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上海市2012届高三七校联考数学试题(理科)

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2025届南京协同体七校高三上学期期中联考数学试题

2025届南京协同体七校高三上学期期中联考数学试题

南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试高三数学试题考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1.本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.2.答题务必将自己妵名，准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上，第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小輀，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2log 2,2A x x B x x =<=>∣∣，则A B ∪=（ ）A.()0,2B.()0,∞+C.()2,∞+D.(),2∞−2.若21i z −=，则z =（ ） B.1 C.22D.12 3.已知向量()()()0,4,3,6,1,6a b c ===− ，若c a b λµ=+ ，则λµ+=（ ） A.73 B.53C.13−D.23− 4.已知0,0m n >>，且1m n +=，则14m n +的最小值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.35.已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ）A. B.96π C. D.192π6.已知函数()224,,1,x x a f x x x a+ = +> 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.(]1,3− B.(],3∞− C.[)3,∞+ D.][(),13,∞∞−−∪+7.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A 为“第一次出现偶数点”，事件B 为“两次出现的点数和为9”，则下列结论中正确的是（ ） A.()19P AB =B.()()()P A B P A P B ∪=+C.()13P A B =∣D.A 与B 相互独立8.已知()f x 是定义在R 上的周期函数，周期1T =，且当[)0,1x ∈时()2f x x =，若()g x kx b =+，则下列结论中一定正确的是（ ）A.1k =时，()()f x g x =可以有三个解B.12k =时，()()f x g x =可以有三个解 C.1k =−时，()()f x g x =可以有一个解 D.12k =−时，()()f x g x =可以有四个解 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y kx k =−与抛物线C 交于,P Q 两点，分别过,P Q 两点作抛物线准线的垂线,PM QN ，垂足分别是,M N ，下列说法正确的是（ ）A.直线l 过抛物线C 的焦点B.当1k =时，,P Q 两点横坐标的和为5C.当1k =时，直线l 截抛物线所得的弦长为8D.以MN 为直径的圆与直线l 相切10.已知正方体1111ABCD A B C D −，点P 满足][1,0,1,0,1BP BC BB λµλµ =+∈∈ ，则下列说法正确的是（ ）A.存在唯一一点P ，使得过1,,D B P 的平面与正方体的截面是菱形B.存在唯一一点P ，使得AP ⊥平面11B D CC.存在无穷多个点P ，使得AP ∥平面1A CDD.存在唯一一点P ，使得11D P BC ⊥11.如果X 服从二项分布(),B n p ，当10np >且()110n p −>时，可以近似的认为X 服从正态分布()2,N µσ，据统计高中学生的近视率0.6P =，某校有600名高中学生.设X 为该校高中学生近视人数，且X 服从正态分布()2,N µσ，下列说法正确的是（ ）（参考数据：()0.682,(22)0.9545P X P X µσµσµσµσ−<<+≈−<<+≈）A.变量X 服从正态分布()360,144NB.()3720.159P X ≈C.()(384)348P X P X <=>D.(384)0.9773P X <≈第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列{}n a 中，()*21n a n n =−∈N ，则20S =__________.13.已知函数()π2sin 06yx ωω =−> 在区间π0,2上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围是__________.__________. 14.已知e 为自然对数的底数，若函数ln y x ax =+的最大值与函数e x y x =−的最小值相等，则实数a 的值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知5,3,cos 2c b c b a C ===−. （1）求A ∠；（2）若D 是BC 中点，求AD 的长度.16.（本题满分15分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为51413,35,,,n S S a a a =成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m n <，且1111,,m na a a 成等差数列，求出所有的正整数,m n . 17.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，AB ∥,DC AC BD ⊥，3,24PA AC DC AB ====.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求二面角D PC B −−的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()()211ln ,2f x x a x a x a =−++∈R . （1）若1a =−，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()()1y f x a x =++的最小值为0，求a 的值.19.（本题满分17分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22,,3A B 分别是椭圆C 的上下顶点，过A 作两条互相垂直的直线,AP AQ ，分别交椭圆C 于,P Q 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线PQ 恒过定点；（3）求APQ 面积的最大值.南京市协同体七校2024—2025学年第一学期期中联合考试高三数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.D8.B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD 10.BD 11.ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.400 13.713,33 14.21e − 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）解：（1）方法一： 因为cosC 2c b a =−， 由正弦定理得：1sin sin cos sin 2B A C C =−， 又sin sin cos cos sin B A C A C =+， 所以1cos 2A =−，又因为在ABC 中，所以2π3A =. 方法二：因为cosC ,5,32c b a b c =−==， 由余弦定理得：225935252a a a +−=−×， 解得249a =，所以259491cos 2532A +−==−××， 又因为在ABC 中，所以2π3A =. （2）方法一：在ABC 中，D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+ ，222111111119||9352542442244AD AB AB AC AC =++=×+×××−+×= ，AD = ，即AD. 方法二：由（1）方法二，知7a =，又D 是BC 中点，72BD CD ==， 在ABD 中由余弦定理有：22792cos 722AD ADB AD ∠ +−=×， 在ABD 中由余弦定理有：227252cos 722AD ADC AD ∠ +− =×， 因为πADB ADC ∠∠+=，所以cos cos ADB ADC ∠∠=−， 即22227792522772222AD AD AD AD +−+−=−××， 解得AD =，即AD . 16.（本题满分15分）解：（1）51545352S a d ×=+=，所以127a d +=… 又因为1413,,a a a 成等比数列，所以24113a a a =×，()()221111312,96a d a a d d a d +=×+=又因为0d ≠，所以132d a =所以13,2a d == 所以21na n =+ （2）由题意：1211m na a a =+ 所以21121321m n =+++ 方法一：2242163n m n +=++ 所以63921622n m n n ++==−++， 因为m n <且*,m n ∈N ，所以2,7m n == 方法二：2111213213m n =+>++， 所以，52m <， 又*m ∈N ，所以1m =或2m =，当1m =时，1n =，与m n <矛盾，当2m =时，7n =，符合条件，所以2,7m n == 17.（本题满分15分）（1）证明：因为PA ⊥面,ABCD BD ABCD ⊂，所以PA BD ⊥又因为,,,AC BD PA AC A PA PAC AC PAC ⊥∩=⊂⊂，所以BD PAC ⊥又因为BD PBD ⊂，所以平面PAC ⊥平面PBD（2）法一：作AE DC ⊥交DC 于E ，以点A 为坐标原点AE 为x 轴，AB 为y 轴如图建立 空间直角坐标系，设AC BD M ∩=，因为AB ∥DC ，所以ABM CDM ∽，又2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AM MC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BM DM == 所以ππ,36BAC EAC ∠∠==， 故()3330,0,3,,,022P C，()35,,0,0,2,022D B −.所以()333331,,3,0,4,0,,,02222PC DC BC =−==−设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以1111330240x y z y +−= = ，所以(1n =设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222223302102x y z x y +−=−=， 所以(2n =所以sin θ=法二：设AC BD O ∩=，又因为AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OC 为 y 轴如图建立空间直角坐标系，因为AB ∥DC ，所以ABO CDO ∼ ，又因为2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AO OC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BO DO ==故()()0,1,3,0,2,0P C −，()()3,0,0,3,0,0D B −所以()0,3,3PC =− ，()23,2,0CD =− ，)2,0BC =设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以111133020y z y −= −+= ，所以(1n = 设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222233020y z y −= +=，所以(22,n =所以sin θ=18.（本题满分17分）解：（1）当1a =−时，()()()2111ln ,1,22f x x x f f x x x =−′==−，所以()10f ′=， 所以切线方程为12y = （2）()()()()()()2111,0x a x a x x a a f x x a x x x x−+′+−−=−++==> 若0a ，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增； 若01a <<，则()0,x a ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，(),1x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a =，则()0,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a >，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，()1,x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，(),x a ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增（3）令()()()211ln 2h x f x a x x a x =++=+， ()()2,0,a x a h x x x x x′+=+=> 当0a 时，()0h x ′ ，故无最小值所以0a <，由()0h x ′=得x =所以(x ∈时()()0,h x h x ′<单调递减，)x ∞∈+时()()0,h x h x ′>单调递增单增，所以min 1()02h x h a a ==−+=，所以()ln 1,e a a −==−. 19.（本题满分17分）（1）解：因为22,cb a ==，又222a bc =+解得：3,,a b c === 故椭圆的标准方程为：2219x y += （2）证明：方法一：当PQ x ⊥轴时，,AP AQ 不可能垂直，故可设直线PQ 方程为：y kx n =+ 由2219y kx n x y =+ += ，得()2221918990k x knx n +++−=， 设()()1122,,,P x y Q x y 则：21212221899,1919kn n x x x x k k−−+==++， 所以，()()1122,1,,1PA x y PQ x y =−=− ，又因为PA PB ⊥，所以0PA PQ ⋅=即()()1212110x x y y +−−=即：()()1212110x x kx n kx n ++−+−=， 所以，()()221212121(1)0x x k x x k n x x n ++−++−= 代入可得：222222222222229999818(1)9(1)019191919n n k k n k k n n k n k k k k−−−+−+−+++=++++， 整理：210280n n −−=，所以：1n =（舍）或45n =−， 所以直线PQ 的方程为：45y kx =−，令0x =，得45y =−， 所以直线PQ 过定点40,5 −， 方法二： 显然,AP AQ 均不可能与坐标轴垂直，故可设():10AP y kx k =+≠ 由22119y kx x y =+ += ，得()2219180k x kx ++= 设()()1122,,,P x y Q x y所以：211221819,1919k k x y k k −−==++， 因为,AP AQ 互相垂直，同理得22222189,99k k x y k k−==++ 所以直线PQ 的斜率为：2110PQ k k k−=， 直线PQ 的方程为：222219118191019k k k y x k k k −− −=+ ++， 令0x =得()()222291194195519k k y k k −−=+=−++，即直线PQ 过定点40,5 − . （3）方法一：由（2）知：()227281190525k x kx +−−= ()()1212227281,5192519k x x x x k k +==−++， 所以APQ 面积121925S x x =×− ()()22121228125142519k x x x x k +=+−=+ 1t = ，所以22125t k −=代入可得： 281818127169162489t S t t t===++此时4,3t k ==，所以APQ 面积的最大值是278 方法二：由（2）知()2219180k x kx ++=，所以AP =因为,AP AQ互相垂直，同理得AQ = 所以APQ 面积12S AP AQ ==()242221162116299829982k k k k k k k k + + =++++ 令21116227,162162649644889t k t S k t t t+==×=×=++ ， 此时83t =，解得3k =±或13k =±， 所以APQ 面积的最大值是278.。

2024届广东省东莞市虎门中学等七校高三上学期联考数学试题及答案

2024届广东省东莞市虎门中学等七校高三上学期联考数学试题及答案

东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z2. 在复平面内，复数z 对应点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2 B. 1C. D.123. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x -->B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤ D. ()()0f x f x ⋅->4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）的A. 9B. 8C. 3D.838. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A ()2,0 B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x 568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r 增大10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下..列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．14. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-值为______.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率的是________．16. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC 的面积为ABC 的周长.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.05000100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投.进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2. 在复平面内，复数z 对应的点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2B. 1C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，所以1i z =-.所以()()()()212i i i 1i 1i 1i i 21i 1i 11i z -⨯----+====-+++⨯，所以11iz ==+.故选：B.3. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x --> B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()()()2=0f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，又()0=0f ，∴()20f x -≤⎡⎤⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<【答案】B 【解析】【分析】设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，即可判断大小．【详解】解：设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，则40n a =，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．设投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，则10400A =；101091010105502B ⨯=⨯+⨯=；10100.4(12)409.212C -==-，所以101010B C A >>．故选：B ．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得()y x x t =-的单调性，从而可求得t 的取值范围.【详解】因为函数e x y =在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数()y x x t =-在()2,3上单调递减，则32t≥，解得6t ≥.故选：A6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 是边长为2的等边三角形，且13BD BC = ，可得AD AB BD =+，所以()2222cos120233AD BC AB BD BC AB BC BD BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-.故选：D.7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）A. 9 B. 8C. 3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上投影向量为（ ）A. ()2,0B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-【答案】D 【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】b 在a 上的投影向量为.()··30,3a b a a a a=-=-故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912的y 1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本相关系数r 增大【答案】ABC 【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A ；由样本中心点计算 a验证选项B ；根据残差的定义计算验证选项C ；根据相关系数r 的分析验证选项D ．【详解】56891285x ++++==，1720252835255y ++++==，所以样本中心点为(8,25)，则A 正确；由ˆ2.6y x a=+，得ˆ 2.625 2.68 4.2a y x =-=-⨯=，则B 正确；由B 知，ˆ 2.6 4.2yx =+，当5x =时，ˆ 2.65 4.217.2y =⨯+=，则残差为1717.20.2-=-，则C 正确；由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，相关系数r 的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r 的大小不变，故D 不正确．故选：ABC ．10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B. ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：1πππ24126T T ω⎛⎫=--⇒=⇒= ⎪⎝⎭，又()f x 经过点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈,故π2π,Z 3k k ϕ=+∈，由于ππ,,23ϕϕ<∴=故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π6个单位长度得到，故A 错误，对于B ，()ππππcos 2=sin 2=sin 26623f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确，对于C ， ()2πsin π03f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确，对于D ，令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得ππ,Z 5ππ1212k x k k +≤≤+∈-，故()f x 的其中两个单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19π25π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故D 错误，故选:BC11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO 的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据SO ⊥面ABC ，由cos OCSCO SC<=判断；对于B ，由圆锥SO 的侧面积公式求解判断；对于C ，由π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭求解判断；对于D ，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，易得SDO ∠为二面角S BC O --的平面角求解判断.【详解】对于A ，因为SO ⊥面ABC ，所以SCO ∠是SC 与底面所成角，在Rt SOC △中，圆锥的母线长是，半径2r OC ==，则cos OC SCO SC ∠===，所以SCO ∠=45︒，则A 正确；对于B ，圆锥SO 的侧面积为rl π=，表面积为+4π，则B 错误；对于C ，当点B 与点A 重合时，0ASB ∠=为最小角，当点B 与点C 重合时π2ASB ∠=，达到最大值，又因为B 与A ，C 不重合，则π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又2πSAB ASB ∠+∠=，可得ππ,42SAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则C 正确；对于D ，如图所示，，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，又O 为AC 的中点，则//OD AB ，因为AB BC ⊥，所以BC OD ⊥，又SO ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以BC SO ⊥，又SO OD O = ，BC ⊥面SOD ，故BC SD ⊥，所以SDO ∠为二面角S BC O --的平面角，因为点B 为弧AC的中点，所以AB =，12OD AB ==tan SO SDO OD∠==D 错误.故选：AC.12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔/m第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000~第三级阶梯2001000~若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为1h ，则4011ln ln 10p p h --=，即41110lnp h p =.因为14000h ≥，所以40110ln4000p p ≥，解得010.4ep p ≤A 正确；由0ln ln p p kh -=，得0ekhp p =.当0h >时，0e 1khp p=>，即0p p >，所以03p p >，B 错误；设在第二级阶梯某处的海拔为2h ，在第三级阶梯某处的海拔为3h ，则40224033ln ln 10ln ln 10p p h p p h --⎧-=⎨-=⎩两式相减可得()43232ln 10p h h p -=-.因为[][]231000,2000,200,1000h h ∈∈，所以[]230,1800h h -∈，则4320ln1018000.18p p -≤≤⨯=，即0.18321e p p ≤≤，故0.18232e C,D p p p ≤≤，均正确.故选:ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.【详解】依题意，2235C (1)10a =-=.故答案为：1014. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-的值为______.【答案】43【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】()222222sin π2sin22sin cos 2tan 4tan 2,2cos 1cos sin cos sin 1tan 3αααααααααααα+---=====----.故答案为:43.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．【答案】1537【解析】【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，由题可得()()(),,P A P B P AB ，后由条件概率公式可得答案.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111137343536180P A =⨯+⨯+⨯=， ()1113412P AB =⨯=.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()115123737180P AB P B A P A ===.故答案为：153716. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.【答案】48π【解析】【分析】当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时11sin 60632P OAB R V R R =⨯⨯⨯⨯⨯= －，故R =，则球O 的表面积为24π48πS R ==.故答案为：48π.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）6+的【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ；（2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到 8ab =，即可求出6a b +=，进而求出ABC 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B += ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC 中，0B π<<，∴sin 0B ≠，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即3B π=；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-⋅，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC 的周长为6+.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）1【解析】【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1//BB 1DD 且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .【小问2详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF =，.设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111020x z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则1y =，11z =，可得m =.AF =，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅== .19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．【答案】（1）3nn a = （2）12【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系计算即可；（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求n T ，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当1n =时，1112332S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，11233n n S a --=-，因为233n n S a =-，所以1122233n n n n n S S a a a ---==-，即13n n a a -=，所以()132nn a n a -=≥，所以，{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a =；【小问2详解】由题意知：1213n nb n =+-，所以()211112111331122313nn nn n T n ⎛⎫-⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=-+ ⎪⎝⎭-，易知{}n T 在*n ∈N 上单调递增，而1213121311111441150,16911502323T T ⎛⎫⎛⎫=+-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足150n T <的n 的最大值为12．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.0500.0100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过0.7t亩产量不超过0.7t 合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）0.75（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1求出b 的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：(0.752 1.252 1.75 2.25)0.1=1b ⨯+⨯+++⨯，解得=2b ，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：(0.450.750.55 1.250.65 1.750.75 2.250.8520.95 1.25 1.050.75)0.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.75≈；【小问2详解】()()()()222()400(180607090) 6.154250*********n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，因为6.154 3.841>，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】（1）最大值点023=p （2）小李应选规则一参加比赛．【解析】【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率()f p 的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意得则()()()2446C 1,0,1f p p p p =-∈，则()()()()()24344366C 4121C 146f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，令()0f p '=，得23p =，当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在区间2,13⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以()f p 的最大值点023=p ．【小问2详解】若选规则一，记X 为小李投进的次数，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．的则2~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2643E X =⨯=，记Y 为小李所得鸡蛋的盒数，则2Y X =，()()28E Y E X ==．若选规则二，记Z 为小李投进的次数，则Z 的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k 次投进为事件()1,2,3k A k =，未投进为事件k A ，所以投进0次对应事件为123,,A A A ，其概率为()()1231255033627P Z P A A A ===⨯⨯=；投进1次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2121121217133333333627P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；投进2次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2212111117133333333327P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．投进3次对应事件为123A A A ，其概率()2228333327P Z ==⨯⨯=，所以Z 的分布列为Z 0123P527 727 727 827所以()577850123272727273E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=；记L 为小李所得鸡蛋的盒数，则4L Z =，()203E L =，因为()()E Y E L >，所以小李应选规则一参加比赛．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0m ≤和0m >两种情况，得到函数的单调性；（2）变形为12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，构造函数()e (2)xg x x =-，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到0e m <<，再构造差函数，证明出122x x +<.小问1详解】()f x 的定义域为R ，由题意，得e ()1e exx x m f x m'-=-=，x ∈R ，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0m >，且当(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增．【小问2详解】证明：由()()122f x f x ==，得1x ，2x 是方程2e xmx +=的两个实数根，即12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根．令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-，所以当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1e g x g ==．因为当x →-∞时，()0g x →；当x →+∞时，()g x →-∞，()20g =，所以0e m <<．不妨设12x x <，因为1x ，2x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，则1212x x <<<．要证122x x +<，只需证122x x <-．因为11<x ，221x -<，【所以只需证()()122g x g x <-．因为()()12g x g x =，所以只需证()()222g x g x <-．今()()(2)h x g x g x =--，12x <<，则()22()()(2)e (1)e(1)(1)e e xxx xh x g x g x x x x --'''=+-=-+-=--22e e (1)0ex xx -=-⋅<在()1,2恒成立．所以()h x 在区间(1,2)上单调递减，所以()(1)0h x h <=，即当12x <<时，()(2)g x g x <-．所以()()222g x g x <-，即122x x +<成立．【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.。

考点22 不等关系和基本不等式(教师版) 新课标

考点22 不等关系和基本不等式(教师版) 新课标

2013年新课标数学40个考点总动员 考点22 不等关系和基本不等式（教师版）【高考再现】热点一 不等关系与不等式1.(2012年高考辽宁卷理科12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ） (A)21xe x x ++ (211)124x x <-+(C)21cos 12x x -… (D)21ln(1)8x x x +-…2.(2012年高考全国卷理科9)已知125ln ,log 2,x y z eπ-===，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<3. (2012年高考安徽卷理科15)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>【答案】①②③4.(2012年高考湖北卷文科9)设a,b ,c,∈ R,,则“abc=1”是+a b c ≤++”的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件 【答案】A【解析】若 “abc=1”,+=a b c ++,故是充分条件; 反之,不成立.5.(2012年高考湖南卷文科7)设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c ->-； 其中所有的正确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③6.(2012年高考重庆卷文科7)已知2log 3loga =+2log 9logb =-3log 2c =则a,b,c 的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】B【解析】222213log 3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3c ===， 则a b c =>.7.(2012年高考天津卷文科4)已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a【方法总结】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题. 热点二 基本不等式8.(2012年高考浙江卷文科9)若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.245 B. 285C.5D.69. (2012年高考陕西卷文科10)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）2a b + D.v=2a b+ 【答案】A.22221122,,.2S ab S v S S a b a ba bab a a b v a a v A a b a==<=+++<∴=>=∴<<+ 解析：设从甲地到乙地所走路程为，则=10.(2012年高考福建卷理科5)下列不等式一定成立的是（ ） A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+πC ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+【方法总结】利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解． (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值. 【考点剖析】 一．明确要求1.结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二．命题方向1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用是命题的热点．着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、低档．考查题型多为选择、填空题.2.利用基本不等式求最值是命题热点．客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．各种题型都有，难度中、低档. 三．规律总结 一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． 两条常用性质 (1)倒数性质： ①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞b d；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.(2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m(b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0)． 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 【基础练习】1．(人教A 版教材习题改编)给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．已知a ＞b ，c ＞d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( )． A ．ad ＞bc B ．ac ＞bd C ．a －c ＞b －d D ．a ＋c ＞b ＋d 解析 由不等式性质知：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . 答案 D5.12－1与3＋1的大小关系为________．【名校模拟】 一．基础扎实1.(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)已知点),(n m A 在直线012=-+y x 上，则n m 42+的最小值为 .2.(七校联考 数学试卷文)若实数a b m 、、满足25a b m ==，且212a b+=，则m 的值为 .答案：解析:在25a b m ==取对数得：11log 2,log 5m m a b==，0m >又212a b+=∴log 202m =220m ∴=m ∴=3.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是 .4. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)已知实数1,0,0=>>xy y x ，则))((x xyy y x ++的最小值为____________；5.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ .二．能力拔高6.(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)若x ，y > 0，且12=+y x ，则)41)(1(yy x x ++的最小值是A ．225 B ．425 C ．825 D ．16257.(浙江省2012届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理)设实数x 、y 满足：3501020x y x y x ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则24xyz =+的最小值是 A ．14 B ．12C ．1D ．88.（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试）函数()(a x y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则nm 21+的最小值等于（ A.16B.12C.9D. 89.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)已知11,221x y xx<=+-则函数的最大值为。

2012年理数高考试题答案及解析-上海-(5444)

2012年理数高考试题答案及解析-上海-(5444)

2012上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题1．计算：3-i =1+i（i 为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】3-i (3-i)(1-i)2-4i ===1-2i 1+i(1+i)(1-i)2.【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{x x A ，}2|1||{x x B，则BA.【答案】3,21【解析】根据集合 A 210x ，解得12x，由12,,13x x 得到，所以3,21BA .【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.3．函数1sin cos 2)( x x x f 的值域是.【答案】23,25【解析】根据题目22sin 212cos sin )(x x x x f ，因为12sin 1x ，所以23)(25x f .【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】2arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则2arctan ,2tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于.【答案】160【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C ()160T x x.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则)(lim 21n nV V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21n nV V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7．已知函数||)(a x ex f （a 为常数）.若)(x f 在区间),1[上是增函数，则a 的取值范围是.【答案】1,【解析】根据函数,(),x ax ax ae x af x eexa看出当a x 时函数增函数，而已知函数)(x f 在区间,1上为增函数，所以a 的取值范围为：1,.【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.【答案】33【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l ，根据条件得到2212l ，解得母线长2l ，1,22r l r 所以该圆锥的体积为：331231S 3122h V 圆锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(x x f y是奇函数，且1)1(f ，若2)()(x f x g ，则)1(g .【答案】1【解析】因为函数2)(xx f y为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(g f f g 所以，又1232)1()1(,3)1(f g f .(1)(1).f f 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y为奇函数，所以有)()(x f x f 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6，若将l 的极坐标方程写成)(f 的形式，则)(f .【答案】)6sin(1【解析】根据该直线过点)0,2(M ，可以直接写出代数形式的方程为：)2(21xy，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1)(f .【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，3A，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||CD CN BC BM ，则AN AM 的取值范围是.【答案】5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2AD AB ，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), ,- ,- ,(2,()sin ).22224284423N x xBMCN CNx BMx M x x 则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AMx AN . 所以83235)4821(x x x AN AM 2521x，所以2 5.AM AN 642246105510ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(x f y 的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y （10x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为.【答案】45【解析】根据题意得到，110,02()11010,12x x f x x x从而得到22110,02()11010,12x x yxf x xx x 所以围成的面积为45)1010(10121221dxx xxdxS，所以围成的图形的面积为45.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC ，若c AD 2，且a CDACBD AB 2，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是.【答案】13222cac 【解析】据题a CDACBDAB 2，也就是说，线段CD ACBD AB与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC平面时，此时有最大值，此时最大值为：13222cac .【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分）15．若i 21是关于x 的实系数方程02c bx x的一个复数根，则（）A ．3,2cb B ．3,2c b C ．1,2c bD ．1,2c b【答案】B【解析】根据实系数方程的根的特点12i 也是该方程的另一个根，所以b i i 22121，即2b ，c i i 3)21)(21(，故答案选择 B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在ABC 中，若C BA222sin sin sin ，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A Ra 代入得到222abc ，由余弦定理的推理得222cos 02abcCab，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17．设443211010x x x x ，5510x ，随机变量1取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221x x x x x x x x x x 、、、、的概率也均为2.0，若记21DD 、分别为21、的方差，则（）A ．21D D B ．21D D C ．21DDD ．1D与2D的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关【答案】 A【解析】由随机变量21,的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x ，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x 且随机变量21,的概率都为2.0，所以有1D＞2D.故选择 A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.18．设25sin1n na n，n n a a a S 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P 中，底面ABCD 是矩形，PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB，22AD ，2PA，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形PCD 的面积为3232221................6分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．（6+8=14分）已知函数)1lg()(x x f ．（1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y（]2,1[x）的反函数.【答案及解析】，3132x【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222yx．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122yx相切，求证：OQ OP；（3）设椭圆2C ：1422yx，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点A 与渐近线x y 2平行的直线方程为22,2 1.2y xyx 即1ON ，22OM,则O 到直线MN 的距离为33.设O 到直线MN 的距离为d .【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．（4+6+8=18分）对于数集}1{21n x x x X，，，，，其中n x x x 210，2n ，定义向量集},),,(|{X tX s t s a a Y ，若对任意Y a 1，存在Y a 2，使得021a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{具有性质P ．（1）若2x，且},2,1,1{x 具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X 1，且当1n x 时，11x ；（3）若X 具有性质P ，且11x 、q x 2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，，21的通项公式.【答案及解析】必有形式),1(b 显然有2a 满足021a a【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

上海市宝山区七校2021-2022学年八年级上学期期末联考数学试卷(含答案解析)

上海市宝山区七校2021-2022学年八年级上学期期末联考数学试卷(含答案解析)

上海市宝山区七校2021-2022学年八年级上学期期末联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）AB C D 2．下列各式中，是a +）A ．2a +B ．2a -C ．a +D ．a -3．下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（）A ．21x x -+B ．21x mx -+C ．21x mx --D ．22x xy y -+4．已知函数y =kx 中，y 随x 的增大而减小，那么它和函数ky x=在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．5．下列四个命题中，真命题是（）A ．斜边上的中线相等的两个直角三角形全等；B ．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；C ．面积相等的两个直角三角形全等；D ．周长相等的两个直角三角形全等．6．如图在Rt △ABC =90︒，如果CD 、CM 分别是斜边上的高和中线，AC =2，BC =4，那么下列结论中错误的是（）A ．∠ACD =∠B B ．CMC ．∠B =30︒D ．CD 二、填空题7=_________．8．函数1y x=+的定义域是_______．9．方程2(3)(3)x x x -=-的根为____________．10．如果关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，那么实数m 的取值范围为_______．11．在实数范围内分解因式：221x x --=__________．12．已知1()2f x x=+，那么f ＝_____．13．正比例函数y =的图像经过第_______象限．14．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________．15．在直角坐标系内，已知点(),0A m ，()0,3B -，且5AB =，那么m 的值是_______．16．如图，在ABC ∆中，C 90∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果2CD =，8AB =，那么ABD ∆的面积等于__________．17．如图，在Rt ABC △中，90B = ∠，分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，连接MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连接AE ．如果3AB =，5AC =，那么ABE 的周长为_______．18．已知在ABC ∆中，90BAC ∠= ，点D 在BC 延长线上，且12AD BC =，若50D ∠= ，则B ∠=____________．三、解答题19．计算：21279331-++20．解方程：22740x x --=21．关于x 的一元二次方程224(21)0x kx k ++-=有两个相等的实数根，求k 的值并求出方程的根22．已知：如图，平面内两点A 、B 的坐标分别为()()4,1,1,2--(1)求A 、B 两点之间的距离；(2)画点C ，点C 在线段AB 上，且点C 到AOB ∠两边的距离相等（无需写画法，保留画图痕迹）．23．如图，点(1,3)A --、(,2)B a 在反比例函数的图像上，点B 同时在图中的正比例函数图像上．(1)求这个反比例函数的解析式；(2)求a 的值及这个正比例函数的解析式．24．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米），随时间x （小时）变化的图像（全程）如图所示．(1)甲选手跑到8千米时，用了小时．起跑____小时后，甲乙两人相遇，(2)乙选手在02x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式是；(3)甲选手经过1.5小时后，距离起点的有___________千米．25．如图，在ABC ∆中，45ABC ∠= ，BC 、AC 边上的高AD 、BE 交于点H ，点F 、G 分别是BH 、AC 的中点．(1)求证：BDH ADC ∆∆≌；(2)联结FG ，求证DFG ∆是等腰直角三角形．26．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，点D 是斜边AB 的中点，作DE AB ⊥，交直线AC 于点E .（1）若30A ∠=︒，求线段CE 的长；（2）当点E 在线段AC 上时，设BC x =，CE y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若1CE =，求BC 的长.参考答案：1．C【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可．【详解】A =不是同类二次根式，故A 选项不符合题意；B=，故B 选项不符合题意；C2=C 选项符合题意；D D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．2．D【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可。

湖南省长沙县实验中学2024年高三2月七校联考数学试题

湖南省长沙县实验中学2024年高三2月七校联考数学试题

湖南省长沙县实验中学2024年高三2月七校联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|M x y ==，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2]B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)2．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>3．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ）A ．43πB ．4πC ．323πD．4．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 5．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4 B ．平均数为11，方差为4 C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为86．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-7．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382438．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A．B．C．D．9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A．()B．()C．()D．()10．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．1211．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．7212．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．310二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析

广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析

广东省七校2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．已知函数||()()x x f x x R e=∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(212),e eB ．(20,)2e eC ．(11,1)e+D ．21,12()ee+ 3．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i5．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．34D ．226．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( ) A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 7．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．28．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或99．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)10．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N11．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 12．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

备战中考2012年中考数学新题分类汇编中考真题模拟新题分式与分式方程

备战中考2012年中考数学新题分类汇编中考真题模拟新题分式与分式方程

第7章 分式与分式方程一、选择题1.（2010湖北孝感，6，3分）化简x y x yy x x⎛⎫--÷⎪⎝⎭的结果是（ ） A.1yB. x y y +C. x y y -D. y【答案】B2. （2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1mm m+÷⋅--的结果是（ ） A ．221m m --- B ．221m m -+- C ．221m m --D ．21m -【答案】B3. （2011四川南充市，8，3分） 当8、分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B4. （2011浙江丽水，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ） A. 1+aa －1B. －a a -1C. －1D.1－a【答案】C5. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则ba ab-的值是 A.21 B.－21C.2D.－2 【答案】D6. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( ) A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 【答案】B.7. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A. 336D. 3【答案】A8. （2011山东临沂，5，3分）化简（x －x 1-x 2）÷（1－x 1）的结果是（ ） A ．x1B ．x －1C ．x 1-xD ．1-x x【答案】B9. （2011广东湛江11,3分）化简22a b a b a b---的结果是 A a b + B a b - C 22a b - D 1【答案】A10．（2011浙江金华，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ） A.1+a a －1 B. －aa -1C. －1D.1－a 【答案】C 二、填空题1. （2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x-31有意义． 【答案】3x ≠2. （2011福建福州，14，4分）化简1(1)(1)1m m -++的结果是 【答案】m3. （2011山东泰安，22 ，3分）化简：（2x x+2-x x-2）÷x x 2-4的结果为 。

上海市闵行七校2025届高三下第一次测试数学试题含解析

上海市闵行七校2025届高三下第一次测试数学试题含解析

上海市闵行七校2025届高三下第一次测试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84 4．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③④D ．①②④5．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-，则M N ⋃=（ ）A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1 D ．10–10.17．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.9．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．6 2海里B ．3C ．2海里D ．310．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ）A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π- 12．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ>B ．sin sin αβ<C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市八校联考2012届高三数学理

上海市八校联考2012届高三数学理

上海市华师大一附中等八校2012届高三2月联合调研考试卷数学试卷(理科)(本试卷满分150分,测试时间120分钟)参加学校：华师大一附中、曹杨二中、市西、市三女子、控江、格致、市北、(育才、晋元高中)一、填空题（本大题共56分，每小题4分）1.计算：1i 2i-=+____________ (其中i 为虚数单位).2.已知向量(5,3)a =- ，(2,)b x =，若向量a 、b 互相平行，则x =____________. 3.已知向量a 与b 的夹角为3π,||1a = ,||2b = ,若b a λ- 与a 垂直，则实数λ=_________.4.在二项式8(a x -的展开式中，若含2x 项的系数为70，则实数a =_____________.5.已知θ是第二象限角，若4sin 5θ=，则tan ()24θπ-的值为_______________.6.若21316lo g 1a a M a -+=-,[4,17]a ∈,则M 的取值范围是_________________.7.关于x 的方程组(1)21y q x y q x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩有唯一的一组实数解,则实数q 的值为_____________. 8.把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，若有且只有两位运动员的编号与其所在跑道编号相同，则不同的排法种数共有___________种.9.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：22(1)4x y -+=交于A 、B 两点，C 为圆心，当A C B ∠最小时，直线l 的方程为_________________．10.在平面直角坐标系xO y 中，函数()()1f x k x =-（1k >）的图像与x 轴交于点A ，它的反函数()1y fx -=的图像与y 轴交于点B ，并且这两个函数的图像交于点P ．若四边形O A P B 的面积是3，则k =___________.11.已知Z k ∈,向量(,1)A B k = ,(2,4)A C =,若||10A B ≤,则A B C ∆为直角三角形的概率是_______________.12.已知A B C ∆中,2A C =,1B C =,23A CB π∠=,D 为A B 上的点，若2A D D B =,则C D B ∠=____________(结果用反三角表示).13.设直线:l 220x y ++=关于原点对称的直线为l ',若l '与椭圆2214yx +=的交点为A ,B 两点,点P 是椭圆上的动点,则使P A B ∆的面积为12的点P 的个数为_____________.14.如图所示的程序框图中, ,函数int()x 表示不超过x 的最大整数,则由框图给出的计算结果是____________.二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15.若函数21y a x =⋅,22xy c =⋅,33y b x =⋅,则由表中数据确定()f x 、()g x 、()h x 依次对应 （ ）.(A) 1y 、2y 、3y (B) 2y 、1y 、3y (C ) 3y 、2y 、1y (D) 1y 、3y 、2y16.在证券交易过程中，常用到两种曲线，即时价格曲线()y f x =及平均价格曲线()y g x = (如(2)3f =是指开始买卖后二个小时的即时价格为3元；(2)3g =表示二个小时内的平均价格为3元)，在下图给出的四个图像中实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =其中可能正确的是 （ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）17.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形， 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h = （ ）.1:12:22:2:18.函数()y f x =的定义域为R ，若对于任意的正数a ，函数()()()g x f x a f x =+-都是其定义域上的增函数，则函数()y f x =的图像可能是 ().（A ） (B) (C) (D)三、解答题(本大题满分74分)19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知函数()()22sin co s 2co s 2f x x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小正周期;(2 )当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值,最小值.20．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分．在一个棱长为2+锥，使截掉棱锥后的多面体有六个面为正八边形，八个面为正三角形（如图所示），（1）求异面直线A B 与G H 所成角的大小; （2）求此多面体的体积(结果用最简根式表示).21.（本题满分12分）第1小题满分5分，第2小题满分7分．已知O 为坐标原点，点(2,1),(1,2)A B ，对于k N *∈有向量k O P k O B O A =+ ，（1）试问点k P 是否在同一条直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由;（2）是否在存在k N *∈使k P 在圆22(2)5x y +-=上或其内部,若存在求出k ,若不存在说明理由.22.（本题满分19分）第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．已知函数()y f x =的图像(如图所示)过点(0,2)、(1.5,2)和点(2,0)，且函数图像关于点(2,0)对称;直线1x =和3x =及0y =是它的渐近线.现要求根据给出的函数图像研究函数1()()g x f x =的相关性质与图像,(1)写出函数()y g x =的定义域、值域及单调递增区间; （2）作函数()y g x =的大致图像（要充分反映由图像及条件给出的信息）;（3）试写出()y f x =的一个解析式,并简述选择这个式子的理由(按给出理由的完整性及表达式的合理、简洁程度分层给分).23．（本题满分19分）第1小题满分5分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列” ，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ，1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28 （1） 求使得(3,)36P r >的最小r 的取值； （2） 试推导(,)P n r 关于n 、r 的解析式；( 3) 是否存在这样的“n 边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由.参考答案: 1.13i 55- 2. 65-3. 14. 1±5.136. 3[2log 2,2]--- (或3[log 18,2]--等7.12或1 8.20 9.2430x y -+= (或11()(1)022x y ---=等) 10.3211. 41912. arcco s1413.214.1 15.D 16.C 17.B 18.D19. 解: (1)()sin 2co s 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 4分∴()f x 的最小正周期为π. 6分(2).337,,244444x x πππππ⎡⎤∈∴≤+≤⎢⎥⎣⎦, 8分,1sin 242x π⎛⎫∴-≤+≤⎪⎝⎭ 10分∴()1fx ≤≤. 12分∴当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的最大值为1,最小值.20. 解：(1) 易知//F E A B,//G H E C,所以F E C∠就是异面直线A B与G H所成的余角). 3分经计算得:35arctan1)48 F E Cππ∠=-=(也可以直接用4522.567.5+=做)所以异面直线A B与G H所成的角的大小为3 8π(arctan1),co s2a rc. 6分（2，则由题意得：2x x++=+所以,. 9分设多面体的体积为V,则311(2832V=+-⨯⨯=5613+. 12分21.解:(1)点kP在同一条直线上,直线方程为23y x=-. 2分证明如下:设点(,)k k kP x y,则(,)(1,2)(2,1)k kx y k=+即2,21,kkx ky k=+⎧⎨=+⎩所以23k ky x=-.所以,点kP在直线23y x=-上. 5分（文科）按证明情况酌情给分(2)由圆22(2)5x y+-=的圆心(0,2)到直线23y x=-|23|--=可知直线与圆相切, 所以直线与圆及内部最多只有一个公共点10分而切点的坐标为:(2,1),此时0k=不满足题意,所以不存在k N*∈满足题意. 12分22.解: (1) 定义域为:{|1,2,3,}x x x x x R≠≠≠∈2分值域为: (,0)(0,)-∞⋃+∞3分函数的单调递增区间为: (1,2)和(2,3)5分(2)图像要求能反映出零点((1,0)和(3,0),渐近线2x =,过定点,单调性正确. 5分(3) 结论可能各异如:3(2)()|1||3|x f x x x -=--,2222(3)()22(1)x x x f x x x x -⎧>⎪-⎪=⎨-⎪<⎪-⎩211()2tan ()132233x x f x x x x x π-⎧<⎪-⎪⎪=-<<⎨⎪-⎪>⎪-⎩,等层次一:函数图像能满足题意, 但没有说明理由 4分 层次二: 函数图像能满足题意,能简述理由(渐近线、定点等部分内容) 6分层次三: 函数图像能满足题意,能说明过定点、渐近线、单调性及对称性 9分解: (1)(1)(3,)2r r P r +=, 3分由题意得(1)362r r +>,所以,最小的9r =. 5分 (2)设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ,则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出:后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以12r r a a n +-=-,11a =所以{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列, 所以(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--.(或(2)(1)2n r r r --+等) 13分(3)2(,1)(,)(2)21P n r P n r n r r ++=-++ 16分 显然3n =满足题意, 17分而结论要对于任意的正整数r都成立,则2-++的判别式必须为零,n r r(2)21所以,44(2)0--=,3nn=19分所以,满足题意的数列为“三角形数列”.（文科）（2）为第50项，（3）同理科（2）.。

上海市2012届市重点高三年级第二学期七校联考数学试题理科

上海市2012届市重点高三年级第二学期七校联考数学试题理科

上海市2012届市重点高三年级第二学期七校联考数学试题（理科）满分150分 考试时间120分钟一、填空题（本大题每题4分，满分56分）1. 平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()()1213A B -，，，，则OA AB ⋅=. 2. 复数21ii+-的虚部为 . 3. 函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为 .4. 直线210x y -+=关于直线3x =对称的直线方程为 .5. 定义集合运算：{}*|A B z z xy x A y B ==∈∈，，.设{}{}1236A B ==，，，，则集合*A B 的所有元素之和为 .6. 从集合{}12345，，，，中任取两数，其乘积不小于10的概率为 . 7. 若实数a b m 、、满足25a b m ==，且212a b+=，则m 的值为 .8. 若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为 .9. 设等差数列{}n a 的公差d 为2-，前n 项和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= .10. 函数()213arcsin 452y x x π=-++的值域为 .11. 与直线20x y +-=和圆221212700x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程为 .12. 已知S A B C 、、、是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为 .13. 如果一个正四位数的千位数a 、百位数b 、十位数c 和个位数d 满足关系()()0a b c d --<，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”.那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .（直接用数字作答）14. 某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中1111x y ==，，当2k ≥时，111214441244k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()3.73T =，()0.40T =.按此方案，在第2012棵树的种植点坐标应为 .二、选择题（本大题每题5分，满分20分）15. “||3x >成立”是“()30x x ->成立”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. 已知向量a 、b满足||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b - 等于（ ）A ．3BCD ．517. 函数()1y f x =+为定义在R 上的偶函数，且当1x ≥时，()21x f x =-，则下列写法正确的是（ ）A. 132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B.213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C. 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18. 椭圆22143x y +=上有n 个不同的点12n P P P 、、、()*N n ∈，F 是右焦点，{}n P F 组成公差1100d >的等差数列，则n 的最大值为（ ）A ．99B ．100C ．199D ．200三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）在△ABC 中，2tan 3A =，1tan 5B =.（1）求角C 的大小；（2）如果△ABC，求最小的边长. 20. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分） 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点.（1） 若132C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值；（2） 是否存在这样的点M 使得BM ⊥平面11A B M ？若存在，求出1C M 的长；若不存在，请说明理由.21. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，*124N n n n a S n +=+∈，. （1） 设4n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2） 若对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，求a 的取值范围.22. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 若函数()f x 定义域为R ，满足对任意12,R x x Î，有()()()1212f x x f x f x +?，则称()f x 为“V 形函数”；若函数()g x 定义域为R ，()g x 恒大于0，且对任意12,R x x Î，有()()()1212l g l g l g g x x g x g x +?，则称()g x 为“对数V 形函数”． （1）当()2f x x =时，判断()f x 是否为V 形函数，并说明理由； （2）当()22g x x =+时，证明：()g x 是对数V 形函数；（3）若()f x 是V 形函数，且满足对任意R x Î，有()2f x ³，问()f x 是否为对数V 形函数？证明你的结论．23. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分） 设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是以直线20x -=与20x +=为渐近线，以(0为一个焦点的双曲线．（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，求p 的取值范围，并求FA FB ×的最大值；（3）若FAB D 的面积S 满足23S FA FB =，求p 的值．CBD 1A B 1七校联考数学参考答案（理科）一、填空题（每题4分，共56分）1． 0 2．32 3． π 4．270x y +-= 5． 21 6． 257．8． 8-9． 3- 10． 22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 11． ()()22338x y -+-= 12． 9π13． 3645 14． ()4503，二、选择题（每题5分，共20分）15． A 16． C 17． C 18．D三、解答题（本题共74分）19.（1）由于A B C π++=，故C A B π=--()()tan tan tan tan tan 1tan tan C A B A B A BA Bπ=⎡-+⎤=-+⎣⎦+=-- 2分将21tan tan 35A B ==，代入得，2135tan 121135C +=-=--⨯ 4分 所以，34C π=. 5分（2）显然34C π=为最大角，又tan tan A B >可得，A B >，即角B 为最小角.所以AB 为最大边，AC为最小边，故AB = 7分由1tan 5B =，得sin B = 8分在△ABC 中，由正弦定理sin sin AB ACC B =AC = 11分 解得1AC =，所以最小边长为1. 12分20.（1）由题意，111322C M B C BC ===，，111B C C M ⊥，得152B M =.1111//A B C D ，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为11B A M ∠或其补角. 2分长方体1111ABCD A B C D -中，1111111A B B C A B B B ⊥⊥ ，，11A B ∴⊥面11B BCC ，111A B B M ∴⊥，故可得11B A M ∠为锐角且111115tan 2B M B A M B A ∠== 5分 （2）长方体1111ABCD A B C D -，11A B ⊥面11B BCC ，11A B BM ∴⊥，又1111A B B M B = ，于是问题转化为是否存在这样的点M 使得1BM B M ⊥. 7分 设1C M x =，则5MC x =-，当1BM B M ⊥时，1190B MC MBC BMC ∠=∠=︒-∠11B MC ∴∆∽MBC ∆于是111B C MC C M CB =，即252xx -=， 10分 解得，1x =或4. 所以，当11C M =或4的时候，BM ⊥平面11A B M . 12分 （另解）长方体1111ABCD A B C D -，11A B ⊥面11B BCC ，11A B BM ∴⊥，又1111AB BM B = ，于是问题转化为是否存在这样的点M 使得1BM B M ⊥. 7分 设1C M x =，则5MC x =-，当1BM B M ⊥时，在1BB M ∆中，22211BM B M BB +=即 ()222222255x x +++-= 10分 解得， 1x =或4.所以，当11C M =或4的时候，BM ⊥平面11A B M . 12分21.（1）依题意，1124n n n n n S S a S ++-==+，即134n n n S S +=+ 2分 由此得 ()11434n n n n S S ++-=-，即13n n b b += 4分 所以{}n b 是首项为1114b S =-=4a -，公比为3的等比数列，故()143n n b a -=-⋅ 6分 （2）由（1）知()1434n n n S a -=-⋅+, 当2n ≥时，()211434n n n S a ---=-⋅+, 所以()()()1211214334424334n n nn n n n n n a S S a a ------=-=--+-=-⋅+⋅ 8分于是()()()()1211212433344443940n n nn n n n n a a a a ---+---=--+-=-⋅+⋅≥ 10分整理得，24493n a -⎛⎫≥-⋅ ⎪⎝⎭上式在2n ≥时恒成立，故只需222max 444949533n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥-⋅=-⋅=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12分特别的，当1n =时，()2124120a a a a -=-+-≥， 得 4a ≥- 13分 综上所述，当4a ≥-时，对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立. 14分 22.（1）()2f x x =不是V 形函数． 1分事实上，令121,2x x ==，则()21239f x x +==，()()22121259f x f x +=+=<，即()2f x x =不满足V 形函数的定义． 4分 （2）当()22g x x =+时，显然()g x 恒大于0． 5分对任意12,R x x Î，有()()()()()1212lg lg lg g x g x g x g x +=()()()2212lg 22x x =++ ()22221212lg 224x x x x =+++， 7分而结合基本不等式2212122x x x x + 可知：()()()222212112212lg lg 22lg 222g x x x x x x x x +=+++?+()()()2222121212lg 224lg lg x x x x g x g x <+++=+．从而()22g x x =+是V 形函数． 10分 （3）对任意R x Î，有()20f x ?．对任意12,R x x Î，有()()122,2f x f x 吵，所以()()()()12111f x f x -- ，即()()()()1212f x f x f x f x ?， 13分 又因为()f x 是V 形函数，有()()()1212f x x f x f x +?， 15分从而有 ()()()1212f x x f x f x + ， 16分 其中()()()1212,,0f x x f x f x +>．上式两边取对数得()()()()()()121212lg lg lg lg f x x f x f x f x f x +?+，可见()f x 是对数V 形函数． 18分 注：本题（2）、（3）问亦可通过分析法证明．23.（1）由于双曲线2C的焦点(0,在y 轴上，设2C 的标准方程为22221(,0)y x a b a b -=>．一方面，显然有227a b +=； 2分另一方面，2C 的渐近线方程为ay x b =，与已知条件相比较得a b =解得224,3a b ==．故2C 的标准方程为22143y x -=． 4分（2）设()()1122,,,A x y B x y ，其中112212,,,0,x y x y x x > ．将22y px =代入22143y x -=，并化简得：22360x px -+=． 5分由已知得，该方程有两个不相等的正根12,x x ，故29480p D =->且30p >，解得p 的取值范围是p >． 6分 在上述条件下，有12123,32px x x x +==． 7分又注意到,02p F 骣÷ç÷ç÷ç桫，故 121222p p FA FBx x y y 骣骣鼢珑?--+鼢珑鼢珑桫桫()2121224p p x x x x =-+++233224p p p =-?+(21992p =--+ ， 9分当p =时，上述等号取到． 10分故FA FB ×的最大值为9． 11分（3）设向量,FA FB的夹角为q ．在23S FA FB =的条件下，利用三角形面积公式及数量积定义可得：12sin cos 23FA FB FA FB q q ? ， 即4tan 3q =．从而3cos 5FA FB FA FBq ×==×． 13分一方面，由抛物线的定义可知1222p p FA FBx x 骣骣鼢珑?++鼢珑鼢珑桫桫()2121224p p x x x x =+++ 233224p p p =+?23p =+． 15分 另一方面，由（2）的计算可得232p FA FB ?-++ ，所以2233235p p -++=+，化简得211120p --=，即(110p p +-=． 17分注意到3p >，故p = 18分。

2012上海高考数学试题(理科)答案与解析

2012上海高考数学试题(理科)答案与解析

2012上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题1．计算：（为虚数单位）.【答案】【解析】.【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合，，则.【答案】【解析】根据集合A ，解得，由，所以.【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.3．函数的值域是.【答案】【解析】根据题目，因为，所以.【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5．在的二项展开式中，常数项等于.【答案】【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则.【答案】【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此，.【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7．已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是.【答案】【解析】根据函数看出当时函数增函数，而已知函数在区间上为增函数，所以的取值范围为： .【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.【答案】【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据条件得到，解得母线长，所以该圆锥的体积为：.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知是奇函数，且，若，则. 【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以.【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数为奇函数，所以有这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则.【答案】【解析】根据该直线过点，可以直接写出代数形式的方程为：，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得.【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是. 【答案】【解析】以向量所在直线为轴，以向量所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以设根据题意，有.所以，所以【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为.【答案】【解析】根据题意得到，从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14．如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是.【答案】【解析】据题，也就是说，线段的长度是定值，因为棱与棱互相垂直，当时，此时有最大值，此时最大值为：.【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分）15．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．【答案】 B【解析】根据实系数方程的根的特点也是该方程的另一个根，所以，即，，故答案选择B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得代入得到，由余弦定理的推理得，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17．设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（）A．B．C．D．与的大小关系与的取值有关【答案】A【解析】由随机变量的取值情况，它们的平均数分别为：，且随机变量的概率都为，所以有＞. 故选择A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.18．设，，在中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小.【答案及解析】所以三角形PCD的面积为................6分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．（6+8=14分）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数.【答案及解析】，【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：．（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.【答案及解析】过点A与渐近线平行的直线方程为，,则到直线的距离为.设到直线的距离为.【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．（4+6+8=18分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.【答案及解析】必有形式显然有满足【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“具有性质”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视。

天津市七校联考2022-2023学年高三下学期总复习质量调查(一)数学试题(解析版)

天津市七校联考2022-2023学年高三下学期总复习质量调查(一)数学试题(解析版)

七校联考2022-2023学年度高三年级总复习质量调查（一）数学（一）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（本卷共9题，共45分）参考公式：球的表面积、体积公式：24S R π=，34π3V R =，R 为球的半径.一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}|13A x x =-<<，{}2,1,0,2,4B =--，则()RA B ⋂=ð（）．A.{}2,1,4-- B.{}1,2-C.{}2,4- D.∅【答案】A 【解析】【分析】根据补集定义求出R A ð，再根据交集定义即可求出()A B R ð．【详解】因为{}|13A x x =-<<，所以R {|1A x x =≤-ð或3}x ≥，所以()R {2,1,4}A B =-- ð，故选：A ．2.若,R x y ∈，则“22x y >”是“x y >”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】举出反例，证明出充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设1,0x y =-=，满足22x y >，但不满足x y >，充分性不成立，若0,1x y ==-，满足x y >，但不满足22x y >，故必要性不成立，所以22x y >是x y >的既不充分也不必要条件.故选：D3.设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数()f x 的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】依据函数的奇偶性和函数值特征进行鉴别即可解决.【详解】函数1()ln1xf x x x+=-的定义域为()1,1-1111()ln ln ln ()111x x x f x x x x f x x x x --++⎛⎫-=-=-== ⎪+--⎝则()f x 为偶函数，图像关于y 轴轴对称，排除选项AC ；又111112(ln =ln 30122212f +=>-，则排除选项D.故选：B4.某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（）A.该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间(]25,30内的最少B.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465C.估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16D.估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15【答案】B 【解析】【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的求法判断正误．【详解】由图知：[0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20)、[20,25)、[25,30)的频率分别为0.1、0.2、0.235、0.3、0.065、0.1，对于A ：[)20,25内的天数最少，故A 错误；对于B ：估计锻炼天数超过15天的概率为0.30.0650.10.465++=，故B 正确；对于C ：由[0,5)、[5,10)、[10,15)频率和为0.1+0.2+0.235=0.535>0.5，设中位数为x ，则0.3+0.047(10)0.5x ⨯-=，可得200101647x =+≠，故C 错误；对于D ：平均天数为0.1 2.5+0.27.5+0.23512.5+0.317.5+0.06522.5+0.127.5⨯⨯⨯⨯⨯⨯=14.15天，故D 错误；故选：B ．5.已知3log 2a =，0.036b =，124c -=，则,,a b c 的大小关系是（）A.c b a <<B.b<c<a C .a c b<< D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】根据函数单调性及中间值比较大小【详解】因为3log y x =在()0,∞+上单调递增，故()3331log 2log 3,12a ⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，而6x y =单调递增，故300.0616b >==，()112221422c --===，所以c a b <<.故选：D6.已知43x y m ==，且122x y+=，则m =（）.A.3 B.6C.12D.18【答案】B 【解析】【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到414log 432m x y+=⨯=，从而得到2443324m =⨯=，计算出m .【详解】由430x y m ==>得：43log ,log x m y m ==，由换底公式可得：11log 4,log 3m m x y==，则212log 42log 3log 432m m m x y+=+=⨯=，所以224336m =⨯=，因为0m >，所以6m =故选：B7.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）A.233B. C.423D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得AO 、PO 的长，根据椎体体积公式，即可得答案.【详解】如图所示，正四棱锥P ABCD -棱长均为2，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 根据正四棱锥的性质，可得PO ⊥平面ABCD .所以AO ==，PO ==所以正四棱锥P ABCD -的体积1422233V =⨯⨯=.故选：C8.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()1,0F c -，2(,0)F c ，抛物线22:4C y cx =的准线与1C 交于M ，N 两点，且2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为（）A.B.2C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】求出抛物线准线方程，进而得到22b MN a=，由等边三角形得到边长之间的比例220e --=，求出离心率.【详解】22:4C y cx =的准线方程为x c =-，经过点()1,0F c -，22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，令x c =-得22221c y a b-=，解得2b y a =±，故22b MN a=，因为2MNF为正三角形，所以12F F =，即2222b c a=，联立222b c a =-2220ac --=，方程两边同时除以2a220e -=，解得e =33-（舍去），故双曲线1C故选：A9.若函数()π()sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(π,2π)内没有最值，有下面四个说法：（）①函数()f x 的最小正周期可能为3π②ω的取值范围是10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦；③当ω取最大值时，π2x =是函数()f x 的一条对称轴；④当ω取最大值，()π,0-是函数()f x 的一个对称中心．以上四个说法中，正确的个数是（）A.lB.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知可得ω的取值范围，然后根据ω的范围逐一分析即可得解．【详解】由()π,2πx ∈得ππππ,2π666x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π,2π内没有最值，所以2πT ≥，所以01ω<≤，所以ππ7π,π666ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以ππππ,166206ππ2π62ωωω⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⇒<≤⎨⎪+≤⎪⎩或ππ7ππ,1262633π3π2π62ωωω⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒≤≤⎨⎪+≤⎪⎩，所以1233ω≤≤或106ω<≤，所以②错误；当23ω=时，2π()sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2π2π3π23T ω===，故①正确；所以π2πππ()sin sin 123262f ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，可知π2x =是函数()f x 的一条对称轴，故③正确；又因为2ππ(π)sin πsin()1362f ⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪⎝⎭，故④错误，所以正确的是①③，故答案为：B ．第Ⅱ卷（本卷共11题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10.若复数z 满足()12i i 3z ++=（i 是虚数单位），则z =________.【答案】【解析】【分析】化简得到17i55z =-，利用复数模长公式求出答案.【详解】()()()()223i 12i 3i 36i i+2i 17i 17i 12i 12i 12i 14i 555z ------=====-++--，故z ==11.已知62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是160-，则=a __________．【答案】2【解析】【分析】先由通项化简整理第k +1项，令x 的指数等于3可得k ，然后可解.【详解】62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()62123166C ()C --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭kk k k k kk a T x a x x ，令1233k -=，得3k =，所以3333346()C 20=-=-T a x a x ，所以320160a -=-，解得2a =．故答案为：212.已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________．【答案】【解析】【分析】将圆2C 的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m ，接着计算2C 到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.【详解】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m2=+，解得16m =所以2:C ()()22439x y -++=2C到直线的距离为==d ，设圆2C 的半径为R则直线:0l x y +=被圆2C所截的弦长为==故答案为：13.为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则()E X =________.【答案】①.119②.1.5##32【解析】【分析】令事件A =“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件B =“抽取的3人中全是男志愿者”，由条件概率公式得出第一空，由X 的可能取值以及对应概率得出期望.【详解】设事件A =“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件B =“抽取的3人中全是男志愿者”3336333366C C C 191(),()C 2C 200P A P AB -====，则()1201()()201919P AB P B A P A ==⨯=∣，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是119.X 可取0,1,2,3，6233333361C C C 19(0),(1)C 20C 20P X P X ======2333333661C C C 91(2),(3)C 20C 20P X P X ======，则0119293130() 1.52020E X ⨯+⨯+⨯+⨯===故答案为：119；1.514.在△ABC 中，3AB AC ==，4AD BD = ，2CE DA = ，8AE CD ⋅=-，则cos BAC ∠=___________，若动点F 在线段AC 上，则DF EF ⋅的最小值为___________.【答案】①.12##0.5②.6-【解析】【分析】第一空：用,AC AD 分别表示出,AE CD，再由数量积的定义及运算律即可求出cos BAC ∠；第二空：设(01)AF AC λλ=≤≤ ，用,AC AD 分别表示出,DE EF，由数量积的定义及运算律表示出DF EF ⋅，结合二次函数求出最小值.【详解】第一空：4AD AB BD BD =+= ，则3AB BD =，则4=AD ，又1122AE AC CE AC DA AC AD =+=+=- ，CD CA AD AC AD =+=-+，故()22131222A A E CD AC AD C AD AC AC AD AD⎛⎫⋅== ⎪--+⎝-⋅-⎭+ 3934cos 882BAC =-+⨯⨯⨯∠-=-，解得1cos 2BAC ∠=；第二空：设(01)AF AC λλ=≤≤ ，DF DA AF AD AC λ=+=-+，()112EF EC CF AD AC λ=+=+- ，则()()()22111111222DF EF AD AC AD AC AD AD AC ACλλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-++-=-+-⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22128619*********λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当23λ=时，DF EF ⋅ 取得最小值6-.故答案为：12；6-.15.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()()5πsin 0142()1114xx x f x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]2()()0(,)f x af x b a b R -+=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．【答案】995(1,)(,)442⋃【解析】【分析】根据函数的奇偶性作出函数()f x 的图像，利用换元法判断函数()t f x =的根的个数，利用数形结合即可得出结论．【详解】关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤-+=⎣⎦(,R)a b ∈有且仅有6个不同的实数根，设()t f x =，则当0t <，方程()t f x =有0个根，当0=t ，方程()t f x =有1个根，当01t <≤或54t =，方程()t f x =有2个根，当514t <<，方程()t f x =有4个根，当54t >，方程()t f x =有0个根；则20t at b -+=必有两个根1t 、2t ，有两种情况符合题意：①154t =，且2t ∈51,4⎛⎫⎪⎝⎭，此时12a t t =+，则95(,42a ∈；②(]10,1t ∈，251,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时129(1,)4a t t =+∈，综上可得a 的范围是995(1,(,)442⋃，故答案为：995(1,(,)442⋃．【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c （a c >），已知()cos 3cos b C a c B =-，ABC S b ==△（1）求cos B ；（2）求a ，c 的值；（3）求()sin B C -的值.【答案】（1）13（2）6,2a c ==（3）79【解析】【分析】（1）由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出cos B ；（2）由三角形面积公式得出12ac =，再由余弦定理得出8a c +=，进而得出a ，c 的值；（3）计算cos ,sin C C ，再由差角公式求解即可.【小问1详解】cos (3)cos b C a c B =- ，sin cos (3sin sin )cos B C A C B ∴=-，3sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A∴=+=+=又sin 0A ≠，1cos 3B ∴=.【小问2详解】122cos ,sin 33B B == ，又ABCS b ==△1sin 2ac B ∴=123ac ∴⨯=，12ac ∴=①2222212cos ()22()323b ac ac B a c ac ac a c =+-=+--⨯=+- 22()32a c ∴=+-，即2()64,8a c a c +=+=②又a c >，∴由①②可得6,2a c ==，【小问3详解】(3)122cos cos33a c C B B b -====，1sin 3C ∴=，2222117sin()sin cos cos sin 33339B C B C B C ∴-=-=⨯-⨯=.17.如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，2CD DA AF FE ====，4AB =．（1）求证：//DF 平面BCE ；（2）求平面ABF 与平面BFC 的夹角的余弦值；（3）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）55（3）证明见解析【解析】【分析】（1）证明//DF CE ．然后证明//DF 平面BCE ．（2）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥，建立空间直角坐标系A xyz -．求出平面BCF 的法向量，平面ABF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．（3）求出平面ACE 的法向量通过0m n ⋅≠，说明平面ACE 与平面BCF 不可能垂直．【小问1详解】∵//CD EF ，且CD EF =，∴四边形CDFE 为平行四边形，∴//DF CE ．∵DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，∴//DF 平面BCE ．【小问2详解】在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，又Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥，∴Az ⊥平面ABCD ，∴AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -：由题意得，()()()((0,0,0,0,4,0,2,2,0,,A B C E F ∴()(2,2,0,0,BC BF =-=-设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z =，则22030n BC x y n BF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1y =，则1x =，z =，∴n =．平面ABF 的一个法向量为()1,0,0v =，则cos ,||||5n v n v n v ⋅==⋅．∴平面ABF 与平面BFC 的夹角的余弦值55．【小问3详解】线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下：设平面ACE 的法向量为111(,,)m x y z =，则111122030m AC x y m AE y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令11y =，则11x =-，1z =∴(1,1,m =-．∵()(111130m n ⋅=-⨯+⨯+=-≠，∴平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ．18.已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，且满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求()211nkk k k a b =-∑；（3）令()()*2211(N )11n n n n n n n a b c n a b a b ++++=∈++，记数列{}n C 的前n 项和为n S ，求证：对任意的*N n ∈，都有413n S <<.【答案】（1）21n a n =-，2nn b =（2）()211221493181nkn k k k a b n +=-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果；（2）()211nkk k k a b =-∑可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解；（3）数列{}n C 的前n 项和n S 可利用裂项相消，然后用放缩可证.【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b ()1q q ≠，则()11n a n d =+-，11n n b b q -=.由题意知，()()()22324231245b b b a a a a a a ==+=++，所以()()()223227d d d +=++，解之得2d =，0d =，当0d =时，1n a =，则1222b a a ==+，3232b a a =+=，即321b q b ==与1q ≠矛盾，故舍去；当2d =时，21n a n =-，则1224b a a ==+，3238b a a =+=，所以322b q b ==,212bb q==，满足题意；所以21n a n =-，2nn b =.【小问2详解】设()()()2112233442211nkn k k n n k T a b a b a b a b a a b b ===-++-++⋅+-⋅⋅∑，()()1122334422n n n T a b a b a b a b a b =-++-++⋅⋅⋅+，设()()2212221211412432242nn n n n n n n t a b a b n n n ---⎛⎫=-=---=+ ⎪⎝⎭，则2125914424222n n n T t t t n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭，23159144424222n n T n +⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭，两式相减得()2311310242424242nn n T n +⎛⎫=--⨯-⨯-⋅⋅⋅--⨯++⎪⎝⎭，所以122149318n n T n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即()211221493181nkn k k k a b n +=-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑.【小问3详解】证明：()()()()()()()()()1122211411212121212212121212311n n n n n n n n n n n n a b c a b a b n n n n n +++++++⎛⎫===- ⎪ ⎪++-+++-++++⎝⎭，()()11431313412112121121111n n n S n n +⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪-+++⎝⎭，()143211112n n S n +⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭，因为*n ∈N ，易知n S 随着n 的增大而增大，所以140139n S S ≥=>，43n S <，所以413n S <<.【点睛】方法点睛：求数列前n 项和常见的方法：公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：()111n n 1n n 1=-++；()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；()()111!!1!n n n n =-++；22-=.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

上海市2012届高三下学期七校联考(数学文)全解析

上海市2012届高三下学期七校联考(数学文)全解析

七校联考 数学试卷（文科）满分150分 考试时间120分钟一、填空题（本大题每题4分，满分56分）1. 平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()()1213A B -，，，，则OA OB ⋅= . 2. 答案：0 解析：OA =（1,2），AB =（-2,2）0OA AB ∴⋅= 3. 复数21ii+-的虚部为 . 答案：32解析：21i i +-+1313=1222i i i i i +==+-（2）（1+） ∴复数21ii +-的虚部为324. 函数2sin 2y x x =-的最小正周期为 答案：π解析：2sin 2y x x =-=-2sin 2-3x π（）T π∴=5. 直线210x y -+=关于y 轴对称的直线方程为 . 答案：270x y +-=解析:设M （x,y ）为所求直线上的任意一点，则其对称点为（6-x,y ） 从而有：6210x y --+=所以直线210x y -+=关于直线3x =对称的直线方程为：270x y +-=6. 定义集合运算：{}*|A B z z xy x A y B ==∈∈，，.设{}{}1246A B ==，，，，则集合*A B 的所有元素之和为 . 答案：21解析:由题得： *A B ={3,6,12}，故集合*A B 的所有元素之和为217. 从集合{}12345，，，，中任取两数，其乘积大于10的概率为 . 答案：25解析:P=5121422105C ++==8. 若实数a b m 、、满足25a b m ==，且212a b+=，则m 的值为 .答案：解析:在25a b m ==取对数得：11log 2,log 5m m a b==，0m > 又212a b+= ∴log 202m =220m ∴=m ∴=9. 若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为 . 答案：-32解析:由 ()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++结合二项式定理比较系数知：344334401,0120a C a C a C =+⨯=332a ∴=-10. 设等差数列{}n a 的公差d 为2-，前n 项和为n S ，则22limn n na n S →∞-= . 答案： -3解析: 22lim nn na n S →∞-=212212112(1)[]1[2(1)]lim lim 3(1)(1)1n n a n a n n n n a n a n n→∞→∞------==-+-++-+11. 函数()21arcsin 12y x =+的值域为 . 答案：{}2π解析:()21112x +≥且()21112x +≤()211=12x ∴+ ()21arcsin122y x π∴=+= ∴函数()21arcsin 12y x =+的值域为{}2π12.与直线20x y +-=和圆221212700x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程为 . 答案：22(3)(3=8x y -+-） 解析:如图所示：易得：所求的圆的方程为22(3)(3x y -+-）12. 已知S A B C 、、、是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为 .答案： 3π解析:由题知:,,SAC SAB SBC ∆∆∆均为直角三角形,O SC 是的中点，从而10=2OB OA SC S OC ====所以球O 的表面积为3π13. 如果一个正四位数的千位数a 、百位数b 、十位数c 和个位数d 满足关系()()0a b c d --<，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”.那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .（直接用数字作答） 答案：3645解析: 构成“彩虹四位数”可以分为两类：一类是a b >且c<d ，此时共可得到4545⨯个“彩虹四位数”；一类是a b <且c>d ，此时共可得到3645⨯个“彩虹四位数”（首位不能为0） 据加法原理得：正四位数中“彩虹四位数”的个数为364514. 某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中1111x y ==，，当2k ≥时，111214441244k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()3.73T =，()0.40T =.按此方案，在第2012棵树的种植点坐标应为 .答案： 4,2514（）解析:由题知：21101444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=32211444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=43321444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=ACS1121444k k k k x x T T -⎡⎤--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=将上式叠加得：110444k k x x T T ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=k-1 1244k k k x k T -⎛⎫∴≥=-⎪⎝⎭当时， 20122012k x ∴==当时， 4 同理可得：201220122514k ∴==当时，y ，∴第2012棵树的种植点坐标应为：4,2514（）注:（1）此题还可以用列举法写出一些项，观察归纳得出周期，利用周期性求解 （2）利用5的剩余类，分类获解二、选择题（本大题每题5分，满分20分）15. “||3x >成立”是“()30x x ->成立”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件 答案： A解析: ||3x >33x x ⇔><-或，而()3030x x x x ->⇔><或 故“||3x >成立”是“()30x x ->成立”的充分非必要条件，所以选A16. 已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b -等于（ ）A ．3B C ． 5答案：C解析: 222|2|(2)421a b a b a a b b -=-=-+=，故选C17. 函数()1y f x =+为定义在R 上的偶函数，且当1x ≥时，()21f x x =-，则下列写法正确的是（ ）A. 132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B.213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C. 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： C解析:(1)f x +函数y=为偶函数()1y f x x ∴==关于对称 ()y f x ∴=函数的图像如图所示：结合图像易知：2311()3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，即231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选C18. 椭圆22143x y +=上有n 个不同的点12n P P P 、、、()*N n ∈，F 是右焦点，{}n P F 组成公差大于1100d >的等差数列，则n 的最大值为（ ）A ．99B ．100C ．199D ．200答案：D 解析:1||||,(21n P F PF d n n -=≥-），因为1100d >，所以1||||1,(21100n P F PF n n ->≥-），进而有：1100(||||)1,(2n n P F P F n <-+≥），若使n 的值最大，只需1100(||||)1,(2n P F PF n -+≥）最大，即使1||||n P F PF -最大，而1max (||||)312n P F PF -=-=，201n ∴<，∴n 的最大值为200，故选D 三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分） 在△ABC 中，2tan 3A =，1tan 5B =. （1）求角C 的大小；（2）如果△ABC，求最小的边长.解：（1）21tan tan 35tan tan()1211tan tan 135A BC A B A B ++=-+=-=-=---⨯又0C π<<34C π∴=(2)由已知和（1）知：c b =为最小边长1tan 5B =∴sin B =sin 1sin c Bb C∴== ∴最小的边长为120. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点.（1） 若132C M =，求异面直线1A M 和11CD 所成角的正切值；（2） 若11C M =，试证明：BM ⊥平面11A B M解：（1）过点M 做11MN C D 交1DD 于N,并连接1A N ,则1A MN ∠是异面直线1A M 和11C D 所成角由题可得：在1Rt A MN ∆中，1AB =,152A N ==115tan 2A N A MN MN ∴∠== ∴当132C M =时，异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值为52（2）由11C M =则4CM =在Rt BCM ∆中，22220BM BC CM =+=CBD 1A B 1在11Rt B C M ∆中, 22211115B M B C C M =+=2221125BM B M BB ∴+==1BM B M ∴⊥又11A B BM ⊥∴BM ⊥平面11A B M21. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，*124N n n n a S n +=+∈，. （1） 设4n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2） 若对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，求a 的取值范围.解:(1) *124n n n a S n +=+∈N ，n+1n 24n n S S S ∴-=+ 11n+1n 4344n n n S S ++∴-=+-()1n+1n 434n n S S +∴-=-又1a a =144S a ∴-=-当4a =时，0n b =当4a ≠时，数列{}n b 为以4a -为首项，以3为公比的等比数列，所以数列{}n b 的通项公式为：1(4)3n n b a -=-综上可知：数列{}n b 的通项公式为：10,(4)(4)3,(4)n n a b a a -=⎧=⎨-≠⎩（2）由（1）知：当4a =时，0n b =，即有：n 4nS =14,(1)34,(2)n n n a n -=⎧∴=⎨≥⎩此时，对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，所以4a =符合题意当4a ≠时，1(4)3n n b a -=-，于是有：1n (4)34n nS a -=-+21,(1)2(4)334n n n a n a a --=⎧∴=⎨-+≥⎩，(n 2）若使对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，即使02(4)334a a -+≥且21322(4)3342(4)334(3n n n n a a n -----+≥-+≥）而2132342(4)3342(4)334(39()4(33n n n n n a a n a n ------+≥-+≥⇔≥-+≥））45a a ∴≥-≥-且综上可知：a 的取值范围为:[4,+)-∞22. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）若函数()f x 定义域为R ，满足对任意12,R x x Î，有()()()1212f x x f x f x +?，则称()f x 为“V 形函数”．（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否为V 形函数，并说明理由； （2）当()()2lg 2f x x =+时，证明：()f x 是V 形函数；（3）当()()lg 2x f x a =+时，若()f x 为V 形函数，求实数a 的取值范围． 解：（1）121212()[()()]2f x x f x f x x x +-+=∴不满足对任意12,R x x Î，有()()()1212f x x f x f x +?∴当()2f x x =时，()f x 不是“ V 形函数”(2) ()22g x x =+的定义域为R ,且()22g x x =+>0212[()2]x x ++-2212+2+2x x （）（）=22212121---10x x x x --<（） 22212121212lg[()[lg ()lg ()]lg[()2]lg[+2+2g x x g x g x x x x x ∴+-+=++-（）（）]0< ∴对任意12,R x x Î，有()()()1212lg lg lg g x x g x g x +? ∴()g x 是对数V 形函数（3）()f x V 是形函数2,0x R x a ∴∀∈+>0a ∴≥又对任意12,R x x Î，有()()()1212f x x f x f x +?1212lg(2)lg(2)lg(2)x x x x a a a +∴+≤+++，即1212lg(2)lg[(2)(2)]x x x x a a a +∴+≤++ 12122(2)(2)x x x x a a a +∴+≤++12122x x a ∴≤++ 121(22)x x a ∴≥-+又12220xx +>1a ∴≥综上：实数a 的取值范围[1,)+∞23. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分） 设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C是以直线20x -=与20x +=为渐近线，以(0,为一个焦点的双曲线．（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，求p的取值范围，并求FA FB ×的最大值；（3）是否存在正数p ，使得此时FAB D 的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上？如果存在，求出p 的值；如果不存在，说明理由．解：（1）设双曲线2C 的标准方程为：22221y x a b -=则据题得：a bc ⎧=⎪⎨⎪=⎩又222a b c +=2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴双曲线2C 的标准方程为：22143y x -= （2）将22(0)y px p =>代入到22143y x -=中并整理得：22360x px -+= 设11221212(,),(,)0,0,0,0A x y B x y x x y y >>>>其中则21212(3)42603023p p x x x x ⎧∆=--⨯⨯>⎪⎪+=>⎨⎪=⎪⎩3p ∴>又(,0)2p F 1212-)-+y 22p p FA FB x x y ∴=（（）21212()224p p x x x x =-+++22113(9922p p =-++=--+≤ ∴当且仅当p =FA FB ×的最大值为9（3）直线AB 的方程为：112121y y x x y y x x --=--即211211()()()()0x x y y y y x x -----= (,0)2p F ∴到直线AB的距离为：121211|()()()|p y x x y y x d -----=121211|()()()|11||||22p y x x y y x S AB d AB -----∴==12121111|||()()()|222p S AB d y x x y y x ∴==-----14p = 又23S FA FB =?2211(3)324p p ∴-++=p ∴=。

2025届辽宁七校协作体高三上学期期初联考数学试题+答案

2025届辽宁七校协作体高三上学期期初联考数学试题+答案

2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考数学试题考试时间：120分钟 满分：150分命题校：兴城高中一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知命题:1,1p x x ∀>>，则命题p 的否定为（ ） A.1,1x x ∃>≤ B.1,1x x ∃≤≤ C.1,1x x ∀>< D.1,1x x ∀≤>2.已知随机变量()2~2,X N σ，且(3)0.2P X >=，则(13)P X <≤=（ ） A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.33.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，1472582,4a a a a a a ++=++=，则9S =（ ）A.18B.16C.14D.124.已知,x y 为正实数，且2x y +=，则66x y xy++的最小值为（ ）A.12B.3+252 5.下列说法正确的是（ ）A.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1B.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0C.对具有线性相关关系的变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3y x m =−，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是-4.D.已知随机变量X 服从二项分布1,3B n，若()316E X +=，则6n =. 6.已知函数()f x 的导函数()f x ′的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）A.()()13f f >B.()()12f f −<C.()f x 有三个零点D.()f x 有三个极值点7.某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理､丽江､洱海､玉龙雪山､蓝月谷这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A.58 B.89 C.78 D.678.已知函数()f x 的导函数()()()22f x x x x m =+++′，若函数()f x 有一极大值点为-2，则实数m 的取值范围为（ ） A.()2,0− B.(]4,2−− C.(),4∞−− D.(),2∞−−二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）9.已知,a b 均为正数，则使得“a b >”成立的充分条件可以为（ ） A.11a b< B.34a b −>−C.22a b b ab a +>+D.()()22ln 2024ln 2024a b +>+ 10.对于函数()22ln 3f x x x x =−+−，下列说法正确的是（ ） A.()f x 在区间()2,∞+上单调递增B.2x =是函数()f x 的极大值点C.()f x 的单调递减区间是()0,2D.函数()f x 的最小值为2ln22−−11.甲､乙､丙､丁､戊､已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n 次传球之后球在乙手中的概率为n a .则下列正确的有（ ） A.2425a =B.16n a −为等比数列C.设第n 次传球后球在甲手中的概率为1010,n b b a <D.11165n n a =−−三､填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分）12.设{}{}2540,10A x x x B x ax =−+==−=∣∣，若A B A ∪=，则实数a 的取值集合为__________. 13.已知等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1n a +=__________. 14.任意一个三次多项式函数()32f x ax bx cx d +++的图象的对称中心是()0f x ′′=的根，()f x ′′是()f x ′的导数.若函数()32f x x px x q =+++图象的对称中心点为()1,2−，且不等式()()e 32e e ln 13e x mx x f x x x x −+≥−−+ 对任意()1,x ∞∈+恒成立，则m 的取值范围是__________.四､解答题（本题共5小题，共77分）15.已知函数()()322,f x x ax b a b =++∈R 在1x =处取得极小值为1. （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间31,2 −上的值域. 16.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，51120S a ==，数列{}n b 是公比大于1的等比数列，且23642,12b b b b =−=， （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值. 17.某校举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A 类7道题中任选4道进行答题，答完后正确数超过两道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B 类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止.A 类题每答对一道得10分，B 类题每答对一道得20分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜.总分70分或80分为三等奖，90分为二等奖，100分为一等奖.某班小张同学A 类题中有5道会做，B 类5题中，每题答对的概率均为35，且各题答对与否互不影响.（1）求小张同学被终止比赛的概率；（2）现已知小张同学第一轮中回答的A 类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分X 的分布列及期望；（3）求小张同学获得三等奖的概率.18.已知函数()()2ln 2f x a x x =+−−.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间()2,4上不是单调函数，求a 的取值范围； （3）若()21,,e x f x ∞ ∀∈+无零点，求a 的取值范围. 19.已知数列{}n a 的首项112a =，且满足()()(){}*1,11n n n n na a n a n na +=∈++N 的前n 项和为n S . （1）证明数列1n na是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）当2n ≥时，1116n n n a S a λ−+≥恒成立，求实数λ的取值范围； （3）在数列{}n b 中，112,4n n n b b b +==，求数列{}n b 的通项公式及()2*1(1)n ii i ib n a =−∈∑N2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考答案一､单项选择题 12 3 4 5 6 7 8 A B C C C A B D二､多项选择题910 11 AD ACD ABD三､填空题12.10,1,413.29 14.(),e ∞−− 四､解答题15.（1）由题设()262f x x ax =+′，函数()()322,f x x ax b a b =++∈R 在1x =处取得极小值为1， 则()()1011f f = = ′，即62021a a b += ++= ，解得32a b =− = ， 检验，当3,2a b =−=时，()32232f x x x =−+， ()()26661f x x xx x ∴==′−− 当()(),01,x ∈−∞∪+∞时，()0f x ′>，当()0,1x ∈时，()0f x ′<，()f x ∴在()(),0,1,−∞+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， ()f x ∴在1x =处取得极小值，满足题意.所以32a b =− =. （2）由（1）得()32232f x x x =−+， ()()26661f x x xx x ∴==′−−， 令()0f x ′<，得01x <<；令()0f x ′>，得0x <或1x >，()f x ∴在31,2 − 上的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间为[]31,,1,02 −()()()302,11,13,22f f f f ==−=−=， ∴函数()f x 在区间31,2 −上的值域为[]3,2.− 16.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则511115452021020S a d a a d × =+= =+= ，解得10,2a d ==， 所以22na n =−， 设等比数列{}nb 的公比为(1)q q >，则()225312bqq hq hqq bq = −= ，解得22q q = = ， 所以2n n b =；（2）由（1）得()()2212n n nS n n −==−，则()12n n n nn n S c b −==， ()()2111113222n nn n n n n n n n n c c ++++−−−=−=， 当1,2n =时，11230,n n c c c c c +−><<，当3n =时，1340,n n c c c c +−==，当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +>><−> ，所以当3n =或4时，n c 取得最大值.17.（1）从A 类7道题中任选4道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛，所以小张同学被终止比赛的概率为225247C C 2C 7=. （2）由题意可知，X 的所有可能取值为40,60,80,100，则()328405125P X === ， ()213323660C 55125P X ==⋅×= ， ()223325480C 55125P X ==⋅×= ，()333327100C 5125P X ==⋅= ， 所以X 的分布列为：所以()836542740608010076125125125125E X =×+×+×+×=. （3）小张获得三等奖，共有两种情况， ①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道），概率为231252347C C 32C C 55 ⋅⋅× ； ②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道），概率为2425347C 32C C 55⋅⋅× ， 所以小张同学获得三等奖的概率为2231422525334477C C C 323254C C C 55C 55175 ⋅⋅×+⋅⋅×= . 18.（1）0a =时，()2ln 2f x x x =−−，()()()12,(0),11,10f x x f f x=−>′′==， 所以()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =−（2）因为()()12,f x a f x x=+−′在区间()2,4上不是单调函数， 所以()0f x ′=在()2,4上有变号解，即12a x +=在()2,4上有变号解.因为()2,4x ∈，所以11242a <+<，所以7342a −<<− （3）因为()()()2112,0,a x f x a x x x ∞+−=+−=∈+′， 当20a +≤，即2a ≤−时，()0f x ′<，所以()f x 在21,e ∞ +上单调递减， 因为()22112220e e f a =++−≤， 所以()f x 在21,e ∞ +上无零点，符合题意； 当2a >−时，令()0f x ′=，则102x a>+， 当10,2x a∈ + 时，()0f x ′<，当1,2x a ∞ ∈+ +时，()0f x ′>， 所以()f x 的单调递减区间是10,2a+ ；单调递增区间是1,2a ∞ + + ， 所以()f x 的最小值为11ln 122f a a =−− ++ 当1ln 102a−−>+，即e 2a >−时，()f x 无零点，符合题意； 当e 2a =−时，()f x 有一个零点12a +，此时21112e e a =>+，不符合题意；当2e 2a −<<−时，()f x 的最小值11ln 10,22f a a =−−< ++因为()221120e e f a =+>， 所以0211,e 2x a ∃∈ +，使得()00f x =，不符合题意； 综上所述，当(](),2e 2,a ∈−∞−∪−+∞时，()21,,e x f x ∀∈+∞无零点. 19.（1）()()()()11111,11n n n n n n n na na a n na a na ++++=∴=++ ， 即()11111n nn a na +−=+，又1121a =⋅， ∴数列1n na是以2为首项，1为公差的等差数列， ()111,1n n n a na n n ∴=+=+ （2）()11111na n n n n ==−++， 12111111,22311n n n S a a a n n n ∴=+++=−+−++−=++ 由1116n n n a S a λ−+≥，得()()16111n n n n n n λ+−≥++， 22161n n λ∴≤+−恒成立，22161817n n+−≥−=， 当且仅当2216n n =时取等，此时解得2n =， 所以实数λ的取值范围是(],7−∞（3）由11124,4n n n n n n b b b b ++++==，2214n n n n n nb b b b b b ++++∴==， 数列{}n b 的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列，12,2,n n n n b n − ∴=为奇数为偶数， ()()2122121212212(1)(1)2122221224n n n n nn n n nb b n n n n n a a −−−−−−+−=−−⋅⋅+⋅+⋅=⋅ 设()123124446422424n n n T n n −=×+×+×++−+⋅ ，()2314244422424n n n T n n +=×+×++−+⋅ ，两式相减得23132424242424,nn n n +−Γ=×+×+×++×−⋅1628499n n n T +−∴=⋅+， 所以211628(1)499ni n i i b n a +=−−=⋅+∑.。

2023学年第一学期台金七校联盟期中联考联考-数学答案(高一)

2023学年第一学期台金七校联盟期中联考联考-数学答案(高一)

2023学年第一学期台金七校联盟期中联考高一年级数学学科参考答案命题：黄岩中学王海田审稿：三门中学董玲飞一单选题题号12345678答案CADBDCAB二多选题题号9101112答案ACDBCDCDACD三填空题13．358π+14．[0,2]15.816.1(,][25,)25-∞+∞ 四解答题17．解（1）3a =时集合{|38}A x x =-<<，{|111}B x x =-≤≤………………………………2分∴{}|311A B x x =-<≤ ，(){|811}R C A B x x =≤≤ ……………………………………………………5分（2）A B B = ，B A ∴⊆，……………………………………………………………………7分∴3328a -<+<5(,2)3a ∴∈-……………………………………………………………10分18．解（1）(3)(1)f x f x +=-- ,()y f x ∴=的图象关于直线1x =对称………………………………………………2分又根据条件“()f x x =有两个相等的实数根”，列方程组如下：212(1)0b a b ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，，121a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩，∴21()2f x x x =-+；……………………………6分（2） 2(2)10ax b x +-+≥的解集是{|12}x x -≤≤∴即方程2(2)10ax b x +-+=有实数根1,2-，且0a <∴根据韦达定理：2112b a a-⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，∴1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，∴215()22f x x x =-+…………………………………………………………………12分19．解：（1）2a =时，221()2x f x x +=+，令21t x =+，则有20,044()(),02992t t f x F t t t t t t =⎧⎪⎪===⎨≠-+⎪+-⎪⎩，，92(,8][4,)t t+-∈-∞-+∞ ，41[,0)(0,1]922t t∴∈-+- ，()f x ∴的值域是1[,1]2-……………………6分（2）32211()(2)()()24g x x x f x ax x a x a a=+⋅=+=+-，[2,2]x ∈-且0a >∴当122a -≤-时，即104a ∈（，时，函数()y g x =在区间[2,2]-上单调递增，此时min ()(2)42g x g a =-=-；当1222a -<-≤时，即1(,)4a ∈+∞时，函数()y g x =在区间1[2,)2a --上单调递减，在区间1[,2]2a -上单调递增，此时min 11()(24g x g a a=-=-综上所述：min142,(0,]4()11,(,)44a a g x a a⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，…………………………………………………………12分20．（1）设(),(0xf x a a =>且1)a ≠，21(2)9f a--==，∴3a =，∴()3x f x =；…………………………………………………………2分∴13()3x x ng x m +-+=+是定义在R 上的奇函数，∴111(0)0333()()33x xx x n g m n n g x g x m m --++-⎧==⎪⎪+⎨-+-+⎪-==-=-⎪++⎩，，∴(3)(31)0x m --=对x R ∈恒成立，∴31m n =⎧⎨=⎩，∴113()33xx g x +-=+…………………………………………………………6分（2） 22(1)(22)0g t g t kt +++<恒成立，222(1)(22)(22)g t g t kt g t kt +<-+=--恒成立，又 11313112()(1)33331331x x x x x g x +--==-⋅=-+++可知()y g x =在R 上单调递减∴22122t t kt +>--恒成立，…………………………………………………………9分∴23210t kt ++>恒成立，∴24120k ∆=-<∴(k ∈…………………………………………………………12分21．解：总销售额：45x 万元，总成本：固定成本100()R x +万元，利润G ：289100,082()45()10040,820400460,2010x x G x x R x x x x x x x ⎧-<≤⎪⎪⎪=--=-+<≤⎨⎪⎪--+>-⎪⎩，，，………………………………………4分（2）()0G x ≥时，取x 最小值即可，仅需8910002x -≥， 2.24719x >万，取22472个………………………………………8分（3）当(0,8]x ∈时，max ()256G x =，当(8,20]x ∈时，max ()(20)400G x G ==，当(20,)x ∈+∞时，400()(10)45041010G x x x =---+≤-当且仅当30x =万个时，利润最大为410万.………………………………………12分22．(1)证明：令0x y ==，则有(0)(0)(0)f f f +=，(0)0f ∴=…………2分令y x =-，则有2()()()(0)012x xf x f x f f x-+-===+，∴()()f x f x -=-，(1,1)x ∈-()y f x ∴=是奇函数……………………………………………………………4分（2）证明：在(0,1)上对于任意的12,x x 且12x x >时1212122212()()()()(1x xf x f x f x f x f x x --=+-=++……6分此时，222211121212222222121212111()()122210111x x x x x x x x x x x x x x -+++-++-+-==>++++++∴122212011x x x x -<<++根据函数()y f x =在(0,1)x ∈时()0f x <可知，∴122212()01x xf x x -<++……12()()f x f x ∴<∴()y f x =在(0,1)x ∈时单调递减；……………………………………………………………8分（3）根据（1），（2）可知，对于任意的11[,]22x ∈-，对()[1,1]y f x =∈-，则有对于任意[1,1]a ∈-，恒有2441t at -+-≤-，所以22430430t t t t ⎧---≤⎪⎨-+-≤⎪⎩，，t ∈(,3][1,1][3,)-∞--+∞ ……………12分补充：22题题目条件有误，改卷时酌情处理，若学生在解答中举出反例，并指出函数不单调，则给出满分。

浅谈拉格朗日乘数法的应用

浅谈拉格朗日乘数法的应用

“高观点”下的初等数学许高峰11数本一班摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。

关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件例一：设实数y x ，满足554422=++xy y x ，设22y x S +=，则S 的最小值为.（浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为5)(2135)(25445544022222222−+=−+++≤−++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥−+y x 成立，即131022≥+y x ，所以S 的最小值为1310，当且仅当y x=时成立.说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。

如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。

容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式：222222)(55)()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +−=+⇔=+++用待定系数法求得23=A ，210=B .不难发现当x y −=时，22Ay Ax +取得最大值，最大值S 为310.同理，很自然的，我们可以想到在求最小值的时候，也可以用待定系数法，只不过要把等式化成另一种形式，即：5)''()''(222=−−+y B x B y A x A ；按照上述的方法也可以求出最小值为1310.例二：设y x ，为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是.（2011年浙江理科数学高考试题）证明：因为222222)2(8522(23)2()2(23)2(41y x y x y x y x y x xy y x +≥+−+≥⋅−+=++=从而解得y x +2的最大值为5102，且最小值为5102−.说明：实际上，上述的两个例子均可用拉格朗日乘数法求解，虽然拉个朗日乘数法的重要作用在这两个例子中并没有充分的体现，但是，拉格朗日乘数法是一种解决这类问题的普遍方法，也就是说，如果碰到更复杂的问题，高中的知识技巧就很难“胜任”，而这时，我们就可以看到拉格朗日乘数法的巨大威力了，下面具体介绍拉格朗日的方法及应用。

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上海市2012届高三七校联考数学试卷（理科）满分150分 考试时间120分钟一、填空题（本大题每题4分，满分56分）1.平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()()1213A B -，，，，则OA AB ⋅=.答案：0解析： OA =（1,2），AB = （-2,2）0OA AB ∴⋅=2. 复数21i i+-的虚部为 .答案：32解析：21i i+-+1313=1222i i i i i +==+- （2）（1+）∴复数21i i+-的虚部为323. 函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为 . 答案：π解析: 211sin sin 2cos 2sin 222y x x x x =-=--∴函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为:π4. 直线210x y -+=关于直线3x =对称的直线方程为 . 答案：270x y +-=解析:设M （x,y ）为所求直线上的任意一点，则其对称点为（6-x,y ） 从而有：6210x y --+=所以直线210x y -+=关于直线3x =对称的直线方程为：270x y +-=5. 定义集合运算：{}*|A B z z xy x A y B ==∈∈，，.设{}{}1236A B ==，，，，则集合*A B 的所有元素之和为 . 答案：21 解析:由题*A B ={3,6,12}，故集合*A B 的所有元素之和为216. 从集合{}12345，，，，中任取两数，其乘积不小于10的概率为 .答案：25解析:P=5121422105C ++==7. 若实数a b m 、、满足25a b m ==，且212ab+=，则m 的值为 .答案：解析:在25a b m ==取对数得：11log 2,log 5m m ab==，0m >又212a b +=∴log 202m = 220m ∴=m ∴=8. 若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为 . 答案：-32解析:由 ()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++结合二项式定理比较系数知：344334401,0120a C a C a C =+⨯=332a ∴=-9. 设等差数列{}n a 的公差d 为2-，前n 项和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= .答案： -3解析: 22limnn na n S →∞-=212212112(1)[]1[2(1)]limlim3(1)(1)1n n a n a n n nna n a n n→∞→∞------==-+-++-+10. 函数()213arcsin 452y x x π=-++的值域为 .答案：[,]22ππ-解析: ()()222111145[(2)1],4512222x x x x x ++=++≥++≤()21arcsin45622x x ππ∴≤++≤22y ππ∴-≤≤11. 与直线20x y +-=和圆221212700x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程为 .答案：22(3)(3=8x y -+-）解析:如图所示：易得：所求的圆的方程为22(3)(3=8x y -+-）12. 已知S A B C 、、、是球O 表面上的点，SA ⊥平面A B C ，AB BC ⊥，1SA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为 .答案： 3π解析:由题知:,,SAC SAB SBC ∆∆∆均为直角三角形,O SC 是的中点，从而10=,22O B O A SC S O C ====所以球O 的表面积为3π13. 如果一个正四位数的千位数a 、百位数b 、十位数c 和个位数d 满足关系ABCS()()0a b c d --<，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”.那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .（直接用数字作答） 答案：3645解析: 构成“彩虹四位数”可以分为两类：一类是a b >且c<d ，此时共可得到4545⨯个“彩虹四位数”；一类是a b <且c>d ，此时共可得到3645⨯个“彩虹四位数”（首位不能为0） 据加法原理得：正四位数中“彩虹四位数”的个数为364514.某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()kk k P x y ，处，其中1111x y ==，，当2k ≥时，111214441244k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()3.73T =，()0.40T =.按此方案，在第2012棵树的种植点坐标应为 . 答案： 4,2514（）解析:由题知：21101444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=32211444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=43321444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-= 1121444k k k k x x T T -⎡⎤--⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-= 将上式叠加得：110444k k x x T T ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=k-11244k k k x k T -⎛⎫∴≥=-⎪⎝⎭当时， 20122012k x ∴==当时， 4 同理可得：201220122514k ∴==当时，y ，∴第2012棵树的种植点坐标应为：4,2514（） 注:（1）此题还可以用列举法写出一些项，观察归纳得出周期，利用周期性求解 （2）利用5的剩余类，分类获解二、选择题（本大题每题5分，满分20分）14. “||3x >成立”是“()30x x ->成立”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件 答案： A解析: ||3x >33x x ⇔><-或，而()3030x x x x ->⇔><或 故“||3x >成立”是“()30x x ->成立”的充分非必要条件，所以选A15. 已知向量a 、b满足||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b - 等于（ ）A ．3 B．C．5答案：C 解析:|2|a b -===C16. 函数()1y f x =+为定义在R 上的偶函数，且当1x ≥时，()21x f x =-，则下列写法正确的是（ ）A. 132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B. 213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： C解析:(1)f x + 函数y=为偶函数 ()1y f x x ∴==关于对称 ()y f x ∴=函数的图像如图所示：结合图像易知：2311()3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，即231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选C17. 椭圆22143xy+=上有n 个不同的点12n P P P 、、、()*Nn ∈，F 是右焦点，{}nP F 组成公差1100d >的等差数列，则n 的最大值为（ ）A ．99B ．100C ．199D ．200答案：D 解析:1||||,(21n P F P F d n n -=≥-），因为1100d >，所以1||||1,(21100n P F P F n n ->≥-），进而有：1100(||||)1,(2n n P F P F n <-+≥），若使n 的值最大，只需1100(||||)1,(2n P F P F n -+≥）最大，即使1||||n P F P F -最大，而1ma x (||||)312nP F P F -=-=，201n ∴<，∴n 的最大值为200，故选D三、解答题（本大题满分74分）18. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分） 在△A B C 中，2tan 3A =，1tan 5B =.（1）求角C 的大小；（2）如果△A B C，求最小的边长.解：（1）21tan tan 35tan tan()1211tan tan 135A B C A B A B++=-+=-=-=---⨯又0C π<<34C π∴=(2)由已知和（1）知：c b =为最小边长1tan 5B =∴sin 26B =sin 1sin c B b C∴==∴最小的边长为119. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点.（1） 若132C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值；（2） 是否存在这样的点M 使得BM ⊥平面11A B M ？若存在，求出1C M 的长；若不存在，请说明理由.解：（1）过点M 做11M N C D 交1DD 于N,并连接1A N ,则1A M N ∠ 是异面直线1A M 和11C D 所成角由题可得：在1Rt A M N ∆中，AB =,152A N ==115tan 2A N A M N M N∴∠==∴当132C M =时，异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值为52（2）假设存在点M 使得BM ⊥平面11A B M ，并设1C M x = 则有111Rt BM B Rt B C M ∆∆1111C M B M B MBB ∴=245x x ∴+=41x x ∴==或所以，当11C M =或4时，使得BM ⊥平面11A B M 20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，*124N n n n a S n +=+∈，.（1） 设4n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2） 若对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，求a 的取值范围.解:(1) *124n n n a S n +=+∈N ，n+1n 24nn S S S ∴-=+11n+1n 4344n nn S S ++∴-=+-CBA B 1()1n+1n 434n nS S +∴-=-又1a a =144S a ∴-=-当4a =时，0n b =当4a ≠时，数列{}n b 为以4a -为首项，以3为公比的等比数列，所以数列{}n b 的通项公式为：1(4)3n n b a -=-综上可知：数列{}n b 的通项公式为：10,(4)(4)3,(4)n n a b a a -=⎧=⎨-≠⎩ （2）由（1）知：当4a =时，0n b =，即有：n 4n S = 14,(1)34,(2)n n n a n -=⎧∴=⎨≥⎩ 此时，对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，所以4a =符合题意当4a ≠时，1(4)3n n b a -=- ，于是有：1n (4)34n nS a -=-+21,(1)2(4)334n n n a n a a --=⎧∴=⎨-+≥⎩ ，(n 2） 若使对于一切*N n ∈，都有1n n a a +≥恒成立，即使02(4)334a a -+≥ 且21322(4)3342(4)334(3n n n n a a n -----+≥-+≥ ）而2132342(4)3342(4)334(39()4(33n n n n n a a n a n ------+≥-+≥⇔≥-+≥ ））45a a ∴≥-≥-且综上可知：a 的取值范围为:[4,+)-∞21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 若函数()f x 定义域为R ，满足对任意12,R x x Î，有()()()1212f x xf x f x +?，则称()f x 为“V 形函数”；若函数()g x 定义域为R ，()g x 恒大于0，且对任意12,R x x Î，有()()()1212lg lg lg g x x g x g x +?，则称()g x 为“对数V 形函数”．（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否为V 形函数，并说明理由； （2）当()22g x x =+时，证明：()g x 是对数V 形函数；（3）若()f x 是V 形函数，且满足对任意R x Î，有()2f x ³，问()f x 是否为对数V 形函数？证明你的结论．解：（1）121212()[()()]2f x x f x f x x x +-+=不满足对任意12,R x x Î，有()()()1212f x x f x f x +?∴当()2f x x =时，()f x 不是“ V 形函数”(2) ()22g x x =+的定义域为R ,且()22g x x =+>0212[()2]x x ++-2212+2+2x x （）（）=22212121---10x x x x --<（） 22212121212lg[()[lg ()lg ()]lg[()2]lg[+2+2g x x g x g x x x x x ∴+-+=++- （）（）]0<∴对任意12,R x x Î，有()()()1212lg lg lg g x x g x g x +?∴()g x 是对数V 形函数（3）()f x 为对数V 形函数1212121212121212lg[()][lg ()lg ()]lg[()]lg[()()]lg[()()]lg[()()]()()lg()()f x x f x f x f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x +-+=+-≤+-+=证明：,()2x R f x ∀∈≥ 都有12()+()f x f x ∴≥1212()()lglglg 10()()f x f x f x f x +∴≤≤=1212lg[()][lg ()lg ()]0f x x f x f x ∴+-+≤ 1212lg[()][lg ()lg ()]f x x f x f x ∴+≤+∴()f x 为对数V 形函数22. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分） 设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是以直线20x -=与20x +=为渐近线，以(0为一个焦点的双曲线．（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，求p 的取值范围，并求FA FB ×的最大值；（3）若FAB D 的面积S 满足23S FA FB =，求p 的值．解：（1）设双曲线2C 的标准方程为：22221y x a b -=则据题得：a bc ⎧=⎪⎨⎪=⎩又222a b c +=2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩∴双曲线2C 的标准方程为：22143yx-=（2）将22(0)y px p =>代入到22143yx-=中并整理得：22360x px -+=设11221212(,),(,)0,0,0,0A x y B x y x x y y >>>>其中则21212(3)42603023p p x x x x ⎧∆=--⨯⨯>⎪⎪+=>⎨⎪=⎪⎩3p ∴>又(,0)2pF 1212-)-+y 22p p F A F B x x y ∴= （（）21212()224p px x x x =-+++22113(9922p p =-++=--+≤∴当且仅当p =FA FB ×的最大值为9（3）直线A B 的方程为：112121y y x x y y x x --=--即211211()()()()0x x y y y y x x -----=(,0)2p F ∴到直线A B的距离为：121211|()()()|p y x x y y x d -----=121211|()()()|11||||22p y x x y y x S AB d AB -----∴==12121111|||()()()|222p S A B d y x x y y x ∴==-----14p =+又23S FA FB =2211(3)324p p ∴-++=p ∴=。

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