金融工程随机过程

一个随机过程就是随机变量按时间编排的集合。

一.平稳随机过程若一个随机过程的均值和方差在时间过程上保持常数，并且在任何粮食其之间的协方差仅依赖于改良时期之间的距离或滞后而不依赖于计算这个协方差的实际时间，则称之为平稳随机过程。

在时间序列文献中，这种随机过程被称为弱平稳，协方差平稳，二阶平稳或广义随机过程。

令随机时间序列有如下性质：t Y 均值：E （）=t Y µ方差：Var （）=E =t Y 2)(µ−t Y 2δ协方差：=E[（-）（-）]k R t Y µK t Y +µ即滞后k 的协方差[或自（身）协方差]，是和，也就是相隔k 期的两个Y 值之间k R t Y K t Y +的协方差。

假如把Y 的原点从移到，若平稳，则的均值，方差和自协方差必须和的一t Y m t Y +t Y m t Y +t Y 样。

即一个时间序列是平稳的，则它的均值，方差和（各种滞后的）自协方差都保持不变。

对一个非平稳时间序列，它要么均值随时间而变化，要么方差随时间而变化，或二者同时发生变化。

若一个随机过程的均值为0，不变方差为，而且不存在序列相关，那么称之为纯随机或2σ白噪音（white noise ）过程。

若它还是独立的，称为严格白噪音。

二，非平稳随机过程经典的例子是随机步游模型（yandom walk mode,RWM ）.通常认为股票价格和汇率之类的资产价格服从随机步游，即是非平稳的。

随机步游一般分为两类，即不带漂移的和带漂移的。

（一）不带漂移的随机步游假设是均值为0和方差为的白噪音误差项，若:t u 2σ=+，（1）t Y 1−t Y t u 则称序列为随机步游，它实际是一个AR （1）模型。

t Y 有效资本市场假设者认为，股票价格本质上是随机的，因此股市不存在有利可图的投机空间；如果一个人能基于股票今天的价格预测明天的价格，那我们早就都是百万富翁了。

根据（1）式，有：=+，1Y 0Y 1u =+=++，2Y 1Y 2u 0Y 1u 2u =+=+++，3Y 2Y 3u 0Y 1u 2u 3u=+t Y 0Y ∑tu 从而，有：E （）=E （+）=+=t Y 0Y ∑t u0Y ∑)(t Eu 0Y 根据方差的定义，有：Var （）=E （）-（E ），t Y t Y 2t Y 2其中，E （）=E[+]=E[+2+（）]t Y 20Y ∑t u 20Y 20Y ∑t u ∑t u 2=E +2E （）+E[（）]0Y 20Y ∑t u ∑t u 2=E +E[（）]=+E[（）]0Y 2∑t u 20Y 2∑t u 2（）=，∑t u 20Y 2故Var （）=E[（）]t Y ∑t u 2=E[（++…u ）]1u 2u t 2=E +E +…+Eu +E （…）+……1u 22u 2t 21u 2u =E +E +…+Eu ，1u 22u 2t 2Var （u ）=E （u -Eu）=E （u ）=，t t t 2t 22σVar （）=t 。

t Y 2σ可以看出，Y 的均值等于其初始或其始值，但随着t 的增加，其方差无限增大，违背了平稳性的条件，因此它是非平稳随机过程。

RWM 的一个有趣的特征是，随机冲击（即随机误差项）的持久性，根据=+，t Y 0Y ∑t u 等于初始的，加上各期随机冲击项之和。

因此，一个特定的冲击永远也不会消失。

例t Y 0Y 如，若=4，则从开始所有的都将提高4个单位。

因此随机游走具有无限记忆，即永2u 2Y t Y 远记住每次冲击。

另根据-=，虽然非平稳，但一阶差分是平稳的。

t Y 1−t Y t t u Y =∆t Y （二）带漂移的随机步游=其中被称为漂移参数（driftparameter ）t Y ,1t t u Y ++−δσ-=，t Y 1−t Y t t u Y +=∆σ它表明根据为正或负而向上向下漂移。

t Y σ可以证明，E （）=+t t Y 0Y σVar （）=t t Y σ2可见，带漂移的RWM 的均值和方差都随着时间而递增，为非平稳序列。

（三）单位根随机过程=，—1≤≤1，t Y t t u Y +−1ρρ若=1，则面临着单位根问题，即非平稳情况，单位根的名称正式源于=1这个事实。

因ρρ此，非平稳性，随机步游和单位根这三个术语可看成是同义词。

但若||≤1，则可以证明，时间序列在所定义的意义上是平稳的。

ρt Y 假定Y 的初始值（=）为0，||<1，u 零均值和单位方差，则E （）=0，0Y ρt t Y Var （）=1/（1-）。

由于它们都是常数，根据弱平稳性定义，就是平稳的。

t Y ρ2t Y （四）去世平稳和差分平稳随机过程大致说来，若一个时间序的趋势完全可以预测而且不变，则称之为确定性趋势。

若不能预测，则称之为随机性预测。

考虑模型：=t Y tt u Y t +++−1321βββ纯随机步游：1,0321===βββ=+，t Y 1−t Y t u =，差分平稳（DSP,difference statronary process ）∆t Y t u 2.带漂移的随机步游：≠0，=0，=11β2β3β=++t Y 1β1−t Y tu -==+，t Y 1−t Y ∆t Y 1βt u 这意味着将表现出一个正的（>0）或负的（<0）的趋势，这种趋势成为随机趋势。

t Y 1β1β3.确定性趋势：≠0，≠0，=0，1β2β3β=+t+，t Y 1β2βt u 它为趋势平稳过程。

因为的均值（+t ）不是常数，但其方差（=）是常数。

一t Y 1β2βσ2旦知道和，就能预测其均值。

因此，若从中减去均值，所得序列是平稳的，因而得1β2βt Y 名趋势平稳。

这种去除确定性趋势的过程称为除趋势。

（detrending ）4.带漂移和确定性趋势的随机步游：≠0，≠0，=1，1β2β3β=+t++，t Y 1β2β1−t Y t u 即同时带有漂移和确定性趋势。

=+t+，∆t Y 1β2βt u 5.含平稳AR （1）成分的确定性趋势：≠0，≠0，<1，1β2β3β=+t+++t Y 1β2β1−t Y 3β1−t Y tu 它在确定性趋势周围是平稳的。

布朗运动一、随机步游与布朗运动考虑在一直线上的简单的，对成的随机游动。

设质点每经过t 时间，随即地以概率P=1/2∆向右移x >0，以概率q=1/2向右移动一个x ，且每次移动相互独立，记：∆∆=i X {次质点向右移动第次质点向左移动第i ,1i 1−=i X 若X （t ）表示t 时刻质点的位置，则有：X （t ）=X （X +X +…+X[t/t]）∆12∆其中[s]为不超过s 的最大整数。

显然EX =0，D X =EX =1，故有：i i i 2E X （t ）=X.E （X +X +…+X[t/t]）=0；∆12∆D X （t ）=E[X （t ）]-[E X （t ）]=E[X （t ）]222=E[（X ）（X +X +…+X （t/t ）]∆212∆2=（X ）E[X +X +…+（X （t/t ））+…+X X …]∆21222∆212=（X ）[t/t]∆2∆以上简单随机游动可作为微小粒子在直线上作不规则运动的近况。

实际粒子的不规则运动时连续进行的，为此考虑t 0的极限情况。

由物理实验得知，当t 越小，每次移动X ∆→∆∆也越小，通常有t 0，X 0，且在许多情况下，由X=C （C >0为常数）。

∆→∆→∇t ∆因此，下面先假定在X=C 的条件下，推出其极限情形。

∆t ∆显然，当t 0，EX （t ）=0，而∆→[t/t]2)(0lim )(0lim X t t DX t ∆→∆=→∆∆=[t/t]=C t t C t ∆→∆.0lim 2∆2另一方面，X （t ）=（X +X +…+X[t/t]）可看作是独立同分布的随机变量之和，因而它12∆是独立增量过程，即X （t ）看作是由许多微小的相互独立的随机变量X （组成)()1−−i i X t 之和。

故当时，由中心极限定理可知，X （t ）经标准化以后，它的分布区向标准正0→∆t 态分布，即对，t >0，为标准正态函数，有：R x ∈∀)(x Φ),(}{0lim 2]/[0x x tc p t t t i Φ=≤→∆∑∆=等价于：due x x tc t x p t x u ∫∞−−=Φ=≤→∆2/2221)(})({0lim π故X （t ）趋向正态分布，即：时，X （t ）0→∆t tc N 2,0(↓有了上述由简单随机游动的极限来描述的质点在一维直线上作不规则运动的直观数学描述，就可以引出以下的定义。

定义，若一个随机过程{X （t ），t 满足}0≥1.X （t ）是独立增量过程；2.>0，X （t+s ）-X （s ）∼N （0，t s ,∀),2t c 即X （t+s ）-X （s ）是期望为0，方差为的正态分布。

t c 23.X （t ）关于t 是连续函数。

则称是布朗运动或维的过程。

}0),({≥t t X 当c=1，称为标准布朗运动，此时若X （0）=0，X （t ）∼N （0，t ）}0),({≥t t X 对于标准布朗运动，证之为，，它在t 时刻的概率密度函数为；}0),({≥t t Btx t e t x f 2221)(−=π对于标准的不浪运动，X （t+s ）-X （s ）∼N （0，t ），说明一个维内过程的方差是随时间间隔的长度线性增加的。

二，带有飘逸的布朗运动设{B （t ），t ≥0}为布朗运动，证X （t ）=B （t ）+为常数，称{X （t ），t ≥0}是带有漂移系数为的布朗运动。

µµ,t µ带有飘逸的布朗运动的背景是一个质点在直线上作非对成的随机游动，它具有一定的趋向，于不规则微观运动中又有一定的宏观规则运动存在，如分子想扩散，电子不规则运动等，确切叙述如下：一质点在直线上每经随机地移动，每次向右移的概率为p ，向左移的概率为q ，t ∆x ∆x ∆x ∆且每次移动相互独立，以x （t ）表示t 时刻质点位置，令：{次质点向右移动第次质点向左移动第i ,1i 1−=i X 则x （t ）=X （X +X +…+X[t/t]）∆12∆设X=p=（1+）/2，∆,t ∆t ∆µQ=（1-）/2，对给定的，取充分小的，使<1，当→0，有：t ∆µµt ∆t ∆µt ∆E[X （t ）]=)]([)]([q p tt t q p t t x −∆∆=−∆∆])(][[)(]][[)()...[)()]([)0(])12(1][[])(1[)(])(][[)()]([2222][212222222i i i t t I TI EX EX t t x DX tt x DXDX DX x t X D t t p tt t q p tt t EX X tt x t X D −∆∆=∆∆=+++∆=→∆→−−∆∆=−−∆∆=−∆∆=∆→µ所以X （t ）∼N （，可见它和{B （t ），t ≥0}都是正态过程，只是均值不为零。