【单元测试】【人教B版】2017年必修2第一章学业质量标准检测试卷含解析

第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列四个说法(其中a，b，c为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)：①若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为导学号92434460(B)A．1B．2C．3 D．42．(2015·浙江文，4)设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l⊂α，m ⊂β. 导学号92434461(A)A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m[解析]选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当α⊥β时，l、m可以垂直，也可以平行；选项C中，l∥β时，α、β可以相交；选项D中，α∥β时，l、m也可以异面. 故选A．3．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD那么图②四个图形中是截面的是导学号92434462(A)[解析]因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB、MN无公共点，又AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM. 又AB⊥CD，∴截面必为矩形.4．(2015·北京理，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是导学号92434463(C)A ．2＋5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5[解析] 根据三视图恢复成三棱锥P －ABC ，其中PC ⊥平面ABC ，取AB 棱的中点D ，连接CD 、PD ，有PD ⊥AB ，CD ⊥AB ，底面ABC 为等腰三角形，底边AB 上的高CD ＝2，AD ＝BD ＝1，PC ＝1，PD ＝5，S △ABC ＝12×2×2＝2，S △P AB ＝12×2×5＝5，AC ＝BC ＝5，S △P AC ＝S △PBC ＝12×5×1＝52，三棱锥表面积S 表＝25＋2.5．如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，P A ⊥平面ABC ，PD ⊥BC ，则图中直角三角形的个数是导学号 92434464( A )A ．8B ．7C ．6D ．5[解析] 易知P A ⊥AC ，P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，BC ⊥AD ，BC ⊥PD ，AC ⊥AB . 图中的直角三角形分别为△P AC ，△P AD ，△P AB ，△ADC ，△ADB ，△PCD ，△PDB ，△ABC ，共8个，故选A ．6．已知平面ABC 外一点P ，且PH ⊥平面ABC 于点H . 给出下列四个命题：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则点H 是△ABC 的垂心；②若P A 、PB 、PC 两两互相垂直，则点H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC ；④若P A ＝PB ＝PC ，则点H 是△ABC 的外心. 其中正确命题的个数为导学号 92434465( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 对于①，易知AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，所以点H 是△ABC 的垂心；对于②，易知PB ⊥平面P AC ，所以PB ⊥AC ，同理，P A ⊥BC ，由①可知点H 是△ABC 的垂心；对于③，∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，所以HA ＝HC ＝HB ，又∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，所以P A ＝PB ＝PC ；对于④，∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，所以HA ＝HC ＝HB ，即点H 是△ABC 的外心. ①②③④都正确，故选D ．7．设α表示平面，a 、b 、l 表示直线，给出下列命题，①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥lb ⊥l a ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb ⊂αa ⊥b ⇒a ⊥α； ④直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l ⊥α. 其中正确结论的个数为导学号 92434466( A ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ①错，缺a 与b 相交的条件；②错，在a ∥α，a ⊥b 条件下，b ⊂α，b ∥α，b 与 α斜交，b ⊥α都有可能；③错，只有当b 是平面α内任意一条直线时，才能得出a ⊥α，对于特定直线b ⊂α，错误；④错，l 只要与α内一条直线m 垂直，则平面内与m 平行的所有直线就都与l 垂直，又l 垂直于平面内的一条直线是得不出l ⊥α的.8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是导学号 92434467( B )A ．1∶3B ．1∶(3－1)C ．1∶9D ．3∶2 [解析] 如图由题意可知，⊙O 1与⊙O 2面积之比为1∶3， ∴半径O 1A 1与OA 之比为1∶3， ∴P A 1P A ＝13，∴P A 1AA 1＝13－1. 9．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为导学号92434468( B )A ．2πB ．5π2C ．4πD ．5π[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为12，高为2的圆柱.S 表＝S 侧＋S 底＝2π×12×2＋2π×14＝2π＋π2＝5π2.10．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E 、交CC ′于F ，则以下结论中错误的是导学号 92434469( B )A ．四边形BFD ′E 一定是平行四边形B ．四边形BFD ′E 有可能是正方形C ．四边形BFD ′E 有可能是菱形D ．四边形BFD ′E 在底面投影一定是正方形[解析] 平面BFD ′E 与相互平行的平面BCC ′B ′及ADD ′A ′的交线BF ∥D ′E ，同理BE ∥D ′F ，故A 正确.特别当E 、F 分别为棱AA ′、CC ′中点时，BE ＝ED ′＝BF ＝FD ′，则四边形为菱形，其在底面ABCD 内的投影为正方形ABCD ，∴选B ．11．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在导学号 92434470( B )A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥ABAC ⊥BC 1AB ∩BC 1＝B ⇒AC ⊥平面ABC 1 AC ⊂平面ABC⇒平面ABC 1⊥平面ABC ，⎭⎪⎬⎪⎫ 平面ABC 1∩平面ABC ＝AB C 1H ⊥平面ABC ⇒H 在AB 上. 12．(2016·全国卷Ⅱ文，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为导学号92434471( C )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π[解析] 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成. 其中，圆锥的底面半径为2，母线长为(23)2＋22＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S ＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图所示的是水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4，4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为导学号 92434472[解析] 本题考查斜二测画法的规则. 由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E ⊥x ′轴于点E ，在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝B ′C ′sin45°＝2×22＝ 2.14．(2015·天津理，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__8π3__m 3. 导学号 92434473[解析] 由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，∴该几何体的体积V ＝12×π×2＋2×13×12×π×1＝8π3.15．设α、β表示平面，a 、b 表示不在α内也不在β内的两条直线. 给出下列四个论断：①a ∥b ；②a ∥β；③α⊥β；④b ⊥α. 若以其中三个作为条件，余下的一个作为结论，则可以构造出一些命题. 写出你认为正确的一个命题__①②④⇒③(或①③④⇒②)__. (注：写法如“( )( )( )⇒( )”，只需在( )中填入论断的序号)导学号 92434474[解析] 由a ∥b ，b ⊥α，得a ⊥α. 由a ∥β，a ⊥α，得α⊥β，即①②④⇒③. 同理①③④⇒②.16．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为__3∶1∶2__. 导学号 92434475[解析] 设球半径为a ，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa 2·2a ，13πa 2·2a ，43πa 3. 所以体积之比2πa 3∶23πa 3∶43πa 3＝2∶23∶43＝3∶1∶2.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2015·重庆文，20)如图，三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D 、E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC . 导学号 92434476(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P －DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.[解析] (1)如图. 由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ， PE ⊂平面P AC ，PE ⊥AC ， ∴PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB . ∵∠ABC ＝π2，EF ∥BC . ∴AB ⊥EF ，∴AB 与平面PEF 内两条相交直线PE 、EF 都垂直， ∴AB ⊥平面PFE .(2)设BC ＝x ，则在直角△ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2. 从而S △ABC ＝12AB ×BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC ，知AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S 四边形DFBC ＝S △ABC －S △ADF＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2.由(Ⅰ)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P －DFBC 的高.在直角△PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝23，V P －DFBC ＝13·S DFBC ·PE ＝13·718x 36－x 2·23＝7，故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27，由于x >0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.18．(本题满分12分)(2015·北京文，18)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O 、M 分别为AB 、VA 的中点. 导学号 92434477(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积.[解析] (1)∵O 、M 分别为AB 、VA 的中点， ∴OM ∥VB .又∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ∴VB ∥平面MOC .(2)∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点， ∴OC ⊥AB .又∵平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ∴OC ⊥平面VAB . 又∵OC ⊂平面MOC ∴平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝2，OC ＝1.∴等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又∵OC ⊥平面VAB ，∴三棱锥C －VAB 的体积等于13×OC ×S △VAB ＝33.又∵三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等， ∴三棱锥V －ABC 的体积为33. 19．(本题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ文，16)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. 导学号 92434478(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.[解析] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩DP ＝P ，所以AB ⊥平面P AD . 因为AB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解：如图，在平面P AD 内作PF ⊥AD ，垂足为点E . 由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 20．(本题满分12分)(2016·江苏卷，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1. 导学号 92434479求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .[解析](1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D、E分别为AB、BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D ⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.21．(本题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AC的中点. 导学号92434480(1)求证：MN∥平面BCD1A1；(2)求证：MN⊥C1D；(3)求VD－MNC1.[解析](1)连接A1C，在△AA1C中，M、N分别是AA1、AC的中点，∴MN ∥A 1C .又∵MN ⊄平面BCA 1D 1且A 1C ⊂平面BCD 1A 1，∴MN ∥平面BCD 1A 1.(2)∵BC ⊥平面CDD 1C 1，C 1D ⊂平面CDD 1C 1，∴BC ⊥C 1D .又在平面CDD 1C 1中，C 1D ⊥CD 1，BC ∩CD 1＝C ，∴C 1D ⊥平面BCD 1A 1，又∵A 1C ⊂平面BCD 1A 1，∴C 1D ⊥A 1C ，又∵MN ∥A 1C ，∴MN ⊥C 1D .(3)∵A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥DN ，又∵DN ⊥AC ，∴DN ⊥平面ACC 1A 1，∴DN ⊥平面MNC 1.∵DC ＝2，∴DN ＝CN ＝2，∴NC 21＝CC 21＋CN 2＝6，MN 2＝MA 2＋AN 2＝1＋2＝3，MC 21＝A 1C 21＋MA 21＝8＋1＝9，∴MC 21＝MN 2＋NC 21，∴∠MNC 1＝90°，∴S △MNC 1＝12MN ·NC 1＝12×3×6＝322， ∴VD －MNC 1＝13·DN ·S △MNC 1＝13·2·322＝1. 22．(本题满分12分)(2016·四川文，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . 导学号 92434481(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .[解析] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点.理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ， 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交. 所以P A ⊥平面ABCD .从而P A ⊥BD .连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形.所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD ⊂平面PBD .所以平面P AB ⊥平面PBD .。