浙江名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届第一次联考数学试卷(无答案)
浙江省2020届高三第一次联考试题 数学【含解析】
浙江省2020届高三第一次联考试题数学一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <， 所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）3323D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,23ac ==，所以233c e a ==，故选C. 【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立. 【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，当直线过点(3,4)A 时，其截距最大，所以max 23410z =⨯+=，故选B.【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是（ ） A. 1 B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】 【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到077y -<<. 【详解】设0(0,)A y ，两圆的圆心距2203d y =+，因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点， 所以2203131234d y -<<+⇒<+<，解得077y -<<，选项B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ， 当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><， 所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】 【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=， 因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况： （1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，2244a b a b a b --≤+≤-（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤； 综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或2244a b a b a b --≤+≤-所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或2244a b a b a b --≤+≤- 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】 分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<， 由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】2 【解析】 【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=， 故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ， 表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】 【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________. 【答案】 (1). 326+ (2). 22【解析】 【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒，所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin1523212222BE ===⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅22462(42)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=，故答案为326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____.【答案】1 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______．【答案】4 【解析】 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ， 则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b， 由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 848122822b b b b b b b b -∠==≤=+⨯+⨯，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-， 所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos 3sin cos f x x x x =．（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 334cos α+= 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值； （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得334cos α+=. 【详解】解:（1）因为21cos231()cos 3sin cos sin2sin 2226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， 所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】 【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值.【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ， 平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥， 又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ，又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角． 设 2AB BC ==， 由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====30105sin 53BHBMH BM∠===，则BM 与平面1 CB M 10【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S a =，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b +++=-+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++<．【答案】(1) n a n =.2nn b =. (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）利用55a =，36S a =得到关于1,a d 的方程，得到n a n =；利用临差法得到12nn b b -=，得到{}n b 是等比数列，从而有2nn b =； （2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n -+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11145335a d a d a d +=⎧∴⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为n a n =.122(22)2n n b b nb n b ∴++=-+，当2n ≥时，12112(1)(24)2n n b b n b n b --++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=， 即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n nn a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+， 则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1) 22143x y +=. (2) ()2,1【解析】 【分析】（1）由题设可知26,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又12e =，把,a b 均用c 表示，并把点26,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c =； （2）根据导数的几可意义求得直线BC 的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E 的坐标，求得中垂线方程，即可求得K 点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A 坐标. 【详解】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知26,1P ⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b ∴+=， 又12e =，22811123c c∴+=， 可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=.（2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则切线l 的方程为20024x x y x =-代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=，设()()()112233,,,,,B x y C x y E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为200847x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m = 【解析】 【分析】 （1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4xF x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论. 【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正，故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4xF x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，11120a F '⎛++ < ⎪⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． 又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >， 又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==， 故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-， 令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=． 在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。
浙江省十二校新高考研究联盟2020届高三数学第一次联考试题 文
浙江省名校新高考研究联盟2020届第一次联考数学（文科）试题卷参考公式：球的表面积公式：棱柱的体积公式：球的体积公式：其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高其中R表示球的半径台体的体积公式：锥体体积公式：其中分别表示棱台的上、下底面积，h表示其中S表示锥体的底面积，h表示棱台的高锥体的高第I卷(选择题共50分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集R，集合=，，则 ( )A． B． C． D．2．“为锐角”是“”成立的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．设复数，是的共轭复数，则 ( ) A．B． C． D．14．若变量满足约束条件，则的最大值是( )A．0 B．2 C．5 D．65．阅读右面的程序框图，则输出的等于 ( ) A．40 B．38 C．32 D．206．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A．6 B． C． D．47．非零向量，的夹角为，且，则的最小值为( )A． B． C． D．18．函数=R)的部分图像如图所示，如果，且，则 ( )A． B． C． D．19．已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为，则椭圆离心率为( )A． B． C． D．10．已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为( )A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知，则= ▲．12．已知直线与圆相交于两点，则= ▲．13．某班50名学生在一次健康体检中，身高全部介于155与185之间．其身高频率分布直方图如图所示．则该班级中身高在之间的学生共有▲人．14．两个袋中各装有编号为1，2，3，4，5的5个小球，分别从每个袋中摸出一个小球，所得两球编号数之和小于5的概率为▲．15．已知等比数列的公比为2，前项和为．记数列的前项和为，且满足，则= ▲．16．若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的最小值为▲．17．如图，将菱形沿对角线折起，使得C点至，点在线段上，若二面角与二面角的大小分别为30°和45°，则= ▲．三、解答题（本大题共5小题，共72分。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三数学第一次联考试题(含解析)
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <， 所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,23a c ==，所以23c e a ==，故选C. 【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y =+的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，当直线过点(3,4)A 时，其截距最大，所以max 23410z =⨯+=，故选B. 【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距达到最大时，z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是（ ） A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】 【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ， 当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><， 所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】 【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=， 因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况： （1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤； 综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】 【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】 【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ， 表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】 【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】 【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】 分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ， 则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b， 由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-， 所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值； （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】 【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ， 平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥， 又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ， 又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角． 设 2AB BC ==， 由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=， 即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+， 则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正， 故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-， 令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=． 在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。
浙江省名校新高考研究联盟2020届高三数学上学期第一次联考试题PDF2019090501151
高考复习2019年8月Z20联盟开学联考试题解析I ： <2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第1题)K 已知集合・4 = {x|(x-3)(x + l)>0}, 5 = (x||x-l|>l},则(C K A)f]B= < Aj-L0）U （2,3]B.（2.3]方法提供：（浙江绍兴金晓江）解析：A = [x\x > S E J CX 〈一 1}, 8 = (x|x > 2 或0}, GJ = (x|-l<x<3),所以(G ・4)D3 = [-L0)U(2,3]故选A2： （2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第2題） 2、已知双曲线C ：y-^ = 1.则C 的离心率为（ ） A •專B.后C.罕方法提供：（浙江绍兴金晓江） 解析：。
2=9出=3, = , +牛='=¥，故选C3： （2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第3题）已知。
,5是不同的直线，，是不同的平面.若。
丄久方丄艮a 〃尸，则下列命题中正确的是（方法提供：（浙江绍兴金晓江） 解析：易知A/a 或此。
也有可能，故43错。
a 丄戶显然成立，故选C 4： <2019年8月Z20联盟开学联考试题鮮析第4题）A."aB b//aC.Q 丄贞D a”C.(TT ・0)U(2.*D )D. (-L0)U(2,3)D.23, 4、 已知实数'，）'满足A.11x +），21 ,则2x +），的最大值为（ 心(x-1)B.10C.6方法提供：（浙江绍兴金晓江）,■,解析；如图所示，直线经过点N （3,4）, 2x + .y 最大，最大值为10。
故选BA项A 符合，故选:A6： （2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第6题）方法提供：（浙江金华阮国勇）解析：函数/（对的图像如图所示：当f （a ）< 1时，ae[-4,2],故选：D7： （2019年8月Z20联盟开学联考试题解析第7題）解析：XT0*. 11叫-> 一8. cosx->lr /(、)->*[同理：X->OL /(・X )TYO .所以排除 C 、 D,又易知/（X ）= 0在卜2m2i]有6个零点：±1, ±y, 土号，所以排除A,所以本题选：B5、已知圆C 的方程为（x-3）'+尸=1,若y 轴上存在一点K ，使得以.4为圆心，半径为3的圆与圆 C 有公共点，则H 的纵坐标可以是 A.1 B.-3 方法提供：（浙江金华阮国勇）C.5D.-7解析：由题意知：圆C 和圆/有公共点，设N （0. b ）,有：2<\AC\ = yJ9 + b 2 <4,代入检验知，选6、已知函数/（x ） =厂言。
【数学】浙江省名校新高考研究联盟(Z20 联盟)2020 届开学考数学试题卷(含答案)
C.
D. ∥
x 3
4、已知实数
x,
y
满足
x
y
1
，则 2x y 的最大值为
y
2
x
1
A.11
B.10
C.6
D.4
5、已知圆 C 的方程为 x 32 y2 1 ，若 y 轴上存在一点 A ，使得以 A 为圆心，半径为 3 的圆与圆
C 有公共点，则 A 的纵坐标可以是
A.1
B.-3
C.5
20、（本题满分 15 分）已知数列 an 为等差数列， Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a5 5, S3 a6 .数
列 bn 满足 a1b1 a2b2 anbn 2n 2bn 2 .
（1）求数列 an ，bn 的通项公式；
（2）令
cn
an bn
,n
N*
，证明：
c1
c2
cn
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浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第一次联考
数学试题卷
选择题部分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1、已知集合 A x x 3x 1 0 ， B x x 1 1 ，则 CR A B
，即
BM
与平面 B1MC
所成角的正弦值为
10 . 5
...........2 分
20．解：（1）设等差数列{an} 的公差为 d ， ∴ 3a1a1++43dd==5a1 + 5d ，
解得
ad1
=1 =1
，∴数列
{an
《名校入学考》浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三上学期第一次联考2数学答案
同理知存在 x3 0 x4 ，使得 F(x1) = F(x2 ) = m ，故 B = [x3, x4 ] .
……………1 分
F (x) − G(x) = (4ax2 − e2x ) − (ax2 − ex ) ，
令 H (x) = ax2 − ex ，由 a 0 知 H (x) 在 (−,0) 上单调递减，
− 48x02
− 144)
0
0 x02 8 + 4 7 ，故此解符合题意. （其他解法酌情给分）
22．解：（1） h(x) = 1 x2 + ex ， h(x) = 1 x ……………1 分
h(x) 在 R 上单调递增，且 h(−1) = 0 ，
h(x) 在 (−, −1) 上负，在 (−1, +) 上正，
1+ 1+ 1
又 F (0) 0, F (−
2
2a
)
0（也可依据
lim
x→−
F ( x)
0 ），存在
x0
0
使得
F (x0 )
=
0，
故 F (x) 在 (−, x0 ) 上单调递减，在 (x0 , +) 上单调递增.
又 对 于 任 意 m N* ， 存 在 x ln m 使 得 F(x) m ， 又 lim F (x) → + ， 且 有 x→−
−
x03 8(x02 + 3)
=
3x0 8(
(x02 + 4) x02 + 3)
,
k
FD
=
−
2 x0
, kBC
=
x0 2
, kFD
2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三(上)第一次联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|2x−3<0}，则A ∩B =( )A. [−2,1]B. [−1,32)C. (−∞,32)D. (−∞,−1]2.(2x−1x 2)7的展开式中1x 2项的系数是( )A. 672B. −420C. 84D. −5603.已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 7a 5=1213，则S 13S 9=( )A. 913B. 1213C. 75D. 434.已知随机变量X 的分布列如下表所示，则E(2X +1)=( ) X 123P13a 16A. 116B. 113C. 143D. 2235.已知函数f(x)=log 2(x 2−ax),a ∈R ，则“a ≤2”是“函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为( )A. (π6,2π3]B. (π6,4π3]C. (π3,4π3]D. (π3,7π3]7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为( )A. 74B. 2C. 32D. 538.设函数f(x)=a(x−1)2−1,g(x)=cos πx2−2ax ，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(−1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是( )A. a≤2B. 12<a≤1 C. 12<a≤2 D. 1<a≤2二、多选题：本题共3小题，共18分。
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟(z20联盟)高三(上)第一次联考数学试卷(8月份)
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{||1|1}B x x =->，则()(R A B =ð )A ．[1-，0)(2⋃，3]B ．(2，3]C ．(-∞，0)(2⋃，)+∞D ．(1-，0)(2⋃，3)2．已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为( ) ABCD ．23．已知a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是( ) A ．b α⊥B ．//b αC ．αβ⊥D ．//αβ4．已知实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．11B ．10C ．6D ．45．已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是( ) A ．1B ．3-C ．5D ．7-6．已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，若f （a ）1…，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，4][2-，)+∞B ．[1-，2]C ．[4-，0)(0⋃，2]D ．[4-，2]7．已知函数()(||)cos f x ln x x =，以下哪个是()f x 的图象( )A ．B ．C ．D ．8．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成△A BE '，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，A C '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则( )A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．αβθ<<9．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈有两个零点，则“20a b -+剟”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]”的一个( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要10．已知数列{}n a 满足：1102a <<，1(2)n n n a a ln a +=+-，则下列说法正确的是( ) A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a << 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位），则z 的虚部为 ，||z = ． 12．某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：)cm ，则该几何体的体积为 3cm ，表面积为 2cm ．13．若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=+++⋯+，则0a = ，2a = ．14．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在线段BC ，AB 上，36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE = ，cos CED ∠= ．15．某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是 （用数字作答）．16．已知A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补，记AF ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，则222111k k -= ． 17．已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数2()cos cos f x x x x =．（1）求()3f π的值；（2）若13()210f α=，(0,)3πα∈，求cos α的值．19．在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点． （1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令,*nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 21．已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q两点，||PQ =．（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别 记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限，求点A 的坐标．22．设a 为实常数，函数2()f x ax =，()x g x e =，x R ∈． （1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设*m N ∈，不等式(2)()f x g x m +…的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +…的解集为B ，当(0a ∈，1]时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{||1|1}B x x =->，则()(R A B =ð )A ．[1-，0)(2⋃，3]B ．(2，3]C ．(-∞，0)(2⋃，)+∞D ．(1-，0)(2⋃，3)【解答】解：集合{|(3)(1)0}{|1A x x x x x =-+>=<-或3}x >， {||1|1}{|0B x x x x =->=<或2}x >， {|13}R C A x x ∴=-剟，(){|10R A B x x ∴=-<…ð或23}[1x <=-…，0)(2⋃，3]．故选：A ．2．已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为( )A B C D ．2【解答】解：双曲线22:193x y C -=，可得3a =，b =c ==所以C 的离心率为：c e a ==故选：C ．3．已知a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是( ) A ．b α⊥B ．//b αC ．αβ⊥D ．//αβ【解答】解：a α⊥，b β⊥，//a β， A 、//b α，故本选项不符合题意； B 、//b α或b α⊆，故本选项不符合题意； C 、αβ⊥，故本选项符合题意；D 、αβ⊥，故本选项不符合题意；故选：C ．4．已知实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．11B ．10C ．6D ．4【解答】解：由实数x ，y 满足312(1)x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩………作出可行域如图，联立32(1)x y x =⎧⎨=-⎩，解得(3,4)A ，化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为10．故选：B ．5．已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是( ) A ．1B ．3-C ．5D ．7-【解答】解：圆C 的方程为22(3)1x y -+=，则圆心(3,0)C ；设y 轴上一点(0,)A b ，当以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点时， 满足31||31CA -+剟，即24，所以24， 化简得27b …，b ，A ∴的纵坐标可以是1．故选：A ．6．已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，若f （a ）1…，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，4][2-，)+∞B ．[1-，2]C ．[4-，0)(0⋃，2]D ．[4-，2]【解答】解：函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-⎧=⎨>⎩…，f （a ）1…，可得0|2|11a a ⎧⋯⎨+-⎩……①或201a log a >⎧⋯⎨⎩…②，解①得：[4a ∈-，0]， 解②得：(0a ∈，2]， 综上[4a ∈-，2]． 故选：D ．7．已知函数()(||)cos f x ln x x =，以下哪个是()f x 的图象( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数()(||)cos f x ln x x =，是偶函数；2x π=-时，20y ln π=>，排除选项C 、D ，x π=-时，0y ln π=-<，排除选项A ，故选：B ．8．在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成△A BE '，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，A C '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则( )A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αθβ<<D ．αβθ<<【解答】解：如图，四边形ABCD 为矩形，BA A D ∴'⊥'，当A '点在底面BCD 上的射影O 落在BC 上时，平面A BC '⊥底面BCD ， 又DC BC ⊥，DC ∴⊥平面A BC '，DC BA ∴⊥'， BA ∴'⊥平面A DC '，在Rt △BA C '中，设1BA '=，则BC =1A C ∴'=，O ∴为BC 中点， 当A '点在底面上的射影E 落在BD 上时，A E BD '⊥，设1BA '=，则A D '=，A E '=，BE = 要使点A '在平面BCD 上的射影F 在BCD ∆内（不含边界），则点A '的射影F 落在线段OE 上（不含端点）， 可知A EF ∠'为二面角A BD C '--的平面角θ， 直线A D '与平面BCD 所成角为A DF α∠'=， 直线A C '与平面BCD 所成的角为A CF β∠'=，由题意得DF CF >，A C A D ∴'<'，且1A E '=<，A C '的最小值为1， sin sin sin A DF A CF A EO ∴∠'<∠'<∠'，αβθ∴<<．故选：D ．9．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈有两个零点，则“20a b -+剟”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]”的一个( )条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【解答】解：由已知可知△240a b =->函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]分为两种情况： ①函数()f x 在区间[0，2]上只有一个零点⇔0(0)(2)0f f >⎧⎨⎩…因为(0)f f （a ）222222(42)2424()40b a b b ab b b ab a b a a b b a =++=++=+++-=++-…，即22()4a b a b +-…，又因为240a b ->，此时得不到a b +具体取值范围；②函数()f x 在区间[0，2]上有2个零点⇔0(0)0(2)420022f b f a b a >⎧⎪=⎪⎪⎨=++⎪⎪<-<⎪⎩……，解得20a b -+剟；即20a b -+剟可推出函数()f x 在区间[0，2]上有2个零点， 因而20a b -+剟是函数()f x 至少有一个零点属于区间[0，2]的充分不必要条件． 故选：A ．10．已知数列{}n a 满足：1102a <<，1(2)n n n a a ln a +=+-，则下列说法正确的是( ) A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a << 【解答】解：下面证明：112n a <<．(2)n …． 令()(2)f x x ln x =+-，102x <<． 11()1022xf x x x--'=+=>--， ∴函数()f x 在1(0,)2上单调递增，1()()(0)2f f x f ∴>>，∴131(2)222ln x ln x +>+->． 112n a ∴>>． ∴2019112a <<． 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位），则z 的虚部为 1- ，||z = ． 【解答】解：2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i ----====--+++-，z ∴的虚部为1-，||z ==．故答案为：1-12．某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：)cm ，则该几何体的体积为 33cm ，表面积为 2cm ．【解答】解：由题意可知几何体的正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：31123222112()323cm ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．表面积为：21114362211212)2222cm ⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯⨯=+．故答案为：233；43213．若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=+++⋯+，则0a = 2- ，2a = ． 【解答】解：若72807162567012877777(2)(21)(2)[(2)(2)(2)(2)]x x a a x a x a x x C x C x C x C x C +-=+++⋯+=+-++⋯+-，则常数项02a =-，2x 的系数652277222154a C C =-=-， 故答案为：2-；154-．14．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在线段BC ，AB 上，36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE = +cos CED ∠= ．【解答】解：36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，∴在BDE ∆中，2DB =，45B =︒，120BDE ∠=︒，15BED ∠=︒，由正弦定理，可得sin sin BD BDEBE BED∠==∠，在CEB ∆中，由余弦定理，可得2222?cos CE BE CB BE CB B =+-224(4=-=-，4CE ∴=-∴2221cos 2?2CE BE CB CEB CE BE +-∠==， 60CEB ∴∠=︒，45CED CEB BED ∴∠=∠-∠=︒，cos CED ∴∠=．故答案为：．15．某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是 60 （用数字作答）．【解答】解：体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A =种． 其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A =种． 故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种， 故答案为：60．16．已知A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补，记AF ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，则222111k k -= 1 ． 【解答】解：A ，B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线AF ，BF 的倾斜角互补， 可知直线AF 与直线BF 关于x 轴对称，如图：(1,0)F ，设21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，B 关于x 轴的对称点221(4y B ，2)y -，121221214244y y k y y y y +==--，2124k y y =+， 12()4y y -=-，可得124y y =，则221212122221()()11116164y y y y y y k k +--=-==． 故答案为：1．17．已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为 4 ．【解答】解：由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ==， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则(2,0)A ，(2,)B b ，0b >， 则(2,0)a =，(2,)b b =， 由3144c a b =+，则(2,)4b C ，则直线OB ，OC 的斜率分别为2b ，8b ， 由两直线的夹角公式可得：3328tan 841282b b BOC b b b b -∠===+⨯+…，当且仅当82bb =即4b =时取等号， 此时(2,4)B ， 则(0,4)a b -=-， 即||4a b -=， 故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数2()cos cos f x x x x =．（1）求()3f π的值；（2）若13()210f α=，(0,)3πα∈，求cos α的值．【解答】解：（1）函数21cos 21()cos cos sin(2)262x f x x x x x π+=+==++，所以51()sin 1362f ππ=+=．（2）13()210f α=，所以113sin()6210πα++=，整理得4sin()65πα+=，由于(0,)3πα∈，3cos()65πα+=． 则3341433cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666552ππππππαααα+=+-=+++=+=19．在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点． （1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，则(0B ，0，0)，1(1B -，0，(0C ，2，0)， 3(2M ，0， 1(1BB =-，0，3(,2CM =-，∴133022BB CM =-+=，1BB CM ∴⊥．（2）解：3(2BM =，1(1CB =-，2-，3(2CM =，2-， 设平面1CB M 的法向量(n x=，y ，)z ，则1203202n CB x y n CM x y⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，取2z =，得(0n =2)， 设直线BM 与平面1CB M 所成角为θ， 则||sin 7||||37nBM n BM θ===， ∴直线BM 与平面1CB M ．20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令,*nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）设首项为1a ，公差为d 的数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =， 则：114532362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a d ==，所以11n a n n =+-=，数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．①所以当2n …时1122111(222)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=--+．②，①-②得1(24)(2)n n n b n b --=-，整理得()12nn b b -=常数，当1n =时，12b =，所以1222n n n b -==．证明：（2）由于,2n n n a n b ==，所以2n n n c =，故：231232222n nnT =+++⋯+①，2341112322222n n nT +=+++⋯+②， ①-②得23411111112222222n n n n T +=++++⋯-，解得2222n n nT +=-<．21．已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q两点，||PQ =．（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别 记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限，求点A 的坐标．【解答】解：（1）椭圆的离心率12c e a ==，①椭圆过点1)，代入椭圆方程228113a b+=，②222a b c =+，③解得24a =，23b =，21c =，所以椭圆的方程22143x y +=； （2）设0(A x ，20)4x ，求导2xy '=，则切线的斜率02x k =，切线方程2000()42x x y x x -=-，即20024x x y x =-，令0y =，则02xx =，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，(E E x ，)E y联立200222434120x x y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，整理得4223000(3)1204x x x x x +-+-=， 3012203x x x x +=+，则30122022(3)E x x x x x +==+，32200002200322(3)44(3)E x x x x y x x =⨯-=-++， 所以3020(2(3)x E x +，20203)4(3)x x -+，则BC 的中垂线的EK 的方程：23002200032()()4(3)2(3)x x y x x x x --=--++，令0y =，则30208(3)x x x =+，则320(8(3)x K x +，0)， 所以00211224x x S =⨯⨯=，3232000001222200039(4)1()228(3)4(3)64(3)x x x x x S x x x +=⨯-⨯=+++， 因此2200122209(4)1816(3)49x x S S x +==+，解得204x =，则02x =，则(2,1)A ． 所以A 的坐标(2,1)．22．设a 为实常数，函数2()f x ax =，()x g x e =，x R ∈． （1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设*m N ∈，不等式(2)()f x g x m +…的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +…的解集为B ，当(0a ∈，1]时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当12a e =时，2()()()2x x h x f x g x e e =+=+， ()x xh x e e∴'=+， 令()0x xh x e e'=+=，解的1x =-， 当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>， ()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，222222()()4()(4)()x x x x F x G x ax e ax e ax e ax e -=+-+=---，所以2()4x F x ax e '=+，()8x F x a e ''=+，(0a ∈，1]，()0F x ''∴>恒成立，即()F x '递增的，()n limF x →-∞'=-∞，(0)0F '>，所以函数()F x 先减后增，又()n limF x →-∞=+∞，()n limF x →+∞=+∞，且(0)1F m =…，根据零点存在定理，必存在1x ，2x ，使得120x x <…且12()()F x F x m ==， 所以集合1[A x =，2]x ；同理可得，存在3x ，4x ，使得34()()G x G x =，解得集合3[B x =，4]x ； 设2()x H x ax e =-，(0a ∈，1]，所以当0x <时，()2x H x ax e '=-，即()H x 单调递减， 则0x <时，()()(2)()0F x G x H x H x -=->， 所以331()()()F x G x m F x >==， 所以()F x 单调递减， 所以31x x <；若1m =时，则240x x ==，此时A B ⊆；当0x >时，设22222()()()(4)()3x x x x h x F x G x ax e ax e ax e e =-=---=-+， 则2()62x x h x ax e e '=-+，(0)0h '<，2()640x x h x a e e ''=-+<恒成立， 所以()h x '单调递减，即0x >时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，而(0)0h =，所以()0h x <，()()0F x G x -<， 当1m >时，244()()()F x m G x F x ==>，所以()F x 单调递增， 所以240x x >>，但31x x <， 所以不满足A B ⊆或B A ⊆．综上所述，当且仅当1m =使得A B ⊆或B A ⊆成立．。
2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考数学试题
浙江名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考数学试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =A.[1,0)(2,3]-B.(2,3]C.(,0)(2,)-∞+∞D.(1,0)(2,3)-2. 已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是A.b α⊥B.//b αC.αβ⊥D.//αβ 4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为A.11B.10C.6D.45. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是A.1B.3-C.5D.7-6. 已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象A. B.C. D.8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则A.βαθ<<B.βθα<<C.αθβ<<D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322a <<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第一次联考+数学答案
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第一次联考数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】B【解析】{|12}A x x =-≤≤，3{|}2B x x =<，所以A B =3{|1}2x x -≤<，故选B.2．【答案】D【解析】347232(2)(150)6C x x x=--，故选D.3．【答案】D【解析】113137951913()13131242999133()2a a S a S a a a +===⨯=+，故选D. 4．【答案】C【解析】由分布列的11136a ++=，得12a =，所以11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=,所以14(21)2()13E X E X +=+=，故选C.5．【答案】B若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则1210a a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，得1a ≤，所以“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的必要不充分条件. 6．【答案】C【解析】因为(0,1)x ∈，则，得666x πππωω<+<+，由题意得3262πππω<+≤，得433ππω<≤，故选C. 7．【答案】A【解析】将圆台母线延长交于点S ，得圆锥1SO ，作圆锥1SO 的轴截面如右图，设底面直径2AB R =，由条件知11cos 3SAO ∠=，得3SA R =，1SO =，设内切球半径为r ，则12OT OO OO r ===，所以3SO r =，那么14SO r ==，则R =，2O 为1SO 的中点，CD 为SAB ∆的中位线，1A于是内切球的体积3143V r π=，圆台的体积2232171772483243V R SO r r r πππ=⋅⋅=⋅⋅=,所以圆台与其内切球的体积比为2174V V =，故选A.8．【答案】C【解析】令()()()0h x f x g x =-=，即2(1)1=cos 22xa x ax π---，整理得方程21cos 2xax a π+-=在(1,1)-上有解，记2()1,()cos 2xF x ax aG x π=+-=，即函数(),()F x G x 图像有公共点，如图，0()1G x <≤，当0a ≤时，2()11F x ax a =+-≤-， 显然函数(),()F x G x 图像无公共点，当0a >时，由(),()F x G x 图像的对称性，得(0)(0)(1)(1)F G F G ≤⎧⎨>⎩，即11210a a -≤⎧⎨->⎩，解得122a <≤，故选C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．【答案】BCD【解析】若1c =，2510a b ==，则25log 10,log 10a b ==，显然25log 10log 101a b c =≠+=+，故A 不正确.因为,,0a b c >，显然a b c >>，故B 正确.设2510a b c t ===，得2510log ,log ,log a t b t c t ===，则111log 2,log 5,log 10t t t a b c ===，所以111log 2log 5log 10t t t a b c+=+==，故C 正确. 对于D ，1144(4)()(14)9b aa b c a b c c a b a b+=++=+++≥，故D 正确. 10．【答案】AC【解析】如图，选项A ，直线2y x =，d CM ==，||2||AB AM ===A 正确.对于选项B ，CA CB ⋅u u r u u r||||cos cos CA CB ACB ACB =⋅∠=∠因为点A, B 不重合，所以cos 1ACB ∠<，故B 不正确. 对于选项C ，||||(||||)(||||)OA OB OM MA OM MA ⋅=+- 222222||||||()OM MA OC d r d =-=---22||1OC r =-=，故C 正确.对于选项D ，如图线段AB 中点M 满足OM CM ⊥，M 的轨迹是以OC 为直径的圆（圆C 内部部分），所以轨迹长为12222π⋅=，故D 不正确. 11．【答案】ACD【解析】当2n =时，22(cos )1cos22sin 22cos f x x x x =-==-，那么2()222f x x =-≤，故A 正确.对于B ，当3n =时，(cos )[cos()]1cos3()f x f x x ππ-=-=-- 1cos(33)x π=--1cos3x =+,三、填空题：本题共3小题，共15分.12．【答案】11314【解析】设双曲线得右焦点为F '，BF m =，则4AF m =，连结'AF ，'BF ，则'2BF m a =+，42AF m a '=+, 在BFF '∆中，BFF '∠=60︒，由余弦定理得222(2)42m a m c mc +=+-，整理得2222(2)c a m a c -=+ ①在AFF '∆中，120AFF '∠=︒，由余弦定理得222(42)1648m a m c mc +=++，整理得22(42)c a m a c -=- ②① ②两式相除得，222a c c+=，得65a c =，所以渐近线方程为5y x =±.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 【解析】 （1）连结AQ ，因为PM //平面ABC ，PM ⊂平面ADQ又平面ADQ 与平面ABC 相交于AQ ，所以//PM AQ ， 因为P 是AD 的中点，所以M 是DQ 中点. ┄┄6 （2）方法一，因为AD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，如图建立坐标系， ┄┄7(2,0,0)D ，(0,2,0)B ，(2,0,2)A ，(0,1,0)Q ， (2,1,0)DQ =-uuu r ，(2,0,2)CA =uu r ，(0,2,0)CB =uu r, 则平面ABC 的法向量为(1,0,1)=-n ，┄┄9 所以cos ,DQ DQ >=DQ ⋅<=⋅u u u ru u u r u u u rn n n，┄┄12 因此直线DQ 与平面ABC . ┄┄13 方法二，取AC 中点N ，因为DA DC =，所以DN AC ⊥, 因为AD ⊥底面BCD ，所以AD BC ⊥，又BC CD ⊥，则BC ⊥平面ACD ， ┄┄7 所以BC DN ⊥ 所以DN ⊥平面ABC ，于是DQN ∠即为所求，┄┄9DN DQ┄┄11因此sin DN DQN DQ ∠=. ┄┄13 方法三，设D 到平面ABC 的距离为d ，1242333A BCDBCD V AD S -∆=⋅=⨯=， ┄┄8易知12ABC S BC AC ∆=⋅= ┄┄9所以1433A BCD D ABC ABC V V d S --∆==⋅==，得d11因此直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值d DQ ┄┄13P B16．（本小题满分15分） 【解析】（1）由sin sin cos =22sin a c A CB c C--=, ┄┄2 则2sin cos =sin sin sin()sin sin cos sin cos sin C B A C B C C B C C B C -=+-=+- 整理得sin sin cos sin cos sin()C B C C B B C =-=-,则C B C =-，即2B C =， ┄┄5由3A π=，得233B C C π+==，则24,99C B ππ==. ┄┄7（2）由ABC ∆是锐角三角形知2232B C B C C ππ⎧=<⎪⎪⎨⎪+=>⎪⎩，得64C ππ<<， ┄┄9则cos C << ┄┄11 由正弦定理得sin c b B =，得sin 4sin 28cos sin sin c B Cb C C C===, ┄┄13因此b <<┄┄1517．（本小题满分15分） 【解析】（1）由条件得12c e a ==，即2a c =，则b，┄┄2所以12OM a c ==，2max 1()()2BMP S b a c ∆=+1c =，┄┄4因此椭圆E 的方程为22143x y +=. ┄┄6 （2）设直线PQ ：(1)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，BP uu r11(2,)x y =-，BQ uu u r 22(2,)x y =-,与椭圆联列方程得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=， 则221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++, ┄┄8所以BP BQ ⋅uu r uu u r212121212(2(2(2(2(1(1x x y y x x k x x =--+=--+++）））））） ┄┄1022222222121222(1)(412)8(2)(1)(2)()443434k k k k k x x k x x k k k k+--=++-+++=-++++ 2227634k k ==+，┄┄13 得26k =，k =PQ 的方程为1)y x =+. ┄┄1518．（本小题满分17分） 【解析】（1）()()(1)ln (1)ln(1)g x f x f x x x x x =+-=+--，01x <<,令'()1ln ln(1)1ln ln(1)g x x x x x =+---=--， ┄┄1令'()0g x =，得12x =， ┄┄2 当1(0,)2x ∈时，'()0g x <，当1(,1)2x ∈时，'()0g x >，所以()g x 有极小值1()ln 22g =-，无极大值. ┄┄5（2）()1ln 0f x x '=+=，得1x e=，易知()f x 在1(0,)e 上递减，在1(,)e +∞上递增，结合()f x 的图象，由题意得()0f e e ae bb ==+⎧⎨≥⎩，得0b e ea =-≥，1a ≤. ┄┄9于是21(1)()24e ab ea a e a =-=--+，故max ()4eab =. ┄┄11（3）先证明左边：作差()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n m m mm n m n m---+-=-- (ln ln )ln 1nn n m n m n n m m m-==-- ┄┄12令1n t m=>，(ln ln )ln ln 111n n m t tt n m t t-==---， 令()ln 1h t t t t =-+，'()1ln 1ln h t t t =+-=，当1t >时，'()0h t >，函数()h t 在(1,)+∞上是增函数，所以()ln 1(1)0h t t t t h =-+>=，因此ln 1t t t >-，所以ln 11t t t >-，即()()ln 1f n f m m n m -->-，故()()ln 1f n f m m n m->+-. （或者利用1ln 1t t >-，得ln 111t t>-） ┄┄15 对于右边()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n n m nn n m n m---+-=-- (ln ln )1ln1m n m n n n m m m-==--. 令1n t m =>，(ln ln )m n m n m --ln 11tt =<-， （利用ln 1t t <-，得ln 11tt <-）即()()ln 1f n f m n n m--<-，故()()ln 1f n f m n n m -<+-.综上得()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-. ┄┄17（证出任何一边得4分）19．（本小题满分17分） 【解析】（1）由于{}n x 是等比数列，则212n n n x x x ++=，且12,,0nn n x x x ++≠，0a ≠, ┄┄2 由条件得21n n n x ax ax +=-，所以22111()()n n n n n n x ax ax x ax ax +++-=-，则1n n ax a ax a +-=-，即n x =21n nn x ax ax +=-，得01n a x x a+== ┄┄4 所以101a a +<<，即110a-<<，得1a <-. ┄┄6 （2）①由1a =-知21n n n x x x +=-+，11111=11n n n nn x x x x x +=+--（）， 则11111n n nx x x +-=-， ┄┄8 因为210n n n x x x +-=-<，所以数列{}n x 是递减数列， 于是012n x x ≤=，111121n n nx x x +-=≤-； ┄┄10 又110n n nx x x +=->，所以1,n n x x +同号，那么n x 与0x 同号，即0n x >， 于是111111n n n x x x +-=>-，因此11112n nx x +<-≤. ┄┄12 ②由21nn n x x x +=-，得2011012n i n n i x x x x ++==-=-∑, ┄┄14 因为1112n n x x +-≤，所以10112(1)24n n n x x +≤++=+，则1124n x n +≥+，┄┄16 所以21111122242(2)ni n i n x x n n +=+=-≤-=++∑. ┄┄17。
Z20 名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2023 届高三第一次联考参考答案
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第一次联考数学参考答案（后附评分细则）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）8．解法一：不妨设()()1,0,2,0a b =−=，(),c x y =，因为12c a c b −=−，=即2240x x y ++=，由图可知，向量c b −与a 夹角的最大值是6π. 解法二：∵2c a c b −=−，∴2c b b a c b −+−=−，又∵2b a =−，∴()23c b a c b −−=−， 则()()()222469c b a c b a c b ⎡⎤−−⋅−+=−⎢⎥⎣⎦， 即()()28120c b a c b −−⋅−+=，即()()2128c b a c b−+⋅−=，所以()()()()22212123cos ,288c b a c b c b a c b a c bc bc b−⋅−−+<−>==≥=−−−， 向量c b −与a 夹角的最大值是6π.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分共20分.每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）11．解析：如图，过A 、B 作准线1y =−的垂线，垂足分别为H 、G ，设线段AB 的中点为C ，C 在准线上的射影为D .当线段AB 为通径时长度最小为24p =，故A 正确；y xOac bc b −因为1212AB x x k p+==，故B 正确； 因为直线1y =−为抛物线准线，由抛物线定义可知弦AB 的中点到准线的距离CD 等于()11||||||22BG AH AB +=， 故圆与直线1y =−相切，所以点M 在该圆的圆上或者圆外，故C 错误；由题意(0,1)M −，设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，直线AB 方程为1y mx =+， 则214y mx x y=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440x mx −−=，所以12124,4x x m x x +==−， 2212121122111144,44MA MB x x x x k k x x x x ++==+==+,1212121212121211044444MA MB x x x xx x x x x x k k x x x x ++++∴+=+++=+=−=，所以直线MA 与直线MB 的斜率互为相反数，直线倾斜角互补，所以∠AMO =∠BMO ， 故D 正确（D 选项也可用平面几何三角形相似得到）， 故选：ABD.12．解析：∵ln ()x f x x =，∴21ln ()x f x x −'=，()f x ∴在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减， 又∵2211ln ln e ex x x k x ==， ∴当0k >时，要使12x x +越小，则取21e 1x x =→，故有121x x +>，故A 正确； 又21e x x 与均可趋向于+∞，故B 错误；当0k <，21e x x =，且1(0,1)x ∈，1211ln 1x x x x ∴+=+<，故C 正确； 21e e kk x k x ⋅=，令()e ,0k g k k k =<，'()(1)e k g k k =+， ()g k ∴在(,1)−∞−单调递减，在(1,0)−单调递增，1()(1)eg k g ∴≥−=−，故D 正确，故选：ACD.三、填空题（本大题有4小题，单空每空4分，多空每空3分，共20分） 13．π；14．122n +−；15．63；16．132a −±=．16．解析：直线l 的方程可化为()3230a x y x y −−++−=，由23030x y x y +−=⎧⎨−−=⎩，解得直线l 的恒过定点()2,1−，又点C 到直线l 的距离为d ==，因为2211sin 2=222ABC S r BCA r r ∆=∠≤=⇒， 则当ABC ∆的面积最大为2时，ABC ∆为等腰直角三角形， 圆心C到直线l的距离为d =解得 a =四、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解： （1）()()3sin cos cosbA C c aB −=−，)()sin cos sin sincos BA C C AB ∴−=−，()sinsin sin cos A B B C A B =+−sin sin sin cos A B A A B =−， sin 0,cos 1,A B B ≠+=即有1sin(),62B π+=7(,),666B πππ+∈23B π∴=； 5分（2）若选①O 为ABC ∆的重心，111sin 3324OAC BAC S S ac B ∆∆===； 10分若选②O 为ABC ∆的内心，∵2222cos 49b ac ac B =+−=，∴7b =， 设内切圆半径为r ，则有1()24ABC a b c r S ∆++==， 则有2r =，此时124OAC S br ∆==； 10分若选③O 为ABC ∆的外心，∵2222cos 49b a c ac B =+−=，∴7b =，设外接圆半径为R ，则2R sin b B =，解得 R 3=，如图，23AOC π∠=, AB CE FD O ABCO此时,21R sin 2OACSAOC =∠=. 10分18．解： （I=N n *∈且2n ≥），∴n a =∴当2n ≥时，1n n S S −−∴=+，又∵0n a >0，1(2)n =≥，∴数列1==为首项，公差为1的等差数列，1(1)1n n =+−⨯=，所以2n S n =. 4分 ∴当2n ≥时，121n a n n n =+−=−，又∵11a =满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =−. 6分 另解：当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−， 当1n =时，11a =，满足上式，所以{}n a 的通项公式为21n a n =−. 6分 （II ）当2n ≥时，221111114441n a n n n n ⎛⎫==− ⎪−−−⎝⎭， 故22211111111111111141223144n a a n n n ⎛⎫⎛⎫++=⨯−+−++−=⨯−< ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭， 所以对,2n N n *∈≥，都有222111114n a a ++<−−. 12分 19．解：（I ）方法一：延长,CB DA 交于点F ，连接PF ，在CDF ∆中， ∵BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥， ∴点B 是CF 的中点，又∵E 是PC 的中点，∴BE ∥PF ，又PF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴直线BE ∥平面PAD . 6分方法二：取CD 的中点为G ，连接GE ， ∵E 为PC 的中点，∴GE ∥PD ， 又PD ⊂平面PAD ，GE ⊄平面PAD ，F P AB CD E∴GE ∥平面PAD ，① 又在四边形ABCD 中，2AD =，4BD =，AB =则90,60BAD BDA BDC ∠=∠=∠=,又因为BD BC ⊥，G 为CD 的中点，所以60DBG BDA ∠=∠=,所以AD ∥BG ，可得BG ∥平面PAD ，②由①②得平面BEG ∥平面PAD ，又BE ⊂平面BEG ，BE ⊄平面PAD ，∴直线BE ∥平面PAD .（II ）在ABD ∆中，2AD =，4BD =，AB =则90BAD ∠=，即BA AD ⊥，由已知得60BDC BDA ∠=∠=，8CD =，又平面PAD ⊥平面ABCD ，BA ⊂平面ABCD ，所以BA ⊥平面PAD ，即BA PA ⊥， 所以PAD ∠为二面角P AB D −−的的平面角，所以60PAD ∠=， 又2PA AD ==，所以PAD ∆为正三角形，取AD 的中点为O ，连OP ，则OP AD ⊥，OP 如图建立空间直角坐标系，则()(()1,0,0,1,23,0,,1,0,0,A B C D P −−, 所以()()()1,0,3,2,23,0,DP BD DC ==−−=−,设()()111222,,,,,m x y z n x y z ==分别为平面PBD 和平面PCD 的法向量，则 0m DP m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111020x x ⎧+=⎪⎨−−=⎪⎩，取11y =−，则()3,1,1m =−−，n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222204430x x ⎧+=⎪⎨−+=⎪⎩，取21y =，则()3,1,1n =−，所以3cos ,5m n m n m n⋅==⋅， 则平面PBD 和平面PCD 所成夹角的余弦值为35. 12分20．解： （I ）由题意得45670.20.30.40.55.5,0.3544x y ++++++====，又4170.560.450.340.8.22i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，PA B CDE G∴4148.24 5.50.350.5i ii x y x y =−⋅=−⨯⨯=∑∵42222217654126,ii x==+++=∑ ∴4222141264 5.55ii xx ==−−⨯=∑∴41422140.5ˆ0.154i ii ii x y xybxx ==−===−∑∑， 所以0.35ˆˆ0.1 5.50.2a y bx=−=−⨯=−， 故得y 关于x 的线性回归方程为0.10.2y x =−. 5分 （II ）（ⅰ）将8x =代入0.10.20.180.20.6y x =−=⨯−=，估计该省要发放补贴的总金额为0.610000.5300⨯⨯=（万元） 7分（ⅱ）设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X ，则X 的所有可能值为0，1，2；2(0)(1)(23)352P X p p p p ==−−=−+，2(1)(1)(31)(23)661P X p p p p p p ==−−+−=−+−， 2(2)(31)3P X p p p p ==−=−，∴()()()222()0352********E X p p p p p p p =⨯−++−+−⨯+−⨯=−，5(0.5)0.5(41)0.758E X p p =⨯−≤⇒≤， 1031113p p ∴≤−≤∴≤≤，，1385p ∴≤≤,故p 的取值范围为15,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 12分注：p 的取值范围未取等不符不扣分 21．解： （I）因为c e a ==222243c a a b ==+，即223a b =，又点(在双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>图象上，所以22921a b −=，即229213b b−=，解得221,3b a ==，所以双曲线22:13x C y −=. 4分（II ）由已知点,A B 在以OP 为直径的圆22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，又点,A B 在221x y +=上，则有方程组2222000022,2241,x y x y x y x y ⎧+⎛⎫⎛⎫−+−=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩ 解得直线AB 的方程为001x x y y +=， 设直线AB与渐近线,y y x ==的交点分别为,M N ，由001,,x x y y y +=⎧⎪⎨⎪⎩解得M ，由001,,x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得N ，所以2200313MN x y ==−， 又点O 到直线AB的距离为d =，则三角形MON的面积222200001113112233S MN d x y x y =⋅=⨯=−−， 又因为220013x y −=，所以201833S y =+0=，由已知S =，解得203y =，即0y =，因为点P在双曲线右支上，解得0x =，即点(P或(P . 12分22．解： （I ）当22e a =时，()22211ln ln 1e e f x x x x x x x x ⎛⎫=−−=−− ⎪⎝⎭， 要证()0f x ≤，即证21ln 10ex x −−≤，设()21ln 1,0eg x x x x =−−>，令()2110eg x x '=−=，解得2e x =，所以()g x 在()20,e 上递增，在()2e ,+∞上递减， 则()()2222max1e ln e1e 0eg x g ==−−⨯=， 所以()0g x ≤，即21ln 10ex x −−≤成立， 所以()0f x ≤成立. 5分（II ） 因为对任意的0,()x H x >在(0,)+∞上单调递减，所以()0H x '≤恒成立，即e ln 1x x x a x−−≤在(0,)+∞上恒成立，解法一：令e ln 1()(0)x x x F x x x −−=>，则22e ln ()x x xF x x +'=， 令2()e ln x h x x x =+，则()21()2e 0xh x x x x'=++>， 所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，又因为11e2e 21e (1)e 0,1e 10e eh h −⎛⎫=>=−=−< ⎪⎝⎭， 所以01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0200e ln 0x x x +=， 当00x x <<时，()0h x <，可得()0F x '<，所以()F x 在()00,x 上单调递减； 当0x x >时，()0h x >，可得()0F x '>，所以()F x 在()0,x +∞上单调递增， 所以()000min00e ln 1()x x x F x F x x −−==，由0200e ln 0x x x +=，可得01ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫=−== ⎪⎝⎭，令()e x t x x =，则()001ln t x t x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由()(1)e 0x t x x '=+>，所以()t x 在(0,)+∞上单调递增， 所以001lnx x =，可得00ln x x =−，所以001e x x =，即00e 1x x =， 所以()0000min000e ln 111()1x x x x F x F x x x −−+−====，即得1a ≤. 12分解法二： 先证e 1x x ≥+（0x ≥），设函数()e 1x h x x =−−，令()e 10xh x '=−=，解得0x =， ∴()h x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00h x h ≥=，即e 1x x ≥+成立. 设()ln k x x x =+（0x >）， ∵()110k x x'=+>，∴()k x 在()0,+∞上单调递增， ∵()1110,110e e k k ⎛⎫=−+<=> ⎪⎝⎭，∴存在()00,x ∈+∞，使得00ln 0x x +=.令e ln 1()(0)x x x F x x x−−=>， 则()ln ln e e ln 1e ln 1ln 1ln 11x x x x x x x x x F x x x x+−−−−++−−==≥=， 当ln 0x x +=时，即0x x =时，取等号. ∴()min 1F x =，即得1a ≤. 12分Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第一次联考数学试卷阅卷细则13-16．（每题5分，共20分）以数值正确为准， 注：第16题给出一个正确数值得3分. 17．（本题满分10分） （Ⅰ）5分1、有正确结论，23B π=，有过程，5分（无过程，3分） 2、无正确结论，找得分点：○1 ()sin sin sin cos A B B C A B =+− ， 2分○21sin()62B π+=，2分 ○323B π=，1分 （Ⅱ）5分1、有正确结论，有过程，5分（无过程，3分）2、无正确结论，找得分点：①1sin 2ABCS ac B ==2分 15334OACABCSS ==，3分 ② ∵2222cos 49b a c ac B =+−=，∴7b =，2分解得内切圆半径2r =，2分124OAC S br ∆==，1分③∵2222cos 49b a c ac B =+−=，∴7b =，2分解得R 3=，，2分解得21sin 2OAC S R AOC ∆=∠，1分 18．（本题满分12分）（Ⅰ）6分1、有正确结论，得21n a n =−，有过程，6分（无过程，2分）2、无正确结论，找得分点：○1n a =2分○22nS n =，2分 ○321na n =−，2分 （Ⅱ）6分1、有正确证明过程，6分（无过程，不得分）2、证明有误，找得分点： ①221111114441n a n n n n ⎛⎫==− ⎪−−−⎝⎭，3分 ②22211111111111111141223144n a a n n n ⎛⎫⎛⎫++=⨯−+−++−=⨯−< ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭，3分 19．（本题满分12分）（Ⅰ）6分1、有证明过程，6分（无过程，不得分）2、证明有误，找得分点：方法一：○1BD BC ⊥，2分 ○2BE ∥PF ，2分 ○3直线BE ∥平面PAD ，2分 方法二：○1取CD 的中点为G ，GE ∥PD ，2分 ○2AD ∥BG ，2分 ○3由平面BEG ∥平面PAD 得直线BE ∥平面PAD ，2分（Ⅱ）6分1、有正确结论35，有过程，6分（无过程，3分） 2、无正确结论，找得分点：①60PAD ∠=，1分②有建系思想，1分○3 求出法向量()3,1,1m =−−，()3,1,1n =−，2分 （法向量计算错误但有法向量计算公式的给1分）④解得余弦值为35，2分（结论错误但有法向量夹角计算公式的给1分） 其他证法酌情给分20．（本题满分12分）（Ⅰ）5分1、有正确结论：0.10.2y x =−，有过程，5分（无过程，2分）2、无正确结论，找得分点：①∵4148.24 5.50.350.5i i i x y x y =−⋅=−⨯⨯=∑， 4222141264 5.55i i xx ==−−⨯=∑，∴41422140.5ˆ0.154i ii i i x y xy b xx ==−===−∑∑，3分 ②0.35ˆˆ0.1 5.50.2a y bx=−=−⨯=−，1分 ③得0.10.2y x =−，1分（Ⅱ）7分（ⅰ）1、有正确结论：300万元，有过程，2分（无过程，1分）2、无正确结论，找得分点：将8x =代入0.10.20.180.20.6y x =−=⨯−=，1分（ⅱ）1、有正确结论：300万元，有过程，5分（无过程，2分）2、无正确结论，找得分点：①2(0)(1)(23)352P X p p p p ==−−=−+，2(1)(1)(31)(23)661P X p p p p p p ==−−+−=−+−，2(2)(31)3P X p p p p ==−=−，()()()222()0352********E X p p p p p p p =⨯−++−+−⨯+−⨯=−，3分 ②解1358p ≤≤，2分（1358p <≤或1358p ≤<或1358p <<均得2分） 21．（本题满分12分）（Ⅰ）4分1、有正确结论：双曲线22:13x C y −=，有过程，4分（无过程，2分） 2、无正确结论，找得分点：①得223a b =， 1分②点(代入()2222:10,0x y C a b a b −=>>，得22921a b−=， 1分 ③解得221,3b a ==，双曲线22:13x C y −=， 2分 （Ⅱ）8分1、有正确结论：点(P或(P ，有过程，8分（无过程，3分，只写出一个坐标的扣1分）2、无正确结论，找得分点：①解得直线AB 的方程为001x x y y +=， 1分②由001,,x x y y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得M ，1分由001,,3x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得N ，1分③2200313MN x y ==−， 点O 到直线AB的距离为d =，三角形MON 的面积222200001113112233S MN d x y x y =⋅=⨯=−−0，3分 ○4点(P或(P ，2分 本小题其他解法酌情给分22．（本题满分12分）（Ⅰ）5分找得分点累加：①要证()0f x ≤，即证21ln 10e x x −−≤，1分 ②设()21ln 1,0e g x x x x =−−>，得()g x 在()20,e 上递增，在()2e ,+∞上递减，2分 ③()()2222max 1e ln e 1e 0e g x g ==−−⨯=，即21ln 10e x x −−≤成立，2分（Ⅱ）7分1、有正确结论：1a ≤，有过程，7分（无过程，2分）2、无正确结论，找得分点：①由()0H x '≤恒成立，得e ln 1x x x a x −−≤，2分 ②令e ln 1()(0)x x x F x x x−−=>，得()F x 在()00,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增，2分③01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得0200e ln 0x x x +=，1分 ④求得()0000min 000e ln 111()1x x x x F x F x x x −−+−====，即1a ≤，2分 本小题其他解法酌情给分。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届第一次联考化学答案
Z20联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2020届第一次联考化学参考答案一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。
每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D D B C D C C题号9 10 11 12 13 14 15 16答案 D B A C B D C C 17．（11分）（1）K2FeO4（2分）（1分）（2）①4FeO42—+ 10H2O =4Fe(OH)3↓ + 3O2↑ + 8OH—（2分）②BC（2分）③取少量等质量化合物分别置于两个试管中并加等量的水溶解，然后将一支试管置于冷水中，另一支试管置于热水中，观察沉淀产生的快慢。
（其他合理答案也给分）（2分）（3）3KClO + 4KOH +2Fe(OH)3 = 2K2FeO4 + 3KCl +5H2O（2分）18．（13分）（1）O3(g)+2 Iˉ(aq)+ 2H+(aq)= I2(aq)+ H2O(l)+O2(g) ΔH=ΔH1+ΔH2+ΔH3（2分）（2）先增大后减小（1分，其他合理答案也给分：如先增大后减小，最后0）（3）①＞（2分）（2分）②791（2分）③k正/K（2分）（4）P2VP•nI2+2e-+2Li+=P2VP•( n-1)I2+2LiI（2分）19．（14分）（1）冷凝管（1分）（2）冷水浴；缓慢滴加NaOH溶液。
（2分，其他合理答案也给分）（3）（萃取）分液（1分）（4）B（1分）及时排除乙醚，以免对人体造成危害；电磁加热无明火，防止引燃乙醚蒸汽；水浴加热受热均匀容易控制温度（2分，答对1点得1分，其他合理答案也给分）（5）①趁热过滤；（1分）冷却结晶；（1分）②B（1分）③关小水龙头，使冷水缓慢通过沉淀物，重复2~3次。
（2分）（6）84.8%（2分）20．（14分）（1）C6H12O6（1分）羟基（1分）（2）（2分）（3）BC（2分，少选得1分）（4）（2分）（5）（3分写1个不给分，写2个得1分，写3个得2分，写4个得3分）（6）（3分，其他合理答案也给分）。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2024届第一次联考(附答案)
绝密★考试结束前（高三8月返校联考）浙江省名校新高考探讨联盟（Z20联盟）2024届第一次联考物理试题卷命题：长兴中学颜艳、叶银审题：平湖中学沈金林元济高级中学王建锋校对：魏俊枭考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3．全部答案必需写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题I（本题共13小题，每小题3分，共39分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．下列仪器中不能干脆测量出国际单位制中基本物理量的是A．B．C．D．2．下列说法正确的是A．法拉第首次发觉了电流的磁效应B．卡文迪许利用扭称试验测量出了万有引力常量C．第谷依据天文观测资料，提出了行星沿椭圆轨道运动D．牛顿创建了把试验和逻辑推理有机地结合起来的科学探讨方法3．一位女士由于驾车超速而被警察挡住，警察走过来对她说：“太太，您刚才的车速是60公里每小时！”这位女士反对说：“不行能的！我才开了6分钟，还不到一小时，怎么可能走了60公里呢？”依据以上对话及右图下列说法正确的是A．女士说的6分钟是时间，60公里是位移B．警察说的60公里每小时是指平均速度C．图中的○50指的是瞬时速度D．图中的○50指汽车在1小时内行驶的路程不能超过50公里第3题图第4题图第5题图60°ALB4．如图所示是火箭点火放射的某一瞬间，下列说法正确的是 A ．火箭受重力、地面推力、空气阻力作用 B ．火箭加速升空过程中处于失重状态C ．发动机喷出气体对火箭的作用力等于火箭所受的重力D ．发动机喷出气体对火箭的作用力等于火箭对喷出气体的作用力5．如图所示，一质量为m 、电荷量为Q 的小球A 系在长为L 的绝缘轻绳下端，另一电荷量也为Q 的小球B 位于悬挂点的正下方(A 、B 均视为点电荷)，轻绳与竖直方向成60°角，小球A 、B 静止于同一高度。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三上学期第一次联考技术试题 PDF版含答案
Z20联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2020届第一次联考技术参考答案第一部分：信息技术（共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、非选择题（本大题共4小题，其中第13小题4分，第14小题8分，第15小题7分，第16小题7分，共26分）13．（1）B9:O11 （1分）不需要（1分）（2）B9:B11,O9:O11或B3,B9:B11,O3,O9:O11 （1分）（3）有（1分）14．（1）AD （2分）（2）C （1分）（3）文字2图层第31帧插入空白关键帧（2分）或文字2图层第31帧至第40帧执行删除帧/清除帧操作（4）景点按钮（1分） C （1分）（5）不能（1分）15．（1）A （1分）（2）a(j) < a(k) （2分）（3）a(i)*3 >= s （2分）（4）4 （2分）16．（1）1 （1分）（2）①(x - 1) \ bk + 1 （2分）②L To BL(L) * bk （2分）③Str(a(K) + f(BL(K))) （2分）通用答案在第二页浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考技术参考答案第 1 页共 2 页第二部分：通用技术（共50分）一、选择题(本大题共13小题，每小题2分,共26分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13答案 C B A B A B C C D B B C D二、非选择题（本大题共4小题，第14小题6分，第15小题9分，第16小题3分，第17小题6分，共24分）14．（1）C （2）B （3）A （4）B （5）C D （每空1分）15．（1）（2）与钢板连接挡车杆评分：1.能与挡车杆连接得1分2.能与钢板连接得1分3.能实现水平转动得1分4.能竖直抬起时，挡车杆牢固可靠得1分5.标出2个合理尺寸，并正确得2分（3）B C 2分（每空1分）（4）D 1分16．3分17．（1）C 1分（2）A 2分（3）D 1分（4）2分浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考技术参考答案第 2 页共 2 页。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届第一次联考技术试题 卷
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2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三(上)第一次联考数学试卷(8月份) (含答案解析)
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三（上）第一次联考数学试卷（8月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若集合A ={x||x|>1,x ∈R}，B ={y|y =2x 2,x ∈R}，则(∁R A)∩B =( )A. {x|−1≤x ≤1}B. {x|x ≥0}C. {x|0≤x ≤1}D. ⌀2. 双曲线y 24−x 25=1的离心率的值为( )A. 12B. 23C. 32D. √533. 己知两个不重合的平面α、β和直线a 、b ，下列说法正确的是( )A. 若a//α，b//β，则a//bB. 若a ⊂α，b ⊂β，且a//b ，则α//βC. 若a ⊥α，b ⊥β，且a//b ，则α//βD. 若α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥b4. 已知x ，y 满足{y ≤x,x +y ≤1,y ≥−1,则z =2x +y 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若圆C ：x 2+y 2=r 2(r >0)与圆E ：(x −3)2+(y −4)2=16有公共点，则r 的范围() A. (3,6) B. [1,7] C. [1,9] D. [4,8]6. 已知函数f(x)={log 13x,x >02x ,x ≤0，若f(a)>12，则实数a 的取值范围是( )A. (0,√33)B. (−1,0]C. (−1,√33)D. (−1,0)∪(0,√33)7. 函数f(x)=(x +1x )cos2x 在[−2,2]上的大致图象为( )A. B.C. D.8.如图，已知△ABC中，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′−CD−B的平面角为α，则()A. ∠A′DB≤αB. ∠A′DB≥αC. ∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α9.函数f(x)=2x2−5x−6有两个零点x1，x2(x1<x2)，则()．A. x1∈(0,1)B. x1∈(1,2)C. x2∈(3,4)D. x2∈(4,5)10.数列{a n}满足，若a1=35，则a2014=()A. 15B. 25C. 35D. 45二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数z=3+i1+i，则∣z∣=_____________．12.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______ cm2，体积是______ cm3．13.已知(2x+√2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=_______14.已知△ABC中，AC=√2，BC=√6，∠ACB=π6，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=π4，则CD=_________．15.某学校在一天上午的5节课中，安排语文、数学、英语三门文化课和音乐、美术两门艺术课各1节，且相邻两节文化课之间最多安排1节艺术课．则不同的排课方法共有______种(用数字作答)．16.已知点M(0,2)，过抛物线y2=4x的焦点F的直线AB交抛物线于A，B两点，若∠AMF=π2，则点B坐标为______．17.已知平面向量a⃗、 b⃗ 满足|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=cos2x+2sinxcosx−sin2x；(1)求f(x)在[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(α)=35√2，α∈(π8,π2)，求sin2α的值．19.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足PN=2NA，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．20. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3=9，a n+12=6S n +9n +9，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若正项等比数列{b n }满足b 1=a 2，b 2=a 1，且c n =a n ·b n ，数列{c n }的前项和为T n .求证T n <72；21. 如图，已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F(1,0)，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M,N 两点，连接MO(O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求面积的最大值及取最大值时直线l 的方程。
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浙江名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考
数学试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =
A.[1,0)(2,3]-
B.(2,3]
C.(,0)(2,)-∞+∞
D.(1,0)(2,3)-
2. 已知双曲线22
:193
x y C -=，则C 的离心率为
2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是
A.b α⊥
B.//b α
C.αβ⊥
D.//αβ 4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩
，则2x y +的最大值为
A.11
B.10
C.6
D.4
5. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是
A.1
B.3-
C.5
D.7-
6. 已知函数2
|2|1,0()log ,0x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-
7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象
A. B.
C. D.
8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，
1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A
在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），
设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面
BCDE 所成的角分别为,αβ，则
A.βαθ<<
B.βθα<<
C.αθβ<<
D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要
10.已知数列{}n a 满足：1102
a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322
a <<
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.复数2
(1)1i z i
-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为 ，||z = . 12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ）,
则该几何体的体积为 cm 3，表面积为 cm 2.
13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则
0a = ，2a = .
14.在ABC ∆中，90ACB ∠=，点,D E 分别在线段,BC AB 上，
36,60AC BC BD EDC ===∠=，则BE = ，
cos CED ∠= .
15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相 邻，体育不能排在第一节，则不同的排法总数是 （用数字作答）.
16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为12,k k ，则222111k k -= . 17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144
c a b =+，当,b c 得夹角取得最大值时，||a b -的值为 .
第8题图
第12题图
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14
分）已知函数2()cos cos f x x x x =.
（1）求()3f π
的值； （2）若13()210f α=，(0,)3
πα∈，求cos α的值.
19.（本题满分15分）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰
三角形，且90ABC ∠=，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=，平
面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点.
（1）求证：1BB CM ⊥；
（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值.
20.（本题满分15分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S =，
数列{}n b 满足1122(22)2n n n a b a b a b n b +++=-+.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）令,N *n n n a c n b =
∈，证明：122n c c c +++<.
21.（本题满分15分）已知抛物线2
4x y =，F 为其焦点，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为其左右焦点，离心率12
e =，过F 作x 轴的 平行线交椭圆于,P Q
两点，PQ =
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于
, B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ， BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于K ，, KED FOD ∆∆的面积分别
记为12,S S ，若121849
S S =，且点A 在 第一象限，求点A 的坐标.
22.（本题满分15分）设a 为实常数，函数2(), (), R x f x ax g x e x ==∈.
（1）当12a e
=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设N*m ∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，
当(0,1]a ∈时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立？若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由.。