圆锥曲线第二定义

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解圆锥曲线问题多种常用方法

解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by ax 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by ax 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by ax（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =共线时，距离和最小。

圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)

第二定义
第二定义：椭圆或双曲线中的一点P，满足条件
PF2 PD

e
（式右x 准线a2对应右焦点），其中PF2 称作焦半径，准线公
c
第二定义
例：在平面直角坐标系
xoy
中双曲线
x2 3

y2
1
的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，
其中焦点是，F1, F2 ，则四边形的面积是_______.
x2 a2
y2 b2
1 的左焦点，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3 | B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
是右，根
据第二定义
PF2 PD
e
，解得
PF2

5 4
PD
5
所以
|
PM
|

4 5
|
PF2
|
PM

PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点：
（1）是第二定义的用法；（2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论；（3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
在 RT PF1F2 中，满足 PF12 所以在 RT PF1F2 中，SPF1F

1

圆锥曲线的几个定义

圆锥曲线的几个定义
1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

7）当平面与二次锥面的两侧都不相交，且过圆锥顶点，结果为一点。

(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

第2讲圆锥曲线第二定义与焦半径公式(解析版)

第2讲圆锥曲线第二定义与焦半径公式参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为()A．B ．2CD【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即P 在顶点处取得最大值，不妨取顶点，0)，则12||||||PF PF OP +=，故选：D ．2．已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是()A．)+∞B ．[2，25)2C．252D ．[2，【解答】解：由双曲线的第二定义可知10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，右支上的点0(P x ，0)y 满足12||3||PF PF =，0003()2ex a ex a ex a ∴+=-⇒=，由c e a=，解得202a x c=，P 在右支上，可得202a x a c= ，可得12ca< ，即12e < ，则22220022201164(1)422x c c y e x a a e+=+-=+-，令2e t =，14t < ，可得2202011611613244()4222c y e t t x e t t+=+-=+-=+-而132()()2f t t t=+在(1，4]递减，132()[62t t +∈，332，2002522c y x ∴+<，故选：B ．3．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，1F ，2F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，若12||||||PF PF OP +的最大值是，则此双曲线的离心率是()AB．2C ．32D ．2【解答】解：不妨设P 为右支上的一点，(,)P x y 其中x a ，1||PF ex a =+，2||PF ex a =-，||OP ==∴12||||)||PF PF x a OP +==∴当x a =时，取得最大值，∴=，∴e =故选：B ．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则当||||AB DE +取得最小值时，四边形ADBE 的面积为()A ．32B ．16C ．24D ．8【解答】解：因为AB DE ⊥，要使||||AB DE +最小，而||||AB DE + 由抛物线的对称性可得A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，所以可得直线DE 的斜率为1，又过抛物线的焦点(1,0)，所以直线DE 的方程为：1y x =-，214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得2440y y --=，124y y +=，124y y =-，所以可得||8DE ===，所以11883222ABCD S DE AB =⋅=⨯⨯=四边形．故选：A ．5．过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为()A ．18B ．16C ．1D ．712【解答】解：由椭圆22143x y +=，得椭圆的右焦点为(1,0)F ，当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时||3AB =，||4CD =，则11117||||3412AB CD +=+=；当直线AB 的斜率存在时，设:(1)(0)AB y k x k =-≠，则1:(1)CD y x k=--．又设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，2212(1)||34k AB k +∴=+，由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得2212(1)||43k CD k +=+．∴22117(1)7||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值．故选：D ．二．填空题（共3小题）6．已知P 是椭圆22:184x y C +=上的动点，1F ，2F 分别是其左右焦点，O 是坐标原点，则12||||||PF PF PO - 的取值范围是[．【解答】解：设P 的坐标为(,)m n 椭圆22:184x y C +=中，28a =，24b =，2c ∴==，得椭圆的准线方程为2a x c=±，即4x =±作出椭圆的右准线，设P 在右准线上的射影为Q ，连结PQ ，根据圆锥曲线的统一定义，得2||||PF e PQ =，2||||)22PF e PQ m ∴==-=，同理可得1||2PF=，||PO =，∴12))||||22||m PF PF PO +--= 点(,)P m n 在椭圆22184x y +=上，得22184m n +=，∴2224(1482m m n =-=-，由此可得12||||||PF PF PO -= ，得22122||||4()8||PF PF m m PO -=+ ，2[0m ∈ ，2]a 即2[0m ∈，8]，得224[08m m ∈+，2]，∴12||||[||PF PF PO -∈，．故答案为：[7．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为14．【解答】解：根据题意可得，抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为1x =-，设直线1:(1)(0)l y k x k =-≠，直线1l ，2l 互相垂直，∴直线2l 的斜率为1k -，即得21:(1)l y x k=--，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(E x ，4)y ，则分别将直线1l ，2l 的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，22222(1)(24)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩；21(1)4y x k y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩⇒2222121(4)0x x k k k -++=由韦达定理可得，212224k x x k ++=，2342241k x x k ++=，由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，∴2212222444||112k k AB x x k k ++=+++=+=，2234224||112441k DE x x k k +=+++=+=+，∴2221111||||44444k AB DE k k +=+=++．故答案为：14．8．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||4||AB DE +的最小值为36．【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设直线1l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，联立方程组24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，则2222(42)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x k+=+，由抛物线的定义可得1224||24AB x x k=++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k-，可得2||44DE k =+，则221||4||204(4)2036AB DE k k +=+++= ．当且仅当2k =±时，上式取得等号，则||4||AB DE +的最小值为36．故答案为：36．三．解答题（共6小题）9．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．【解答】解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点为(1,)M m ，122x x ∴+=，122y y m+=将A ，B 代入椭圆22:143x y C +=中，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得，121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12126()8()0x x m y y -+-=，12126384y y k x x m m-∴==-=--点(1,)M m 在椭圆内，即211,(0)43m m +<>，解得302m <<∴3142k m =-<-．①（2）由题意得(1,0)F ，设3(P x ，3)y ，则1231110x x x -+-+-=，1230y y y ++=，由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP = ．于是1||22x FA =- ．同理2||22xFB =- ．所以121||||4()32FA FB x x +=-+= ，故||||2||FA FB FP += ，即||FA ，||FP ，||FB成等差数列．设改数列的公差为d ，则1212||||||||||2d FB FA x x =-=-= ②将34m =代入①得1k =-．所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=．故122x x +=，12128x x =，代入②解得||28d =．所以该数列的公差为28或28-．10．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:198x y C +=交于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)t t >．（Ⅰ）证明：13k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，Q 为C 上的一点，且0FQ FA FB ++= ，证明：||FA ，||FQ，||FB成等差数列．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有221122221(1)981(2)98x y x y ⎧+=⋯⋯⎪⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎪+=⋯⋯⎪⎩（2分）（1）-（2）得12121212()()()()098x x x x y y y y +-+-+=．122x x += ，122y y t +=．∴12122()2()098x x t y y --+=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）∴121289y y k x x t-==--．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）由题设可知点(1,)M t 在椭圆内，∴21198t +<，解得803t <<，∴818319983k t =-<-=- ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（Ⅱ） 0FQ FA FB ++=，M 为AB 的中点，∴2FQ FM =-，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）(1,)M t ，(1,2)Q t ∴-．点(1,2)Q t -在椭圆上，∴214198t +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）又403t t >∴=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）由（Ⅰ）知89k t =-，所以23k =-．∴直线l 的方程为42(1)33y x -=--，即223y x =-+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由直线l 的方程与椭圆方程联立，得22223198y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 化简得2230x x --=，解得11x =-，23x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）从而得8(1,)3A -，(3,0)B ，又8(1,0),(1,)3F Q -，∴10||3FA ==，8||3FQ = ，||2FB = ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）∴||FA ，||FQ ，||FB成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）11．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，△12PF F 的内切圆面积的最大值为43π．（1）求椭圆的方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1F C 共线，1F B 与1F D共线，且0AC BD =，求||||AC BD + 的取值范围．【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△12PF F 的内切圆面积的最大值时，即，12PF F S 取最大值，且121()22PF F max S c b bc == ，由243r ππ=，解得3r =，又由△12PF F 的周长为22a c +定值，∴223bc a c =+，又12c e a ==，可得2a c =，即b =，2c ∴=，b =4a =，故椭圆方程为2211612x y +=，（2）①当直线AC 和BD 中有一条垂直x 轴时，||||6814AC BD +=+=，②当直线AC 的斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：(2)y k x =+，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616480k x k x k +++-=，代入弦长公式得，2224(1)||34k AC k +=+ ，同理由221(2)11612y x kx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，代入弦长公式得2224(1)||34k BD k +=+ ，2222222168(1)168||||11(34)(43)121(1)k AC BD k k k k +∴+==+++-++，令21(0,1)1t k =∈+，则212(12t t -++∈，49]4，由①②可知||||AC BD + 的取值范围是96[7，14]．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点)2-，且椭圆的离心率12e =，过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A 、B 及C 、D ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：11||||AB CD +为定值；（Ⅲ）求9||||16AB CD +的最小值．【解答】解：()I 由12c e a ==，得2214c a =，222244()a c a b ∴==-，2234a b ∴=．（1），⋯（1分）由椭圆过点知，223314a b+=．（2）⋯（2分）联立（1）、（2）式解得24a =，23b =．⋯（3分）故椭圆的方程是22143x y +=．⋯（4分）11()||||II AB CD +为定值712⋯（5分）证明：椭圆的右焦点为(1,0)F '，分两种情况．1︒当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时||3AB =，||4CD =，117||||12AB CD +=；⋯（6分）2︒当直线AB 的斜率存在时，设:(1)(0)AB y k x k =-≠，则1:(1)CD y x k=--．又设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=⋯+ （7分）∴12|||AB x x ==-==2212(1)43k k +=+，⋯（8分）由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得2212(1)||43k CD k +=⋯+（9分）所以2211777||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值．⋯（10分）（Ⅲ）解：由()II 知117||||12AB CD +=，∴912911||||(||||)()16716||||AB CD AB CD AB CD +=++⋯（11分）9||1225||16()716||||CD AB AB CD =++122521(7164+= ，⋯（12分）当且仅当9||||16||||CD AB AB CD =，即3||||4AB CD =，即||3AB =，||4CD =时取等号⋯（13分）∴9||||16AB CD +的最小值为214．⋯（14分）13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．（1）求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．【解答】解：（1）由已知可得2222423112a a b a c c c e a =⎧=⎧⎪⇒⇒=-=⎨⎨===⎩⎪⎩，则所求椭圆方程221:143x y C +=．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为(1,0)，准线方程为1x =-，则动圆圆心轨迹方程为22:4C y x =．（2）当直线MN 的斜率不存在时，||4MN =，此时PQ 的长即为椭圆长轴长，||4PQ =，从而11||||44822PMQN S MN PQ =⋅=⨯⨯=．设直线MN 的斜率为k ，则0k ≠，直线MN 的方程为：(1)y k x =-，直线PQ 的方程为1(1)y x k=--，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(P x ，3)y ，4(Q x ，4)y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 可得2222(24)0k x k x k -++=，由抛物线定义可知：2221222244||||||1124k MN MF NF x x k k +=+=+++=+=+，由221(1)143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x x k +-+-=，从而234212(1)|||34k PQ x x k +=-=+，∴222224211412(1)(1)||||(4)24223434PMQN k k S MN PQ k k k k ++=⋅=+=++，令21k t +=，0k > ，则1t >，则22222221242424211||||34(1)(0,3)2123(1)4(1)3213PMQN t t S MN PQ t t t t t t t t t =⋅===--+∈-+-----，所以2248213PMQN S t t =>--，所以四边形PMQN 面积的最小值为8．14．平面直角坐标系xOy 中，已知F 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，且24a b +=，过F 作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A 、B 与C 、D ．以F 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与1||AB 的代数表达式；（Ⅱ）求11||||AB CD +的取值范围．【解答】解：由已知24b a =-，（Ⅰ）设(,0)F c，2222a a c b p c c c c -=-===c e a a==，以右焦点F 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为1cos ep e ρθ=+，即22cos ab ac c ρθ=+，其中c =设(A A ρ，)θ，则(B B ρ，)θπ+，222||1cos 1cos()1cos 1cos 1A B ep ep ep ep ep AB e e e e e cos ρρθπθθθθ∴=+=+=+=++++--，2211||2e cos AB ep θ-=，即22221||2a c cos AB ab θ-=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22222222(112||||22a c cos a c cos AB CD ab ab πθθ-+-+=+2222222222222222422222(4)a c cos a c sin a c a b a a ab ab ab ab a a θθ---+-+=+===-．24a b += ，222240c a b a a ∴=-=+->，且4a <，4a <<．记f （a ）242(4)a a a a -+=-，则f '（a ）22(4)(34)2(4)a a a a +-=-，当142a -<<时，f '（a ）0>，f （a ）为增函数，则f （a）1(8+∈，)+∞，即11||||AB CD +∈，)+∞．。

圆锥曲线——椭圆(基础知识)

圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、第一定义：平面内的轨迹叫椭圆。

其中叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。

叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。

★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、第二定义：平面内的轨迹叫椭圆。

其中定直线为：定点为：定值为：范围：(0＜e ＜1)。

三、标准方程。

椭圆的标准方程为：或（a>b>0）。

注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。

如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。

∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。

四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。

①、范围。

以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。

关于X 、Y 轴成轴对称。

关于原点成中心对称。

③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。

长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。

构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。

椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。

运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法

运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法贵州省平塘民族中学刘光宜（558300）摘要本文根据圆锥曲线的第一定义、第二定义以及标准方程，运用尺规作图原理结合几何画板动态生成轨迹的功能，详尽而系统地阐述圆锥曲线的画法和构造。

每一类画法及构造的步骤，极富操作性和实践性。

直接运用于教学，能够达到激活数学课堂，启迪学生思维，拓展学生数学视野，提升数学教学效率的目的。

关键词圆锥曲线尺规作图原理几何画板动态生成轨迹一、根据圆锥曲线的第一定义构造圆锥曲线（一）椭圆1、椭圆第一定义一般地，平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>︱F1F2︱）的点M的轨迹叫做椭圆。

其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点F1、F2间的距离︱F1F2︱叫做椭圆的焦距，常数2a叫做椭圆的长轴的长。

特别地，当2a=︱F1F2︱时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a<︱F1F2︱时，点M的轨迹不存在。

2、画法步骤（1）按住shift 键，在画图区上部画一条直线l（隐藏控制点）。

再在直线l上构造线段AB，度量线段AB的长度并改为用2a表示。

（2）在线段AB上取一点C，并构造线段AC 和线段BC。

（3）按住shift键在画图区中部画一条线段F 1F2，隐藏线段，保留端点，然后度量两端点的距离︱F1F2︱,并调整大小使之小于2a。

（4）以F1为圆心，线段AC为半径画圆，以F2为圆心，线段BC为半径画圆。

构造两圆的交点M和M＇,并设置成“追踪交点”。

（5）构造线段MF1、MF2并度量长度，然后计算MF1+MF2。

（6）设置点C双向在线段AB上滑动，并编辑生成操作按钮“动画生成轨迹”。

或用选择工具拖动点C 在线段AB上滑动生成椭圆（如图1-1）。

（7）用选择工具拖动点B或点A调整线段AB与F1F2的大小关系：当2a=︱F1F2︱时，动点M与两个定点F1、F2共线，其轨迹是线段F1F2；当2a<︱F1F2︱时，动点M消失，表示其轨迹不存在。

高中高考数学所有二级结论《完整版》

高中数学二级结论1.随意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单 n 面体的体积，是简单n 面体的表面积)2.在随意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC推论：在内，若tanA+tanB+tanC<0，则为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩、、6.椭圆的面积S 为7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：① 过圆上随意一点的切线方程为② 过椭圆上随意一点的切线方程为③ 过双曲线上随意一点的切线方程为8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程① 圆的切点弦方程为② 椭圆的切点弦方程为③ 双曲线的切点弦方程为④ 抛物线的切点弦方程为⑤ 二次曲线的切点弦方程为9.①椭圆与直线相切的条件是② 双曲线与直线相切的条件是10.若 A、 B、 C、 D 是圆锥曲线 (二次曲线 )上按序四点 ,则四点共圆 (常用订交弦定理 )的一个充要条件是 : 直线 AC、 BD 的斜率存在且不等于零 ,并有 ,(,分别表示 AC和 BD 的斜率 )11.已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则()12.椭圆的焦半径 (椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为的点P 的距离 )公式13.已知，，为过原点的直线，，的斜率，此中是和的角均分线，则，，知足下述转变关系：，，14.随意知足的二次方程，过函数上一点的切线方程为15.已知 f(x)的渐近线方程为y=ax+b，则，16.椭圆绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中19.函数 f(x)拥有对称轴，，则f(x)为周期函数且一个正周期为20.y=kx+m 与椭圆订交于两点，则纵坐标之和为21.已知三角形三边x， y， z，求面积可用下述方法(一些状况下比海伦公式更适用，如，，)22.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏爱率，)的点的会合 (定点 F 不在定直线上，该常数为小于1的正数 )双曲线第二定义：平面内，到给定一点及向来线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线依逆时针方向旋转到与第一次重合时所转的角是，则24.A、 B、 C 三点共线 (同时除以 m+n)25.过双曲线上随意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为26.反比率函数为双曲线，其焦点为和，k<027.面积射影定理：如图，设平面α外的△ ABC在平面α内的射影为△ ABO，分别记△ ABC的面积和△ ABO的面积为S第 1 页和 S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cosθ = S′ : S28,角均分线定理：三角形一个角的均分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率角均分线定理逆定理：假如三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比率，那么该点与对角极点的连线是三角形的一条角均分线29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确立的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这类方法称为不动点法定理 1：假如的不动点，知足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理 2：设，知足递推关系，初值条件(1)如有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有独一不动点，则（这里）定理 3：设函数有两个不一样的不动点,且由确立着数列,那么当且仅当时 ,30.(1)，(2)若，则：①②③④⑤⑥⑦⑧(3)在随意△ ABC中，有：①⑥?②⑦?③⑧?④⑨?⑤⑩(4)在随意锐角△ ABC中，有：①③②④31.帕斯卡定理：假如一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：全部的极点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森 (Simpson)公式 ]：设拟柱体的高为H，假如用平行于底面的平面γ去截该图形，所获得的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超出 3 次的函数，那么该拟柱体的体积V 为，式中，和是两底面的面积，是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离时获得的截面的面积)事实上，不但是拟柱体，其余切合条件(全部极点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所获得的截面面积是该平面与一底之间距离的不超出 3 次的函数 )的立体图形也能够利用该公式求体积33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么△ OAC,△ BAC,△ OAB 三角的余弦关系为：cos△OAC=cos△BAC·cos△OAB(△和BAC△OAB只好是锐角 )34.在 Rt △ ABC中， C 为直角，内角A， B， C 所对的边分别是a， b， c，则△ ABC的内切圆半径为第 2 页35.立方差公式：立方和公式：36.已知△ ABC，O 为其外心， H 为其垂心，则37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右极点重合的任一点组成的直线斜率乘积为定值推论：椭圆上不与左右极点重合的任一点与左右极点组成的直线斜率乘积为定值38.推论：39.推论：①②40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长 )42.向量与三角形四心：在△ABC中，角 A， B， C 所对的边分别是a， b ，c(1)是的重心(2)为的垂心(3)为的心里(4)为的外心43.正弦平方差公式：44.对随意圆锥曲线，过其上随意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列乞降裂项相消：46.点 (x,y) 对于直线 Ax+By+C=0的对称点坐标为47.圆锥曲线一致的极坐标方程： (e 为圆锥曲线的离心率 )48.超几何散布的希望：若，则 ( 此中为切合要求元素的频次 ) ，49. 为公差为 d 的等差数列，为公比为q 的等比数列，若数列知足，则数列的前n 项和为50.若圆的直径端点，则圆的方程为51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、 B 两点，则直线 AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变成定系数的公式：53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三极点的连线所组成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三极点这四点中，任一点是其余三点所组成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的心里；或许说，三角形的心里是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一极点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a，b， c，则55.m>n 时，第 3 页。

圆锥曲线-基本定义-第二定义

学术正刊圆锥曲线基本定义
高中 2 LeO 著第二定义
定义3.0（圆锥曲线第二定义）：平面内到定点与定直线的距离的比为常数e(e >0)的点的轨迹，称之为圆锥曲线。

定义3.1（圆锥曲线焦点）：称这个定点为圆锥曲线的焦点。

定义3.2（圆锥曲线准线）：称这条定直线为圆锥曲线的准线。

定义3.3（圆锥曲线离心率）：称这个常数e 为圆锥曲线的离心率。

定义3.4（圆锥曲线焦准距）：焦点到其对应准线的距离称之为圆锥曲线的焦准距。

图1 图2
解：如图1，给定离心率e 和焦准距p ，建立直角坐标系，将焦点定于坐标原点，准线垂直横轴。

设P 点坐标P (x,y )，根据“圆锥曲线第二定义”有：
|PF |PD =e ⋯〈1〉 代入坐标，解得：
√x 2+y 2
x +p =e ⋯〈2〉 〈2〉式化简得：
(1−e 2)∙x 2−2e 2px +y 2−e 2p 2=0⋯〈3〉
〈3〉式即为圆锥曲线的统一方程。

如图2，当离心率取不同值时，得到对应三种不同的圆锥曲线：
{e ∈(0,1)， 1−e 2>0，表示椭圆；
e =1， 1−e 2=0，表示抛物线；e ∈(1,∞)，1−e 2<0，表示双曲线。

三种圆锥曲线分别对坐标系进行适当平移后，可得三种圆锥曲线的标准方程。

证毕。

圆锥曲线第二定义与焦半径公式知识点练习含答案(高考数学提升复习)

第2讲圆锥曲线第二定义与焦半径公式一．选择题（共5小题）1．已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为( )A ．B ．2C D2．已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，3．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的动点，1F ，2F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，若12||||||PF PF OP +( )A B C ．32D ．24．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则当||||AB DE +取得最小值时，四边形ADBE的面积为( ) A ．32B ．16C ．24D ．85．过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为( ) A ．18B ．16C ．1D ．712二．填空题（共3小题）6．已知P 是椭圆22:184x y C +=上的动点，1F ，2F 分别是其左右焦点，O 是坐标原点，则12||||||PF PF PO -的取值范围是．7．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为． 8．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||4||AB DE +的最小值为．三．解答题（共6小题）9．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．10．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:198x y C +=交于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)t t >．（Ⅰ）证明：13k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，Q 为C 上的一点，且0FQ FA FB ++=，证明：||FA ，||FQ ，||FB 成等差数列．11．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，△12PF F 的内切圆面积的最大值为43π．（1）求椭圆的方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1F C 共线，1F B 与1F D 共线，且0AC BD =，求||||AC BD +的取值范围．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，且椭圆的离心率12e =，过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A 、B 及C 、D ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：11||||AB CD +为定值；（Ⅲ）求9||||16AB CD +的最小值．13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．（1）求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．14．平面直角坐标系xOy 中，已知F 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，且24a b +=，过F 作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A 、B 与C 、D ．以F 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与1||AB 的代数表达式；（Ⅱ）求11||||AB CD +的取值范围．第2讲圆锥曲线第二定义与焦半径公式参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为( )A ．B ．2C D【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即P 在顶点处取得最大值，不妨取顶点，0)，则12||||||PF PF OP +=，故选：D ．2．已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，【解答】解：由双曲线的第二定义可知10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，右支上的点0(P x ，0)y 满足12||3||PF PF =， 0003()2ex a ex a ex a ∴+=-⇒=，由c e a=，解得202a x c=，P 在右支上，可得202a x a c=，可得12ca<，即12e <，则22220022201164(1)422x c c y e x a a e+=+-=+-，令2e t =，14t <，可得2202011611613244()4222c y e t t x e t t+=+-=+-=+- 而132()()2f t t t =+在(1，4]递减，132()[62t t +∈，33)2， 2002522c y x ∴+<，故选：B ．3．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的动点，1F ，2F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，若12||||||PF PF OP+( )AB C ．32D ．2【解答】解：不妨设P 为右支上的一点，(,)P x y 其中x a ， 1||PF ex a =+，2||PF ex a =-，||OP =∴12||||)||PF PF x a OP +=∴当x a =时，取得最大值，∴=∴e =故选：B ．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则当||||AB DE +取得最小值时，四边形ADBE的面积为( ) A ．32B ．16C ．24D ．8【解答】解：因为AB DE ⊥，要使||||AB DE +最小，而||||2|||AB DE AB + 由抛物线的对称性可得A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，所以可得直线DE 的斜率为1，又过抛物线的焦点(1,0)，所以直线DE 的方程为：1y x =-，214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得2440y y --=，124y y +=，124y y =-，所以可得||8DE =，所以11883222ABCD S DE AB =⋅=⨯⨯=四边形．故选：A ．5．过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为( ) A ．18B ．16C ．1D ．712【解答】解：由椭圆22143x y +=，得椭圆的右焦点为(1,0)F ，当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时||3AB =，||4CD =，则11117||||3412AB CD +=+=；当直线AB 的斜率存在时，设:(1)(0)AB y k x k =-≠，则1:(1)CD y x k =--．又设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++， 22222221212222841212(1)||()41()4343434k k k AB x x x x kk k k -+∴=+-=+-=+++，由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得2212(1)||43k CD k +=+．∴22117(1)7||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值．故选：D ．二．填空题（共3小题）6．已知P 是椭圆22:184x y C +=上的动点，1F ，2F 分别是其左右焦点，O 是坐标原点，则12||||||PF PF PO -的取值范围是 [ ．【解答】解：设P 的坐标为(,)m n椭圆22:184x y C +=中，28a =，24b =，2c ∴=，得椭圆的准线方程为2a x c=±，即4x =±作出椭圆的右准线，设P 在右准线上的射影为Q ，连结PQ ，根据圆锥曲线的统一定义，得2||||PF e PQ =，2||||)PF e PQ m ∴=-=，同理可得1||PF =， ||PO m =∴12))||||||PF PF PO --=点(,)P m n 在椭圆22184x y+=上，得22184m n +=，∴2224(1)482m m n =-=-，由此可得12||||||PF PF PO -=，得22122||||4()8||PF PF m m PO -=+，2[0m ∈，2]a 即2[0m ∈，8]，得224[08m m ∈+，2]，∴12||||[||PF PF PO -∈．故答案为：[7．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为 14．【解答】解：根据题意可得，抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为1x =-，设直线1:(1)(0)l y k x k =-≠，直线1l ，2l 互相垂直，∴直线2l 的斜率为1k -，即得21:(1)l y x k=--，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(E x ，4)y ，则分别将直线1l ，2l 的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，22222(1)(24)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩； 21(1)4y x k y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩⇒2222121(4)0x x k k k -++= 由韦达定理可得，212224k x x k++=，2342241k x x k ++=，由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，∴2212222444||112k k AB x x k k ++=+++=+=， 2234224||112441k DE x x k k +=+++=+=+， ∴2221111||||44444k AB DE k k +=+=++．故答案为：14． 8．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||4||AB DE +的最小值为 36 ．【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设直线1l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，联立方程组24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，则2222(42)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x k +=+，由抛物线的定义可得1224||24AB x x k =++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k -，可得2||44DE k =+，则222211||4||204(4)208436AB DE k k k+=+++=．当且仅当2k =±时，上式取得等号，则||4||AB DE +的最小值为36．故答案为：36．三．解答题（共6小题）9．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．【解答】解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点为(1,)M m ，122x x ∴+=，122y y m +=将A ，B 代入椭圆22:143x y C +=中，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得，121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12126()8()0x x m y y -+-=，12126384y y k x x m m-∴==-=-- 点(1,)M m 在椭圆内，即211,(0)43m m +<>，解得302m <<∴3142k m =-<-．① （2）由题意得(1,0)F ，设3(P x ，3)y ，则1231110x x x -+-+-=，1230y y y ++=，由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x =-．同理2||22x FB =-．所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故||||2||FA FB FP+=，即||FA ，||FP ，||FB 成等差数列．设改数列的公差为d ，则1212||||||||||2d FB FA x x =-=-=②将34m =代入①得1k =-．所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=．故122x x +=，12128x x =，代入②解得||d =．所以该数列的公差为28或28-． 10．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:198x y C +=交于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)t t >．（Ⅰ）证明：13k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，Q 为C 上的一点，且0FQ FA FB ++=，证明：||FA ，||FQ ，||FB 成等差数列．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有221122221(1)981(2)98x y x y ⎧+=⋯⋯⎪⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎪+=⋯⋯⎪⎩（2分）（1）-（2）得12121212()()()()098x x x x y y y y +-+-+=．122x x +=，122y y t +=．∴12122()2()098x x t y y --+=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） ∴121289y y k x x t -==--．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）由题设可知点(1,)M t 在椭圆内，∴21198t +<，解得803t <<， ∴818319983k t =-<-=-．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（Ⅱ）0FQ FA FB ++=，M 为AB 的中点，∴2FQ FM =-，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）(1,)M t ，(1,2)Q t ∴-．点(1,2)Q t -在椭圆上，∴214198t +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）又403t t >∴=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）由（Ⅰ）知89k t =-，所以23k =-．∴直线l 的方程为42(1)33y x -=--，即223y x =-+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由直线l 的方程与椭圆方程联立，得22223198y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 化简得2230x x --=，解得11x =-，23x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）从而得8(1,)3A -，(3,0)B ，又8(1,0),(1,)3F Q -，∴10||(3FA =-=，8||3FQ =，||2FB =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）∴||FA ，||FQ ，||FB 成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）11．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，△12PF F 的内切圆面积的最大值为43π．（1）求椭圆的方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1F C 共线，1F B 与1F D 共线，且0AC BD =，求||||AC BD +的取值范围．【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△12PF F 的内切圆面积的最大值时，即，12PF F S取最大值，且121()22PF F maxSc b bc ==，由243r ππ=，解得r =，又由△12PF F 的周长为22a c +定值，∴22bc a c =+，又12c e a ==，可得2a c =，即b =2c ∴=，b =4a =，故椭圆方程为2211612x y +=，（2）①当直线AC 和BD 中有一条垂直x 轴时，||||6814AC BD +=+=， ②当直线AC 的斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：(2)y k x =+，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616480k x k x k +++-=，代入弦长公式得，2224(1)||34k AC k +=+，同理由221(2)11612y x kx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，代入弦长公式得2224(1)||34k BD k +=+， 2222222168(1)168||||11(34)(43)121(1)k AC BD k k k k +∴+==+++-++，令21(0,1)1t k =∈+，则212(12t t -++∈，49]4，由①②可知||||AC BD +的取值范围是96[7，14]． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，且椭圆的离心率12e =，过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A 、B 及C 、D ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：11||||AB CD +为定值；（Ⅲ）求9||||16AB CD +的最小值．【解答】解：()I 由12c e a ==，得2214c a =，222244()a c a b ∴==-，2234a b ∴=．（1），⋯（1分）由椭圆过点知，223314a b+=．（2）⋯（2分）联立（1）、（2）式解得24a =，23b =．⋯（3分）故椭圆的方程是22143x y +=．⋯（4分）11()||||II AB CD +为定值712⋯（5分）证明：椭圆的右焦点为(1,0)F '，分两种情况．1︒当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时||3AB =，||4CD =，117||||12AB CD +=；⋯（6分） 2︒当直线AB 的斜率存在时，设:(1)(0)AB y k x k =-≠，则1:(1)CD y x k =--．又设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=⋯+（7分）∴12|||AB x x =-12()x x +426416((4k -=2212(1)43k k +=+，⋯（8分）由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得2212(1)||43k CD k +=⋯+（9分）所以2211777||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值．⋯（10分）（Ⅲ）解：由()II 知117||||12AB CD +=， ∴912911||||(||||)()16716||||AB CD AB CD AB CD +=++⋯（11分） 9||1225||16()716||||CD AB AB CD =++122521(7164+=，⋯（12分）当且仅当9||||16||||CD AB AB CD =，即3||||4AB CD =，即||3AB =，||4CD =时取等号⋯（13分） ∴9||||16AB CD +的最小值为214．⋯（14分）13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．（1）求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．【解答】解：（1）由已知可得2222423112a a b a c c c e a =⎧=⎧⎪⇒⇒=-=⎨⎨===⎩⎪⎩，则所求椭圆方程221:143xy C +=．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为(1,0)，准线方程为1x =-，则动圆圆心轨迹方程为22:4C y x =．（2）当直线MN 的斜率不存在时，||4MN =，此时PQ 的长即为椭圆长轴长，||4PQ =，从而11||||44822PMQN S MN PQ =⋅=⨯⨯=．设直线MN 的斜率为k ，则0k ≠，直线MN 的方程为：(1)y k x =-，直线PQ 的方程为1(1)y x k=--，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(P x ，3)y ，4(Q x ，4)y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 可得2222(24)0k x k x k -++=，由抛物线定义可知：2221222244||||||1124k MN MF NF x x k k +=+=+++=+=+，由221(1)143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x x k +-+-=，从而234212(1)|||34k PQ x x k +=-=+，∴222224211412(1)(1)||||(4)24223434PMQNk k S MN PQ k k k k ++=⋅=+=++，令21k t +=，0k >，则1t >，则22222221242424211||||34(1)(0,3)2123(1)4(1)3213PMQNt t S MN PQ t t t t t t tt t =⋅===--=-+∈-+-----，所以2248213PMQN S t t=>--，所以四边形PMQN 面积的最小值为8．14．平面直角坐标系xOy 中，已知F 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，且24a b +=，过F作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A 、B 与C 、D ．以F 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与1||AB 的代数表达式；（Ⅱ）求11||||AB CD +的取值范围．【解答】解：由已知24b a =-，（Ⅰ）设(,0)F c，2222a a c b p c c c c -=-==，c e a =，以右焦点F 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为1cos epe ρθ=+，即22cos ab ac c ρθ=+，其中c == 设(A A ρ，)θ，则(B B ρ，)θπ+，222||1cos 1cos()1cos 1cos 1A B ep ep ep ep epAB e e e e e cos ρρθπθθθθ∴=+=+=+=++++--， 2211||2e cos AB ep θ-=，即22221||2a c cos AB abθ-=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22222222()112||||22a c cos a c cos AB CD ab ab πθθ-+-+=+2222222222222222422222(4)a c cos a c sin a c ab a a ab ab ab ab a a θθ---+-+=+===-． 24a b +=，222240c a b a a ∴=-=+->，且4a <，4a <<．记f （a ）242(4)a a a a -+=-，则f '（a ）22(4)(34)2(4)a a a a +-=-4a <<时，f '（a ）0>，f （a ）为增函数，则f （a）∈)+∞，即11||||AB CD +∈)+∞．。

2020年高考数学圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)

1
2
PF22
PF1
F1F22 ，即
PF2
1 2
(e2 x02
e2 4)
x02 1
6
注意：此题有更简单的做法，上述方法只是为了巩固焦半
径的知识
第二定义
（2）离心率问题
例2：倾斜角为
6
的直线过椭圆
x2 y2 a2 b2
1 的左焦点，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
，解得
PF2
5 4
PD
5
所以
|
PM
|
4 5
|
PF2
|
PM
PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点：
（1）是第二定义的用法；（2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论；（3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3| B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
又因为 AF
AD
所以 AH
BF BE
2m
e
，则
BE
BF e
m e
,
AD
AF ,
e
3m e
为双曲线的左右焦点，
求
|
PM
|
4 5
|
PF2

三类圆锥曲线“焦半径公式”的一套记忆口诀

，
丽ＦＩ［１～Ｐ
・．
又Ｂ（。６、Ｃ在同一支，ｘ，）Ａ、即上支上．ＩＡＦＩ一一（－ｅ）１ＦＩａｙ，Ｂ一一（－ｅｚ，Ｃ一一ａｙ）１ＦＩ
（－ｅ３．ａ－ｙ）
‘ ￣因ｌＩ＋。ＮａＩ＜，Ｐ一ｚｌｌ．Ｘｏ而Ｍ譬，２ＩＰ一
下表不下焦点；表示上焦点．上
二、曲线和抛物线的焦半径公式双
对于双曲线的两种情况而言，半径公式的得到有焦
直线ｚ叫做圆锥曲线相应于焦点Ｆ的准线；常数叫做离心率，这里ｅ，ｅ＞Ｏ当＞ｌ时轨迹是双曲线；Ｏ＜ｌ当＜ｅ
＋右一，＋上一 ” 律，表示左焦点；表示右焦点；下规左右
程》涉及三类圆锥曲线的统一定义，即圆锥曲线第二定
义：面内与一定点平Ｆ和它到定直线的距离的比是常数
ｅ的点的轨迹，圆锥曲线，Ｆ叫做圆锥曲线的焦点，叫点
． …
结合椭圆的几何性质及第
二定义２１ｎ．ｉ２ — （
＞６０，（ｃ０，ｃ０，＞）Ｆ１一，）Ｆ（，）Ｐ
Ⅳ
／．．一．：
旷
焦点，上表示上焦点；然后依动点，断ＩＦＩＩＦ『判。与２ＰＰ的长短，ｎ视＋髓ｏ口．，＋ｅ０ａｙ，一ｅ０ａｙ， —ｅｏ为整体，７￣依ｌＦｌＦ的长短添正或负号．Ｐ１与Ｐ２Ｉｌ对于抛物线的四种情况而言，焦半径公式的得到有

2024高考数学专项复习圆锥曲线基础知识手册

圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ2024高考数学专项复习第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。

题高考数学第题圆锥曲线知识点大全

高考数学第20题：圆锥曲线考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简洁几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简洁几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简洁几何性质．考试要求：（1）驾驭椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）驾驭双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质．（3）驾驭抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质．（4）理解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线方程学问要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第肯定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a b y a x =+.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+by ax 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.留意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆.⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .二、双曲线方程. 1. 双曲线的第肯定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±bya x 或02222=-b y a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：ca y 2±=. 渐近线方程：0=±b xa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的间隔）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by ax （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aex MF a ex MF -=+=0201 构成满意a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）asin α,)α)N 的轨迹是椭圆aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=02010201⑶等轴双曲线：双曲线22a y x ±=-离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-y a x 假如双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的间隔为m = n ，则P 到两准线的间隔比为m ︰n.简证：ePF e PF d d 2121= =n m. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的间隔等于b.三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的全部弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统肯定义..4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线l 的间隔之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F 1,F 2的间隔之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹 1．到两定点F 1,F 2的间隔之差的肯定值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的间隔之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 2．与定点和直线的间隔之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的间隔相等的点的轨迹. 图形方程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) y 2=2px参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心原点O （0，0）原点O （0，0）顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) ,(0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2(p F 焦距 2c （c=22b a -）2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e a ce )1(>=e a ce e=1准线x=ca 2±x=ca 2±2p x -= 渐近线y=±ab x焦半径ex a r ±=)(a ex r ±±= 2p x r +=附加常用结论：一、圆锥曲线的统肯定义(第二定义)：若平面内一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的间隔之比等于一个常数)0(>e e ,则动点的轨迹为圆锥曲线。

圆锥曲线第二定义的应用 ppt课件

点M在右支上
点M在左支上
y
x
F1
F2
抛物线的焦半径公式：
点 P ( x 0 , y 0 )在对应抛物线上
,
y 2 2 px ( p 0 ) :| PF
|
x0
p; 2
y 2 2 px ( p 0 ) :| PF
| x 0
p; 2
x 2 2 py ( p 0 ) :| PF
|
y0
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。
且d 4025 15 41
y
4252 41
dm maixn
4025 42 52
65 41
41
x o
思考：最大的距离是多少？
例变形3：已知椭圆 2 x5 2y921，直线 l： 4x-5y400.椭圆上
是否存在一点，它到直线 l的距离最小大？ y 最小大距离是多少？
例 3：已知椭圆 x2y21，直线 l： 4x-5y400.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线 l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线 m 平行于 l，
则 l可写成： 4 x 5 y k 0
x o
4x5y k 0
M
A
F1
O
F2
X
（1）求 MA MF2的范围
解：椭圆的方程为
x2 y2 1
a3,b 5,c2
95
e 2 3
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关于圆锥曲线第二种定义的教学

维普资讯
第ｌ９卷第２期２００６年６月
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关于圆锥曲线第二种定义的教学
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圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，体现了数形结合的思想。因此，要处理好圆锥曲线的综合问题，一定要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用。用点集的观点去定义除圆以外的圆锥曲线，既可以使学生掌握“ 圆锥曲线是与定点和定直线距离之比之常数ｅ的点的集合” 这一本质属性，进而深入理解几种圆锥曲线的区别与联系以及各自的几何性质，又可以利用这种定义去简便地解决一部分有关圆锥曲线的问题，因此搞好圆锥曲线第二定义的教学，非常重要的。但教材中这部分的内容是由例是题提出的，往往容易被学生忽视，因而需要教师精心

圆锥曲线第二定义

1.圆锥曲线第二定义是什么？
答：圆锥曲线的第二定义是：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到和且仅和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支。

平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。

定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。

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