -a +b . (1)证明:当0≤x ≤1时, ①函数f(x)的最大值为|2a-b|+a; ②f(x)+|2a-b|+a ≥0;(2)若-1≤f(x)≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a+b 的取值范围. (1)证明:①f'(x)=12ax 2-2b=12a 2b x 6a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当b ≤0时,有f'(x)≥0,此时f(x)在[0,+∞)上单调递增.当b>0时,f'(x)=12a x x ⎛⎝,此时f(x)在⎡⎢⎣上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 所以当0≤x ≤1时,f(x)max =max {f(0),f(1)}=max {-a+b,3a-b}=3a b,b 2a,a b,b 2a-≤⎧⎨-+>⎩=|2a-b|+a. ②由于0≤x ≤1,故 当b ≤2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax 3-2bx+2a ≥4ax 3-4ax+2a=2a(2x 3-2x+1). 当b>2a 时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax 3+2b(1-x)-2a>4ax 3+4a(1-x)-2a=2a(2x 3-2x+1). 设g(x)=2x 3-2x+1,0≤x ≤1,则g'(x)=6x 2-2=6x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭, 于是所以,g(x)min =g ⎝⎭所以,当0≤x ≤1时,2x 3-2x+1>0, 故f(x)+|2a-b|+a ≥2a(2x 3-2x+1)≥0.本资料分享自千人QQ 群323031380 期待你的加入与分享11(2)解:由①知,当0≤x ≤1,f(x)max =|2a -b |+a ,所以|2a-b|+a ≤1.若|2a-b|+a ≤1,则由②知f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1.所以-1≤f(x)≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是|2a b |a 1,a 0,-+≤⎧⎨>⎩即2a b 0,3a b 1,a 0-≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩或2a b 0,b a 1,a 0.-<⎧⎪-≤⎨⎪>⎩在直角坐标系aOb 中,不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段BC.作一组平行直线a +b =t (t ∈R),得-1<a+b ≤3,所以a+b 的取值范围是(-1,3].。
2012年高考理科数学浙江卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页）数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至6页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50分）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 柱体体积公式 ()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()C (1)(0,1,2,,)kkn kn nP k p p k n -=-= 球体的面积公式台体的体积公式24πS R =121()3V h S S =+球的体积公式其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|14}A x x =＜＜，集合2{|230}B x x x =--≤, 则R A B =ð（ ）A. (1,4)B. (3,4)C. (1,3)D. (1,2)(3,4)2. 已知i 是虚数单位，则3i1i+=-（ ）A. 12i -B. 2i -C. 2i +D. 12i +3. 设a ∈R ，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 （ ）A.B.C.D. 5. 设a ，b 是两个非零向量（ ）A. 若+=-|a b ||a ||b |，则⊥a bB. 若⊥a b ，则+=-|a b ||a ||b |C. 若+=-|a b ||a ||b |，则存在实数λ，使得λ=b aD. 若存在实数λ，使得λ=b a ，则+=-|a b ||a ||b |6. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）A. 60种B. 63种C. 65种D. 66种7. 设n S 是公差为0d d ≠（）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 （ ） A. 若0d <，则列数n {}S 有最大项 B. 若数列n {}S 有最大项，则0d <C. 若数列n {}S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有n 0S > D. 若对任意*n ∈N 均有n 0S >，则数列n {}S 是递增数列8. 如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若212||||MF F F =，则C 的离心率是（ ）A.B.C.D. 9. 设0a >，0b >.（ ）A. 若2223a b a b =++，则a b >B. 若2223a b a b =++，则a b <C. 若2223a b a b =--，则a b >D. 若2223a b a b =--，则a b <10. 已知矩形ABCD ，1AB =，BC =。
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绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V S h =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V S h=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kkkn n P k C pp k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式24πS R=()1213V h S S =+球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，34π3V R=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)．【答案】A2．已知i 是虚数单位，则3+i 1i-＝A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 【解析】3+i 1i-＝()()3+i 1+i 2＝2+4i 2＝1＋2i ．【答案】D3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a ，b 是两个非零向量．A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实 数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种； 2个偶数，2个奇数：225460C C =种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种． 【答案】D7．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．【答案】C8．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=(a ，b ＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 A．3B 2C ．D 【解析】如图：|OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c，k MN ＝﹣b c．直线PQ 为：y ＝b c(x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y xc cb y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c cb y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a-+，bc c a+)．∴直线MN 为：y －bc c a+＝﹣b c(x －ac c a-+)，令y ＝0得：x M ＝322cc a-．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝322cc a-，解之得：2232ac ea==，即e2．【答案】B 9．设a ＞0，b ＞0A ．若2223aba b +=+，则a ＞b B ．若2223aba b +=+，则a ＜b C ．若2223ab a b -=-，则a ＞b D ．若2223ab a b-=-，则a ＜b【解析】若2223aba b+=+，必有2222aba b+>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220xf x '=⋅+>恒成立，故有函数()22xf x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的． 【答案】C2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科） 非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm 3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角11312123⨯⨯⨯⨯=．形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________． 【解析】T ，i 关系如下图：【答案】112013．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子．即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)aq a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q o r q ==-(舍去)．【答案】3214．若将函数()5f x x=表示为()()()()250125111fx a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________． 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：5455433155443110a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩．法二：对等式：()()()()2550125111fx x a a x a x a x ==+++++++ 两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．【答案】1015．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝______________．【解析】此题最适合的方法是特例法． 假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图， AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝ cos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC⋅ ＝cos 29AB AC BAC ⋅∠=【答案】2916．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==，故曲线C 2到直线l ：y＝x的距离为d d r d '=-=-=另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a+)，74d a '===⇒=．【答案】7417．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________．【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－， 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－， 无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1；考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011aa a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =，舍去a=a =【答案】a =三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin BC ．(Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。