第十六章 分式复习(2)
第十六章分式复习
第十六章分式知识点和典型例习题第一讲 分式的运算【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac ∙=,b c b d bda d a c ac ÷=∙= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x（3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 1-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+. 【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）112---a a a（4）mn mn m n m n n m ---+-+22；（5） 2121111x x x ++++- （6）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
八年级数学下册 第十六章《分式》小结与复习(2)精品课件 人教新课标版
分式方程
(1) 2 1x5 x3 3x
(2)xx2241x1x2x1
典型例题
增根问题
例பைடு நூலகம்.若分式方程
x
m2 2
有增
x3 x3
根，求m的值。
配套练习
增根问题
6.若分式方程 x7 m 7有增 x6 6x
根，则增根为 ，m的值为 。
典型例题 分式方程的应用
例6.A、B两地相距80km，一辆公共汽 车从A地开出2h后，又从A地开出一辆 小汽车，已知小汽车的速度是公共汽车 的3倍，结果小汽车比公共汽车早40min 到达B地。求两车的速度。
A cbcb
aa a
B
x1 1x 0 (x1)2 (1x)2
C
acac 0 aa
a
b1
D
a2b2a2b2
ab
配套练习 分式的加减 3. 计算：
(1) 2a 3b 5a2b 10ab2
3y 2xy (2)2x2yx2 xy
配套练习 分式的混合运算 4. 计算：
(1) a2 ( a2 4 ) a22a a2 2a
典型例题 科学记数法 例3. 用科学记数法表示：
(1)0.000028 (2)280.532
配套练习 科学记数法 4. 用科学记数法表示：
(1)0.002696 (结果保留2个有效数字)
(2) 1538000000
典型例题
分式方程
例4.解方程：
1 3 1 3x6 4x8
配套练习 5.解方程：
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台 甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半。后又加一台乙 型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块 地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
八年级下16分式的复习[2]课件
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（7）当 x = 200 时，求
x x6 1 x3x23xx
解: xx3xx236x1x
的值.
x2
x6 x3
x(x3) x(x3) x(x3)
x 2 9 (x3)(x3) x 3
x(x 3)
x(x3)
x
200 3
当 x = 200 时,原式=
203
200
200
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（8）
已知
x3 (x2)2
A B x2 (x2)2
求A、B
(9).x1 3xx231xx22 42xx 1 3
(10).1a284a24a4112a1
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整数指数幂有以下运算性质：
（1）am·an=am+n (a≠0) （2）(am)n=amn (a≠0) （3）(ab)n=anbn (a,b≠0) （4）am÷an=am-n (a≠0)
2 2
注意：乘法和除法运算时,分子或分 母能分解的要分解，结果要化为最 简分式
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（8）
96xx2 x3x24x4 x2164x 4x2
解： 9 x6 2x 1x6 24 x x 3x24 4x x24
(3x)2 4x (x2)2
(x4)x (4) x3(2x)2 (x)
(x3)(x2) (x4)(x2)
a （5）(b )n
an bn
（b≠0）
（6）当a≠0时，a0=1。
(7)n是正整数时, a-n属于分式。
并且 ana1n (a≠0)
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1:下列等式是否正确?为什么?
中考复习数学十六章分式复习资料分式
第十六章分式16.1 分式16.1.1 从分数到分式☆课前记录——概念回顾整式——单项式与多项式统称为整式。
单项式——数字与字母的积叫做单项式。
多项式——多个单项式相加叫做多项式。
16.1.1-1 分式概念形如的式子，a,b是整式且b含有字母的整式。
16.1.1-2 注意1.分数与分式的区别：分式是分数的特殊形式。
2.分式有意义的条件：b≠0 分子、分母为整式。
3.分式为0的条件：a=0，b≠0。
16.1.2 分式的基本性质☆类比展开——分数的性质分子、分母同乘或除以一个不为0的数，分数的值不变。
分子、分母同乘或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
例：（c≠0）（c≠0）☆类比展开：（16.1.2-2——16.1.2-3）——约分与最简分数约分：把分子、分母的公因数约去的变形。
最简分数：分子、分母没有除“1”外的公因数的数。
16.1.2-2 分式的约分约去分子、分母公因式的变形。
16.1.2-3 最简分式分子、分母无“1”外的公因式。
☆类比展开（16.1.2-4——16.1.2-5）——通分与最简公分母通分：把分母化成相同数的变形。
最简公分母：分母的最小公倍数。
16.1.2-4 分式的通分把分母化为相同整式的变形。
16.1.2-5 分式的最简公分母分母的每一字母的最高次幂的积。
16.2.1 分式乘除☆类比展开（16.2.1-1）——分数乘法分子乘以分子作为积的分子，分母乘以分母作为积的分母，如:=前提：先约分。
16.2.1-1 分式的乘法分子乘以分子作为积的分子，分母乘以分母作为积的分母，如:=前提：先约分。
☆类比展开（16.2.1-2）——分数除法处以一个数等于乘这个数的倒数。
如:=前提：先约分。
16.2.1-2 分式的除法除以一个式子等于乘它的倒数：如:=前提：先约分。
16.2.1-3 分式的乘方分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即：16.2.2 分式的加减☆类比展开（16.2.2-1）——分数的加减如果分母相同，直接运算；如果分母不同，先通分，再运算。
第十六章分式复习(二)
例3.列方程解应用题:
1.A,B两地相距80千米.一辆公共汽车从A 地出发,开往B地,2小时后,又从A地同方 向开出一辆小汽车,小汽车的速度是公共 汽车的3倍, 结果比公共汽车早40分钟到 达B地,求两种车的速度.
解:设公共汽车的速度为x千米/小时,则小汽车的 80 80 40 2 速度 为3x千米/小时.根据题意得:
第十六章分式复习(二
(分式方程与分式方程应用)
1.解分式方程的思路是：
分式 方程
复习回顾:
去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的根代入最简公分母，每结果是不 是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必 须舍去. 4、写出原方程的根.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位.
3.列:根据等量关系正确列出方程.
4.解:认真仔细.
5.验:有三次检验. 6.答:不要忘记写.
例1.填空:
(1)解分式方程
x m2 2 x 1 x 1
产生增根，
则m的值 ＋１,－１
(2). 一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要 n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间 mn 小时； 是______ (3)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现 在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数 mb 是______; a 2 ab (4)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克 am 这种盐水中的含盐量为______千克 ab
解:设他第一次买的物品是x件,根据题意得:
5 2x 2 x 0.8 2 x 12
经检验x=60符合题意,
八年级第16章分式复习
期末总复习
x 1 1、分式 ( x 1)(x 3) 有意义的条件是 x≠1且x≠3 ； 值为零的条件是 。
2
2、若分式 若分式
x x 1
x 2
2
x 1
无意义，则x=
1 。
2
。
x x2
的值为0，则x=
八年级 数学
期末总复习
2 1 x 3、在代数式 、 、x y 、 x 中，分式共有 3 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2 2
(3 x ) 4 x ( x 2) ( x 4)( x 4) x 3 ( 2 x )(2 x )
2 2
( x 3)( x 2) ( x 4)( x 2)
x2 x 6 2 x 2x 8
八年级 数学
期末总复习
A、扩大2倍 C、扩大3倍
1 1 3， （12）已知 x y
八年级 数学
期末总复习
负整数指数幂 与科学记数法
八年级 数学
期末总复习
1、某种感冒病毒的直径是0.00000012米， 用科学记数法表示为 。 2、计算： （1） 2-3；
(2)(2a b ) (a b )
2 3 2
3 1 3
八年级 数学
期末总复习
( x 3)( x 3) x 9 x3 x( x 3) x( x 3) x 200 3 203 当 x = 200 时,原式= 200 200
2
八年级 数学
期末总复习
9 6x x2 x 3 x2 4x 4 (8) 2 2 x 16 4 x 4 x 9 6x x x 3 x 4x 4 解： x 2 16 4 x 4 x 2
八年级下册全书章节复习
第十六章分式复习复习目标：1． 理解分式的概念，掌握分式有意义的条件。
2． 掌握分式的基本性质，会利用其进行约分。
3． 了解分式值的正负或为零的条件。
1.分式的概念:：练习：（1） 在、、、、、 、 3a 2－b 、中是分式的有分式有意义的条件练习：（2）当x 取何值时下列分式有意义？, , ,2.分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.练习：（1）下列等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．(2). 下列化简结果正确的是( )A. B.=0 C.=3x3D.=a 33.分式值的正负或为零的条件=0 的条件________ >0 的条件________ <0的条件________ 练习： (1). 当x=时，分式的值是零(2) 若分式的值为负数，则x 的取值范围是( ) A.x ＞3B.x ＜3C.x ＜3且x ≠0D.x ＞－3且x ≠0(3).已知x =－1时，分式无意义，x =4时分式的值为零，则a +b =________. 4.整数指数幂 负指数幂: a -p = a 0=1（a 0≠）1.计算： ； ；x 121212+x πxy 3y x +3m a 1+1223m m23x x -+211x x --211x x -+22mn m n =)0(≠++=a a m a n m n )0(≠--=a a m an m n )0(≠=a manam n 222222z y z x y x -=+-))((22b a b a b a -+--yx y x 26312-+m m aa A B A B AB12(1)x x --23x x -a x bx +-1p a=-321)(b a =+-203π()的整式不等于0,M M B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2.用科学记数法表示:(1)0.00150=_____________;(2)-0.000004020=___________. 5.分式乘法：练习：（1）= （2）. = 6. 分式除法:练习：（1）. = (2). = 7.分式通分： 练习： （1）. 通分 8.分式加减：练习：计算（1） (2) 9.化简，求值。
最新初中数学第十六章《分式》第二单元《分式方程及其应用》常见考点归类
初中数学第十六章《分式》第二单元《分式方程及其应用》常见考点归类新人教版初中数学第十六章《分式》第二单元《分式方程及其应用》（常见考点归类）一、分式方程：1、分式方程的定义：已知下列方程：（1）123x +=；（2）113x x x =-+；（3）21134x x +-=+；（4）213x =+． 其中分式方程有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个2、解分式方程：1、22333x x x -+=--；2、21124x x x -=-- 3、增根问题：（补充）1、若分式方程223242mx x x x +=--+有增根，求m 的值； 2、若分式方程2221151k k x x x x x --+=--+有增根x =1-，求k 的值． 4、含有字母的分式方程问题：（补充）1、111x a b=+ 2、()n m m n m n x x+=+≠ 3、()20a b b a a b x a b +--=+≠ 5、待定系数法求值问题：（选学）1、已知()21(2)323x B C A x x x x -=++----，求A 、B 、C 的值． 2、已知()()231212x A B x x x x -=+-+-+，求A 、B 的值． 二、分式方程应用题：6、行程问题：1、教材31页第1题；变形1：某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达。
已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求这两种车的速度各是多少？变形2：某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果甲班只比乙班提前20分钟到达植树地点。
已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求这两种车的速度各是多少？（只列式，不求解）变形3：某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果乙班却比甲班提前20分钟到达植树地点。
八年级数学 第16章《分式》知识要点复习及典型练习 新人教版
第16章《分式》知识要点复习一、本章主要内容本章主要内容是分式的概念；分式的基本性质；分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用，这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用． ★（一）概念1、分式的概念：BA （注明：A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母） 说明：分式比分数更具有一般性，如分式B A 可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数。
2、分式的表示：B A （注明： B ≠0才有意义） 3、分式的值：⑴0=B A 时，A=0且B ≠0；⑵1=BA 时，A=B 且B ≠0。
4、最简分式： ★（二）分式的基本性质（类似分数的性质，运用类比数学思想）1．分式的基本性质是分式恒等变形的依据，•正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，因此学习中要注意以下几点：（1）基本性质中的字母表示整数，（,A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，M ≠0） （2）要特别强调M ≠0，且是一个整式，由于字母的取值可以是任意的，所以M•就有等于零的可能性，因此，应用基本性质时，重点要考查M 的值是否为零．2.运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（三）分式运算（最后的结果要是最简分式，转化数学思想）1、分式的乘除法 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
（1）约分，约分的目的是化简，关键是找分子和分母的最高公因式，•即系数的最大公约数、相同因式的最低次幂．（2）如何找分子和分母的最高公因式n n n ba b a =)(bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;（3）分式的乘除法本质就是：①因式分解，②约分。
人教版八年级数学第十六章分式知识点总结
第十六章 分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有未知数，那么式子BA 叫做分式。
二、在分式中，如果________,则分式AB 有意义；如果________,则分式A B无意义；如果________且_________不为零时，则分式A B的值为零；如果__________,则分式0A B > 如果____________,则分式0A B <； 例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3. 当x________时，分式2134x x +-的值为正数，当x________时，分式2134x x +-的值为负数 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
当x_________时，分式2361x x -+的值为负数。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变,用字母表示为_________________________________.分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个，分式的值不变.四、约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分，约分的理论依据是分式的___________________。
约分的方法：分式的分子与分母同除以他们的公因式，如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式，就先__________,再判断公因式进行约分。
最简分式：分子与分母没有____________的分式，叫做最简分式。
（注意约分一定要彻底）五、通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
第16章-分式期中复习总结(二)
第16章 分式期中复习（二）一、知识要点：1、分式方程分母中含有未知数的方程叫分式分程2、解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
3、分式方程产生增根的原因：去分母过程中，将未知数的取值范围扩大了4、用分式方程解应用题：特别注意：分式方程应用题要求验根。
二、例题精讲：例1、解方程：（1）（交叉相乘法）231+=x x （2）（化归法）012112=---x x（3）（左边通分法）87178=----x x x （4）（分子对等法）)(11b a x b b x a a ≠+=+（5）（观察比较法）417425254=-+-x x x x （6）（分离常数法）87329821+++++=+++++x x x x x x x x（7）（分组通分法）41315121+++=+++x x x x例2、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？例3、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？例4、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度.三、随堂练习：1、解下列方程（1）4441=+++xx x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x （3）关于x 的方程：)0(≠+=--d c d c x b a x2、（1）关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值.3、若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围.4、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的212倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？5、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.四、课后作业：1、（1）若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。
2020年华师大版八年级下第16章分式复习(二)课
．
5、（an+1bm）-2÷anb=a-5b-3，则m=
，n=
计算
(6).
ab ab
2
ba a
3
a2
1
b2
5x2 y3 2x4 y2 z
(7)
10x2 y
已知
:
x2
4xy
5
y2
0求
:
4
5x
x
4
y
x y 5x
B C BD CA BD AC
A D AD AD
AD
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、 分母分解因式；
注意：过程中，分子、分母一般保持分解因 式的形式。
(1) 4 3 •
aa
(2) x 1 2x 1 x 1 1 x
(3) x 1 2x 1 x 1 x 2
x( x 3) x( x 3)
x
200 3
当 x = 200 时,原式=
203
200 200
（8）
x3
已知 (x 2)2
A B x 2 (x 2)2
求A、B
(9).
x
1
3
x3 x2 1
x2 x2
2x 4x
1 3
(10).1
a
2
8
4
(3 x)2 4 x ( x 2)2
( x 4)( x 4) x 3 (2 x)(2 x)
( x 3)( x 2) ( x 4)( x 2)
数学：第十六章《分式》复习课件2(人教新课标八年级下)
）个
x
(3)
3 x
x 1 x 2x 10 （6） 5 2
1 （5）x 2 x
2x 1 3x 1 x
复习回顾二:
二、解分式方程
（1）基本思路： 分
（2）.解分式方程的一般步骤
(1)、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. (2)、解这个整式方程. (3)、 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是 不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根， 必须舍去.
(4)、写出原方程的根.
（3）解分式方程的最大特点：根的检验
增根产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根,而不 是分式方程的根. 所以我们解分式方程时一定要代入最简公 分母检验
解分式方程出现增根应舍去
例题欣赏
复习回顾二:
1 8x x 2 1 x 3 x 9 3 x
例1
解方程：
1 8x x 1 解：原方程可化为： x 3 ( x 3)(x 3) x 3
方程两边都乘以
解得
( x 3)(x 3)
不要漏 乘
得，(x+3)－８x=x2-9-x(x＋３)
x3
检验：当x=3时,(x+3)(x-3)=0
∴ x=3是原方程的增根
注意检验
∴原方程无解
综上所述，a的值是1 问题：若方程①有增根，则增根必为 X=1 。
x a 1 2 变式4、当a为何值时,方程 x 1 x 1
的解是正数?
x ax 1 2 变式5、当a为何值时,方程 x 1 x 1
无解?
若解是负数呢？
3 a 1 有增根，则增根 1.若方程 2x 4 x 2
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=
x3 3( x 1) ( x 1)(x 1) ( x 1)(x 1)
（B）
=x-3-3(x+1) =-2x-6
（C） （D）
（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误： _________ （2）从B到C是否正确，若不正确，错误的原因是 ______（3）请你正确解答此题。
a 4a 4 a 1 (3) 2 2 a 2a 1 a 4
2
ab 5a b (2) 2 2c 4cd
3
2 2
1 1 (4) 2 2 49 m m 7m
2x 3 x (5) 2 5 x 3 25 x 9 5 x 3
2m n 5 p q 5mnp (6) 2 2 3 pq 4mn 3q
学以致用
1.水池装有两个进水管，单独开甲管需a小时注 满空池,单独开乙管需b小时注满空池，若同时打 开两管，那么注满空池的时间是（ ）小时 A、
1 abBiblioteka ab B、 a b1 1 C、 b a
1 D、 ab
2.A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地 开往B地的速度为V1，从B地返回A地的速度为V2，则 A、B两地间往返一次的平均速度为____
。
，n=
计算
a b (6). ab
2
1 ba 2 2 a a b
y
3
3
5x (7)
2
2 x
4
y z
2
10 x 2 y
1.解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
2
8 a 4 1 1 (10).1 2 1 a 4 4a 2 a
2
思考：解分式方程与分式混合运算的区别。
请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题： x3 3 计算 2 x 1 1 x 解： x3 3
原式= ( x 1)(x 1) x 1 （A）
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的根代入最简公分母，每结果是不 是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必 须舍去.
4、写出原方程的根.
解方程：
1. x- 5 x+ 1 = 0 x- 3 x- 1
2.
x- 2 8 - 1= 2 x+ 2 x - 4
x2
3 1- x 3. + 2= 4- x x- 4
分母分解因式；
注意：过程中，分子、分母一般保持分解因
式的形式。
4 3 (1) • a a
x 1 2x 1 (2) x 1 1 x
x 1 2x 1 x 1 2x 1 ( 4) 2 (3) x 1 x 1 x 1 x 2
x y x y2 2 （6）计算： x x y x xy 解： x y x y2 原式 x x y x( x y ) ( x y )( x y ) x2 y2 x( x y ) x( x y ) x( x y ) 2 2 2 2 x y x y 0 2 x xy
( x 3)( x 3) x 9 x3 x( x 3) x( x 3) x 200 3 203 当 x = 200 时,原式= 200 200
2
x3 A B 2 2 （8） 已知 ( x 2) x 2 ( x 2)
求A、B
1 x 3 x 2x 1 (9). 2 2 x 3 x 1 x 4x 3
2 2
( x 3)( x 2) ( x 4)( x 2)
x x6 2 x 2x 8
2
分式的加减
{
同分母相加
B C BC A A A
B C BD CA BD AC A D AD AD AD
异分母相加
通分 在分式有关的运算中，一般总是先把分子、
大：18千米/时
小：45千米/时
甲乙两人分别从相距36千米的A、B两地相向而行， 甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回， 取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点 处相遇。已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度 各是多少？
36千米
A 1千米 分析：等量关系
B
路程 甲
A、
V1 V2 2
B、
2V1V2 V1 V2
C
V1 V2 2V1V2
D、无法计算
3.甲加工180个零件所用的时间，乙可以 加工240个零件，已知甲每小时比乙少加 工5个零件，求两人每小时各加工的零件 甲：15 个数.
乙：20
4.A，B两地相距135千米，有大，小两辆 汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早 出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟. 已知大、小汽车速度的比为2：5，求两 辆汽车的速度.
n (a≠0) a
1:下列等式是否正确?为什么?
(1)am÷an= am.a-n;
a n n n (2) ( ) a b b
.
2. 0.000000879用科学计数法表示为
3.如果（2x-1）-4有意义，则x
4.(2×10-3)2×(2×10-2)-3= 5、（an+1bm）-2÷anb=a-5b-3，则m= ．
2x 1 (5) x 2 x 1
x x6 1 （7）当 x = 200 时，求 2 x 3 x 3x x 的值. x x6 1 解: 原式= x 3 （x 3） x x 2 x x6 x3 x( x 3) x( x 3) x( x 3)
1 1 1 1 ( ) 5 7 2 5 7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) (1 3 3 5 5 7 2001 2003 1 3 3 5 5 7 2001 2003 2
解答下列问题：
1 1 1 （1）在和式 1 3 3 5 5 7 中，第5项为___________，第n项
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达：
a c ac b d bd
a c a d ad 用符号语言表达： b d b c bc
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置 后再与被除式相乘。
4x y (1) 3 3 y 2x
为___________，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为 两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以__________，从而 达到求和目的。 （2）利用上述结论计算
1 1 1 1 x( x 2) ( x 2)(x 4) ( x 4)(x 6) ( x 2000)(x 2002)
（1）am·n=am+n (a≠0) a （2）(am)n=amn (a≠0) （3）(ab)n=anbn (a,b≠0) （4）am÷an=am-n (a≠0)
整数指数幂有以下运算性质：
a a ( （5） b ) b
n
n
n
（b≠0）
当a≠0时，a0=1。 （6）
(7)n是正整数时, a-n属于分式。 并且 a n 1
16 a a4 a2 (7) 2 a 8a 16 2a 8 a 2
2
2
2
注意：乘法和除法运算时,分子或分 母能分解的要分解，结果要化为最 简分式
9 6x x2 x 3 x2 4x 4 （8） 2 2 x 16 4 x 4 x
解：
(3 x ) 4 x ( x 2) ( x 4)( x 4) x 3 ( 2 x )(2 x )
x0
2 y - 5 3y - 3 4. = - 3 y- 2 y- 2
无解
y4
3 2 1 有增根，则增根 5.若方程 2x 4 x 2
应是
6.解关于x的方程 产生增根，则常数a=
2 ax 3 2 x2 x 4 x2
。
x 1 A B 7、 已知 求A、B 2 x 2x x x 2
1 42
……
由此可推断 =_______________。 （2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律， 用含字m的等式表示出来，并证明(m表示整数)
阅读下列材料： ∵ 1 1 (1 1 ) ∴
1 1 1 1 ( ) 3 5 2 3 5 1 3 2 3 1 1 1 1 ( ) 2001 2003 2 2001 2003
速度
时间
18 1 2 x 0.5
t
甲
=
t
乙
18 1 2 x 0.5
18
乙
x
18 x
拓展延伸
观察下列各式： 1 1 1 1； 1
6 23 2 3
12 1 1 1 3 4 3 4
1 1 1 1 ； ； 20 4 5 4 5
1 1 1 1 30 5 6 5 6