8-4第一型曲面积分
第一型曲面积分
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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思考: 思考 若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
0
)
dS ∫∫Σ z = (
Σ
h
y
dS a ∫∫Σ z = ( 4 π a ln h )
x
−h
Σ
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结束
例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 Σ1, Σ2, Σ3, Σ4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 则 原式 = ∫∫ +∫∫
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 Σ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
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λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
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曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
第一型曲面积分(北工大)课件
利用对称性简化计算
总结词
利用曲面的对称性质，简化第一型曲面积分的计算。
详细描述
如果曲面具有对称性，例如关于x轴、y轴或原点对称，我们可以利用这些对称性质来简化第一型曲面 积分的计算。通过选择适当的坐标系或改变积分的顺序，可以减少需要计算的定积分数量或简化计算 过程。这种方法要求对曲面的对称性有深入的理解和分析。
02
微分学主要研究函数的变化率，包括极限理论、导数、微分等
概念。
积分学则研究函数的累积量，包括不定积分、定积分等概念。
03
曲面积分在微积分中的地位
曲面积分是微积分中一个重要的概念 ，它涉及到二维平面和三维空间的曲 面。
曲面积分可以用来计算曲面上的面积 、体积和其他几何量，是解决实际问 题的重要工具。
物理意义
曲面积分在物理中有重要的应用，如计算流体流过曲面时的流量、计算磁场穿 过曲面的通量等。
物理应用
在物理中，曲面积分可以用来解决许多实际问题，如计算管道内的流体压力、 分析电磁波的传播等。
02
第一型曲面积分的计算方 法
投影法
总结词
将曲面投影到某一坐标平面，将第一型曲面积分化为二重积分，从而简化计算。
性质
曲面积分具有线性性质、可加性、对 称性等基本性质，这些性质在计算曲 面积分时非常重要。
曲面积分的几何意义
几何意义
曲面积分可以理解为在曲面上沿着某 个方向的面积的累积，这个累积的过 程可以用定积分来计算。
几何应用
曲面积分在几何上有着广泛的应用， 如计算曲面面积、求曲面上的质心等 。
曲面积分的物理意义
第一型曲面积分(北工 大)课件
xx年xx月xx日
• 曲面积分的基本概念 • 第一型曲面积分的计算方法 • 第一型曲面积分的应用 • 第二型曲面积分与第一型曲面积
第一型曲面积分
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2
第一型曲面积分
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则
S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
山西大同大学数计学院
例1 计算
S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
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例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
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I v 1 u dudv vdv
2 0 D
第一曲面积分
程序设计 网络课件 教学设计 多媒 体课件 PPT文档
教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算 公式． 教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公 式． (1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用 显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公 式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲 面的第一型曲面积分计算公式．
例. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
解: 设 的方程为 zR 2 x2y2,(x ,y) D xy 利用对称性可知重心的坐标 xy0,而
z zd S d S
用球坐标
zRcos
dSR2sindd
R3R0202dd0202ssiinn cdod s
R3 2 R
R 2
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M(x,y,z)dS
S
第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质
类似，例如
dSS的 面.积
S
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二、第一型曲面积分的计算
定理22.1 设有光滑曲面 S:zz(x,y)(,x,y) D xy
z
S
f (x, y, z) 在 S 上连续, 则
f(x, y,z)dS
O
y
D xy
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
z
两片, 则计算较繁.
解: 取曲面面积元素
dS2Rdz
则
I
H2Rdz
0 R2z2
2arctaHn
R
H
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▪ 第一型曲面积分的概念 ▪ 第一型曲面积分的计算
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第一型曲面积分(北工大)课件
曲面积分的微分定理
总结词
曲面积分的微分定理是指在进行第一型曲面 积分时，如果被积函数是某个标量场的梯度 函数，那么积分结果等于该标量场在积分区 域上的增量。
详细描述
微分定理的具体形式是：如果被积函数是某 个标量场u的梯度函数 grad u，那么第一型 曲面积分的结果等于该标量场在积分区域上 的增量。这个定理可以用于计算某些物理量 （如力、势能等）在某个区域上的分布情况 。
总结词
圆柱面是三维空间中以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
详细描述
圆柱面的一型曲面积分可以通过将圆柱面分割成若干个小曲面片，然后计算每个小曲面片的面积，最 后求和得到。具体计算过程中，需要利用圆柱面坐标系进行坐标变换，将圆柱面上的点映射到直角坐 标系中，以便进行积分计算。
圆锥面
总结词
圆锥面是三维空间中以点为中心，以直 线为轴线，以实数r为半径的曲面。
05
曲面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分的应用举例
曲面的面积计算
总结词
利用第一型曲面积分计算曲面的面积
详细描述
在几何学中，曲面面积的计算是一个常见的 问题。通过第一型曲面积分，我们可以将曲 面分成若干个小曲面元，然后计算这些小曲 面元的面积，最后求和得到整个曲面的面积
。
流体流速的计算
要点一
总结词
利用第一型曲面积分计算流体在曲面上的流速
参数方程的转换
在某些情况下，曲面可能已经给出了直角坐标方程，但为了 计算方便，我们需要将其转换为参数方程。转换的方法是通 过消去直角坐标方程中的平方项，将其化为参数方程的形式 。
面积元素的确定
面积元素的定义
面积元素是微小的曲面面积，用于计算曲面积分。在第一型曲面积分中，面积 元素与曲面的法向量有关。
4 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
一 第一型曲面积分的概念
实例
是光滑的, 若曲面 Σ 是光滑的 , 它的面密度为连续
求它的质量. 函数ρ( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切 平面, 平面,且当点在曲面 上连续移动时, 上连续移动时,切平 面也连续转动. 面也连续转动.
1. 若 面Σ: 曲
则
Σ
z = z(x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
=
∫∫
D xy
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续 则曲面积分 上连续,
z
Σ
o x Dxy
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分.
2 2
解 积分曲面 Σ：z = 5 − y ,
投影域 ： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 解: 锥面 z = x + y 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的 投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 ) dS
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑1
= ∫∫
Dx y
(x + y )
第一型曲面积分.
并 作 和 f ( i , i , i ) S i , 如 果 当 各 小 块 曲 面
i 1
的 直 径 的 最 大 值 0时 , 这 和 式 的 极 限 存 在 , 则 称 此 极 限 为 函 数 f (x, y,z)在 曲 面 上 对 面 积
的曲面积分或第一类曲面积分.
© Copyright NJAUMATH 2009
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
2) 若曲面 : y y(x, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz;
Dxz
3) 若曲面： x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.
n
（3）求和 M (i ,i , i ) si .
i 1
n
（4）取极限
M
lim 0 i1
(i ,i , i ) si .
© Copyright NJAUMATH 2009
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
二 对面积的曲面积分的定义
1 定义 设曲面 是光滑的, 函数 f ( x, y, z) 在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点(i ,i , i ) 为Si 上任 意取定的点,作乘积 f (i ,i , i ) Si ,
dS 1 zx2 zy2dxdy 1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)ds
2 ( x y 5 y)dxdy 2 (5 x)dxdy
Dxy
(完整版)(整理)第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解： 曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。
第一类曲面积分
对面积的曲面积分）1. 定义i S ∆(上为设点i i i i S ∆ζηξ),,(,),,(i i i i S f ∆ζηξ,),,(1ii i ni i S f ∆ζηξ∑=,0时→λi S ∆函数f (x , y , z )在Σ上任意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,则的最大值①②③④二、对面积的曲面积分的定义第i 小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是光滑的,同时也表示有界.把Σ任意分成n 小块x yOz∙∙),(:y x z z =∑),,(i i i ζηξ),,(iiηξi S ∆xyD xy i )(σ∆2在),,(z y x f 或.d ),,(⎰⎰∑S z y x f 记为即如曲面是⎰⎰∑曲面元素被积函数则积分号写成iiini iS f ∆=∑=→),,(lim 1ζηξλ⎰⎰∑S z y x f d ),,(积分曲面i i i ni i S f ∆ζηξ⋅∑=),,(1称极限为函数上在曲面∑对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,Sz y x M d ),,(⎰⎰∑=ρ据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为34o xyz定理: 设有光滑曲面f (x, y, z ) 在∑上连续,存在, 且有⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰=yx D y x f ),,(对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知∑=nk 1lim→λyx D ),,(k k k ζηξy x k )(σ∆∑=x f ((f fxyzOyz -=5}|),{(=x y x D xy 2522=+y x 所截得的部分:++S z y x d )y -5x d ++)y x +yx x d d )5(π2125=y x d d 5二重积分的对称性设分片光滑的⎰⎰∑Sz y x f d ),,(x 的奇函数x 的偶函数.d ),,(21⎰⎰∑S z y x f .0),(:1≥=z y x x ∑其中⎩⎨⎧=,0则曲面Σ关于yOz 面对称,为当),,(z y x f 为当),,(z y x f 10解依对称性知=⎰⎰∑成立⎰⎰1∑422yx z +=||xyz .为偶函数、关于x y ⎰⎰∑,d ||S xyz 计算).10(22≤≤+=z y x z 为抛物面其中∑例面均对称；面、关于yOz xOz 抛物面有被积函数1∑为第一卦限部分曲面.xyzO11xyz d 214drr +42015125-uxyzO12zxyOzxyOzxyO⎰⎰1∑⎰⎰2∑0==对称性zxyOzxyOzx y y S zxd d 1d 22++=z x xd d 112-=面上注2+=x z xzO11-15zxyOΣ222zxyOΣ2222:ha y x -≤+于是222yx a z --=172222:az y x =++∑解积分曲面方程轮序对称S z y x d )222++S z y x x d )222⎰⎰++∑提示即三个变量轮换位置方程不变⎰⎰=∑x 22243aa π=轮换对称性,中的变量x 、y 、z 3S d 2azxyOΣy x y x y x d d )22222---222:ay x D xy ≤+20极坐标4aπy x d d y d 222:ay x D xy ≤+21被平面截出的顶部解:2222:h a y x D y x -≤+⎰=a --y x y x a 22d d是球面出的上下两部分,则坐标面所围成的四面体的表面ox11⎛原式=25xo,z y 2y x --22为上半球面夹于锥面间的部分xoy 面上的1∑yx Dx o1∑y x D计算结果如何?++S z y d )22⎰⎰∑++=z y x d )(34显然球心为,)1,1,1(半径为).z y ++解:,2:22≤+y x D y x S M d μ∑⎰⎰=r r 4122+4122r +y x )(4122++π13=y x D 2∑xzy2., 计算解:在四面体的四个面上yxz--=1yx dd3xyxD y x-≤≤≤≤10,10:1zyx11O=y xz dd zxzD x z-≤≤≤≤10,10:同上平面方程Sd投影域yxz--=1yx dd3xyxD y x-≤≤≤≤10,10:=y xz dd zxzD x z-≤≤≤≤10,10:同上平面方程Sd投影域12122ln)13(233-+=-321例3∑解(方法1)y R -2221∑+∑=∑y R -22oxyHzR ∑1∑2yz ORHD yzD z y y R x ∈-=∑),(,:221yzORHD注∑参数方程为：]),(),([]),(),([]),(),([222v u z y v u x z v u z y ∂∂+∂∂+∂∂(方法2)z z y z x z z z y ]),(),([]),(),([]),(),([222θθθ∂∂+∂∂+∂∂例,22y x z +=∑是锥面其中,d )1(⎰⎰∑+=S xyz I .)0(222的整个表面面所围空间立体及圆柱面xOy a ax y x >=+解321∑+∑+∑=∑关于zOx 面对称关于y奇函数∑3∑2∑1xyz O∑的面积.0=xyD y x y x z ∈+=∑),(,:)1(221∑3∑2∑1xyzO2a22axyOD xy2π2a=∑3∑2∑1xyzO2a，222)2(∑''+∑'=∑x ax -22，x ax-22，(方法1)+y x22消去y ⎨22∑2xO2a z x x ax y ∈-=∑'),(2:22，2axzOD xzax z 2=⎰⎰∑2d S 28a=(方法2)∑3∑2∑1xyzO2a⎰⎰∑2d S ⎰+y x 22Lπθθ20cos ≤≤⎧=-a a x θcos 12a +θ228a=2π2a =.π822a a ++三、五类积分的统一表述及其共性背景定积分:第一类曲面积分:⎰bax x f d )(二重积分:⎰⎰Dy x f σd ),(三重积分:vz y x f d ),,(⎰⎰⎰Ω第一类曲线积分:⎰Lsy x f d ),(⎰⎰∑S z y x f d ),,(直杆构件质量平面薄板质量空间物体质量曲线构件质量曲面构件质量有共同的物理意义→→→→→被积函数为常数1时的几何含义→→→→→zOx y。
第一型曲面积分
类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上 的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得
D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,
由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意
是 球 面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS
(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。 设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函 则 f ( x , y , z )dS 0 数 若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS
第一型曲面积分
z
解: 设 1, 2, 3, 4 分别表示 在平面 1
上的部分, 则
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
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这是 的面积 !
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（2） 如图所示, 有
zd S
1 (x2 y2 ) 1 x2 y2 dxdy
Dxy 2
z
令t 1 r2
1
4π 3ห้องสมุดไป่ตู้5
O
y
2
x
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备用题 1. 已知曲面壳
的面密度
求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的
质量 M .
解: 在 xOy 面上的投影为 Dx y : x2 y2 2 , 故
解: S dS
微元法
取dS z ds
L z ds L y ds
π
3
5 4cos2 t dcos t
0
z z y
L ds x
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内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算: 设 : z z(x, y), (x, y) Dxy , 则
f (x, y, z) d S 1 f (x, y, z) d S
• 线性性质.
k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)d S k1 f (x, y, z) dS k2 g(x, y, z) dS
第一型曲面积分北工大PPT课件
例 计算曲面积分
其中曲面S是zd螺旋,面
S
x r cos, y r sin, z (0 r a;0 2 )
的一部分．
例 计算下列第一型曲面积分.
(1) ( x y z)dS, 其中S是上半球面
S
x2 y2 z2 a2(z 0).
(2) ( x2 y2 )dS, 其中S为立体
f ( x, y, z) 在曲面S的积分和存在极限L，即
lim
(T )0
Qn
lim
(T )0
f (k ,k , k ) k
L,
则称L是函数
在曲f 面( xS的, y第,一z)型曲面
积分，记为
L f ( x, y, z) d ,
S
d 其中 是曲面S的面积微元。
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3. 第一型曲面积分的性质
Dxy {( x, y) | x2 y2 25}
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d 1 zx2 zy2dxdy
1 0 (1)2dxdy 2dxdy,
故 ( x y z)d 2( x y 5 y)dxdy
S
Dxy
2 (5 x)dxdy 5 2 dxdy xdxdy
Dxy
1 4 2 d
0
0
2 2 sin2 d
15
1 4 2d
0
0
u
1 5
41
u u 1 2du 4
125 5 1 420
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S
Dxz
(3). 若曲面 S：x x( y, z)
yoz 设 S 在
面的投影区域为 ,
Dyz 则
f ( x, y, z)d f [ x( y, z), y, z] 1 x'2y x'2z dydz
8-4第一型曲面积分
被积函数 f ( x , y , z ) x y z ,
2 2 2
关于坐标面、原点均对称 ,
积分曲面 也具有对称性 ,
故原积分 8 ,
1
(其中1表示第一卦限部分曲面)
1： x y z a , 即 z a x y
dS 1 z x z y dxdy 3dxdy
z
注意：
重复计算！ 投影域重叠时，
0 y
解 2：用参数方程：
x cos y sin z z
(0 2 ,1 z 2)
易得：dS EG F 2 d dz d dz
x y z dS
2 2 2
2
0
10 d (1 z )dz 2 1 3
2 2
dS z : x 2 y 2 z 2 a 2 , z h 部分，0 h a
例4
求
解
z a2 x2 y2 x zx a2 x2 y2
2 x 2 y
Dxy : x 2 y 2 a 2 h2 y zy a2 x2 y2
一、概念与性质
例1 设曲面 : z z ( x , y )的面密度为 ( x , y , z )(连续)
求其质量 z z( x , y )
M lim ( i ,i , i ) S i
0 i 1
n
z
0 y
x
定义
设f ( x , y, z ) 在光滑曲面 上有界
y
x
解2：用参数方程
x a sin cos y a sin sin z a cos
第一型曲面积分
第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念
定义1：设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S作分割T，它把S分成n个小区面块Si (i=1,2,...,n).以ΔSi记小曲面块Si的面积，分割T的细度||T||=max(Si) (i=1,2,...,n),在Si上任取一点（）（ξi,ζi,ηi）(i=1,2,...,n),若极限lim||T||→b0∑inf(ξi,ηi,ζi)ΔSi存在，且与分割T及(ξi,ηi,ζi) (i=1,2,...,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S的第一型曲面积分，记作∫∫f(x,y,z)dS .
注：当f(x,y,z)≡1时，曲面积分∫∫dS就是曲面块S的面积。
二、第二型曲面积分的计算
定理22.1：设有光滑曲面，：S：z=z(x,y),(x,y)∈D为S上的连续函数，f(x,y,z)
为S上的连续函数，则：∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy .
第一型曲面积分公式。
eg1:计算∫∫dSz ,其中S是球面x2+y2+z2=a2 ,被平面z=1(0<h<a)所截的顶部。
解：曲面S的方程为z=a2−x2−y2 ,定义域D为圆域x2+y2≤a2−h2 ,由于
1+zx2+zy2=aa2−x2−y2
由第一型曲面积分公式得，∫∫dSz=∫∫1a2−x2−y2∗aa2−x2−y2dxdy=∫02πdθ∫0a2−h2aa2−r2rdr
=2πalnah
注意：(1)有哪位定义域为圆域，所以采用参数坐标来做，令x=rcos θ,y=rsinθ ;。
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xdS
2 x 1 y z y dzdx
1 x2 x x dx dz 2 x 1 dxdz 2 2 2 1 0 1 x 1 x Dxz ,
Dzx
2
xdS 0 0 .
2 2 2 为内接于球面 例 计算 ( x y z )dS , 其中
xdS
Dxy : x 2 y 2 1
xdxdy 0
对称性
或 xdS
底
前后对称
0;
Dxy
顶：z x 2 ,( x , y )Dxy
xdS x 2dxdy
对称性
0；
侧
左右对称
xdS
2
2 2 x
右侧 : y 1 x 2 ,( z , x )Dzx
1： x y z a , 即 z a x y
dS 1 z x z y dxdy 3dxdy
2 2
2 2 2 2 2 2 ( x y z ) dS 8 ( x y z )dS
1
8 [ x 2 y 2 (a x y )2 ] 3dxdy
并假定f 在S及每个Si上可积,则
f ( x, y, z )dS f ( x, y, z)dS
S
i 1 Si
m
2. 第一型曲面积分的计算 (转化为二重积分)
基本方法——找到 （以直角坐标为参数）的双 参数方程，将曲面积分化为对参数的二重积分。
1) 设光滑曲面 ： z g ( x, y )
思考题解答
dS 是曲面元的面积, cos n, k
1 1 z z
2 x 2 y
故 1 z z 是曲面法线与 z 轴夹角的余弦 的倒数.
2 x 2 y
故
( x y z )ds
2 ( x y 5 y )dxdy 2 (5 x )dxdy
D xy
2 d (5 r cos )rdr 125 2.
0 0
2
5
D xy
例
计算 ( x y z )ds , 其中 为平面
8-4 第一型曲面积分 1. 第一型曲面积分的概念 若曲面S 是光滑的 , 它的面密度为连 续函数( x , y , z ) , 求它的质量. 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动. 实例
定义 设函数f x, y, z 在分片光滑的曲面S上有定义,
f ( x, y, z )dS
2 2
Dzx
f [ x, y( z, x), z ] 1 y ; z y x dzdx
:x x ( y , z ),( y , z )D yz
f ( x, y, z )dS .
代入
x x u, v , S 2) 当曲面 由参数方程 y y u, v , z z u, v ,
y z 5 被柱面 x y 25 所截得的部分.
解 积分曲面 : z 5 y,
2 2 D x , y | x y 25 投影域 xy
2
2
dS 1 zx 2 zy 2 dxdy
1 0 ( 1) 2 dxdy 2dxdy,
把S任意分成n个互不重叠的小片Si (i 1,2,, n),
同时也用它表示小块的面积 , 令 max S 的直径 , 在Si上任取一点i ,i , i ,
1i n i
若无论对曲面S怎样的分割及中间点i ,i , i 怎样的选取,极限
lim f i ,i , i Si
2 2 dS 1 g x g y d
则
代入
:z g ( x , y ),( x , y )Dxy
f ( x, y, z )dS
同理可得
代入
Dxy
2 2 f [ x, y, g ( x, y)] 1 g x g y d
: y y ( z , x ),( z , x )Dzx
x 2 y 2 z 2 a 2 的八面体| x | | y | | z | a 表面.
解
被积函数 f ( x , y , z ) x y z ,
2 2 2
关于坐标面、原点均对称 ,
积分曲面 也具有对称性 ,
故原积分 8 ,
1
(其中1表示第一卦限部分曲面)
D xy
2 2 D {( x , y ) | x y 1, x 0, y 0} 其中 xy
例
计算
xdS , : x
2
y 1与 z x2 及
2
z 0 所围立体的表面.
解
底
( ) xdS xdS
顶
侧
底
另解
2
2
( x y z ) dS
前后对称
( y z)dS
方程
5dS
5|| 5
| Dxy | | cos |
5
| Dxy | | cos
125 2 .
4
|
例 计算 | xyz | dS , 其中 为抛物面 z x2 y2（0 z 1）
1
4 xy( x 2 y 2 ) 1 ( 2 x )2 ( 2 y )2 dxdy ) | x y 1, x 0, y 0} 其中 xy
利用极坐标
2 1
x r cos t , y r sin t ,
40 dt 0 r 2 cos t sin t r 2 1 4r 2 rdr
解 依对称性知： 抛物面z x2 y2 关于 z 轴对称， yoz 坐标面对称 被积函数| xyz |关于xoz、
2 2 dS 1 z x z y dxdy
z
1 ( 2 x ) 2 ( 2 y ) 2 dxdy
原式 | xyz | dS
x
y
4 xyz dS
则 d xy cos(n上 , k )dS cos dS 0 1 g , g ,1 而 n上 x y n上 g , g y ,1 x 2 2 1 g g x y
1 ( x, y ) Dxy , 其中 g ( x, y) CD . xy
则对任意常数 C1与C2 ,函数C1 f +C2 g也在S上可积,且有
C f x, y , z C g x, y , z dS C1 f x, y, z dS C2 g x, y , z dS . S S
1 2 S
2 若S由m个互不重叠的光滑曲面Si i 1,2,, m 所合并组成,
2 0 sin 2tdt 0 r 5 1 4r 2 dr
2
1
令 u 1 4r
2
1 5 u1 2 125 5 1 1 u( ) du . 4 4 420
原式 | xyz | dS
4 xyz dS
1
4 xy( x 2 y 2 ) 1 ( 2 x )2 ( 2 y )2 dxdy
S S
例 锥面 z
x y 被圆柱面 x y 2 x 所割下 z
2 2 2 2
部分曲面 的面积.
1
y
解 S dS
1 z x z y dxdy
2 2 D
x2 y2 2x D: z 0
1
2dxdy 2
D
o
x
例
计算 ( x y z )ds , 其中 为平面
故
( x y z )ds
2 ( x y 5 y )dxdy 2 (5 x )dxdy
D xy
5 2 | Dxy | 125
D xy
2.
例
计算 ( x y z )ds , 其中 为平面
y z 5 被柱面 x y 25 所截得的部分.
D xy
2 3a 4 .
小结
1、第一型曲面积分曲面积分的概念;
f i ,i , i Si f x, y, z dS lim 0
S
n
i 1
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影 域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况分为三种）
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分 2 的公式中, 有因子 1 z x z2 y , 试说明 这个因子的几何意义.
u,v D
2 2 2 E xu yu zu , 2 dS EG F dudv, 其中 F xu xv yu yv zu zv , G x2 y 2 z 2 , v v v
给出时,
f x, y, z dS f x u, v , y u, v , z u, v EG F 2 dudv,
0
i 1
n
总存在,
则称此极限为函数f x, y, z 在曲面S上的 第一型曲面积分
记作
f x, y, z dS .
S
其中S称为积分曲面,f x, y, z 称为被积函数.
第一型曲面积分的性质