数学高职高考专题复习 直线、圆锥曲线问题
高考数学复习考点题型专题讲解22 直线与圆锥曲线
高考数学复习考点题型专题讲解专题22 直线与圆锥曲线高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝( )A.1B.2C.22D.4 答案 B解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋112＋（－1）2＝2，解得：p ＝2(p ＝－6舍去).2.(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值________. 答案 2((1，5]内的任意值均可)解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，若直线y ＝2x 与双曲线C 无公共点，则2≥b a ，∴b 2a 2≤4，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2≤5，又e ＞1，∴e ∈(1，5]， ∴填写(1，5]内的任意值均可.3.(2021·浙江卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0).若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________；椭圆的离心率是________. 答案25555解析 设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e ，解得e ＝55(e ＝－5舍去).4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l 与椭圆x 26＋y 23＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴、y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝23，则l 的方程为________. 答案 x ＋2y －22＝0解析 法一 设直线l 的方程为x m ＋yn ＝1(m >0，n >0)，分别令y ＝0，x ＝0，得点M (m ，0)，N (0，n ).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由题意知线段AB 与线段MN 有相同的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝m ＋02，y 1＋y 22＝0＋n 2，即⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m ，y 1＋y 2＝n .因为k AB ＝k MN ， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝0－n m －0＝－n m. 将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）6＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，由题意知x 1＋x 2≠0，x 1≠x 2， 所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 即n m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－n m ＝－12， 整理得m 2＝2n 2.① 又|MN |＝23，所以由勾股定理，得m 2＋n 2＝12，② 由①②并结合m >0，n >0， 得⎩⎨⎧m ＝22，n ＝2， 所以直线l 的方程为x 22＋y2＝1，即x ＋2y －22＝0.法二 设直线l 的方程为x m ＋yn＝1(m >0，n >0)，分别令y ＝0，x ＝0，得点M (m ，0)，N (0，n ).由题意知线段AB 与线段MN 有相同的中点，设为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，则k AB ＝0－n m －0＝－nm ，k OQ ＝n2m 2＝n m.由椭圆中点弦的性质知，k AB ·k OQ ＝－b 2a 2＝－12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－n m ·nm＝－12，以下同法一.热点一 中点弦问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k .(1)若椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；(2)若双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；(3)若抛物线E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.例 1 (1)(2022·宝鸡二模)椭圆x 29＋y 22＝1中以点M (2，1)为中点的弦所在直线方程为( )A.4x ＋9y －17＝0B.4x －9y －17＝0C.7x ＋3y －27－3＝0D.7x －3y －27＋3＝0(2)(2022·广州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过点F 的直线x －y＋2＝0与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为－12，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 25＋y 23＝1 D.x 26＋y 23＝1 答案 (1)A (2)B解析 (1)设以点M (2，1)为中点弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 212＝1，x 229＋y 222＝1，两式相减得x 21－x 229＋y 21－y 222＝0，因为M (2，1)为中点， 所以x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）9（y 1＋y 2）＝－49(或直接利用结论k ＝－b 2a 2·x 0y 0＝－29×21＝－49)，所以所求直线方程为y－1＝－49(x－2)，即4x＋9y－17＝0.(2)因为直线x－y＋2＝0过点F(－2，0)，所以c＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1两式相减并化简得－b2a2＝y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2，即－b2a2＝⎝⎛⎭⎪⎫－12·1，所以b2a2＝12，所以a2＝2b2＝b2＋c2，所以b＝c＝2，a＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.规律方法 1.处理中点弦问题的常用方法：(1)根与系数的关系，(2)点差法.2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.训练1 已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点M(－2，1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于( )A.2＋12B.3＋12C.2＋22D.5＋12答案 A解析法一由题意知F(c，0)，B(0，b)，则k PQ ＝k BF ＝－bc .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）.因为线段PQ 的中点为M (－2，1)， 所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2， 又k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－bc， 所以－b c ＝－4b 22a 2，整理得a 2＝2bc ，所以a 4＝4b 2c 2＝4c 2(c 2－a 2)， 即4e 4－4e 2－1＝0， 得e 2＝2＋12，或e 2＝1－22(舍去). 法二 由题意知F (c ，0)，B (0，b )，则k BF ＝－bc. 设直线PQ 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 即y ＝kx ＋2k ＋1，代入双曲线方程，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2k (2k ＋1)x －a 2(2k ＋1)2－a 2b 2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4，所以2a 2k （2k ＋1）b 2－a 2k 2＝－4，又k ＝k BF ＝－b c，所以2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＋1＝－4b 2＋4a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 2.整理得a 2＝2bc ， 所以c 2－b 2－2bc ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2－2cb －1＝0，得c b ＝2＋1，或c b＝1－2(舍去)，则e 2＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2－1＝（2＋1）2（2＋1）2－1＝2＋12.热点二 弦长问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)， 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.例2(2022·青岛模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋1(m ∈R )与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2＋y 2＝a 2相交于C ，D 两点，当|AB |·|CD |2的值为82时，求直线l 的方程.解 (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4＋12＝322，|PF 2|＝22， 所以2a ＝322＋22＝22，即a ＝2，∵c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 2＋2y 2＝2，消去x ， 整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 所以Δ＝8m 2＋8>0，y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 则|AB |＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋m 24m 2（m 2＋2）2＋4m 2＋2＝22（m 2＋1）m 2＋2.设圆x 2＋y 2＝2的圆心O 到直线l 的距离为d ， 则d ＝|－1|（－m ）2＋1，所以|CD |＝22－d 2＝22－1m 2＋1＝22m 2＋1m 2＋1， 则|AB |·|CD |2＝22（m 2＋1）m 2＋2×4×2m 2＋1m 2＋1＝82（2m 2＋1）m 2＋2＝82，解得m ＝±1，经验证m ＝±1符合题意. 故所求直线的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.规律方法 1.设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过(t ，0)，可设直线方程为x ＝my ＋t (m ≠0)；2.联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等零，二需要Δ＞0；3.点差法，要检验中点是否在圆锥曲线内部，若中点在曲线内部，可不必检验Δ＞0. 训练2(2022·温州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，求|AB |. 解 (1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b ＝c ， ∵椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，∴1a 2＋12b 2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F (1，0)，设l AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，∵AF →＝2FB →，∴y 1＝－2y 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2m m 2＋2，－2y 22＝－1m 2＋2，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m m 2＋22＝1m 2＋2，∴m 2＝27，∴|AB |＝1＋m 2·|y 1－y 2|＝1＋m 2·4m 2＋4（m 2＋2）m 2＋2＝928.热点三 圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1；双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2－y 0y b2＝1；抛物线y 2＝2px (p ＞0)在(x 0，y 0)处的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0).例3 (1)已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1，点P 是直线l ：x ＝4上的任意一点，过点P 作椭圆E的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB |的最小值是________.(2)(2022·北京石景山区模拟)设A ，B 为抛物线C ：y ＝x 2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C 的焦点F ，分别以A ，B 为切点作抛物线C 的切线，两条切线交于点P .则下列结论：①点P 一定在抛物线C 的准线上； ②PF ⊥AB ；③△PAB 的面积有最大值无最小值. 其中，正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 (1)2 2 (2)C解析 (1)设P (4，t )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则切线PA 的方程为x 1x 8＋y 1y 4＝1，切线PB 的方程为x 2x 8＋y 2y 4＝1.因为它们都经过点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 12＋ty 14＝1，x 22＋ty 24＝1，故直线AB 的方程为x 2＋ty4＝1，即x ＝－t2y ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，x ＝－t2y ＋2，消去x 得，(t 2＋8)y 2－8ty －16＝0，所以y 1＋y 2＝8t t 2＋8，y 1y 2＝－16t 2＋8， 所以|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 22（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝4＋t 24⎝ ⎛⎭⎪⎫8t t 2＋82－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－16t 2＋8 ＝42⎝⎛⎭⎪⎫1－4t 2＋8，所以当t ＝0时，|AB |min ＝2 2. (2)由抛物线知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，可设直线AB 方程为y ＝kx ＋14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线方程得x 2－kx －14＝0，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－14，y 1＋y 2＝k 2＋12，y 1y 2＝116，切线AP 的方程为y －y 1＝2x 1(x －x 1)，化简得y ＋y 1＝2x 1x ， 同理切线BP 的方程为y ＋y 2＝2x 2x ，⎩⎨⎧y ＋y 1＝2x 1x ，y ＋y 2＝2x 2x ，联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k2，－14，故①正确；∴k PF ＝－14－14k 2＝－1k，∴k PF ·k ＝－1，故②正确；S △PAB ＝12|AB |d ＝12·(k 2＋1)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 22＋12k 2＋1＝14（k 2＋1）3，当k ＝0时，S △PAB 有最小值，无最大值，故③错误，故选C.规律方法 1.圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决.2.过圆锥曲线外一点作曲线的两条切线，过两切点的直线方程与曲线在该点处的切线方程相同.例如：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外一点P (x 0，y 0)作椭圆的两条切线PA ，PB (A ，B 为切点)，则直线AB 的方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.训练3 (1)(2022·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (x 0，y 0)处的切线l 与圆M ：(x ＋2)2＋y 2＝4相切于另一点B ，则抛物线焦点F 与切点A 距离|AF |的最小值为________.(2)如图，已知点P (x 0，y 0)是双曲线C 1：x 24－y 23＝1上的点，过点P 作椭圆C 2：x 24＋y 23＝1的两条切线，切点为A ，B ，直线AB 交C 1的两渐近线于点E ，F ，O 是坐标原点，则OE →·OF →的值为( )A.34B.1 C.43D.916答案 (1)8 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (x 0，y 0)处的切线l 方程为y 0y ＝p (x 0＋x )， 整理得px －y 0y ＋px 0＝0， 因为切线l 与圆M 相切， 则d ＝|－2p ＋px 0|p 2＋（－y 0）2＝2， 同时平方化简得－4p 2x 0＋p 2x 20＝4y 20，又y 20＝2px 0，∴－4p 2x 0＋p 2x 20＝8px 0，解得x 0＝4＋8p ，即x A ＝4＋8p，此时|AF |＝4＋8p ＋p2≥28p ·p2＋4＝8， 当且仅当8p ＝p2，即p ＝4时取等号，故|AF |的最小值为8.(2)椭圆C 2关于点P (x 0，y 0)的切点弦AB 的方程为x 0x 4＋y 0y 3＝1，即3x 0x ＋4y 0y ＝12，由⎩⎨⎧3x 0x ＋4y 0y ＝12，y ＝32x ，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫433x 0＋2y 0，63x 0＋2y 0，同理F ⎝ ⎛⎭⎪⎫433x 0－2y 0，－63x 0－2y 0，则OE →·OF →＝483x 20－4y 20＋－363x 20－4y 20＝123x 20－4y 20＝1，故选B.热点四 直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程. (2)消元得到关于x 或y 的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.例4 (1)已知直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，与直线x ＝－a ，x ＝a 分别交于点M ，N ，F 为椭圆的左焦点，若以MN 为直径的圆为E ，则F ( ) A.在圆E 上B.在圆E 内C.在圆E 外D.以上三种情况都有可能(2)(2022·长沙模拟)已知椭圆Г：x 24＋y 23＝1，过其左焦点F 1作直线l 交椭圆Г于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B .若G 点为△PAB 的外心，则|PA ||GF 1|＝( ) A.2 B.3C.4D.以上都不对 答案 (1)A (2)C解析 (1)显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，可得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0， 因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0， 故m 2＝a 2k 2＋b 2.易知F (－c ，0)，M (－a ，－ak ＋m )，N (a ，ak ＋m )， 则FM →＝(c －a ，m －ak )，FN →＝(c ＋a ，m ＋ak )，则FM →·FN →＝c 2－a 2＋m 2－a 2k 2＝－b 2＋a 2k 2＋b 2－a 2k 2＝0，故∠MFN ＝90°， 即点F 在圆E 上.(2)根据题意可得F 1(－1，0)，显然直线PA 的斜率存在， 故可设方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1）联立消去y ， 可得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)， 故x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝6k3＋4k 2， 故|PA |＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（k 2＋1）3＋4k 2，设PA 的中点为H ，则其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k 2，显然x 轴垂直平分PB ，故可设G (x 3，0)，又GH 直线方程为： y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2，令y ＝0，解得x ＝－k23＋4k 2，故|GF 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k2，故|PA ||GF 1|＝12（k 2＋1）3＋3k 2＝4，故选C. 易错提醒 1.直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.2.直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).训练4 已知F 1，F 2是椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，曲线E 2：y 2＝4x 的焦点恰好也是F 2，O 为坐标原点，过椭圆E 1的左焦点F 1作与x 轴垂直的直线交椭圆于M ，N ，且△MNF 2的面积为3. (1)求椭圆E 1的方程；(2)过F 2作直线l 交E 1于A ，B ，交E 2于C ，D ，且△ABF 1与△OCD 的面积相等，求直线l 的斜率.解 (1)因为曲线E 2：y 2＝4x 的焦点恰好也是F 2，所以椭圆中c ＝1，2c ＝2， 因为△MNF 2的面积为3，所以|MN |＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，2b2a ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为O 为F 1，F 2的中点，所以O 到直线l 的距离为F 1到l 距离的一半，又因为△ABF 1与△OCD 的面积相等，所以|CD |＝2|AB |， 因为F 2(1，0)，设l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），3x 2＋4y 2＝12， 可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，由两点间距离公式可得，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝4－4k 23＋4k 2，联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 3＋x 4＝2＋4k2，x 3x 4＝1，所以|CD |＝x 3＋x 4＋2＝4＋4k2，因为|CD ||AB |＝4＋4k 24－4k 23＋4k 2＝2，解得k ＝±62， 故直线l 的斜率为±62.一、基本技能练1.椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (－1，2)为中点的弦所在直线斜率为( )A.916B.932C.964D.－932答案 B解析 设以M 为中点的弦为弦AB ，弦AB 的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，又弦AB 中点为M (－1，2)， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4， 即－2（x 1－x 2）16＋4（y 1－y 2）9＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝932.2.(2022·广州二模)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 在抛物线上.若|AF |＝3，则直线AF 的斜率为( ) A.±2B.±2 2 C.2D.2 2答案 B解析 由题意得F (1，0)，设点A (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 0＋1＝3， 故x 0＝2，y 0＝±22，故点A 坐标为(2，22)或(2，－22)， 所以直线AF 的斜率为±2 2.故选B.3.(2022·金华调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－4y ＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为( ) A.3B.233C.2D. 2 答案 C解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx ＋ay ＝0， 圆x 2＋y 2－4y ＋2＝0的圆心为(0，2)，半径为2， 可得圆心到直线的距离为 2a a 2＋b 2＝（2）2－12， 整理得4a 2＝a 2＋b 2，即4a 2＝c 2，∴e ＝c a＝2，故选C.4.(2022·福州二模)F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 是椭圆的上顶点，过点F 1作BF 2的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，若3PF 1→＝7F 1Q →，则椭圆C 的离心率是( )A.33或63B.255或55C.217或277D.59或2149答案 B解析 由椭圆C 的方程可得B (0，b )，F 2(c ，0)，F 1(－c ，0)， 所以k BF 2＝－bc，设直线PQ 的方程为y ＝cb (x ＋c )，即x ＝b cy －c ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＝bc y －c ，整理得(b 4＋a 2c 2)y 2－2b 3c 2y －b 4c 2＝0， 可得y 1＋y 2＝2b 3c 2b 4＋a 2c 2，①y 1y 2＝－b 4c 2b 4＋a 2c 2，②因为3PF 1→＝7F 1Q →，则3(－c －x 1，－y 1)＝7(x 2＋c ，y 2)， 可得y 1＝－73y 2代入①可得y 2＝－3b 3c 22（b 4＋a 2c 2）.③将y 1＝－73y 2代入②可得y 22＝3b 4c 27（b 4＋a 2c 2），④③代入④可得9b 6c 44（b 4＋a 2c 2）2＝3b 4c 27（b 4＋a 2c 2）化简，得25c 4－25a 2c 2＋4a 4＝0， 即25e 4－25e 2＋4＝0， 解得e 2＝15或e 2＝45，即e ＝55或e ＝255，故选B. 5.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)，过焦点F 的直线l 与M 交于A ，B 两点，坐标原点O在以AF 为直径的圆上，若|AF |＝2|BF |，则M 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 25＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 答案 A解析 由题意不妨设F (－c ，0)， 因为原点O 在以AF 为直径的圆上， 所以OA ⊥OF ，可得A 为椭圆M 短轴的端点，则A (0，2)， 因为|AF |＝2|BF |，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c ，－22代入椭圆M 方程中可得9c 24a 2＋14＝1，即a 2＝3c 2，又c 2＝a 2－2，所以a 2＝3(a 2－2)，解得a 2＝3，所以椭圆M 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.6.(多选)(2022·烟台模拟)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1，F 1，F 2为C 的左、右焦点，则( )A.双曲线x 24＋m －y 25＋m＝1(m >0)和C 的离心率相等B.若P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的周长为6＋214C.若直线y ＝tx －1与C 没有公共点，则t <－62或t >62D.在C 的左、右两支上分别存在点M ，N ，使得4F 1M →＝F 1N →答案 BC解析 选项A ：双曲线C ：x 24－y 25＝1的离心率e ＝32，双曲线x 24＋m －y 25＋m＝1(m >0)的离心率e ＝4＋m ＋5＋m 4＋m ＝9＋2m4＋m，则双曲线x 24＋m －y 25＋m ＝1(m >0)和C 的离心率不一定相等.判断错误；选项B ：P 为C ：x 24－y 25＝1上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则有⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝36，|PF 1|－|PF 2|＝4，整理得|PF 1|＋|PF 2|＝214，则△F 1PF 2的周长为6＋214.选项B 判断正确；选项C ：由⎩⎨⎧x 24－y 25＝1，y ＝tx －1，可得(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0，由题意可知，方程(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0无解.当5－4t 2＝0时，方程(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0有解； 当5－4t 2≠0时，则有⎩⎨⎧5－4t 2≠0，（8t ）2＋96（5－4t 2）<0，解之得t <－62或t >62， 故若直线y ＝tx －1与C 没有公共点，则t <－62或t >62.判断正确；选项D ：根据题意，过双曲线C 的左焦点F 1的直线MN 方程可设为x ＝ty －3， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由4F 1M →＝F 1N →，可得y 2＝4y 1，由⎩⎨⎧x 24－y 25＝1，x ＝ty －3，可得(5t 2－4)y 2－30ty ＋25＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝30t5t 2－4，y 1y 2＝255t 2－4，则有⎩⎪⎨⎪⎧5y 1＝30t 5t 2－4，4y 21＝255t 2－4，整理得19t 2＋100＝0，显然不成立.当过双曲线C 的左焦点F 1的直线MN 为水平直线时， 方程为y ＝0，则M ＝(－2，0)，N (2，0)，F 1M →＝(1，0)，F 1N →＝(5，0)，即5F 1M →＝F 1N →.综上可知，不存在分别在C 的左、右两支上M ，N 使得4F 1M →＝F 1N →.判断错误. 故选BC.7.(2022·西安模拟)已知直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2b ＝1总有公共点，则b 的取值范围是________. 答案 [1，2)解析 由题意直线y ＝kx －1恒过定点N (0，－1)，要使直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2b ＝1总有公共点，则只需要点N (0，－1)在椭圆上或椭圆内， 即（－1）2b≤1，解得b ≥1，又焦点在x 轴上，∴b <2.∴1≤b <2.8.已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________. 答案 8解析 因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|， 所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝8， 所以m 2＋2mn ＋n 2＝64，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48， 即m 2＋n 2＝48，所以mn ＝8，即四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1||PF 2|＝mn ＝8，故答案为8.9.(2022·南通、泰州等七市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是双曲线右支上的两点，x 1＋y 1＝x 2＋y 2＝3.记△PQF 1，△PQF 2的周长分别为C 1，C 2，若C 1－C 2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为________. 答案22解析 根据双曲线的定义，若C 1－C 2＝(|PQ |＋|PF 1|＋|QF 1|)－(|PQ |＋|PF 2|＋|QF 2|)＝4a ＝8，所以a ＝2. 故双曲线右顶点为(2，0)， 因为x 1＋y 1＝x 2＋y 2＝3， 所以P ，Q 在x ＋y ＝3上， 即直线PQ 的方程为x ＋y ＝3，所以双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为d ＝22. 10.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，∠F 1AF 2＝60°，四边形AF 1BF 2的周长p 与面积S 满足p 2＝12839S ，则该双曲线的离心率为________. 答案72解析 由题知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，四边形AF 1BF 2是平行四边形， |AF 1|＋|AF 2|＝p2，联立解得|AF 1|＝a ＋p 4，|AF 2|＝p4－a ，∵∠F 1AF 2＝60°，四边形AF 1BF 2的面积S ＝32|AF 1||AF 2|＝32⎝⎛⎭⎪⎫p 216－a 2， ∵p 2＝12839S ，∴p 2＝12839×32⎝ ⎛⎭⎪⎫p 216－a 2，即p 2＝64a 2，由|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 60°＝(|AF 1|－|AF 2|)2＋|AF 1||AF 2|， 可得4c 2＝4a 2＋p 216－a 2＝4a 2＋3a 2＝7a 2，即e ＝72，故答案为72. 11.(2022·临汾二模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与x 轴交于点P ，过点P 作直线l 与C 交于A ，B 两点，点D 与点A 关于x 轴对称. (1)证明：直线BD 过点F ； (2)若DF →＝3FB →，求l 的斜率.(1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，直线l 的斜率为k ，由题可知k 一定存在，直线l 的方程为：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2.由⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，y 2＝2px ，得ky 2－2py ＋kp 2＝0， Δ＝4p 2－4k 2p 2>0，则－1<k <1.y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝p 2，k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 112p（y 22－y 21）＝2py 2－y 1， 故直线BD 的方程为y ＋y 1＝2p y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212p ， 即y ＝2p y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 故直线BD 过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.(2)解由DF →＝3FB →可得⎩⎨⎧－x 1＋p 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 1＝3y 2，由(1)可知，y 1＋y 2＝4y 2＝2pk ，故y 2＝p2k， 又x 1＋3x 2＝2p ，故y 212p ＋3y 222p ＝2p ，即y 21＋3y 22＝4p 2＝12y 22，故y 22＝p 24k 2＝p 23，所以k 2＝34，满足Δ>0，故k ＝±32. 12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)，若|AM |＝2|MB |，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求△OMN 的面积.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝32，（－3）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由|AM |＝2|MB |，得y 1＝－2y 2，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0. Δ＝－16(m 2－t 2－4)>0，即m 2<t 2＋4.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42， 化简得(m 2－4)·(t 2＋4)＝－8t 2m 2，所以原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t2， 又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎨⎧（m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ>0，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0，在Rt△OMN 中，|MN |＝43－47＝42121， 所以S △OMN ＝12×42121×277＝4321.二、创新拓展练13.(2022·丽水调研)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (9，6)，动点C 在线段OB 上，BD ⊥y 轴，CE ⊥y 轴，CF ⊥BD ，垂足分别是D ，E ，F ，OF 与CE 相交于点P .已知点Q 在点P 的轨迹上，且∠OAQ ＝120°，则|AQ |＝( ) A.4 B.2 C.43D.23 答案 A解析设P(x，y)，则y C＝y，∵直线OB为y＝23x，∴C⎝⎛⎭⎪⎫32y，y，E(0，y)，F⎝⎛⎭⎪⎫32y，6，∵FC∥y轴，∴△OPE∽△FPC，∴EPPC＝OEFC，∴x32y－x＝y6－y，即y2＝4x，∴P的轨迹方程为：y2＝4x(0≤x≤9)，故A(1，0)为该抛物线的焦点，设Q(x0，y0)，则y20＝4x0，AQ→＝(x0－1，y0)，AO→＝(－1，0)，∴cos∠OAQ＝AO→·AQ→|AO→||AQ→|＝1－x0（x0－1）2＋y20＝1－x0x＋1＝－12，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋p2＝3＋1＝4.故选A.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与直线y＝x＋1交于A，B两点，且|AB|＝823，M⎝⎛⎭⎪⎫－23，13为AB的中点，若P是直线AB上的点，则( )A.椭圆C的离心率为2 2B.椭圆C 的短轴长为 3C.OA →·OB →＝－3D.P 到C 的两焦点距离之差的最大值为2 2 答案 ACD解析 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1，则m (x 21－x 22)＋n (y 21－y 22)＝0，则m n ＋y 21－y 22x 21－x 22＝0， 则m n ＋y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，则m n ＋k AB k OM ＝0，所以m n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，所以m n ＝12，则m <n ，1m >1n ，椭圆的标准方程为x 21m ＋y 21n ＝1，所以椭圆C 的焦点在x 轴上，即b 2a 2＝1n 1m＝m n ＝12， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22，A 正确；椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，联立⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2b 2，y ＝x ＋1，消y 可得3x 2＋4x ＋2－2b 2＝0，Δ＝16－12(2－2b 2)＝24b 2－8>0，可得b 2>13，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝2－2b23，∴|AB |＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2169－8－8b 23＝823， 所以b 2＝3，则b ＝3，所以椭圆C 短轴长为2b ＝23，B 错误；OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋1)·(x 2＋1)＝2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝－43×3＋1＝－3，C正确；椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝6，其标准方程为x 26＋y 23＝1，c ＝6－3＝3，椭圆C 的左焦点为F 1(－3，0)，右焦点为F 2(3，0)，如图所示：设点F 1关于直线AB 的对称点为点E (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2＝m －32＋1，n m ＋3＝－1解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1－3，即点E (－1，1－3)， 易知|PF 1|＝|PE |，则||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PE ||≤|EF 2|＝（3＋1）2＋（1－3）2＝22， 当且仅当点P ，E ，F 2三点共线时，等号成立，D 正确.故选ACD.15.(多选)(2022·重庆诊断)已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过直线x ＝－32上一动点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列恒为定值的是( ) A.|PA |·|PB ||AB | B.|FA |·|FB ||AB |C.PA →·PB →PF →2D.FA →·FB →FP →2答案 BCD解析 根据题意，得x ＝－32为抛物线的准线，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 0，设过点P 与曲线C 相切的直线方程为：y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32(k ≠0)，由⎩⎨⎧y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，y 2＝6x ，得ky 2－6y ＋6y 0＋9k ＝0，由直线与曲线相切得Δ＝36－4k (6y 0＋9k )＝0， 整理得3k 2＋2ky 0－3＝0，设切线PA 的斜率为k 1，切线PB 的斜率为k 2， 则k 1＋k 2＝－2y 03，k 1k 2＝－1，即切线PA 与PB 垂直.由3k 2＋2ky 0－3＝0得y 0＝3－3k22k并代入ky 2－6y ＋6y 0＋9k ＝0，整理得k 2y 2－6ky ＋9＝0，解得y ＝3k，再由y ＝3k ，y 0＝3－3k 22k 代入y －y 0＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，得x ＝32k 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21，3k 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 22，3k 2，所以k AB ＝3k 2－3k 132k 22－32k 21＝2k 1k 2k 1＋k 2＝3y 0，k PF ＝y 0－32－32＝－y 03，所以AB ⊥PF ， 因为3k 21＋2k 1y 0－3＝0，k AF ＝3k 132k 21－32＝6k 13－3k 21＝3y 0， 所以A ，B ，F 三点共线(如图)所以△PAB 为直角三角形，PF 为边AB 上的高.对于A ，由等面积法得S △PAB ＝12|PA ||PB |＝12|AB |·|PF |，即|PA ||PB ||AB |＝|PF |， 由于P 为动点，故|PF |不为定值，故A 错误；对于B ，由过焦点弦的性质|FA ||FB ||AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 22＋3232k 21＋32k 22＋3＝94k 21＋94k 22＋18432k 21＋32k 22＋3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21＋32k 22＋332k 21＋32k 22＋3＝32(定值)，B 正确； 对于C ，由切线PA 与切线PB 垂直， 故PA →·PB →＝0， 即PA →·PB →PF →2＝0(定值)，C 正确；对于D ，由题知△PBF ∽△APB ， 所以|PF |2＝|AF |·|BF |，所以FA →·FB →FP →2＝|FA →|·|FB →|cos α|FP →|2＝cos α＝cos 180°＝－1(定值)，故D 正确，故选BCD.16.(2022·沈阳模拟)双曲线T ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，圆x 2＋y 2＝c 2与T 及T 的渐近线分别在第一象限交于点M ，N .若M ，N 关于直线y ＝x 对称，则T 的离心率为________. 答案1＋52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 1，x 2，y 1，y 2>0，联立方程组⎩⎨⎧y ＝b a x ，x 2＋y 2＝c2可得x 2＝a 2， ∴x ＝±a ，即M 的横坐标为x 1＝a .联立方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1整理得b 2(c 2－y 2)－a 2y 2＝a 2b 2，即y 2＝b 4c 2，解得y ＝±b 2c，即点N 的纵坐标为y 2＝b 2c.因为点M 与点N 关于直线y ＝x 对称可得x 1＝y 2，即a ＝b 2c ，即b 2＝ac ，∴c 2－a 2＝ac ，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52， 又∵双曲线离心率e >1，∴e ＝1＋52.17.(2022·丽水质检)在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点(1，2).(1)求抛物线C 的方程；(2)已知抛物线C 关于x 轴对称，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线AB 于点P ，交C 的准线于点Q .若|AB |＝|PQ |，求直线AB 的方程. 解 (1)当焦点在x 轴时，设抛物线C ：y 2＝2px (p >0).将点(1，2)代入得p ＝2， 此时抛物线的方程为y 2＝4x . 当焦点在y 轴时，设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)， 将点(1，2)代入得p ＝14，此时抛物线的方程为x 2＝12y .综上，抛物线C 的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)当抛物线C 的焦点在x 轴时，其方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1，0)，准线方程为x ＝－1.∵当直线AB 的斜率不存在时，|AB |＝4，|PQ |＝2，不符合题意，∴直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∴Δ＝16k 2＋16>0，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2，线段AB 的中点P 为⎝⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，∴直线PQ 的方程为y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2k 2.令x ＝－1，得y ＝4k ＋2k3，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，4k ＋2k 3，∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －2k 32＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋1k2.由|PQ |＝|AB |得， 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋1k 2＝4＋4k2，解得k ＝±33， ∴直线AB 的方程为y ＝33x －33或y ＝－33x ＋33.。
高考数学复习：直线与圆锥曲线
(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
2.直线与双曲线位置关系的有关结论
(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个
公共点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.
(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是
一条切线和两条与渐近线平行的直线.
(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接利用两点间的距离公式求解弦
长.
3.圆锥曲线的中点弦问题
2
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆 2 +
2
2
0
2 =1(a>b>0)中,以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率 k=-2 ;在双曲
0
2 2
所以|PQ|=2 2
+ 1=2 2
2
2
2
b2= 2 >0,所以2
-1
2
1
2
2
1+
2-1
+ 1.
1
2
1+
=
2
,
2
-1
2
+ 1.
因为 a >1,所以
2
2
1+ 2 >1,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
2
1
<1,所以|PQ|=2 2
2
1+
2-1
所以 0<
所以|PQ|的取值范围为(2 2,4).
1
2
1+
2-1
所以 c=
2 - 2 =1,所以离心率
数学高职高考专题复习直线、圆锥曲线问题
数学高职高考专题复习直线、圆锥曲线问题数学高职高考专题复习：直线与圆锥曲线问题在数学高职高考中，直线与圆锥曲线问题是一个重要的考点，也是考生在复习过程中需要重点掌握的内容。
本文将从以下几个方面对这一问题进行专题复习：一、直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率是直线的重要属性，也是解决直线问题的基础。
在高职高考中，倾斜角与斜率的计算、斜截式方程以及直线的平行与垂直等都是需要考生熟练掌握的内容。
例题1：已知直线过点A(3,2)，且与直线y=x+1平行，求该直线的方程。
解析：根据直线的平行关系，可设所求直线的方程为y=x+c。
由于直线过点A(3,2)，将该点坐标代入方程得：2=3+c，解得c=-1。
因此，所求直线的方程为y=x-1。
二、圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线是平面解析几何中的一个重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线等。
在高职高考中，考生需要掌握圆锥曲线的定义、标准方程以及它们的几何性质。
例题2：已知椭圆的两焦点为F1(-2,0)、F2(2,0)，且椭圆经过点(0,2)，求该椭圆的标准方程。
解析：根据椭圆的定义，可知该椭圆的焦点在x轴上，且半焦距c=2。
再由椭圆的性质可知，a=√(b^2+c^2)=2√2，从而得出b=√(a^2-c^2)=√(8-4)=2。
因此，所求椭圆的标准方程为：x^2/8+y^2/4=1。
三、直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题往往是高职高考中的难题，这类问题需要考生综合运用直线和圆锥曲线的知识进行求解。
考生在复习时，应注重对这类问题的练习和掌握。
例题3：已知直线l过点(1,-2)，且与椭圆5x^2+4y^2=20相交于A、B两点，求弦AB的长度。
解析：设直线l的方程为y+2=k(x-1)。
然后，将该方程代入椭圆方程5x^2+4y^2=20中，得到一个关于x的二次方程。
再根据韦达定理，可以求出交点A、B的横坐标之和x1+x2和纵坐标之和y1+y2。
利用两点间的距离公式求出|AB|的值。
高考数学必考直线和圆锥曲线经典题型_含详解
1、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者AB ====320v =40(0)c a +=≠2cx a=。
，如果直 （2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线； （3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
(完整版)数学高职高考专题复习__直线、圆锥曲线问题
高考直线、圆锥曲线问题专题复习一、直线基础题1、已知直线L 与直线2x -5y -1=0平行，则L 的斜率为 ( ) A.52 B.52- C.25 D.25- 2、平行直线2x+3y-6=0和4x+6y-7=0之间的距离等于 ( ) A.1313 B.26135 C.13132 D.26133、已知点A （1，3）和B （-5，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A.3x +y+4=0 B.x -3y+8=0 C.x+3y -4=0 D.3x -y+8=04、 过点（-3，1）且与直线3x -y -3=0垂直的直线方程是 ( ) A.x +3y=0 B.3x +y=0 C.x -3y +6=0 D.3x -y -6=05、已知M （3，-1），N （-3，5），则线段MN 的垂直平分线方程为 ( )A.x -y -2=0B.x +y -2=0C.3x -2y +3=0D.x -y +2=06、如果点(4，a)到直线4x -3y -1=0的距离不大于3，那么a 的取值范围是区间 ( ) A.[2，12] B.[1，12] C. [0，10] D. [-1，9]7、实数a=0是直线ax -2y -1=0与2ax -2y -3=0平行的 ( ) A.充分而非必要的条件 B.充分且必要的条件C.必要而非充分的条件D.既非必要又非充分的条件 8、已知P ，M 和N 三点共线，且点M 分有向线段所成的比为2，那么点N 分有向线段所成的比为 ( ) A.31-B.-3C.31D.3 9、已知A （-2，1）,B （2，5），则线段AB 的垂直平分线的方程是_________.10、在x 轴上截距为3且垂直于直线x+2y=0的直线方程为___ _______________.二、圆锥曲线基础题11、已知抛物线方程为y 2=8x ，则它的焦点到准线的距离是 ( ) A.8 B.4 C.2 D.6 12、已知椭圆上一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为 A.5 B.10 C.5 D.52 ( )13、椭圆9x 2+16y 2=144的焦距为 ( ) A.10 B.5 C.72 D.1414、已知双曲线上有一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离差是2，则双曲线方程为 ( )A.1322=-y x B.1322-=-y x C.1322-=-y x D.1322=-y x 15、P 为椭圆25X 2+9Y 2=225上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，则| PF 1 |+| PF 2|的值为A.6B.5C.10D.3 (01年成人) ( )16、过双曲线193622=-y x 的左焦点F 1的直线与这双曲线交于A ，B 两点，且|AB|=3.F 2是右焦点，则|AF 2|+|BF 2|的值是 ( ) A.21 B.30 C.15 D.27 17、平面上到两定点F 1（-7，0），F 2（7，0）距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为 ( )A.11610022=-y x B.14910022=-y x C.1242522=+y x D.1242522=-y x 18、抛物线x y 82=的准线方程是 ( ) A.x =﹣4 B.x =﹣2 C.=y ﹣4 D.=y ﹣219、椭圆15922=+y x 的焦距等于 ( ) A.6 B.214 C.4 D.1420、长为2的线段MN 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动,则线段MN 的中点的轨迹方程是 ( )A.222=+y xB.422=+y x C.222=+y x D.122=+y x21、记双曲线15422=-y x 的右焦点为F,右准线为l .若双曲线上的点P 到l 的距离为35,则=PF ( )A.25 B.35 C.27D.10922、若抛物线px y 22=上到焦点距离为3的点之横坐标为2,则P= ( ) A.4 B.3 C.2D.123、设P 是双曲线191622=-y x 上一点，已知P 到双曲线的一个焦点的距离等于10，则P 到另一个焦点的距离是 ( )A.2B.18C.20D.2或18 24、中心在坐标原点,焦点在x 轴，且离心率为22、焦距为1的椭圆方程是 ( ) A.14222=+y xB.14222=+y x C.12422=+y xD.12422=+y x 25、方程0)()(22=-+-b y a x 的图形是 ( ) A.一个圆 B.两条直线 C.两条射线 D.一个点26、方程0)2)(1(2=+-y x 的图形是 ( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一条抛物线 D.直线或抛物线27、如果圆x 2+y 2= r 2 (r>0) 与圆x 2+y 2-24x -10y +165=0相交，那么r 的取值范围是区间 A.（5，9） B.（6，10） C.（10，12） D.（11，15）( ) 28、椭圆21222=+y x 的准线方程是 ( ) A.x=±1 B. y=±1 C. y=±2 D. x=±2 29、焦点在x 轴上，以直线x y 3=与x y 3-=为渐近线的双曲线的离心率为 ( )A.4B.2C.2D.0.530、焦距为2，离心率为33的椭圆，它的两条准线的距离为 ( ) A.6 B.8 C.34 D.3331、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是区间( ) A.（0，+∞） B.（0，2） C.（1，+∞） D.（0，1）32、如果方程192222=-+-a y a x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么实数a 的取值范围是区间 ( )A.（-3，2）B.（-3，3）C.（-3，+∞）D.（-∞，2）33、已知椭圆2222b x a y +=1(a ＞b ＞0)的离心率为53，两焦点的距离为3，则a+b=_______.三、直线、圆锥曲线综合题35、过圆x 2+y 2=25上一点P （3，4）并与该圆相切的直线方程是 ( ) A.3x －4y=0 B.3x+4y=0 C. 3x －4y －25=0 D.3x +4y －25=0 36、圆x 2+y 2-10y=0的圆心到直线3x +4y -5=0的距离等于 ( )A.53 B.3 C.75D.15 37、如果直线4x -3y+5=0与圆x 2+y 2-4x -2y+m=0相离，那么m 的取值范围是区间( )A.（0，5）B.（1，5）C.（2，6）D.（-1，4）38、直线012=++y x 被圆9)1()2(22=-+-y x 所截得的线段长等于 . 39、（8分）设双曲线x 2－y 2=1上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离等于2，其中a>b,求a,b.40、（10分）已知椭圆1222=+y x ,过点P （1，0）作直线L,使得L 与该椭圆交于A 、B 两点，L 与y 轴交于Q 点，P 、Q 在线段AB 上,且︱AQ ︱=︱BP ︱，求L 的方程.41、(8分) 已知圆的方程为x 2+y 2-6x -4y+12=0，求圆的过点P(2,0)的切线方程.42、(10分) 已知抛物线以原点为顶点，x 轴为对称轴，开口向左，且焦点与顶点的距离为p.在此抛物线上取A 、B 、C 、D 四点，分别记M 和N 为AB 和CD 的中点，如果AB ⊥CD ，求点M 和点N 的纵坐标的乘积.43、(10分) 已知斜率为a ，在y 轴上的截距为2的直线与椭圆132222=+ay a x 有两个不同的交点，求实数a 的取值范围.44、(8分) 已知直线在x 轴上的截距为-1，在y 轴上的截距为1，又抛物线y=x 2+bx+c的顶点坐标为（2，-8），求直线和抛物线两个交点横坐标的平方和.45、(10分) 设F 1和F 2分别是椭圆1422=+y x 的左焦点和右焦点，A 是该椭圆与y 轴负半轴的交点.在椭圆上求点P 使得| PF 1 |，| PA |，| PF 2 |成等差数列.46、(11分) 已知椭圆12222=+by a x 和点P （a ，0）.设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形，使得P 为其一个顶点，求该正三角形的边长.47、(11分) 设椭圆)0(16222φλλ=+y x 的焦点在x 轴上，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两点，使得OP 所在直线的斜率为1，OP ⊥OQ ，若△POQ 的面积恰为λ423，求该椭圆的焦距.48、(12分) 已知正方形ABCD 对角的两个顶点A,C 都在抛物线x y 42=上,另外两个顶点B,D 在直线942=-y x 上,求正方形的中心N 的坐标和正方形的面积.49、( 12分) 已知直线b x y +=2与椭圆18222=+y x 相交于不同的两点..、B A 定点P的坐标为(1,2).求b 值,使PAB ∆的面积最大,并求这个最大值.50、给出定点P （2，2）和Q （-2，0），动点M 满足：直线PM 的斜率与QM 的斜率的比值等于2.求动点M 的轨迹方程. 51、经过点P （2，0）且与定圆0422=++x y x 相切的圆的圆心轨迹如何？52、已知椭圆的焦点是F 1（0，50-）和F 2（0，50），且直线y=3x -2被它截得的线段的中点之横坐标为21，求这个椭圆的方程.53、给定抛物线y 2=8x 和定点P （3，2）.在抛物线上求点M ，使M 到P 的距离与到抛物线焦点的距离之和最小，并求这个最小值.附：参考答案 1-8 ABAAD CBA 9.x+y -3=0 10.2x -y -6=0 11-32.BDCAC DDBCDACDAD ADBBA DA 33.29 35-37 DBB 38.4 39.43,45-==b a 40.2222,2222+-=-=x y x y 41.3x -4y -6=0或x=2 42.-4p 243.a ＞1或a＜-1 44.35 45.)31,324(,)31,324(),1,0(--- 46.222334b a ab + 47.4 48.N （25，-1），24549.当b=±22时，面积有最大值250．xy+2x -6y+4=0（x ≠±2） 51.双曲线1322=-y x 52.1752522=+y x 53.)2,21(M ，5。
高考数学考点专题：解析几何：直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题【考点梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0.消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.【教材改编】1. (选修2－1 P 81B 组T 2改编)如图A 、B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个顶点，F 2为右焦点，P 是C 上一点，PF 2⊥x 轴，且存在实数λ，使AB→＝λOP →.(1)求C 的离心率与λ的值；(2)若S △OAB ＝2，Q 是C 上一点，求△QAB 的面积的最大值．[解析] (1)依题意AB ∥OP ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A (－a,0)，B (0，b )，AB →＝(a ，b )，OP →＝(c ，b 2a )． 而AB→∥OP →，∴b 2＝bc ，∴b ＝c ， ∴e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c2＝12，∴e ＝22， 显然△AOB ∽△OF 2P ，∴|AB ||OP |＝λ＝|OA ||OF 2|＝ac ＝2，∴λ＝ 2.(2)由(1)可知S △AOB ＝12ab ＝22b 2＝2， ∴b ＝2，∴a ＝2，∴|AB |＝6， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，法一：若△QAB 面积最大，则Q 到AB 的距离最大，又k AB ＝22，∴设直线l ：y ＝22x ＋m ，当直线l 与椭圆相切时，切点即为所求的Q .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y 22＝1⇒x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，∴Δ＝2m 2－4(m 2－2)＝0，∴m 2＝4， ∴m ＝2(舍)或m ＝－2，即l ：y ＝22x －2，A 点到l 的距离d ＝2＋212＋1＝26＋233，∴(S △QAB )max ＝12|AB |·d ＝12×6×26＋233＝2＋ 2.法二：(三角换元)设椭圆上的点Q (2cos θ， 2sin θ)，∵l AB ：y ＝22x ＋2，∴Q 到l AB 的距离d ＝|2cos θ－2sin θ＋2|32，∴d ＝|2cos (θ＋π4)＋2|32≤26＋233，∴S △QAB ＝12|AB |d ≤12×6×26＋233＝2＋ 2.即(S △QAB )max ＝2＋ 2.2. (选修2－1 P 49A 组T 7改编)已知圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，A (1,0)，P 是圆C 上的动点，P A 的垂直平分线交直线CP 于点Q ，(1)求点Q 的轨迹方程；(2)当△QAC 为直角三角形时，求△P AC 的面积． [解析] (1)圆C 的圆心C (－1,0)，半径R ＝4，设动点Q (x ，y )， ∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上， ∴|QA |＝|QP |，又P 点在⊙C 上， ∴|CP |＝R ＝4，∴|QC |＋|QA |＝|CP |＝4，此时|AC |＝2<4.∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点，长轴长为4的椭圆． 这时c ＝1，a ＝2，b ＝3，点Q 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的上顶点B (0，3)， 则|AB |＝|BC |＝|AC |＝2，∴△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝60°. 又∠AQC ≤∠ABC ＝60°， ∴∠AQC 不可能为直角． 若∠QAC ＝90°，即AQ ⊥x 轴， 则|AQ |＝32，|CQ |＝52.作PH ⊥x 轴垂足为H (图略)， 则PH 为△P AC 中AC 边上的高． 由|CQ ||CP |＝|AQ ||PH |，得|PH |＝|AQ |·|CP ||CQ |＝32×452＝125，∴S △P AC ＝12|AC |·|PH |＝12×2×125＝125， 同理当∠QCA ＝90°时，S △P AC ＝125.故当△QAC 为直角三角形时，△P AC 的面积为125.3．(选修2－1 P 41例3改编)设M 是焦距为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，A ，B 是其左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上点N (x 0，y 0)处切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.若P 是直线x ＝2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C ，D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．[解析] (1)由题意，2c ＝2，c ＝1，A (－a,0)，B (a,0)， 设M (x ，y )，∵k 1k 2＝－12，∴y x ＋a ·y x －a＝－12，即y 2x 2－a2＝－12. ∵M (x ，y )在椭圆E 上，∴x 2a 2＋y 2b 2＝1.∴b 2(1－x 2a 2)x 2－a 2＝－12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2. 又a 2－b 2＝c 2＝1，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设切点坐标为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (2，t )， 则切线方程分别为x 1x 2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1.∵两切线均过点P ，∴2x 12＋ty 1＝1，2x 22＋ty 2＝1， 即x 1＋ty 1＝1，x 2＋ty 2＝1， ∴直线CD 的方程为x ＋ty ＝1.对于任意实数t ，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD 恒过定点(1,0)．。
高职高考复习精品习题：圆锥曲线
圆锥曲线一、选择题：1、椭圆13610022=+y x 的焦点坐标为（ ） A 、)0,8(),0,8(- B 、)8,0(),8,0(-C 、)0,4(),0,4(-D 、)4,0(),4,0(-2、抛物线y x 82-=的准线方程为（ ）A 、4-=yB 、4=yC 、2-=yD 、2=y3、已知抛物线的焦点为)0,3(F ，则抛物线的标准方程为（ ）A 、x y 122-=B 、y x 122=C 、y x 122=D 、x y 122=4、双曲线14922=-y x 的渐近线方程为（ ） A 、x y 23±= B 、x y 49±= C 、x y 32±= D 、x y 94±= 5、设椭圆116222=+y m x 经过点)22,4(-，则椭圆的焦距为（ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、166、以x 轴为对称轴，且经过点)2,41(-的抛物线的标准方程为（ ） A 、y x 3212= B 、x y 162-= C 、y x 1612= D 、 x y 82-= 7、若椭圆1522=+k y x 与双曲线1322=-y k x 有相同焦点，则实数k 的值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1± D 、不存在 8、若椭圆18222=+k y x 与双曲线1222=-y k x 有相同焦点，则实数k 的值为（ ） A 、3 B 、2或3- C 、2或3 D 、29、若一个椭圆长轴、短轴和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A.54 B.53 C. 52 D. 51 10、设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是C 上的点，212F F PF ⊥，︒=∠3021F PF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A 、63 B 、31 C 、21 D 、331、抛物线x y 42=的焦点坐标为2、椭圆192522=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为3、双曲线15922=-y x 的实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距为4、已知椭圆上的点到两个焦点)0,3(-，)0,3(的距离之和为10，则椭圆的标准方程为5、焦点为)6,0(±，2=b 的双曲线的标准方程为6、顶点在原点，准线方程为21-=x 的抛物线的标准方程为 7、已知在椭圆中，6=a ，31=e ，焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 8、设21,F F 为椭圆1364922=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，则21F PF ∆的周长为9、已知21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长为10、已知椭圆的长轴是短轴的3倍，则椭圆的离心率为11、已知抛物线x y 82=上的点M 到焦点的距离是5，则点M 的坐标为 或12、直线x y -=与抛物线x y 42=的交点坐标为 和13、已知抛物线的顶点是双曲线1162522=-y x 的中心，其焦点是双曲线的右顶点，则抛物线的标准方程为14、已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的方程为x y 2=，则双曲线C 的离心率为1、已知椭圆的中心在原点，长轴为短轴的2倍，并且经过点)4,0(，求椭圆的标准方程.2、已知方程15222=-+-my m x ，则实数m 取什么范围时，该方程 （1）表示焦点在x 轴的椭圆；（2）表示焦点在y 轴的椭圆；（3）表示焦点在x 轴的双曲线；（4）表示焦点在y 轴的双曲线.3、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 是x 轴上方椭圆上的一点，且211F F PF ⊥, 132PF =, 252PF =，求椭圆的方程和P 点的坐标.4、求与椭圆141622=+y x 有相同的焦点，且过点)6,5(-的椭圆的标准方程.。
直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)
直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）一.考点分析。
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得 到一个一元二次方程 ，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 A >0、A =0、△ < 0.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为（1）1 AB 1= Jl+k' * 1 — 梵2 1= Jl + Q • +黑2）2或|AB|= Jl + p • Ivi -73!=+ * 丁（珀 + 兀）'-幻吐・上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的（因为y i - y 2 =k （X i -X 2），运用韦达定理来进行计算 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既 熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围二是建立不等式，通过解不等式求范围 .二.考试探究圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主， 一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何 性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置 关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值 范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等 1. （2006年北京卷，文科，19）2 2椭圆C:务+^y2 =1（a Ab A0）的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆Ca b标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方 程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.A(X i ,y i ),B(X 2, y 2),则它的弦长，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已当直线斜率不存在是，则AB=yi-y2.PF 1丄FF 』PF 彳4 PF 巳扌4C 的方程；（I ）求椭圆（n ）若直线I 过圆X +y +4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且 A 、B 对称，求直线〖解析〗（I ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（n ）可以设出 A 、关于点M I 的方程.B 点的坐〖答案〗解法一：22) (I )因为点p 在椭圆C 上，所以2a = PF i + PF 2=6 , a=3. X y 已知曲线G ： — +丄=1(a Ab >0)所围成的封闭图形的面积为a b在 Rt△ PF1F2 中，F I F2 =JI PF 2 -PF , 2= 2 J 5,故椭圆的半焦距c= J 5，从而b2=a2 —c2=4.2所以椭圆C 的方程为x_92丄=1.4(n)设 A , B 的坐标分别为(x1,y1 )、(x2,y2).已知圆的方程为(x+2) 2+(y — 1)2=5,所以圆心M 的坐标为(一2 , 1). 从而可设直线l 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k — 27=0. 因为A , B 关于点M 对称.2所以 Xj^—18k +9k =224 + 9k 2 解得k98 所以直线l 的方程为y =-(x +2)+1, 9 (经检验，所求直线方程符合题意 ) 解法二： (I )同解法一.2 2=(n)已知圆的方程为(x+2 ) +(y — 1) 5,所以圆心 M 的坐标为(一2, 1). 设A , B 的坐标分别为(x1,y1 ) ,(x2,y2).由题意x1 H x2且即 8x-9y+25=0.由①一②得因为A 、 代入③得所以直线 2X 12X 2(X 1 -X 2)(X 1 +x 2) +(y 1 -y 2)(y 1 +y 2)_0B 关于点M 对称，所以x1+ x2= — 4, y1+ y2=2,y 1 -y 2 = X 1 -X 2 -，即直线I 的斜率为8 ,9 98y — 1 = - (x+2 ),即 8x — 9y+25=0. 9所求直线方程符合题意 .)l 的方程为 (经检验2. ( 2008年山东卷，文科, W 5,曲线C i 的内切圆半径为 迹.记C 2为以曲线C i 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3(I)求椭圆C 2的标准方程;(n)设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，I 是线段AB 的垂直平分线.M 是I 上异于椭圆中心的点.(1 )若MO =A OA ( O 为坐标原点)，当点A 在椭圆C 2上运动时,求点M 的轨迹方程;(2)若M 是I 与椭圆C 2的交点，求 △ AMB 的面积的最小值. 1解析〗(I)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然C 2为焦点在X 轴的椭圆;(n) (1)设出AB 的方程y=kx(kHO), A(X A, g , M (x , y)，联立直线与椭圆得到方程组后，由M0 = A 0A(A 工0)可得M 的轨迹方程，注意k = 0或不存在时所得方程仍1 1 2然成立；(2)由直线I 的方程：y=-—X 和椭圆方程联立后表示出 S ^AMB =2AB []OM I由不等式放缩即可求出最小值 .2ab=475,〖答案〗(I)由题意得《 a b2/5又a A b A 0，解得a 2 = 5 , b 2 = 4 .J a 2+b232 2因此所求椭圆的标准方程为0+£ = 1. 5 4AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为a, b 的方程组，曲线C i(n) ( 1)假设y =kx(k 工0), A(X A,Y A).r 2区+解方程组｛5 4l y = 田 2 20 2 20k2得X A = -- 2，y A = -------------- 2所以OA 2Y A20 丄20k220(1 +k2) = ------ +------ = ---------2 2 2设M(X, y)，由题意知MO = A OA仏丰0),当且仅当4 +5k 2=5 +4k 2时等号成立，即k = ±1时等号成立,40此时△ AMB 面积的最小值是 S A AMB =40.92后2=245.9所以MO2，即x 2+y2、2 20(1 +k 2)=扎 --------因为I 是AB 的垂直平分线, 所以直线 I 的方程为y1一匚X ，因此X 2 + y 2 =入2 r20 1 + V V y 丿 2~ 4+5L 笃 y、2 20(x 2 +y 2) =h -------- 2 ------- T~4y +5x2又 X 2 +y2H 0，所以 5x 2 +4y 2 =20 几2，故—+ 乂4 5又当k = 0或不存在时，上式仍然成立.2 2综上所述，M 的轨迹方程为 .七L = 'd (k 丰0、.45(2)当k 存在且k H0时，由(1 )得2X A20 = 2，4+5k 2y A 220k— 24 +"2 2z 丄=1, 由｛5 4解得 I 1 L 1x,220k 2X M _5 +4k 22y M20 5 +所以OA2 =xA 中2 y A 220(1+k 2)=2~ 4+5kAB 2=4 OA80(1+ k 2) 4 +5k 2，OM220(1 + k 2) = 2~ 5 + 4k解法一：由于S A AMBT AB 2臥2 280(1+k )汽 20(1 +k )400(1 +k 2)22 2400(1+= 22f 22昭「4 + 5k 2+5 +1600(1 +k 2)2 <40 f—2 2— I81(1 + k 2)2l 9 丿J沢亦沢4=275>坐. 当k不存在时，S A AMB2 9综上所述，△ AMB的面积的最小值为409解法二：因为1OA2+OM 220(1+k )4+5k2+ ——4+5k2+5+4k220(1+ k)= 20*)5 + 4k29"20OA1+ --OMOA|[|OM[，OA J OM I当且仅当4 +5k2 =5 +4k2时等号成立，即k = ±1时等号成立, 40 此时△ AMB面积的最小值是S AAMB =—.9当k =0，S SMB =丄咒2翕咒2 =275>402当k不存在时，S AAMB=丄咒=2亦294O>一•9 40综上所述，△ AMB的面积的最小值为上.93.(广东省实验中学 2008届高三第三次模拟考试，理科， 20)已知抛物线 x2= — y，直线L: (m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m € R且m^— 1)与抛物线交于 A，B两点•(1)当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界),并求该区域的面积•为直径的圆C上；并求(3)将抛物线x2= — y的图像按向量a = (4, 16)移动后得到函数y=f(x)的图像，若g(x) =6lnx+m,问是否存在实数 m,使得y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由•〖解析〗(1)所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应的面积，计算时可以整体代入；(2)证明抛物线的顶点在以线段 AB为直径的圆C上，即证明0AQB=0，圆C的圆心的轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得;(3)构造函数®(x) =g(x) - f(X)=x2 -8x +6In x + m，因为x^O，所以 y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数W(x)有两个正零点的问题，要对®(x)的单调性进行讨论，从而求出使得®(x)由两个正零点的m的取值范围x€( 0,(1)当m=0时，直线L 的方程为：y+3x+1=0,故所求区域2对应的不等式组为[y +x 乞0；[y + 3x + 1 > 0 y = -X e 2得x 2-3x-仁 0*) y + 3x+1 = 0贝x 2为方程(* 的两解，即 X t + X 2 = 3,X 1X 2 = — 1,X 2 - X t = = J 13/.所求区域面积亠X2设A (X 1,y 1), B(X 2,y 2),不妨x^X 1,则由*S =「(-x 2+3x +1 dx(X 33x 2Y x / 1 r -—+ ——+X l |x ： = (X 2 -X 1 1 --収13 2 丿1V 3、_13J13+ X2 ) -X 1X 2】+3(X 1 +X2)+1]2 丿(2)令k=y^,则直线L 的方程为y = kxm +1L2由* y X 得：X 2+ kx -1=0,方程有解，且x 1, x 2为其两解, y = kx -1 贝 y X 1 + X 2 = —k, X 1X 2 = -1,-1,设A(X i ,y i ),B(X 2,y 2)/. OA ”OB = X 1X 2 + 丫』2 = X1X 2 +(X 1X 2 ) = —1 + 1 = 0.以AB 为直径的圆 恒过抛物线顶点(0,0设以AB 为直径的圆的圆心坐标为(X, y),2 2milX 1 +X 2 k y 1 + y 2X 1 + X 2贝寸 X = ------ = 一 一2(X 1 + X2 ) - 2X 1X 22 2 2 2 2 得y =-2x 2-1,即所求的圆心轨迹方程 为y = -2x 2-1k 2—— 一1(3)依题意，f(x)=-x2+8x,令护(X)=g(x) -f(x) = x2-8x+6lnx + m.因为x> 0,要使函数f(X)与函数g (x)有且仅有2个不同的交点，则函数®(x) =x 2 -8x +61 nx +m 的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点 平'6 ■■申(X) =2x -8 + -= 2空二g =2(x -1)(x -3)(x 〉0) x€( 1, (X)c0,®(x)是减函数 x€( 3,®'(x) >0,®(x)是增函数当 x=1 或 x=3 时，cp'(X)=0•••甲(x)极大值为申⑴=m-7;申(X)极小值为W(3) =m +6In3-15又因为当X70时，W(X)T 二当X T P时，申(X)T 邑所以要使W(x) =0有且仅有两个不同的正根，必须且只须『⑴"或r⑶=0即或^十6"3-15=0[◎(3) <0 [护(1)>0 t m+61 n3-15c0 [m-7A0•- m=7 或m =15 -61 n3.•••当m=7或m =15-61 n3.时，函数f (x)与g (x)的图象有且只有两个不同交点4. ( 2008年广东卷，文科，20)2 2设b，椭圆方程为二+占=1，抛物线方程为X2 =8( y- b).如图所示，过点2b2 b2F(0, b +2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F i .(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2 )设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由标).〖解析〗(1)由已知可求出 G点的坐标，从而求出抛物线在点G的切线方程，进而求出F i点的坐标，由椭圆方程也可以求出F i点的坐标，从而求出b =1，得出椭圆方程和抛物线方程；(2)以NPAB为直角和以NPBA为直角的直角三角形显然各一个，NAPB为直角的直角三角形是否存在可以转化成PA 'PB = 0 对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的个数.P,使得△ ABP (不必具体求出这些点的坐以P点的1 答案〗(1)由x2=8(y-b)得y=1x2+b ,81当y =b +2 得x = ±4，二G 点的坐标为(4,b +2) , y'= —x ,4过点G的切线方程为y-(b+2) =x-4即y=x + b-2，F i点的坐标为(b,0)，令y=0得x=2-b，二F i点的坐标为(2-b,0)，由椭圆方程得2二2—b =b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为一+ y2=1和x2 =8(y-1)；2(2) •••过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 PA 以N PAB 为直角的RtAAB P 只有一个，同理二 以N PBA 为直角的RUABP 只有一个。
高中数学 考前归纳总结 直线圆锥曲线常见的几种题型
一、直线圆锥曲线问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；例1.已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0==•． （1）求椭圆m 的方程；（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||=.求实数t 的取值范围．解（1）椭圆m ：141222=+y x （2）由条件D （0，－2） ∵M （0，t ）1°当k=0时，显然－2<t<2 2°当k≠0时，设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22ktk kt H ++- 由kk PQ OH DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt k t+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是（1，4）综上t ∈（－2，4）2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；例2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0． （1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ， 使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．解：（1）2,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点，又0GQ NP ⋅=，GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且2,1a c ==，∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明：由题意，若存在这样的一组正实数， 当直线MN 的斜率存在时，设之为k ，故直线MN 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．注意到12121y y x x k -=--，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ，则00314x y k = ， ② 又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内，故022x -<<， 这与04x =矛盾，所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时， 直线MN 的方程为1x =，则此时1212,2y y x x =+=，代入①式得120x x -=，这与,A B 是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在．3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
高中数学-考前归纳总结-直线圆锥曲线常见的几种题型
直线圆锥曲线常见的几种题型一、直线圆锥曲线问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；例1.已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0==•． （1）求椭圆m 的方程；（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||=.求实数t 的取值范围．解（1）椭圆m ：141222=+y x （2）由条件D （0，－2） ∵M （0，t ）1°当k=0时，显然－2<t<2 2°当k≠0时，设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22ktk kt H ++- 由kk PQ OH DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k kkt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是（1，4）综上t ∈（－2，4）2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；例2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP上，点G 在MP 上，且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0． （1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ， 使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由． 解：（1）2,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点，又0GQ NP ⋅=，GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且2,1a c ==，∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明：由题意，若存在这样的一组正实数， 当直线MN 的斜率存在时，设之为k ，故直线MN 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．注意到12121y y x x k -=--，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ，则00314x y k = ， ② 又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内，故022x -<<， 这与04x =矛盾，所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时， 直线MN 的方程为1x =，则此时1212,2y y x x =+=，代入①式得120x x -=，这与,A B 是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在．3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
高考专题训练专题复习——直线与圆锥曲线人教版
专题复习——直线与圆锥曲线研究直线与圆锥曲线的位置关系。
反之亦然：这种思考方法就是解析几何的坐标法。
2. 分析直线与圆锥曲线的位置关系时：要注意对称性的应用和数形结合思想的应用：以及方程、函数的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想的运用。
3. 直线l ：y=kx+b 与圆锥曲线C ：F （x ：y ）=0相交所得弦长的计算方法（公式）： 设l 与曲线C 相交于两点A （x 1：y 1）：B （x 2：y 2）：则 2212212211)()(||y y x x AB b kx y b kx y -+-=+=+=，从而弦长， 2212221221))(1()()(x x k kx kx x x -+=-+-= ]4))[(1(212212x x x x k -++=如此以来：便与一元二次方程f(x)=0的根与系数的关系公式建立了联系：自然地：就需联立直线l 与曲线C 的方程：消元：化出关于x 的一元二次方程。
（注意：该方程的两个实根恰为A ：B 两点的横坐标x 1：x 2）【典型例题】例1. 顶点在原点：焦点在x 轴上的抛物线被直线l ：y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程。
15分析：依题意可知抛物线的开口或向左或向右：而标准方程中均有p>0：为了统一起见：不妨设出抛物线方程的统一形式：y 2=2mx(m ∈R ：且m ≠0)：再根据弦长为即可的方程，求，列出关于m m 15解：设所求抛物线方程为y 2=2mx(m ∈R 且m ≠0)：另设l 与该抛物线交于A （x 1：y 1）：B （x 2：y 2）： 01)24(421222=+-+⇒⎩⎨⎧=+=x m x mxy x y一方面：因l 与抛物线相交于两点：故Δ=(4－2m)2－16>0： 解得m<0或m>441222121=-=+x x m x x ，，另一方面，由韦达定理由弦长公式，得×||()[()]AB m ==+--21512224142 解得m=－2或m=6：显然均满足题意。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析版）3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB ，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P为直线l：y=y0y0<0上一个动点，过点P作曲线Γ的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标．5已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ，直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =1分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ =λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．2在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点，定点F 1-1,0 ，F 21,0 ，圆O :x 2+y 2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为曲线E ，若直线l 与曲线E 相切，过点F 2作直线l 的垂线，垂足为N ，证明：ON 为定值.4设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点.求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值．2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点，定点M (2,0)，线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ，记点T 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点，且l 与直线l 1:y =33x ，l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±34x ，焦距为10，A 1，A 2为其左右顶点．(1)求C 的方程；(2)设点P 是直线l ：x =2上的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ，A 2Q ⊥MN ，垂足为Q ，求证：存在定点R ，使得QR 是定值．5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P2,26在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切．(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-2，-1,32+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p>0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=23.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ:x 2=2py ，其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |．5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点，过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ，设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2，若1k 1+1k 2=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ，B ，试问：△MAB 的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ，证明：点M 总在某定直线上．5椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=-34，AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0；②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S 是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ，直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线，过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2，直线l 1交x 轴于点M ，直线l 2交y 轴于点N ，且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点，过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ，证明：点G 在定直线上.5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点)；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB =4，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ，如图所示，连接AC ,BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB ⊥CD 时，四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1 ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ，过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当l 1的斜率为12时，AB =210．(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．3已知抛物线C 1：x 2=2py (p >0)和圆C 2：x +1 2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．(1)求p 的值：(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．4已知拋物线x 2=4y ，P 为拋物线外一点，过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于M ，N 两点.(1)若P -1,-2 ，设△OAB 的面积为S 1，△PMN 的面积为S 2，求S 1S 2的值；(2)若P x 0,y 0 ，求证：△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，。
专题二：直线与圆锥曲线的综合问题
专题二 直线与圆锥曲线的综合问题第一课时一.知识体系小结()()()222222222222222222cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y xy a b a bx y y x x a b y a b a b a b y px p y px p ϕϕϕ=⎧+=>>⇔⎨=⎩+=>>-=>>-=>>=>=->圆锥曲线的标准方程椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时．双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，．抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p =>=->，开口向上时，开口向下时．()()()()2222222222222222222222222211111(0)123142x y x y a b a b x y x ya b a b x y x ya b a bmx ny λλλλλλ+=+=---=-=---=-=≠+=常用曲线方程设法技巧共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m =≠=≠点在轴上，； 焦点在轴上，．3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式；(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．1212|||| |.AB AB x x y y ==-==-(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 2220002220222000222020001()1()2(0)().b x x y P x y k a b a y b x x yP x y k a b a y py px p P x y k y +==--===>=圆锥曲线中点弦斜率公式在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．()()()()(1)(1234)05.()n k m n k mOA OB AB OA OB AB PM PN P MN AP AQ BP BQ A B PQ λ==+++=+=+解析几何与向量综合的有关结论给出直线的方向向量，或，，等价于已知直线的斜率或给出与相交，等价于已知过的中点．给出，等价于已知是的中点．给出，．等价于已知，与的中点三点共线．u u()()106//50AB AC AB AC OC OA OB A B C MA MB MA MB AMB MA MB m AMB MA MB m λλαβαβαβ=+==+⋅=⊥∠⋅=<∠⋅=>给出以下情形之一：①；②存在实数，使；③若存在实数，，且，使，等价于已知，，三点共线．给出，等价于已知，即是直角；给出，等价于已知是钝角或反向共线；给出()70()AMB MA MBMP MP AMB MA MBλ∠+=∠，等价于已知是锐角或同向共线．给出，等价于已知是的角平分线．二.例题剖析1.概念性质22121221259||12||______1____.x y F F F A B F A F B AB +=+==已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则【例】 解析:由椭圆的定义可知：|F 1A |+|F 2A |=2a =10，|F 1B |+|F 2B |=2a =10，所以|AB |=20-|F 2A |-|F 2B |=8.小结: 1．对椭圆、双曲线，已知曲线上的点与一个焦点的距离时，常作辅助线：连结它与另一个焦点，考虑使用定义解题．2．要熟悉焦点三角形的性质及研究方法()22121121123A 7B 5C 4D 3x y F F P PF y PF PF +=椭圆的焦点为，，在椭圆上，如果线段的中点在轴上，则是的．倍 【变式训练1】．倍．倍 ．倍2221122227b PF x PF PF a PF PF ⊥=====解析：由题意，轴，则可计算出，因此是的倍．答案为A2.椭圆方程()()()221122122211(0)1,01.12()..2y x C a b A C a bC P C y x h h R C P C M N AP MN h +==+∈已知椭圆：＞＞的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为求椭圆的方程；设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点、当线段的中点与的中点的横坐标相等时，】求【的最小值例()22212 . .114112b a x b b ay +=⎧=⎧⎪⎨⎨=⋅⎪==⎩⎩由题意解析：椭圆方程为，得，从而因此，所求的()211222212222222214221()()()|22.4(2)40.4(1)4()()40.16[2(2)4]0.2x t M x y N x y P t t h C P y t MN y tx t h C x tx t h t x t t h x t h MN C t h t h =+'==-++-+-=+--+--=∆=-++-+设，，，，，，则抛物线在点处的切线斜率为，直线的方程为：将上式代入椭圆的方程中，得即①因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以①式中的＞②设212332().22(1)x x t t h MN x x t +-==+线段的中点的横坐标是，则244342221.(1)10.2(1)401 3.320,401.1111.1t PA x x x x t h t h h h h h h h t h t h h +==+++=∆=+-≥≥≤-≤-+-≥==-==-设线段的中点的横坐标是，则由题意，得，即③由③式中的，得，或当时，＜＜，则不等式②不成立，所以当时，代入方程③得，将，代入不等式②的，检验成最小立以，值为．所()()()221222112210,0,02()0x y a b e F c a bF c Q x FQ a P x y QF T F Q PT TF T +=>>-==已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，是椭圆外且不在轴上的动点，满足，点，是线段与椭圆的交点，点是【变式训练2线段上的点，且满足，求点】的轨迹．()()()1122121112222222121211()(),022,2.24x y 24y 44.T x y Q x y F c PT TF FQ a T F Q x c x y y FQ a x c y x a a a c c ==+==++=-++==+不妨设，，，，如图所示，．且，得为的中点．因此有，则可得，因此有，化简因为又因为得解析：【例3】如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率．()()()22121212211222.1,2221 2.22(1)(1)111.()()4 1.2PA PB PA PB PA PB y px P p p y y PA k PB k k x k x x x PA PB k k A x y B x y y x x ==⨯=--=≠=≠--==-=-由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上，所以，解得故所求设直线的斜率为，直线的抛物线的方程是，其准线方程是斜率为，则，．因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以由，，，均解析：在抛物线22112244y x y x ==上，得， ① ， ②12121122122121221222241(2) 4.111()144AB y y y y k x x x x y y y y y y y AB y --=-+=-++=--===-≠-+---所以，所以，所以由①②得，直线的斜率为．2y x O A B OA OB AOB =⊥抛物线上异于坐标原点的两个相异的动点，满足，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，【变式训练3】请说明理由．()12112212121222222222211221122121212121212()()111.124(x y )(x y )(y )(y )[y y ]2241y y A x y B x y OA OB x x y y x x AOB S S OA OB S y y y y y y y y y y S y y ⊥=-=-====++=++=+++=++≥+=≥=解析：设，，，．因为，则有，所以，不妨设的面积为，则因此有，因此，当且仅当()()min 11,11,11.A B S =-=时取到最小值．即此时，，小结：抛物线焦点弦的性质：直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则有： (1)通径的长为2p ； (2)焦点弦公式：|AB |=x 1+x 2+p ；(3)x 1x 2=p 2/4，y 1y 2=-p 2. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．第二课时一．知识体系小结 ()()()()()()122212222211221212121(0)||[]||[]||||[].123456tan ()21F PFx y F F a b P B a bO OP b a PF a c a c PF PF b a F PF F BF S b F PF θθ+=>>∈∈-+⋅∈∠≤∠==∠椭圆中的最值，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，为短轴的一个端点，为坐标原点，则有：，． ，． ，．． 焦点弦以通．径为最短．()()()12221222211221(00)12||.||.()ta 23nF PF x y F F a b P a bb O OP a PFc a S F PF θθ∆-=>>≥≥-==∠．双曲线中的最值，为双曲线，的左、右焦点，为双曲线上的任一点，为坐标原点，则有：．()()()()()22(0)||.234||2.()12|2|31pP y px p F PF AB AB p A m n PA PF b aa b=>≥≥+抛物线中的最值点为抛物线上的任一点，为焦点，则有：焦点弦以通径为最值，即，为一定点，则有最小值．双曲线的渐近线求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得．用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线．．的方程．()()()3512直线与圆锥曲线的位置关系相离；相切；相交．特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个公共点．②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有．一个公共点．【注】：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0消元(x 或y )，若消去y 得a 1x 2＋b 1x＋c 1＝0.（1）若a 1＝0，此时圆锥曲线不是椭圆．当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． （2）若a 1≠0，Δ＝b －4a 1c 1，则 ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线，有 交点； ②Δ＝0时，直线与圆锥曲线 ，有 的公共点； ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线，没有．二．例题剖析1.定值问题()()22 1421()12x y M M A B M AB AMB +=已知椭圆方程为，点，，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于、两点异于．求证直线的斜率为定值；求面积的【例】最大值．解析：定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及到直线，圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系．解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整．()22 (0)((14111.2A B A B AB A BA B MA MA MB MA k k MA y k x x MB y k x y y y x x k x x AB >-=-=-+=-====-=证明：由题可知直线的斜率存在，且与的斜率互为相反数，不妨设直线的斜率为，则直线的方程为：，直线的方程为，代入可分别求得，即直线的斜率为定值.2()2222221(0)124222000 2.22 2.||2A B A BxAB y x m m yx mx m m x x m x x m AB=+≠+=++-=∆><<+=-=-==设直线的方程为，代入得，，由，得而，所以222422max1||20241 1.AMBM AB d S AB d m m mm S==⋅=-+<< =±=点到直线的距离为则，又，当时，2.定点问题()()()1517(0).44122322F P F xP P C C y MC A B AMBA B AMB AB yππ∠=∠=已知点，，上半平面内的点到点和轴的距离之和为求动点的轨迹方程；设动点的轨迹方程为，曲线交轴于点，在曲线上是否存在两点，，使？若，是曲线上满足的两点，求【例证：直线与轴】交于一定点．()()()217()0.44(04)0,421(041)P x y y yP x y yp y>==--<≤=<≤解析：设点坐标为，，其中，化简得动点的轨迹方程为．这是一个以为顶点，，开口向下的抛物线的一部分其中．()()()() 2444(04)1,31,32.2MA y x MB y x x y y A BAMBπ-=-=-=--<≤-∠=考虑到抛物线的对称性，不妨设直线：，直线：，分别与联立，可得两个点的坐标为，，此时()()()()()2222214 4.4,444111(4)314()030,3 AM y kx BM y xky kx x kA k kx y y kB AB k ABk k ky k k x k x y AB yk=+=-+=+=-⎧⎧--⎨⎨=-(-)=-⎩⎩----=-+==设直线的方程为，直线的方程为由方程组，解得，即点坐标为．同理可得点坐标为，，则直线的斜率为，所以直线的方程为.令，得，从而直线与轴交于定点．()()221169411822A(0)B(0)C C.4,0D(0)1055x yA FAF B B BC C AC-=设为双曲线右支上一动点，为该双曲线的右焦点，连接交双曲线于，过作直线垂直于双曲线的右准线，垂足为，则直线必过定点．，【变式训练1，】．．，:41(01.)0A AB x 解析此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即与轴垂直时，便可得出一个定点，故选，3.最值问题()()()2210,14111()()22212||3y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求【例：动点的轨迹方程；的最大值】与最小值．()()222112221221212221220,1 1.1()()(4)230142144.()()()8222444:1l M k l y kx y kx A x y B x y k x kx y x k x x x x y y k k OP OA OB k k y y k =+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪++-⎪+=+==⎨++⎪+=⎪+⎩直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以，，解析则． ()()222222222()40.0,040.111112.||()()1644221713().||6126611||.44P x y k x y y AB P x y y P x x NP x y x x NP x NP +-=+-=≤-≤≤=-+-=-++=-=设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以点的轨迹方程为由点的轨迹方程知，即所以故当时，当时，取得最小值为 ()()()()20,2(02)2,0||0()120|2|M N Q P m PQ MP NP m R P m MP NP --⋅=∈=+已知定点、，、，动点满足． 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形【变式训练2状；当时，】求的取值范围．()()22222222222()(2)(2)(2)||(2)()4[(2)]4(1)(1)4440.1222,01(1P x y MP x y NP x y PQ x y PQ x y MP NP x y m x y x y m x m y mx m m x y m x =-=+=--=-+-⋅=+--+=+--+--++===≠-设，，则，，，，，，，所以，整理得，当时，方程为，表示过点平行于轴的直线；当时，方程化为解析：2222)()1122(0)11m y m m m m m +=----，表示以，为圆心，以为半径的圆．()[]2222042(3,32)|2|94|2|4022|2|824,m x y MP NP x y MP NP x x y MP NP y MP NP =+=+=-+=+=+=≤+-≤当时，方程化为，，所以，所以而的取值范围是所以．第三课时一．知识体系小结()1求轨迹方程的常用方法：轨迹法：①建系设动点．②列几何等式．③坐标代入得方程．④化简方程．⑤除去不合题意的1．点作答．(2)待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数．(3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法，代入法的步骤：①设出两动点坐标(x ，y )，(x 0，y 0)．②结合已知找出x ，y 与x 0，y 0的关系，并用x ，y 表示x 0，y 0. ③将x 0，y 0代入它满足的曲线方程，得到x ，y 的关系式即为所求．(4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程． 3．有关弦的中点问题 (1)通法． (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：①将两交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程； ②作差消去常数项得到关于x 1+x 2，x 1-x 2，y 1+y 2，y 1-y 2的关系式． ③求出AB 的斜率 4．取值范围问题(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a +c ，最小值为a -c ； (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为c -a ； (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为p /2 .二．例题剖析1.参数范围问题()()()(01)0,1||()12||1G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，． 求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于【例】不同的两点、，且满足，试求的取值范围．()22222222()()()33(0)||3()(01)()1(0)33131(0)3x yC x y G ABC G GM AB R xGM AB M x C y x x M MA MC x x xx y y x λλ∆=∈=++=-++=+=≠≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点的轨迹方程为点在轴上，则，．由，得，整理．析得以解：所 ()()()22222222220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**2k l C P Q x AP AQ k l y kx m y k x kmx m l km k m k m ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即， 211221212221200000222263(1)()()13133()21313113||13-13AN km m P x y Q x y x x x x k k x x km mPQ N x y x y kx m k k mk AP AQ AN PQ k k k km k -+=-=+++==-=+=++++=⊥⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**11,00,121,1k m k k k +=<∈--得，代入得，所以．综合①②得，的取值范围是．222Rt 103ABC BC BC BC P Q l AP AQ PQ λ=++在中，斜边为，以的中点为圆心，作半径为的圆，分别交于、两点，设，试问是否是定值？如果是定值，请【变式训练1】求出这个值．()()222222222222336241002100366836104.O PQ O PAQ APDQ AP AQPQAD AD AO AP AQAP AQ PQ =+=+==+=+++=+=如图所示，建立直角坐标系．因为圆的半径为，因此，利用圆心，可构造得平行四边形，根据解析平行四边形的边长关系得，，而，因此，所以：2.存在性问题()()(01)220 3.132(0)(0)2||2x B x y k k Q l l M N BM BN l --+=≠=已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，，且其右焦点到直线的距离为求椭圆的方程；是否存在斜率为【例】，且过定点，的直线，使与椭圆交于不同的两个点、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．()()22222222222221122122121(0)1(,0)22323.23151(13)902349(133)()1x y a b b c a b c c a b c x l y kx y k x kx kM x y N x x y y x x MN P k +=>>=+===+==++=+++++=-==+设椭圆方程为，由已知得，设右焦点为，由题意得，解析：得，所以，得设直线的方程为，代入，得，设，，，，则，设的中椭圆方程点为为，22222293()||26263112526093122625663..312332BP k P BM BN B MN k k k k k k k k kk l l y x -=++++=-==∆>>-+>=±=±+则点的坐标为，，因为，所以点在线段的中垂线上，所以，化简得，又由得，，因为，所以故存在直线满足题意，的方程为()()()()()2201()212,00l y px p A B l x OAB O l P a a x x C ABC a =>>设直线与抛物线交于、两点，已知当直线经过抛物线焦点且与轴垂直时，的面积为为坐标【原点．求抛物线的方程；当直线经过点且与轴不垂直时，若在轴上存在点，使得为正三角形，变求的取式训练2】值范围．()()()22112200212022********1112.222()()(),0(0)22022OAB p pAB p O AB S p p p y x A x y B x y AB M x y C t l x my a y y x my a m y my a y m y x x m a ABC MC ==⨯⨯=====+⎧+=+≠--===⎨=⎩=+解析：由条件可得，又点到的距离为，，所以，因此抛物线的方程为设，，，，的中点为，，又设，直线：，由，所以，所以，所以，因为为正三角形，所以003211AB MC AB y MC AB x t m⊥=⊥=--，，由，得，()()222220012122222222222331.22314212113120006261(0)6t m a MC AB x t y x x y y m a t m m m a m m m m a a m m a a =++=(-)+=(-)+(-)(+-)+=(+)⋅(+)+=++=-≠><<所以又，得，化简得，因此可得，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为，．3.综合问题()()()2221211213 41.1(2011)2()C x y C x y M M C P C P C C A B M P AB l =+-=已知抛物线：，圆：的圆心为求点到抛物线的准线的距离；已知点是抛物线上一点异于原点，过点作圆的两条切线，交抛物线于，两点，若过，两点的直线 l 垂直于，求直线浙江卷【例】的方程．()()10,421414.41174M p y M ==-+=解析：因为，且，所以准线方程为，因此点到准线的距离为()()()()()()()2222112212122222222222244()()()41() 1.20,411142412AB PMPM AB m P m mA x xB x x k x x k m m mPM AB k k x x m mP C k P y m k x m k k m m km m k m m -=+==-⊥⨯=-+-=--=-=+=+-+--+设，，，，，，，，因为，则，所以设过点且与圆相切的直线的斜率为，则过的圆的切线方程为，由圆心到切线的距离为，得所以，()()2224140m k m --+-=，()()()()()()222212112222112222121212221222(4)01042()1444232()12(1)()115PM m m k k y m k x m x k x m m m m x k y m k x m x k x m m m x k x x k k m x x m mm k k m m m m m m m m m m k --+=-=----=-+=-=----=+=+=+-+-=--+--=---=-=-==所以，设切线，则，所以，设切线，则，所以，所以，代入，得，所以，所以，234 4.115y x m -==±+()()22122211222212121(0)(,0)(,0)||2.0||0.12x y a b F c F c a bQ FQ a P FQ T F Q PT TF TF T C T C M F MF S b F MF +=>>-=⋅=≠∆=∠已知椭圆的左、右焦点分别是、．是椭圆外的动点，满足点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，求点的轨迹的方程；试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的【变式训练3】面积？若存在，求的正切值；若不存在，说明理由．()222111222121()0||0||2||2||1||||21T x y PT TF TF PT TF FQ PF PQ a PF PF a PQ PF T QF OT OT F F Q OT QF a T ⋅=≠⊥=+=+==∆==设，，因为，，所以，又，而由椭圆定义，所以，则为线段的中点，连结，为的中位线，则，即点的解析：轨迹方程222.x y a +=为 ()2222000002022022100200()||.122|2|()()x y a b M M x y y c S c y bb y a a M S b cb b a M a MFc x y MF c x y c c ⎧+=⎪=⎨=⨯⨯=⎪⎩≤≥=<≥=---=--假设存在点满足题意，设，，则，得而，当时，存在点，使；当时，不存在点．当时，，，，，222222212001212212121212||||cos 1||||sin .tan 2.22.MF MF x c y a c b MF MF F MF b S MF MF F MF b F MF M F MF ⋅=-+=-=∠==∠=∠=∠，即，又所以即存在点满足题意，且的正切值为 第四课时 直线与圆锥曲线的位置关系训练题A 组（基本训练题）一选择题：（每题5分，合计40分）1．抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （C ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．102. 过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，这样的直线有（ B ） Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条3. 平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP 的最小值为 （ A ）Ａ．23Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 4. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在5双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）AB ．CD ．36直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ A ） Ａ．[)()+∞,55,1 Ｂ．（０，５） Ｃ．[)+∞,1 Ｄ．（１，５）7.过点（1，0）且与双曲线x 2－y 2=1只有一个公共点的直线有 （ C ）A ．1 条B ．2条C ．3 条D ．4条8．已知动点P （x ,y ）满足 5（x-1）2+(y-2)2=|3x+4y-11|，则P 点的轨迹是 （ A ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆二．填空题：（每题5分，合计30分）9. 一动点到y 轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______. （答案：y 2=8x 或y=0（x<0））10. 经过双曲线1322=-y x 的右焦点F 2作倾斜角为︒30的弦AB ，则AB F 1∆的周长为 .( 答案： 333+ )11. 过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．（答案：53）12. 直线y=x －3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积是 ．4813. 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条314. 设P 是抛物线y 2=2x 上的点，Q 是圆（x －5）2+y 2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2 三．解答题：（每题15分，合计30分） 15. 已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足23DQ DP =. （1）求动点Q 的轨迹方程；（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1()2OE OM ON =+ (O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由.解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x ∴00(,),(0,)DQ x x y DP y =-=，又 23DQ DP =∴ 000002332x x x x y y y y -==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即 ， ∵ P 在⊙O 上，故22009x y +=∴ 22194x y += ， ∴ 点Q 的轨迹方程为22194x y +=（2）假设椭圆22194x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足1()2OE OM ON =+，则(1,1)E 是线段MN 的中点，且有12121212122212x x x x y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩即，又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22194x y +=上∴ 22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得 ()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=， ∴ 121249MN y y k x x -==--， ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=. ∴ 椭圆上存在点M 、N 满足1()2OE OM ON =+，此时直线MN 的方程为 49130x y +-=16. 设1F 、2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点.（1）设椭圆C 上点3(3,)2到两点1F 、2F 距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ，试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，不必证明你的结论。
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高考直线、圆锥曲线问题专题复习
一、直线基础题
1、已知直线L 与直线2x -5y -1=0平行，则L 的斜率为 ( ) A.52 B.52- C.25 D.2
5- (97年成人) 2、平行直线2x+3y-6=0和4x+6y-7=0之间的距离等于 ( ) A.
1313 B.26135 C.13132 D.2613 (98年成人) 3、已知点A （1，3）和B （-5，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( )
A.3x +y+4=0
B.x -3y+8=0
C.x+3y -4=0
D.3x -y+8=0 (98年成人)
4、 过点（-3，1）且与直线3x -y -3=0垂直的直线方程是 ( )
A.x +3y=0
B.3x +y=0
C.x -3y +6=0
D.3x -y -6=0 (99年成人)
5、已知M （3，-1），N （-3，5），则线段MN 的垂直平分线方程为 ( )
A.x -y -2=0
B.x +y -2=0
C.3x -2y +3=0
D.x -y +2=0 (00年成人)
6、如果点(4，a)到直线4x -3y -1=0的距离不大于3，那么a 的取值范围是区间 ( )
A.[2，12]
B.[1，12]
C. [0，10]
D. [-1，9]
7、实数a=0是直线ax -2y -1=0与2ax -2y -3=0平行的 ( )
A.充分而非必要的条件
B.充分且必要的条件
C.必要而非充分的条件
D.既非必要又非充分的条件
8、已知P ，M 和N 三点共线，且点M 分有向线段PN 所成的比为2，那么点N 分有向线段MP 所成的比为 ( )
A.31-
B.-3
C.3
1 D.3 9、已知A （-2，1）,B （2，5），则线段AB 的垂直平分线的方程是_________. 10、在x 轴上截距为3且垂直于直线x+2y=0的直线方程为___ _______________.
二、圆锥曲线基础题 11、已知抛物线方程为y 2=8x ，则它的焦点到准线的距离是 ( )
A.8
B.4
C.2
D.6 (99年成人)
12、已知椭圆上一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为
A.5
B.10
C.5
D.52 (99年成人) ( )
13、椭圆9x 2+16y 2=144的焦距为 ( )
A.10
B.5
C.72
D.14 (00年成人)
14、已知双曲线上有一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离差是2，则双曲线方程为 ( )
A.1322
=-y x B.1322-=-y x C.1322
-=-y x D.1322=-y x (00年成人) 15、P 为椭圆25X 2+9Y 2=225上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，则| PF 1 |+| PF 2|的值为
A.6
B.5
C.10
D.3 (01年成人) ( )
16、过双曲线19
362
2=-y x 的左焦点F 1的直线与这双曲线交于A ，B 两点，且|AB|=3.F 2是右焦点，则|AF 2|+|BF 2|的值是 ( )
A.21
B.30
C.15
D.27 (01年成人) 17、平面上到两定点F 1（-7，0），F 2（7，0）距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为 ( ) A.11610022=-y x B.14910022=-y x C.1242522=+y x D.124
252
2=-y x (02年成人) 18、抛物线x y 82
=的准线方程是 ( )
A.x =﹣4
B.x =﹣2
C.=y ﹣4
D.=y ﹣2 (02年成人) 19、椭圆15
92
2=+y x 的焦距等于 ( ) A.6 B.214 C.4 D.14 (02年成人)
20、长为2的线段MN 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动,则线段MN 的中点的轨迹方程是 ( )
A.222=+y x
B.422=+y x
C.222=+y x
D.122=+y x (02年成人)
21、记双曲线15422=-y x 的右焦点为F,右准线为l .若双曲线上的点P 到l 的距离为3
5,则=PF ( ) A.25 B.35 C.2
7 D.109 (00年高职) 22、若抛物线px y 22=上到焦点距离为3的点之横坐标为2,则P= ( )
A.4
B.3
C.2
D.1 (01年高职)
23、设P 是双曲线19
162
2=-y x 上一点，已知P 到双曲线的一个焦点的距离等于10，则P 到另一个焦点的距离是 ( )
A.2
B.18
C.20
D.2或18 (01年高职)
24、中心在坐标原点,焦点在x 轴，且离心率为2
2、焦距为1的椭圆方程是 ( ) A.14222=+y x B.14
22
2=+y x C.12422=+y x D.12
42
2=+y x (01年高职) 25、方程0)()(22=-+-b y a x 的图形是 ( )
A.一个圆
B.两条直线
C.两条射线
D.一个点
26、方程0)2)(1(2=+-y x 的图形是 ( )
A.一条直线
B.两条直线
C.一条抛物线
D.直线或抛物线
27、如果圆x 2+y 2= r 2 (r>0) 与圆x 2+y 2-24x -10y +165=0相交，那么r 的取值范围是区间
A.（5，9）
B.（6，10）
C.（10，12）
D.（11，15）( )
28、椭圆2
1222=+y x 的准线方程是 ( ) A.x=±1 B. y=±1 C. y=±2 D. x=±2 29、焦点在x 轴上，以直线x y 3=与x y 3-=为渐近线的双曲线的离心率为 ( ) A.4 B.2 C.2 D.0.5
30、焦距为2，离心率为3
3的椭圆，它的两条准线的距离为 ( ) A.6 B.8 C.34 D.33
31、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是区间( )
A.（0，+∞）
B.（0，2）
C.（1，+∞）
D.（0，1）
32、如果方程1922
2
2=-+-a y a x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么实数a 的取值范围是区间 ( )
A.（-3，2）
B.（-3，3）
C.（-3，+∞）
D.（-∞，2）
33、已知椭圆2222b x a y +=1(a ＞b ＞0)的离心率为5
3，两焦点的距离为3，则a+b=_______. 34、椭圆4x 2+9y 2=36的准线方程为 .
三、直线、圆锥曲线综合题
35、过圆x 2+y 2=25上一点P （3，4）并与该圆相切的直线方程是 ( )
A.3x －4y=0
B.3x+4y=0
C. 3x －4y －25=0
D.3x +4y －25=0 (97年成人) 36、圆x 2+y 2-10y=0的圆心到直线3x +4y -5=0的距离等于 ( ) A.53 B.3 C.7
5 D.15 (99年成人) 37、如果直线4x -3y+5=0与圆x 2+y 2-4x -2y+m=0相离，那么m 的取值范围是区间( )
A.（0，5）
B.（1，5）
C.（2，6）
D.（-1，4）
38、直线012=++y x 被圆9)1()2(2
2=-+-y x 所截得的线段长等于 .
39、（8分）设双曲线x 2－y 2=1上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离等于2，其中a>b,求a,b. (97年成人)
40、（10分）已知椭圆12
22
=+y x ,过点P （1，0）作直线L,使得L 与该椭圆交于A 、B 两点，L 与y 轴交于Q 点，P 、Q 在线段AB 上,且︱AQ ︱=︱BP ︱，求L 的方程. (97年成人)
41、(8分) 已知圆的方程为x 2+y 2-6x -4y+12=0，求圆的过点P(2,0)的切线方程. (98年成人)
42、(10分) 已知抛物线以原点为顶点，x 轴为对称轴，开口向左，且焦点与顶点的距离为p.在此抛物线上取A 、B 、C 、D 四点，分别记M 和N 为AB 和CD 的中点，如果AB ⊥CD ，求点M 和点N 的纵坐标的乘积. (98年成人)
43、(10分) 已知斜率为a ，在y 轴上的截距为2的直线与椭圆1322
22=+a
y a x 有两个不。