《证明二》学案第三课时
浙教版数学八年级1.3证明2课时学案设计
1.3证明（1）【知识盘点】1．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做_______．2．证明几何命题时，表述要按照一定的格式，一般为：（1）按题意________；（2）分清命题的________，结合图形，在“已知”中写出______，在“求证”中写出______；（3）在“证明”中写出______3．命题“两边上的高相等的三角形是等腰三角形”的条件是________，结论是___ __．4．已知∠A=（x-20）°，∠B=（80-3x）°，若∠A、∠B的两边分别平行且方向相同，则x=_______ ．5．在△ABC中，∠A+∠B=110°，∠C=2∠A，则∠A=______，∠B=_____ ．6．如图1所示，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=110°，∠2=________．(1) (2) (3)7．如图2所示，AB∥CD，CE平分∠ACD并交AB于E，∠A=118°，则∠AEC=_______．8．如图3所示，AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3+∠4=_______．【基础过关】9．如图4所示，a∥b，∠1为（）A．90°B．80°C．70°D．60°(4) (5) (6)10．已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11．如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．0个12．如图6，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，•有如下结论：①△ACE ≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【应用拓展】13．如图所示，已知AC∥DE，∠1=∠2．求证：AB∥CD．14．如图所示，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB，垂足为E，且∠CDG=∠BFE，∠AGD=80°，求∠BCA的度数．15．求证“等腰三角形两腰上的中线相等”．【综合提高】16．如图所示，A B∥DE．（1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论．（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D•之间的关系仍然满足（1）中的结论吗？若仍满足，请证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明（要求：•画出相应的图形）．1.3证明（2）【知识盘点】1．三角形的一个外角等于_________的两个内角的和．2．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠C=________．3．在△ABC中，∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于_______．4．如图1所示，△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30•°，则∠BEC的度数是_________．(1) (2) (3) (4)5．按第4题图所示，请你直接写出∠A，∠BEC，∠EDC之间的大小关系，用“<•”号连接____________．6．如图2所示，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________．【基础过关】7．如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形是（）A．锐角三角形; B．直角三角形; C．钝角三角形; D．都有可能8．若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（）A．55°B．70°C>55°或70°D．以上答案都不对9．若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：510．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠B+∠A=∠C B．∠A：∠B：∠C=2：3：5C．∠A=2∠B=3∠C D．一个外角等于和它相邻的一个内角11．如图3所示，在△ABC中，∠ABC与∠BAC的平分线相交于点O，若∠BOC=120°，则∠A为（）A．30°B．60°C．80°D．100°12．如图所示，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE•交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．100°【应用拓展】13．如图4所示，点B，D，E，C在同一条直线上，且∠1=∠2，BD=EC，求证：△ABE≌△ACD．14．如图所示，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．【综合提高】15．如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变；（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．。
九年级数学《证明(二)、(三)》专题学案
九年级数学证明（二）、（三）学案 姓名：一、复习准备内容分析证明（二）（三）是在八年级学习证明（一）的基础上的延续和深化，也是后续学习的重要基础，更是中考的必考内容，本部分的重点是要求会用分析法、综合法、两头凑发证明与全等三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、特殊平行四边形、等腰梯形等有关的问题。
复习目标1、 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理证明的意识和能力。
2、 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和格式。
3、 结合实例体会反证法的意义，了解逆命题的概念，会识别互逆的两个命题。
4、 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，已知底边和底边上的高会作等腰三角形。
5、 能够利用综合法证明与全等三角形、等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线等有关的性质定理、判定定理及相关的结论。
6、 熟练掌握平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等有关的性质定理与判定定理，并会用这些定理进行有关的证明与计算。
知识结构二、复习过程 专题一、全等三角形知识整理1、 全等三角形的判定公理①：三边 的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角 的两个三角形全等；公理③： 的两个三角形全等；推论： 的两个三角形全等。
2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边 、对应角 。
典例分析例：（2010年吉林）如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=ＢＣ，CE ⊥BE ，CE 与AB 相交于点F ，AD ⊥CF ，垂足为D ，且AD 平分∠FAC ，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。
FCAEBD公理等腰（边）三角形的结论直角三角形的结论一般三角形的结论掌握证明的方法逆命题、命题的真假尺规作图三角形的中位线定理 梯形等腰梯形的性质和判定平行四边形矩形、菱形、正方形性质、判定练习11、（2010年同仁）如图2，△ABC ≌△DEF ，BE=4，AE=1，则DE 的长是 （ ） （A ）5（B ）4（C ）3（Ｄ）2图2DEFA BC图3D ABCEF2、（2010年金华市）如图3，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE 。
春七年级数学下册 2 证明教案 (新版)苏科版
12.2 证明（1）
教学目标1．能在观察、实验、操作的基础上，对所作的猜想加以证实；
2．通过积极参与，获得正确的数学推理方法，理解数学的严谨、严密性，并培养与他人合作的意识．
教学重点学会判断一个数学结论必须一步一步、有理有据地进行推理并进一步感受说理的必要性．
教学难点初步学会说理，并发展有条理的思考和表达的能力．
教学过程（教师）学生活动设计思路情景导入
同学们听说过或见过海市蜃楼吗？
夏天，平静无风的海面或沙漠上，有时能看到
楼台、亭阁、集市、庙宇等虚幻景象出现在远方的空中……
自然界中看到的景象是真实存在的吗？学生各自发表意见和想法．
较好地发挥了“情景导入”的作用，在好
奇心的驱动之下，学生欲罢不能，很容易就产
生了继续学习、探索新知识的欲望．
探究活动一
先猜一猜图中的两条线段AB与CD
哪一条长一些？
请再量一量证实你的猜想．
学生观看思考动手操作并回答．
通过观察和实验操作来证实自己的判断是
否有误，生活中有，数学中有时也有类似的现
象．
D
C
B
A
例题讲解
例 1 有两条如图所示小路，这两条小路哪个长？这两条小路的
面积怎样？
感受说理的必要性和重要性，从而激发学
观察、思考、说理．
生追求真理的兴趣和欲望．。
北师大版九年级上 证明(二)复习课导教案.doc
问题[1]：你能发现并证明这个图形中的全等三角形吗？
[2]：你能发现并证明线段AD,BE,DE之间的关系吗？
小强顺利的做出了解答，你也来试试吧！
（2）小强借题发挥，将直尺位置稍作改变，以相同的问题问小军，你能帮助小军做出正确解答吗？
6、角的性质定理：
逆定理：
已知角ABC,用直尺和圆规作出它的角平分线：
三角形的角平分线性质：
7、三角形全等的判定方法有。
8、说出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是。
学习困惑记录
二、课堂复习
一、等腰三角形
1、已知，等腰三角形的一条边长等于 ，另一条边长等于 ，则此等腰三角形的周长是（）
A． B． C． D． 或
A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm
3.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
五、三角形全等
1、如图：已知P,O是线段CD垂直平分线上的点，A,B分别是射线OC,OD上的点，且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.
求证：[1]OC=OD;
2.下列各语句中，不是真命题的是
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P在角的平分线上
D.对顶角相等
3、.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
七、综合
小军和小强互相编数学题考察对方：
崂山八中九年级数学复习课导学案
浙教版八下4.2证明教案3课时
4.2证明（1）【教学目标】1．了解证明的含义。
2．体验、理解证明的必要性。
3．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
【教学重点、难点】➢重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式➢难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。
【教学过程】一、新课引入教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图：比较线段AB和线段CD的长度。
通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性二、新课教学1、合作学习参考教科书P74：一组直线a、b、c、d、是否不平行（互相相交），请通过观察、先猜想结论，并动手验证2、证明的引入（1）命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗？请说明理由分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。
教师对具体的说理过程予以详细的板书。
小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。
（2）通过例2的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求例2、证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。
证明过程的具体表述（略）小结：证明几何命题的表述格式（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。
（3）练习：P76课内练习2三、例题教学例2、已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO求证： AB∥CD （证明略）四、练习巩固P76 课内练习3五、小结（1）证明的含义OABCDB C A （2） 真命题证明的步骤和格式（3） 思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？六、作业布置4.2证明（2）【教学目标】１．进一步体会证明的含义；２．探索并理解三角形内角和定理的几何证明； ３．进一步熟练证明的方法和表述；４．让学生体验从实验几何向推理几何的过渡． 【教学重点、难点】➢重点：探索三角形内角和定理的证明，进一步掌握证明的方法和表述．➢难点：例１是由较复杂的题设条件得出若干结论，用到多个定理，是本节的难点 【教学过程】一、复习证明的一般格式和表述，导入新课．通过一个简单的命题的求证过程，让学生自己回顾证明一个命题的一般格式，并用自己的语言进行表述．（1）求证：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 设问：①如何写出已知、求证，并画出图形②如何进行证明（可由学生口述）（2）根据上述题目结合学生的回答引导学生归纳出证明一个命题的一般格式： ①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程． 二、合作交流，探究新知（一）通过一个简单的例子向学生简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证，让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡。
北师大九年级(上)证明(二)第8课时讲学案
顺德一中实验学校讲学案数学科初三年级上册第一章证明（二）编号：第8张课题名称 1.4 角平分线（1）拟稿人:陈平审稿人: 何佑党时间: 月日班级______ 学号_______ 姓名________学习目标：1、经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明角平分线的性质定理和判定定理．2、能够利用尺规作已知角的平分线．学习重点：运用公理和所学过的定理证明角平分线的性质定理和判定定理．学习难点：性质定理和判定定理在应用上的区别及各自的作用。
学习过程：一、自学指导：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．定理：角平分线上的点到这个角的两边的21EDCPOBA二、合作交流；1.将定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”改写成“如果…那么…的形式”。
2．写出该定理的逆命题。
3．判断你写出的命题是否为真命题？如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明。
4.作图：用尺规作已知角的平分线。
已知：∠AOB(如图) 求作：∠AOB 的平分线．ABO三、随堂练习：1. 如图，AD 、AE 分别是△ABC 中∠A 的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？FEDCB43212.如图,一目标在A区,到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20000).四、课堂小结：1.本节课你学到了哪些知识?2.本节课用了哪些数学的思想方法?五.提高练习1.作一个三角形三个内角的平分线,你发现了什么?2.已知:如图,在⊿ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.3. 如图,在⊿ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,作AB的垂直平分线, 交AB于点D, 交AC于点E, 连接BE, 则BE平分∠ABC.请证明这一结论.你有几种证明方法?4. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且P 到∠AOB 两边的距离相等.五、提高练习1.(1)在⊿ABC 中，∠C=90°锐角A 的平分线与锐角B 的邻补角的平分线交于D ，则角ADB 的度数是多少？AE(2)在(1)的条件下继续作⊿ABD 对应的∠D 1, ∠D 2, ∠D 3,...,∠D n ,如此作下去，这些角有什么关系？AE。
第一章证明(二)复习学案
第一章证明（二）复习学案一、梳理知识：1、全等三角形（1）定义：能够完全的三角形是全等三角形。
（2）性质：全等三角形的、相等。
（3）判定：“SAS”、、、、。
2、等腰三角形（1）定义：有两条的三角形是等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的相等。
（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
( )③等腰三角形是图形。
（3）判定：①定义②“”（4）等边三角形定义：的三角形是等边三角形。
性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。
判定：①定义②有一个角是等边三角形。
3、直角三角形（1）定义：有一个角是的三角形是直角三角形。
（2）性质：①“勾股定理”。
②直角三角形两锐角。
③直角三角形斜边上的中线等于。
④在直角三角形中，30°角所对直角边等于。
（3）判定：①定义②两锐角的三角形是直角三角形③“勾股定理逆定理”。
4、角平分线（1）定义：。
（2）性质：①角平分线上的点相等。
②三角形的三条角平分线，且到相等。
（3）判定：到角的两边的点，在这个角的平分线上。
（4）角平分线的作法：5、线段的垂直平分线CD （1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等。
②三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。
（3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。
（4）线段的垂直平分线的作法：6、命题：判断一件事的句子叫命题。
命题有 与 两部分。
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。
7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．二、典型例题： 一、选择题1、到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的（ ）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边中垂线的交点 2、已知等腰三角形的两边长分别为4㎝和2㎝，则其周长是（ ） A. 6㎝ B. 10㎝ C. 10㎝或8㎝ D. 8㎝3、如图，从等腰△ABC 底边BC 上任意一点分别作两腰的平行线DE 、DF ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则□AFDE 的周长等于这个等腰三角形的( ) A. 周长 B. 周长的一半 C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长4、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的大小是（ ） A.45° B.50° C.55° D.60°5、如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（ ） Ａ．10ｃｍ Ｂ．8ｃｍ Ｃ．5ｃｍ Ｄ．2．5ｃｍ6、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC 的长等于（ ）Ａ．22 ｃｍ Ｂ．32 ｃｍ Ｃ．23 ｃｍ Ｄ．33ｃｍ 7、下列说法中正确的是 （ ） A ．平均数一定在数据中出现 B ．众数一定在数据中出现 C ．中位数一定在数据中出现D ．以上都正确8、等边三角形的高为23，则它的边长为（ ） A.4B.3C.2D.59、下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5B.a =1，b =34，c =35C.a =9，b =12，c =15D.a =3，b =2，c =5 10、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ） A.5 cm B.6 cmC.5 cmD.8 cm11、下列定理中逆定理不存在的是（ ） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等 12、下列说法正确的是（ ）A.真命题的逆命题是真命题B.每个定理都有逆定理 C ．每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题 二、填空题1、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是 度.2、命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是__________________________。
八年级数学下册 4.2《证明》学案(3) 浙教版
八年级数学下册 4.2《证明》学案（3）浙教版4、2 证明 (3)【学习目标】1、继续学习证明的方法和表述2、通过探求，让学生归纳和掌握证明的两种思考方法【学习过程】判定两个三角形全等有哪些方法?例5、已知：如图，AD是ΔABC的高，E是AD上一点，若AD=BD，DE=DC，求证：∠1=∠C点拨：方法1：要证明一个结论,可以从已知出发,推出可能的结果,并与证明的结论比较,直至推出要证明的结论、 (1)由已知AD是△ABC的高,可以得到什么?(2)由已知AD=BD,DE=DC, ∠BDE=Rt∠=∠ADC,可以得到什么结论?（3)据此,你能得到∠1=∠C吗?点拨：方法2：从要证明的结论出发,探索要使结论成立,需要什么条件,并与已知对照,充分利用已知条件,直至找到需要,并且这个最后的需要是已知的条件,从而达到证明的目的、(1)要证明结论∠1=∠C，这里可去证明哪两个三角形全等？________________ (2)要证这两个三角形全等，要哪三个条件？________________________从已知可得到吗？_____________________________________________例6 已知:如图,AD是三角形纸片ABC的高、将纸片沿直线EF折叠,使点A和点D重合、求证:EF∥BC、证明:点拨：(1)由将纸片沿直线EF折叠,使点A和点D重合可知,点A和点D关于直线EF_______(2)对称轴是______(3)由此可得,EF与AD有怎样的位置关系?_________探讨证明的思路: （1）从已知出发：（2）从要证明的结论出发：方法3：对比较复杂题，往往把两种思考方法结合运用，从已知出发得到什么，从求证出发你需要什么，从而沟通已知与未知的联系，证明题要学会有序思考。
当堂练习：书作业题学习材料：你听说过费马点吗?如图，P为△ABC所在平面上的一点、如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120 ，则点P就是费马点、费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小、假设A，B，C表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短、若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上、请按下列步骤对费马点进行探究：(1)查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景；(2)在特殊三角形中寻找并验证费马点、例如，当△ABC是等边三角形，等腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质?(3)把你的探究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善你的小论文、(课本第82页)。
1.3证明二5_课时学案
九年级上期数学学案第一章证明（二）3.线段的垂直平分线（第一课时）线段垂直平分线的性质定理是什么线段垂直平分线的判定定理是什么用尺规作线段的垂直平分线 已知： 求作： 作法：用尺规作线段的中点 已知： 求作： 作法： 我们曾利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，你能证明这一结论吗？ 已知：. 求证：证明： 画图你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它 已知： 求证：证明： 画图当堂练习1．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，直线l 经过点C ，则 ( )A ．l 垂直AB B ．l 平分ABC ．l 垂直平分ABD ．不能确定 2．如图，ED 为△ABC 的AC 边的垂直平分线，且AB=5，△BCE 的周长为8，则BC ＝ .1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，若DB ＝10cm ，则AC ＝ .2．在△ABC 中，AB=AC ，∠A ＝58°，AB 的垂直平分线交AC 于N ，则∠NBC = .线段的垂直平分线（第二课时）利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你发现了什么的结论？结论三线共点的证明方法已知底边上的高，求作等腰三角形. 已知：线段a 、b求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h.作法：画图 证明线段垂直平分线的相关结论 已知：. 求证：证明： 画图当堂练习1、到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边中垂线的交点 2、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70°3、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D ，则∠BCD 的度数是 .1如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分DAB ，且AB=AC ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=21∠DAB ；④△ABC 是正三角形。
证明(2)教案
1.1你能证明它们吗（1）教学目标：知识目标：了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
技能目标：能够证明等腰三角形的有关性质定理，能用等腰三角形的性质解决实际问题。
情感目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
培养学生的探索精神和合作意识，养成数学逻辑思维习惯。
教学重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：能够证明等腰三角形的有关性质定理，能用等腰三角形的性质解决实际问题。
教学方法：观察法、讨论法、练习法。
教学过程：一．复习：回忆《证明（一）》一章中所学公理，引出新知识。
本套教材选用如下命题作为公理 :1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.二．新课讲解：由公理5、3、4、6很容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）证明过程：先让学生写成“已知……，求证……”的形式后再证明。
如图，已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF，求证：△ABC≌△DEF注意：这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
三．议一议：（1）什么是等腰三角形？（2）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（3）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？定理：等腰三角形的两个底角相等。
注意：等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
证明过程：先让学生写成“已知……，求证……”的形式后再证明。
如图，已知在ABC 中，AB ＝AC 。
求证：∠B ＝∠C四．想一想：在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
《证明二》教案
A B D E C课题 §1.1.1你能证明它们吗？ 课型 新授课 课时 1 教师教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理。
重点 了解所学公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。
难点 证明等腰三角形性质时辅助线做法。
教法 合作探究学法 合作交流时间2013年9月一、 初生牛犊不怕虎，让我来探索：1、 前置准备：请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。
2、 列举我们已知道的公理：、（1）公理：同位角 ，两直线平行。
（2）公理：两直线 ，同位角 。
（3）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ） （4）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ） （5）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ）（6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 。
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。
你能解决这个问题么？引例、已知如图，△ABC 中AB ＝AC ，点D 、E 在BC 上且AD=AE ，求证：BD=CE学习困惑记录 A B C FED二、讲授新课探索一：三角形全等的判定1、判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？推论: （简写为）你能证明吗？已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF，求证：△ABC≌△DEF索二：等腰三角形的性质定理1、等腰三角形性质：等腰三角形的两个相等（简称：等对等）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C证明一：取BC的中点D，连接AD2、推论：等腰三角形的顶角的、底边上的、底边上的互相重合（简称：）3、请证明：推论2：等边三角形的三个角都是，并且每个角都等于。
二、我的课堂我做主1、在△ABC和△DEF中，以下四个命题中假命题是【】A、由AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，可判断△ABC≌△DEF；B、由∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，可判断△ABC≌△DEF；C、由AB=DE，AC=DF，BC=EF，可判断△ABC≌△DEF；D、由∠A=∠D，∠B=∠E，AC=EF，可判断△ABC≌△DEF。
证明二 北师大八年级下数学 教案
3 1 2
C、 6 2
6 2 2
）
6、 一个等腰三角形底边上的高是 4，周长是 16，则三角形的面积是（ A、24 B、12 C、10 D、8
7、 如图， ΔABC 中 ， AD⊥BC， 垂足为 D， 下列条件： （1） ∠B+∠DAC=900； (2） ∠ B=∠ DAC； CD AC (3) = ； （4） AB2 =BD· BC， 其中一定能够判定△ABC AD AB 是直角三角形的共有（ ） A、3 个 B、2 个 C 、1 个 D、0 个
教
学员
授课时间： 年
师 教 案
课程
时 分至 时 分 第( )次课
教师
月 日
教学 证明（二） 内容 1、能准确的找出两个三角形的等量关系，证明两个三角形全等； 教学 2、 灵活运用各性质解决实际问题。 目标 重点：1、等腰三角形、等边三角形的性质和判定 教学 2、特殊直角三角形的计算与证明 3、线段垂直平分线的做法，角平分线的做法利用等腰三角形、线段垂直平 重点 分线、角平分线的性质灵活解题 难点
。 。
A
。 。
B
C
9、说出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是
。
二、典型例题
2 1、 （2013•雅安） 若 （a﹣1） +|b﹣2|=0， 则以 a、 b 为边长的等腰三角形的周长为
．
2、 （2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架，若 AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠ A 的度数
8、 在 ΔABC 中，AC=5，中线 AD=4，则 AB 边的取值范围是 （ ） B、3＜AB＜13 B、120 C、5＜AB＜13 C、60 或 50 D、9＜AB＜13 D、60 或 120
数学：2.4《证明(2)》教案(湘教版九年级上)
求证：∠2=130°.
分析：思考方法一：
c∥d→∠3+∠5=180°,→∠1+∠2=180°→∠2=130°.
思考方法二：
∠3+∠4=180°→∠1+∠2=180°,∠2=130°.
说明：通过多种思考方法的交流，促进学生发散思考，并在交流中，发展学生的合乎逻辑的思维、有条理的表达能力.
教学后记：
请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程.
四、课堂练习：
课本P137练习第1、2题
五、小结与思考
(一)小结本节课你有什么收获？
(二)思考：如图2，AB∥CD，∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是( )
A. 60°B. 70°
C. 80°D. 65°
六、中考链接
已知：如图4，AD∥BC，∠ABC=∠C，
重点
从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.
难点
证明的基本步骤和书写格式，推理的合理性.
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学得分
1、下列命题中不成立的是( )
A.两直线平行，同位角相等；B.两直线平行，内错角相等；C两直线平行，同旁内角互补；D.两直线平行，同旁内角相等。
2、如图，已知AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥DC。
3、如图，∠BDE＋∠B=1800，∠AED=800，则∠C=____。
4、如图，AD平分∠BAC，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG∥AD，EG交AB于点F，求证：AF=AG。
二、新课
(一)、情境创设：
1.我们曾探索、发现了有关平行线的那些结论?
八年级数学下册 4.2《证明》学案(2) 浙教版
八年级数学下册 4.2《证明》学案（2）浙教版4、2 证明 (2)【学习目标】1、进一步体会证明的含义；２、探索并理解三角形内角和定理的几何证明；３、进一步熟练证明的方法和表述；４、体验从实验几何向推理几何的过渡【学习过程】1、复习证明的一般格式和表述，①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；A ③在“证明”中写出推理过程、2、例3、求证：三角形三内角和等于180CB分析：（1）并根据条件和结论画出图形，写出已知:求证:（2）之前是用实验方法加以说明:将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。
（3）请同学们思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，________线容易产生相等的角？1、在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）。
他的想法可行吗？请证明:请同学们再思考，除了选三角形顶点作平行线之外，还有没有其他方法?问：三角形内角和外角之间有什么关系？_________________________________________________________ _____________________________________________练习：书上做一做例4、已知：如图，AD是∠BAC的角平分线，BC⊥AD于点O，AC⊥DC于点C、求证：（1）⊿ABC是等腰三角形；（2）∠D=∠B、点拨：（1）要证明⊿ABC是等腰三角形，只需证明什么？________________________（2）证明两边相等或两角相等常用的方法是什么？____________ 图中能否找到以AB，AC为对应边的全等三角形？是____________⊿ABO与⊿ACO全等吗？______应该满足什么条件？____________ （3）要证明∠D=∠B，你能找到合适的全等三角形吗？是____________ 根据已知AC⊥DC，能得到∠D与三角形中哪个角互余？____________ 根据已知BC⊥DA，能得到∠B与三角形中哪个角互余？____________ 小结：此题是由结论出发寻求解题思路，这是常用的一种数学方法――分析法、当堂练习：书上作业题证”三角形三内角和等于180”的其它方法:1、证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，证明：2、可在BC边上任意取一点P，作PD∥AB，交AC于点D；作PE∥AC，交AB于点E。
证明(二、三)复习学案讲课教案
9、在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连 接 PB、 PQ，则△ PBQ 周长的最小值为 ____________cm( 结果不取近似值 ) ． 10、四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，点 G，E 分别是边 AB 、BC 的中点，∠ AEF ＝ 90o， 且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．
1、定义：
2、性质：（ 1）等边对等角
已知：
求证： 证明： （ 2）等腰三角形三线合一（为什么？）
还有很多，如：
a) 等腰三角形两腰上的高相等。
b) 等腰三角形两腰上的中线相等。
c) 等腰三角形两底角平分线相等。
d) 等腰三角形底边上任一点到两腰的距离和等于一腰上的高。
3、判定：（ 1）定义： （ 2）等角对等边：
易证△ AME ≌△ ECF，所以 AE ＝ EF．
4
4、如图 4，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，将其沿 EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周 长之和为 ________________ 。
5、如图 5，将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 D
点与 BC 边的中点
/
D
重合，若
BC＝8， CD ＝ 6，
是菱形．其中，正确的有 _________( 只填写序号 ) 3、如图，四边形 ABCD 是正方形．点 E 是边 BC 的中点．∠ AEF ＝ 90 o，且 EF 交正方形外角
∠ DCG 的平分线 CF 于点 F．求证： AE ＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取
AB 的中点 M ，连接 ME ，则 AM ＝ EC，
经典课本练习
已知：如图， AD 是△ ABC 的角平分线，且 BD=CD ， 求证： AB=AC
沪科版八年级上第二课时《证明》第3课时学案
第四课时证明（三）教学目标1、学会应用推论1、推论2解决实际问题，发展符号意识.2、经历探究三角形外角概念以及有关推论的过程，掌握几何证明方法和几何语言表达.3、培养演绎推理的思维方法，感受几何知识的实际应用价值.重、难点与关键重点：领悟有关三角形外角的推论，掌握几何推理方式.难点：对逻辑推理思想的理解和运用.关键：把握三角形内角和，以此延伸到三角形外角的有关推论.教学过程一、回顾交流，拓展知识1、课堂演练如下图（左）所示，已知在⊿ABC中，BD、BC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A=700，求∠D的度数.2、外角引入：观察如上图（右）所示的三角形.定义：由三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.教师提问：上述右图中，∠ACD是⊿ABC的外角，同样∠1和∠2也都是⊿ABC的外角，那么∠ACD 与∠BAC和∠ABC之间有什么关系呢？∠ACD与∠BAC或∠ABC又有什么关系呢？推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.二、范例学习，应用所学例1 （见课本81页例5）已知：如下图（左），∠1、∠2、∠3是⊿ABC的三个外角.求证：∠1+∠2+∠3=3600例2 如上图（右）所示，已知⊿ABC的外角∠ABD的角平分线与∠C的角平分线CF的延长线交于E，若∠A=700，求∠E的度数.三、课堂练习，巩固深化1、课本81—82页练习第1，2题.2、如图所示，五角星ABCDEF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.3、已知：如图所示，在⊿ABC中，∠DBF是它的一个外角，E为边AC上的一点，延长BC 到D，连接DE，求证：∠DB F＞∠EDC.四、课堂总结，发展潜能1、三角形的一个外角，就是三角形一个内角的邻补角.2、根据外角定义可知，外角有三个特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上.（2）一条边是三角形的一边.（3）另一条边是三角形某边的延长线.因此，可以根据这三点来判断三角形的外角.3、推理2和推理3在理解和应用中，要明确“不相邻”三个字的意义，否则就会出现错误.五、布置作业，反思提炼课本83页习题14.2第7，8，9题.选用课时同步作业.六、教学设计与课后反思。
12.2证明(2)学案
FE321DCBA12.2证明(2)(学案)班级 姓名 学号 【必做题】1．如图所示，下列推理及所注理由正确的是 （ ） A ．因为∠1=∠3，所以AB ∥CD （两直线平行，内错角相等） B ．因为AB ∥CD ，所以∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） C ．因为AD ∥BC ，所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） D ．因为∠2=∠4，所以AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）2. 如图，下列推理正确的是 （ ） A ．∵MA ∥NB ，∴∠1=∠3 B ．∵∠2=∠4，∴MC ∥ND C ．∵∠1=∠3，∴MA ∥NB D ．∵MC ∥ND ，∴∠1=∠3第1题图 第2题图 第3题图3.看图填空：如图，已知∠ADC ＝∠ABC ，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，且∠1＝∠2， 求证：∠A ＝∠C.证明：∵BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC(已知)∴ ∠1＝21∠ABC ，∠3＝21∠ADC ( ) ∵∠ABC ＝∠ADC(已知) ∴21∠ABC ＝21∠ADC ( ) ∴∠1＝∠3( ) ∵∠1＝∠2(已知)∴∠2＝∠3( )∴ ∥ ( )∴∠A ＋∠ ＝180º ，∠C ＋∠ ＝180º( ) ∴∠A ＝∠C( )4. 已知：如图，AD ∥BC ，∠BAD=∠DCB ．求证：∠1=∠3．5. 求证：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．【选做题】1. 如图，已知AB ∥CD ，求证：∠α＋∠β－∠γ＝180º2．如图是小明设计的智力拉力拼图玩具的一部分，现在小明遇到了两个问题，请帮助解决， (1)已知∠HEB ＝50°，∠GHE ＝110°，要使AD ∥BC ，∠AGH 应为多少度？ (2)当∠DPF 、∠PFQ 、∠FQC 之间有怎样的数量关系时，PD ∥QC ？请说明理由.【预学导航】回顾三角形的内角和定理及推论.完成时间：__________家长签字：_________αγβEDCBA。
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C
A B B C C
A
B 内容：§1.1.3 你能证明它们吗 班级： 姓名：
一、学前准备
1、用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”应先假设 。
2、△ABC 为等边三角形，AD ⊥BC ，则∠的关系是 。
3、右图中，∠B=35°，∠ACD=70°，则AC 二、自我检测 A 、填选训练 1、Rt △ABC 中∠C=90°∠BC=4，则AB= ， AC= 。
2、右图，△ABC 中，AB=AC ，BD=6， ∠C=30°，AB ⊥AD ，则BC= ，。
3、等边三角形既是 对称图形，有 条对称轴；但不是 对称图形，若绕旋转中心至少旋转 °就能与原来的三角形重合。
4、△ABC 中，AB=AC,则下列选项不可能的是（ ）
A 、∠A=120°
B 、 ∠B=120°
C 、∠A= 70°
D 、∠B=70°
5、△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3且CD ⊥AB 于D ，则BD:AB= 。
三、学习回顾
1、定理：有一个角等于 的等腰三角形是 。
2、定理： 三角形中， 的角所对的边等于 的一半。
四、巩固训练
A 、直接运用：1、斜边为10的直角三角形中，有一个角为30°，则较短的直角边为 。
2、底角为15°的等腰三角形的腰长为4，则该三角形的面积为 。
B 、解答训练：
1.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D,∠1）若BD=2㎝,求AB 的长；2）若CD=33，求AB
2、已知△ABC 中，∠ABC,∠ACB 的平分线相交于F,过F 作DE ∥BC,交AB 于D,
交AC 于E ，请探索：BD,CE,DE 之间存在的关系。
C 、思维拓展： 等边三角形△ABC 中，AE=CD,A
D 、B
E 相交于 M ，BN ⊥AD 于N ，求证; BM=2MN。