专题13 圆锥曲线(押题专练)
(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)
圆锥曲线压轴22题及答案一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)的焦点是椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（,）．（1）求椭圆M 的方程;（2)O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．已知直线11：ax ﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l 2的交点为M,当a 变化时，求点M 的轨迹C 的方程：（2）已知点D （2，0）,过点E （﹣2，0）的直线1与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值． 3．已知椭圆C:+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为（点O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；(2）直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于O 的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．4．如图所示，椭圆C 1:+y 2=1，抛物线C 2：y=x 2﹣1，其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O的直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E ． （Ⅰ）证明：MA ⊥MB;（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1,S 2．问：是否存在直线l ，使得=．若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点,则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆，点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q(1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值;(3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．(Ⅰ）求椭圆E的标准方程;(Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问｜AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值;若不是,请说明理由．10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ)求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问｜BH｜是否为定值?若是,求出定值；若不是，请说明理由．11．设椭圆M：+=1(a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围． 12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （ I ）求椭圆C 的方程； （ II ）当直线l 的斜率为时，求△POQ 的面积；( III ）在椭圆C 上是否存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形?若存在，求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：(a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD|=1，O 为坐标原点． (1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点，A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问:|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣,0)，F 2（，0)，点E(，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围． 15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标;若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆C ：(a ＞b ＞0）的离心率，抛物线E ：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1)求椭圆C 的标准方程；（2)过点P （0，1）的动直线与椭圆C 交于A,B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．17．在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点（1,)在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．(1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）,线段MN 的中点为G ，已知点(x 1，x 2)在圆x 2+y 2=2上，求｜OG ｜•|MN ｜的最大值，并判断此时△OMN 的形状． 18．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)，其内接△ABC 中∠A=90°． （I)当点A 与原点重合时，求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II ）当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 19．如图，已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P （﹣2,3）是椭圆C上一点,且PF 1⊥x 轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆M ：(x ﹣m ）2+y 2=r 2（r ＞0）．①设圆M 与线段PF 2交于两点A,B ，若，且AB=2，求r 的值；②设m=﹣2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r,使得G,H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．20．己知椭圆在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．(1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为，，求直线l 2的斜率．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0),直线y=x 与C 交于O ，T 两点，｜OT ｜=4．（Ⅰ）求C 的方程; （Ⅱ)斜率为k （0）的直线l 过线段OT 的中点，与C 交于A,B 两点,直线OA,OB 分别交直线y=x ﹣2于M ，N 两点，求|MN|的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，焦距为4,离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P(0,﹣1），且与椭圆交于A,B两点，若,求直线l的方程．参考答案与试题解析一．解答题(共22小题）1．已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1(a＞b＞0)的右焦点,且两曲线有公共点（,）．（1)求椭圆M的方程；(2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0)的右焦点,∴=c，∵两曲线有公共点（,)，∴=2p•，+=1，解得p=2，∴c=1，∴c2=a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+)=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•==，C到直线AB的距离d═，S△ABC=|AB|•d=••=．当直线AB的斜率不存在时，|AB｜=3，d=3，S△ABC=｜AB｜•d=．综上可得，△ABC的面积为定值．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12:x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时,求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D(2，0)，过点E（﹣2,0)的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解:（1）由题意设M（x，y)，M满足直线11、直线12：可得，消去a，可得x2+5y2=5，即点M的轨迹C的方程为：(2）设直线l的方程x=my﹣2．E（﹣2,0)在M的轨迹C内．ED=4，直线1与C交于A，B两点，A（x1,y1）．B（x2，y2）∴，可得（m2+5）y2﹣4my﹣1=0．∴y1+y2=．y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2｜•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=,当且仅当m=时，表达式取得最大值．△ABD面积的最大值：．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；(2）直线l过F且与椭圆C交于P,Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：(1)∵△MOF的面积为,∴bc=，即bc=．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4,∴=4，即ab=2．∴==,∴=，∴a=2,b=,∴C的方程为:=1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则=2S△POQ．设直线l的方程为：x=my﹣1,P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=,∴|y1﹣y2|===，∴S△POQ =|OF|•|y1﹣y2｜=．设=t≥1,=．∵函数g(t)=在［1，+∞）上单调递减，∴当t=1时，△PP′Q面积取得最大值=3．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D,E．（Ⅰ)证明：MA⊥MB;(Ⅱ)记△MAB，△MDE的面积分别是S1,S2．问:是否存在直线l，使得=．若存在,求出直线l的方程，若不存在,请说明理由．【解答】解:(Ⅰ)证明：由题得,直线l 的斜率存在，设为k,则直线l 的方程为:y=kx, 由y=kx 和y=x 2﹣1，得x 2﹣kx ﹣1=0．设A(x 1，y 1），B(x 2,y 2), 于是x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，又点M 的坐标为（0，﹣1）． 所以k MA •k MB =•====﹣1．故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME;(Ⅱ）设直线MA 的斜率为k 1,则直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1． 联立y=x 2﹣1可得或则点A 的坐标为（k 1，k 12﹣1）． 又直线MB 的斜率为﹣，同理可得点B 的坐标为（﹣，﹣1）．于是S 1=|MA ｜•｜MB ｜=｜k 1|•••|﹣｜•=．由椭圆方程x 2+4y 2=4和y=k 1x ﹣1， 得（1+4k 12）x 2﹣8k 1x=0,解得,或,则点D的坐标为（,）．又直线ME的斜率为﹣,同理可得点E的坐标为（﹣，)．于是S2=｜MD｜•|ME｜=．故=（4k12++17)=，解得k12=4，或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为y=±x．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1)求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点，请说明理由．【解答】解:（1)由题意可知：a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为(0，b）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有：得……………………3分所以椭圆的方程为．……………………4分（2）设直线线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2）联立得（3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0，有,2kx1x2+（k+m)（x1+x2)+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=（8km)2﹣4×(3+4k2)(4m2﹣12）=(32k2）2﹣4×（3+4k2)（64k2﹣12)=16×64k4﹣16(4k2+3）（16k2﹣3)=16×9（1﹣4k2）显然△=16×9（1﹣4k2）＞0有机会成立．所以直线l的方程为：y=kx+m=k（x+4）所以存在这样的定点（﹣4，0）符合题意．…………12分6．椭圆的离心率是，过点P(0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点,当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1)求椭圆C的方程;（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q,使得直线l 变化时，总有∠PQA=∠PQB?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵，∴a 2=2c 2=b 2+c 2，b=c,a 2=2b 2,椭圆方程化为:，由题意知，椭圆过点，∴，解得b 2=4，a 2=8，所以椭圆C 的方程为：;（2）当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:y=kx+1， 由得(2k 2+1）x 2+4kx ﹣6=0，△=16k 2+24（2k 2+1）＞0,设,假设存在定点Q （0，t)符合题意，∵∠PQA=∠PQB ，∴k QA =﹣k QB , ∴=,∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4﹣t=0，即t=4，∴Q （0,4），当直线l 斜率不存在时,A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0,2）， 显然此时∠PQA=∠PQB ，综上，存在定点Q （0，4）满足题意． 7．已知椭圆，点在椭圆C 上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C 的方程;（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P 、Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP 、AQ 斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=2,请判断直线PQ 是否过定点?若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【解答】解:（1）由点在椭圆C 上可得：，整理为：9a 2+4b 2=4a 2b 2， 由椭圆C 的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得：，即，可得，由a ＞b ＞0可解得：，故椭圆C 的方程为：．（2）设点P 、Q 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2），点A 的坐标为（﹣2，0）， 故，可得y 1y 2=2（x 1+2)（x 2+2），设直线PQ 的方程为y=kx+m （直线PQ 的斜率存在）， 可得（kx 1+m)(kx 2+m ）=2（x 1+2）（x 2+2）， 整理为：，联立，消去y 得:(4k 2+3）x 2+8kmx+(4m 2﹣12）=0，由△=64k 2m 2﹣4(4k 2+3）（4m 2﹣12）=48（4k 2﹣m 2+3)＞0,有4k 2+3＞m 2， 有，，故有:，整理得：44k 2﹣32km+5m 2=0，解得：m=2k 或,当m=2k 时直线PQ 的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2)，过定点（﹣2，0)不合题意， 当时直线PQ 的方程为，即,过定点．8．已知椭圆Γ：=1(0＜b ＜2）的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点,且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q （1，0），点P 是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；(3）设不经过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点，且直线BM 、BN 的斜率之和为1，证明：直线l 过定点． 【解答】解:（1)椭圆Γ:=1（0＜b ＜2）的a=2，向量与的夹角为,可得｜BF 1｜=|BF 2｜=a==2b=2，即b=1,则椭圆方程为+y 2=1；(2）设P （m ，n ），可得+n 2=1，即n 2=1﹣，•=（1﹣m ，﹣n ）•(﹣m ，﹣n ）=m 2﹣m+n 2=m 2﹣m+1=（m ﹣）2+，由﹣2≤m ≤2可得m=时，上式取得最小值;m=﹣2时,取得最大值6， 则•的范围是［，6]；（3）证明:当直线l 的斜率不存在时，设M （x 1，y 1），N(x 2，y 2）， 由k BM +k BN =+==1，x 1=x 2,y 1=﹣y 2，得x 1=﹣2，此时M ，N 重合，不符合题意；设不经过点P 的直线l 方程为：y=kx+m ，M （x 1,y 1)，N （x 2，y 2）， 由得（1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=,k BM +k BN =+==1,⇒（kx1﹣1+t）x2+（kx2﹣1+t）x1=x1x2⇒(2k﹣1）x1x2+（t﹣1）（x1+x2）=0⇒（t﹣1)（2k﹣t﹣1）=0，∵t≠1，∴t=2k﹣1,∴y=k（x+2）﹣1，直线l必过定点（﹣2，﹣1）．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程;（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A,C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分)解:（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分)令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∵Q为AC的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分)直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜AQ｜2+|HQ｜2为定值10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x 轴的交点为H，试问｜BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是,请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分)由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C(x2，y2）则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分）又，设AC的中点为Q，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜BH｜为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分）11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．(1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m,使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2(c,0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c=1，由，得∴椭圆M的方程为．(2）设直线l的方程为y=kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，设A（x1•y2)，B（x2•y2),则．．由k1+k2=mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（ I）求椭圆C的方程；( II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（ III)在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解:（I) 根据题意,解得，故椭圆C的方程为．…(5分）（ II) 根据题意，直线l的方程为．设P（x1,y1），Q（x2，y2）．由得15x2﹣24x=0．解得．法一：．法二:，原点O到直线l的距离．所以…（10分)（ III）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．设P(x1，y1）,Q（x2,y2），由得（3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由韦达定理得，．所以PQ 的中点．要使四边形OPMQ 为平行四边形，则N 为OM 的中点，所以．要使点M 在椭圆C 上，则，即12k 2+9=0，此方程无解．所以在椭圆C 上不存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形．…．（14分) 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD ｜=1,O 为坐标原点． （1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问：|OT ｜是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图：AF 2⊥x 轴，｜OD|=1， ∴AB ∥OD,∵O 为F 1F 2为的中点, ∴D 为BF 1的中点， ∵AD ⊥F 1B ，∴｜AF 1｜=|AB ｜=2｜AF 2｜=4｜OD ｜=4， ∴2a=|AF 1｜+｜AF 2｜=4+2=6， ∴a=3, ∴｜F 1F 2｜==2，∴c=,a=3，∴b2=a2﹣c2=6，∴+=1，（2）由（1）可知,A1(0，），A2（0，﹣)．设点P（x0，y），直线PA1：y﹣=x，令y=0，得xM=；直线PA2:y+=x，令y=0，得xN=;|OM｜•｜ON|=,∵+=1，∴6﹣y02=x2,∴｜OM｜•|ON｜=．由切割线定理得OT2=OM•ON=．∴OT=，即线段OT的长度为定值．14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣，0)，F 2（，0），点E （，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M,N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围．【解答】解:（Ⅰ）由已知,c=， ∴2a=|EF 1|+|EF 2|=+=4，∴a=2,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣2=6， ∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P 的坐标为（0，t)，当直线MN 的斜率不存在时，可得M,N 分别是椭圆的两端点,可得t=±，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y=kx+t ，M(x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由=2可得x 1=﹣2x 2，①，由，消y 可得（3+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣24=0，由△＞0,可得64k 2t 2﹣4（3+4k 2）(4t 2﹣24）＞0，整理可得t 2＜8k 2+6，由韦达定理可得x 1+x 2=﹣,x 1x 2=，②,由①②,消去x 1，x 2可得k 2=，由，解得＜t 2＜6, 综上得≤t 2＜6，又以F 1P 为直径的圆面积S=π•，∴S 的范围为[，2π）．15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A,B 两点,且．（I)求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在,请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∵平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．∴，a=,∴c=2，b 2=a 2=﹣c 2=2． ∴椭圆C 的方程为（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣2）， 代入椭圆C 的方程,得（3k 2+1）x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0，设M（x3，y3），N（x4，y4）,则，，x3x4=．根据题意，假设x轴上存在定点E（t，0），使得是为定值,=(x3﹣t,y3）•（x4﹣t,y4）=(x3﹣t）•(x4﹣t)+y3y4，=（x3﹣t)•（x4﹣t)+k2（x3﹣2）•（x4﹣2）,=（k2+1)x3x4﹣（2k2+t)(x3+x4）+4k2+t2,=要使上式为定值,即与k无关，则应3t2﹣12t+10=3（t2﹣6），即t=，故当点E的坐标为（,0）时，使得为定值．16．已知椭圆C：(a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C 的一个顶点．（1)求椭圆C的标准方程；（2)过点P（0，1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立?请说明理由．【解答】解：（1)由抛物线E：的焦点（0,)，椭圆的C的焦点在x轴，由题意可知：b=,椭圆的离心率e===,则a=2，∴椭圆的标准方程:；（2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2，y2)．联立,整理得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0．其判别式△＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣．∴•+λ•=x 1x 2+y 1y 2+λ［x 1x 2+（y 1﹣1）(y 2﹣1）］，=（1+λ)（1+k 2)x 1x 2+k （x 1+x 2)+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．17．在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1，）在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．（1）求动点P 的轨迹方程；（2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1,y 1）、N （x 2，y 2），线段MN 的中点为G,已知点(x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2上，求|OG ｜•｜MN|的最大值,并判断此时△OMN 的形状． 【解答】解：（1）设F 1，F 2分别为（﹣c ，0)，（c ，0） 可得，b 2=c 2﹣a 2=3a 2,又点（1,)在双曲线C 上，∴，解得，c=1．连接PQ ，∵OF 1=OF 2,OP=OQ ，∴四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形． ∴四边形PF 1+PF 2=2＞2，∴动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点),∴动点P 的轨迹方程（y ≠0）;（2）∵x 12+x 22=2，,∴y 12+y 22=1．∴｜OG ｜•｜MN｜=•=•=．∴当3﹣2x 1x 2﹣2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值， 此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形．18．已知抛物线C:y 2=2px （p ＞0），其内接△ABC 中∠A=90°． （I ）当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II)当点A 的纵坐标为常数t 0（t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 【解答】解：（I ）设B （，y 1)，C （，y 2）,∵AB ⊥AC ，∴+y 1y 2=0,∴y 1y 2=﹣4p 2．∴设BC 的中点M （x ，y ），则=x ，y 1+y 2=2y ，∵y 12+y 22=(y 1+y 2）2﹣2y 1y 2, ∴px=4y 2+8p 2，∴M 的轨迹方程为：y 2=（x ﹣8p ）． （II ）A （，t 0)，设直线BC 的方程为y=kx+b,B （，y 1），C （,y 2),∴k AB ==,k AC ==,∵AB⊥AC，∴•=﹣1．即y1y2+t（y1+y2）+t2+4p2=0．联立方程组，消去x可得y2﹣y+=0，∴y1y2=,y1+y2=，∴+t0+t2+4p2=0．解得b=﹣t﹣﹣2pk，∴直线BC的方程为：y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k（x﹣2p﹣）﹣t，∴直线BC过定点(2p+，﹣t）．19．如图,已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2)设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B,若,且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点（异于点P)．试问:是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在,求出r的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1）因点P（﹣2，3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c=2，由,得，所以,……（2分）化简得a2﹣3a﹣4=0，解得a=4，所以b2=12，所以椭圆C的方程为．……(4分)（2）①因，所以，即，所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q），由（1）知,……（6分）因圆M与线段PF2交于两点A，B，所以，所以,解得，……（8分）所以，故．……(10分）②由G，H两点恰好关于原点对称,设G(x0，y），则H（﹣x，﹣y）,不妨设x＜0，因P（﹣2,3），m=﹣2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由该直线与圆M相切，得，即，……（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即kGP =﹣kHP,所以，化简得x0y=﹣6，即，代入,化简得，解得x=﹣2(舍），，所以，……(14分）所以，,所以，所以．故存在满足条件的,且．……(16分）20．己知椭圆在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1)求椭圆C的标准方程;．（2）过点A(﹣2，0）作两条相交直线l1，l2,l1与椭圆交于P，Q两点（点P在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………(2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）(2）由题设可知:l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得:85y2+28y﹣32=0.．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分)∵，∴，即．…………………………………………（8分)设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0)．将x=my﹣2代入+y2=1得(m2+36)y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N(x2，y2），则．……………………………………(10分)又∵，∴．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py(p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，｜OT|=4．（Ⅰ)求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0)的直线l过线段OT的中点，与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x﹣2于M,N两点，求｜MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由方程组得x2﹣2px=0，解得x1=0,x2=2p，所以O（0，0）,T(2p,2p），则｜OT｜=2p，又｜OT|=2p=4，所以p=2．故C的方程为x2=4y．(Ⅱ)由（Ⅰ）O（0，0),T(4，4）,则线段OT的中点坐标(2，2）．故直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2)．由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0．设A(x1,x12），B（x2，x22）,则x1+x2=4k，x1x2=8k﹣8，直线OA的方程y=x,代入y=x﹣2，解得x=,所以M（，），同理得N(,）,所以|MN|=•|﹣｜=|｜=×|=4•因为0＜k≤，所以8＜|MN｜≤4．当k=时，｜MN|取得最大值4．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P（0,﹣1），且与椭圆交于A，B两点,若，求直线l的方程．【解答】（本小题满分12分）解:(1）依题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，由2c=4，c=2，e==，则a=2,b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程为：．(2）由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx﹣1，A（x1，y1）,B（x2,y2），由，整理得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6=0,且△＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣,由,即（﹣x1，﹣1﹣y1)=2（x2,y2+1），x1=﹣2x2,，消去x2并解关于k的方程得:k=±，∴l的方程为：y=±x﹣1．。
圆锥曲线综合训练题(分专题-含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -=（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． （2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 】解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-k y k x . ,由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． — 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，<即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）， 又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即;则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. ,9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线压轴小题(含答案)
圆锥曲线压轴小题（含答案）1. 已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，过点 O 的两条直线 l 1 与 l 2 的夹角为 60∘，直线 l 1 与双曲线 C 相交于点 A 1，B 1，直线 l 2 与双曲线 C 相交于点 A 2，B 2，若使 ∣A 1B 1∣=∣A 2B 2∣ 成立的直线 l 1 与 l 2 有且只有一对，则双曲线 C 离心率的取值范围是 ( ) A. (2√33,2] B. [2√33,2) C. (2√33,+∞) D. [2√33,+∞)2. 已知椭圆 E:x 25+y 24=1 的一个顶点为 C (0,−2)，直线 l 与椭圆 E 交于 A ，B 两点，若 E 的左焦点为 △ABC 的重心，则直线 l 的方程为 ( ) A. 6x −5y −14=0 B. 6x −5y +14=0 C. 6x +5y +14=0 D. 6x +5y −14=03. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0) 的右焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设 O 为坐标原点，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ,μ∈R ），λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为 ( )A.2√33B.3√55C.3√22D. 984. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 的左，右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作圆 x 2+y 2=a 2 的切线交双曲线的左，右支分别于点 B ，C ，且 ∣BC ∣=∣CF 2∣，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A. y =±3x B. y =±2√2x C. y =±(√3+1)xD. y =±(√3−1)x5. 已知“若点 P (x 0,y 0) 在双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 上，则 C 在点 P 处的切线方程为 C:xx 0a 2−yy 0b 2=1”，现已知双曲线 C:x 24−y 212=1 和点Q(1,t)(t≠±√3)，过点Q作双曲线C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点( )A. (0,2√3)B. (0,−2√3)C. (4,0)D. (−4,0)6. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，∣MF∣=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A. y2=4x或y2=8xB. y2=2x或y2=8xC. y2=4x或y2=16xD. y2=2x或y2=16x7. 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60∘的直线A1B1和A2B2，使∣A1B1∣=∣A2B2∣，其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (2√33,2] B. [2√33,2) C. (2√33,+∞) D. [2√33,+∞)8. 如图，双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，点P是双曲线右支上一点，PF1交左支于点Q，交渐近线y= bax于点R．M是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM⊥PF1，则双曲线的离心率是( )A. √2B. √3C. 2D. √59. 已知m,n,s,t∈R∗，m+n=3，ms +nt=1，其中m，n是常数且m<n，若s+t的最小值是3+2√2，满足条件的点(m,n)是椭圆x24+y216=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为( )A. x−2y+3=0B. 4x−2y−3=0C. x+y−3=0D. 2x+y−4=010. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=( )A. 1+2√2B. 4−2√2C. 5−2√2D. 3+2√211. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √2+1C. 2D. 2+√212. 如图，斜线段AB与平面α所成的角为60∘，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30∘，则点P的轨迹是( )A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线的一支13. 已知定点M(1,54)，N(−4,−54)，给出下列曲线方程：① 4x+2y−1=0；② x2+y2=3；③ x22+y2=1；④ x22−y2=1．在曲线上存在点P满足∣MP∣=∣NP∣的所有曲线方程是( )A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④14. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足∣PF2∣=∣F1F2∣，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为( )A. 54B. √3 C. 2√33D. 5315. 过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是( )A. b−a=∣MO∣−∣MT∣B. b−a>∣MO∣−∣MT∣C. b−a<∣MO∣−∣MT∣D. b−a=∣MO∣+∣MT∣16. 在椭圆x216+y29=1内，通过点M(1,1)且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A. 9x−16y+7=0B. 16x+9y−25=0C. 9x+16y−25=0D. 16x−9y−7=017. 已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A. m>n且e1e2>1B. m>n且e1e2<1C. m<n且e1e2>1D. m<n且e1e2<118. 已知点P为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且∣F1F2∣=b2a，I为三角形PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，则λ的值为( )A. 1+2√22B. 2√3−1C. √2+1D. √2−119. 已知F1，F2为双曲线C:x2−y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60∘，则点P到x轴的距离为( )A. √32B. √62C. √3D. √620. 直线4kx−4y−k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若∣AB∣=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于( )A. 74B. 2 C. 94D. 421. 设A为双曲线x216−y29=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于点B，过点B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( )A. (4110,0) B. (185,0) C. (4,0) D. (225,0)22. 已知抛物线y2=2px(p>0)，△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为−1，则1y1+1y2+1y3的值为( )A. −12p B. −1pC. 1pD. 12p23. 设点P(x,y)是曲线a∣x∣+b∣y∣=1(a≥0,b≥0)上任意一点，其坐标(x,y)均满足√x2+y2+2x+1+√x2+y2−2x+1≤2√2，则√2a+b取值范围为( )A. (0,2]B. [1,2]C. [1,+∞)D. [2,+∞)24. 若直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为( )A. 至多1个B. 2个C. 1个D. 0个25. 平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支26. 直线y=x+3与曲线y29−x∣x∣4=1( )A. 没有交点B. 只有一个交点C. 有两个交点D. 有三个交点27. 直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2∣x∣（k∈R，且k≠0）的公共点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 428. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √529. 已知椭圆x24+y2b2=1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若∣BF2∣+∣AF2∣的最大值为5，则b的值是( )A. 1B. √2C. 32D. √330. 若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x,y)=0的"自公切线"．下列方程：① x2−y2=1，② y=x2−∣x∣，③ y=3sinx+4cosx，④ ∣x∣+1=√4−y2，对应的曲线中存在"自公切线"的有( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④31. 设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆(x−5)2+y2=r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)32. 椭圆a2x2+y2=a2(0<a<1)上离顶点A(0,a)距离最大的点恰好是另一个顶点Aʹ(0,−a)，则a的取值范围是( )A. (√22,1) B. [√22,1) C. (0,√22) D. (0,√22]33. 已知集合M={(x,y)∣x2+y2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的(x,y)∈M，都有(λx,μy)∈M，则称(λ,μ)是集合M的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是( )A. {(λ,μ)∣λ+μ=4}B. {(λ,μ)∣λ2+μ2=4}C. {(λ,μ)∣λ2−4μ=4}D. {(λ,μ)∣λ2−μ2=4}34. 已知两点M(1,54)、N(−4,−54)，给出下列曲线方程：① 4x+2y−1=0；② x2+y2=3；③ x22+y2=1；④ x22−y2=1．曲线上存在点P满足∣MP∣=∣NP∣的所有曲线方程是( )A. ①②③B. ②④C. ①③D. ②③④35. 过点(√2,0)引直线l与曲线y=√1−x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )A. √33B. −√33C. ±√33D. −√336. 如图，一条直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为(2,1)，则抛物线方程为( )A. y 2=54xB. y 2=52xC. y 2=5xD. y 2=10x37. 已知 F 是抛物线 y 2=x 的焦点，点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（其中 O 为坐标原点），则 △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值是 ( )A. 2B. 3C.17√28D. √1038. 已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动（含端点）．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R )，则 x 2+y 的取值范围是 ( )A. [−√22,√22] B. [12,√22] C. [−12,12]D. [−√22,12]39. 已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 P (x,y ) 为该抛物线上的动点，若点 A (−1,0)，则 |PF ||PA |的最小值为 ( )A. 12B. √22C. √32D.2√2340. P 是抛物线 y =x 2 上任意一点，则当 P 和直线 x +y +2=0 上的点距离最小时，P 与该抛物线的准线距离是 ( )A. 19B. 12C. 1D. 241. 已知直线 l:y =k (x −2)(k >0) 与抛物线 C:y 2=8x 交于 A ，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若 ∣AF ∣=2∣BF ∣，则 k 的值是 ( )A. 13B.2√23C. 2√2D. √2442. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A,B,C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 ( )A. √25B. √35C.√105D. √5543. 如图，M ，N 是焦点为 F 的抛物线 y 2=4x 上的两个不同的点，且线段 MN 的中点 A 的横坐标为 3，直线 MN 与 x 轴交于 B 点，则点 B 的横坐标的取值范围是 ( )A. (−3,3]B. (−∞,3]C. (−6,−3)D. (−6,−3)∪(−3,3]44. 已知椭圆 M:x 24+y 2=1 的上、下顶点为 A ，B ，过点 P (0,2) 的直线 l与椭圆 M 相交于两个不同的点 C ，D （C 在线段 PD 之间），则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ( )A. (−1,16)B. [−1,16]C. (−1,134)D. [−1,134)45. 若抛物线y=4x2的焦点是F，准线是l，则过点F和点M(4,4)且与准线l相切的圆有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个46. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为−14，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. √32D. 3447. 已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线与直线l的位置关系是( )A. 平行B. 重合C. 垂直D. 斜交48. 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 149. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且x1x2=−12，则m的值为( )A. 34B. 32C. 54D. 5250. 已知抛物线 M:y 2=4x ，圆 N:(x −1)2+y 2=r 2(r >0)，过点 (1,0)的直线 l 与圆 N 交于 C ，D 两点，交抛物线 M 于 A ，B 两点，则满足 ∣AC ∣=∣BD ∣ 的直线 l 只有三条的必要条件是 ( ) A. r ∈(0,1]B. r ∈(1,2]C. r ∈(32,4)D. r ∈[32,+∞)51. 已知 P 为抛物线 y =12x 2 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 Q ，点 A的坐标是 (6,172)，则 ∣PA∣+∣P P ∣ 的最小值是 ( )A. 8B. 192C. 10D. 21252. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点为 F 1，左、右顶点分别为 A 1，A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段 PF 1，A 1A 2 为直径的两个圆的位置关系为 ( ) A. 相切 B. 相交C. 相离D. 以上情况都有可能53. 已知 F 1，F 2 分别是椭圆x 24+y 23=1 的左，右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C 与 F 1A 的延长线，F 1F 2 的延长线以及线段 AF 2 相切，若 M (t,0) 为其中一个切点，则 ( ) A. t =2 B. t >2C. t <2D. t 与 2 的大小关系不确定54. 已知点 A ，B 是双曲线 x 2−y 22=1 上的两点，O 为坐标原点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 O 到直线 AB 的距离等于 ( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. 2√255. 已知椭圆x 24+y 2b 2=1(0<b <2)，左右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，若 ∣∣BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 5，则 b 的值是 ( )A. 1B. √2C. 32D. √356. 抛物线y2=2px(p>0)的准线交x轴于点C，焦点为F，A，B是抛物线的两点．已知A，B，C三点共线，且∣AF∣，∣AB∣，∣BF∣成等差数列，直线AB的斜率为k，则有( )A. k2=14B. k2=√34C. k2=12D. k2=√3257. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点．若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k= ( )A. 1B. √2C. √3D. 258. 设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′，若lʹ与椭圆x2+y24=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为12的点P的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 459. 已知抛物线y2=−x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形60. 已知点F为抛物线y2=−8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且∣AF∣=4，则∣PA∣+∣PO∣的最小值为( )A. 6B. 2+4√2C. 2√13D. 4+2√561. 椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则∣y2−y1∣的值是( )A. √53B. 103C. 203D. 5362. 点P在直线l:y=x−1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且∣PA∣=∣AB∣，则称点P为“ A点”，那么下列结论中正确的是( )A. 直线l上的所有点都不是“ A点”B. 直线l上仅有有限个点是“ A点”C. 直线l上的所有点都是“ A点”D. 直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ A点”63. 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p +1q等于( )A. 2aB. 12a C. 4a D. 4a64. 已知椭圆C:x22+y2=1，点M1，M2，⋯，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，⋯，P10，则10条直线AP1，AP2，⋯，AP10的斜率乘积为( )A. 14B. 116C. −18D. −13265. 椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为( )A. 3x+2y−12=0B. 2x+3y−12=0C. 4x+9y−144=0D. 9x+4y−32=066. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈(0,π2)，以A、B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C、D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则( )A. 当θ增大时，e1增大，e1e2为定值B. 当θ增大时，e1减小，e1e2为定值C. 当θ增大时，e1增大，e1e2增大D. 当θ增大时，e1减小，e1e2减小67. 已知a>0，过M(a,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p>0)于P，Q两点，若1∣MP∣2+1∣MQ∣2为定值，则a=( )A. √2pB. 2pC. p2D. p68. 在抛物线y=x2+ax−5（a≠0）上取横坐标为x1=−4，x2=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A. (−2,−9)B. (0,−5)C. (2,−9)D. (1,−6)69. 椭圆C的两个焦点分别为F1(−1,0)和F2(1,0)，若该椭圆C与直线x+y−3=0有公共点，则其离心率的最大值为( )A. √612B. √66C. √55D. √51070. 已知抛物线y=−x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则∣AB∣等于( )A. 3B. 4C. 3√2D. 4√271. 记椭圆x24+ny24n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn(n=1,2,⋯)，当点(x,y)分别在Ω1，Ω2，⋯上时，x+y的最大值分别是M1，M2，⋯，则limn→∞M n=( )A. 0B. 14C. 2D. 2√272. 已知曲线f(x)=x3+x2+x+3在x=−1处的切线恰好与抛物线y=2px2相切，则过该抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的线段长为( )A. 18B. 14C. 8D. 473. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且∣AK∣=√2∣AF∣，则△AFK的面积为( )A. 4B. 8C. 16D. 3274. 已知直线x+2y−3=0与圆x2+y2+x−6y+m=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于( )A. 3B. −3C. 1D. −175. 中心在原点，焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆被直线3x−y−2=0截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为( )A. 2x225+2y275=1 B. 2x275+2y225=1 C. x225+y275=1 D. x275+y225=176. 若方程√x2+1=a(x−1)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是( )A. −1<a<−√22B. a<−√22或a>√22C. −1<a<−√22或√22<a<1 D. a<−1或−1<a<−√2277. 已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点．若∣FA∣=2∣FB∣，则k=( )A. 13B. √23C. 23D. 2√2378. 已知抛物线M：y2=4x，圆N：(x−1)2+y2=r2（其中r为常数，r>0），过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足∣AC∣=∣BD∣的直线l只有三条的必要条件是( )A. r ∈(0,1]B. r ∈(1,2]C. r ∈(32,4)D. r ∈[32,+∞)79. 已知 O 是平面上的一个定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)，λ∈(0,+∞)，则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的 ( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心80. 点 P 在直线 l:y =x −1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y =x 2 于 A ，B 两点，且 ∣PA∣=∣AB∣，则称点 P 为" A 点"，那么下列结论中正确的是 ( )A. 直线 l 上的所有点都是" A 点"B. 直线 l 上仅有有限个点是" A 点"C. 直线 l 上的所有点都不是" A 点"D. 直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是" A 点"答案第一部分1. A2. B 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，椭圆x 25+x 24=1 的左焦点为(−1,0)，因为点 C (0,−2)，且椭圆左焦点 F 1 恰为 △ABC 的重心，所以x 1+x 2+03=−1，y 1+y 2−23=0，所以 x 1+x 2=−3，y 1+y 2=2, ⋯⋯① 因为x 125+y 124=1，x 225+y 224=1，所以两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)5+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，将 ① 代入得：y 1−y 2x 1−x 2=65，即直线 l 的斜率为 k =y 1−y 2x 1−x 2=65，因为直线 l 过AB 中点 (−32,1)，所以直线 l 的方程为 y −1=65(x +32)，故答案为 6x −5y +14=0．3. A 【解析】双曲线的渐近线为：y =±ba x ，设焦点 F (c,0)，则A (c,bc a )，B (c,−bca )，P (c,b 2a )， 因为 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 (c,b 2a )=((λ+μ)c,(λ−μ)bca )， 所以 λ+μ=1，λ−μ=bc ，解得：λ=c+b 2c ，P =c−b 2c， 又由 λμ=316，得：c 2−b 24c 2=316，解得：a 2c 2=34，所以，e =c a=2√33．4. C5. C【解析】设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则切点分别为 M ，N 的切线方程为x 1x 4−y 1y 12=1，x 2x 4−y 2y 12=1．因为点 Q (1,t ) 在两条切线上，所以x14−y1t12=1，x24−y2t12=1．所以M，N两点均在直线x4−ty12=1上，即直线MN的方程为x4−ty12=1，显然直线过点(4,0)．6. C7. A 【解析】先考虑焦点在x轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30∘且小于等于60∘，即tan30∘<ba ≤tan60∘，所以13<b2a2≤3．又e2=(ca)2=c2a2=1+b2a2,所以43<e2≤4，解得2√33<e≤2．焦点在y轴上的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．8. C 【解析】设PF1的方程为y=k（x+c），k＞0，与渐近线方程y=ba x联立，可得R(ackb−ka,bckb−ka)，把直线y=k(x+c)代入双曲线x2a2−y2b2=1，可得(b2−a2k2)x2−2ca2k2x−a2c2k2−a2b2=0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，可得x1+x2=2ca2k2b2−a2k2，即有中点M(ca2k2b2−a2k2,cb2kb2−a2k2)，由A(a,0)，F2(c,0)，RF2⊥PF1，可得k RF2=bck2ack−bc=−1k，即有bk2+2ak−b=0，解得k=c−ab（负的舍去），由AM⊥PF1，可得k AM=cb2kca2k2−ab2+a3k2=−1k，即为(c3+a3)k2=a(c2−a2)，即有(c3+a3)(c−a)2=ab2(c2−a2)=a(c2−a2)2，化为 c =2a ，即 e =c a=2．9. D 【解析】因为 m ，n ，s ，t 为正数，m +n =3，m s+n t=1，s +t 的最小值是 3+2√2，所以 (s +t )(ms +nt ) 的最小值是 3+2√2，所以 (s +t )(ms +nt )=m +n +mt s+ns t≥m +n +2√mn ，满足mt s=ns t时取最小值，此时最小值为 m +P +2√mn =3+2√2，得：mn =2，又：m +n =3，所以，m =1，n =2． 设以 (1,2) 为中点的弦交椭圆x 24+y 216=1 于 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由中点坐标公式知 x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 分别代入 4x 2+y 2=16，得 {4x 12+y 12=16,4x 22+y 22=16,两式相减得 2(x 1−x 2)+(y 1−y 2)=0，所以 k =y 2−y 1x 2−x 2=−2．所以此弦所在的直线方程为 y −2=−2(x −1)，即 2x +y −4=0． 10. C【解析】如图，设 ∣AF 1∣=m ，则 ∣BF 1∣=√2m ，∣AF 2∣=m −2a ，∣BF 2∣=√2m −2a ，所以 ∣AB ∣=∣AF 2∣+∣BF 2∣=m −2a +√2m −2a =m ，得 m =2√2a ，又由 ∣AF 1∣2+∣AF 2∣2=∣F 1F 2∣2，可得 m 2+(m −2a )2=4c 2，即得 (20−8√2)a 2=4c 2，所以 e 2=c 2a 2=5−2√2．11. B 【解析】根据题意 p2=c ，设抛物线与双曲线的一个交点为 A ，则有A (c,2c )，因为点 A 在双曲线上，所以有 c 2a2−4c 2b 2=1，整理得 e 2−2e −1=0，所以双曲线的离心率 e =1+√2． 12. C13. D 【解析】提示：对于①，可得 MN 的中点为O (−32,0) 不在直线 l:4x +2y −1=0 上，k MN =12，又直线 4x +2y −1=0 的斜率为 k l =−2，即 k l k MN =−1，所以线段 MN 的中垂线 y =−2x −3 不与 4x +2y −1=0 相交，所以①不成立；对于②，因为 (−32)2+02<3，所以 MN 的中点为 O (−32,0) 在圆 x 2+y 2=3 的内部，所以线段 MN 的中垂线与圆相交，所以②正确；对于③和④，只需联立线段 MN 的中垂线 y =−2x −3 与曲线方程，判断判别式即可，可得③和④都成立． 14. D【解析】设 PF 1 与圆相切于点 M ，因为 ∣PF 2∣=∣F 1F 2∣，所以 △PF 1F 2 为等腰三角形，设 N 为 PF 1 中点，则 F 2N ⊥PF 1，又 OM ⊥PF 1，O 为 F 1F 2 中点，所以 ∣F 1M ∣=12∣F 1N ∣=14∣PF 1∣，又因为在直角三角形 F 1MO 中，∣F 1M ∣2=∣F 1O ∣2−a 2=c 2−a 2=b 2，所以 ∣F 1M ∣=b =14∣PF 1∣ ⋯⋯①，又 ∣PF 1∣=∣PF 2∣+2a =2c +2a ⋯⋯②，c 2=a 2+b 2 ⋯⋯③，由①②③解得 e =c a=53．15. A【解析】连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，∣F1T∣=√∣OF1∣2−∣OT∣2= b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，所以∣OM∣=12∣PF2∣，所以∣MO∣−∣MT∣=12∣PF2∣−(12∣PF1∣−∣F1T∣)=12(∣PF2∣−∣PF1∣)+b=12×(−2a)+b=b−a．16. C 【解析】设以点M(1,1)为中点的弦两端点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则x1+x2=2,y1+y2=2．又x1216+y129=1, ⋯⋯①x22 16+y229=1, ⋯⋯②①−②整理得：y1−y2x1−x2=−916，所以以点M(1,1)为中点的弦所在直线的斜率k=−916．所以中点弦所在直线方程为y−1=−916(x−1)，即9x+16y−25=0．17. A 【解析】由题意知m2−1=n2+1，即m2=n2+2，(e1e2)2=m2−1m2⋅n2+1n2=(1−1m2)(1+1n2)，代入m2=n2+2，得m>n，(e1e2)2>1．18. D 19. B 20. C【解析】直线4kx−4y−k=0，即y=k(x−14)，即直线4kx−4y−k=0过抛物线y2=x的焦点(14,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则∣AB∣=x1+x2+12=4，故x1+x2=72，则弦AB的中点的横坐标是74，弦AB的中点到直线x+12=0的距离是74+12=94.21. A 【解析】设 AB:x =my +5，与双曲线方程联立得 (9m 2−16)y 2+90my +81=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−90m 9m 2−16，y 1y 2=819m 2−16．右准线方程为 x =165，所以 C (165,y 2)，则 AC:y −y 2=y 2−y 1165−x 1(x −165)，令y =0，化简可得 x =4110．特殊法：设 A (5,94)，则 B (5,−94)，C (165,−94)．故 k AC =94−(−94)5−165=52，直线AC 为 y −94= 52(x −5)，即：10x −4y −41=0，与 x 轴交点为 (4110,0)，可得答案． 22. B 23. D【解析】因为 √x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1=√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2≤2√2，所以一动点 P (x,y ) 的轨迹是以点 (−1,0) 和点 (1,0) 为焦点椭圆及其内部，椭圆的方程为x 22+y 2=1，又曲线a ∣x ∣+b ∣y ∣=1 表示的区域为一平行四边形，因为曲线 a∣x∣+b ∣y ∣=1(a ≥0,b ≥0) 上任意一点，其坐标 (x,y ) 均满足 √x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1≤2√2，即平行四边形在椭圆的内部，所以有 {1b ≤1,1a≤√2解得 {b ≥1,√2a ≥1, 所以 √2a +b ≥2．24. B 【解析】由直线与圆没有交点可得 ∣−4∣√m 2−n 2>2，即 m 2+n 2<4，n 2<4−m 2， 所以n 29+m 29+4−m 24=1−5m 236<1，所以点 (m,n ) 在椭圆x 29+y 24=1 的内部，故经过点 (m,n ) 的直线与椭圆由 2 个交点． 25. A26. D 【解析】当x>0时，曲线为P29−x24=1，将直线y=x+3代入曲线方程得x=0（舍）或x=245，故此时有一个交点；当x≤0时，曲线为y29+x24=1，将直线y=x+3代入曲线方程得x=0或x=−2413，故此时有两个交点．因此共有3个交点．27. D 【解析】将y=2k代入9k2x2+y2=18k2∣x∣得：9k2x2+4k2=18k2∣x∣⇒9∣x∣2−18∣x∣+4=0，显然该关于∣x∣的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个．28. D 【解析】设点P坐标为(x P,y P)，由已知，直线PF2的方程为y=ba (x−c)，代入双曲线方程得x P=a2+c22c，y P=−b32ac，因为PF1⊥PF2，所以k PF1⋅k PF2=−1，即−b32aca2+c22c+c⋅ba=−1，化简得b4=a4+3a2c2，即(c2−a2)2=a4+3a2c2，即c2=5a2，所以e2=5，e=√5．29. D 【解析】由椭圆的方程可知a=2，由椭圆的定义可知，∣AF2∣+∣BF2∣+∣AB∣=4a=8，所以∣AB∣=8−(∣AF2∣+∣BF2∣)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a=3．所以b2=3，即b=√3．30. C【解析】①中x2−y2=1是一个等轴双曲线，它不存在"自公切线"；②如图所示，曲线在点(−12,−14)和点(12,−14)处的切线重合；③ y =3sinx +4cosx =5sin (x +φ)(tanφ=43)．如图，在所有的最高点处的切线重合，所以③存在"自公切线"； ④中曲线如图所示，不存在"自公切线"．31. D【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则 {y 12=4x 1,y 22=4x 2,所以(y 1+y 2)(y 1−y 2)=4(x 1−x 2)⋯∗．①当 x 1=x 2，即直线 l 斜率不存在时，此时一定存在 2 条满足题意的直线，如图：②当 x 1≠x 2 时，设直线 l 的斜率为 k ，∗ 式化为 2y 0⋅y 1−y 2x 1−x 2=4，即 ky 0=2．由直线与圆相切得y 0−0x 0−5⋅k =−1，即 ky 0=5−x 0=2，所以 x 0=3，即点M 在直线 x =3 上．而 x =3 与抛物线交点为 N(3,±2√3)，与 x 轴的交点为 P (3,0)，圆心到N、P的距离分别为4、2．当r=4时，点N在圆上，没有对应的直线满足要求；当r=2时，点M在x轴上，没有对应的直线满足要求；当2<r<4时，过点M作圆的切线即可满足要求，如图所示：这样的切线恰有两条，从而直线l恰有4条，则2<r<4．32. B 【解析】提示：由对称性，可设椭圆上任意一点P的坐标为(x0,y0)，所以x02=1−y02a2，∣AP∣2=1−y02a2+(y0−a)2=(a2−1a2)y02−2ay0+a2+1．因为0<a<1，所以a2−1a2<0，关于y0的二次函数图象开口向下，所以对称轴y0=a3a2−1≥−a．解得√22≤a<1．33. C 【解析】由实数λ，μ满足：对任意的(x,y)∈M，都有(λx,μy)∈M，即λ2x2+μ2y2≤1，所以∣λ∣≤1，∣μ∣≤1 .而{∣λ∣≤1,∣μ∣≤1.构成的区域如图：A、B、D选项的集合所表示的曲线均与(λ,μ)所表示的区域无交点，C选项所表示的抛物线与区域有交点，符合题意．34. D 【解析】由题意，知P点必在线段MN的垂直平分线上．∵MN的中点为(−32,0)，直线MN斜率为12，∴ MN 的垂直平分线方程是 y =−2x −3，它显然与①中的直线平行，∴ 排除A 、C ；注意到选项B 、D 的区别，联立垂直平分线方程与椭圆方程，解得③中曲线上存在符合题设条件下的 P 点． 35. B【解析】如图，设直线 AB 的方程为 x =my +√2 （显然 m <0 ），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P(√2,0)，联立 {x =my +√2,y =√1−x 2. 消去 x 得 (1+m 2)y 2+2√2my +1=0，由题意得 Δ=8m 2−4(1+m 2)>0，所以 m 2>1，由根与系数的关系得 y 1+y 2=−2√2m1+m 2，y 1⋅y 2=11+m 2，所以 S △AOB =S △POB −S △POA =12⋅∣OP ∣⋅∣y 2−y 1∣=√22⋅√8m 2(1+m2)2−41+m 2=√22⋅√4(m 2−1)(1+m 2)2令 t =1+m 2(t >2)， 所以 S △AOB =√2⋅√t−2t 2=√2⋅√−2(1t −14)2+18， 所以当 1t=14，即 t =4，m =−√3 时，△AOB 的面积取得最大值，此时，直线l 的斜率为 −√33．36. B 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，依题意，k OD =12，k AB =−2，所以直线 AB 方程为 y −1=−2(x −2)，即 y =−2x +5， 代入抛物线方程得 4x 2−(20+2p )x +25=0， 所以 {x 1+x 2=10+p 2,x 1x 2=254. ⋯⋯①又因为 OA ⊥OB ，所以 x 1x 2+y 1y 2=5x 1x 2−10(x 1+x 2)+25=0, ⋯⋯②， 将 ① 代入 ② 得 5×254−10×10+p 2+25=0，解得 p =54，所以抛物线方程为 y 2=52x ．来自QQ 群33944496337. B 【解析】我们设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，直线 AB 方程为 x =my +t ．直线 AB 交 x 轴于点 M (t,0)． 联立直线和抛物线的方程消去 x 得y 2−my −t =0,因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以 x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=2,解得 y 1y 2=−2，即 t =2，所以 AB 过 x 轴上定点 M (2,0)．S △ABO =12∣OM ∣∣y 1−y 2∣=∣y 1−y 2∣,S △AFO =12∣OF ∣∣y 1∣=18∣y 1∣,所以S △ABO +S △AFO=∣y 1−y 2∣+18∣y 1∣=98∣y 1∣+2∣y 1∣≥3,当且仅当 98∣y 1∣=2∣y 1∣，即 ∣y 1∣=43时，等号成立．38. B 【解析】建立如图所示的坐标系，可设 A (1,0)，B (0,1)，设 ∠AOC =α(0≤α≤π2)，则 OC⃗⃗⃗⃗⃗ (cosα,sinα)， 所以 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,2y )=(cosα,sinα)， 所以 x2+y =12(cosα+sinα)=√22sin (α+π4)(0≤α≤π2)． 由 π4≤α+π4≤3π4，可得 sin (α+π4)∈[√22,1]，即 x2+y ∈[12,√22]．来自QQ 群33944496339. B 【解析】抛物线 y 2=4x 的准线方程为 l:x =−1． 过点 P 作 PFʹ⊥l ，垂足为 Fʹ，由抛物线的定义，得 |PF |=|PFʹ|， 故 |PF ||PA|=|PFʹ||PA |=cos∠PAF ，即求 cos∠PAF 的最小值，又 0≤∠PAF <π2，故需使 ∠PAF 最大． 当直线 PA 与抛物 y 2=4x 相切时，∠PAF 最大，|PF ||PA |取得最小值，这时，设直线 PA 的方程为 y =k (x +1)， 联立 {y =k (x +1),y 2=4x,消去 y 得，k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0， 则 Δ=(2k 2−4)2−4k 4=0， 所以 k 2=1， 解得 k =±1．故此时 tan∠PAF =1，∠PAF =π4，所以 cos∠PAF =√22． 40. B 41. C【解析】法一 据题意画图，作 AA 1⊥lʹ，BB 1⊥lʹ，BD ⊥AA 1 .设直线 l 的倾斜角为 θ，∣AF ∣=2∣BF ∣=2r ， 则 ∣AA 1∣=2∣BB 1∣=2∣AD ∣=2r ， 所以有 ∣AB ∣=3r ，∣AD ∣=r ，则 ∣BD ∣=2√2r ，k =tanθ=tan∠BAD =∣BD∣∣AD∣=2√2 .法二 直线 y =k (x −2) 恰好经过抛物线 y 2=8x 的焦点 F (2,0)，由 {y 2=8x,y =k (x −2).可得 ky 2−8y −16k =0，因为 ∣FA ∣=2∣FB ∣，所以 y A =−2y B .则 y A +y B =−2y B +y B =8k，所以 y B =−8k，y A ⋅y B =−16，所以−2y B 2=−16，即 y B =±2√2，又 k >0，故 k =2√2 .42. C【解析】如图，还原正方体，连接 A 1B 1,B 1D 1,A 1D 1 . ∠D 1B 1A 1 即为所求角．设正方形的边长为 2，则 A 1B 1=2√2,A 1D 1=B 1D 1=√5． 在 △D 1B 1A 1 中用余弦定理，得 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 √105． 43. A【解析】（i ）若直线 MN 的斜率不存在，则点 B 的坐标为 (3,0)．（ii ）若直线 MN 的斜率存在，设 A (3,t )（t ≠0），M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)．则由 {y 12=4x 1,y 22=4x 2,得 y 12−y 22=4(x 1−x 2)，所以y 1−y 2x 1−x 2(y 1+y 2)=4，即 k MN =2t ，所以直线 MN 的方程为 y −t =2t(x −3)， 所以点 B 的横坐标 x B =3−t 22．由 {y −t =2t (x −3),y 2=4x, 消去 x 得 y 2−2ty +2t 2−12=0．由 Δ>0 得 t 2<12，又 t ≠0， 所以 x B =3−t 22∈(−3,3)．综上，点 B 的横坐标的取值范围为 (−3,3]．44. D【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为 x =0，C (0,1)，D (0,−1)，此时 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1； 当直线斜率存在时，设斜率为 k ，C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则直线方程为 y =kx +2，与椭圆方程联立得 (1+4k 2)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k )2−48(1+4k 2)=64k 2−48>0，得 k 2>34，x 1+x 2=−16k 1+4k2，x 1x 2=121+4k 2，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=(1+k 2)⋅121+4k 2+2k ⋅−16k 1+4k2+4=−4k 2+161+4k 2=−1+171+4k2, 因为 k 2>34，所以 1+4k 2>4，0<171+4k2<174，所以 −1<OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <134． 综上，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 [−1,134)． 45. C【解析】由已知，过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆的圆心在抛物线 y =4x 2 上，又因为此圆过 F 和 M ，所以圆心在 MF 的垂直平分线上，抛物线 y =4x 2 与 MF 的垂直平分线的交点有两个，故过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆有 2 个． 46. C【解析】因为内外两个椭圆的离心率相同，不妨设 B 点坐标为(0,tb )，A 点坐标为 (ta,0)，设直线 BD 斜率为 k 1，AC 斜率为 k 2，则 BD 的方程为 y =k 1x +tb ，AC 的方程为 y =k 2x −k 2ta ．由 BD 、 AC 与椭圆相切易得k 12a 2+b 2=t 2b 2 ⋯⋯① k 22a 2+b 2=k 22t 2a 2 ⋯⋯② 由①得 k 12=(t 2−1)b 2a 2 ⋯⋯③ 由②得 k 22=b 2a 2(t 2−1) ⋯⋯④又因为 k 1k 2=−14，所以 a =2b ，从而椭圆的离心率为 √32． 47. A【解析】P 1(x 1,y 1) 是直线 l 上的一点，故有 f (x 1,y 1)=0，P 2(x 2,y 2) 是直线 l 外一点，故 f (x 2,y 2)≠0，是一个非零实数，从而 f (x,y )+f (x 1,y 1)+f (x 2,y 2)=0 表示的直线与直线 l 平行且不重合． 48. A【解析】根据题意，S △ABC =12×∣AB∣×ℎ=12×2√2×ℎ=2, 解得 ℎ=√2，即点 C 到直线 AB 的距离为 √2．问题转化为与直线 AB 距离为 √2 的直线与抛物线交点的个数． 由两平行线间的距离公式，得与直线 AB 距离为 √2 的直线方程为y =−x 或 y =−x +4,分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 2 个交点，因此，共有 4 个不同的 C 点满足条件．49. B 【解析】∵ 双曲线上的一点到双曲线左、右焦点的距离之差为 4，∴a =2．∵ A (x 1,2x 12)，B (x 2,2x 22) 关于直线 y =x +m 对称，∴{2x 12−2x 22x 1−x 2=−1,x 1+x 22+m =2x 12+2x 222,整理得 x 1+x 2=−12，m =32．50. D【解析】（i ） 当 l 与 x 轴垂直时，直线 l:x =1 与抛物线 M 交于点 (1,±2)，与圆 N 交于点 (1,±r )，显然满足 ∣AC ∣=∣BD ∣．（ii ） 当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 x =my +1． 由 {x =my +1,y 2=4x,消去 x ，得 y 2−4my −4=0．设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，且 y 1<y 2，则 y 1+y 2=4m,y 1y 2=−4， 所以 (y 1−y 2)2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16(m 2+1)． 由 {x =my +1,(x −1)2+y 2=r 2, 解得 y =±√r 2m 2+1． 设 C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)，且 y 3<y 4，则 (y 3−y 4)2=4r 2m 2+1．由 ∣AC ∣=∣BD ∣，得 ∣y 3−y 1∣=∣y 4−y 2∣，即 ∣y 1−y 2∣=∣y 3−y 4∣． 由此，16(m 2+1)=4r 2m 2+1，解得 r =2(m 2+1)，来自QQ 群339444963显然，当 r >2 时，m 有两解，对应的直线 l 有两条．又当 r =2 时，m =0，此时直线 l 斜率不存在，即为第一种情况 综合（i ）（ii ），当 r ≥2 时，对应的直线 l 有三条，故D 适合．51. B 【解析】抛物线的准线方程为 y =−12，设抛物线焦点为 F ，则点 F 坐标为 (0,12)．根据抛物线的定义可得 ∣PQ ∣=∣PF ∣−12，所以 ∣PA∣+∣PQ ∣=∣PF ∣+∣PQ ∣−12．所以 ∣PA∣+∣PQ ∣ 的最小值为 ∣FQ ∣−12=192．52. A【解析】提示：如图，设 PF 1 的中点为 M ，因为 OM 为 △PF 1F 2 的中位线，所以 ∣OM ∣=12∣PF 2∣，设以线段 PF 1 、A 1A 2 为直径的两圆的半径分别是 r 、 a ，则两圆的圆心距为 ∣OM ∣=12∣PF 2∣=12(2a−∣PF 1∣)=12(2a −2r )=a −r ，所以两圆的位置关系是内切．53. A 【解析】由已知得圆 C 是 △AF 1F 2 的旁切圆， 点 M 是圆 C 与 x 轴的切点，设圆 C 与直线 F 1A 的延长线，AF 2 分别相切于点 P ，Q ，则由切线的性质可知：∣AP ∣=∣AQ ∣，∣F 2Q ∣=∣F 2M ∣，∣F 1M ∣=∣F 1P ∣， 所以∣MF 2∣=∣QF 2∣=(∣F 1A ∣+∣AF 2∣)−(∣AF 1∣+∣AQ ∣)=2a−∣AF 1∣−∣AP ∣=2a−∣F 1P ∣=2a−∣F 1M ∣,所以 ∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a ， 所以 t =a =2． 54. A【解析】由于双曲线为中心对称图形，为此可考察特殊情况，设A 为 y =x 与双曲线在第一象限的交点，则不妨设B 为直线 y =−x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线 AB 与 x 轴垂直，点 O 到 AB 的距离即为点 A 或点 B 的横坐标的值，联立直线与双曲线的方程，求出 x 的值即可． 55. D【解析】由椭圆的定义得 ∣AF 1∣+∣AF 2∣=2a =4，∣BF 1∣+∣BF 2∣=2a =4，所以 ∣AF 1∣+∣BF 1∣=4a −(∣BF 2∣+∣BF 1∣)，因为 ∣∣BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 5，所以 ∣AF 1∣+∣BF 1∣ 的最小值为 3，当直线 l 与 x 轴垂直的时候，∣AF 1∣+∣BF 1∣ 最小，所以此时 A (−c,32)，代入椭圆方程解得 b =√3．56. D【解析】设直线 AB 的方程为 y =k (x +p2)，A (x 1,P 1)，B (x 2,y 2) ，联立直线与抛物线得 k 2x 2+(k 2p −2p )x +p 2k 24=0，所以 x 1+x 2=2p−k 2p k 2，x 1x 2=p 24，又 ∣AF ∣，∣AB ∣，∣BF ∣ 成等差数列，所以 2∣AB ∣=∣AF ∣+∣BF ∣，又 ∣AB ∣=√1+k 2∣x 1−x 2∣=√1+k 2⋅2p√1−k 2k 2，∣AF ∣+∣BF ∣=x 1+x 2+p ，所以 4(1−k 4)=1，解得 k 2=√32． 57. B 【解析】设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由于 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 y 1=−3y 2.由 e =√32，可设 a =2t,c =√3t,b =t ，代入椭圆方程整理得x 2+4y 2−4t 2=0.而直线 AB 的方程为 x =sy +√3t （s =1k ），代入 x 2+4y 2−4t 2=0，消去 x 并整理得。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题圆锥曲线广东卷历年高考题
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题圆锥曲线广东卷历年高考题1. （文理科高考题）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：xy2=0的距离为223，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （x0，y0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．2. （文科高考题）3. （理科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：的离心率，且椭圆C 上的点到点Q （0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m ，n ），使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x2+y2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．4. （广东理科高考题）设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程; （2）已知点M 3545(,),(5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标. 5. （文科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知T （1，1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点T （1，1）且不平行与y 轴的直线l1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围。
6. （广东理科高考题）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P （x1，y1），Q （x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P 与A2Q 交点的轨迹E 的方程；（2）若过点H （0，h ）（h ＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E 都只有一个交点，且l1⊥l2，求h 的值．7. （广东文科高考题）在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP （1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知T （1，1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；l的斜率k的（3）过点T（1，1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线1取值范围。
高考数学复习：圆锥曲线的综合应用押题
1．已知
F1， F 2 是椭圆
x2＋ y2＝ 1 4
的左、右焦点，点
→→ P 在椭圆上运动，则 PF 1·PF 2的最大值是 (
)
A ．－ 2
B．1
C．2
D．4
→→ 解析：设 P(x，y) ，依题意得点 F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0) ，PF 1·PF 2＝ (－
则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ________．
解析：双曲线
C： xa22－ yb22＝ 1 的一条渐近线
为
y＝
b ax，
联立
y2＝ x，
b y＝ax
消去
y，得
b a
2
2x2＝
x.
由
x0＞
1，知
b2 a2
＜1，
b2＜
a2.
所以
e2＝
ca22＝
a
2＋ a2
b
2
＜
2
，因此
1＜ e＜
2.
答案： (1， 2)
→→ ＝ 2，所以 FP ·FQ 的最小值为 3.xkw
答案： 3
→ |FQ |min
8．已知抛物线 y2＝ 4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂足
分别为 C， D，则 |AC|＋ |BD |的最小值为 ________．
解析：不妨设 A(x1， y1)(y1＞ 0)， B(x2 ，y2 )(y2＜ 0)．
7．已知抛物线 C： x2＝ 8y 的焦点为 F ，动点 Q 在 C 上，圆 Q 的半径为 1，过点 F 的直线与圆 Q 切于点 P，
→→ 则 FP ·FQ 的最小值为 ________．
圆锥曲线44道大题特训(含答案)
圆锥曲线44道特训（只要做不死就给死里做）1．已知双曲线12222=-by a x C ：的离心率为3，点)0,3(是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°直线l ，直线l 与双曲线交于不同的B A ,两点,求AB 的长．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=．（1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．3．已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为22．设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 且斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求22||||PA PB +的最大值.4．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．5．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c 2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．6．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率e = （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（0k ≠）与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线过定点1(,0)2P ，求实数k 的取值范围.7．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时,求TAB V 面积的最大值.8．已知椭圆错误!未找到引用源。
圆锥曲线(押题)数学(理)考纲解读与热点难点突破
专题10 圆锥曲线（高考押题）2017年高考数学（理)考纲解读与热点难点突破1．已知点A是抛物线C:x2＝2py（p＞0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0，8）为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A, B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（)A。
错误!B．2 C．6 D。
错误!【答案】D【解析】由题意知｜MA｜＝|OA｜,所以点A的纵坐标为4,又△ABO 为等边三角形，所以点A的横坐标为错误!，又点A是抛物线C上一点,所以错误!＝2p×4，解得p＝错误!。
2．已知焦点在x轴上的椭圆方程为错误!＋错误!＝1，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆【答案】D【解析】由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－3＜a＜2＋错误!，又e2＝1－错误!＝1－错误!＝1－错误!错误!.因此当a∈（2－错误!，1）时,e越来越大，当a∈（1，2＋错误!)时，e越来越小，故选D.3．已知F1,F2分别是双曲线错误!－错误!＝1（a＞0,b＞0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2｜2＝8a｜PF1|（a为实半轴），则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A．(1，＋∞）B．（2,3]C．（1，3］D．(1，2]【答案】C4．抛物线y2＝2px(p＞0）的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则错误!的最大值为（）A.错误!B．1C。
错误!D．2【答案】A【解析】设AF＝a,BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab≥（a＋b）2－错误!2＝错误!（a＋b）2。
∵a ＋b＝AF＋BF＝2MN，∴｜AB｜2≥错误!｜2MN|2，∴错误!≤错误!。
5．过点A（0,1)作直线，与双曲线x2－错误!＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（)A．0 B．2C．4 D．无数【答案】C【解析】过点A（0，1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条,过点A(0，1)和双曲线相切的直线只有一个公共点,这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．6．椭圆y2＋错误!＝1（0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A.错误!B．错误!C。
高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线(含详解)
（Ⅰ）若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F 、F 为双曲线 的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足； .
（1）求该双曲线的离心率；
（Ⅱ）若直线 与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且 ，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中 。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）D分有向线段 的比为 ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤ ≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29.在直角坐标平面中， 的两个顶点 的坐标分别为 ， ，平面内两点 同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求 的顶点 的轨迹方程；
（2）过点 的直线 与（1）中轨迹交于 两点，求 的取值范围
由 消去 得： ①
，
而
由方程①知 ＞ ＜
， ＜ ＜ ， .
7.解：解：令
则 即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴ 得
所求直线方程为 …
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.
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x2 y21.已知点仆0，＞0)为双曲线正味二K b为正常数)上任一点，勺为双曲线的右焦点, 过P1作右准线的垂线，垂足为4连接F2 A并延长交y轴于点J(1)求线段P1 P2的中点P的轨迹E的方程;(2)设轨迹E与％轴交于B, D两点，在E上任取一点Q (\，y)(y1W 0)，直线QB, QD 分别交于y轴于M, N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.x22.如图，已知圆G：(x—2)2 + y2= r2是椭圆—+ y2=1的内接△ ABC的内切圆，其中A16为椭圆的左顶点．(1)求圆G的半径丫；(2)过点M(0, 1)作圆G的两条切线交椭圆于E, F两点，证明：直线EF与圆G相切.3.设点a”0»0)在直线'=m(y w±m'0<m< 1)上，过点夕作双曲线x2-y2=1的两条..—_ 」1 0切线尸A, PB，切点为A,B，定点M—,0 .(1)过点A作直线x- y = 0的垂线，垂足为N，试求△ AMN的垂心G所在的曲线方程；(2)求证：A、M、B三点共线.4.作斜率为3的直线I与椭圆。
磊+ 十二1交于A，B两点(如图所示),且—2)在直线l的左上方.(1)证明：A PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若/APB = 60。
，求A PAB的面积.5 .如图，椭圆°」2吒=1(a >" 0)的离心率为13，、轴被曲线J 丁二,2一 b 截得的线段长等于°1的长半轴长.⑴求°1，02的方程；⑵设C 2与 > 轴的焦点为M ，过坐6 .已知抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为F ，过点K (-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点， 点A 关于x 轴的对称点为D . (1)证明：点F 在直线BD 上；8(2)设FA FB = 9，求A BDK 的内切圆M 的方程.标原点O 的直线l 与0相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与c 相交与D , E . 2 1x 2 y 27. P （x , y ）（x 。
2021高考数学押题专练圆锥曲线(原卷版)
押题11 圆锥曲线【押题方向】高考对圆锥曲线知识的考查要有难有易，有小题也有大题，即要求考生熟练掌握与圆锥曲线有关的基础知识．有要求学生对知识有较深的理解。
纵观近几年的浙江高考试题，圆锥曲线小题主要考查以下几个方面：一是考查基础概念，比方说：长轴、短轴、离心率、虚轴、实轴等基础概念．解决这类问题的关键在于正确理解圆锥曲线的概念，弄清圆锥曲线的意义．二是知识的延伸与运算。
【模拟专练】1．（2021·山东淄博市·高三二模）设椭圆22:14x C y +=的的焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =B ．2PF 的最大值为3C ．12PF F △面积的最大值为D ．12PF PF +的最小值为22．（2021·山东高三二模）已知椭圆(222:105x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，点Q 是圆()2241x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线E 上任意一点，若2PQ PF -的最小值为5- ）． A ．椭圆C 的焦距为2B ．曲线E 过点2F 的切线斜率为3±C ．若A 、B 为椭圆C 上关于原点对称的异于顶点和点P 的两点，则直线PA 与PB 斜率之积为15- D ．2PQ PF +的最小值为23．（2021·山东高三二模）已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（ ）A ．双曲线CB ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为34．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线()222210,0x y a b a b +=>>上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最大值为aC ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最小值为2b aD ．对于椭圆()22211x y a a +=>上点01,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率半径随着a 的增大而减小5．（2021·山东烟台市·高三一模）已知双曲线()22:17x y C m R m m -=∈+的一条渐近线方程为430x y -=，则（ ）A ．为C 的一个焦点B ．双曲线C 的离心率为53C ．过点()5,0作直线与C 交于,A B 两点，则满足15AB =的直线有且只有两条D ．设,,A B M 为C 上三点且,A B 关于原点对称，则,MA MB 斜率存在时其乘积为169【押题专练】1．设椭圆22:14x C y +=的的焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率3e =B ．2PF 的最大值为3C ．12PF F △面积的最大值为23D ．12PF PF +的最小值为22．一个体积为8的正方体形状的箱子，在箱子的顶部的中心，安装一个射灯（看成点光源），射灯照光的边际是圆锥面，设圆锥面与箱子的一个侧面的交线为曲线C （双曲线的一部分），若曲线C 的顶点为侧面的中心，曲线C 与正方体侧棱的交点到箱子底部的距离为22-，则（ ） A ．该曲线C 的离心率为2 B ．该曲线C 的虚轴长为2 C ．点光源到曲线C 焦点的距离为2D ．两渐近线的夹角为2π3．已知椭圆(222:1055x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，点Q 是圆()2241x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线E 上任意一点，若2PQ PF -的最小值为525-说法正确的是（ ）． A ．椭圆C 的焦距为2B ．曲线E 过点2F 的切线斜率为33±C ．若A 、B 为椭圆C 上关于原点对称的异于顶点和点P 的两点，则直线PA 与PB 斜率之积为15- D ．2PQ PF +的最小值为24．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（ ）A ．双曲线C 23B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为35．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过12,F F 作一条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，若四边形12AF BF 的面积为8，则以下选项正确的有（ ）A ．4ab =B ．双曲线的离心率为12e =C ．若双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线方程为22128x y -=D ．若双曲线的离心率e ∈，则a a ≤≤6．在平面直角坐标系中，有两个圆C 1：（x +2）2+y 2＝r 12和C 2：（x ﹣2）2+y 2＝r 22，其中r 1，r 2为正常数，满足r 1+r 2＜4或|r 1﹣r 2|＞4，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（ ） A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线7．已知A ，B 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1214k k ⋅=，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的离心率为2 B ．双曲线C 的渐近线方程为12y x =±C ．若AB 的最小值为4，则双曲线方程为2214x y -=D ．存在点P ，使得12k k +=8．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线()222210,0x y a b a b+=>>上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b ab ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最大值为aC ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最小值为2b aD ．对于椭圆()22211x y a a +=>上点01,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率半径随着a 的增大而减小9．已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有（ ） A ．点P 的坐标为(0,1)B ．OA OB ⊥C ．MAB △的面积的最大值为D ．||||PA PB的取值范围是[2,2+ 10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，长轴长为4，点)P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B1QF QP +的最大值为2a + C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．1211QF QF +的最小值为1 11．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，C 的一条渐近线l的方程为y =，且1F 到l的距离为P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0，PQ 为12F PF ∠的平分线.则下列正确的是（ ）A ．双曲线的方程为221927x y -=B ．122PF PF =C ．1236PF PF +=D ．点P 到x 轴的距离为212．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（ ）A ．PQ 的最小值为4B ．已知曲线C 上的两点S ，T 到点F 的距离之和为10，则线段ST 的中点横坐标是4C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条13．过抛物线2C:2(0)y px p =>的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ，B 两点，则||||AF BF =（ ）A ．3-B ．5-C ．5+D ．3+14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22:11832x y Ω-=有相同的渐近线，且过点(6,P ，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．若双曲线C 上一点M 到它的焦点1F 的距离等于16，则点M 到另一个焦点2F 的距离为10B ．过点(3,0)的直线l 与双曲线C 有唯一公共点，则直线l 的方程为43120x y --= C ．若N 是双曲线C 左支上的点，且1232NF NF ⋅=，则12FNF △的面积为16 D ．过点(2,2)Q 的直线与双曲线2222178x y a b -=--相交于A ，B 两点，且(2,2)Q 为弦AB 的中点，则直线AB 的方程为460x y --=15．设椭圆C ：22x ＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．|PF 1|＋|PF 2|＝2B ．离心率eC ．△PF 1F 2D ．以线段F 1F 2为直径的圆与直线0x y +=相切。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点P （1，－2），则该双曲线的离心率为2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末）抛物线x y 42=的焦点到双曲线191622=-y x 渐近线的距离为 3、（南京、盐城市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲4、（南通市海安县高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的方程为x y 3=则该双曲线的离心率为5、（苏州市高三上期末）双曲线22145x y -=的离心率为▲6、（泰州市高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为 ▲．7、（无锡市高三上期末）设ABC ∆是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为8、（扬州市高三上期末）双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为▲ 9、（镇江市高三第一次模拟）以抛物线y2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．填空题答案1 2、35 3、924、25、326、 78、4 9、【答案】x212－y212＝1．【解析】由题意设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，y2＝4x 的焦点为()1,0，则双曲线的焦点为()1,0；y ＝±x 为双曲线的渐近线，则1b a =，又因222a b c +=，所以2211,22a b ==，故双曲线标准方程为x212－y212＝1．二、解答题1、（常州市高三上期末）在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是e ，定义直线by e=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为4。
高考数学考前押题 圆锥曲线的综合问题
高考数学考前押题圆锥曲线的综合问题椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题1.如图,F1,F2是椭圆C1:24x+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )23(C)3262解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4,41=23因为四边形AF1BF2为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4, 所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=12-4=8,所以2,因此对于双曲线有23,所以C2的离心率e=ca62故选D. 答案:D2.已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)32.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )(A)28x+22y=1 (B)212x+26y=1(C)216x+24y=1 (D)220x+25y=1解析:利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.32,∴ca =22a ba-=32,∴a=2b.∴椭圆方程为x2+4y2=4b2.∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,∴渐近线x±y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为2525,55b b⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b=4,∴b2=5,∴a2=4b2=20.∴椭圆C的方程为220x+25y=1.故选D.答案:D3．如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )(A)3 (B)2 32解析:设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(a>b>0),半焦距为c1,则椭圆的离心率为e1=1c a.设双曲线的标准方程为22xm-22yn=1(m>0,n>0),半焦距为c2,则双曲线的离心率为e2=2c m.由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m, 即2m=a.∴21e e =21c m c a =a m =2.故选B.答案:B4.已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)与双曲线C2:x2-24y =1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B 两点.若C1恰好将线段AB 三等分,则( ) (A)a2=132 (B)a2=13 (C)b2=12 (D)b2=2解析:双曲线渐近线方程为y=±2x,圆的方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a,不妨设y=2x 与椭圆交于P 、Q 两点,且P 在x 轴上方,则由已知|PQ|=13|AB|=23a,∴|OP|=3a,∴P. 又∵点P 在椭圆上, ∴225225a a +2220225a b =1.①又a2-b2=5,b2=a2-5,② 联立①②解得2211,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选C. 答案:C5.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)和椭圆216x +29y =1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .解析:椭圆216x +29y =1的焦点坐标为,0),离心率为. 由于双曲线22x a -22y b =1与椭圆216x +29y =1有相同的焦点,因此a2+b2=7.又双曲线的离心率,,所以a=2,b2=c2-a2=3, 故双曲线的方程为24x -23y =1.答案: 24x -23y =1椭圆与抛物线综合问题及解法1.在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.(3)若点M,直线l:y=kx+14与抛物线C 有两个不同的交点A,B,l 与圆Q 有两个不同的交点D,E,求当12≤k ≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)依题意知F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y=4p 上,因为抛物线C 的准线方程为y=-2p, 所以34p =34,即p=1.因此抛物线C 的方程为x2=2y.(2)假设存在点M 200,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (x0>0)满足条件,抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′0x x ==22x '⎛⎫ ⎪⎝⎭0x x ==x0,所以直线MQ 的方程为y-202x =x0(x-x0).令y=14得xQ=02x +014x .所以Q （02x +014x ,14）.又|QM|=|OQ|,故（014x -02x ）2+（14-202x ）2=（014x +02x）2+116, 因此（14-202x ）2=916.又x0>0,所以,此时故存在点,1),使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M.(3)当时,由(2)得Q14）,☉Q 的半径为,所以☉Q 的方程为（2+（y-14）2=2732.由21,214y x y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-1 2,所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+k2)(4k2+2).由22127,43214x yy kx⎧⎛⎛⎫⎪+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎨⎪=+⎪⎩整理得x-116=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于Δ2=24k+278>0,x3+x4=,x3x4=-()21161k+.所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=()22581k++14.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+()22581k++14.令1+k2=t,由于12≤k≤2,则54≤t≤5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+ 258t+14=4t2-2t+258t+14,设g(t)=4t2-2t+258t +14,t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 因为g ′(t)=8t-2-2258t ,所以当t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,g ′(t)≥g ′54⎛⎫ ⎪⎝⎭=6,即函数g(t)在t ∈5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数, 所以当t=54时,g(t)取到最小值132,因此,当k=12时,|AB|2+|DE|2取到最小值132.2.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l 同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x 相切,求直线l 的方程.解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程22x a +22y b =1, 得21b =1,即b=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为22x +y2=1.(2)由题意可知,直线l 的斜率显然存在且不等于0,设直线l 的方程为y=kx+m, 由221,2,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线l 与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得2k2-m2+1=0.①由24,,y xy kx m⎧=⎨=+⎩消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线l与抛物线C2相切, 所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得km=1.②综合①②,解得2,22,km⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,22.km⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以直线l的方程为y=22x+2或y=-22x-2.3.设椭圆C1:22xa+22yb=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;(2)设A(0,b),Q（354b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,34b）,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0), 可得c2=b2,由a2=b2+c2=2c2,有22ca=12,所以椭圆C1的离心率2 2.(2)由题设可知M,N关于y轴对称,设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),则由△AMN的垂心为B,有BM·AN=0.所以-21x +（y1-34b ）(y1-b)=0.①由于点N(x1,y1)在C2上,故有21x +by1=b2.②由①②得y1=-4b或y1=b(舍去),所以b,故M （b,-4b ）,N4b）,所以△QMN4b）.由重心在C2上得3+24b =b2,所以b=2,M （,-12）,N,-12）.又因为M,N 在C1上,2124⎛⎫- ⎪⎝⎭=1,解得a2=163. 所以椭圆C1的方程为2163x +24y =1.抛物线C2的方程为x2+2y=4.4.如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2: 22x a +22y b =1(a>b>0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N 为C1与C2不在y 轴上的两个交点,若△QMN 的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b ×0=b2,即c2=b2.又a2=b2+c2=2c2,所以椭圆C2的离心率22.(2)由(1)可知a2=2b2,椭圆C2的方程为222x b +22y b =1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2,得2y2-by-b2=0,解得y=-2b或y=b(舍去),所以x=62即M 62 2b ）,N 622b）,所以△QMN 的重心坐标为(1,0).因为重心在C1上,所以12+b ×0=b2,得b=1.所以a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为22x +y2=1.5.(2009年浙江卷,理21)已知椭圆C1: 22x a +22y b =1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程;(2)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.解:(1)由题意,得21, 21, bba=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩从而2,1. ab=⎧⎨=⎩因此,所求的椭圆方程为24y+x2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x=t=2t,直线MN的方程为:y=2tx-t2+h.将上式代入椭圆C1的方程中,得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点, 所以①式中的Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②设线段MN的中点的横坐标是x3,则x3=122x x+=()()2221t t ht-+.设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4=1 2t+.由题意,得x3=x4,即t2+(1+h)t+1=0.③由③式中的Δ2=(1+h)2-4≥0,得h≥1或h≤-3.当h≤-3时,h+2<0,4-h2<0,则不等式②不成立,所以h ≥1.当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.所以h 的最小值为1.双曲线与抛物线的综合问题及解法1.抛物线C1:y=12p x2(p>0)的焦点与双曲线C2: 23x -y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M 处的切线平行于C2的一条渐近线,则p 等于( ) (A)316 (B)38 (C)233 (D)433解析:如图在同一坐标系中画出C1、C2草图,知C1焦点F （0,2p ）,C2右焦点F2(2,0).由C2渐近线方程为y=33x.直线FF2方程为2x +2x p =1.联立C1与直线FF2方程得21,221,2y x p x y p ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①代入②得2x2+p2x-2p2=0.设M(x0,y0),即220x +p2x0-2p2=0.③由C1得y ′=1p x,所以1p 33,即33④由③④得433故选D.答案:D2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点,则C的实轴长为( )(C)4 (D)8解析:设双曲线的标准方程为x2-y2=λ(λ>0), 抛物线y2=16x的焦点是(4,0),由题意知,点在双曲线上.∴16-12=λ,即λ=4, ∴实轴长为4.故选C.答案:C3.已知双曲线24x-22yb=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )(C)3 (D)5 解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0), ∴c=3,b2=c2-a2=5.∴双曲线的渐近线方程为y=焦点(3,0)到y=x的距离故选A. 答案:A4.已知双曲线C1:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )y(C)x2=8y (D)x2=16y解析:由e=ca=2得4=22ca=1+22ba,∴22ba=3.∴双曲线的渐近线方程为y=x,抛物线x2=2py 的焦点是（0, 2p）,它到直线y=x 的距离d=2=22p=4p, ∴p=8.∴抛物线方程为x2=16y. 故选D.答案:D5.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()解析:双曲线左顶点为A1(-a,0),渐近线为y=±ba x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F （2p,0）,准线为直线x=-2p.由题意知-2p=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±2b x 中与准线x=-2p 交于(-2,-1)的渐近线为y=2bx,∴-1=2b×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5, ∴, ∴故选B.答案:B6.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )(A)236x-2108y=1 (B)29x-227y=1(C)2108x-236y=1 (D)227x-29y=1解析:抛物线y2=24x的准线方程为x=-6, 故双曲线中c=6.①由双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线方程为x,知ba,②且c2=a2+b2.③由①②③解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为29x-227y=1.故选B.答案:B7.设双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )(A)54(B)5解析:不妨设双曲线22xa-22yb=1的一条渐近线为y=ba x,由方程组22,1by xay x⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y,得x2-ba x+1=0有唯一解,所以Δ=（ba）2-4=0,所以ba=2,e=ca故选D.答案:D8.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .解析:由双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为得ba,∴a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0), ∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为24x-212y=1.答案:24x-212y=19.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为. 解析:由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2, ca=2a.所以双曲线方程为x2-23y=1.答案:x2-23y=1圆锥曲线与圆的综合问题及解法1如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C 的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C 的半径.解:(1)抛物线y2=4x 的准线l 的方程为x=-1.由点C 的纵坐标为2,点C 在抛物线E 上,得点C 的坐标为(1,2),所以点C 到准线l 的距离d=2,又5,所以22CN d -54-=2.(2)设C （24y ,y0）,则圆C 的方程为（x-204y ）2+(y-y0)2=416y +20y ,即x2-22y x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+22y =0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则222000212441240,21.2y y y y y y ⎧⎛⎫=-+=->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以22y +1=4,解得y0=6,此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为（326）或（326）,从而|CO|2=33 4,,即圆C.2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为,在y轴上截得线段长为.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r. 由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1. (2)设P(x0,y0)..又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得0022001,1. x yy x⎧-=⎪⎨-=⎪⎩由0022001,1.x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩得0,1.xy=⎧⎨=-⎩此时,圆P的半径.由0022001,1.x yy x-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得0,1.xy=⎧⎨=⎩此时,圆P的半径.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.3.如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点, AA'=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则()22ca-+222b=1,从而e2+24b=1,又22,故b2=241e-=8,从而a2=221be-=16.故该椭圆的标准方程为216x+28y=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+2x+8×（1-216x）=12(x-2x0)2-20x+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点, 因此,当x=x1时|QM|2取最小值,又x1∈(-4,4),所以当x=2x0时|QM|2取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-2x.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S=12|2y1||x1-x0|=12×218116x⎛⎫⨯-⎪⎝⎭|x0| ()220024x x-2()2224x--+.当x0=2时,△PP′Q的面积S取得最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2,0),半径28x-6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为)2+y2=6.4.已知F1,F2分别是椭圆E: 25x +y2=1的左、右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(1)求圆C 的方程;(2)设过点F2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a,b.当ab 最大时,求直线l 的方程.解:(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C 的半径为2,圆心为原点O 关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为(x0,y0), 由00001,20,22y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得002,2.x y =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由题意,可设直线l 的方程为x=my+2,则圆心到直线l 的距离所以由222,1,5x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m2+5)y2+4my-1=0.设l 与E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=-245m m +,y1y2=-215m +.于是从而ab=228515m m ⋅++=()2285114m m ⋅+++ =2285411m m +++≤22285411m m +⋅+=25. 当且仅当21m +=241m +,即m=±3时等号成立. 故当m=±3时,ab 最大,此时,直线l 的方程为x=3y+2或x=-3y+2,即x-3y-2=0或x+3y-2=0.5.如图所示,设P 是抛物线C1:x2=y 上的动点,过点P 作圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A 、B 两点.(1)求圆C2的圆心M 到抛物线C1准线的距离;(2)是否存在点P,使线段AB 被抛物线C1在点P 处的切线平分?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)因为抛物线C1的准线方程为y=-14,所以圆心M 到抛物线C1的准线的距离为()134--=114.(2)设点P 的坐标为(x0, 20x ),抛物线C1在点P 处的切线交直线l 于点D.再设A,B,D 的横坐标分别为xA,xB,xD,过点P(x0,20x )的抛物线C1的切线方程为 y-20x =2x0(x-x0).①当x0=1时,过点P(1,1)与圆C2相切的直线PA 的方程为y-1=158(x-1).可得xA=-1715,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.当x0=-1时,过点P(-1,1)与圆C2相切的直线PB的方程为y-1=-158(x+1),可得xA=-1,xB=1715,xD=1,xA+xB≠2xD,所以2x-1≠0.设切线PA、PB的斜率为k1,k2,则PA:y-2x=k1(x-x0),②PB:y-2x=k2(x-x0),③将y=-3分别代入①②③得xD=232xx-(x0≠0),xA=x0-213xk+,xB=x0-223xk+(k1,k2≠0),∴xA+xB=2x0-(2x+3)（11k+ 21k）.即(2x-1)21k-2(2x+3)x0k1+(2x+3)2-1=0.同理,(2x-1)22k-2(2x+3)x0k2+(2x+3)2-1=0.∴k1、k2是方程(2x-1)k2-2(2x+3)x0k+(2x+3)2-1=0的两个不相等的根,从而k1+k2=()2002231x xx+-,k1·k2=()22020311x x +--.因为xA+xB=2xD, 所以2x0-(3+20x )（11k +21k ）=2003x x -, 即11k +21k =01x .从而()()2002202331x x x ++-=01x , 进而得40x =8, 所以x0=.综上所述,存在点P 满足题意,点P 的坐标为(). 6.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是,0),直线y=t 与椭圆C 交于不同的两点M,N,以线段MN 为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C 的方程;(2)若圆P 与x 轴相切,求圆心P 的坐标;(3)设Q(x,y)是圆P 上的动点,当t 变化时,求y 的最大值.解:(1)因为ca且,所以=1. 所以椭圆C 的方程为23x +y2=1. (2)由题意知P(0,t)(-1<t<1).由22,1,3y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x=.所以圆P .当圆P 与x 轴相切时,|t|=()231t -.解得t=±32.所以圆心P 的坐标是（0,±32）.(3)由(2)知,圆P 的方程为x2+(y-t)2=3(1-t2).因为点Q(x,y)在圆P 上,所以y=t ±()2231t x --≤t+()231t -.设t=cos θ,θ∈(0,π),则t+()231t -=cos θ+3sin θ=2sin （θ+π6）.当θ=π3,即t=12,且x=0时,y 取最大值2.7.如图所示,已知抛物线E:y2=x 与圆M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A 、B 、C 、D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标.解:(1)将y2=x 代入(x-4)2+y2=r2,并化简得x2-7x+16-r2=0,①E 与M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1,x2,由此得()()221221274160,70,160.r x x x x r ⎧∆=--->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩解得154<r2<16.又r>0,所以r 152,4）.(2)不妨设E 与M 的四个交点的坐标为:1x 、1x )、2x 、2x则直线AC、BD的方程分别为(x-x1),解得点P的坐标为,0).设,由及(1)知0<t<72.由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积S=12·|x2-x1|. 则)[(x1+x2)2-4x1x2]. 将=t代入上式,并令f(t)=S2,得f(t)=(7+2t)2·(7-2t)（0<t<72）.求导数,f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),令f′(t)=0得t=76,t=-72(舍去),当0<t<76时,f′(t)>0;当76<t<72时,f′(t)<0.故当且仅当t=76时,f(t)有最大值,即四边形ABCD的面积最大.故所求的点P的坐标为（76,0）.椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题1.过椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为2a,则双曲线22xa-22yb=1的离心率e的值是( )(A)54(B)52(C)32(D)54解析:椭圆中当x=c1时,212ca+22yb=1,y2=b2（1-212ca）=42ba,∴y=±2b a.∴22ba=2a,即a2=4b2,∴双曲线中22c=a2+b2=5b2,∴e=2ca=52bb=52.故选B. 答案:B2.点A为两曲线C1:29x+26y=1和C2:x2-22y=1在第二象限的交点,B、C为曲线C1的左、右焦点,线段BC上一点P满足: BP=BA+m(ABAB+ACAC),则实数m的值为.解析:法一∵A是曲线C1与C2在第二象限的交点如图所示.∴由22221, 9612x yyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得点A坐标为由29x+26y=1知c2=9-6=3,∴,0),∴BA=(0,2), AB=(0,-2), AC,-2).AB=2,AC=4.∴BA+m （ABAB+ACAC）=(0,2)+m()10,12⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎭⎣⎦=(0,2)+m（,-32）=32m）.设点P(x,0),则BP由题意得3202xm=⎪-=⎪⎩解得4,3mx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩法二由椭圆与双曲线方程可知,C1、C2有共同的焦点,即B、C.由椭圆和双曲线定义有6,2,AB ACAC AB⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2,4.ABAC⎧=⎪⎨=⎪⎩又∴△ABC 为直角三角形,且∠BAC=60°.又由BP =BA +m(AB AB +AC AC )得 BP -BA =AP =m(AB AB +AC AC )(*) 由向量的线性运算易知,AP 为∠BAC 的平分线,故cos ∠BAP=ABAP,即cos 30°=2AP ,AP 4将(*)式的两边平方得:|AP |2=m2(1+1+2cos 60°)=2,解得m=43或m=-43(舍去).答案:43椭圆与抛物线综合问题及解法1.已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点,P 、Q 是椭圆与抛物线的交点,若PQ 经过焦点F,则椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为 .解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（2p,0）,由题意知,椭圆的半焦距c=2p,又当x=c 时,由22c a +22y b =1得y2=42b a ,∴|PQ|=22b a,由P、Q在抛物线上且PQ过点F, ∴|PQ|=2p.∴22ba=2p,b2=ap.又a2=b2+c2,即a2=ap+24p,解得p(舍)或∴e=ca=()2-1.答案-12.已知椭圆E:22xa+22yb=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P 是椭圆E上一点且满足OP=OA+OB,证明OP·FQ为定值,并求出该值.解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),又椭圆以抛物线焦点为顶点,∴a=2,又e=ca=12,∴c=1,∴b2=3.∴椭圆E的方程为24x+23y=1.(2)由(1)知,F(-1,0),由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.∵l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是上述方程的两个根,∴x1+x2=-2834km k +,x1·x2=2241234m k -+, 又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m =2634mk +∴OP =OA +OB =（-2834km k +,2634mk +）,由点P 在椭圆上,得228344km k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭+226343m k ⎛⎫⎪+⎝⎭=1. 整理得4m2=3+4k2,又Q(-4,-4k+m),∴FQ =(-3,-4k+m).∴OP ·FQ =（-2834km k +,2634mk +）·(-3,m-4k) =22434km k ++2262434m kmk -+ =2264m m =32.即OP ·FQ 为定值32.双曲线与抛物线综合问题及解法1.点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( )解析:设A(x0,y0),∵A在抛物线上,∴x0+2p=p,∴x0=2p,由2y=2px0得y0=p或y0=-p.∴双曲线渐近线的斜率ba=2pp=2.∴e=ca故选C.答案:C2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,l与双曲线22xa-y2=1(a>0)交于A、B两点,若△FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率为( )(C)2+1解析:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=-1.当x=-1时,由21a-y2=1,得y2=-1+21a.∴A（,B（,∴FA=（, FB=（.∵△FAB 为直角三角形,∴FA ·FB =0.即4+1-21a =0, ∴a2=15.∴e=c a =221b a +=211a +=6. 故选B.答案:B圆锥曲线与圆的综合问题及解法1.过双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左焦点F 引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT 交双曲线右支于点P,若T 为线段FP 的中点,则该双曲线的渐近线方程为( )(A)x ±y=0 (B)2x ±y=0(C)4x ±y=0 (D)x ±2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F ′,连结OT 、PF ′.∵FT 为圆的切线,∴FT ⊥OT,且|OT|=a,又∵T 、O 分别为FP 、FF ′的中点,∴OT ∥PF ′且|OT|=12|PF ′|,∴|PF ′|=2a,且PF ′⊥PF.又|PF|-|PF ′|=2a,∴|PF|=4a.在Rt △PFF ′中,|PF|2+|PF ′|2=|FF ′|2,即16a2+4a2=4c2,∴22c a =5.∴22ba=22ca-1=4,∴ba=±2,即渐近线方程为y=±2x,即2x±y=0.故选B.答案:B2.已知圆C:x2+y2+6x+8y+21=0,抛物线y2=8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m,则m+|PC|的最小值为.解析:由题意得圆的方程为(x+3)2+(y+4)2=4,圆心C的坐标为(-3,-4).由抛物线定义知,当m+|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即m+|PC|=()()22324--+-=41.答案:413.如图所示,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆D:22xa+22yb=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且过点（2,62）.(1)求圆C和椭圆D的方程;(2)若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点,求证:直线NA与直线NB的倾斜角互补.(1)解:设圆的半径为r,由题意,圆心为(r,2),因为|MN|=3,所以r2=（32）2+22=254,r=52,故圆C的方程是（x-52）2+(y-2)2=254①在①中,令y=0解得x=1或x=4, 所以N(1,0),M(4,0).由22,12ccea=⎧⎪⎨==⎪⎩得c=1,a=2,故b2=3.所以椭圆D 的方程为24x +23y =1.(2)证明:设直线l 的方程为y=k(x-4). 由()221,434,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0 ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=223234k k +,x1x2=22641234k k -+.当x1≠1,x2≠1时, kAN+kBN=111y x -+221y x - =()1141k x x --+()2241k x x -- =k ·()()()()()()122112414111x x x x x x --+----=()()1211k x x --·[2x1x2-5(x1+x2)+8]=()()1211k x x --·()22222641216083434k k k k ⎡⎤-⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦ =0.所以kAN=-kBN,当x1=1或x2=1时,k=±12,此时,对方程②,Δ=0,不合题意.所以直线AN 与直线BN 的倾斜角互补.综合检测1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若抛物线的准线与双曲线5x2-y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于则抛物线的方程为( )(A)y2=4x(B)x2=4y(C)y2=8x (D)x2=8y解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0),则准线方程为x=-2p,双曲线5x2-y2=20的渐近线方程为y=抛物线的准线与双曲线渐近线的交点分别为P1（-2p）,P2（-2p）.∴12POP S =12|P1P2|·2p =12p ·2p∴p2=16,p=4,∴抛物线方程为y2=8x.故选C.答案:C2.已知抛物线y=x2+1与双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的渐近线没有公共点,则此双曲线的离心率可以是( )解析:双曲线的渐近线为y=±ba x, 由2,1,b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得x2-b a x+1=0.∵双曲线的渐近线与抛物线没有交点,∴Δ=（-ba ）2-4<0, 即ba <2.∴双曲线的离心率e=c a所以只有选项A满足条件.故选A. 答案:A3.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( )(A)y=±32x (B)y=x(C)y=x (D)y=x解析:抛物线y2=16x的焦点坐标为(4,0), ∴双曲线的半焦距c=4,又e=ca=2,∴a=2.∴,∴双曲线渐近线方程为y=±ba x,即y=答案:D4.已知椭圆C1的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点A(2,3)在椭圆C1上,过点A的直线L与抛物线C2:x2=4y交于B,C两点,抛物线C2在点B,C处的切线分别为l1,l2,且l1与l2交于点P.(1)求椭圆C1的方程;(2)是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.解:(1)设椭圆方程为22xa+22yb=1(a>b>0),由题意可知=8.∴a=4,b2=a2-c2=12.∴椭圆方程为216x+212y=1.(2)设B（x1,214x）,C（x2,224x）,直线BC的斜率为k,则k=124x x+.由y=14x2,得y′=12x.∴点B、C处的切线l1、l2的斜率分别为12x1,12x2,∴l1的方程为y-214x=12x1(x-x1),即y=12x1x-2114x,同理,l2的方程为y=12x2x-2214x.由2112221,241,24xy x xxy x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得12122,22 3.4x xx kx xy k+⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴P(2k,2k-3).∵|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,∴点P在椭圆C1:216x+212y=1上,∴()2216k+()22312k-=1.化简得7k2-12k-3=0.(*)由Δ=122-4×7×(-3)=228>0,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P有两个.5.已知A,B分别是椭圆C1:22xa+22yb=1的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,Q是双曲线C2:22xa-22yb=1上异于A,B的任意一点,a>b>0.(1)若P,,Q（52,1）,求椭圆C1的方程;(2)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证:k1·k2+k3·k4为定值.(1)解:由22225341,25141a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩解得225,4.ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C1的方程为25x+24y=1.(2)证明:由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x1,y1),(x1≠±a)则212xa+212yb=1,∴21y=b2（1-212xa）=22ba(a2-21x).设Q(x2,y2),(x2≠±a),则222xa-222yb=1,∴22y=b2（222xa-1）=22ba(22x-a2).∴k1=11yx a+,k2=11yx a-,k3=22yx a+,k3=22yx a-.∴k1·k2+k3·k4=21221yx a-+22222yx a-=()22212221ba xax a--+()22222222bx aax a--=0.即k1k2+k3k4为定值,定值是0.。
2021高考数学押题专练圆锥曲线(原卷版)
押题21 圆锥曲线【押题方向】圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究 直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1） 问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴 题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已 知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题【模拟专练】1．（2021·山东高三二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，圆P 是2MNF ∆的内切圆．当直线l 的倾斜角为45︒时，直线l 与椭圆C 交于点41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）求圆P 周长的最大值．2．（2021·山东淄博市·高三二模）已知抛物线Ω的标准方程是()220x py p =>，过点()0,2M p 的直线l 与抛物线Ω相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且满足1264y y ⋅=．（1）求抛物线Ω的标准方程及准线方程；（2）设垂直于l 的直线1l 和抛物线Ω有两个不同的公共点C ，D ，当C ，D 均在以AB 为直径的圆上时，求直线l 的斜率．3．（2021·山东高三二模）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，M 为C 上的动点，其中M 到1F 的最短距离为1，且当12MF F △的面积最大时，12MF F △恰好为等边三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的动直线l 过点2F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，那么，2||PF AB 是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.4．（2021·山东枣庄市·）已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S 的取值范围.5．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1-，离心率为2，抛物线216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【押题专练】1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由． 3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E 两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为42. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.。
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1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】C 【解析】2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 【答案】A【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32.∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A. 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒cos 60°＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒|PF 1|·|PF 2|＝4.4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点P ⎝⎛⎭⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( )A.22 B. 2 C.3 D.62【答案】B5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C 的焦点为(1，0)，∴p2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝⎛⎭⎫23，263，∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 【答案】B7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ， B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||F A ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 【答案】B9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间 【答案】D【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－ca，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a 2＋2ac a 2>a 2＋c 2a2＝1＋e 2，因为0<e <1， 即0<e 2<1. 所以1<e 2＋1<2，所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2， 所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于( )A.158B.415C.23D.12 【答案】D11．过曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，直线F1M交曲线C3：y2＝2px(p＞0)于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为()A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋1 2【答案】D 【解析】12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞) 【答案】D 【解析】如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－ba x 联立得⎩⎨⎧y ＝ba（x －c ），y ＝－b ax ，13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【答案】2【解析】 方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝bax ，根据题意得k PF ＝－a b ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，b a x ，代入k PF ＝－a b 得x ＝a2c ，则P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则线段PF 的中点为⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ，ab 2c ，代入双曲线方程得14⎝⎛⎭⎫a c ＋c a 2－14⎝⎛⎭⎫a c 2＝1，即14⎝⎛⎭⎫1e ＋e 2－14·⎝⎛⎭⎫1e 2＝1，∴e 2＝2，∴e ＝ 2.方法二：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为x a ±yb ＝0，焦点F 到渐近线的距离d＝⎪⎪⎪⎪c a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫±1b 2＝b .设线段PF 的中点M (x 0，y 0)，则其到两条渐近线的距离分别为b ，b 2，距离之积为b 22，又距离之积为⎪⎪⎪⎪x 0a －y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫－1b 2·⎪⎪⎪⎪x 0a ＋y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＝a 2b 2c2， 则a 2b 2c 2＝b 22， ∴a 2c 2＝12，e ＝ 2. 14．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－2 【解析】15．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【答案】 23或38【解析】 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA→(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】 1517．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；(2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．【解析】：(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4) 2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 18．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ， ∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0， 故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1， 代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3.③20．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解析】：(1)证明：因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2， 化简得：(x 20－2)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－2＝0，同理：(x 20－2)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－2＝0，所以k 1，k 2是方程(x 20－2)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－2＝0的两个不相等的实数根， 所以k 1·k 2＝y 20－2x 20－2. 因为点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 206＋y 203＝1，即y 20＝3－12x 20， 所以k 1k 2＝1－12x 20x 20－2＝－12为定值． (2)|OP |2＋|OQ |2是定值，定值为9.②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9，综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．方法二：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝－12，所以y 21y 22＝14x 21x 22， 因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，即⎩⎨⎧y 21＝3－12x 21，y 22＝3－12x 22， 所以⎝⎛⎭⎫3－12x 21⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝14x 21x 22，整理得x 21＋x 22＝6，所以y 21＋y 22＝⎝⎛⎭⎫3－12x 21＋⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝3，所以|OP |2＋|OQ |2＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9，综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．21．已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ， D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．∴S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22，当且仅当2|m|＝1|m|，即m＝±22时等号成立，此时n＝±62，经检验可知，直线y＝22x－62和直线y＝－22x＋62符合题意．22．如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A(1，2)作抛物线C的弦AP，AQ.(1)若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线PQ过点T(5，－2)，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数，若不存在，请说明理由．(2)假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ. 设直线PQ的方程为x＝my＋n.。