从数列共项角度解读高考数列题
高三数学《数列》高考分析
日期
2020.3.11
科目
数学
中心发言人
赵艳萍
课题
《数列》高考分析
参加教师
高三全体数学教师
考向分析
1.数列是高考的必考内容，从2011年---2019年的高考试题来看，理科每年的题量和分值一般都是两个小题共10分，或一个大题共12分，其中2013年是两选一填共15分，2019年是一选一填和概率压轴题里的一问，约14分；文科2011年、2013年、2019年两个小题一个大题共17分，2012年和2015年是一选一填共10分，其他年份是一道解答题共12分。
2.解答题的命题特点分析
等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式.已知等差(比)数列的某些项或前几项的和,求其通项公式.等差(比)数列的判断与证明以及等差数列前n项和的最值问题等。结合模考中的数列大题是劣构问题，可提醒学生选择有益于形成解决方案的信息和技能。
二、例题分析
1.选择题和填空题的命题特点分析
选择、填空题常考题型主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式，知三求二，借助方程组求解基本量，有时也会用到“整体求解”的技巧；有些客观题如能灵活运用数列的性质求解则可以大大简化运算。
例题：
此处设置了5个小题，都是近两年高考试题改编题。建议强调通性通法，设基本量解方程或方程组，如果已知等差中有几项和是常数的计算问题，一般是性质与求和公式结合使用，体现整体代入的思想。
（1）．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
（2）．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
高考数学中的数列问题解析
高考数学中的数列问题解析数列作为高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学考试必考内容之一，其考察形式多样。
解题要求考生掌握数列的概念和性质，熟悉数列的常见变形和常用公式，能够灵活运用数列的基本思想和方法，多角度、多方式考虑问题，进行问题转化和求解，从而获得高分。
一、数列的概念和性质数列是由一定的规律按照一定的次序排列起来的一列数，其中每一个数都叫做这个数列的项。
对于数列 $\{a_n\}$， $a_n$表示第 $n$ 项，$n$称为项号。
项号从1开始，依次递增，可以是自然数或正整数等。
数列也可以用通项公式或递推公式来表示。
数列中有些重要的性质，比如数列的通项公式和前n项和的公式，需要考生掌握。
比较常见的有等差数列和等比数列。
1.等差数列如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面的项之差等于同一个常数 $d$，那么这个数列就叫做等差数列。
等差数列的通项公式和前n项和分别为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$$$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$$其中，$a_1$表示首项，$d$表示公差，$S_n$表示前$n$ 项和。
2.等比数列如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面的项之比等于同一个常数 $q$，那么这个数列就叫做等比数列。
等比数列的通项公式和前n项和分别为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$$$S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$a_1$表示首项，$q$表示公比，$S_n$表示前$n$ 项和。
二、数列的常见变形和常用公式在高考中，常常会出现各种数列的常见变形，考生需要熟悉各种数列变形的求法和特点，这样才能在考试中不失分机会。
1.递推数列递推数列是指每一项都是由它前面的项或几项经过一定的运算算出来的，因此我们称之为递推数列。
比如斐波那契数列、鬼谷数列等就是递推数列的典型例子。
在高考数学考试中，考生通常需要利用递推数列的递推式来求得数列的某一项。
高考数学数列题 如何运用数列知识解决数学问题
高考数学数列题如何运用数列知识解决数学问题数列作为高中数学中的一个重要概念，经常出现在高考数学试卷中。
对于许多学生来说，数列题可能是他们认为难以解决的数学问题之一。
然而，只要我们掌握了一些基本的数列知识和解题方法，就能够轻松应对数列题。
本文将介绍如何使用数列知识来解决高考数学数列题，并给出一些实用的解题技巧。
一、首项与公差在解决数列问题时，我们首先要明确数列的首项和公差。
首项指的是数列的第一项，通常表示为a1；公差指的是从一个数到下一个数的差值，通常表示为d。
通过确定首项和公差，我们可以进一步推导数列的通项公式，从而解决数列问题。
二、等差数列题1. 求等差数列的和当我们需要求解等差数列的前n项和时，可以使用求和公式来简化计算过程。
对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，其和Sn可以通过以下公式求得：Sn = (a1 + an) * n / 2其中n表示数列的项数。
例如，我们需要求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前100项和，可以直接套用求和公式：S100 = (1 + 199) * 100 / 2 = 100 * 100 = 10000因此，该等差数列的前100项和为10000。
2. 求等差数列中的某一项有时候，我们需要求解等差数列中的第n项。
根据数列的通项公式可以轻松地求得。
对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，其通项公式为：an = a1 + (n - 1) * d其中d为公差。
例如，我们需要求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的第50项，可以使用通项公式：a50 = 1 + (50 - 1) * 2 = 1 + 98 = 99因此，该等差数列的第50项为99。
三、等比数列题1. 求等比数列的和当我们需要求解等比数列的前n项和时，可以使用求和公式来简化计算过程。
对于等比数列a1, a2, a3, ..., an，其和Sn可以通过以下公式求得：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中q表示等比数列的公比。
高考数学数列题解析
高考数学数列题解析高考数学题中，数列题占有一定的比重。
这类题目需要考生熟悉数列的定义、性质和求和公式等，掌握数列的基本概念和解题方法，同时还需要培养数列题的分析能力和思维逻辑。
在高考数学中，数列的概念是基础，也是最重要的一环。
数列是按一定规律排列的一系列数。
通常情况下，我们通过一个数列的前几项来描述这个数列的规律，并希望用这种规律找出数列的通项公式或者求出数列的和。
对于数列题，我们首先要弄清楚题目给出的数列的规律和性质。
在解题时，可以通过观察数列的前几项，找出数列的增长规律、变化规律等。
我们可以通过计算两项之间的差值或比值来找规律，有时候还需要通过计算三项之间的差值或比值来确定规律。
也有一些数列题目需要利用其他的方法，比如数学归纳法、反证法等来推导。
在解数列题时，掌握数列的通项公式是关键。
通项公式是数列的第n项与n的关系式，可以直接求出数列的第n项的值。
通常情况下，数列的通项公式可以通过观察数列的规律来归纳出来。
对于等差数列，通项公式是一个一次函数；对于等比数列，通项公式是一个指数函数；对于其他类型的数列，通项公式可能是一个多项式函数或者其他类型的函数。
在解数列题时，求和公式也是常用的工具。
求和公式可以把一个数列的前n项的和表示为一个关于n的函数，方便我们计算。
等差数列的求和公式是一个二次函数，等比数列的求和公式是一个有限几何级数。
对于其他类型的数列，求和公式可能是一个多项式函数或者其他类型的函数。
为了在高考数学中更好地解决数列题，我们还需要培养一些分析能力和思维逻辑。
解数列题需要我们从整体上把握数列的规律和性质，通过分析数列的前几项来确定数列的通项公式或求和公式。
同时，解数列题也考验我们的逻辑思维能力，需要我们合理地运用已学知识和解题技巧，解决具体的问题。
总之，高考数学中的数列题是需要我们熟悉数列的定义、性质和求和公式等，并且要培养数列题的分析能力和思维逻辑，提高解题能力。
掌握数列的基本概念和解题方法，理解数列题的规律和要点，对于高考数学的顺利通过非常重要。
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析高中数学中，数列是一个重要的概念和内容，对于数列的理解和解题能力是数学学习的基础。
以下是解题方法与技巧的分析。
一、数列的定义和特征数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
数列可以分为等差数列、等比数列、等差数列和等比数列的组合等多种类型。
在解题过程中，首先要明确数列的类型和特征，确定数列的通项公式和通项求和公式，从而找到解题的方法和步骤。
二、数列的性质和常见结论数列有很多性质和常见结论，掌握这些性质和结论，能够快速分析和解题。
常见的数列性质包括：等差数列的前n项和公式、等差数列的前n项和与项数的关系、等差数列的前n项差的和等于其首项与末项之差、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列的前n项和与差的关系等。
三、数列的求和公式数列的求和是数列问题中常见的一类问题。
求和公式是求解这类问题的关键。
常见的数列求和公式包括：等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、等差数列求和的性质等。
四、数列问题的解题方法和技巧1. 理解问题：要根据题目所给的条件和要求，理解问题所涉及的数列类型和特征，确定解题的方向和步骤。
2. 寻找规律：通过观察数列的项与项之间的关系，寻找数列的规律。
可以通过找到数列的通项公式或者数列的前n项和公式来解题。
3. 列方程：根据数列的规律，列出相应的方程，求解方程，得到题目要求的结果。
4. 转化问题：将数列问题转化为其他数学问题进行求解，如几何问题、代数问题等。
5. 利用性质和结论：在解题过程中，灵活运用数列的性质和常见结论，加快解题速度。
6. 注意特殊情况：注意题目中可能存在的特殊情况，对于这些情况要进行单独考虑。
五、解题思路解题的思路是解决问题的关键。
在解数列问题时，可以采用以下几种思路：1. 直接法：根据题目所给的条件和要求，直接根据数列的定义、性质、公式等进行求解。
2. 类比法：将所给的数列问题与已经熟悉的数列问题进行比较，找到相似之处，借鉴已有的解题方法和技巧。
关于高考数学中数列问题的解题分析
教学 参谋
解法探究
2014 年 4 月
关于高考数学中数列问题的解题分析
筅江苏省如东县岔河中学
朱燕卫
76
高中版
2014 年 4 月
解法探究
教学 参谋
学生也不必畏惧烦琐的计算， 先把数列不等 等式计算， 式转化成表达式不等式， 再耐心地运用基本的不等式化 简知识去应对即可. 最后一步计算求得n的近似整数值反而是最容易出 错的. 一方面学生在包含根号的计算中， 本来就容易因 粗心犯错， 从而使近似值的结果出错； 另外一方面， 不少 学生都会忘记验证 n=13的情况，虽然说在这一道题目 中， 即使忘记了验证也不影响结果， 但是在很多题目中， 如果学生在近似值的计算中出现了一点点偏差， 那么包 含这个结果的整数区间的两个整数的分别验证就很有必 要了. 从对计算过程的分析可以看到， 数列填空题中蕴含 的不止是对学生的综合知识的要求， 还包含了对学生计 算效率和质量的要求 . 因为处理数据的步骤是连续性 的， 学生如果在途中因粗心犯错， 也就意味着将一路错 到底， 造成真正的 “差之毫厘失之千里” 的局面. 尤其是这些题目基本上处于填空题的最后部分， 急 躁的情绪更容易让学生出错 . 况且， 填空题只注重结果 的特点也使得它存在复查错误的不便， 如果学生在第一 次运算中不谨慎， 依赖检查找出错误几乎是一种浪费时 间的低效行为 . 所以， 教师在平时的复习教学和习题训 练中， 有必要提醒学生在数列计算的过程中一定要多一 点耐心， 在第一次做题时就能确保运算的速度和正确率.
新高考数列题型和知识点
新高考数列题型和知识点随着新高考改革的推进，数学科目的考试形式也发生了一些改变。
其中，数列题成为新高考数学的重要组成部分之一。
本文将从数列的概念和基本性质、数列的通项和递推关系、数列的求和公式以及数列的应用等方面，对新高考数列题型和知识点进行探讨。
一、数列的概念和基本性质数列作为数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在新高考中，对于数列的理解和掌握具有重要意义。
数列是按照一定规律排列在一起的一组数，其中每一个数称为数列的项。
数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。
等差数列中，每一项与前一项之差相等，这个差值称为等差数列的公差。
而等比数列中，每一项与前一项的比值都相等，这个比值称为等比数列的公比。
数列的基本性质包括数列有界性、数列的单调性和数列的有限项和无穷项。
数列有界性指的是数列的所有项都在一定的范围内，可以分为上界和下界；数列的单调性指的是数列的所有项满足大于等于或小于等于的关系，可以分为递增和递减；数列的有限项和无穷项是指数列中的项可以是有限个或无穷个。
二、数列的通项和递推关系数列的通项是指根据数列的规律找出每一项与项号n之间的关系式，通过这个关系式可以计算出数列中任意一项的值。
等差数列的通项可以通过公式an=a1+(n-1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项号。
等比数列的通项可以通过公式an=a1*r^(n-1)来表示，其中a1为首项，r为公比，n为项号。
递推关系则是指通过已知的前一项求出下一项的关系式。
对于等差数列而言，递推关系可以通过an=an-1+d来表示；对于等比数列而言，递推关系可以通过an=an-1*r来表示。
三、数列的求和公式数列的求和公式是指计算数列所有项的和的公式。
对于等差数列而言，求和公式可以通过Sn=(n/2)(a1+an)来表示，其中Sn为前n项和；对于等比数列而言，求和公式可以通过Sn=a1(1-r^n)/(1-r)来表示，其中Sn为前n项和。
四、数列的应用数列在实际应用中具有广泛的应用价值。
高考数学中的数列与等比数列题解析
高考数学中的数列与等比数列题解析数列是高考数学中常见的概念，它在数学理论中有着广泛的应用。
其中，等比数列作为数列中的一种特殊形式，也是高考数学中的重要考点。
在本文中，将对高考数学中的数列与等比数列进行解析和讲解。
一、数列的定义和性质数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。
一般表示为{a1，a2，a3，…，aa}，其中aa表示数列中的第a个数。
数列的性质包括公差、通项公式等。
二、数列的表示方法1. 通项公式通项公式是指通过数列的某种规律得到数列中的第a个数的公式。
我们以等差数列为例，其通项公式为：aa = a1 + (a-1)a，其中a1表示首项，a表示公差。
2. 递推公式递推公式是指通过数列前一项的值得到下一项的值的公式。
我们以等差数列为例，其递推公式为：aa = aa−1 + a，其中aa表示数列的第a个数。
三、等比数列等比数列是一种数列，其特点是每一项与它的前一项的比都相等。
通常用a n来表示等比数列中的第a个数。
等比数列的通项公式为：aa = a1 * a^(a−1)，其中a1表示首项，a表示公比。
四、等比数列的性质等比数列具有一些重要的性质，包括公比的绝对值小于1时等比数列的收敛性、等比数列的前a项和等等。
五、在高考数学中，数列与等比数列的题目常见且普遍。
以下我们通过几个例题来解析和讲解。
例题一：已知等比数列{a₁，a₂，a₃，…，a_10}的首项为2，公比为0.5，求该等比数列的前10项的和。
解析：根据等比数列的通项公式，我们可以求得前十项的值：2，1，0.5，0.25，…，0.0009765625。
然后，利用等比数列的前a项和公式aa = a (1-aⁿ)/(1-a)，其中aa表示前a项的和，a表示公比。
代入数据计算得：aa= 2 (1−0.5^10)/(1−0.5) ≈ 2.048。
因此，该等比数列的前10项的和约为2.048。
例题二：数列{a₁，a₂，a₃，…，aa}的项数为a，且首项为1，已知数列的前a项和为(3a²+a) / 2，求数列的通项公式。
高考数列题型及解题方法总结
高考数列题型及解题方法总结高考数列是一种考查学生数学能力的重要方式，它不但考查学生掌握的数学知识，还考查学生在解决实际问题时的综合能力。
本文主要就高考数列题型及相应解题方法总结如下，以期为学生带来帮助。
一、高考数列题型总结1.数列的通项公式：本题主要考查学生掌握数列的规律，理解其发展规律，分析出等比数列或等差数列的通项公式。
2.数列的前n项和：本题主要考查学生掌握等比数列和等差数列的前n项和公式，熟练的后推法。
3.等比数列的首项和公比：本题主要考查学生掌握等比数列的定义，理解概念，根据题目提供的已知条件写出等比数列的三角形公式，解出其首项和公比。
4.别数列：本题主要考查学生掌握分别数列的定义，理解概念，根据题目提供的已知条件能分析出其结构，逐个解出分别数列的项数和某一项的值。
二、解题方法总结1.系题意：本步骤的作用是理解题目的文字，把握题意，明确题目要求的是什么，本题要求什么，分析题干中给出的条件是什么，根据要求，确定所求数列是等比数列还是等差数列。
2.规律：本步骤的作用是把握数列的规律，在把握等比数列或等差数列的规律时，要求学生理解数列的发展规律，如果把等比数列视为关于期数的函数，或者把等差数列视为关于期数的线性函数，则可以迅速获得等比数列或等差数列的三角形公式，从而得出通项公式。
3.积法：本步骤的作用是求数列的前n项和，常用的方法就是累积法，学生需要掌握等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，根据已知条件计算出数列的前n项和，从而得出结论。
4.用公式：本步骤的作用是求等比数列的首项和公比。
学生需要掌握等比数列定义，熟悉其三角形公式，根据题目给出的条件，计算出首项和公比的值。
5.找规律：本步骤的作用是求分别数列的项数和某一项的值。
学生需要掌握分别数列的定义，根据给出的条件，先把分别数列分解成多个等差数列，逐个列出各部分的公式，再根据题目要求计算出每部分的项数或某一项的值。
以上就是关于高考数列题型及解题方法总结的文章，希望对大家有所帮助。
数列高考大题知识点总结
数列高考大题知识点总结数列是高考数学中的一个重要知识点，它常常出现在各类数学题型中，如函数、图像和方程等。
正确掌握数列的相关知识，对于高考数学的备考至关重要。
本文将对数列的相关知识点进行总结和概括，并提供一些解题技巧，帮助考生在高考中取得好成绩。
一、数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
数列可以表示成通项公式的形式，例如An=a1+(n-1)d，其中An表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
对于等差数列来说，公差d表示相邻两项之间的差值是固定的。
二、等差数列的性质等差数列是高中数学中最为常见的数列之一，它具有以下性质：1. 首项和末项之和等于中间各项之和的两倍。
即a1+an=a2+a3+...+an-1的等差数列的常用性质之一。
2. 数列的前n项和Sn可以用通项公式表示，即Sn=n/2×[a1+an]。
考生在解题过程中，可以通过这个公式方便地计算出数列的和。
3. 若Sn经过化简后能够写成n的多项式，则称该等差数列是一个多项式等差数列，否则是非多项式等差数列。
三、等比数列的性质等比数列也是高考数学中常见的数列之一，它具有以下性质：1. 首项和末项之比等于中间各项之比的平方根。
即a1/an=a2/a1=a3/a2=...的等比数列的常用性质之一。
2. 数列的前n项和Sn可以表示为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中q是公比。
考生在解题中可以引用这个公式来求解等比数列的和。
3. 等比数列中，如果公比q大于1，则数列呈现递增趋势；而公比q小于1，数列呈现递减趋势。
这一点在解题中需要特别注意。
四、数列求和的常用方法对于高考数学中的数列求和问题，有以下几种常用方法：1. 根据数列的通项公式和前n项和的公式进行计算。
2. 利用数列的性质，结合求和公式来求解，如等差数列求和公式和等比数列求和公式。
3. 利用数列的规律，通过变形和整理等方法进行求解。
在解题过程中，考生需要熟练掌握各类数列的求和方法，并能够运用于实际题型中。
高考数学题型解析数列问题
高考数学题型解析数列问题数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都可不能遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探干脆问题是高考的热点，常在数列解答题中显现。
本章中还包蕴着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等差不多数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题要紧有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中要紧是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地点用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
知识整合1.在把握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统把握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探干脆问题实践中加深对基础知识、差不多技能和差不多数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
高考数列题型及解题方法
高考数列题型主要分为以下几类：1. 等差数列和等比数列：这类题目主要考察对等差数列和等比数列的性质、通项公式、求和公式等基本知识的掌握。
2. 通项公式的求解：这类题目要求求解数列的通项公式，通常可以通过观察数列的规律、使用递推关系或利用已知条件来推导。
3. 求和公式的应用：这类题目要求计算数列的和，包括等差数列、等比数列以及其他一些特殊数列的和。
4. 数列的极限：这类题目考察数列极限的概念，包括求解数列的极限、判断数列的收敛或发散等。
5. 不完全归纳法：这类题目要求通过观察数列的前几项来猜测数列的规律，并用不完全归纳法进行证明。
解题方法：1. 熟悉等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式。
2. 学会观察数列的规律，找到数列之间的关系。
3. 熟练运用递推关系求解数列的通项公式。
4. 利用已知条件求解数列的通项公式或求和。
5. 掌握不完全归纳法的解题方法，通过观察数列的前几项来猜测数列的规律，并进行证明。
案例：1. 等差数列题目：已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1=1，求a10。
解：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知条件，得到a10=1+(10-1)×2=19。
2. 通项公式题目：已知数列{an}满足an=2an-1+1，a1=1，求an。
解：根据递推关系，得到an+1=2(an-1+1)，即an+1=2an，所以数列{an}是公比为2的等比数列。
因此，an=2^(n-1)。
3. 求和公式题目：求等差数列1，4，7，10，...的前n项和。
解：根据等差数列求和公式Sn=n/2×(a1+an)，代入已知条件，得到Sn=n/2×(1+3n/2)=3n^2/4+n/4。
通过对高考数列题型的分类和解题方法的总结，可以更好地应对高考数列题目，提高解题能力。
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考引言：2023年高考已落下帷幕，本轮考试中继续在反套路，反机械刷题上下功夫，充分落实中国高考评价体系中“四层四翼”的考查要求，合理控制考题的难度，进一步科学引导教学.今年的高考题中又再一次继2019年后利用数列的递推公式公式解决概率问题，此类题型在新教材中也有体现，也进一步体现教考衔接，引导广大师生要在高三复习备考中要回归课本，回归基本方法，注意章节知识之间的灵活应用。
关键词：概率递推数列一、2023年高考真题再现例：甲、乙两人投篮，每次由其中一位投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.分析:研究每一次（第2次起）是谁投篮是需要知道上一次是谁投篮的，因为甲乙投篮的命中率不一样，会关系到下一轮是谁投篮，所以需要弄清楚它们的关系，利用树状图就非常清晰。
解：（1）略（2）.求第投篮是甲是要弄清楚第次投篮的是谁，其可以分为甲和乙，设表示第次投篮是甲的概率.第次投篮是甲的概率来自两个方面，若果前一次是甲的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为；若果前一次是乙的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为，故第次投篮是甲的概率可表示为，进而又可以根据数列的知识化为，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以第次投篮的人是甲的概率.用数列的递推公式求概率问题是一个比较抽象的问题，需要学生较强逻辑推理和归纳概括的能力，在概率题中特别需要让学生体会表格和树状图的作用，它常常能帮助我们理清它们的关系，在高三复习备考中要关注培养学生的这些能力.第（3）问给出的公式在考场短时间上很多学生不能轻易理解其中含义，因而也就无法知道这个公式计算的就是期望，其实我们还是可以根据自己对均值的理解来帮助理解这个公式的意义，采用特殊到一般的思路获得两点分布中的均值等于每个表示成功的随机变量与相应概率之积的和来理解.如：设第次甲投篮的概率为P①当前1次中甲投篮的次数的分布列为:②当前2次中甲投篮的次数的分布列为:P③当前3次中甲投篮的次数的分布列为:P由不完全归纳可以得出前次投篮中甲投篮次数的均.这样也能帮助我们进一步理解问题中给的公式就是计算期望的.所以.事实上给出的公式还是可以这样来理解的：前次中甲投篮次数的均值可以理解为前边的n次中每次投篮贡献的均值之和，而第二问求出的概率刚好又是每次投篮的概率，所以前边n次投篮中每次投篮在均值中的贡献可用下面这个表格来表示:.当然更进一步的问题也可以改为前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮成功的次数为，求.这样就会对甲每次投篮成功的概率有关系了.二、探寻2023年高考概率题的“源”其实，在新教材中二项分布和超几何分布都对均值有了明确的阐述，也对其结果进行了证明.而今年的高考题第21题无论是方法还是过程都可以参考二项分布中均值的方法进行，都是采用归纳推理的思想。
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析高中数学数列题目是高中数学中的重要内容，也是考试中常出现的题型之一。
解题时需要掌握一定的方法和技巧，下面将从数列的定义、常见数列的特点以及常用的解题方法和技巧等几个方面进行分析。
数列的定义。
数列是由一列按照特定规律排列的数所组成的有序集合，通常用{an}或者{an}表示。
an为数列中的第n项。
常见数列的特点。
常见的数列有等差数列、等比数列以及递推数列等。
1. 等差数列：等差数列是指数列中的任意两项之差都相等的数列。
其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
3. 递推数列：递推数列是指数列中的每一项都由前一项经过特定规律推导而来的数列。
其递推公式为an = f(an-1)，其中f为递推函数。
解题方法和技巧。
1. 确定数列的类型：在解题时，首先要确定数列的类型，即是等差数列、等比数列还是递推数列。
通过观察数列的前几项之间的关系，可以初步判断数列的类型。
2. 求解数列的通项公式：一个数列若有通项公式，可通过求解通项公式来得到数列中的每一项。
对于等差数列和等比数列，可以通过观察数列的前几项之间的关系，运用数列的定义和性质来确定通项公式。
对于递推数列，可以通过观察数列的递推函数的特点，运用递推公式来确定通项公式。
3. 求解数列的前n项和：有时需要求解数列的前n项和。
对于等差数列和等比数列，可以利用数列的性质来求解前n项和的公式。
对于递推数列，可以通过递推公式求前n项的和。
4. 利用数列的性质和性质定理解题：在解题过程中，可以利用数列的性质和性质定理来简化和解决问题。
等差数列的性质定理可以用来判断数列中是否存在某项或某些项。
5. 运用数列的性质和特点进行变形：在解题过程中，有时需要对数列进行变形，运用数列的性质和特点进行变形可以使解题过程更简单。
对等差数列可以进行换元或整理项，对等比数列可以进行对数换元等。
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析数列是高中数学中的一个重要概念和考点，其解题方法与技巧多种多样。
下面将从数列的定义、常用数列的特点和性质、解题思路和常见技巧等方面进行分析和讨论。
数列的定义是指由一系列数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每一个数称为该数列的项。
数列通常用an来表示第n项，其中n为项的位置。
常见的数列有等差数列、等比数列、递推数列等。
一、等差数列的特点和性质等差数列是指数列中相邻两项之差都是一个常数d，即an+1 - an = d。
这个常数d称为等差数列的公差。
等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn = (a1 + an) * n / 2等差数列的求和公式在解决一些求和问题时非常有用。
当给定等差数列的前n项和Sn 时，可以通过代入公式解得未知数。
三、递推数列的解题思路和技巧递推数列是指数列中每一项通过前一项进行递推得到的数列。
对于递推数列，首先要找出递推关系式，即找出每一项与前一项之间的关系。
根据递推关系式，可以通过已知的前几项来求出后面的项。
解题时，通常需要使用归纳法或数学归纳法来证明递推关系式的正确性。
在递推数列的题目中，还可以运用数学运算的性质，如加法、乘法、幂运算等，来进行变形和化简，以便于求解。
四、常用的解题技巧1. 利用已知条件求解未知数：在一些数列题目中，会给出一些特定的条件，可以利用这些条件来求解数列的未知数。
常见的方法有代数法、代入法、方程法等。
2. 利用数列的性质和特点：对于一些特殊的数列，可以通过利用数列的性质和特点来进行求解。
对于等差数列，可以利用其公差的特点来求解；对于等比数列，可以利用其公比的特点来求解。
3. 运用数学运算的性质：在解题过程中，可以运用加法、乘法、幂运算等数学运算的性质来进行变形和化简，以便于求解。
可以通过加法来合并项、通过乘法来整理算式等。
4. 使用图像、图表等辅助工具：对于一些数列题目，可以通过绘制图像、制作图表等辅助工具来观察和分析数列的规律，从而解题。
把握数列概念本质__巧用数列通项特征——2023年高考数列试题赏析
球 的 球 心,由 V 三 棱 锥O-PBC =
。
解 析:由 ∠HDC = ∠FAB =9
0
°,且 点
过
PAD ⊥ 平面 ABCD 。取 AD 的中点为 M ,
过 O 作 底 面 ABCD 的 垂 线
为四 棱 锥 PABCD 的 外 接
平面 PBC 的距离为
可知 AB ⊥ 平面 PAD ,
平面
H、
F、
E、
G 重合,
正方形 ABCD 的中心为 O ,
则 l1 与 l2 的 交 点 O ,即
l2 ,
则四 棱 锥 P9
0
°,
ABCD 的 外 接 球 的 球 心 到
图1
可得球心 O 到平面 PBC 的 距 离 为
V 三 棱 锥P-OBC ,
5
。
5
M 作平 面 PAD 的 垂 线l1 ,取 正 方 形 ABCD
以约分成一次函数的特征。因此,
设 an =t
n,
求 d。
T99 =9
9,
(
解析:
1)由 3
a2 =3
a1 +a3,
S3 +T3 =2
1,
可 得
3(
a1+d)
=3
a1+a1+2
d,
3
a1+3
d+
a1=d,
,
2
6
1
2
=2
1
+
+
a1 a1+d a1+2
d
2
所以 2
解得
d -7
d+3=0,
9
6
d+ =2
全国高考数列题的解法分析及其题型归类
GUANＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG数列是高中数学的重要组成部分，也是高考热点考查内容之一.数列题量一般为2～3道小题，或者1道大题，分值为10～15分，小题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本性质，大题主要考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式以及求和的一般方法（错位相减法和裂项相消法）为主.数列题是考查考生综合素养的重要载体，其蕴含了构造、转化和化归、函数与方程、数形结合等数学思想方法，体现了数学运算、逻辑推理、几何直观等数学学科核心素养.本文从2020年高考全国玉卷理科数列题的解法分析并对高考数列题型进行归类总结.一、试题呈现与分析设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.（1）求{a n}的公比；（2）若a1=1，求数列{na n}的前n项和.【解析】（1）设{a n}的公比为q（q≠1），由题设得a2+a3=2a1，即a1q+a1q2=2a1，所以q2+q-2=0，解得q=1（舍去），q=-2，故{a n}的公比为-2.（2）方法一（错位相减法）：由（1）及a1=1可得，na n=n（-2）n-1.记{na n}的前n项和为T n，于是T n=1×（-2）0+2×（-2）1+3×（-2）2+…+n×（-2）n-1，-2T n=1×（-2）1+2×（-2）2+3×（-2）3+…+n×（-2）n，以上两式相减，得3T n=1+（-2）1+（-2）2+…+（-2）n-1-n×（-2）n=１-（-2）n3-n×（-2）n=１3-（3n+1）（-2）n3，所以T n=１9-（3n+1）（-2）n9.故数列{na n}的前n项和为T n=１9-（3n+1）（-2）n9（n∈N鄢）.方法二（裂项相消法）：na n=n（-2）n-1=（An+B）·（-2）n-[A（n-１）+B]·（-2）n-1=（-3An+ A-3B）（-2）n-1待定系数可得：-3A＝1，A-3B＝0，解得A＝-１3，B＝-１99.故na n=n（-2）n-1=（-１3n-１9）·（-2）n-[-１3（n-１）-１9]·（-2）n-1,所以T n=a1+2a2+…+na n=（-１3×1-１9）×（-2）１-（-１9）×（-2）0+（-１3×2-１9）×（-2）2-[-１3×1-１9]×（-2）１+…+（-１3n-１9）·（-2）n-[-１3（n-1）-１9]·（-2）n-1=（-１3n-１9）·（-2）n+１9.【点评】该题考查了数列的定义概念、性质，题目难度不大，注重了基础知识、计算能力的考查.题目明确数列是等比数列，给出了a1，a2，a3三项的关系，第一问直接代用等比数列的通项公式即可求出公比；第二问是数列的求和，方法一利用错位相减法求解，学生容易掌握，但对计算要求高，学生也容易出错；方法二利用裂项相消法进行求解，尽管有一定的技巧性，但也不失为一种好方法.二、高考数列题型归类近几年，高考都把数列作为核心内容来考查，总体来看，难度虽然有所降低，但是创新不断，而且是常考常新，下面把数列的题型进行归类总结.（一）等差数列、等比数列基本量的运算例题1.（1）设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（）A.12B.24C.30D.32【解析】根据已知条件求得q的值，再由a6+a7+a8=q5（a1+a2+a3）可求得结果.设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2+a3=1，∴a2+a3+a4=a1q+a2q+a3q=q（a1+a2+a3）=q=2，因此，a6+a7+a8=a1q5+a2q5+a3q5=q5（a1+a2+a3）=q5=32.故选D.（2）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1=１3，a24=a6，则S5=__________．【解析】设等比数列的公比为q，由已知a1=１3，a24=a6，所以（１3q3）2=１3q5，又q≠0，所以q=3，所以S5=a1（1-q5）1-q=１3（1-35）1-3=１213.（3）记S n为等差数列{a n}的前n项和，a1≠0，a2=3a1，则S10S5=___________.全国高考数列题的解法分析及其题型归类■广东省佛山市南海区西樵高级中学伍艳芳数学有数数学有数【解析】设等差数列{a n}的公差为d，因为a2=3a1，所以a1+d=3a1，即2a1=d，所以S10S5=10a1+10×9２d5a1+5×4２d=100a1２5a1=4．【点评】以上几个题目主要考查等差、等比数列基本量的计算，利用等差、等比数列的通项公式即可列出首项与公差（公比）的方程，解出首项与公差（公比），其中渗透了方程思想和数学计算等学科素养，属于基础题.（二）求数列通项公式的常用方法通项公式是研究数列性质的重要工具，已知数列的某几项或数列的前n项和来计算推导数列的通项公式是高考题常考的内容之一.下面总结归纳高考题中求数列通项公式的常用方法：1.公式法例题2.已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，4a n+1=3a n -b n+4，4b n+1=3b n-a n-4.（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n-b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.【解析】（1）将4a n+1=3a n-b n+4，4b n+1=3b n-a n-4相加可得：4（a n+1+b n+1）=2（a n+b n），即a n+1+b n+1=１２（a n+b n）．又因为a1+b1=1，所以{a n+b n}是首项为1，公比为１２的等比数列．将4a n+1=3a n-b n+4，4b n+1=3b n-a n-4作差可得：4（a n+1-b n+1）=4（a n-b n）+8，即a n+1-b n+1=a n-b n+2．又因为a1-b1=1，所以{a n-b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，a n+b n=１２n-1，a n-b n=2n-1．所以a n=１２[（a n+b n）+（a n-b n）]=１２n+n-１２，b n=１２[（a n+b n）-（a n-b n）]=１２n-n+１２．【点评】该题的题型比较新颖，考查了等差、等比数列的证明，结合等差、等比数列的定义，只要将题目的两个式子相加减即可证明，考查了推理能力和化归与转化思想；第二问利用第一问的结果推导出{a n+b n}和{a n-b n}的通项公式，然后解方程组即可求出{a n}和{b n}的通项公式，体现了方程的思想.变式（1）（2020年全国3卷文17节选）设等比数列{a n}满足a1+a2=4，a3-a1=8，求{a n}的通项公式.【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得a1+a1q＝４，a1q２-a1＝8 8，解得a1＝1，q＝38，所以a n=3n-1.变式（2）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15，求{a n}的通项公式.【解析】设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15．由a1=-7得d=-2．所以{a n}的通项公式为a n=2n-9．变式（3）已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8，求{a n}的通项公式.【解析】设公比为q，∴a3q+a3q=20，a3=8，解得q=2或q=１２（舍），∴a n=a3q n-3=8×2n-3=2n.2.由递推关系求通项公式例题3.（1）若数列{a n}的前n项和S n=23a n+１3，则{a n}的通项公式是a n=_______.【解析】∵S n=23a n+１3…①∴当n≥2时，S n-1=23a n-1+１3…②①－②，得a n=23a n-23a n-1，即a na n-1=-2.∵a1=S1=23a1+１3，∴a1=1.∴{a n}是以1为首项，-2为公比的等比数列，a n=（-2）n-1.（2）记S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n+1，则S6=_____．【解析】因为S n=2a n+1，所以当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=-1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n-1-1，所以a n=2a n-1，所以数列{a n}是以-1为首项，2为公比的等比数列，所以a n=2n-1，所以S6=-１×（1-26）1-２=-63．（3）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n>0，a２n+２a n=4S n+3，求{a n}的通项公式.【解析】当n=1时，a２1+２a1=4S1+3=4a1+3，因为a n>0，所以a1=3，当n≥2时，a２n+２a n-a２n-1-２a n-1=4S n+3-4S n-1-3=4a n，即（a n+a n-1）（a n-a n-1）=2（a n+a n-1），因为a n>0，所以a n-a n-1=2，所以数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，所以a n=2n+1.【点评】对于已知S n求a n的题型，通常利用公式a n=S1（n=1）S n-S n-1（n≥28）来计算，先算n=1时a1的值，再利用递推关系计算n≥2时a n的表达式，最后将a1的值代入检验，从而得出数列{a n}的通项公式，当中也应用到等差、等比数列的概念和通项公式，属于简单题.（三）数列求和的几种常用方法数列求和是高考考查的重要内容，强调对基础知识的掌握和应用，需要在灵活变通中寻找方法.而高考中数列求和，GUANＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG有“技”可循，有“式”可用，下面归纳总结数列求和的常用方法，提高数列求和的有效性，让没规律可循的数列求和能巧妙解决.1.公式法若一个数列是等差或等比数列，求和时直接运用等差、等比数列的前n项和公式，但要注意，等比数列公比是否为1.例题4.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a5-a3=12，a6-a4=24，则S na n=（）A．2n-1B．2-21-n C．2-2n-1D．21-n-1【解析】设等比数列的公比为q，由a5-a3=12，a6-a4=24，可得a1q4-a1q2＝12，a1q5-a1q3＝244，解得a1＝1，q＝24，所以a n=a1q n-1=2n-1，S n=a1（1-q n）1-q =1-2n1-2=2n-1，因此，S na n=2n-12n-1=2-21-n，故选B.【点评】根据等比数列的通项公式，解方程组求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式和前n项和公式求解即可.本题考查了等比数列的通项公式的基本计算，等比数列前n 项和公式的应用，考查了考生分析能力和数学计算能力，属于基础题.变式.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=-2，a2+ a6=2，则S10=____________.【解析】∵{a n}是等差数列，且a1=-2，a2+a6=2，设数列{a n}的公差为d，可得a1+d+a1+5d=2，解得d=1，∴由S n=na1+n（n-1）２d得S10=10×（-2）+10×9２×1=-20+45=25，∴S10=25.2.分组求和法通常是将一个数列的和转化为“一个等差数列的和”与“一个等比数列的和”之和，有时也可能转化为其他常见数列之和.例题5.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2 =3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解析】（1）等比数列{b n}的公比q=b3b2=93=3，所以b1=b2q=1，b4=b3q=27．设等差数列{a n}的公差为d．因为a1=b1=1，a14=b4=27，所以1+13d=27，即d=2.所以a n=2n-1（n∈N鄢）.（2）由（I）知，a n=2n-1，b n=3n-1．因此，c n=a n+b n=2n-1+3n-1．从而数列{c n}的前n项和：S n=[1+3+…+（2n-1）]+（1+3+…+3n-1）=n（1+2n-1）２+1-3n 1-3=n2+3n-12．【点评】该题考查了等差、等比数列的基本量的计算，新的数列c n是由等差+等比构成，利用分组求和即可求出数列{c n}的前n项和，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.变式.等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a-2+n，求b1+b2+…+b10的值.【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d.由已知得a1＋d＝４（a1＋3d）+（a1＋6d）＝145，解得a1＝3d＝41，所以a n=a1+（n-1）d=n+2．（2）由（1）可得b n=2n+n，所以b1+b2+…+b10=（2+1）+（22+2）+（23+3）+…+（210+10）=（2+22+23+...+210）+（1+2+3+ (10)=2（1-210）1-2+（1+10）×102=（211-2）+55=211+53=2101．3.裂项相消法例题6.数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n-1）a n=2n．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n+1}的前n项和．【解析】（1）因为a1+3a2+…+（2n-1）a n=2n，故当n≥2时，a1+3a2+…+（2n-3）a n-1=2（n-1）．两式相减得（2n-1）a n=2，所以a n=22n-1（n≥2）．又因为n=1时，a1=2满足上式，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.（2）记{a n2n+1}的前n项和为S n，由（1）知a n2n+1=2（2n+1）（2n-1）=22n-1-22n+1.则S n=１1-１3+１3-１5+…+22n-1-22n+1=2n2n-1．【点评】该题考查了数列的通项公式以及利用裂项相消法求和，而裂项相消法是指将数列的通项公式分成两个式子的代数和形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法.裂项相消法适用于形如{ca n a n+1}（其中{a n}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列，常见的有相邻两项的裂项求和，也有隔一项的裂项求和，如1（n+1）（n+3）或1n（n+2）等.变式.已知等比数列{a n}的前n项和为S n（S n≠0），满足S1，S2，-S3成等差数列，且a1a2=a3.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=-3a n（a n+1）（a n+1+1），求数列{b n}的前n项和T n.【解析】（1）设数列{a n}的公比为q，依题意得S1+（-S3）=2S2，∴-（a2+a3）=2（a1+a2），得-a1（q+q2）=2a1（1+q），且a1≠0，∴q2+3q+2=0，解得q=-1或q=-2，∵S n≠0，∴q=-2.又∵a1a2=a3，得a1q=a1q2，∴a1=q=-2，∴a n=（-2）n.数学有数（2）由（1）得b n=-3（-2）n[（-2）n+1][（-2）n+1+1]=（-2）n+1-（-2）n [（-2）n+1][（-2）n+1+1]=1（-2）n+1-1（-2）n+1+1∴T n=1（-2）1+1-1（-2）2+11 +1（-2）2+1-1（-2）3+11 +…+1（-2）n+1-1（-2）n+1+11 =-1-1（-2）n+1+1=-（-2）n+1+2（-2）n+1+1.4.错位相减法例题7.设数列{a n}满足a1=3，a n+1=3a n-4n.（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n.【解答】（1）由题意可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，由数列{a n}的前三项可猜想数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n=2n+1，证明如下：当n=1时，a1=3成立；假设n=k时，a k=2k+1成立.那么n=k+1时，a k+1=3a k-4k=3（2k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1也成立.则对任意的n∈N鄢，都有a n=2n+1成立；（2）由（1）可知，a n·2n=（2n+1）·2nS n=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）·2n-1+（2n+1）·2n……①2S n=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）·2n+（2n+1）·2n+1……②由①-②得：-S n=6+2×（22+23+…+2n）-（2n+1）·2n+1=6+2×22×（1-2n-1）1-２-（2n+1）·2n+1=（1-2n）·2n+1-2，即S n=（2n-1）·2n+1+2.【点评】利用递推公式得出a2，a3，猜想得出{a n}的通项公式，利用数学归纳法证明即可，第二问由错位相减法求解即可.该题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查了考生的计算能力，属于中档题.变式.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足b1=b2=１２，b3=38，a n+1b n+1=2n b n+1.（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和.【解析】（1）由a n+1b n+1=2n b n+1，取n=1，得a2b2=2b1+1，解得a2=4；取n=2，得a3b3=2b2+1，解得a2=8.∵{a n}是等比数列，则q=a3a2=2，a1=a2q=2，∴{a n}的通项公式为a n=a1q n-1=2n.（2）∵2n+1b n+1=2n b n+1，∴数列{2n b n}是公差为1的等差数列.2n b n=2b1+（n-1）×1=n，则b n=n2n.设{b n}的前n项和为S n，则S n=１２+2２2+3２3+…+n2n，S n２= 1２2+2２3+3２4+…+n2n+1.则S n２=１２+1２2+1２3+…+12n-n2n+1=１２[1-（１２）n]1-１２-n2n+1=1-n+２2n+1，∴S n=2-n+２2n.其实，高考涉及到数列问题并不是十分复杂，考生可以通过分类练习，寻找解题规律，弄懂数列的特点，掌握求数列通项公式和前项和的方法，从中选择有效的方法去灵活解题.在不断的练习中总结实践经验，不断提升解题能力和计算能力.同时分析高考命题规律，把握高考命题趋势，关注高考热点问题，提炼解题的通性通法，进一步提高分析问题和解决问题的能力.责任编辑徐国坚2020年高考解三角形试题的解法及启示■辽宁省大连市开发区大治学校张治中解三角形的高考题目，是对三角函数知识的综合运用，是培养数学能力的好题材.对几年来的试题题材、背景、知识点及解题技术，对解三角形及相关问题的备考，通过个案解题，把捕捉到的解题感觉，撮要一记.尝试主动思考.题目1.（2020年高考全国域卷文科第17题）△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.（1）已知cos2（仔２+A）+cos A＝54.（1）求A.（2）若b-c＝3姨3a，证明：△ABC是直角三角形.1.1思路分析.对（1），由诱导公式，C转S，再由平方关系，S转成C的同角同名函数，由C函数值确定角.对（2），若题设结论正确，其中，b＞c，A＝仔3，决定a是中间的。
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二.一个数列为等差，一个数列为等比的情形
引例二一个等差数列a =4n+1，b =3 ，c 是由a 和b 的公共项从小到大排列组成的新数列，求c 的通项公式。
解题思路：将b 写成a 的形式再根据整除性解题。
解：设b =3 =a =4m+1，则有m= ，
=（1+2） - 1= + +……+ +
要使得 能被4整除，只需要 能被4整除，及2n能被4整除即可，
所以n应该为偶数，设n=2k，（k 1），则b 中的数及为a 和b 的公共项。
从而c = b =3 及为所求。
如果是两个等比数列，怎他们不一定有公共项，如a =2 ，b =3 便无公共项，这里我们就不做研究了。
上面给了我们求解数列公共项的思路，下面进入这次的话题重点，从公共项
两个数列的公共项问题
一.两个数列都是等差数列时
引例1有两个数列a =4n+5, b =3n+2, c 是由a 和b 的公共项从小到大排列组成的新数列，求c 的通项公式。
解题思路：将a 写成b 的形式再根据整除性解题。
解：a =4n+5=3（ +1）+2，因为要求的是a 和b 的公共项，所以需要3（ +1）+2是b 中的项，如此一来需要 为整数（n 1），因而n能被3整除，故当n=3m（m 1），能保证a 中的项也为b 中的项，及为公共项。
的角度去重新审读和研究2011年上海和江苏的两道数列题。
例一.（上海2011）
已知数列 和 的通项公式分别为 ， （ .将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列
（1）写出 ；
（2）求证：在数列 中，但不在数列 中的项恰为 ；
（3）求数列 的通项公式.
解：（1）第一问比较简单，我们可以列出 的前几项9,12,15,18；
（1）设M=｛1｝， ，求 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列 的通项公式
(2)下面主要研究第二问，并对第二问的解题思路做个梳理，我们是如何分析和解决此问题。
这道题的主要思维障碍便是如何证明它是一个等差数列，而怎样将其转化呢？这道题虽然只是一个数列，但我们通过转化将其成两个数列，也相当于构建了两个数列，通过他们的公共项角度出发，逐渐将我们的目标达成。如果没有这种思想，这道题的转化便不是很易完成。当然，该题还有别的解法，我再此便不再介绍。
的前几项9,11,13,15；通过观察可以知道
（2）在数列 中，但不在数列 及说 不在 中，
假设 （矛盾）故而
（3）第三问学生看完后大部分一头雾水，若要写其中的几项还可以，但是要求通项公式就完全没有思路了，如果多列几项找规律，虽然能找到一定的规律，可是却无从书写过程，这就陷入了两难。其实第二问已经启迪了我们一些思路，便是从共项的角度去研究。
既然如此我们就应该 研究中的两项之间所蕴含的 中的项，看看有无规律。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ通过如此我们很快的得出了最终结果，所以如果我们能从 中的公共项出发，再结合问题研究公共项之间元素存在的规律便可速度快捷的解决问题，这是问题的关键所在，下面通过江苏省的2011年的高考题压轴题再来浅谈这种思想，给读者提供一个思路。
例二.设M为部分正整数组成的集合，数列 的首项 ，前n项和为 ，已知对任意整数k属于M，当n>k时， 都成立
从数列共项角度解读高考数列题
数列的共项问题是数列的一类题，它主要以两个数列为主，考察他们的公共项。它的解题思路也较为单一，解题过程也不是很繁琐，如果从表面上去出此类题，很多学生都会做，可是当这种共项的考察较为隐秘时，学生就不容易从此角度思考问题了，下面我先介绍怎样求解公共项问题，然后再从公共项角度去解读2011年上海和江苏的两道数列题，给同学们一个思路。