2019-2020年高中数学 3.5.2：等比数列《教学与测试》第40、41课 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学 3.5.2：等比数列《教学与测试》第40、41

课 新人教A 版必修1

目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。 过程：

一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n 项和的公式

二、处理《教学与测试》第40课：

例一、（P83）先要求x ，还要检验（等比数列中任一项a n 0, q 0） 例二、（P83）注意讲： 1“设”的技巧

2 区别“计划增产台数”与“实际生产台数”

例三、（P83）涉及字母比较多（5个），要注意消去a 2, a 4 例四、（备用题）已知等比数列{a n }的通项公式且：，求证：{b n }成GP 证：∵

∴132********)2

1

(3)21(3)

21(3-----++=++=n n n n n n n a a a b 3333)2

1

(421)41211()21(3--=++=n n

∴ ∴{b n }成GP

三、处理《教学与测试》第41课：

例1、（P85）可利用等比数列性质a 1a n = a 2 a n 1, 再结合韦达定理求出a 1与a n

（两解），再求解。 例2、（P85）考虑由前项求通项，得出数列{a n }，再得出数列{}，再求和——

注意：从第二项起．．．．

是公比为的GP 例3、（P85）应用题：先弄清：资金数=上年资金×（1+50%）消费基金。然后逐一推算，用数列观点写出a 5，再用求和公式代入求解。 例4、 （备用题）已知数列{a n }中，a 1=2且a n+1=S n ，求a n ,S n 解：∵a n+1=S n 又∵a n+1=S n+1 S n ∴S n+1=2S n

∴{S n }是公比为2的等比数列，其首项为S 1= a 1=2, ∴S 1= a 1×2n 1

= 2n

∴当n ≥2时, a n =S n S n 1=2n 1

∴

例5、 （备用题）是否存在数列{a n }，其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数

列，且公比相同？

解：设等比数列{a n }的公比为q ，如果{S n }是公比为q 的等比数列，则：

⎪⎩⎪

⎨⎧≠--====--1

1)

1(1111

111q q

q a q na S q a q S S n n n n n 而

∴

)(111)1(,

11111

11矛盾得即：时n n q n

n na a n S S na q a S q n n n n =+==+=+====+-

)(11111,11111

1矛盾即：）（时=⇒=--=--==≠++-q q q

q S S q q a q

a S q n

n n n n

n n 所以，这样的等比数列不存在。

四、作业：《教学与测试》P84、P86 练习题

2019-2020年高中数学 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较名师

考点精讲北师大版必修1

[读教材·填要点]

1．三种函数的增长特点

(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．

(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．

(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．

2．三种函数的增长比较

在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.

[小问题·大思维]

1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？

提示：结合图像知一定成立．

2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？

提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.

[研一题]

[例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数型函数变化的变量是________．

[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．

[答案] y2

[悟一法]

解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．

[通一类]

1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：

试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？

(2)各函数增长的快慢有什么不同？

解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；

(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.

[研一题]

[例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

[自主解答] 设第x天所得回报是y元．