2009-2010(1)线性代数A卷解答

广州大学2009-2010学年第一学期考试卷
线性代数A 卷 参考解答与评分标准
一.填空题(每小题4分,本大题满分20分)
1.设(1,2)=α,(2,1)=β,T
=A αβ,则2142⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,121442n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭
A .
2.设矩阵A 的逆矩阵11011-⎛⎫=
⎪
⎝⎭A ,则T 1
11()01-⎛⎫= ⎪⎝⎭
A ,*1
10()
11-⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
A .
3.设123111(,,)12323a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
ααα,则123det(,,)=ααα4a -,当a =
4
时,向量组
123,,ααα线性相关.
4.已知矩阵1234523456357911⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ,则秩()R =
A 2
,齐次线性方程组=Ax 0的解
空间的维数等于3.
5.已知方阵10121604y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 与对角矩阵10001000x ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
相似,则x =
2,y =1
-.
二.选择题(每小题3分,本大题满分12分)
1.设n 阶方阵A 满足关系式3
=A O ,则必有( D ).
(A)=A O ; (B)2=A O ; (C)*
=A O ; (D)12
()--=++I A I A A .
2.设A 是3阶矩阵,A 的第二列乘以2为矩阵B ,则T A 的( A )为T
B . (A)第二行乘以2; (B)第二列乘以2; (C)第二行乘以12; (D)第二列乘以12
. 3.设3阶矩阵A 的秩()2R =A ,则*
()R =A ( B ).
(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.
4.设向量组1:,,r A αα可由向量组1:,,s B ββ线性表示,则( C ). (A)当s r <时,向量组A 必线性相关; (B)当s r <时,向量组B 必线性相关; (C)当s r >时,向量组A 必线性相关; (D)当s r >时,向量组B 必线性相关.
三.(本题满分8分)
判断矩阵1000110001100012⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
A 可逆,并求其逆矩阵1-A . 解 因||20=≠A ,所以矩阵A 可逆. …… (2分)
按方法1(,)(,)r
-−−→A I I A 求1-A : …… (4分)
1000100011000100(,)0110001000120001⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A I 10001000010011000010111000021111r ⎛⎫ ⎪ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 111122221000100011000100111000100001r ⎛⎫ ⎪
⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
, 所以 111112222100011001110-⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A . …… (8分)
四.(每小题5分,本大题满分10分)
1.计算行列式0001
0010111a a b
D a b
c
a b c d a b c d -=---------.
解 21
021
021*******
001
a b
c
d b c d D c d d = …… (3分) 16abcd =. …… (5分)
2.设12,,,αααβ为3维列向量,矩阵12(,,)=A ααα,12(2,,)=B ααβ,且已知行列式
det 1=A ,det 2=-B ,计算det(2)+A B .
解 det(2)+A B 12det(4,3,2)=+αααβ …… (1分)
1212det(,,2)=+αααβ …… (2分) 121212[det(,,2)det(,,)]=+αααααβ …… (3分)
1
12[2det det ]2
=+A B …… (4分)
12=. …… (5分)
五.(本题满分12分)
确定a 的值使线性方程组123412341
234212427411x x x x x x x x x x x x a
-++=⎧⎪
+-+=⎨⎪+-+=⎩有解,并求其解.
解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:
21111(,)1214217411a -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
A b …… (2分)
121422*********r
a -⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭1214
20537305372r a -⎛⎫ ⎪−−→--- ⎪ ⎪--⎝⎭
121420537300005r
a -⎛⎫ ⎪−−→--- ⎪ ⎪-⎝⎭
. …… (6分)
当5a =时,方程组有解. …… (8分) 此时,同解方程组为 1234234242
5373x x x x x x x +-+=⎧⎨
-+-=-⎩
. …… (9分)
令3142,x k x k ==,求得通解为
121234164555373555100010x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,12
,k k 为任意数. …… (12分)
六.(本题满分12分)
设12121314(,,,)431010561114⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
ααββ,问
(1)向量组12,ββ可否由向量组12,αα线性表示？若可以,写出线性表示式;
(2)向量组12,ββ与向量组12,αα是否等价？
解 (1) 12121314(,,,)09660966r
⎛⎫ ⎪−−
→-- ⎪ ⎪--⎝⎭ααββ131409660000r ⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭
. …… (3分) 于是121212(,,,)(,)2R R ==ααββαα,所以12,ββ可由12,αα线性表示. …… (5分) 12121314(,,,)09660000r ⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭ααββ22331032010000r ⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪⎝⎭
, 因此 112233=-βαα,2122
23
=+βαα. …… (9分)
(2) 易知12(,)2R =ββ,所以
12121212(,)(,)(,,,)R R R ==ββααααββ,
从而12,ββ与12,αα等价. …… (12分)
七.(本题满分13分)
已知矩阵3223⎛⎫= ⎪⎝⎭
A ,(1)求矩阵A 的特征值和特征向量;(2)计算1()5n n
f +=-A A A .
解 (1) 矩阵A 的特征多项式为
32
||(1)(5)23
λλλλλ---==----I A ,
矩阵A 的特征值为121,5λλ==. …… (3分) 当11λ=时,解()-=0I A x ,得基础解系111-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
p ,
对应于特征值11λ=的全部特征向量为11k p (01≠k ). …… (5分) 当25λ=时,解(5)-=0I A x ,得基础解系211⎛⎫= ⎪⎝⎭
p , 对应于特征值25λ=的全部特征向量为22k p (02≠k ). …… (7分)
(2) 取1111-⎛⎫=
⎪⎝⎭P ,则1
1005-⎛⎫== ⎪⎝⎭P AP Λ. …… (8分)
于是1
-=A P ΛP ,
1()()f f -=A P ΛP …… (10分)
11(1)0111()110
(5)112f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …… (12分)
11401111100112---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. …… (13分)
八.(本题满分7分)
设A ,B 为n 阶方阵,I 为n 阶单位矩阵.计算
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
I I A B I I O
I B A O I , 并由此证明
||||=+⋅-A B
A B A B B A
.
解 -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭I I A B I I O I B A O I ++-⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
A B B A I I B A O I
+⎛⎫= ⎪-⎝⎭A B
O B
A B , …… (4分)
上式两边取行列式,得
-⋅⋅I I A B I I O I B A O I +=-A B O
B
A B
…… (5分) 由
1,1-==I I I I O I O I ,+-A B
O
B A B
||||=+⋅-A B A B ,
即得所证. …… (7分)
九.(本题满分6分)
设n 维向量a 与b 正交,证明2
2
2
||||||||||||+=+a b a b .
证明 因a 与b 正交,故[,]0=a b . …… (1分) 于是 2
||||[,]+=++a b a b a b …… (2分)
[,][,]=+++a a b b a b [,][,][,][,]=+++a a a b b a b b
[,][,]=+a a b b 22||||||||=+a b . …… (6分)。