【海文考研数学】：概率论基础知识归纳 第五章
考研数学概率论重要章节知识点总结
2018考研数学概率论重要章节知识点总结第一章、随机事件与概率本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。
其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。
第二章、随机变量及其分布本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。
第三章、多维随机变量的分布在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。
二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。
掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。
最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。
第四章、随机变量的数字特征本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。
另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。
第五章、大数定律和中心极限定理本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。
第六章、数理统计的基本概念重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。
第七章、参数估计本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。
对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。
区间估计和假设检验只有数一的同学要求，考题中较少涉及到。
考生要对每章的出题重点做到了如指掌，加以题目训练，相信会有好的成绩!。
概率论第五章习题解答
概率论第五章习题解答第一篇：概率论第五章习题解答第五章习题解答1.设随机变量X的方差为2，则根据车比雪夫不等式有估计P{X-E(X)≥2}≤ 1/2.P{X-E(X)≥2}≤D(X)22=122.随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则根据车比雪夫不等式有估计P{X+Y≥6}≤1/12.P{X+Y≥6}=P{(X+Y)-[E(X)+E(Y)]≥6}≤D(X)62=1123.电站供应一万户用电．设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理，（1）计算同时用电的户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200 w，电站至少应具有多大发电量才能以0.95的概率保证供电？解：⑴ 设X表示用电户数，则X~B(10000,0.9),n=10000,p=0.9,np=9000,npq=900由中心定理得X~N(9000,900)近似P{X>9030}=1-P{X≤9030}⎧X-90009030-9000⎫=1-P⎨≤⎬900900⎩⎭=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587⑵ 设发电量为Y，依题意P{200X≤Y}=0.95⎧X-9000Y-9000⎫⎪⎪200即 P⎨≤⎬=0.95900900⎪⎪⎩⎭-9000200Φ()=0.95900Y-9000200≈1.65900Y=1809900 4.某车间有150台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是0.02，设各台机器的工作是相互独立的，求机器出现故障的台数不少于2的概率．解：设X表示机器出故障的台数，则X:B(150,0.02)Ynp=3,npq=2.94 由中心定理得X~N(3,2.94)近似P{X≥2}=1-P{X<2}2-3⎫⎧X-3=1-P⎨<⎬2.942.94⎩⎭=1-P{X<-0.58 32}=Φ(0.5832)=0.7201 5.用一种对某种疾病的治愈率为80%的新药给100个患该病的病人同时服用，求治愈人数不少于90的概率．解：设X表示治愈人数，则X:B(100,0.8)其中n=100,p=0.8,np=80,npq=16P{X≥90}=1-P{X<90}⎧X-8090-80⎫=1-P⎨<⎬1616⎩⎭=1-Φ(2.5)=0.0062 6.设某集成电路出厂时一级品率为0.7，装配一台仪器需要100只一级品集成电路，问购置多少只才能以99.9%的概率保证装该仪器是够用(不能因一级品不够而影响工作)．解：设购置n台，其中一级品数为X，X:B(n,0.7)p=0.7,np=0.7n,npq=0.21nP{X≥100}=1-P{X<100}⎧X-0.7n100-0.7n⎫=1-P⎨<⎬0.21n0.21n⎩⎭10 0-0.7n=1-Φ()0.21n=0.999故Φ(-100-0.7n0.21n)=0.999有-100-0.7n0.21n=3.1⇒n=121(舍)或n=1707.分别用切比雪夫不等式与隶莫弗—拉普拉斯中心极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次才能保证出现正面的频率在0.4～0.6之间的概率不小于90%．解：设掷n次，其中正面出现的次数为X，X:B(n,p),p=⑴由切贝雪夫不等式，要使得P⎨0.4<12⎧⎩X⎫<0.6⎬≥0.9成立n⎭D(X)X⎧X⎫⎧XX⎫25⎧⎫n由于P⎨0.4< <0.6⎬=P⎨-p<0.1⎬=P⎨-E()<0.1⎬≥1-=1-2nnnn0.1n⎩⎭⎩⎭⎩⎭只要1-25X⎧⎫<0.6⎬≥0.9成立≥0.9，就有P⎨0.4<nn⎩⎭从而⇒n≥250⑵中心极限定理，要使得P⎨0.4<⎧⎩X⎫<0.6⎬≥0.9成立n⎭由于X:N(0.5n,0.25n)近似X⎧0.4n-0.5nX-0.5n0.6n-0.5n⎫⎧⎫P⎨0.4<<0.6⎬=P{0.4n<X<0.6n} =P⎨<<⎬n0.25n0.25n0.25n⎩⎭⎩⎭X-0.5n⎧-0.1n=P⎨<<0.25n⎩0.25n所以Φ(0.1n⎫0.1n-0.1n0.1n=Φ()-Φ()=2Φ()-1>0.9⎬0.25n⎭0.25n0.25n0.25 n0.1n0.25n)>0.95查表0.1n0.25n>1.65⇒n≥688.某螺丝钉厂的废品率为0.01，今取500个装成一盒．问废品不超过5个的概率是多少？解：设X表示废品数，则X:B(500,0.01) p=0.01,np=5,npq=4.955-5⎫⎧X-5P{X≤5}=P⎨≤⎬=Φ(0)=0.54.95⎭⎩4.95第二篇：概率论第一章习题解答1.写出下列随机试验的样本空间：1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：1）设小班共有n 个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为x1,x２，Λxn，则全班平均分为x=∑xi=1nin，于是样本空间为12100niS={0，,Λ,}={|i=0,1,2,3,Λ100n}nnnn32）所有的组合数共有C5=10种，S={123,124,125,134,135,145,234,235,245,345} 3）至少射击一次，S={1,2,3,Λ}4）单位圆中的坐标(x,y)满足x2+y2<1，S={(x,y)|x2+y2<1}2.已知A⊂B，P(A)=0.3，P(B)=0.5，求P(A)，P(AB)，P(AB)和P(AB).解 P(A)=1-P(A)=1-0.3=0.7 P(AB)=P(A)=0.3（因为A⊂B）P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(A)=0.2P(AB)=P(B)=0.5（因为A⊂B，则B⊂A）3.设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：1）只有一件次品； 2）最多1件次品； 3）至少1件次品.12C4C 解 1）设A表示只有一件次品，P(A)=36.C102)设B为最多1件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件次312C6C4C品，P(B)=3+36.C10C103）设C表示至少1件次品，它的对立事件为没有一件次品，3C6P(C)=1-P(C)=1-3C104.盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码.（1）求最小号码为5的概率.（2）求最大号码为5的概率.解1）若最小号码为5，则其余的2个球必从6，7，8，9，10号这5个球中取得。
概率论 第五章汇总
1
t2
e 2 dt ( x).
n np(1 p) 2
证 由§4.2例知, n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分
布的随机变量X1,...,Xn之和，即 近n 似X1 X2 Xn
np n
N (0,1) E(X i ) p, D(Xi ) p(1 p),
i 1,2,, n
➢ 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.
§5.2 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所 形成的,而其中每一个别因素在总的影响中 起到的作用都是微小的.这种随机变量往往 近似的服从正态分布.这种现象就是中心极 限定理的客观背景.
本节只介绍三个常用的中心极限定理.
lim
~ ~ n
Fn
(
X
xY) nnlim
P
nn
N i i11
XXi
i近n似 nx近
nnn
似 0x,N121(0e,1)t22
dt
( x). (证明略)
定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是
一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g ，求一盒螺丝钉 的重量超过10.2kg的概率.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:
概率论与数理统计 第五章
∑ X − ∑µ
k =1 k =1
k
Bn
≤ x} = ∫
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1 2π
−∞
e
t2 − 2
dt＝Φ(x).
说明: 说明
在定理条件下, r.v. Zn =
∑ X − ∑µ
k =1 k k =1
n
n
k
Bn
当 n很 大
时, 近似地服从正态分布N(0, 1),由此当n很大时,
∑X
k =1 n
n
t2 2
（本定理 可以由独立同分布 的中心极限定理证 明）
说明: 说明 本定理不难看出 :若ηn
~ b(n,p), 有
t2 2
b ηn − np 1 lim P a < e dt = Φ(b) − Φ(a), ≤ b = ∫ a n →∞ npq 2π 因 而 当 n较 大 时 , 我 们 可 以 用 正 态 分 布 近 似 计 算 二 项 分布 的 概率 。
2. 切比雪夫大数定律: 设X1 , X 2 , L Xn , L 是由两两互 不相关的随机变量所构成的序列, 每一个随机变量都 有有限的方差, 并且它们有公共的上界 , D(X1 ) ≤ C, D(X 2 ) ≤ C, L , D(Xn ) ≤ C, L 则对∀ε > 0, 都有 1 n 1 n lim P ∑ Xk − ∑ E(Xk ) < ε = 1. n →∞ n k =1 n k =1
k
2 , k = 0,1, L ,90000. 3 ≤ 30500}
90000-k
显然直接计算十分麻烦, 我们利用德莫佛-拉普拉斯定理 来求它的近 似 值 即有P{29500 < X ≤ 30500} 29500-np = P < np(1-p ) 30500-np ≤ np(1-p ) np(1-p ) X-np
概率论第五章
n
i =1
常用的统计量
样本均值、样本方差和样本矩。 样本均值、样本方差和样本矩。
⋯ 定义 5.2 设 X 1，X 2， ，X n 是来自总体 X 长度为 n
的一个样本，则称 的一个样本， 1 n Sample mean X = ∑ Xi （5-3） n i =1 1 n 2 S = ( X i − X )2 （5-4） ∑ n − 1 i =1 Sample variance n 1 k m k = ∑ X i ( k = 1， ⋯) 2， （ 5-5） n i =1 1 n ′ m k = ∑ ( X i − X ) k ( k = 1， ⋯) 2， （ 5-6） n i =1 分别为样本均值、 样本方差、 分别为样本均值、 样本方差、样本 k 阶原点矩和样本 k 阶中心矩。 阶中心矩。 Central moments Origin moments
1 n ES 2 = E[ ( X i − X )2 ] ∑ n − 1 i =1 1 n 2 2 = E[ ∑ ( X i − 2 X X i + X )] n − 1 i =1 n 1 2 2 = E(∑ X i − n X ) n − 1 i =1 1 n [ ∑ ( DX i + ( EX i ) 2 ) − n ( D X + ( E X ) 2 )] = n − 1 i =1 2 n 1 σ 2 2 = [ ∑ (σ + µ ) − n ( + µ 2 )] = σ 2 n − 1 i =1 n
频率直方图 frequency histogram
是连续型随机变量时， 当总体 X 是连续型随机变量时 ， 可用直方图来 处理数据（ 样本值）。 ）。设 处理数据（ 样本值 ）。设 x1 , x 2 ,⋯ , x n 是总体 X 的一 组样本值。 处理步骤如下： 组样本值 。 处理步骤如下 ：
概率论与数理统计(第五章第1节)
பைடு நூலகம்
定义2. 设有随机变量序列 {Xn}, n = 1, 2, · · ; X是随机变量。Fn(x) 和 FX (x) 分 ·· ·· 别是 Xn 和 X 的分布函数, 如果在 FX (x) 的 连续点处, 都有
则称 {Xn} 依分布收敛于X, 也说 Xn 以 X 的 分布为极限分布。记为
6
依分布收敛是随机变量序列的又一种 收敛形式, 可以证明: 如果 反之则不一定。
第五章 大数定律与中心极限定理
极限理论是概率论与数理统计的基本 理论, 在理论研究和应用中都十分重要。 随机现象的统计规律性描述的实际上 是试验次数无限增大时呈现的极限状态。
大数定律和中心极限定理是关于随机 变量序列的极限定理最基本的两种类型。 下面先介绍关于随机变量序列收敛性的概 念。
1
第一节 随机变量序列的收敛性
4
例1. 设随机变量序列 X1, X2,·, · · Xn· · 服从如下的分布: ·· ··
P{ Xn = 0 }= 1 则对任意的 0, 有 P{ | Xn |≥ } = P{ Xn = 2n } = 0 P{ Xn = 2n }=
故 {Xn} 依概率收敛于 0。但无论对多大的 n, Xn都可能取远离 0 的值 2n。
两种收敛性 的关系
7
, 则必有
,
3
在定义 1中, 随机变量X也可以是一个 常数 a, 称为随机变量序列 {Xn} 依概率收 敛于常数 a。记为 随机变量序列依概率收敛和一般序列 的收敛有很大的不同。假定 {Xn} 依概率收 敛于常数 a , 是指当 n 足够大时, 有足够 大的概率保证 Xn 任意接近于 a , 但此时Xn 仍然有可能取与 a 相差很大的数值(参见下 面例1 ), 即依概率收敛不是绝对保证。
概率论第五章(讲义版)
一、大数定律 二、中心极限定理
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫 切比雪夫Chebyshev不等式 不等式 二、几个常见的大数定律
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切比雪夫Chebyshev不等式） 不等式） 命题 (切比雪夫 不等式 设随机变量X 的数学期望 E ( X ) = µ 和方差D X） σ 2 （ = 存在，则对任意
X = X1 + X 2 + ⋯ + X n
则这种量X 一般都服从或近似服从正态分布。 习惯于把和的分布收敛于正态分布这 在概率论中， 一类定理都叫做中心极限定理.
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定理1 独立同分布的中心极限定理） 定理1（独立同分布的中心极限定理） 设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 相互独立， 且服从同一分布， 具有相同的期望和方差
ε = 200
练习
随机掷四颗骰子， 随机掷四颗骰子，估计四颗骰子出现
的点数之和在10至18之间的概率。 的点数之和在10至18之间的概率。 10 之间的概率
思考题
1.随机变量很小怎样理解？靠近于一个常数怎么理解? 随机变量很小怎样理解？靠近于一个常数怎么理解 随机变量很小怎样理解
2.如果 X与a非常靠近，是否 对任意的ε > 0，都有｜X − a | <ε 永远成立？
由伯努利大数定律一般化得到辛钦定理：
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定理2 辛钦定律） 定理2（辛钦定律） 设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布， 且具有相同的数学期望 E ( X ) = µ , i = 1,2,⋯ i 则
概率论基础知识归纳 第五章
【海文考研数学】：概率论基础知识归纳 第五章 一 大数定律
§5.1.1 四种收敛性
则称{Xn}依概率收敛于随机变量X，记为
四种收敛性有以下关系：
§5.1.2几个常用大数定律
1．切比雪夫大数定律
GD
证 ：
再由车比雪夫不等式，使得：
即得
推论：
2． 贝努里大数定律
G
即
所谓中心极限定理是指一系列定理，研究的是随机变量序列{Xn}的前n项和，
§5.2.1.独立同分布随机序列的中心极限定理
定理3：设随机变量序列独立
证略。
例1：设有串联电阻网络（见图）
由上面给出近似公式，可得所求的概率
此例的结果说明一个很有意义的事实：
两者相比，后者概率值有很大提高，这说明电阻串联可以减少电阻值的随机性，使网络变得更加稳健。
§5.2.2．隶莫佛--拉普拉斯中心极限定理
例2：人寿保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计企业的利润需要计算各种各样事件的概率，以下便是一例：在一年内某种保险者里，每个人死亡的概率为0.005，现在有10000人参加此种人寿保险，试求在未来一年内这些保险者中死亡人数不超过70人的概率。
解：
按题意要计算的概率为：
又设K为该单位总机安装的外线数，按题意即要求的便是使得P{0≤η≤k} 90%的最小的K值。
概率论与数理统计第五章知识点
概率论与数理统计第五章知识点第五章的概率论与数理统计的知识点主要涉及到概率函数、统计推断、分布函数和多元正态分布等内容，这其中包括了多项式概率分布、超几何分布、二项分布、线性回归、假设检验、多重切线回归、卡方检验、小抽样检验、检验均值和协方差等内容。
首先，多项式概率分布是一种特殊的概率分布，它建立了在有限次试验中某个事件出现次数的概率，它由定义性的概率空间和一组完备的事件集合组成，并可以使用不同的统计技术来计算它们。
其次，超几何分布是一种分布，用于计算取样观测中某种特征发生次数的概率，它与多项式分布有着很大的不同，它建立了一个独立的取样模型，它是一种独立取样模型，它利用概率论中的概率空间来分析一个独立取样实验中观测到一个特征发生次数的概率。
再次，二项分布也是一种概率分布，它用来计算一系列试验中出现某种特征的次数的概率。
它是一种特殊的多项式分布，可以使用概率论的工具来应用二项式分布，以确定两个不同事件之间的概率。
此外，线性回归也是第五章概率论与数理统计中一个重要的概念，它是一种统计方法，用来预测一个变量的变化可能会导致另一个变量的变化。
线性回归的基本原理是拟合两个变量的关系，使回归线能够最佳地拟合所有数据，以找到其中的趋势。
另外，假设检验是一种重要的统计技术，在假设检验中，需要使用概率空间，以便计算假设检验中备择假设的概率，并判断假设是否成立。
另外，多重切线回归也是一种重要的统计方法，它是以多元关系作为因变量和因变量之间的关系来拟合数据，以确定多元回归线的最佳拟合方式，让其效果最好。
此外，卡方检验、小抽样检验和检验均值和协方差等也是第五章概率论与数理统计的重要内容。
其中，卡方检验是一种特殊的假设检验，用来判断一组数据的差异是否大于预期，以确定数据的分布情况。
而小抽样检验是一种统计方法，用于给出总体参数的精确估计，以帮助确定相关的总体统计量，用来估计总体参数。
最后，检验均值和协方差也是一种重要的统计方法，它可以帮助分析两个变量之间的关系，以确定两个变量之间的相关程度。
概率论与数理统计(第五章第3节)
由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有 P{ 10＜X≤n }
整理ppt
16
于是
故 解出此不等式得 n≥146.8 或 n≤－68.3 所以至少取 n = 147 能够保证要求。
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17
例4. 甲、乙两家电影院竞争 1000 名 观众, 假定每个观众独立地随机选择一个 电影院, 问: 每个电影院至少应该设多少 个座位, 才能保证观众因座位不够而离去 的概率小于 0.01 ?
E(Xi) = 4, D(Xi) = 2.25;
所求概率为
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8
由独立同分布中心极限定理, 有
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9
例2. (参见《复习指南》P.86) 路边有 一个售报亭, 每个过路人在报亭买报的概 率是 1/3, 求: 正好售出 100 份报纸时的过 路人数在 280 到 300 之间的概率。
解. 设 X 是正好售出 100 份报纸时的 过路人数, Xi 是售出第 i 1 份报纸后到售 出第 i 份报纸时的过路人数, 则
第三节 中心极限定理
中心极限定理是一系列描述相互独立 的随机变量之和的极限分布 (依分布收敛) 是正态分布的定理。
设随机变量序列 X1, X2, ···,
Xn, ······相互独立, 且数学期望和方差都
存在。取其前 n 项求和 X1+ X2+ ···+ Xn ,
有
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1
将随机变量 作标准化变换:
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2
则有
E(Zn) = 0, D(Zn) = 1, n = 1, 记 Zn的分布函数为2, F··n·(·x·)·= P{ Zn≤x } 如果
称随机变量序列{ Xn }服从中心极限定理。
概率论5、6章整理
概率论第五章整理大数定律设 ,,,1n Y Y 是随机变量序列，a 是一个常数； 若对任意0>ε，有: 1}|{|lim =<-∞→εa Y P n n则称 ,,,1n Y Y 依概率收敛于a ，记为a Y Pn −−−→−。
定理1（切比晓夫定理的特殊情况）设随机变量 ,,,1n X X 相互独立，且具有相同的数学期望及方差，，，， ,2,12===k DX EX k k σμ 令，∑==nkk X n X 11，则：对任意的0>ε，有: 1}|1{|lim }|{|lim 1=<-=<-∑=∞>-∞>-εμεμnkk n n X nP X P 或}|1{|lim 1=≥-∑=∞>-εμnkk n X nP定理2（贝努里大数定律）设A n 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率， 则：对任意的0>ε，有1}|{|lim =<-∞>-εp n n P An 或 0}|{|lim =≥-∞>-εp n nP A n此定理说明了频率的稳定性。
定理3（辛钦大数定律）设,,,1n X X 相互独立同分布，且具有数学期望 ,,,2,1n k EX k ==，μ，则：对任意的0>ε，有1}|1{|lim 1=<-∑=∞>-εμni in XnP注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
定理4（独立同分布的中心极限定理）设,,,1n X X 是独立同分布的随机变量序列，且),2,1(,0，2 =≠==k DX EX k k σμ则}{n X 服从中心极限定理，即：⎰∑∞--=∞>-=≤-xt nk k n dte x n n X P 21221}{lim πσμ说明： 1.若 ,,,1n X X 是独立同分布的随机变量序列，且),2,1(,0，2 =≠==k DX EX k k σμ 则，当n 很大时，σμn n X nkk -∑=1)1近似服从标准正态分布.)1,0(N或=-nX σμnX n nkk σμ-∑=11σμn n X nkk -=∑=1~.)1,0(N或近似服从正态分布),(2σμn n N }{)21b X a P nkk ≤<∑=}{1σμσμσμn n b n n X n n a P nkk -≤-<-=∑=)()(σμσμn n a n n b -Φ--Φ≈ }{b X a P ≤<}{nb n X n a P σμσμσμ-≤-<-=)()(n a n b σμσμ-Φ--Φ≈∑=nkk X 1用独立同分布的中心极限定理（定理4）解决问题的步骤：1） 引进随机变量 ,,,1n X X ，说明它们是独立同分布的随机变量；);,2,1(,0，求)22 =≠==k DX EX k k σμ}{求)31b X a P nkk ≤<∑=}{1σμσμσμn n b n n X n n a P nkk -≤-<-=∑=)()(σμσμn n a n n b -Φ--Φ≈定理5 （李雅普诺夫定理），若存在正数,，设),2,1(,0，相互独立，且,,,设12221δσσμ∑===≠==nkk n k k k k n B k DX EX X X 0}|{|1时，使得当122→-∞→∑=++nkk k nX E B n δδμ则}{n X 服从中心极限定理，即：⎰∑∑∞--==∞>-=≤-xt n k kk nk kn dtex DXXP 211221})({lim πμ定理6（棣莫佛-拉普拉斯定理）设随机变量 yita （n=1,2，n ）服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布).,(~，即p n B n η则对于任意 ，恒有⎰∞--∞→=≤-xt n n dtex npqnpP 2221}{lim πη用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理（定理6）解决问题的步骤：1） 引进二项分布随机变量),(~p n b X ；;,求)2npqnp)()(}{}{计算)3npq np a npq np b npqnpb npq np npq np a P b a P n n -Φ--Φ≈-≤-<-=≤<ηη用频率估计概率时误差的估计：=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-εηp n P n 12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φpq n ε第一类问题是已知,,,εp n 求概率;⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-εηp n P n第二类问题是要使的概率的差异不大于定数与εηp nnβ不小于预先给定的数，问最少应做多少次试验？这时只需求满足下式的最小的n, βε≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ12pq n =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-εηp n P n 12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=pq n ε第三类问题是已知，求，及,εβp n 使先求βx (),12ββ=-Φx ,有βεx pqn≥.故n pq x βε≥概率论第六章整理1.统计量定义：设),(1n X X 为来自总体X 的一个样本，),(1n X X g 是n X X ,1的函数，若g 中不含任何未知参数是一个统计量。
概率论第五章习题答案
ˆ = min(x , x ,L, x ) 。 然函数 L 取得最大值，从而知 θ 1 2 n
16．设总体 X 的概率分布为
X
0
1
2θ (1 − θ )
2
3
P
θ2
θ2
1 − 2θ
其中 θ
1 (0 < θ < ) 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2， 2
3，求 θ 的矩估计值和极大似然估计值。
2 答案与提示：由于 X ~ N ( 3} = 0.1336
3．设 X 1 , X 2 , L , X n 为来自总体 X ~ P (λ ) 的一个样本， X 、 S 2 分别为样本均值 和样本方差。求 DX 及 ES 2 。 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。
8．设 X 1 , X 2 , L , X n 为来自正态总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， µ 已知，求 σ 2 的极大似然估计。 答案与提示：设 x1 , x 2 , L, x n 为样本 X 1 ，X 2 ，L ，X n 的一组观察值。则似然函数 为
( xi − µ ) 2 2σ
15．设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
⎧2e −2( x −θ )， x > θ ， f ( x;θ ) = ⎨ 0 ， x θ ≤ ⎩
其中 θ > 0 为未知参数。又设 x1，x 2， L，x n 是 X 的一组样本观察值，求 θ 的极大似然 估计值。 答案与提示: 构造似然函数 L(θ ) = ∏ 2e
第五章 习题参考答案与提示
第五章 数理统计初步习题参考答案与提示
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研数学备考：概率论各章节知识点梳理第一局部：随机事件和概率(1)样本空间与随机事件(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)(3)条件概率与概率的乘法公式(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)(5)全概公式与贝叶斯公式(6)伯努利概型其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。
第二局部：随机变量及其概率分布(1)随机变量的概念及分类(2)离散型随机变量概率分布及其性质(3)连续型随机变量概率密度及其性质(4)随机变量分布函数及其性质(5)常见分布(6)随机变量函数的分布其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且纯熟。
第三局部：二维随机变量及其概率分布(1)多维随机变量的概念及分类(2)二维离散型随机变量结合概率分布及其性质(3)二维连续型随机变量结合概率密度及其性质(4)二维随机变量结合分布函数及其性质(5)二维随机变量的边缘分布和条件分布(6)随机变量的独立性(7)两个随机变量的简单函数的分布其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视!第四局部：随机变量的数字特征(1)随机变量的数字期望的概念与性质(2)随机变量的方差的概念与性质(3)常见分布的数字期望与方差(4)随机变量矩、协方差和相关系数其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。
第五局部：大数定律和中心极限定理(1)切比雪夫不等式(2)大数定律(3)中心极限定理其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。
第六局部：数理统计的根本概念(1)总体与样本(2)样本函数与统计量(3)样本分布函数和样本矩其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵敏运用解决此类问题不在话下第七局部：参数估计(1)点估计(2)估计量的优良性(3)区间估计。
概率论与数理统计第五章-知识归纳整理
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求知若饥，虚心若愚。 第 46 页/共 48 页
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【海文考研数学】：概率论基础知识归纳第五章一大数定律
§5.1.1 四种收敛性
则称{Xn}依概率收敛于随机变量X，记为
四种收敛性有以下关系：
§5.1.2几个常用大数定律
1．切比雪夫大数定律
证：
再由车比雪夫不等式，使得：
即得
推论：
2．贝努里大数定律
GD
即
贝努里大数定律说明：当试验在不变条件下，重复进行多次时，随机事件的频率应在它的概率附近摆动。
特别，概率很小的事件其频率应很小，即在实际的一，二次试验中几乎是不可能发生的，人们常常认为那些概率很小的事件实际上是不可能发生的。
这个原理称之为小概率事件的实际不可能性原理，简称为小概率事件原理，在实践中有广泛的应用。
二中心极限定理
所谓中心极限定理是指一系列定理，研究的是随机变量序列{Xn}的前n项和，
§5.2.1.独立同分布随机序列的中心极限定理
定理3：设随机变量序列独立、同分布，且
证略。
例1：设有串联电阻网络（见图）
每个电阻的阻值为随机变量，它们独立，同分布都服从均匀分布U[90，110]（单位：欧姆）
解：
由上面给出近似公式，可得所求的概率
此例的结果说明一个很有意义的事实：
两者相比，后者概率值有很大提高，这说明电阻串联可以减少电阻值的随机性，使网络变得更加稳健。
§5.2.2．隶莫佛--拉普拉斯中心极限定理
GD
由独立同分布中心极限定理便可得：
例2：人寿保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计企业的利润需要计算各种各样事件的概率，以下便是一例：在一年内某种保险者里，每个人死亡的概率为0.005，现在有10000人参加此种人寿保险，试求在未来一年内这些保险者中死亡人数不超过70人的概率。
解：
按题意要计算的概率为：
例3某单位有200台电话机，每台电话机大约有5%的时间需使用外线，假定每台电话机是否使用外线彼此独立，试问：该单位总机至少需安装多少条外线才可以依90%以上的概率保证每台电话机在使用外线时而不能占用？
又设K为该单位总机安装的外线数，按题意即要求的便是使得P{0≤η≤k} 90%的最小的K值。