数学建模狐狸野兔问题
电子科技大学数学建模试题
电子科技大学数学建模试题（时量：150分钟）一．（1）在一个密度为ρ的流质表面下深 h 处的压强P=ρgh （g 是重力加速度），试检验此公式的量纲是否正确？（2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为m 的物体在外力F(t)的作用下，在 t 时刻的位置x(t)满足以下方程：)(22t F kx dt dx r dtx d m =++，其中r 是阻尼系数，k 是弹簧的弹性系数。
试确定r, k 的量纲。
二．一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器皿中有100个细菌，每隔5分钟细菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t 时刻的细菌数量。
三．许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。
对1000人进行调查得到以下数据结果矩阵：有病 无病T=⎥⎦⎤⎢⎣⎡48040120360四．某天晚上23:00时，在一个住宅内发现一具受害者尸体，法医于 23:35分赶到现场，立即测得死者体温是 30.8○c ，一小时以后再次测量体温为29.1○c ，法医还注意到当时室温是28○c ，请建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时间。
五．一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系统，需要对现有系统进行分析。
现有系统中有5个服务点，当顾客走进银行，他们可能选择5个服务点中任一个。
在繁忙期间，两位顾客到达的平均间隔时间是3分钟，为一位顾客服务的平均时间为2.5分钟。
请你为建立模拟模型做以下准备工作：（1） 考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间； （2） 如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式； （3） 你认为应怎样模拟顾客们的来到？ 并且根据你的方法给出相应算法。
六．（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.02.04,9.0001.0xy x dtdx y xy dt dy（1） 建立上微分方程的轨线方程；（2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？七．以下是几个一元经验回归模型的标准残差图：说明经验回归方程对数据的拟合优度，并阐述其理由。
数学应用典型案例模型1马尔萨斯人口增长(指数增长)模型
xc e hx
C
其中 C 为任意常数，可由初始条件确定。
捕食----被捕食模型有着广泛的应用。当一个包含两个群体的系统中，只要
两个群体相互依存、相互制约，均可用捕食----被捕食模型来描述。例如，鲨鱼
与食用鱼、寄生虫与其宿主、害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等都可用该模
型来描述。下图表明了狐狸----野兔（数量）随着时间 t 所发生的周而复始的变
化，正是这种变化维持着该系统的生态平衡。
在狐狸----野兔生态系统中，生态系统的平衡点就是使 dx 0, dy 0 的点。 dt dt
即
a byx 0 c hxy 0
(3-2)
只求非零解，可知平衡点为： x c , y a 。也就是说，当野兔数量保持在 c ，
设人类生存空间及可利用资源（食物、水、空气）等环境因素所能容纳的最 大人口容量为 K（称为饱和系数）.人口数量 N（t）的增长速率不仅与现有人口 数量成正比，而且还与人口尚未实现的部分（相对最大容量 K 而言）所占比例 K N 成比例，比例系数为固有增长率 r.于是，修改后的模型为
K
dN
hb
h
狐狸数量保持在 a 时，就能维持狐狸----野兔生态系统的平衡。 b
图 3-2
例 狐狸----野兔模型为
dx dt
0.03x
0.001xy
dy dt
0.9 y 0.002xy
(3-3)
试问：狐狸、野兔的数目各为多少时，该系统才达到平衡？
解：由 dx 0 ，得 y狐狸 0.03 3（0 只）；
模型 3 捕食——被捕食模型 所用知识：微分方程组 内容介绍：
数学建模--野兔
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
狐狸与兔子数学模型的论文
狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题摘要在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。
本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB 软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。
在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。
在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为xy x dtdx 02.04-=，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。
同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a ”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。
根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b ”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。
关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
数学建模实验项目
数学建模实验项⽬数学建模实验指导书数学建模实验项⽬⼀养⽼基⾦问题⼀、实验⽬的与意义：1、练习初等问题的建模过程；2、练习Matlab基本编程命令；⼆、实验要求：3、较能熟练应⽤Matlab基本命令和函数；4、注重问题分析与模型建⽴，了解建模⼩论⽂的写作过程；5、提⾼Matlab的编程应⽤技能。
三、实验学时数：2学时四、实验类别：综合性五、实验内容与步骤：（1.必做，2、3选⼀）1.某⼤学青年教师从31岁开始建⽴⾃⼰的养⽼基⾦，他把已有的积蓄10000元也⼀次性地存⼊，已知⽉利率为0.001（以复利计），每⽉存⼊700元，试问当他60岁退休时，他的退休基⾦有多少？⼜若，他退休后每⽉要从银⾏提取1000元，试问多少年后他的基⾦将⽤完？2.贷款助学问题。
3贷款购房问题。
⾃⼰调查设计具体情况数学建模实验项⽬⼆梯⼦问题⼀、实验⽬的与意义：1、进⼀步熟悉数学建模步骤；2、练习Matlab优化⼯具箱函数；3、进⼀步熟悉最优化模型的求解过程。
⼆、实验要求：1、较能熟练应⽤Matlab⼯具箱去求解常规的最优化模型；2、注重问题分析与模型建⽴，熟悉建模⼩论⽂的写作过程；3、提⾼Matlab的编程应⽤技能。
三、实验学时数：2学时四、实验类别：综合性五、实验内容与步骤：⼀幢楼房的后⾯是⼀个很⼤的花园。
在花园中紧靠着楼房建有⼀个温室，温室⾼10英尺，延伸进花园7英尺。
清洁⼯要打扫温室上⽅的楼房的窗户。
他只有借助于梯⼦，⼀头放在花园中，⼀头靠在楼房的墙上，攀援上去进⾏⼯作。
他只有⼀架20⽶长的梯⼦，你认为他能否成功？能满⾜要求的梯⼦的最⼩长度是多少？步骤：1．先进⾏问题分析，明确问题；2．建⽴模型，并运⽤Matlab函数求解；3．对结果进⾏分析说明；4．设计程序画出图形，对问题进⾏直观的分析和了解（主要⽤画线函数plot，line）5．写⼀篇建模⼩论⽂。
数学建模实验项⽬三确定肥猪的最佳销售时机⼀、实验⽬的与意义：1、认识微分法的建模过程；2、认识微分⽅程的数值解法。
《数学建模》试题解答要点及部分答案
2002年《数学建模》试题解答要点及部分答案阅卷原则：以假设的合理性、建模的创新性、结果的正确性、文字表述的清晰程度为主要标准.说明：该套题目分为基本题目和分析题，其中分析题应在仔细分析和深入思考的基础上，发挥自己的创造能力，留下独立思考的痕迹.这里给出的答题要点是教师个人的想法，鼓励同学们的其它正确合理的解答.一.（基本题目）（1）在一个密度为ρ的流质表面下深 h 处的压强P=ρgh （g 是重力加速度），试检验此公式的量纲是否正确？（2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为m 的物体在外力F(t)的作用下，在 t 时刻的位置x(t)满足以下方程：)(22t F kx dtdx r dt xd m =++， 其中r 是阻尼系数，k 是弹簧的弹性系数，试确定r, k 的量纲.解答（1）[p] =L —1MT —2, 公式量纲正确；（2）[ r]= MT —1, [k]= MT —2.二. （分析题）一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器皿中有100个细菌，每隔5分钟细菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t 时刻的细菌数量.解答 关键语句：“仔细分析实际情况”1．讲义p54的 模型 0,)139.0exp(100≥=t t y 是理想化的结果，不合乎实际情况。
2. 结合实际情况可考虑以下因素：细菌的繁殖、死亡、营养、培养器皿的空间大小等.3．做合理的假设，如：*1 器皿中的营养足够细菌的繁殖需要；*2 细菌个数是连续变化的，细菌的增加理解为自然繁殖个数减去自然死亡个数；*3 培养器皿的空间所限，器皿中存活细菌个数有上限Y M （类似于相对于人类生存的地球）。
4. 对理想化模型进行改进：⎩⎨⎧>≤<=.,;0,)139.0exp(100)(MM M t t Y t t t t y 其中，有M M Y t y =)(。
256注：针对对不同情况的考虑，可做出不同的假设，建立不同的模型.但应考虑马尔萨斯模型是否满足条件“有100个细菌，每隔5分钟细菌个数加倍”.三．(基本题目) （见概率论教材p41）许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。
数学建模实验项目八狐狸与野兔问题
数学建模实验项目八狐狸与野兔问题数学建模实验项目八狐狸与野兔问题一、实验目的：1、认识微分方程的建模过程；2、认识微分方程的数值解法。
二、实验要求：1、熟练应用Matlab 的符号求解工具箱求解常微分方程；2、掌握机理分析建立微分方程的方法和步骤；3、提高Matlab 的编程应用技能。
三、实验内容及要求（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组 0.0010.940.02dy xy y dt dx x xy dt =-=- （1）建立上述微分方程的轨线方程；（2）在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3）建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？四、实验步骤及过程1.建立一个名为“0*级计算第08次作业*******”（********表示自己的学号）的文件夹。
2. 打开Matlab 软件，练习实验指定的内容。
3. 将所得结果保存到文件夹中，并上存到天空教室。
莆田学院期末考试试卷2011 ——2012 学年第 2学期课程名称：数学建模适用年级/专业： 09数学试卷类别开卷（√ ）闭卷（）学历层次本科考试用时《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题正文要求：（1）写清建模分析过程、建立的模型、模型求解及其结果、并对结果给予简单的分析；（2）要求每人独立完成一份；（3）试卷打印格式参照教务处有关规定执行；（4）在下列二题中选做一题。
一、借贷问题某地银行对个人住房25年贷款期限的贷款条件通常为：年利率为0.12，而且是月均等额还款。
小叶夫妇要买房还缺6万元，正在考虑到银行去错6万元。
正在这时，小叶夫妇看到一个借贷公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以在年利率0.12的前提下，帮你提前三年还清借款，但是，（1）每半个月还一次款（2）由于每半个月就要开一张收据，文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款。
兔子的数量 建模
数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题姓名1：李坤鹏学号：1020560132姓名2：方扬学号：1020560113姓名3：谭小丁学号：1020560114专业：材料化学班级：10205601指导教师：樊健秋2012年06年08 日摘要本题研究的是某地区的野兔生长问题，题目已给出连续十年的统计数据，分析数据可得野兔的生长规律。
题目要求指出哪些年野兔的增长有异常现象并预测T=10时野兔的数量。
假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下（即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响），该种群的成长曲线应该为对数型增长。
但依题意可知，野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓，变化幅度不断降低，这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律，动态的表示生物种群的增减情况，例如兔子。
由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。
根据逻辑斯蒂方程，以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10时，野兔数量为10.8156十万只。
关键字：logistic生物模型预测生长规律预测数量一、问题的重述在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈对数增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969；T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈类J 型增长，说明兔子数量不多受内外因素的因数影响不明显。
高阶思维模拟题
高阶思维模拟题
题目：小明和小华是好朋友，他们一起参加了一个智力竞赛。
在比赛中有这样一个问题：有一座山，山上有三个洞，每个洞里都有不同的动物，分别是狐狸、兔子和松鼠。
如果每个洞只能进去一次，怎样才能知道哪个洞里有兔子？
小明和小华经过思考，得出了不同的答案。
小明认为应该先观察三个洞口的形状和大小，然后根据这些特征推断哪个洞里有兔子。
而小华则认为应该先敲一敲洞口，听声音的不同来确定哪个洞里有兔子。
请分析小明和小华的思路，并判断哪个更合理。
分析：
小明的思路是观察洞口形状和大小来推断哪个洞里有兔子。
然而，这种方法并不科学，因为洞口形状和大小并不能准确反映洞内动物的种类。
此外，这种推断没有考虑到兔子的特性，因此不太可能得出正确的答案。
小华的思路是通过敲击洞口听声音来辨别哪个洞里有兔子。
虽然这种方法有一定的道理，因为不同动物发出的声音会有所不同，但是
它也存在着不确定性。
因为不同动物在不同情况下发出的声音也可能不同，所以这种方法也不能保证100%的准确性。
然而，在这道题目中，关键是要确定哪个洞里有兔子。
因此，我们需要利用兔子的特性来进行判断。
兔子是草食动物，通常生活在草地或树林中，它们通常会用后腿站立或跳跃来观察周围环境。
因此，如果某个洞口的地面比较干净，而且有后腿站立或跳跃的痕迹，那么这个洞里很可能是兔子。
因此，小明和小华的思路都不太合理。
在这种情况下，最合理的做法是利用兔子的特性来进行判断。
matlab实验报告
选题说明：根据学号最后两位数字模6的余数确定题号，余数为1的做第1题，余数为2的做第2题，。
，余数为5的做第5题，余数为0的做第6题。
本次实验报告要求独立完成，基本雷同者全部按零分处理，必须提供电子版和纸质打印版， 12月18日之前务必交到学习委员处，逾期不计成绩。
1、 多元线性回归问题根据下述某猪场25头育肥猪4个身体特征的数据资料，试进行瘦肉量y 对眼肌面积（x ）、腿肉量(x )、腰肉量(x )的多元线性回归分析。
1）画出散点图y 与x1，y 与x2，y 与x3，并观察y 与x1，x2， x3的关系； 2）求y 关于x1，x2， x3的线性回归方程：0112233y x x x ββββ=+++，求出0123,,,ββββ的值；3）对上述回归模型和回归系数进行检验；4）再分别求y 关于单个变量x1，x2, x3的线性回归方程：10111y x ββ=+，20222y x ββ=+,30333y x ββ=+，求出上述回归系数ij β的值；分别求y 关于x1，x2, x3中任意两个变量的线性回归方程，并求出回归系数的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。
5）编程实现上述求解过程。
2、 非线性回归问题-------多项式回归给动物口服某种药物A 1000mg ，每间隔1小时测定血药浓度（g/ml ），得到表9-5的数据（血药浓度为5头供试动物的平均值）。
血药浓度与服药时间测定结果表：服药时间x 1（小时） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 血药浓度y (g/ml )21.8947.1361.8670.7872.8166.3650.3425.313.17要求：1）画出散点图y 与x ，并观察y 与x 的关系；2）求y 关于x1的一元线性回归方程：011y x ββ=+，求出01,ββ的值； 3）对上述回归模型和回归系数进行检验；4）再求y 关于x1的一元多项式线性回归方程。
（如： 201121y a a x a x =++等），求出回归系数012,,a a a 的值，并与线性回归方程比较对原来问题求解的优劣。
狐狸与野兔-数学建模
实验报告一．实验名称：狐狸与野兔二．实验内容：在一个封闭的大草原生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足下列微分方程组 ：kx xy x dtdxxy x dt dxy xy dt dy--=-=-=02.0402.049.0001.0 (k>=0) (1).建立上述微分方程的轨迹线方程: F(x,y)=0 dx/dt=f(x,y)(2).在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态(3).建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果?对狐狸进行捕猎又会产生什么后果?三．实验目的：学习熟悉Mathmatica 的使用,理解人口模型与捕猎问题的建模与求解过程,了解在捕猎过程中两种生物的数量的变化以及其是怎么样达到平衡的.四．问题分析与建模方向: 用matlab 求解人们对野兔进行捕猎的问题。
当封闭(即不考虑人类因素)时:xy x dtdx y xy dt dy02.049.0001.0-=-=运用matlab 直接求解 当有人类干涉时:x k xy x dtdxy k y xy dtdy1202.049.0001.0--=--=）（人们对兔子进行捕猎，是人类捕猎狐狸的速度是人类捕猎野兔的速度022121==k k k k(只对狐狸进行捕猎的情况类此)在一小段时间内△y=△t(0.001xy-0.9y) △x=△t(4x-0.02xy) 则y=y+△y=y+△t(0.001xy-0.9y) x=x+△x=x+△t(4x-0.02xy)运用循环连续求解画出狐狸y,野兔x 与时间t 的曲线图五.算法与求解function sim_hulituzi_ex x0=920; y0=180; a=0.001; b=-0.9; c=4;e=20;f=0.5;delta_t=0.01;x=x0;y=y0;k=0;vec_t=delta_t:delta_t:100for cur_t=vec_t,k=k+1;y=y+(a*x*y+b*y-f*y)*delta_t;x=x+(c*x+d*x*y-e*x)*delta_t;vx(k)=x;vy(k)=y;if vx(end)<1 | vy(end)<1,disp (sprintf('结束时间：t=%10.2f,x=%6.0f,y=%6.0f',cur_t,x,y)) breakendendt=[0,delta_t:delta_t:cur_t]len1=length(t)len2=length([x0,vx])plot(t,[x0,vx],'r-*',t,[y0,vy],'k-o')xlabel('t(unit:day)')hold ontext(t(end)+delta_t*2,vx(end),'X') text(t(end)+delta_t*2,vy(end),'Y') hold offfigureplot(vx,vy,'-*')xlabel('Troop X')xlabel('Troop Y')六.结果以上情况为该草原在自然状况的图形关系，y为兔子，x为狐狸（狐狸初始为180，兔子为92）。
大学奥数之狐狸吃草问题(含答案)
大学奥数之狐狸吃草问题(含答案)大学奥数之狐狸吃草问题答案
问题描述
在大学奥数竞赛中，有一道关于狐狸吃草的问题，现在我们来解答这个问题。
解答
假设有一片长为 *N* 厘米的草地。
我们有一只狐狸，它每次可以吃掉草地上 *A* 厘米的长度。
另外，有一只兔子，它每次可以吃掉草地上 *B* 厘米的长度。
问题是，经过多少轮之后，狐狸会吃掉兔子？
简洁解决方案
我们可以通过计算狐狸和兔子每次吃掉的草地长度，来确定狐狸吃掉兔子所需的轮数。
假设狐狸和兔子每轮吃掉的长度分别为 *x* 厘米和 *y* 厘米，则有以下公式：
x = A
y = B
我们需要找到满足以下不等式的最小正整数 *n*：
x * n > y * n
即：
A * n >
B * n
解上述不等式，得到：
n > 0 when A > B
因此，只要狐狸每次吃掉的长度大于兔子每次吃掉的长度，那么经过一轮之后，狐狸就会吃掉兔子。
总结
根据我们的解答，只要狐狸每次吃掉的长度大于兔子每次吃掉的长度，狐狸就会在经过一轮后吃掉兔子。
这是一个简单的问题，但需要注意计算和比较吃掉的草地长度。
请注意，这个答案仅仅是一个模拟的解决方案，实际情况可能有所不同。
狐狸追及横向跑的兔子的问题
兔子沿着直线以6米每秒的速度跑。
狐狸在兔子的垂直方向30米外。
以8米每秒的速度始终朝着兔子的方向追赶。
问狐狸何时能够追上兔子?这是一个被称为“狗追兔子曲线”的经典问题，乍一看是需要建立微分方程求解的，但既然是经典问题，自然有经典解法。
第一种解法：源自华罗庚在《高等数学引论》第一卷第二分册第14章第8节“追踪问题”（p137-138）中所做。
其中给出了一个一般性的追击者与被追击者速度与方向的微分方程关系式，楼主的问题条件比较特别，如果在坐标系上表示就是兔子是从原点开始沿着Y轴奔逃，而狐狸的起点的位置是(30,0)，根据这种特定情况套入公式，这个特例在书中也有特别阐述，推导得出的公式是：(VcosΦ＋U)R＝(V2－U2)t＋aV；这里，V 是狐狸的速度，U是兔子的速度，a是初始距离，也就是本题的30米，R是狐狸和兔之间的距离（当狐狸追上兔子时R＝0），t是追击所需的时间。
据此进一步推导可得t＝aV/(V^2-U^2)兔子奔逃的距离s=aVU/ (V^2-U^2)狐狸追击的距离S=aV^2/(V^2-U^2)代入本题数据可得：t=30*8/(8^2-6^2)=240/(64-36)=240/28=60/7，即追上的时间是“八又七分之四”秒，约等于8.57秒。
追上时兔子跑的距离是（360/7）米，狐狸跑过的距离是（480/7）米。
第二种解法：源自美国著名趣味数学大师萨姆•劳埃德的《萨姆•劳埃德的数学趣题续编28题》。
这是一个极其巧妙的初等解答，甚至学过简单追击问题的小学生都可以用来计算出正确答案。
萨姆•劳埃德认为狐狸追兔子的过程是是两个运动过程的合成：一个是同向追及问题，一个是相对相遇问题。
同向追击问题，就是狐狸和兔子都沿着同一方向跑，兔子在狐狸前方a米外，兔子速度u，狐狸速度v，这个问题非常简单，追上的时间就是距离除以速度差，即t1=a/(v-u )；相对相遇问题，就是兔子和狐狸相距a米沿直线相向奔跑（狐狸爱上兔子正常，兔子自投罗网？残念），兔子速度u，狐狸速度v，相遇的时间就是距离除以速度和，即t2=a/(v+u) ；那么狐狸曲线追击兔子的时间是什么呢？竟然是上面两个时间的平均值！！（震惊吧？这就是说为啥学过追击问题的小学生都能做的原因）。
数学建模野兔生长问题
野兔生长问题摘要根据题II,野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。
可由题口条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic （逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T二10时，野兔数量为9. 84194 （十万）只。
该结果比较符合客观规律（利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等：也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也山此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。
关键字:Logistic模型生态学MATLAB程序问题重述野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长,T=3, 6. 90568； T=4, 6. 00512； T=5, 5.56495； T二6, 5.32807。
野兔生长问题
数学建模一周论文（论文题目）姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：年月日摘要：根据某地区野兔连续十年统计量的曲线分布和野兔增长的一般规律，先找出野兔增长中的异常点，然后排除异常点，建立野兔增长的理论模型，然后应用理论于实际，基于现实问题进行运用和对t=10的推测。
首先，利用三次样条插值做出其原始图像，在假设条件下，遵循自然规律分析图像，找出并去除t=4,t=5,t=6这三个异常点；然后，利用微分方程分析法，先对t 到tt∆+年兔子增量和增长率a的关系进行分析，列出其微分方程，考虑到自然因素对野兔增长的影响，在前模型的基础上增加竞争项2bx-，重新建立模型；对其进一步分析并用原始值与理论之进行比较，进一步发现其中的问题：曲线不能很好地反映断层后野兔的增长趋势；最后，为了更好地反映t=7以后的野兔的增长规律，提出分段表示其增长趋势的思路：把异常点所在的年份作为“断层”，在其两侧分别采用微分方程对其建模，在异常点采用了多次连续“断层”的拟合方法对其求解，即先用三次多项式拟合其断层，并进一步对其函数，特别是其两端进行修正，以保证整个函数的连续性。
从而画出分段函数的图像，得出该地区野兔的生长规律，并以此预测第十年野兔的数量。
最后，函数以分段形式表示如下：()()(())771555.09688.235624.09949.1)3402.09285.2(4439.00255.030971.02885.15059.10234586.40<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+++-++≤≤+=--ttexxxtet ytt并由此计算出t=10年时野兔的数量为y= 10.6864万只。
关键字：微分方程分析法竞争项多次连续“断层”的拟合1问题的重述测T=10 时野兔的数量。
2问题的分析在自然界中野兔的增长受很多因素的影响，水、食物、或是自然灾害等都会对其产生一定的影响，这其中水和食物会对其产生恒久的制约作用，但不会影响其大体的增长趋势，它会使野兔增长到一定数量之后因为彼此的竞争而使其数量趋于一个稳定值；自然灾害则有可能对其产生致命的打击，导致其增长产生异常现象，而我们在研究其生长问题时应将其排除在外。
狐狸与兔子数学模型的论文
狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题摘要在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。
本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB 软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。
在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。
在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为xy x dtdx 02.04-=，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。
同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a ”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。
根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b ”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。
关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
C++经典问题：狐狸找兔子
C++经典问题：狐狸找兔⼦问题描述：围绕着⼭顶有10个洞，⼀只狐狸和⼀只兔⼦住在各⾃的洞⾥。
狐狸想吃掉兔⼦。
⼀天，兔⼦对狐狸说：“你想吃我有⼀个条件，先把洞从1－10编上号，你从10号洞出发，先到1号洞找我；第⼆次隔1个洞找我，第三次隔2个洞找我，以后依次类推，次数不限，若能找到我，你就可以饱餐⼀顿。
不过在没有找到我以前不能停下来。
”狐狸满⼝答应，就开始找了。
它从早到晚进了1000次洞，累得昏了过去，也没找到兔⼦，请问，兔⼦躲在⼏号洞⾥？分析：我们设定⼀个数组a[11]，⽤来表⽰这10个⼭洞（a[0]不使⽤），并且初始化为0（数组元素值为0表⽰该洞⽳狐狸没有进⼊过），然后⽤多次循环模拟狐狸找兔⼦的过程，狐狸找兔⼦的循环肯定是有⼀个有限循环，我们不妨设置为1000，因为狐狸找了1000次还找不到兔⼦的话，早就累死了=.=然后，这10个⼭洞是围成了⼀个圈的，所以是在循环访问数组中的内容，⽤除n取余来限制。
程序代码：#include<iostream>using namespace std;int main(){int a[11]={0};int i=0,k=0;int n=10;for(i=1;i<=1000;i++){ //设定循环的次数，也就是狐狸找兔⼦的次数k=(k+i)%n; //因为洞⽳围成了⼀个圈if(k==0)k=n; //当k为0的时候，说明可以整除a[k]=1; //将数组值设置为1，表⽰这个洞狐狸已经进⼊过了}for(i=1;i<=n;i++){if(a[i]!=1){cout<<"\n洞⽳"<<i<<"安全"<<endl;}}cout<<endl;return 0;}运⾏界⾯：延伸思考题⽬中说的洞⽳是10个洞⽳，我们可以很容易的扩展成，让⽤户输⼊任何⼀个可能的洞⽳的个数n。
动物群体的常微分方程模型-暑期选讲
0
pa
pea(tt0)
（2）
0
0
美国和法国都曾用这个公式预报过 人口变化，结果相当符合实际。显然
a
limp(t) t
b
（3）
9
+∞
a =0.029，b可以如下求得：1980年5月
1日，我国公布的人口总数1979年底为
97092万人，当时人口增长率为1.45%，
于是 a-b×9.7092 ×108 =0.0145，从而
24
多吃掉大量的兔子，狐群又进入饥饿状 态而使其总数下降，这时兔子相对安全 些，于是兔子总数回升。这样，狐兔数 量交替增减，无休止地循环，遂形成生 态的动态平衡。意大利著名生物数学家 沃特拉（Volterra)对上述现象建立了下 述模型
dx dt
x(a
by )
dy
dt
zyae b,y w K ce x dx
其中K由初始值x0 ，y0定出为
Kxye c a (d0xb0y) 00
于是绘出图5-1
28
图 5-1 29
L1：z=w;
L2：z=yae-by；
L3：w=Kx-cedx ；
L4：狐兔曲线。
在L4上，随 t 的增加，动点（x(t) ，y(t)) 依逆时针而动，事实上，点 s 是使
意大利著名生物数学家沃特拉volterra对上述现象建立了下述模型??????????dxcydtdybyaxdtdx826其中xt表示t时刻兔子的数目yt是狐狸数ax项表示兔子繁殖速度与兔子现存总数比例bxy项表示狐兔相遇兔子被吃的速度cy项表示狐狸因为同类竞争食物造成的死亡速度与狐狸数成正比dxy项表示狐兔相遇对狐狸有好处而使狐狸繁衍增加的速度
高一数学二 特征向量的应用试题
高一数学二特征向量的应用试题1.若兔子和狐狸的生态模型为（n≥1），对初始群，讨论第n年种群数量αn 及当n越来越大时，种群数量αn的变化趋势．【答案】当n越来越大时，（0.5）n趋向于0，αn趋向于，即兔子和狐狸的数量趋于稳定在90和30．【解析】欲讨论第n年种群数量αn 及当n越来越大时，种群数量αn的变化趋势，根据兔子和狐狸的生态模型可知，只须求出αn =M nα，关键是求出M n，故先求出矩阵M的特征向量，再利用特征向量进行计算即可．解：，，αn =Mαn﹣1=M（Mαn﹣2）=M2αn﹣2═M nα0M的特征值λ1=1，对应的特征向量对应的特征向量，=30α1+10α2，αn=M nα=30λ1nα1+10λ2nα2=，当n越来越大时，（0.5）n趋向于0，αn趋向于，即兔子和狐狸的数量趋于稳定在90和30．点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算及应用等基础知识，属于基础题．2.设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad﹣bc的值．【答案】﹣4【解析】根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα，利用待定系数法列出四个等式关系，解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值，进而求出ad﹣bc的值．解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，即=，可得…①；同理可得，即…②；由①②，解得a=2，b=3，c=2，d=1，因此ad﹣bc=2﹣6=﹣4，即ad﹣bc的值为﹣4．点评：本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．3.已知二阶矩阵A属于特征值﹣1的一个特征向量为，属于特征值7的一个特征向量为①求矩阵A；②若方程满足 AX=，求X．【答案】①；②【解析】本题①利用矩阵的特征值和特征向量的意义，得到本应的方程组，解方程组得本题结论；②对于AX=，可以利用逆矩阵进行研究，得到相应的结果，得到本题结论．（Ⅰ）解：①设A=，则.=﹣=，=7=，∴，∴，∴A=．②由AX=，得：，∵A﹣1=，∴X==．点评：本题考查了矩阵的特征值、特征向量的意义以及逆矩阵的应用，本题难度不大，属于基础题．4.已知二阶矩阵M满足：，求M2．【答案】【解析】设出要用的矩阵，根据所给的条件，得到关于所设的矩阵中字母的关系式．写出矩阵M，最后把矩阵进行平方变换，得到结果．解：设，由得：，即，（2分）再由得，，即，，（4分）所以，（6分）．（10分）点评：本题考查矩阵的变换，是一个基础题，这种题目解决的关键是看清题目利用方程思想解出要用的矩阵，再把矩阵进行符合题目条件的变换．5.选修4﹣2：矩阵与变换已知二阶矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=．求矩阵A．【答案】A=．【解析】由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，由此可建立方程组，从而可求矩阵A．解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，即=﹣1×，得（5分）同理可得，解得a=2，b=3，c=2，d=1．因此矩阵A=．（10分）点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值、特征向量定义，属于基础题．6.已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为=，矩阵A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．（1）求实数a，k的值；（2）求直线x+2y+1=0在矩阵A的对应变换下得到的图形方程．【答案】（1）a=2，k=1．（2）x+3y+2=0．【解析】（1）利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．（2）利用矩阵变换，确定坐标之间的关系，即可得到在A对应的变换作用下的新曲线的方程．解：设特征向量为=，对应的特征值为λ，则=λ，即因为k≠0，所以a=2．因为A﹣1=，所以A=，所以2+k=3，解得k=1．综上，a=2，k=1．（2）设直线x+2y+1=0上任一点P（x，y）在A对应的变换作用下对应点P'（x'，y'），∴=，∴，代入x+2y+1=0，化简可得x′+3y′+2=0，∴得到的图形方程为x+3y+2=0．点评：本题考查矩阵的乘法，矩阵变换，以及特征值与特征向量的计算，确定坐标之间的关系是关键．7.已知矩阵M=的两个特征值分别为λ1=﹣1和λ2=4．（1）求实数a，b的值；（2）求直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．【答案】（1）；（2）5x﹣7y+12=0．【解析】（1）先写出矩阵A的特征多项式，再结合由于λ1=﹣1和λ2=4是此函数的零点即可求得a，b．（2）先直线x﹣2y﹣3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），根据矩阵变换得出它们之间的关系，从而求直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解：（1）矩阵A的特征多项式为：f（λ）=，即f（λ）=λ2﹣（b+2）λ+2b﹣2a，由于λ1=﹣1和λ2=4是此函数的零点，∴⇒（2）由上知，M=，设直线x﹣2y﹣3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），由=得到：，代入x﹣2y﹣3=0化简得到5x′﹣7y′+12=0．直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程5x﹣7y+12=0．点评：本题考查矩阵的特征多项式和特征值之间的关系，考查矩阵的变换的运用，属于基础题．8.给定矩阵，；求A4B．【答案】【解析】由题意已知矩阵A=，将其代入公式|λE﹣A|=0，即可求出特征值λ1，λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A4B进行计算即可．解：设A的一个特征值为λ，由题知=0（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3当λ1=2时，由=2，得A的属于特征值2的特征向量α1=当λ1=3时，由=3，得A的属于特征值3的特征向量α2=由于B==2+=2α1+α2故A4B=A4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2=+=点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．9.选修4﹣2：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量=（），并有特征值λ2=﹣1及属于特征值﹣1的一个特征向量=（），=（）．（1）求矩阵M；（2）求M5α．【答案】（1）M=（2）【解析】（1）利用待定系数法，即可求矩阵M；（2）确定，即可求M5α．解：（1）设M=则=4，∴①又=（﹣1），∴②由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=．…（4分）（2）易知，∴…（7分）点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．10.已知=是矩阵M=属于特征值λ1=2的一个特征向量．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）若，求M10a．【答案】（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M10=．【解析】（Ⅰ）依题意，M=，从而，由此能求出矩阵M．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M10．（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，M5=M3M2，M10=M5M5，由此能求出M10．解：（Ⅰ）依题意，M=，，∴，解得a=1，b=2．∴矩阵M=．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，则，∴，取x=1，得=，∴，∴M10==．（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，M5=M3M2==，M10=M5M5==，∴M10=．点评：本题考查矩阵与变换、特殊性征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．。
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狐狸野兔问题摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r xk r yxeyec --=为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。
在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。
只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。
只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。
问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
关键词：Volterra 模型Matlab 软件解析法周期性一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。
设t 时刻它们的数量分别为()y t 和()x t ,已知满足以下微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=xy x dtdx y xy dt dy02.049.0001.0 （1） 分析这两个物种的数量变化关系。
（2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？二、模型假设（1） 题目所给数据真实有效，野兔有充分的食物，狐狸只以野兔为食物； （2） 自然状态下，野兔独立生存时的相对增长率为正常数； （3） 自然状态下，狐狸独立生存时的相对增长率为负常数；（4） 野兔由于狐狸的存在使增长率降低，降低的程度与狐狸数量成正比； （5） 狐狸由于野兔为其提供食物使死亡率降低或使之增长，增长的程度与野兔的数量成正比；（6） 人工捕获不会影响野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。
三、定义与符号说明四、问题分析自然状态下，野兔和狐狸两物种存在被捕食与捕食关系，通过假设及各种参数的定义，建立微分方程描述两物种数量随时间变化的Volterra模型。
4.1问题（1）的分析为了直观的反映出两物种的数量变化关系，将题中所给数据和任意取定的初值代入模型中的微分方程组，并用matlab绘制图像，由图可大致得出两物种数量呈周期性变化；为了证明野兔与狐狸数量确实是周期函数，需从模型出发，得到相轨线)y图像为封闭曲线即可得野兔与(xy方程，并用matlab绘制图像，)(x狐狸数量呈周期性变化。
为了较全面说明两物种的数量变化关系，分别取三组不同的具有代表性的初值).200(,,（200500）500,200,200(),4.2问题（2）的分析令模型中两式皆为零即可求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
4.3问题（3）的分析在Volterra模型基础上引入人工捕获系数，野兔的增长率降低，狐狸的死亡率增加，对改进后的模型求得平衡状态，通过平衡状态分析人工捕获对两物种数量的影响。
五、模型的建立与求解5.1模型的建立分别以)(,(t y t x ）表示野兔和狐狸在时刻t 的数量。
假定野兔有充分的食物，而狐狸是以野兔为食物的。
野兔独立生存时，数量)(t x 的增长应服从马尔萨斯模型，但是有狐狸的存在，则被狐狸吃掉是野兔死亡的一个重要原因。
两物种相遇（发生被吃现象）是偶然的，相遇机会与两个群体规模乘积成正比，所以在马尔萨斯模型的基础上增加一项:xy r 1-，即xy r x k dtdx11-= 假定狐狸的出生率与群体规模)(t y 成正比，而真正能活下来的只是那些找到食物的（与野兔相遇部分），所以它的有效出生率与两物种规模成正比。
假定它的自然死亡率也与群体规模y 成正比，即xy r y k dtdy22+-= 所以在没有人类捕捞的情况下，给定野兔和狐狸的初始值)(00，，y x ，野兔与狐狸增长规律性可用常微分方程组描述（Volterra 模型）()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx（1）5.2模型的求解首先将式（1）的两式相除，消去dt 得到()()1122x k r dxdy y k r x -=-+ 这是可分离变量方程2211k r k r ydx dy x y-+-= 两边积分得到()y x 的通解()()2211k r xk r yxeyec --= （2）其中常数c 由初始条件确定。
式（2）的解)(),(t y t x 描述了野兔和狐狸的数量随时间的变化过程，但是得不到)(),(t y t x 的解析解，需要用数值算法求解。
5.2.1问题一的求解将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（1）和式（2）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=xy y dtdy xy x dtdx001.09.002.04（3）()()c e y e x y x =--002.04001.09.0为了分析野兔和狐狸的数量随时间的变化，任取三组数据)500,200(),200,200(),200,500(分别作为野兔和狐狸数量的初值，用Matlab 编程求得模型的数值解并绘制野兔和狐狸数量随时间变化的图像以及狐狸和野兔的数量变化关系图像，由以上两图得出野兔和狐狸数量呈现周期性变化。
Matlab 程序及得到的数值结果见附录，三组不同初值对应的()()t y t x ,及()x y 的图形分别见图1-甲——图3-乙从以上三图可以看出，不论初始时刻野兔和狐狸数量大小关系如何变化，两物种的数量变化都有如下规律：当狐狸数量增加时，野兔数量开始减少；狐狸数量达到峰值时便开始递减，然后野兔数量回升；野兔数量达到峰值后再次减少。
两种动物的数量都呈现出周期性的变化，各自达到一个峰值就会趋于平衡，但是两个峰值不在同一时刻达到，这符合捕食与被捕食的关系，是捕食与被捕食系统的振荡现象。
5.2.2问题二的求解令式（3）中两式为040.0200.90.0010dxx xy dtdy y xy dt⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩因20e >，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加 求得平衡点为()900,200，结合两物种数量变化关系图4-甲知野兔和狐狸的 平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
5.2.3问题三的求解考虑人工捕获，引入人工捕获系数1e 和2e 。
5.2.3.1只捕获野兔设只捕获野兔的捕获系数为1e ，此时野兔的自然增长率由1k 降为11e k -，狐狸的自然死亡率由2k 增为12e k +。
改进后模型为()()111212dxk e x r xy dtdy k e y r xydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （4） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（4）得()()1140.020.90.001dxe x xy dtdy e y xydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （5） 令式（5）中两式为0，得()()1140.0200.90.0010dxe x xy dtdy e y xy dt⎧=--=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩ 求得平衡点11110.990010000.0014200500.02e x e e y e +⎧==+⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩或 00x y =⎧⎨=⎩（舍去） 因10e >，所以捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加。
即Volterra原理：为了减少强者，只需捕获弱者 5.2.3.2只捕获狐狸设只捕获狐狸的捕获系数为2e ，此时野兔的自然增长率由1k 增为12k e +，狐狸的自然死亡率由2k 增为22k e +。
改进后模型为()()121222dxk e x r xy dtdy k e y r xydt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （6） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（6）得()()2240.020.90.001dxe x xy dtdy e y xydt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （7） 令式（7）中两式为0，得()()2240.0200.90.0010dxe x xy dtdy e xy dt⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩ 求得平衡点22220.990010000.001420050.02e x e e y e +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==+⎪⎩或 00x y =⎧⎨=⎩（舍去） 因20e >，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加。
六、模型的评价与推广6.1模型的评价（1）Volterra 模型给出了自然界存在捕食与被捕食关系的两物种数量变化的普遍模型，使其易于推广，有更实用的操作性；（2）利用MATLAB 软件编程绘图，直观清晰地反映狐狸与野兔两物种的数量变化关系；（3）人工捕获时，模型中假设不会影响两物种相遇的机会，没有充分考虑野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。
6.2模型的推广6.2.1推广一假设人工捕获使两物种相遇的机会变小，且改变值为ε，即方程中的系数1r ，2r 均变小了ε，此时只捕获野兔的模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-++-=])()[(])()([111212y r e k x dtdx x r e k y dt dyεε（8） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（8）求的平衡状态为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=εε02.04001.09.011e y e x 狐狸的数量与野兔的数量的比例：)02.0)(9.0()001.0)(4(11εεα-+--==e e xy在式（4）中，不同捕获系数1e 对应狐狸和野兔平衡状态的数量及狐狸与野兔数量的比例α如表1.数量00 000 100 200 300 400 500 600 700 00 900 狐狸的数量200195190185180175170165160155150α.222.195.172.154.138.125.113.103.0940.08610.0791e对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的数量的比例图5由图5知，考虑人工捕获对两物种相遇的影响后，只捕获野兔时，两物种平衡状态时的数量比变小，狐狸数量比野兔增加的快同理，只捕获狐狸的模型改变后求得的平衡状态为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=εε02.04001.09.022eyex狐狸的数量与野兔的数量的比例：)9.0)(02.0()001.0)(4(22eexy+--+==εεα在式（5）中，不同捕获系数2e对应狐狸和野兔平衡状态的数量及狐狸与野兔数量的比例α如表2.1e0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 野兔的数量900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 狐狸的数量200205210215220225230235240245250α0.2220.2050.1900.1790.1690.1600.1530.1460.1410.1360.131不同2e 对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的数量的比例图6。