OR-chapter3运输问题 (1)
第三章 运输规划--表上作业法
19
2
8
4
1
×
74
10 5
9
1
3
6
5
6
2
5
1
3
2020/7/10
运筹学
表上作业法
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量 列差额
B1 B2 B3 B4 产量
×
3
11
3 5 10
7
1 39
2 ×8
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×
7
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9
3
6
5
6
2
5
3
行差额
7 7 1
2020/7/10
运筹学
表上作业法
单位 销地 运价
表上作业法
B1
B2
B3
B4
Ui
A1
（0） （2）
3
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3
5
10
2
0
A2
1
3
（2） （1）
9
2
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1 -2
A3
（9）
7
4
6 （12）
10
5
3 -5
Vj
3
9
3
10
当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最 优方案，如表此时最小总运费： Z =(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元
Chapter3 运输规划
( Transportation Problem )
本章主要内容：
运输规划问题的数学模型 表上作业法 运输问题的应用
2020/7/10
运筹学
运输规划问题的数学模型
运输问题的匈牙利解法和表上作业法
运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…，）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n1.2 运输问题的特性由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
线性规划运输问题
第四章 运输问题Chapter 4Transportation Problem§4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。
第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。
每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。
求一个使总运费最小的运输方案。
我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。
如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。
我们先只考虑这一类问题。
图4.1.1是运输问题的网络表示形式。
运输问题也可以用线性规划表示。
设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。
运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。
约束个数为m+n 个，全部为等式约束。
前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。
运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。
运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。
但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。
在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。
图4.1x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn2m 1m n22221n11211n mnn 2n122m 221211m 2111m mn2m 1m 2n222211n11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥=++=++=++=++=+++=++=+++++++++++++=在运输问题线性规划模型中，令X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）TC =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡行行n m 111111111111111111b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T则运输问题的线性规划可以写成：min z=C TX s.t. AX =b X ≥0其中A 矩阵的列向量a ij =e i +e m+je i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。
OR1-3 图与网络分析
重点
• • • • 构建可行流 理解增广链的含义 求最大流 最大流最小截集定理
作业7
• 练习2，P130，5.4，5.5，5.6
第3章 图与网络分析
1.认识图 2.最小支撑树问题 3.中国邮递员问题 4.最大流问题 5.最短路问题 6.旅行商问题
五、最短路问题
V2
250 300 V4 200
S
四、最大流问题——最大流最小截集定理
V2 容量 流量 (3) 3 (S) V1 (3) 3 (4) 2 (2) 1 (2) 2
v( f ) C ( A, B)
(5) 2
(6) 6
V3
(3) 0
(1) 1
(2) 2
V6
(5) 1
(T) V7
(4) 3 V4
V5
截集：{(v1, v2),(v1, v3),(v1, v4)}
(600，④)
V2
V3
V4
V6 ，距离为700。
重点
双标号法 ：（始点到当前最短距离，前一个节点号）
课堂练习
• P130，习题5.3
5.3
(3,v1)3
v3
(6,v2)
5 3
v2
3
(0,v1)
4
v1
2
v6(6,v2) v5 (5,v2) 3
1
2.5 2
v9 (8.5,v6)
4
v4 (4,v1)
3
第3章 图与网络分析
1.认识图、树与网络 2.最小支撑树问题 3.中国邮递员问题 4.最大流问题 5.最短路问题 6.旅行商问题
谢 谢!
3.5
G
2 H
4
5
2 D
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第七章_运输问题
B2 c12 c22
Bn c1n c2n
A1 A2
Am 销量
cm1 b1
cm2 b2 … …
cmn
m i 1
am
n ji
bn a i b j
10
求使总的运输费用最小的调运方案？
§1
n
运 输 模 型
m
运输问题线性规划模型
min s
n
cij xij
j 1 i 1
运筹学
J a
30° C 40° C 60° C 95° C
PERSIL
J a
30° C 40° C 60° C 95° C
统筹安排 成本最低
REWE
PERSIL
第七章 运输问题
1
第五章
运 输 问 题
• §1 运 输 模 型 • §2 运输问题的计算机求解 • §3 运输问题的应用 • §4* 运输问题的表上作业法
A2
6
6
4
5
6
5
200
300 500 650
销量
250
200
200
思考题
在例3中，即某公司从两个产地 A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各 销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运 费如下表所示，如果增加条件：B3的需求不能 满足则需以高价（每单位10元）在本地购买， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
§1
整理得：
运 输 模 型
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150
货物运输优化方案
目录CONTENTS •货物运输现状分析•优化目标与原则•优化方案设计•实施步骤与计划•预期效果与影响•风险评估与应对策略01CHAPTER当前运输方式及特点灵活性强，适用于短途和部分中长途运输，但成本较高且能耗大。
成本低、运量大，但灵活性较差，适用于中长途运输。
成本低、运量大，但受地理条件限制，速度慢。
速度快，适用于紧急和少量货物运输，但成本极高。
公路运输铁路运输水路运输航空运输现有运输流程分析装载运输卸载运输成本与效率评估成本02CHAPTER降低运输成本减少运输时间和距离提高装载率降低燃油消耗03实时追踪与调度划，提高运输效率。
01优化运输方式02减少中转和换装时间提高运输效率严格遵守安全法规强化车辆、船舶和飞机维护提高驾驶员、船员和机组人员素质增强运输安全性优化能源消耗优化运输工具和设备的设计，减少噪音和振动对周边环境的影响。
减少噪音和振动优化货物配载和运输计划，减少空驶和等待时间，节约能源和资源。
合理利用资源减少环境影响03CHAPTER公路运输铁路运输适用于大宗、长距离、低成本运输需求。
水路运输适用于高价值、紧急、长距离运输需求。
航空运输运输方式选择与搭配1 2 3最短路径算法多路径备选实时路况监测运输路径优化装载与卸载方案货物配载根据货物性质、重量、尺寸等因素进行合理配载，提高车辆和船舶装载率。
装卸机械化采用叉车、吊车等机械化设备，提高装卸效率。
安全措施确保货物在装卸过程中的安全，防止损坏和丢失。
信息化与智能化手段应用04CHAPTER明确目标确定优化方案的目标，例如降低运输成本、提高运输效率、减少运输时间等。
分析现状对当前的货物运输情况进行全面分析，包括运输方式、路线、频率、成本等。
制定策略根据目标和分析结果，制定相应的优化策略，如采用更高效的运输方式、优化运输路线、调整运输频率等。
资源与人员准备确保具备足够的资源（如资金、设备、人力）和人员支持，以便顺利实施优化方案。
方案执行按照制定的策略和计划，逐步实施优化方案，如调整运输方式、路线和频率等。
运筹学OR1-Ch5-运输问题
为了在m×n个变量中找出m+n－1个变量作为一组基变量，就是 要在A中找出m+n－1个线性无关的列向量，如何找呢？？
下面引用闭回路的概念来寻找这些基变量。
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2020年3月10日10时23分
基变量与闭回路Basis Variable and Closed path
在单位运价表中，我们称集合 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,L , x , x is js is j1 构成闭回路
将前m个约束方程两边相加得：
再将后n个约束相加得：
mn
m
xij ai
i1 j1
i 1
nm
n
xij bj
j1 i1
j 1
显然前m个约束方程之和等于后n个约束方程之和，即m+n 个约束方程是相关的，其系数矩阵：
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2020年3月10日10时23分
总供应量＝ 总需求量
➢可行解特性（The Feasible Solutions Property）： 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问 题才有可行解
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2020年3月10日10时23分
运输模型Mathematical Model of Transportation Problems
运输模型Mathematical Model of Transportation Problems 运输问题的一般数学模型：
mn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai
j 1
i 1, , m
m
xij bj
运筹学 第三版 清华大学出版社 第3章运输问题
运输问题应用—建模
1
1.运输问题的数学模型.
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
2
例3.1:某公司从两个产地A1、A2将物 品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销 地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？
32
2.运输问题求解 —表上作业法
1、初始基本可行解的确定 （1）西北角法：从西北角（左上 角）格开始，在格内的右下角标上允 许取得的最大数。然后按行（列）标 下一格的数。若某行（列）的产量 （销量）已满足，则把该行（列）的 其他格划去。如此进行下去，直至得 到一个基本可行解。
33
2.运输问题求解 —表上作业法
表3-3 运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n
产量
┇
A1 A2
┇
┇
Am
销量
cm1 b1
cm2 b2
┇ ┇ … cmn
┇
a1 a2
am
… bn
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 9 运输变量表（表 3-4）。
2.运输问题求解 —表上作业法
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输 问题的初始基本可行解，必须保证 找到 m + n – 1 个不构成闭回路的 基变量。 一般的方法步骤如下：
26
2.运输问题求解 —表上作业法
运筹学(第三版)：第3章 运输问题
mn
min z cijxij
i1 j1
m xij bj j 1,2,, n
i 1
n
s.t.
xij
aij
i
1,2,, m
j1
xij 0
(3 1) (3 2)
清华大学出版社
4
第1节 运输问题的数学模型
❖ 这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n) 个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
43 7
A2
3
1
4
A3
6
39
销量
36 56
清华大学出版社
14
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为：
❖ (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地 挑选最小元素，并比较产量和销量。当产大于销，划去该 元素所在列。当产小于销，划去该元素所在行。然后在未 划去的元素中再找最小元素，再确定供应关系。这样在产 销平衡表上每填入一个数字，在运价表上就划去一行或一 列。表中共有m行n列，总共可划(n+m)条直线。但当表中只 剩一个元素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，而 在运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所有元 素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n-1)个数字。 即给出了(m+n-1)个基变量的值。
清华大学出版社
18
2.1 确定初始基可行解
❖ 伏格尔法的步骤是：
❖ 第一步：在表3-3中分别计算出各行和各列的最小运费和次 最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表310。
运筹学(胡运权第三版)第三章 运输问题
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
1
解 的 最 优 性 检 验
1.闭回路法 闭回路：从空格出发，遇到数 字格可以旋转90度，最后回到空 格所构成的回路； 原理：利用检验数的经济含义； 检验数：非基变量增加一个单 位引起的成本变化量。 当所有非基变量的检验数均大 于或等于零时，现行的调运方案 就是最优方案，因为此时对现行 方案作任何调整都将导致总的运 输费用增加。 闭回路法的主要缺点是：当变 量个数较多时，寻找闭回路以及 计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n
运筹学第三版之第三章运输问题
在第一章线性规划模型的应用中，我们介绍了运输问 题，建立了其数学模型，这类问题属线性规划问题， 当然可以使用单纯形法进行求解，但是，由于运输问 题的约束系数矩阵有其特殊的结构和性质，因而有比 单纯形法更有效的方法来求解。
此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背 景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因 而备受欢迎。
1、求初始调运方案：
例1 设有某物资共有3个产地A1,A2,A3,其产量分别为 9,5,7个单位，另有4个销地B1,B2,B3,B4,其销量分别为 3,8,4,6,已知由产地Ai运往销地Bj的单位运价见下表， 问应如何调运,才能使总运费最省？
集合，若用一条封闭折线将它们连接起来形成的图形称 为一个闭回路，其中诸变量称为闭回路的顶点，连接相 邻两个顶点及最后一个顶点与第一个顶点的线段称为闭 回路的边。 x11 , x14 , x44 , x45 , x35 , x32 , x22 , x21
B1 B2 B3 B4 B5
A1 x11
A2 x21
i 1
j1
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z cij xij i1 j1
n
j1
xij
ai
, i
1,2,...,m
s
.t
.
m
xij
bj
,
j
1,2,...,n
i1
xij 0 i 1,...,m , j 1,...,n
(3.2)
m
n
ai bj
管理运筹学讲义第3章运输问题
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
管理运筹学 第3章 运输问题
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
i 1
xij 0
2.产量小于销量（
m
ai
n
＜
bj ）
i 1
j 1
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai (i 1, 2,L , m)
j 1
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
方法:最小元素法,即对单位运价最小的变量先分 配运输量.
例、食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，有四个销 售公司B1，B2，B3，B4，其各分厂每日的产量、各销售公司 每日的销量以及各分厂到各销售公司的单位运价如表所示， 在表中产量与销量的单位为吨，运价的单位为百元/吨。问 该公司应如何调运产品在满足各销点的需求量的前提下总运 费最少？
季度 生产能力(台) 单位成本(万元)
1
25
10.8
2
35
11.1
3
30
11.0
4
10
11.3
解: 设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机的数目 Cij为第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的 实际成本.
j
i
1
2
3
4
1
10.8 10.95 11.10 11.25
2
11.10 11.25 11.40
25
销量
60 40 20 15
销地 产地
A B C 销量
甲
4 2 8
8
乙
12 10 5
14
丙
4 3 11
山东大学 运筹学课件及课后解答3第三章 运输问题(新)a
例1. 已知运输问题见表
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
B2 B3
B4 产 量
3 11 3 10 7
1 92 8 4
7 4 10 5
9
3 6 5 6 20
2-1 初始方案的确定 1.最小元素法（就近供应的思想）
在单位运价表中的最小运价处确定供销关系， 划去满足的行或列，以此类推，直至给出一个完 整的调运方案。
（上述资料见下面的产销平衡表和单位运价表， 也可将两表合并起来，见后）
解：设为xij表示从产地为Ai给销地为Bj的运输量。 则有
mn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai (i 1,2,..., m)
j1
m
xij
bj ( j 1,2,..., n)
i1
xij
初始调运方案为见下，总运费为z =85
销 地 B1
产地 A1
B4
A2
3
A3
销量
3
B2 5
6 65
B3 产 量
27 14 39 6 20
2-2 最优性检验 1. 进行最优性检验的闭回路法 闭回路：在调运方案中，从一个空格处出
发，以有数字格为顶点（或拐点），沿水平或 垂直连线又回到空格处所形成的封闭回路。 定理3. 对调运方案中的任一个空格，有且仅有 一个以有数字格为顶点的闭回路。
销量
B1
B2 B3
B4 产 量
01 4
33
67 4 9
3 65
6 20
在未被划掉的运价对应的空格处补0，然后划掉 该行和该列。
2. 西北角法 在单位运价表中的左上角（西北角）处确定供
管理运筹学 第7章——运输问题
1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份
已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运 到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2万元。 在7-8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库 存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。 问应如何安排1-6月份的生产，可使总的生产费用（包括成本、仓储、维护）最 少？
7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例4. 由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0~300吨，二区必须满足需
求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案（P131E4）。
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产量 4000 1500
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货 的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题（P134E6）： 目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 + 11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10
管理学简单三运输问题PPT课件
第4页/共59页
x11 ,, x1n , x21 ,, x2n ,, xm1,, xmn
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1
1
1
D 1 1
销地 产地
B1
B2
B3
B4
A1
x12
x14
A2
A3
x32
x34
7
第7页/共59页
定理3.1： m+n-1个变量
xi1 j1 , xi2 j2 ,, xis js (s m n 1)
构成基变量的充分必要条件是它不包含有任何闭回路。
8
第8页/共59页
2、 表上作业法
求解运输问题的一种简化方法，实质是单纯形法。 （1）找初始基可行解----即在 (mn) 产销平衡表上给出m+n -1个数字格--不能构成闭回路， 且行和等于产量，列和等于销售量； （2）求非基变量检验数---在表上求出空格的检验数，判别是否达到最优解。如果达到最 优解，则停止计算，否则转入下一步； （3）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解，在表上用闭回路法进行调整。 （4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解为止。
27
第27页/共59页
产销平衡的运输问题必定存在最优解。 那么有唯一最优解还是无穷多个最优解？依据仍然是看 非基变量（即空格处）的检验数是否有为0的。若有， 则存在无穷多个最优解；否则，只有唯一最优解。 表3.19---例3.2有无穷多个最优解。
28
第28页/共59页
表3.18
B1
B2
B3
B4
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B1
A1 A2 A3 销量 3
B2
B3
B4
产量
7 4 9
3 1 7
11 9
4
3 2
3
10 8
3
1
4
10
5
6
6 5
3
6
总的运输费＝(3×1)+(6×4) +(4×3) +(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元
表上作业法
1
2
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11
产量
行差额
A1
2 10
12
3 9
16
7
A2
8
8 5 11 6
10
6
A3 销量 8
14
14 12
8
14
22 48
列差额
1
3
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11
销地 产地 A1 B1 B2 4 B3 12 4 B4 11 产量
8
8
16
A2
2
10
3
9
6
8 5
4
11 6
10
A3
销量
8
8 14 12
14
14
22 48
初始基可行解为：(8,8,0,0,0,6,4,0,0,0,0,8,14)目标函数值Z=372
表上作业法
练习
销地 产地 A1 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 14 8 A2 4 2 7 27 10 6 产量
min Z cij x ij x ij a i x ij b j ( a i b j ) x 0 ij 并假设：a ij 0, b j 0, cij 0
运输规划问题的数学模型
特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个基变量。
14
8
5
13
9
6
6 13
13
A3 销量 22 13
19
12
表上作业法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处 要多花几倍的运费。沃格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最 小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处， 就应当采用最小运费调运。例如下面两种运输方案。
16
0
A2
10
1
8 A3 销量 8
5
11
6
14
14 12
8
14
22 48
2
列差额
2
1
3
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11
产量
行差额
A1
2 10 3 9
16
0
A2
8
8 5 11 6
10
1
A3 销量 8
14
14 12
8
14
22 48
列差额
2
表上作业法
闭回路：从空格出发顺时针(或逆时针)画水平(或垂直) 直线，遇到填有运量的方格可转90°，然后继续前进，直到 到达出发的空格所形成的闭合回路。 调运方案的任意空格存在唯一闭回路。 注：1.每一空格有且仅有一条闭回路； 2.如果某数字格有闭回路，则此解不是可行解。
分析：
z z0 11 x11 12 x12 21 x21 mn xmn
产量 7 4 9
行差额
0
1 2
销量 列差额
2
3
表上作业法
单位 运价 产地 销地
B1 B2 B3 B4
A1 A2 A3
3 1 11 × 3 10 8 3 9 × 2
产量 7 4 9
行差额
0
1
7 × 4 3 6
6 10 × 5 3 5 1 6
销量 列差额
2
2
与书上选择不同！
表上作业法
单位 运价 产地 销地
B1 B2 B3 B4
A1 A2 A3
3 2 1 1 11 × 3 5 10 × 8 3 9 × 2
产量 7 4 9
行差额
0
1
7 × 4 3 6
6 10 × 5 3 5 1 6
销量 列差额
2
该方案的总运费: (1×1)＋(3×2)＋(4×6)＋(3×5)＋(8×3)＋(5×3)＝85元
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
Chapter3 运输问题
本章主要内容：
运输规划问题的数学模型
表上作业法
运输问题的应用
运输规划问题的数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
B1
A1 A2 销量 6 6 150
Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
产量
行差额
A1
2 10
12
3
4
9
16
0
A2
8
8 5 11
2
6
10
1
A3 销量 8
14
14 12
8
14
22 48
列差额 该方案的总运费:
3
(4×12)＋(11×4)＋(2×8)＋(9×2)＋(5×14)＋(6×8)＝244元
表上作业法
练习
销地 产地 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 产量
A1
1
运输规划问题的数学模型
平衡表、运价表合二为一：
销 产 A1 A2 ┇ B1 c11 x11 c21 x21 ┇ cm1 Am 销量 xm1 b1 B2 c12 x12 c22 x22 ┇ cm2 xm2 b1 … … … ┇ x2n ┇ cmn xmn bn am … x1n c2n a2 ┇ … Bn c1n a1 产量
B1 A1 A2 A3 销量 列差额 B2 B3 B4 产量 7 4 9 6 3 行差额 0 1 1
3 1 7
3 2
11 9 4 6
6 5
3 2 10
5 1
10 8 5
表上作业法
单位 运价 产地 销地
B1 B2 B3 B4
A1 A2 A3
3 1 7 3 11 × 3 10 8 5 3 5 1 6 9 × 2 4 6 6 10
运输规划问题的数学模型
运输问题约束条件的系数矩阵
x11 x12
1 1 1 1
x1n x21 x22
1 1 1
x2n
1
xm 1 xm 2
xmn
1 1
m
1 1 1 1 1 1 1 1
n
0 运输规划问题的数学模型 0 i 1 0 xij的列向量Pij e e i m j 0 0 1 m+j 0 0 其中 ei 1 0 0 0
第二步
第三步
表上作业法
例3.2 某运输资料如下表所示：
单位 运价 产地 销地
B1 B2 B3 B4
3 1 7 3 11 9 4 6 3 2 10 5 10 8 5 6
产量
7 4 9
A1 A2 A3
销量
问：应如何调运可使总运输费用最小？
1、求初始方案：最小元素法、西北角法、沃格尔法
表上作业法
方法1：最小元素法
运输规划问题的数学模型
运输问题的求解思路
基本可行解 是否最优解
是
结束
否
换基
表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。
步骤 第一步 描述 求初始基行可行解（初始调运方案） 求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的 检验数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若 存在检验数σi j <0，说明还没有达到最优，转 第三步。 调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运 量进行调整得到新的基可行解，转入第二步 方法 最小元素法、 西北角法、 沃格尔法 闭回路法和位 势法
练习
销地 产地 A1 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 产量
1
8 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
表上作业法
（2）西北角法（或左上角法） 此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但 它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。 方法如下：
销
产 地 地
cij 为 Ai到 B j的单位运价
B1
c11