九年级数学下册相似三角形应用举例同步测试(新版)新人教版
人教版数学九年级下册《27.2相似三角形》同步测试(含答案)
27.2《相似三角形》测试一、选择题1、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（）A．0.9cm B．1cm C．3.6cm D．0.2cm2、如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（）．A．2 B．4 C．6 D．83、已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（）A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：494、如图，已知DE∥BC，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．5、如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或6、如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对7、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9、已知中，D、E分别是AB、AC边上的点，，点F是BC边上一点，联结AF交DE于点G，那么下列结论中一定正确的是………………………………………（）(A)；(B)；(C)；(D)．10、如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（）A．B．C．3 D．11、．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错误的是（）A．B．C．D．12、在△ABC，直线DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E，在下列比例式中，不能成立的是（）(A)；(B)；(C)；(D)．13、如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）A．∠2=∠B B．∠1=∠C C． D．14、如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC=6，BE=4，则AB长为（）A．6 B．8 C． D．15、能判定与相似的条件是（）A. B.，且C.且D.，且二、填空题16、如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC=1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，那么的值为（用n表示）．17、如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP= ．18、在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB 上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒．19、将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM= 时，△OMN与△BCO相似．20、如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有对．21、如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是.三、简答题22、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？24、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．25、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．26、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．27、如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．（1）如图②，当β= °（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形，（不含全等三角形），并选一对证明．∥AC．动点D从点A出发沿射线AC 28、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．参考答案一、选择题1、A解：∵DE∥BC，∴=，即=，∴EC=0.9（cm）．2、A3、D4、B5、C【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．6、D【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6对，故选D．7、B【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为8、C【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA 与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C．9、D.10、A11、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，，∴，，∴选项A、B、D正确，C错误；故选：C．12、B 13、D14、C【解析】试题解析：∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠EDB，∴BE=DE，∵BE=4，∴DE=4，∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴，∴，∴AB=，故选C．15、.C二、填空题16、证明：∵AD：DC=1：n，∴AD：AC=1：（n+1）．作DG平行于AF交BC于G，则=，根据比例的性质知，==，又E是BD的中点，∴EF是△BGD的中位线，∴BF=FG．∴=．故答案为：．17、5.5 ．【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径，∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，又∵DE⊥AC，∴OP∥BC，∴△AOP∽△ABC，∴，即，∴OP=1.5．∴DP=OD+OP=5.5，故答案为：5.5．18、2或4【分析】分两种情况：①E点在DC上；②E点在BC上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可．【解答】解：分两种情况：①如图1，E点在DC上，AE==，DP=，AP==，∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，∴=，即=，解得t=2；△APQ与△ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．19、或【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，由△OMN∽△BCO，得出==，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD===3，CE==，∵△OMN∽△BOC，∴==，即，∴OM=MN=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴===，即，解得：OM=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．20、16【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到△ADE∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．【解答】解：∵AD∥BF，∴△BFE∽△ADE，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠CBE，∵DE∥BP，∴∠E=∠PBA，∴△BFE∽△APB，∵AE∥DC，∴△BFE∽△CFD，∴△ADE∽△APB，∴△ADE∽△CFD，∴△APB∽△CFD，故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．故答案为16．【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键．21、等；三、简答题22、（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．23、【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO=6，BO=8，∴AB===10，∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AQ=t，AP=10﹣t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴，即，解得t=＞6，舍去；②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴，即，解得t=，综上所述，t=秒时，△APQ与△AOB相似；（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，则PC=AP•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），∴△APQ的面积=×t×（10﹣t）=8，整理，得：t2﹣10t+20=0，解得：t=5+＞6（舍去），或t=5﹣，故当t=5﹣s时，△APQ的面积为8cm2．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．24、【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．25、【解答】（1）证明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．26、【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．27、【解答】解：（1）∵∠ABC=α，∴∠BAC=90°﹣α，∴β=∠90°+α；（2）图中两对相似三角形：①△ABB′∽△ACC′，②△ACE∽△FBE，证明①：∵△ABC绕点A顺时针旋转角β得到△AB′C′，∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′∴∴△ABB′∽△ACC′28、【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．。
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版
相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。
九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定同步测试（新版）新人教版
九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定同步测试（新版）新人教版相似三角形27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例定理 [见B 本P69]1．如图27－2－1，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( B ) A ．7 B ．7.5 C ．8 D ．8.5 【解析】∵a ∥b ∥c ，∴AC CE ＝BD DF ，∴46＝3DF，∴DF ＝4.5，∴BF ＝BD ＋DF ＝7.5.图27－2－1图27－2－22．如图27－2－2，若l 1∥l 2，那么以下比例式中正确的是( D ) A.MR NR ＝RP RQ B.MR NP ＝NRMQC.MR MQ ＝RP NPD.MR RQ ＝NRRP3．如图27－2－3，已知BD ∥CE ，则下列等式不成立的是( A )图27－2－3 A.AB BC ＝BD CE B.AB AC ＝BDCEC.AD AE ＝BD CED.AB AC ＝ADAE4. 如图27－2－4，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .已知AE ＝6，AD DB ＝34，则EC 的长是( B )图27－2－4A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14【解析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AEEC，∵AE ＝6，∴34＝6EC，解得EC ＝8，则EC 的长是8.5．如图27－2－5所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的值为( B )图27－2－5A ．9B ．6C ．3D ．4【解析】∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AE CE .∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，∴510＝3CE，∴CE ＝6，故选B.6．如图27－2－6，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( A )图27－2－6A ．AB 2＝BC ·BDB ．AB 2＝AC ·BD C ．AB ·AD ＝BD ·BC D ．AB ·AD ＝AD ·CD【解析】由△ABC ∽△DBA 可得对应边成比例，即AB DB ＝BC BA，再根据比例的性质可知AB 2＝BC ·BD ，故选A.7．如图27－2－7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则AO CO的值为( B ) A.12 B.13 C.14 D.19图27－2－7图27－2－88．如图27－2－8，已知DE ∥AB ，DF ∥BC ，下列结论中不正确的是( D ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BFABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DFBC【解析】 A 正确，∵DE ∥AB ，DF ∥BC ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴DE ＝BF . ∵DF ∥BC ，∴AD DC ＝AF BF ，∴AD DC ＝AFDE；B 正确，∵DE ∥AB ，∴CE CB ＝CDCA ，又DF ∥BC ，∴CD CA ＝BF AB，∴CE CB ＝BFAB；C 正确，∵四边形DEBF 是平行四边形，∴DF ＝BE . ∵DE ∥AB ，∴CD AD ＝CE BE ，∴CD AD ＝CEDF；D 不正确，∵DF ∥BC ，∴AF AB ＝ADAC ，又DE ∥AB ，∴AD AC ＝BE BC ，∴AF AB ＝BEBC，又BE ＝DF ，∴AF AB ＝DF BC.9．如图27－2－9，已知AC ∥DB ，OA ∶OB ＝3∶5，OA ＝9，CD ＝32，则OB ＝__15__，OD ＝__20__．【解析】∵OA OB ＝35，∴OB ＝53OA ＝53×9＝15.设OD ＝x ，则OC ＝32－x . ∵AC ∥DB ，∴OA OB ＝OC OD ，∴35＝32－xx，解得x ＝20.图27－2－9图27－2－1010．如图27－2－10，已知l 1∥l 2∥l 3，AM ＝3 cm ，BM ＝5 cm ，CM ＝4.5 cm ，EF ＝12 cm ，则DM ＝__7.5__cm ，EK ＝__4.5__cm ，FK ＝__7.5__cm. 【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AM BM ＝CM DM，∴35＝4.5DM，∴DM ＝7.5 cm. ∵l 1∥l 2∥l 3，∴EK EF ＝AM AB ，∴EK 12＝38，∴EK ＝4.5 cm ，∴FK ＝EF －EK ＝12－4.5＝7.5(cm)．11. 如图27－2－11，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( A )图27－2－11A. 5∶8 B ．3∶8 C. 3∶5 D ．2∶5【解析】∵AD ∶DB ＝3∶5，∴BD ∶AB ＝5∶8，∵DE ∥BC ，∴CE ∶AC ＝BD ∶AB ＝5∶8，∵EF ∥AB ，∴CF ∶CB ＝CE ∶AC ＝5∶8.12．如图27－2－12，点F 是?ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( C ) A.ED EA ＝DF AB B.DE BC ＝EFFBC.BC DE ＝BF BED.BF BE ＝BCAE图27－2－12图27－2－1313．如图27－2－13，已知FG ∥BC ，AE ∥GH ∥CD ，求证：AB BF ＝EDDH.【解析】观察图形，我们会发现AE ∥GH ∥CD ，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得ED DH ＝AC CG ；由FG ∥BC ，知它具备了定理推论中的“A ”型的基本图形，可推得AC CG ＝AB BF，从而可证得ED DH ＝AB BF. 证明：∵AE ∥GH ∥CD ，∴ED DH ＝ACCG. ∵FG ∥BC ，∴AC CG ＝AB BF ，∴ED DH ＝ABBF.14．如图27－2－14，已知AB ∥MN ，BC ∥NG ，求证：OA OM ＝OCOG. 证明：∵AB ∥MN ，∴OA OM ＝OB ON，又∵BC ∥NG ，∴OB ON ＝OC OG ，∴OA OM ＝OCOG.图27－2－14图27－2－1515．如图27－2－15，?ABCD 中，E 在CD 延长线上，BE 交AD 于F .若AB ＝3，BC ＝4，DF ＝1，求DE 的长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AD ＝BC . ∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴AF DF ＝BF FE ＝CDDE ，∴AB DE ＝AF DF，又∵AF ＝AD －DF ＝BC －DF ＝3，∴3DE ＝31，∴DE ＝1.16．如图27－2－16，已知AD 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E . 求证：AB AC ＝BD DC.图27－2－16证明：∵AD ∥CE ，∴∠BAD ＝∠E ，∠DAC ＝∠ACE . 又∵∠BAD ＝∠DAC ，∴∠E ＝∠ACE ，∴AE ＝AC . 又∵CE ∥AD ，∴AB AE ＝BD DC ，∴AB AC ＝BDDC.第2课时相似三角形判定定理1、2 [见A 本P71]1．如图27－2－17，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD BD ＝12，DE ＝4 cm ，则BC 的长为( B )图27－2－17A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm 【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC.∵AD BD ＝12，∴AD AB ＝13，∴13＝4BC，∴BC ＝12 cm ，选择B.2. 能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( D ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′≠BCB ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠A ＝∠C ′C.AB A ′B ′＝BCA ′C ′，且∠B ＝∠A ′ D.AB A ′B ′＝BCB ′C ′，且∠B ＝∠B ′ 3．如图27－2－18，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( B )图27－2－18A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似【解析】两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如图27－2－19，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD AE ＝AB AC.其中正确的有( A ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个【解析】点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以由中位线定理得DE ∥BC ，且DE ＝12BC ，①正确；因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，②正确；由②得AD AE ＝ABAC，③正确．故选A.图27－2－19图27－2－205．如图27－2－20，在?ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是( B )A ．∠AEF ＝∠DECB ．FA ∶CD ＝AE ∶BC C ．FA ∶AB ＝FE ∶ECD ．AB ＝DC【解析】∵DC ∥AB ，∴△DCE ∽△AFE ，∴FA CD ＝AE DE ，故结论B 错误．∵AE ∥BC ，∴△FAE ∽△FBC ，∴FA FB ＝FE FC ，即FB FA ＝FC FE ，∴FA ＋AB FA ＝FE ＋ECFE，∴AB FA ＝EC FE，即FA ∶AB ＝FE ∶EC ，故结论C 正确．而A ，D 显然正确，∴应选B.6．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 长为__6或8__．【解析】 (1)当△AED ∽△ABC 时，此时图形为(a)，可得DE ＝6；(2)当△AED ∽△ACB 时，此时图形为(b)，可得DE ＝8.7．如图27－2－21，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求AD AB的值；(2)求BC .图27－2－21解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8，∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12，∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB. ∵DE ＝3，∴3BC ＝13，∴BC ＝9.8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF .图27－2－22【解析】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF .解：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12，∴△ABC ∽△DEF .9．如图27－2－23，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点．图27－2－23(1)求证：△DEF ∽△ABC ；(2)图中还有哪几个三角形与△ABC 相似？解：(1)证明：∵D ，F 分别是△ABC 的边BC ，BA 的中点，∴DF ＝12AC ，同理EF ＝12CB ，DE ＝12AB ，则DF AC ＝EF CB ＝EDAB，∴△DEF ∽△ABC ；(2)∵E ，F 分别是△ABC 的三边CA ，AB 的中点，∴EF ∥BC ，∴△AFE ∽△ABC .同理，△FBD ∽△ABC ，△EDC ∽△ABC .∴图中与△ABC 相似的三角形还有△AFE ，△FBD ，△EDC . 10．如图27－2－24，△ABC 是等边三角形，D ，E 在BC 边所在的直线上，且AB ·AC ＝BD ·CE . 求证：△ABD ∽△ECA .图27－2－24证明：∵△ABC 是等边三角形(已知)，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD ＝∠ACE (等角的补角相等)．又AB ·AC ＝BD ·CE (已知)，即AB EC ＝BDCA，∴△ABD ∽△ECA (两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)．11．如图27－2－25，已知正方形ABCD 中，F 为BC 上一点，且BF ＝3FC ，E 为DC 的中点．求证：△ADE ∽△ECF .图27－2－25证明：∵正方形ABCD 中，E 为CD 中点，∴CE ＝ED ＝12CD ＝12AD .∵BF ＝3FC ，∴FC ＝14BC ＝14AD ＝12CE .∴CF CE ＝DE AD ＝12，即CF DE ＝CE AD. ∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△ADE ∽△ECF . 12．如图27－2－26，∠DAB ＝∠CAE ，且AB ·AD ＝AE ·AC ，请在图中找出与∠ADE 相等的角，并说明理由．图27－2－26【解析】由AB ·AD ＝AE ·AC 得AB AE ＝ACAD，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就有与∠ADE 相等的角．解：∠C ＝∠ADE ，理由如下：∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC . ∵AB ·AD ＝AE ·AC ，∴AB AE ＝AC AD，∴△ABC ∽△AED ，∴∠ADE ＝∠C .13. 如图27－2－27，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝BC ＝CD .请找出图中的相似三角形，并说明理由．图27－2－27解：△ABC ∽△DBA .理由如下：设OA ＝OB ＝BC ＝CD ＝x ，根据勾股定理，AB ＝x 2＋x 2＝2x ， AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， AD ＝x 2＋（3x ）2＝10x ，∵BC AB＝x2x＝22，AB BD ＝2x 2x ＝22，AC AD ＝5x 10x ＝22，∴BC AB ＝AB BD ＝AC AD，∴△ABC ∽△DBA .第3课时相似三角形判定定理3 [见B 本P71]1．已知如图27－2－28(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB ，CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( A )图27－2－28A ．都相似B ．都不相似C ．只有(1)相似D ．只有(2)相似【解析】两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似．2．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 与△DEF 不相似的是( C ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8， DF ＝16C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40°3．如图27－2－29，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为( C )图27－2－29A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10.在△ADE 和△ABC 中，∵∠A ＝∠A ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ，即36＝AD10，∴AD ＝5.4．如图27－2－30所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】图中△ABC 与△ACD 有一组公共角，根据相似三角形的判定方法，可再补充另一组对应角相等，①②符合条件；或补充夹公共角的两边对应成比例，④符合条件，所以补充①②④能判定△ABC ∽△ACD .图27－2－30图27－2－315．如图27－2－31，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，点D 在边AB 上，∠ACD ＝∠B ，则AD 的长为__165__．6. [2013·安顺]如图27－2－32，在?ABCD 中，点E 在DC 上，若DE ∶EC ＝1∶2，则BF ∶BE ＝__3∶5__．图27－2－32图27－2－337．如图27－2－33，∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ADE ∽△ACB ：__∠D ＝∠C 或∠E ＝∠B 或AD AC ＝AE AB__．【解析】由∠1＝∠2可得∠DAE ＝∠CAB .只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE ∽△ACB .8. [2013·六盘水]如图27－2－34，添加一个条件：__∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB__，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 【解析】由题意得，∠A ＝∠A (公共角)，则可添加：∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B ，利用两角法可判定△ADE ∽△ACB ，添加AD AC ＝AE AB也可以．图27－2－34图27－2－359. 如图27－2－35，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE . 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE .10．如图27－2－36，点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上，连接BP 并延长与AD 的延长线交于点Q .(1)求证：△DQP ∽△CBP ；(2)当△DQP ≌△CBP ，且AB ＝8时，求DP 的长．图27－2－36解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AQ ∥BC ，∴∠Q ＝∠PBC ，∠PDQ ＝∠C ，∴△DQP ∽△CBP ；(2)∵△DQP ≌△CBP ，∴DP ＝CP ＝12CD .∵AB ＝CD ＝8，∴DP ＝4.图27－2－3711.如图27－2－37所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝( D ) A ．1∶4 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶2【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，则△DFE ∽△BAE ，∴DF AB ＝DE EB，∵O 为对角线的交点，∴DO ＝BO ，又∵E 为OD 的中点，∴DE ＝14DB ，则DE ∶EB ＝1∶3，∴DF ∶AB ＝1∶3，∵DC ＝AB ，∴DF ∶DC ＝1∶3，∴DF ∶FC ＝1∶2.图27－2－3812．如图27－2－38，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ＝4，BC ＝8，BD ∶DC ＝5∶3，则DE 的长等于( B ) A.203 B.154 C.163 D.174【解析】∵∠ADC ＝∠BDE ，∠C ＝∠E ，∴△ADC ∽△BDE ，∴AD BD ＝DC DE，∵AD ＝4，BC ＝8，BD ∶DC ＝5∶3，∴BD ＝5，DC ＝3，∴DE ＝BD ·DC AD ＝154. 故选B.13．如图27－2－39，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E .(1)求证：△ADE ∽△BCE ；(2)如果AD 2＝AE ·AC ，求证：CD ＝CB .图27－2－39第13题答图解：(1)证明：∵∠A 与∠B 是CD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠B ，又∵∠AED ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BCE ； (2)证明：如图，∵AD 2＝AE ·AC ，∴AE AD ＝AD AC，又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACD ，∴∠AED ＝∠ADC ，又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，即∠AED ＝90°，∴直径AC ⊥BD ，∴CD ＝CB .14．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点(不与点A ，B ，G 重合)，直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .(1)如图(1)，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2；图27－2－40(2)当点E 在AB (或BA )的延长线上时，以图(2)中点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由．解：(1)证明：如图(1)，连接FO 并延长交⊙O 于Q ，连接DQ . ∵FQ 是⊙O 的直径，∴∠FDQ ＝90°，∴∠QFD ＋∠Q ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠P ＋∠C ＝90°. ∵∠Q ＝∠C ，∴∠QFD ＝∠P .∵∠FOE ＝∠POF ，∴△FOE ∽△POF ，∴OE OF ＝OF OP，∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2.图(1)图(2)(2)(1)中的结论成立．理由：如图(2)，依题意画出图形，连接FO 并延长交⊙O 于M ，连接CM . ∵FM 是⊙O 的直径，∴∠FCM ＝90°，∴∠M ＋∠CFM ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠E ＋∠D ＝90°. ∵∠M ＝∠D ，∴∠CFM ＝∠E .∵∠POF ＝∠FOE ，∴△POF ∽△FOE ，∴OP OF ＝OF OE，∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2.。
部编数学九年级下册27.2相似三角形同步练习新人教版含答案
27.2 相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四 相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a ，弧长为m ，另一个半径为2a ，则它的弧长为 ；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1 图2专题五 相似形中的操作题7．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ．请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．2158．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六相似形中的综合题9．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．（1）求证：是的中点；（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；（3）若，且AC =4，求CF 的长. 【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】21=∆∆OCD CEF S S1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1．或 【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC ， ∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，，即，解得AE =.若△ADE∽△ACB 时，，解得AE=.∴当AE =或时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一). （2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A ，∴△ADE∽△ACB ; ∴=.∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BCE =180°，∠BCE+∠ECF =180°，∴∠ECF=∠BDF ，又∠F=∠F ，∴△CEF∽△DBF ;∴=，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD .3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB ＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2＝a －nb 2.4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm ，．设矩形纸条的长边分别与AC 、AB 交于点M 、N ，因为△AMN ∽△ACB ，所以．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26． 5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5． 因为×5CN=×3×4，所以CN=．224226AC AE AB AD =2631AE =22AB AE AC AD =3AE =422242AC AD ABAE BF EF DFCF 40(cm)BC ==BC MN AC AM =4053030≥-n 2121512因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A ，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以．设正方形的边长为x ，则，解得．所以正方形的边长为． （2）同（1），有，解得． （3）同（1），有，解得． （4）同（1），有，解得． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则=,∴x =2m.(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.设新做扇形的半径为，则=，=15，即新做扇形的半径为15㎝.7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N为BC 的中点，∴.在Rt△DNC 中，∵NE=ND ，∴.∴，故矩形DCEF 为黄金矩形.8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D . ∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH∽△DGF ，∴ ，∴BH•GD =BF 2.（2）证明：∵AG∥CE ，∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ，9．210．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC ，∴AE ⊥OD ，∴D 是⌒A E 的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC .ABGF CN CM =1251255x x -=3760=x 376012251255x x -=4960=x 12351255x x -=6160=x 1251255x nx -=nx 122560+=a a 2xm γ230γæöç÷èø21γ2212NC BC a ==.ND ==1)CE NE CN a =-=-2152)15(-=-=a a CD CE BF BH DG DF=∴∠AGD=∠B .∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO . ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC .∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD .（3） ∵AO=OC ，∴.∵，∴. ∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE . ∴，即，∴CF =2. 12OCD ACD S S ∆∆=12CEF OCD S S ∆∆=14CEF ACD S S ∆∆=2CEF ACD S CF S AC ∆∆æö=ç÷èø2144CF æö=ç÷èø。
人教版九年级数学下册27.2.3：相似三角形应用举例 同步测试题(含答案)
人教版九年级数学下册第二十七章相似27.2.3 相似三角形应用举例同步测试题1．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO ＝4 m ，AB ＝1.6 m ，CO ＝1 m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为(C)A ．0.2 mB ．0.3 mC ．0.4 mD ．0.5 m2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(B)A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺3．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为(C)A ．(0，0)，2B ．(2，2)，12C ．(2，2)，2D ．(2，2)，34．如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，且AC ∶AF ＝2∶3，则下列结论不正确的是(B)A ．四边形ABCD 与四边形AEFG 是相似图形B ．AD 与AE 的比是2∶3C ．四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2∶3 D ．四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比是4∶95．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD ，则CD 的长度是(A)A ．2B ．1C ．4D ．2 56．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．7．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B ＝∠C ＝90°，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求得河宽AB ＝100m.8．如图，已知零件的外径为25 mm ，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等，OC ＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC ∶OA ＝1∶2，量得CD ＝10 mm ，则零件的厚度x ＝2.5__mm.9．如图，某一时刻，测得旗杆的影长为8 m，李明测得小芳的影长为1 m，已知小芳的身高为1.5 m，则旗杆的高度是12m.10．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为1.4__m．11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝5.5m.11.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m，已知网高为0.8 m，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m的位置，则球拍击球时的高度h为2.4m.13．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为7.5米．14．如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.4米，BP ＝2.1米，PD ＝12米．那么该古城墙CD 的高度是多少米？解：∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ， ∴△ABP ∽△CDP. ∴AB CD ＝BP DP ，即1.4CD ＝2.112. 解得CD ＝8.答：该古城墙CD 的高度是8米．15．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D ，竖起标杆DE ，使得点E 与点C ，A 共线．已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1 m ，DE ＝1.5 m ，BD ＝8.5 m ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.解：∵BC ∥DE ，∴△ABC ∽△ADE.∴BC DE ＝AB AD .设AB ＝x m ，则11.5＝x x ＋8.5，解得x ＝17. 经检验，x ＝17是原分式方程的解． 答：河宽AB 的长为17 m.16．如图，两棵树AB，CD的高分别是6 m，9 m，它们根部的距离AC＝6 m．小强从点G处出发沿着正对这两棵树的方向前进，小强的眼睛与地面的距离为1.6 m，当小强与树AB的距离为多少时，他看不见树顶D?解：过点F作FP⊥CD于点P，交AB于点Q，则FH＝AQ＝CP＝1.6 m，QP＝AC＝6 m，BQ＝AB－AQ＝4.4 m，PD＝CD－CP＝7.4 m.∵BQ∥PD，∴△FQB∽△FPD.∴FQFP＝BQDP，即FQFQ＋6＝4.47.4.∴FQ＝8.8.答：当小强与树AB的距离为8.8 m时，他看不见树顶D.17．如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)．测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面的高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.解：设E关于点O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC，FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG.∴ACFG＝MAMF＝MOMH，即ACBD＝OEMH＝OEMO＋OH＝OEOE＋BF.∴OEOE＋1.6＝22.1.∴OE＝32.答：楼的高度OE为32 m.14．某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF 平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)解：过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于点N，M，作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意，知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240.∴NF＝24 cm.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.3.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ，然后测出两人之间的距离CD ＝1.25 m ，颖颖与楼之间的距离DN ＝30 m(C ，D ，N 在一条直线上)，颖颖的身高BD ＝1.6 m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC ＝0.8 m ，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？解：过点A 作CN 的平行线交BD 于点E ，交MN 于点F.由已知可得，FN ＝ED ＝AC ＝0.8 m ，AE ＝CD ＝1.25 m ，EF ＝DN ＝30 m ，BD ＝1.6 m ， ∠AEB ＝∠AFM ＝90°. 又∵∠BAE ＝∠MAF ， ∴△ABE ∽△AMF. ∴BE MF ＝AEAF， 即1.6－0.8MF ＝ 1.251.25＋30.解得MF ＝20.∴MN ＝MF ＋FN ＝20＋0.8＝20.8(m). 答：住宅楼的高度为20.8 m.。
人教版数学九年级下册 27.2 《相似三角形性质与判定》同步测试 (含答案)
人教版九下《相似三角形性质与判定》同步测试一、选择题1.已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A.1：1B.3：2C.6：2D.9：42.若△ABC∽△DEF，AB=2DE，△ABC面积为8，则△DEF的面积为（）A.1B.2C.4D.83.如图，在△ABC中，DE∥AB，且CD:BD=3:2，则CE:CA的值为（）A.0.6B.2/3C.0.8D.1.54.一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A.一种B.两种C.三种D.四种5.已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A.2B.3C.6D.546.已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，若BC=1，则EF的长为（）A.1B.2C.3D.97.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE=1，CE=AD=2，则AB的长是（）A.6B.5C.4D.28.下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3B.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9C.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3D.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：99.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为A.40mB.60mC.120mD.180m10.如图，是一种雨伞的轴截面图，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF=40 cm，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭.若AB=3AE，AD=3AO，此时B，D两点间的距离为( )A.60 cmB.80 cmC.100 cmD.120 cm11.如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：2：4C.1：3：5D.2：3：412.如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC，∠BCD的角平分线分别交AD于E和F，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是（）A.5：8B.25：64C.1：4D.1：16二、填空题13.如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为 .14.如图，DE是△ABC的中位线，CD、BE交于点F，若△DEF面积是1，则△BCF的面积是 .15.如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若CF=6，则AF的长为_____.16.如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=_____.18.如图，AG∥BC，如果AF：FB=3：5，BC：CD=3：2，那么AE：EC=_____.三、解答题19.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由.20.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC.经测量BC=24米，BD=12米，DE=40米，求河的宽度AB为多少米？21.如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q.请写出一对相似三角形，并加以证明.(图中不添加字母和线段)22.如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上.(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB.23.如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG//BC，交AD于点G.(1)求证：△FGE∽△FDB；(2)求AG:DF的值.24.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F.DF=2CF，AB=6，求DG的长.25.已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2=EA•EC.（1）求证：∠EBA=∠C；（2）如果BD=CD，求证：AB2=AD•AC.参考答案1.答案为：D2.答案为：B3.答案为：A4.答案为：B5.答案为：C6.答案为：C7.答案为：A8.答案为：B9.答案为：C.10.答案为：D11.答案为：C12.答案为：D13.答案为：1：4.14.答案为：1：4.15.答案为：316.答案为：2/3.17.答案为：3：118.答案为：3:2；19.△ABC和△DEF相似，理由如下：20.解析根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案.解：设宽度AB为x米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴=，又∵BC=24，BD=12，DE=40代入得∴=，解得x=18，答：河的宽度为18米.21.△BPQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∵∠QPD=90°，∴∠QPB+∠BQP=90°，∠QPB+∠DPC=90°，∴∠DPC=∠PQB，∴△BPQ∽△CDP.22.解：（1）∵△PCD∽△ABP，∴∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP即可，如图，即为所作图形，（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，∴∠BAP =∠ABC，∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，即∠CPD =∠ABC，∴PD∥AB.23.解：24.解：在正方形ABCD中，有△PCF∽△PBA∴而DF=2CF，即CF=CD∴=∴=即而AB=BC=6，∴PC=3又∵点E是BC的中点∴DE=3，PE=6∵AD∥EP ∴△PGE∽△AGD∴而PE=AD=6，∴GE=GD=故DG的长为.25.解：（1）证明：∵ED2=EA•EC，∴=，∵∠BEA=∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA=∠C.（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，∴EB=ED，∴∠EDB=∠EBD，∴∠C+∠DBC=∠EBA+∠ABD，∵∠EBA=∠C，∴∠DBC=∠ABD，∵DB=DC，∴∠C=∠DBC，∴∠ABD=∠C，∵∠BAD=∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴=，∴AB2=AD•AC.。
九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定同步测试 (新版)新人教版 (优质)
相似三角形27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例定理 [见B 本P69]1．如图27－2－1，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( B )A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5 【解析】 ∵a ∥b ∥c ，∴AC CE ＝BD DF ，∴46＝3DF，∴DF ＝4.5，∴BF ＝BD ＋DF ＝7.5.图27－2－1图27－2－22．如图27－2－2，若l 1∥l 2，那么以下比例式中正确的是( D ) A.MR NR ＝RP RQ B.MR NP ＝NRMQ C.MR MQ ＝RP NP D.MR RQ ＝NR RP3．如图27－2－3，已知BD ∥CE ，则下列等式不成立的是( A )图27－2－3A.AB BC ＝BD CEB.AB AC ＝BD CEC.AD AE ＝BD CE D.AB AC ＝AD AE4. 如图27－2－4，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .已知AE ＝6，ADDB＝34，则EC 的长是( B )图27－2－4A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14【解析】 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． ∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AEEC，∵AE ＝6，∴34＝6EC，解得EC ＝8，则EC 的长是8.5．如图27－2－5所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的值为( B )图27－2－5A ．9B ．6C ．3D ．4 【解析】 ∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AE CE .∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，∴510＝3CE，∴CE ＝6，故选B.6．如图27－2－6，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( A )图27－2－6 A ．AB 2＝BC ·BD B ．AB 2＝AC ·BD C ．AB ·AD ＝BD ·BC D ．AB ·AD ＝AD ·CD【解析】 由△ABC ∽△DBA 可得对应边成比例，即AB DB ＝BC BA，再根据比例的性质可知AB 2＝BC ·BD ，故选A.7．如图27－2－7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则AOCO的值为( B ) A.12 B.13 C.14 D.19图27－2－7图27－2－88．如图27－2－8，已知DE ∥AB ，DF ∥BC ，下列结论中不正确的是( D ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BF AB C.CD AD ＝CE DF D.AF BF ＝DF BC【解析】 A 正确，∵DE ∥AB ，DF ∥BC ， ∴四边形DEBF 是平行四边形，∴DE ＝BF .∵DF ∥BC ，∴AD DC ＝AF BF ，∴AD DC ＝AFDE；B 正确，∵DE ∥AB ，∴CE CB ＝CDCA ，又DF ∥BC ，∴CD CA ＝BF AB，∴CE CB ＝BFAB； C 正确，∵四边形DEBF 是平行四边形， ∴DF ＝BE . ∵DE ∥AB ，∴CD AD ＝CE BE ，∴CD AD ＝CEDF；D 不正确，∵DF ∥BC ，∴AF AB ＝ADAC ， 又DE ∥AB ，∴AD AC ＝BE BC ，∴AF AB ＝BEBC， 又BE ＝DF ，∴AF AB ＝DF BC.9．如图27－2－9，已知AC ∥DB ，OA ∶OB ＝3∶5，OA ＝9，CD ＝32，则OB ＝__15__，OD ＝__20__．【解析】 ∵OA OB ＝35，∴OB ＝53OA ＝53×9＝15.设OD ＝x ，则OC ＝32－x . ∵AC ∥DB ，∴OA OB ＝OC OD ，∴35＝32－xx，解得x ＝20.图27－2－9图27－2－1010．如图27－2－10，已知l 1∥l 2∥l 3，AM ＝3 cm ，BM ＝5 cm ，CM ＝4.5 cm ，EF ＝12 cm ，则DM ＝__7.5__cm ，EK ＝__4.5__cm ，FK ＝__7.5__cm. 【解析】 ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AM BM ＝CM DM， ∴35＝4.5DM，∴DM ＝7.5 cm. ∵l 1∥l 2∥l 3，∴EK EF ＝AM AB ，∴EK 12＝38，∴EK ＝4.5 cm ，∴FK ＝EF －EK ＝12－4.5＝7.5(cm)．11. 如图27－2－11，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝ 3∶5，那么CF ∶CB 等于( A )图27－2－11 A. 5∶8 B ．3∶8 C. 3∶5 D ．2∶5【解析】 ∵AD ∶DB ＝3∶5，∴BD ∶AB ＝5∶8， ∵DE ∥BC ，∴CE ∶AC ＝BD ∶AB ＝5∶8， ∵EF ∥AB ，∴CF ∶CB ＝CE ∶AC ＝5∶8.12．如图27－2－12，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( C ) A.ED EA ＝DF AB B.DE BC ＝EFFBC.BC DE ＝BF BE D.BF BE ＝BC AE图27－2－12图27－2－1313．如图27－2－13，已知FG ∥BC ，AE ∥GH ∥CD ，求证：AB BF ＝EDDH.【解析】 观察图形，我们会发现AE ∥GH ∥CD ，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得ED DH ＝ACCG；由FG ∥BC ，知它具备了定理推论中的“A ”型的基本图形，可推得AC CG ＝AB BF ，从而可证得ED DH ＝AB BF. 证明：∵AE ∥GH ∥CD ，∴ED DH ＝ACCG. ∵FG ∥BC ，∴AC CG ＝AB BF ，∴ED DH ＝ABBF.14．如图27－2－14，已知AB ∥MN ，BC ∥NG ，求证：OA OM ＝OCOG. 证明：∵AB ∥MN ，∴OA OM ＝OB ON， 又∵BC ∥NG ，∴OB ON ＝OC OG ，∴OA OM ＝OCOG.图27－2－14图27－2－1515．如图27－2－15，▱ABCD 中，E 在CD 延长线上，BE 交AD 于F .若AB ＝3，BC ＝4，DF ＝1，求DE 的长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ，AD ＝BC . ∵AB ∥DC ，AD ∥BC ， ∴AF DF ＝BF FE ＝CD DE ， ∴AB DE ＝AF DF， 又∵AF ＝AD －DF ＝BC －DF ＝3， ∴3DE ＝31，∴DE ＝1.16．如图27－2－16，已知AD 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E . 求证：AB AC ＝BD DC.图27－2－16证明：∵AD ∥CE ，∴∠BAD ＝∠E ，∠DAC ＝∠ACE . 又∵∠BAD ＝∠DAC ，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC.又∵CE∥AD，∴ABAE＝BDDC，∴ABAC＝BDDC.第2课时 相似三角形判定定理1、2 [见A 本P71]1．如图27－2－17，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD BD ＝12，DE ＝4 cm ，则BC 的长为( B )图27－2－17 A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm 【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC. ∵AD BD ＝12，∴AD AB ＝13，∴13＝4BC， ∴BC ＝12 cm ，选择B.2. 能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( D ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′≠BCB ′C ′ B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠A ＝∠C ′ C.AB A ′B ′＝BCA ′C ′，且∠B ＝∠A ′ D.AB A ′B ′＝BCB ′C ′，且∠B ＝∠B ′ 3．如图27－2－18，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( B )图27－2－18A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似【解析】 两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如图27－2－19，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD AE ＝ABAC.其中正确的有( A ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个【解析】 点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以由中位线定理得DE ∥BC ，且DE ＝12BC ，①正确；因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，②正确；由②得AD AE ＝AB AC，③正确．故选A.图27－2－19图27－2－205．如图27－2－20，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是( B )A ．∠AEF ＝∠DECB ．FA ∶CD ＝AE ∶BC C ．FA ∶AB ＝FE ∶ECD ．AB ＝DC 【解析】 ∵DC ∥AB ，∴△DCE ∽△AFE ， ∴FA CD ＝AEDE，故结论B 错误． ∵AE ∥BC ，∴△FAE ∽△FBC ， ∴FA FB ＝FE FC ，即FB FA ＝FC FE ，∴FA ＋AB FA ＝FE ＋EC FE， ∴AB FA ＝ECFE，即FA ∶AB ＝FE ∶EC ，故结论C 正确．而A ，D 显然正确，∴应选B. 6．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 长为__6或8__．【解析】 (1)当△AED ∽△ABC 时，此时图形为(a)，可得DE ＝6；(2)当△AED ∽△ACB 时，此时图形为(b)，可得DE ＝8.7．如图27－2－21，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求AD AB的值；(2)求BC .图27－2－21解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8， ∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12， ∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB.∵DE ＝3，∴3BC ＝13，∴BC ＝9.8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF .图27－2－22【解析】 利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF .解：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12， ∴△ABC ∽△DEF .9．如图27－2－23，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点．图27－2－23(1)求证：△DEF ∽△ABC ；(2)图中还有哪几个三角形与△ABC 相似？解：(1)证明：∵D ，F 分别是△ABC 的边BC ，BA 的中点， ∴DF ＝12AC ，同理EF ＝12CB ，DE ＝12AB ，则DF AC ＝EF CB ＝ED AB， ∴△DEF ∽△ABC ；(2)∵E ，F 分别是△ABC 的三边CA ，AB 的中点， ∴EF ∥BC ， ∴△AFE ∽△ABC .同理，△FBD ∽△ABC ，△EDC ∽△ABC .∴图中与△ABC 相似的三角形还有△AFE ，△FBD ，△EDC .10．如图27－2－24，△ABC 是等边三角形，D ，E 在BC 边所在的直线上，且AB ·AC ＝BD ·CE . 求证：△ABD ∽△ECA .图27－2－24证明：∵△ABC 是等边三角形(已知)，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD ＝∠ACE (等角的补角相等)．又AB ·AC ＝BD ·CE (已知)，即AB EC ＝BDCA，∴△ABD ∽△ECA (两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)．11．如图27－2－25，已知正方形ABCD 中，F 为BC 上一点，且BF ＝3FC ，E 为DC 的中点．求证：△ADE ∽△ECF .图27－2－25证明：∵正方形ABCD 中，E 为CD 中点， ∴CE ＝ED ＝12CD ＝12AD .∵BF ＝3FC ，∴FC ＝14BC ＝14AD ＝12CE .∴CF CE ＝DE AD ＝12，即CF DE ＝CE AD. ∵∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADE ∽△ECF .12．如图27－2－26，∠DAB ＝∠CAE ，且AB ·AD ＝AE ·AC ，请在图中找出与∠ADE 相等的角，并说明理由．图27－2－26【解析】 由AB ·AD ＝AE ·AC 得AB AE ＝ACAD，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就有与∠ADE 相等的角． 解：∠C ＝∠ADE ，理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ， ∴∠DAE ＝∠BAC . ∵AB ·AD ＝AE ·AC ， ∴AB AE ＝ACAD，∴△ABC ∽△AED ， ∴∠ADE ＝∠C .13. 如图27－2－27，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由．图27－2－27解：△ABC∽△DBA.理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x，根据勾股定理，AB＝x2＋x2＝2x，AC＝x2＋（2x）2＝5x，AD＝x2＋（3x）2＝10x，∵BCAB＝x2x＝22，ABBD＝2x2x＝22，ACAD＝5x10x＝22，∴BCAB＝ABBD＝ACAD，∴△ABC∽△DBA.第3课时相似三角形判定定理3 [见B本P71]1．已知如图27－2－28(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( A )图27－2－28A．都相似 B．都不相似C．只有(1)相似 D．只有(2)相似【解析】两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似．2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF不相似的是( C )A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝a，EF＝b，DF＝cD．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°3．如图27－2－29，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为( C )图27－2－29A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10.在△ADE 和△ABC 中，∵∠A ＝∠A ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ，即36＝AD10，∴AD ＝5.4．如图27－2－30所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 图中△AB C 与△ACD 有一组公共角，根据相似三角形的判定方法，可再补充另一组对应角相等，①②符合条件；或补充夹公共角的两边对应成比例，④符合条件，所以补充①②④能判定△ABC ∽△ACD .图27－2－30图27－2－315．如图27－2－31，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，点D 在边AB 上，∠ACD ＝∠B ，则AD的长为__165__．6. [2013·安顺]如图27－2－32，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若DE ∶EC ＝1∶2，则BF ∶BE ＝__3∶5__．图27－2－32图27－2－337．如图27－2－33，∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ADE ∽△ACB ：__∠D ＝∠C 或∠E ＝∠B 或AD AC ＝AEAB__．【解析】 由∠1＝∠2可得∠DAE ＝∠CAB .只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE ∽△ACB .8. [2013·六盘水]如图27－2－34，添加一个条件：__∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或ADAC＝AEAB__，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 【解析】 由题意得，∠A ＝∠A (公共角)，则可添加：∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B ，利用两角法可判定△ADE ∽△ACB ，添加AD AC ＝AE AB也可以．图27－2－34图27－2－359. 如图27－2－35，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE. 证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.10．如图27－2－36，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.(1)求证：△DQP∽△CBP；(2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长．图27－2－36解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC，∴∠Q＝∠PBC，∠PDQ＝∠C，∴△DQP∽△CBP；(2)∵△DQP≌△CBP，∴DP ＝CP ＝12CD .∵AB ＝CD ＝8，∴DP ＝4.图27－2－3711.如图27－2－37所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝( D ) A ．1∶4 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶2【解析】 在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，则△DFE ∽△BAE ，∴DF AB ＝DE EB， ∵O 为对角线的交点，∴DO ＝BO ， 又∵E 为OD 的中点，∴DE ＝14DB ，则DE ∶EB ＝1∶3，∴DF ∶AB ＝1∶3，∵DC ＝AB ，∴DF ∶DC ＝1∶3，∴DF ∶FC ＝1∶2.图27－2－3812．如图27－2－38，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ＝4，BC ＝8，BD ∶DC ＝5∶3，则DE 的长等于( B ) A.203 B.154 C.163 D.174【解析】∵∠ADC ＝∠BDE ，∠C ＝∠E ，∴△ADC ∽△BDE ，∴AD BD ＝DC DE ，∵AD ＝4，BC ＝8，BD ∶DC ＝5∶3，∴BD ＝5，DC ＝3，∴DE ＝BD ·DC AD ＝154. 故选B.13．如图27－2－39，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E .(1)求证：△ADE ∽△BCE ；(2)如果AD 2＝AE ·AC ，求证：CD ＝CB .图27－2－39第13题答图解：(1)证明：∵∠A 与∠B 是CD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠B ，又∵∠AED ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BCE ；(2)证明：如图，∵AD 2＝AE ·AC ，∴AE AD ＝AD AC，又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACD ，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB.14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点(不与点A，B，G重合)，直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.(1)如图(1)，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2；图27－2－40(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以图(2)中点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由．解：(1)证明：如图(1)，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.∵FQ是⊙O的直径，∴∠FDQ＝90°，∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF，∴OEOF＝OFOP，∴OE·OP＝OF2＝r2.图(1)图(2)(2)(1)中的结论成立．理由：如图(2)，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM. ∵FM是⊙O的直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE，∴OPOF＝OFOE，∴OE·OP＝OF2＝r2.。
九年级数学下册 27.2 相似三角形 27.2.3《相似三角形应用举例》同步测试(B卷,无答案)(新版)新人教版
《相似三角形应用举例》B卷一、单项选择题(共1题,共17分)1.我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图，小明在制作视力表时，测得=14cm,=7cm,他选择了一张面积为 4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图.那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( )A.面积为8 cm2的卡纸B.面积为16 cm2的卡纸C.面积为32 cm2的卡纸D. 面积为64 cm2的卡纸二、填空题(共4题,共67分)1.如图，已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为________米.2.在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子如图，其中竹竿AB=2m,它的影子BC=1.6 m,竹竿PQ 的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m ，MN=0.8 m，则竹竿PQ的长为________m.3.“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木?”这段话摘自《九章算术》.意思是说：如图，矩形城池ABCD,东边城墙AB长9 里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB,AD的中点，EG⊥AB,FH⊥AD,EG =15里，HG 经过点A，则FH=________里.4.小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1,图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量AB=CD=136cm, OA=OC=51cm, OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于________cm 时，连衣裙才不会拖到地面上.三、解答题(共1题,共16分)1.小军想用镜子测量一棵古松树的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A;第二次他把镜子放在点处，人在点处正好在镜中看到树尖A已知小军的眼睛距地面1.7m,量得=12 m ，CF=1.8 m，=3.84 m.求这棵古松树的高.。
九年级数学下册.相似三角形..相似三角形的应用基础型同步测试无答案新版新人教版
?相似三角形的应用?根底型
一、单项选择题(共3题,共51分)
1.小明在测量某建筑物高时，先测出建筑物在地面上的影长BA为21米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，那么建筑物高为( )
A．16米 B．15米 C．14米 D．12米
2.一斜坡长80m，它的高为6m，将某物从斜坡起点推到坡上30m处停止下，停下地点的高度为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3.如图，某商场在一楼到二楼之间装有自动扶梯，楼面与地面平行．一人扛着箱子(人与箱子
的总高度约为2.2m)乘电梯刚好完全通过，请你根据图中数据答复，两层楼之间的高约为( ) A．2.2m B．5.5m C．6.2m D．11m
二、填空题(共3题,共49分)
1.如下图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标的尺寸，蜡烛AB在暗盒中所成像CD的高度是______cm．
2.如图，屋架跨度的一半OP=6m，高度OQ=2.7m.现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度
AC=1.25m，AB在水平位置,那么AB的长度约为_________m.〔结果保存两位小数〕
3.如图，某同学用RtDEF纸板测量树的高度AB，使斜边DF与地平面平行，并使边DE与点B
在同一直线上．纸板的两条直角边DE=50cm，EF=25cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，
CD=8m，那么树高AB= m．
1。
九年级数学下册 相似三角形应用举例 同步测试(新版)新人教版
相似三角形1．某一时刻 ,身高1.6 m的小明在阳光下的影子是0.4 m．同一时刻同一地点 ,测得某旗杆的影长是5 m ,那么该旗杆的高度为( C )A．1.25 mB．10 mC．20 mD．8 m2．[2021·北京]如图27－2－52 ,为估算某河的宽度 ,在河对岸边选定一个目标点A ,在近岸取点B ,C ,D ,使得AB⊥BC ,CD⊥BC ,点E在BC上 ,并且点A ,E ,D在同一条直线上．假设测得BE＝20 m ,EC＝10 m ,CD＝20 m ,那么河的宽度AB等于( B ) 图27－2－52A. 60 mB. 40 mC. 30 mD. 20 m【解析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.∵AB⊥BC ,CD⊥BC ,∴△BAE∽△CDE ,∴ABCD＝BECE∵BE＝20 m ,CE＝10 m ,CD＝20 m ,∴AB20＝2010,解得：AB＝40 ,应选B.3. [2021·白银]如图27－2－53 ,路灯距离地面8米 ,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处 ,那么小明的影子AM长__5__米．图27－2－53【解析】根据题意 ,易得△MBA∽△MCO ,根据相似三角形的性质可知ABOC ＝AMOA＋AM,即1.68＝AM20＋AM,解得AM ＝5 ,那么小明的影长为5米．4. [2021·巴中]如图27－2－54 ,小明在打网球时 ,使球恰好能打过网 ,而且落在离网4 m 的位置上 ,那么球拍击球的高度h 为__1.5__m__．图27－2－54第4题答图【解析】∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ACB ,即DE BC ＝AE AB ,那么0.8h ＝44＋3.5, ∴h ＝1.5 m.故答案为：1.5 m.5．如图27－2－55 ,零件的外径为25 mm ,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等 ,OC ＝OD )量零件的内孔直径AB .假设OC ∶OA ＝1∶2 ,量得CD ＝10 mm ,那么零件的厚度x ＝__2.5__mm.图27－2－556．如图27－2－56 ,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ,他调整自己的位置 ,设法使斜边DF 保持水平 ,并且边DE 与点B 在同一直线上 ,纸板的两条直角边DE ＝40 cm ,EF ＝20 cm ,测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ,CD ＝8 m ,那么树高AB ＝__5.5__m.图27－2－56图27－2－577．如图27－2－57 ,从点A (0 ,2)发出一束光 ,经x 轴反射 ,过点B (4 ,3) ,那么这束光从点A 到点B 所经过的路径的长为__41__．图27－2－588．如图27－2－58 ,阳光通过窗口照到室内 ,在地面上留下2.7 m宽的亮区 ,亮区一边到窗下的墙脚距离C E＝8.7 m ,窗口高AB＝1.8 m ,那么窗口底边离地面的高BC＝__4__m__．【解析】设BC＝x m ,根据题意得△BCD∽△ACE ,∴BCAC＝CDCE,即xx＋1.8＝8.7－2.78.7,解得x＝4(m)．9．如图27－2－59 ,是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35 mm ,焦距是50 mm ,拍摄的景物高度AB是4.9 m ,拍摄点离景物有多远 ?(2)如果要完整的拍摄高度是2 m的景物 ,拍摄点离景物有4 m ,像高不变 ,那么相机的焦距应调整为多少 ?图27－2－59解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA ,∴MNAB＝LCLD.(1)∵像高MN是35 mm ,焦距是50 mm ,拍摄的景物高度AB是4.9 m ,∴3550＝4.9LD,解得：LD＝7 ,∴拍摄点距离景物7 m；(2)拍摄高度是2 m的景物 ,拍摄点离景物有4 m ,像高不变 ,∴35LC＝24,解得：LC＝70 ,∴相机的焦距应调整为70 mm.10．如图27－2－60 ,为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度 ,小亮在操场上点C 处直立高3 m 的竹竿CD ,然后退到点E 处 ,此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1 ,然后退到点E 1处 ,此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面高度EF ＝E 1F 1＝1.5 m ,量得CE ＝2 m ,EC 1＝6 m ,C 1E 1＝3 m.图27－2－60(1)由题意可知△FDM ∽△________ ,△F 1D 1N ∽△________；(2)求电线杆AB 的高度．解：(1)FBGF 1BG(2)∵D 1C 1∥BA ,∴△F 1D 1N ∽△F 1BG , ∴D 1N BG ＝F 1N F 1G. ∵DC ∥BA ,∴△FDM ∽△FBG .∴DM BG ＝FM FG . ∵D 1N ＝DM ,∴F 1N F 1G ＝FM FG ,即3GM ＋11＝2GM ＋2. ∴GM ＝16.∵D 1N BG ＝F 1N F 1G ,∴1.5BG ＝327. ∴BG ＝13.5.∴AB ＝BG ＋GA ＝15(m)．∴电线杆AB 的高度为15 m.11．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下 ,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米 ,同时另一名同学测量树的高度时 ,发现树的影子不全落在地面上 ,有一局部落在教学楼的第|一级|台阶上 ,测得此影子长为0.2米 ,一级|台阶高为0.3米 ,如图27－2－61所示 ,假设此时落在地面上的影长为4.4米 ,那么树高为( C )A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米图27－2－61第13题答图【解析】 由题意画图 ,树高为AB ,台阶CD 高为0.3米 ,DE 为树落在台阶上的影子 ,长为0.2米 ,BC 为树落在地面上的影子 ,长为4.4米．过D 作DF ⊥AB 于F ,那么DF ＝BC ＝4.4米 ,所以EF ＝DF ＋DE ＝4.4＋0.2＝4.6(米) ,依题意有AF EF ＝10.4, ∴AF ＝EF 0.4＝4.6×52＝11.5(米) , ∴AB ＝AF ＋BF ＝AF ＋CD ＝11.5＋0.3＝11.8(米) ,即树高11.8米 ,选C.教学反思1 、要主动学习、虚心请教 ,不得偷懒 . 老老实实做 "徒弟〞 ,认认真真学经验 ,扎扎实实搞教研 .2 、要 勤于记录 ,善于 总结、扬长避短 . 记录的过程是个学习积累的过程 , 总结的过程就是一个自我提高的过程 .通过总结 , 要经常反思 自己的优点与缺点 ,从而取长补短 ,不断进步、不断完善 .3 、要突破创新、富有个性 ,倾心投入 . 要多听课、多思考、多改良 ,要正确处理好模仿 与开展的关系 ,对指导教师的工作不能照搬照抄 ,要学会扬弃 ,在 原有的 根底上 ,根据自身条件创造性实施教育教学 ,逐步形成自己的教学思路、教学特色和教学风格 , 弘扬工匠精神 , 努力追求自身教学的高品位 .。
九年级数学下册 27.2 相似三角形 27.2.3《相似三角形应用举例》同步测试(A卷,无答案)(新版)新人教版
《相似三角形应用举例》A卷一、单项选择题(共4题,共45分)1.如图，铁路口栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高( )A.6.5 米B.7 米C.7. 5 米D.8 米2.如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高度约为( )A.5.5 mB.6.2 mC.11 mD.22m3.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离是4m.如图所示，已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆的髙度DE等于( )A.10 mB.12 mC.12.4 mD.12.32m4.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在 BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m ，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A.60mB.40mC.30mD.20m二、填空题(共1题,共11分)1.如图，某条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸每隔5米有一棵树，在北岸每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米.三、解答题(共4题,共44分)1.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=0.4 m,EF=0.2 m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8 m，求树的高度.2.如图，为测量学校围墙外直立电线杆的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端B重合;小亮又在点C1处直立高3m的竹竿，然后退到点E1处，恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合.小亮的眼睛离地面高度EF=1.5 m，测得CE=2m, ECl=6m,C1E1=3m.(1)△FDM∽________ ，△F1D1N∽________ ；(2)求电线杆的高度.3.如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN 上，现测得AM=1千米，AN=1.8千米，AB=54米，BC=45米，AC=30米，求 M，N两点之间的直线距离.4.某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).①小明在点B面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距离地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离 CB=1.2米.根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽说) 是多少米？。
九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形的应用举例同步练习新版新人教版
相似三角形的应用举例1.如图，慢慢将电线杆竖起，假如所用力 F 的方向素来竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将（）A．变大 B.变小 C.不变 D. 没法判断2．小华做小孔成像实验（以以下列图），已知蜡烛与成像板之间的距离为15cm，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛__________cm 的地方时，蜡烛焰AB 是像A' B'的一半.3．如图，铁道口的栏杆短臂长 1 米，长臂长16 米，当短臂的端点降落0。
5 米时，长臂端点应高升_________.4.有点光源 S 在平面镜上方，若在 P 点初看到点光源的反射光辉，并测得 AB=10cm，⊥ AC,且 PC=24cm,试求点光源S 到平面镜的距离即SA的长度 .15．冬至时是一年中太阳相对于地球地点最低的时辰，只要此时能采到阳光，一年四时就均能遇到阳光照耀。
此时竖一根 a 米长的竹杆，其影长为 b 米，某单位计划想建m米高的南北两幢宿舍楼（以以下列图）。
试问两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四时不受影响（用 m,a,b 表示） .6 ．一位同学想利用树影测出树高，他在某时辰测得直立的标杆高 1 米，影长是0. 9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，（以以下列图）他测得BC= 2．7 米， CD=1.2 米。
你能帮他求出树高为多少米吗？7．我侦探员在距敌方200 米的地方发现仇家的一座建筑物，但不知其高度又不可以靠2近建筑物丈量， 灵巧的侦探员食指竖直举在右 眼前，闭上左眼， 并将食指前后挪动，使食指恰好将该建筑物遮住。
若此时眼睛到食指的距离约为40 cm ，食指的长约为8cm, 你能依据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。
8．如图，阳光透过窗口照到室内，在地面上留下2.7 米宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=8.7 米，窗口高 AB=1.8 米，试求窗口下底与地面之间的距离BC的大小 。
人教版九年级数学下册27.2.3 相似三角形的应用举例-同步练习【新】
27.2.3 相似三角形的应用举例要求：运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题1、如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（）Ａ．6.4米Ｂ．7米Ｃ．8米Ｄ．9米2．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A．11.5米 B．11.75米C．11.8米 D．12.25米3．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D.减小3.5米4. 如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触路灯AC的底部，当他向前再步行12 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m。
(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？5、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
6、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？。
初中数学九年级下册人教新课标相似三角形的应用举例同步练习
初中数学九年级下册人教新课标相似三角形的应用举例同步练习基础练习一﹨选择题1．已知一棵树的影长是30m ，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是( )A ．15mB ．60mC ．20mD ．m 3102．一斜坡长70m ，它的高为5m ，将某物从斜坡起点推到坡上20m 处停止下，停下地点的高度为( )A ．m 711B ．m 710C ．m 79D ．m 233．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影长DE ＝1.8m ，窗户下檐距地面的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为( ) A ．1.5m B ．1.6m C ．1.86m D ．2.16m第三题 第四题4．如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距离墙角1.6m ，梯上点D 距离墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子长为( ) A ．3.85m B ．4.00m C ．4.40m D ．4.50m二﹨填空题5．如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，则树AB 的高度为______m ．第5题图6．如图所示，有点光源S 在平面镜上面，若在P 点看到点光源的反射光线，并测得AB ＝10m ，BC ＝20cm ，PC ⊥AC ，且PC ＝24cm ，则点光源S 到平面镜的距离即SA 的长度为______cm ．第6题图三﹨解答题7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．8．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?9．(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?10．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m)◆能力提高11．(1)已知：如图所示，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于O 点，OE ⊥BC 于E点，连结ED 交OC 于F 点，作FG ⊥BC 于G 点，求证点G 是线段BC 的一个三等分点．(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)◆聚焦中考〔2011•大理〕12．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树AB 的高度为米．第12题DE C B A（2010•达州市）13.已知：如图10，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5 m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC=4 m.（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影，并简述画图步骤；（2）在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长.图13。
九年级数学下册 相似三角形的性质 同步测试(新版)新人教版
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九年级数学下册 27.2.3 相似三角形的应用举例同步练习2 (新版)新人教版
相似三角形的应用举例【巩固练习】选择题1．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )A ．B ．C ．D ．（第1题） （ 第2题） （第4题） （第5题）2. 如图, 在△ABC 中, D 、E 两点分别在AB 、AC 边上, DE ∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S △ADE : S △ABC 为 ( )A. 9:4B. 4:9C. 1:4D. 3:23．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）．A ．24米B ．54米C ．24米或54米D ．36米或54米4. 如图为△ABC 与△DEC 重叠的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB// DE.若△ABC 与△DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ) A ．3 B ．7 C ．12 D ．155．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A ．6米 B ．8米 C ．18米 D ．24米6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍.A.2B.4C.2D.64填空题如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，则树AB 的高度为______m ．8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______. 9．如图，小明为了测量一座楼MN 的高，在离点N 为20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度是__________.（精确到0.1m ）1（第7题） （第9题） （第11题）10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________.11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.2212.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB ，PQ ，并且AB ∥PQ ，建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ，小亮从胜利街的A 处，沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等待小亮．（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C 标出）．（2）已知：MN=30m ，MD=12m ，PN=36m ．求（1）中的点C 到胜利街口的距离．15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点. (1)找出与相似的三角形. (2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？【答案与解析】选择题1．【答案】D ．【解析】提示：相似比为1:3．2．【答案】B ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．3．【答案】C.4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP ∽△CDP ．6．【答案】C ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．二．填空题7．【答案】3. 8．【答案】45cm 2.9．【答案】21.3m ．3 10．【答案】25.【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2AOD BOC49S AO CO S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴ AO:CO ＝2:3， 又∵AOD DOC 23S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 COD AOB S S =△△， ∴ ABCD 492625S =++⨯=梯形．【答案】4:10:25【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2DEF AEB S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴DEF BAF S S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴DEF BEF S S △△24.510==【答案】2. 综合题 13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ，∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m ∴ 1 1.20.9 2.7x -= 即 x ＝4.2m14．【解析】(1)如图1所示，CP 为视线，点C 为所求位置．(2)∵ AB ∥PQ ，MN ⊥AB 于M ，∴ ∠CMD ＝∠PND ＝90°．又∵ ∠CDM ＝∠PDN ，∴ △CDM ∽△PDN ，∴CM DM PN DN=∵ MN ＝30m ，MD ＝12m ， ∴ ND ＝18m ．∴ 123618CM =∴ CM ＝24(m)．∴ 点C 到胜利街口的距离CM 为24m ．15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：△PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ， 则12PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP ∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ． ②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E 时，44 则12PC BC =，∵ △PCE ∽△BCP ∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2 ∴ △BCP 的周长是2a ．③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E 时， ∴2BP BC =∵ △BPE ∽△BCP ∴ △BPE 与△BCP， ∴ △BCP．。
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九年级数学下册相似三角形应用举例同步测试（新版）新人
教版
1．某一时刻,身高1.6 m 的小明在阳光下的影子是0.4 m ．同一时刻同一地点,测得某旗杆的影长是5 m,则该旗杆的高度为( C )
A ．1.25 m
B ．10 m
C ．20 m
D ．8 m
2．[2013·北京]如图27－2－52,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A ,在近岸取点B ,C ,D ,使得AB ⊥BC ,CD ⊥BC ,点E 在BC 上,并且点A ,E ,D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m,EC ＝10 m,CD ＝20 m,则河的宽度AB 等于( B )
图27－2－52
A. 60 m
B. 40 m
C. 30 m
D. 20 m
【解析】 由两角对应相等可得△BAE ∽△CDE ,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB . ∵AB ⊥BC ,CD ⊥BC ,
∴△BAE ∽△CDE , ∴AB CD ＝BE CE ∵BE ＝20 m,CE ＝10 m,CD ＝20 m,
∴AB 20＝2010,
解得：AB ＝40,故选B.
3. [2013·白银]如图27－2－53,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O )20米的A 处,则小明的影子AM 长__5__米．
图27－2－53
【解析】根据题意,易得△MBA ∽△MCO ,
根据相似三角形的性质可知AB OC ＝AM OA ＋AM ,即1.68＝AM 20＋AM
, 解得AM ＝5,则小明的影长为5米．
4. [2013·巴中]如图27－2－54,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4 m 的位置上,则球拍击球的高度h 为__1.5__m__．
图27－2－54
第4题答图
【解析】∵DE ∥BC ,
∴△ADE ∽△ACB ,即DE BC ＝AE AB ,
则0.8h ＝44＋3.5
, ∴h ＝1.5 m.
故答案为：1.5 m.
5．如图27－2－55,已知零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等,OC ＝OD )量零件的内孔直径AB .若OC ∶OA ＝1∶2,量得CD ＝10 mm,则零件的厚度x ＝__2.5__mm.
图27－2－55
6．如图27－2－56,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ,他调整自己的位置,设法使斜边DF 保持水平,并且边DE 与点B 在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE ＝40 cm,EF ＝20 cm,测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m,CD ＝8 m,则树高AB ＝__5.5__m.
图27－2－56
图27－2－57
7．如图27－2－57,从点A (0,2)发出一束光,经x 轴反射,过点B (4,3),则这束光从点A 到点B 所经过的路径的长为__41__．
图27－2－58
8．如图27－2－58,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下2.7 m 宽的亮区,已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE ＝8.7 m,窗口高AB ＝1.8 m,那么窗口底边离地面的高BC ＝__4__m__．
【解析】 设BC ＝x m,
根据题意得△BCD ∽△ACE ,
∴BC AC ＝CD CE ,即
x x ＋1.8＝8.7－2.78.7
,解得x ＝4(m)．
9．如图27－2－59,是一个照相机成像的示意图．
(1)如果像高MN 是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度AB 是4.9 m,拍摄点离景物有多远？
(2)如果要完整的拍摄高度是2 m 的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少？
图27－2－59
解：根据物体成像原理知：△LMN ∽△LBA ,
∴MN AB ＝LC LD .
(1)∵像高MN 是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度AB 是4.9 m,
∴3550＝4.9LD
, 解得：LD ＝7,
∴拍摄点距离景物7 m ；
(2)拍摄高度是2 m 的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,
∴35LC ＝24
,
解得：LC ＝70,
∴相机的焦距应调整为70 mm.
10．如图27－2－60,为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度,小亮在操场上点C 处直立高3
m 的竹竿CD ,然后退到点E 处,此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1,然后退到点E 1处,此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面高度EF ＝E 1F 1＝1.5 m,量得CE ＝2 m,EC 1＝6 m,C 1E 1＝3 m.
图27－2－60
(1)由题意可知△FDM ∽△________,△F 1D 1N ∽△________；
(2)求电线杆AB 的高度．
解：(1)FBG F 1BG
(2)∵D 1C 1∥BA ,∴△F 1D 1N ∽△F 1BG , ∴D1N BG ＝F1N F1G . ∵DC ∥BA ,∴△FDM ∽△FBG .∴DM BG ＝
FM FG . ∵D 1N ＝DM ,∴
F1N F1G ＝FM FG ,即3GM ＋11＝2GM ＋2. ∴GM ＝16.∵D1N BG ＝F1N F1G ,∴1.5BG ＝327. ∴BG ＝13.5.∴AB ＝BG ＋GA ＝15(m)．
∴电线杆AB 的高度为15 m.
11．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图27－2－61所示,若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为( C )
A ．11.5米
B ．11.75米
C ．11.8米
D ．12.25米
图27－2－61
第13题答图
【解析】 由题意画图,树高为AB ,台阶CD 高为0.3米,DE 为树落在台阶上的影子,长为0.2
米,BC 为树落在地面上的影子,长为4.4米．过D 作DF ⊥AB 于F ,则DF ＝BC ＝4.4米, 所以EF ＝DF ＋DE ＝4.4＋0.2＝4.6(米),
依题意有AF EF ＝
10.4, ∴AF ＝EF 0.4＝4.6×52
＝11.5(米), ∴AB ＝AF ＋BF ＝AF ＋CD ＝11.5＋0.3＝11.8(米),
即树高11.8米,选C.。