2016年高考数学复习参考题-----17.坐标系与参数方程
高考数学坐标系与参数方程专项练习题
坐标系与参数方程（2017·22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．（2016·23）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB ，求l 的斜率.（2015·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:2sin ρθ=，C 3:ρθ=.（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.（2014·23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2πθ∈. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2013·23）已知动点P ，Q 都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2(02)t ααπ=<<，M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.（2012·23）已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.（Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2 + |PB |2 + |PC |2 + |PD |2的取值范围. （2011·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C 2.（Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.。
高考数学《坐标系与参数方程》专项练习
解得ρ1＝2 ，ρ2＝ ………………7分
故ρ1－ρ2＝ ，即|MN|＝ ………………8分
由于C2的半径为1
∴△C2MN的面积为 ………………10分
5．（2014全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C： ，直线l： (t为参数)．
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
解得x＝0或x＝1
把x＝0代入③，得y＝2
把x＝1代入③，得y＝1
解得 或
C1与C2交点的直角坐标分别为(0，2)，(1，1)
对于点(0，2)有：ρ＝ ＝ ＝2，θ＝
对于点(1，1)有：ρ＝ ＝ ＝ ，tanθ＝ ＝1，θ＝
∴C1与C2交点的极坐标分别为(2， )，( ， )
【题型4】其它题型：．求交点坐标，求点的坐标，求轨迹方程等．
由A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2……………………8分
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
ρ2＋12ρcosα＋11＝0……………………7分
于是
……………………8分
由|AB|＝ 得
……………………9分
∴l的斜率为 或 ……………………10分
4．（2015全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
联立①②得 ………………3分
（此处为解方程的过程，可省略）
①－②，得－2y＋2 x＝0
整理，得y＝ x③
把③代入①，得x2＋3x2－2 x＝0
整理，得2x2－ x＝0
(特别注意，x是未知数，不能约去的)
提取x，得x(2x－ )＝0
∴x＝0或2x－ ＝0
2016年高考极坐标参数方程试题
2016年高考极坐标参数方程试题1．【2016年新课标1卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，〔t 为参数，0a >〕．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．〔1〕说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；〔2〕直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，假设曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】〔1〕消去参数t 得到1C 的普通方程()2221x y a +-=．1C 是以()0,1为圆心，a 为半径的圆．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为：222sin 10a ρρθ-+-=．〔2〕曲线1C ，2C 的公共点的极坐标满足方程组222sin 104cos a ρρθρθ⎧-+-=⎨=⎩，假设0ρ≠，由方程组得：2216cos 8sin cos 10a θθθ-+-=，由已知tan 2θ=，可得216cos 8sin cos 0θθθ-=，从而210a -=，解得：1a =-〔舍去〕，1a =．1a =时，极点也为1C ，2C 的公共点，在3C 上．所以1a =．2．【2016年北京理11】在极坐标系中，直线cos 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】2【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角方程：直线为：10x -=，圆为：()2211x y -+=，直线过圆心()1,0，故2AB =． 【考点】极坐标方程与直角方程的互相转化．【点评】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．3．【2016年江苏理21】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，〔t 为参数〕，椭圆C 的参数方程为：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【分析】利用三角消元将参数方程：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩化为普通方程：2214y x +=，再将直线l 的参数方程代入求解得：10t =，2167t =-，最后根据弦长公式或两点间距离公式求弦长． 【解析】椭圆C 的普通方程为：2214y x +=，将直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得：2211124t ⎫⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭，即27160t t +=，解得：10t =，2167t =-． 【考点】直线与椭圆的参数方程．【点评】将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法，加减消元法，三角恒等变换法；把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响；注意参数的几何意义．4．【2016年上海理16】以下极坐标方程中，对应的曲线为如图的是〔 〕A ．65cos ρθ=+B ．65sin ρθ=+C ．65cos ρθ=-D ．65sin ρθ=- 【答案】 D【解析】依次取0θ=，2π，π，32π，结合图形可知，只有65sin ρθ=-满足条件，故选D ．【考点】极坐标及其方程．【点评】突出表达了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力，数形结合思想等．5．【2016年天津理14】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，〔t 为参数，0p >〕的焦点F ，准线l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7,02C p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．假设||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为 ．【解析】抛物线的普通方程为：22y px =，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，7||322p CF p p =-=， 又||2||CF AF =，则3||2AF p =，由抛物线的定义得：3||2AB p =，所以A x p =，则||A y ，由//CF AB 得：EF CF EA AB =，即2EF CF EA AF==，所以2CEF CEA S S ∆∆==ACF ACE CFE S S S ∆∆∆=+=，所以132p ⨯=，p = 【考点】抛物线的定义，抛物线的参数方程．【点评】凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．6．【2016年新课标2卷理23】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． 〔1〕以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；〔2〕直线l 的参数方程是：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 求l 的斜率．【分析】〔1〕利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；〔2〕先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程212cos 110ρρθ++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．【解析】〔1〕圆的方程化为：2212110x y x +++=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入，得：212cos 110ρρθ++=；〔2〕在〔1〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θα=〔R ρ∈〕，由A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得：212cos 110ρρα++=，于是，1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，12||||AB ρρ=-==由||AB 得：23cos 8α=，tan α=，所以l 【考点】圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线的参数方程．【点评】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．7．【2016年新课标3卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔1〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；〔2〕设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【分析】〔1〕利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线1C 的参数方程为普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立()||PQ d α=的三角函数表达式，最后求出最值与相应点P 的坐标即可．【解析】〔1〕1C 的普通方程2213x y +=，2C 的直角坐标方程40x y +-=；〔2〕由题意，可设点P 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()23d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，当且仅当26k παπ=+〔k Z ∈〕时，()d αP 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【考点】椭圆的参数方程，直线的根坐标方程．。
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4 因为 p 2— 2 2 p os( 9— 4) 2,n ncos 0cos4 +sin O sin^)所以圆O 2的直角坐标方程为x 2 + y 2— 2x — 2y —2= 0.(2)将两圆的直角坐标方程相减， 所以p 2— 2 2 p2,化为极坐标方程为pcos 9+p sin 9= 1, 即 p in( 9+扌)=二3、(2017全国卷H )在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C ’的极坐标方程为p os 0= 4.(1)M 为曲线G 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM| |OP|= 16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; ⑵设点A 的极坐标为(2, 3) 解：(1)设P 的极坐标为(p, 9)(p>0), M 的极坐标为(p, 0( p>0). ，点B 在曲线C 2上，求△ OAB 面积的最大值.由题设知 |OP|= p, |OM|= pi —eg 9由 |OM| |OP|= 16, 得 C 2 的极坐标方程 p= 4cos 0p>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x — 2)2+ y 2= 4(X M 0). ⑵设点B 的极坐标为(PB , a ( PB >0),由题设知|OA|= 2, pB = 4cos a 于是△ OAB 的面积将(0,1)转化为极坐标为(1, ^) 即为所求.(1) 把圆O i 和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; ⑵求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解：(1)由 p= 2 知 p= 4,所以圆O ’的直角坐标方程为x 2 + y 2= 4. 1、在极坐标系下，已知圆 O : p= cos 9+ sin 9和直线I : psin ( 0— 4)= ¥( P‘ 0,0 三 9 2n)(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;psi n(2)当9€ (0 , n 时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标. 解：(1)圆 O ： p= cos 9+ sin 9,即 p 2= pcos 9+ psin 9,故圆O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 — x — y = 0,直线 l ： psin( 9-n )则直线l 的直角坐标方程为x — y +1= 0. ，即 psin 0— pcos 0= 1,⑵由⑴知圆O 与直线I 的直角坐标方程,x 2+y 2 — x — y =0,将两方程联立得解得 x — y + 1 = 0,x = 0,y = 1,即圆O 与直线I 在直角坐标系下的公共点为(0,1),2、已知圆O i 和圆。
2016-2017高考试题 极坐标参数方程
极坐标参数方程1．（2017新课标Ⅲ文数）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径. 2．（2017新课标Ⅲ理数）[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3．（2017新课标Ⅱ文）[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值. 4（2017新课标Ⅱ理）．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．5．（2017新课标Ⅰ文数）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.6．（2017新课标Ⅰ理数）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.7（2017天津理）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.8[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值． xOy l 82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩tC 22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩s P C P l9（2017北京理）在极坐标系中，点A 在圆上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.极坐标与参数方程1、（2016年北京高考）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则______. 【答案】22、（2016年上海高考）下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】D3、（2016年全国I 高考）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：⑴ （均为参数）∴ ①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ--+=cos sin 10ρθθ-=2cos ρθ=||AB=θρcos 56+=θρin s 56+=θρcos 56-=θρin s 56-=cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=∵∴ 即为的极坐标方程⑵两边同乘得即 ②：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为∴ ∴4、（2016年全国II 高考）在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．解：⑴整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则．5、（2016年全国III 高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =xOy C 22(6)25x y ++=x C l cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t l C ,AB ||AB =l xOy 1C，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.6、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），椭圆C 的参数方程为 （为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.所以()sin x y θθθ⎧⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C 1C 2C 112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩θC 2214y x +=l 1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2214y x +=22)12(1)124t ++=27160t t +=10t =2167t =-1216||7AB t t =-=。
2016年高考之坐标系与参数方程
2016年高考之坐标系与参数方程【高考再现】1．（2012年高考（上海理））如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角2．（2012年高考（陕西理））(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________.【解析】:将极坐标方程化为普通方程为12x =与222x y x +=,联立方程组成方程组求出两交点的坐标1(2和1(,2-,3．（2012年高考（江西理））曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线C 的极坐标方程为___________.4．（2012年高考（湖南理））在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线2C :sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0a >) 有一个公共点在X 轴上,则__a =.【答案】32【解析】曲线1C :1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-,与x 轴交点为3(,0)2;曲线2C :sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=,其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -,由0a >,曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上,知32a =. 5．（2012年高考（湖北理））(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为__________.6．（2012年高考（广东理））(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数)和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.7．（2012年高考（北京理））直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩(α为参数)的交点个数为____________.【答案】2【解析】直线转化为1x y +=,曲线转化为圆229x y +=,将题目所给的直线和圆图形作出,易知有两个交点.8．（2012年高考（安徽理））在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____9．（2012年高考（新课标理））本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线2C 的坐标系方程是2=ρ,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且,,,A B C D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,)3π(1)求点,,,A B C D 的直角坐标;(2)设P 为1C 上任意一点,求2222PA PB PC PD +++的取值范围.10．（2012年高考（辽宁理））选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求出12C C 与的公共弦的参数方程.【解析】11．（2012年高考（江苏））[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆C 经过点()4P π，,圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.【解析】∵圆C圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点,∴在sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中令=0θ,得1ρ=.∴圆C 的圆心坐标为(1,0). ∵圆C 经过点()4Pπ，,∴圆C 的半径为PC =.∴圆C 经过极点.∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ.12．（2012年高考（福建理））在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点,M N 的极坐标分别为)2π,圆C 的参数方程22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).(Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系.13．（2012年高考（湖南文））在极坐标系中,曲线1C:sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,则a =_______.14．（2012年高考（广东文））在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数,02πθ≤≤)和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15．（2012年高考（辽宁文））选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.16．（2012年高考（课标文））已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,3π).(Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围.【方法总结】参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【考点剖析】 一．明确要求考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．二．命题方向要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.三．规律总结2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x3．直线的极坐标方程4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎨⎧x ＝f t ，y ＝f t ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．【基础练习】1．（经典习题）在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l的距离为________．2．（经典习题）极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t(t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线3．（经典习题）若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k＝________.4．（经典习题）二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．【名校模拟】 一．基础扎实1．(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,4x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π（C ）2π（D ）34π4．(北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）理)若圆C 的参数方程为3cos 1,3sin x y =+⎧⎨=⎩θθ（θ为参数），则圆C 的圆心坐标为 ，圆C 与直线30x y +-=的交点个数为 .5．(襄阳五中高三年级第一次适应性考试理) (《坐标系与参数方程选讲》选做题).已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=7(2,)4A π到这条直线的距离为 ．7．极坐标系中，圆：,03cos 22=-+θρρ则圆心M 到直线07sin cos =-+θρθρ的距离是______________.8．(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程；(Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.二．能力拔高9．(北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理) 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()4ρθ+=_____．11．圆1,:1,x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的极坐标方程为 ．12．直线l的极坐标方程为4C :cos()πρθ-=C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线l 的距离值为d ，则d 的最大值为 .13．(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(cos sin )10ρθθ-+=. ⑴求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； ⑵求曲线1C 上的点到曲线2C 的最远距离.(I )求曲线C1的普通方程；(II)设A 、B 为曲线C1与y 轴的两个交点，M 为曲线C1上不同于A 、B 的任意一点，若直线AM 与MB 分别与x 轴交于P,Q 两点，求证|OP|.|OQ|为定值.15．(河北唐山市2012届高三第三次模拟理)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )p θθ=+。
2016高考数学考点突破测试题及答案-坐标系与参数方程.doc
2016高考数学考点突破测试题及答案-坐标系与参数方程数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。
下面是教育小编为大家整理的2016高考数学考点突破测试题及答案-坐标系与参数方程，请考生参考。
1.已知极坐标平面内的点P2，-53，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.2，3，(1，3)B.2，-3，(1，-3)C.2，23，(-1，3)D.2，-23，(-1，-3)解析：点P2，-53关于极点的对称点为2，-53+，即2，-23，且x=2cos-23=-2cos3=-1，y=2sin-23=-2sin3=-3，所以选D.答案：D2.(2009珠海模拟)圆=4cos 的圆心到直线tan =1的距离为()A.22B.2C.2D.22解析：圆=4cos 的圆心C(2,0)，如图，|OC|=2，在Rt△COD中，ODC=2，COD=4，|CD|=2.即圆=4cos 的圆心到直线tan =1的距离为2.答案：B3.已知直线l的参数方程为x=-1-22ty=2+22t(t为参数)，则直线l的斜率为()A.1B.-1C.22D.-22解析：直线l的参数方程可化为x=-1+tcos 34y=2+tsin 34，故直线的斜率为tan 34=-1.答案：B4.直线3x-4y-9=0与圆：x=2cos y=2sin ，(为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但不过圆心解析：圆的普通方程为x2+y2=4，圆心坐标为(0,0)，半径r=2，点(0,0)到直线3x-4y-9=0的距离为d=|-9|32+42=952，直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上，故选D.答案：D5.已知极坐标系中，极点为O,02，M3，3，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.解析：如图所示，|OM|=3，xOM=3，在直线OM上取点P、Q，使|OP|=7，|OQ|=1，xOP=3，xOQ=43，显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4，|QM|=|OM|+|OQ|= 3+1=4.答案：7，3或1，436.已知极坐标系中，极点为O，将点A4，6绕极点逆时针旋转4得到点B，且|OA|=|OB|，则点B的直角坐标为________.解析：依题意，点B的极坐标为4，512，∵cos 512=cos4+6=cos 4cos 6-sin 4sin 6=2232-2212=6-24，sin 512=sin4+6=sin 4cos 6+cos 4sin 6=2232+2212=6+24，x=cos =46-24=6-2，y=sin =6+2.点B的直角坐标为(6-2，6+2).答案：(6-2，6+2)7.设y=tx(t为参数)，则圆x2+y2-4y=0的参数方程是________.解析：把y=tx代入x2+y2-4y=0得x=4t1+t2，y=4t21+t2，参数方程为x=4t1+t2y=4t21+t2.答案：x=4t1+t2y=4t21+t28.点M(x，y)在椭圆x212+y24=1上，则点M到直线x+y-4=0的距离的最大值为________，此时点M的坐标是________.解析：椭圆的参数方程为x=23cos y=2sin (为参数)，则点M(23cos ，2sin )到直线x+y-4=0的距离d=|23cos +2sin -4|2=|4sin+3-4|2.当+3=32时，dmax=42，此时M(-3，-1).答案：42(-3，-1)9.(2010新课标全国高考)已知直线C1：x=1+tcos ，y=tsin ，(t为参数)，圆C2：x=cos ，y=sin ，(为参数).(1)当=3时，求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点.当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：(1)当=3时，C1的普通方程为y=3(x-1)，C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组y=3?x-1?，x2+y2=1，解得C1与C2的交点为(1,0)，12，-32.(2)C1的普通方程为xsin -ycos -sin =0.A点坐标为(sin2，-cos sin )，故当变化时，P点轨迹的参数方程为x=12sin2，y=-12sin cos ，(为参数).P点轨迹的普通方程为x-142+y2=116.故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆.10.在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，6，半径r=3，(1)求圆C的极坐标方程;(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|=3∶2，求动点P的轨迹方程.解：(1)设M(，)为圆C上任一点，OM的中点为N，∵O在圆C上，△OCM为等腰三角形，由垂径定理可得|ON|=|OC|cos-6，|OM|=23cos-6，即=6cos-6为所求圆C的极坐标方程.(2)设点P的极坐标为(，)，因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|=3∶2，所以点Q的坐标为35，，由于点Q在圆上，所以35=6cos-6.故点P的轨迹方程为=10cos-6.以上是为大家整理的2016高考数学考点突破测试题及答案-坐标系与参数方程的全部内容，更多内容请关注教育官网高考数学栏目。
(五年高考真题)2016届高考数学复习 第十三章 坐标系与参数方程 理
【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习 第十三章 坐标系与参数方程 理（全国通用）考点一 坐标系与极坐标1．(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B ．214C. 2D ．2 2解析 由1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得x －y －4＝0，C ：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2，0)，r＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2， ∴所求弦长＝2r 2－d 2＝2 2.故选D. 答案 D2．(2013安徽，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 解析 由ρ＝2cos θ得x 2＋y 2－2x ＝0. ∴(x －1)2＋y 2＝1，圆的两条垂直于x 轴的切线方程为x ＝0和x ＝2. 故极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.答案 B3．(2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 解析 依题已知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522. 答案5224．(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析 在平面直角坐标系下，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为(1，3)，直线方程为：x ＋3y ＝6，∴点(1，3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.答案 15．(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．解析 由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x－y ＝0，∴圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6. 答案 66．(2014·重庆，15)已知直线l 的参数方程为2,3x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2)．故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.答案57．(2014·天津，13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．解析 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A (±a3，a )，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3. 答案 38．(2014·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．解析 曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，由直线l 与曲线C 相交所得的弦长|AB |＝2知，AB 为圆的直径，故直线l 过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线l 的普通方程为y ＝x －1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即2·ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1. 答案2·ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝19．(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．解析 由ρsin 2θ＝cos θ得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y 2＝x ，ρsin θ＝1的直角坐标方程为y ＝1，由2,1y x y ⎧+⎨=⎩得C 1和C 2的交点为(1，1)．答案 (1，1)10．(2013·湖北，16)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________． 解析 l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线l 与圆O 相切，得m ＝±2b .从而椭圆的一个焦点为(2b ，0)， 即c ＝2b ，所以a ＝3b ，则离心率e ＝c a ＝63. 答案6311．(2012·湖北，16)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．解析 由极坐标方程可知，θ＝π4表示射线y ＝x (x ≥0)，而21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩表示y ＝(x －2)2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)．联立2(2)y x y x =⎧⎨=-⎩可得， x 2－5x ＋4＝0，可得x 1＋x 2＝5.即x 0＝y 0＝x 1＋x 22＝52， 故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 12．(2011·陕西，15C)直角坐标系xOy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B ，分别在曲线C 1：3cos ,4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析 曲线C 1：3cos ,4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的直角坐标系方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1， 可知C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆； 曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1， 可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C 1和C 2上的两点A ，B 的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB |min ＝d －r 1－r 2＝（3－0）2＋（4－0）2－1－1＝5－1－1＝3. 答案 313．(2015·江苏，21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为 ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.14．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.15．(2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由221,4220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.考点二 参数方程 1．(2014·北京，3)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1，2)为曲线的对称中心，其在直线y ＝－2x 上，故选B. 答案 B2．(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析 ∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.答案 A3．(2015·重庆，15)已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________． 解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)． 答案 (2，π)4．(2014·湖北，16)已知曲线C 1的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 解析 曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0)．曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4.设P 为C 1与C 2的交点，如图，作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33，所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1)． 答案 (3，1)5．(2013·湖南，9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩ (t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________． 解析 由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3，0)，由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. 答案 36.(2013·陕西，15C)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析 由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ， 由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0， x ＝11＋tan θ＝cos 2θ， 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ， 又θ＝π2时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩ (θ为参数)．答案 2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)7．(2013·重庆，15)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x ＝4， 而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2， ∴y 2＝43＝64，即y ＝±8， ∴|AB |＝|8－(－8)|＝16. 答案 168．(2012·湖南，9)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线C 2：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 解析 把曲线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝－2x ＋3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线y ＝－2x ＋3与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0， 即a ＝32.答案 329．(2012·北京，9)直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为________．解析 直线方程可化为x ＋y －1＝0，曲线方程可化为x 2＋y 2＝9，圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22<3，∴直线与圆有两个交点． 答案 210．(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos ,23sin x t y t=+⎧⎨=-+⎩ (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. ②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.11．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：2,212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将2,12x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.12．(2014·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1,222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 将直线l的参数方程1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线方程y 2＝4x ， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.13．(2013·新课标全国Ⅱ，23)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋cos 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．。
2016年高考数学选考内容：极坐标与参数方程
23．在极坐标系中， 为极点，直线过圆 ： 的圆心 ，且与直线 垂直，则直线的极坐标方程为．
24．已知直角坐标系 中，直线l的参数方程： （t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则以极点为圆心与直线l相切的圆的极坐标方程为。
考点：考查参数方程.
24．
【解析】
试题分析：直线 的普通方程为 ，设圆的半径为 ，则 ，所以在直角坐标系中圆的方程为 ，化成极坐标得 .
考点：极坐标与参数方程.
25．A． ；B ． ；C．7
【解析】略
26．
【解析】
试题分析：直线l普通方程为 ，圆C的直角坐标方程为 ，配方得， ，故圆心C到直线l距离为 ．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈ ，直线 的参数方程为 为参数），直线 交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．
32．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。平面直角坐标系中，直线
的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，已知曲线 的极坐标方程为 ．
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中,N为曲线p=2sinθ上的动点,M为C2与x轴的交点，求｜MN｜的最大值．
36．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是: （ 是参数）．（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且 ,试求实数m值．
（1）若曲线 关于曲线 对称，求 的值，并把曲线 和 化成直角坐标方程；
2016高考真题分类汇编[二二]_极坐标和参数方程
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专题二十二 坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为【答案】2． 【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为d ==，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α< π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
2016年全国一卷文科数学各地模拟坐标系与参数方程
第1页 共20页16年选考名校一、解答题(文)]选修4-4:坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中,曲线C :(x -1)2+y 2=1.直线l 经过点P (m ,0),且倾斜角为π6,以O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|PA |·|PB |=1,求实数m 的值.2. [2016·河南省高三适应性考试(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1-12t,y =√32t (t 为参数).在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C 的方程为ρ=2√3sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;(2)若点P 的直角坐标为(1,0),圆C 与直线l 交于A ,B 两点,求|PA |+|PB |的值.3. [2016·郑州市高考预测(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为(2,0),(2√33,π2),圆C 的参数方程为{x =2+2cosθ,y =-√3+2sinθ,(θ为参数).(1)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.4. [2016·河北省衡水中学高三一模(文)]在极坐标系中,O 为极点,点A (2,π2),B (2√2,π4). (1)求经过点O ,A ,B 的圆C 的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆D 的参数方程为{x =-1+acosθ,y =-1+asinθ(θ是参数,a 为半径),若圆C 与圆D 相切,求半径a 的值. 5. [2016·河北衡中高三第一次调研(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l 的参数方程为{x =12+√32t y =12+12t(t 为参数),点A 的极坐标为(√22,π4),设直线l 与圆C 交于点P ,Q .(1)写出圆C 的直角坐标方程;(2)求|AP |·|AQ |的值.6. [2016·河北三市七校高三第二次联考(文)]选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知三点O (0,0),A (2,π2),B (2√2,π4).(1)求经过O ,A ,B 的圆C 1的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C 2的参数方程为{x =-1+acosθy =-1+asinθ(θ是参数),若圆C 1与圆C 2外切,求实数a 的值. 7. [2016·河北衡中高三二研(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线E 的极坐标方程为ρ=4tanθcosθ,倾斜角为α的直线l 过点P (2,2).(1)求E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程;(2)设l 1,l 2是过点P 且关于直线x =2对称的两条直线,l 1与E 交于A ,B 两点,l 2与E 交于C ,D 两点.求证:|PA |∶|PD |=|PC |∶|PB |.8. [2016·石家庄高三教学质检(二)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =√22t,y =3+√22t(t 为参数),在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ-2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与y 轴的交点为P ,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求|PA |·|PB |的值.9. [2016·福建省高三质检(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosα,y =sinα(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ-π4)=√2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角;(2)已知点P (0,2),l 和C 交于A ,B 两点,求|PA |+|PB |.10. [2016·太原市高三模拟(二)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,设倾斜角为α的直线l 的方程为{x =2+tcosα,y =√3+tsinα(t 为参数),以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2θ,直线l 与曲线C相交于不同的两点A ,B .(1)若α=π3,求线段AB 中点M 的直角坐标;(2)若|PA |·|PB |=|OP |2,其中P (2,√3),求直线l 的斜率.11. [2016·山西高三4月考前质检(文)]选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知曲线C:ρcos(θ+π4)=1,过极点O作射线与曲线C交于点Q,在射线OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=√2.(1)求点P的轨迹C1的极坐标方程;(2)以极点O为直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy,若直线l:y=-√3x与第1问中的曲线C1相交于点E(异于点O),与曲线C2:{x=12-√22ty=√22t(t为参数)相交于点F,求|EF|的值.12. [2016·江西省高三4月质检(文)]选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为{x=-5+√22ty=-1+√22t(其中t为参数),现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)写出直线l和曲线C的普通方程;(2)已知点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.13. [2016·江西九江高三二模(文)]选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程是ρ=√4+5sin2θ,曲线C2的参数方程是{x=2+2cosθy=2+2sinθ(θ为参数).(1)写出曲线C1,C2的普通方程;(2)设曲线C1与y轴相交于A,B两点,点P为曲线C2上任一点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.14. [2016·江西赣州高三一模(文)]选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:x2a2+y2=1(0<a<2),曲线C2:x2+y2-x-y=0,Q是C2上的动点,P是线段OQ延长线上的一点,且P满足|OQ|·|OP|=4.(1)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,化C2的方程为极坐标方程,并求点P的轨迹C3的方程;(2)设M,N分别是C1与C3上的动点,若|MN|的最小值为√2,求a的值.15. [2016·南昌高三一模(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是{x=1+tcosαy=tsinα(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;第3页共20页(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |=√14,求直线的倾斜角α的值.16. [2017·湖北孝感高级中学高三9月调考(文)]极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4),曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a(a >0),射线θ=φ,θ=φ+π4,θ=φ−π4,θ=π2+φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A,B,C,D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称,求a 的值; (2)求|OA|⋅|OC|+|OB|⋅|OD|的值.17. [2016·湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校高三第二次联考(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为{x =-1+tcosαy =3+tsinα(t 为参数,0≤α<π),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√2sin (θ+π4).(1)若极坐标为(√2,π4)的点A 在曲线C 1上,求曲线C 1与曲线C 2的交点坐标; (2)若点P 的坐标为(-1,3),且曲线C 1与曲线C 2交于B ,D 两点,求|PB |·|PD |.18. [2016·湖北荆、荆、襄、宜四地七校高三2月联考(文)]选修4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的参数方程为{x =√2costy =√2sint(t 为参数).(1)曲线C 在点(1,1)处的切线为l ,求l 的极坐标方程;(2)点A 的极坐标为(2√2,π4),且当参数t ∈[0,π]时,过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点,试求直线m 的斜率的取值范围.19. [2016·武汉市高三四月模拟(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1:ρ2-4ρcos θ+3=0,θ∈[0,2π],曲线C 2:ρ=34sin(π6-θ),θ∈[0,2π].(1)求曲线C 1的一个参数方程;(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ,B 两点,求|AB |的值.20. [2016·武汉市高三五月模拟(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l 的参数方程为{x =-1+tcosα,y =tsinα(t 为参数,α为直线l 的倾斜角).(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小.第5页 共20页21. [2016·湖南衡阳高三二模(文)]选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为{x =t 2-4t 2+4y =8t t 2+4(t 为参数). (1)求曲线C 的普通方程;(2)过点P (0,1)的直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求|PA |·|PB |的取值范围. 22. [2016·湖南高三第三次考前演练(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθsin 2θ,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为{x =-√22ty =1+√22t(t 为参数).(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线l 的参数方程化为普通方程; (2)求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.23. [2016·湖南高三六校联考(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 经过点P (1,1),倾斜角α=π6,圆C :{x =2cosθy =2sinθ(θ为参数). (1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)设直线l 与圆C 相交于两点A ,B ,求点P 到A ,B 两点的距离之积.24. [2016·长沙市高考模拟(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0,θ∈[0,2π).(1)求C 1的直角坐标方程;(2)曲线C 2的参数方程为{x =tcos π6y =tsinπ6(t 为参数),求C 1与C 2的公共点的极坐标.25. [2017·安徽师大附中高三期中考试(文)]已知在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程为{x =2+2cos θy =2sin θ(θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 的方程为ρsin(θ+π4)=2√2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程; (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.26. [2016·安徽蚌埠高三二检(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:{x =m +ty =t (t 是参数).(1)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |=2√3,试求实数m 值; (2)设M (x ,y )为曲线C 上任意一点,求x +2y -2的取值范围.27. [2016·安徽芜湖、马鞍山高三第一次质检(文)]选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =1+2sinα(α为参数),直线l 的参数方程为{x =1+tcos45°y =tsin45°(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程; (2)求直线l 截曲线C 所得的弦长.28. [2016·合肥高三质检(二)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C :{x =√2cosα+1y =√2sinα+1(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρsin θ+ρcos θ=m .(1)若m =0时,判断直线l 与曲线C 的位置关系;(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为√22,求实数m 的取值范围.29. [2016·广州市高三测试(二)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =√3cosθ,y =sinθ(θ为参数).以点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=√2.(1)将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程;(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最大值.30. [2016·广州市高三测试(一)(文)] (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,θ∈[0,2π). (1)求曲线C 的直角坐标方程; (2)在曲线C 上求一点D ,使它到直线l :{x =√3t +√3,y =-3t +2(t 为参数,t ∈R )的距离最短,并求出点D的直角坐标.参考答案1.(1) 【答案】曲线C 的普通方程为:(x -1)2+y 2=1,即x 2+y 2=2x ,即ρ2=2ρcos θ, 所以曲线C 的极坐标方程为:ρ=2cos θ. 直线l 的参数方程为{x =m +√32ty =12t(t 为参数).第7页 共20页(2) 【答案】设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,将直线l 的参数方程代入x 2+y 2=2x 中,得t 2+(√3m -√3)t +m 2-2m =0,所以t 1t 2=m 2-2m ,由题意得|m 2-2m |=1,得m =1,1+√2或1-√2.2.(1) 【答案】由已知得直线l 的普通方程为√3x +y -√3=0.由ρ=2√3sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3y =0,即x 2+(y -√3)2=3. 5分(2) 【答案】把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得(1-12t)2+(√32t -√3)2=3,即t 2-4t +1=0.由于Δ=(-4)2-4=12>0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实数根,所以{t 1+t 2=4,t 1·t 2=1.又直线l 过点(1,0),A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 所以|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=4. 10分3.(1) 【答案】由题意知,M ,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0,2√33), 又P 为线段MN 的中点,从而点P 的平面直角坐标为(1,√33),故直线OP 的直角坐标方程为y =√33x . 5分(2) 【答案】因为直线l 上两点M ,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(0,2√33), 所以直线l 的平面直角坐标方程为√3x +3y -2√3=0,又圆C 的圆心坐标为(2,-√3),半径r =2,圆心到直线l 的距离d =√3-√3-√3|3+9=32<r .故直线l 与圆C 相交. 10分4.(1) 【答案】由题意得,点O ,A ,B 的直角坐标为O (0,0),A (0,2),B (2,2).则过O ,A ,B 三点的圆C 的普通方程为(x -1)2+(y -1)2=2,即x 2-2x +y 2-2y =0.化为极坐标方程为ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,即ρ=2√2cos (θ-π4).(2) 【答案】圆D 的参数方程{x =-1+acosθ,y =-1+asinθ(θ是参数,a 为半径)化为普通方程为(x +1)2+(y +1)2=a 2,则圆C 与圆D 的圆心距|CD |=√(-1-1)2+(-1-1)2=2√2,当圆C 与圆D 相切时,有a +√2=2√2或a -√2=2√2,解得a =√2或a =3√2.5.(1) 【答案】圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,所以ρ2=2ρcos θ,转化成直角坐标方程为x 2+y 2=2x ,即(x -1)2+y 2=1.(2) 【答案】由点A 的极坐标(√22,π4)得直角坐标A (12,12),将直线l 的参数方程{x =12+√32ty =12+12t(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x -1)2+y 2=1,得t 2-√3-12t -12=0,设t 1,t 2为方程t 2-√3-12t -12=0的两个根,则t 1t 2=-12,所以|AP |·|AQ |=|t 1t 2|=12.6.(1) 【答案】∵点O (0,0),A (2,π2),B (2√2,π4)对应的直角坐标分别为O (0,0),A (0,2),B (2,2),∴过O ,A ,B 的圆的普通方程为x 2+y 2-2x -2y =0,将{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得经过O ,A ,B 的圆C 1的极坐标方程为ρ=2√2cos (θ-π4). (2) 【答案】圆C 2:{x =-1+acosθy =-1+asinθ(θ是参数)对应的普通方程为(x +1)2+(y +1)2=a 2,当圆C1与圆C2外切时,有√2+|a|=2√2,解得a=±√2.7.(1) 【答案】E:x2=4y(x≠0),l:{x=2+tcosαy=2+tsinα(t为参数).(2) 【答案】∵l1,l2关于直线x=2对称,∴l1,l2的倾斜角互补,设l1的倾斜角为α,则l2的倾斜角为π-α,把直线l1:{x=2+tcosαy=2+tsinα(t为参数)代入x2=4y并整理得:t2cos2α+4(cosα-sinα)t-4=0,根据韦达定理,t1t2=-4cos2α,即|PA|·|PB|=4cos2α,同理,得|PC|·|PD|=|4cos2(π-α)|=4cos2α.∴|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,即|PA|∶|PD|=|PC|∶|PB|.8.(1) 【答案】直线l的普通方程为x-y+3=0, 2分∵ρ2=4ρsin θ-2ρcos θ, 3分∴曲线C的直角坐标方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 5分(2) 【答案】将直线的参数方程{x=√22ty=3+√22t(t为参数)代入曲线C:(x+1)2+(y-2)2=5,得t2+2√2t-3=0, 7分∴t1t2=3, 9分∴|PA||PB|=|t1t2|=3. 10分9.第9页共20页(1) 【答案】由{x =3cosα,y =sinα消去参数α,得x 29+y 2=1,即C 的普通方程为x 29+y 2=1.2分由ρsin (θ-π4)=√2,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*) 3分 将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入(*),化简得y =x +2, 4分所以直线l 的倾斜角为π4. 5分(2) 【答案】由第1问知,点P (0,2)在直线l 上, 可设直线l 的参数方程为{x =tcos π4,y =2+tsin π4(t 为参数),即{x =√22t,y =2+√22t(t 为参数), 7分代入x 29+y 2=1并化简,得5t 2+18√2t +27=0. 8分Δ=(18√2)2-4×5×27=108>0.设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=-185 √2<0,t 1t 2=275>0,所以t 1<0,t 2<0, 9分所以|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=-(t 1+t 2)=185√2. 10分10.(1) 【答案】曲线C 的普通方程是x 24+y 2=1. 2分当α=π3时,设点M 对应的参数为t 0,直线l 的方程为{x =2+12t,y =√3+√32t (t 为参数),代入曲线C 的普通方程x 24+y 2=1,得13t 2+56t +48=0,设直线l 上的点A ,B 对应参数分别为t 1,t 2, 则t 0=t 1+t 22=-2813,第11页 共20页所以点M 的坐标为(1213,-√313). 5分(2) 【答案】将{x =2+tcosαy =√3+tsinα,代入曲线C 的普通方程x 24+y 2=1,得(cos 2α+4sin 2α)t 2+(8√3sin α+4cos α)t +12=0,因为|PA |·|PB |=|t 1t 2|=12cos 2α+4sin 2α,|OP |2=7,所以12cos 2α+4sin 2α=7,即12(1+tan 2α)1+4tan 2α=7,解得tan 2 α=516,由于Δ=32cos α(2√3sin α-cos α)>0,故tan α=√54.所以直线l 的斜率为√54. 10分11.(1) 【答案】设P (ρ,θ),Q (ρ',θ),则由题知ρρ'=√2,又点Q 在曲线C 上，∴ρ'cos (θ+π4)=1,∴√2ρcos (θ+π4)=1，∴ρ=√2cos (θ+π4)=cos θ-sin θ为所求C 1的极坐标方程.(2) 【答案】由C 2的参数方程知C 2的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=12,由题知直线l 的倾斜角为2π3，∴把θ=2π3代入C 2得ρ1=√3+12,把θ=-π3代入C 1得ρ2=√32+12,∴|EF |=ρ1+ρ2=√3+1.12.(1) 【答案】消去直线l的参数方程中的参数t得普通方程为y=x+4. 由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,由{x=ρcosθ,y=ρsinθ,得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.(2) 【答案】将曲线C的方程x2+y2-4x=0化为(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线l的距离为√2=3√2,再加上半径2即为P到直线l距离的最大值, 所以最大值为3√213.(1) 【答案】由ρ=√4+5sin2θ,得ρ2=364+5sin2θ,∴ρ2=364cos2θ+9sin2θ,即4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36,∴4x2+9y2=36,即曲线C1的普通方程为x29+y24=1,曲线C2的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2) 【答案】由第1问知, A,B两点的坐标分别是(0,2),(0,-2), 设P(2+2cosθ,2+2sinθ),则|PA|2+|PB|2=(2+2cosθ)2+(2sinθ)2+(2+2cosθ)2+(4+2sinθ)2=32+16sinθ+16cosθ=32+16√2sin(θ+π4),∴|PA|2+|PB|2∈[32-16√2,32+16√2].14.(1) 【答案】C2的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4),设Q(ρ',θ),P(ρ,θ),则ρ'=√2sin(θ+π4),由|OQ|·|OP|=4得ρ'ρ=4,所以√2ρsin(θ+π4)=4,故C3的直角坐标方程为x+y=4.(2) 【答案】设M(a cosθ,sinθ),则|MN|的最小值为点M到直线C3的距离d=√2=|√a2+1sin(θ+φ)√2≥√a2+1√2,第13页 共20页所以√a 2+1√2=√2,解得a =√3.15.(1) 【答案】由ρ=4cos θ,得(x -2)2+y 2=4. 3分(2) 【答案】将{x =1+tcosαy =tsinα代入圆的方程,得(t cos α-1)2+(t sin α)2=4,化简得t 2-2t cos α-3=0.设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则{t 1+t 2=2cosαt 1t 2=-3,∴|AB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=√4cos 2α+12=√14,∴4cos 2α=2,解得cos α=±√22,故α=π4或3π4. 10分16.(1) 【答案】曲线C 1的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4),即ρ2=2√2×√22(ρsinθ+ρcosθ),转化为直角坐标方程为x 2+y 2=2x +2y ,即(x −1)2+(y −1)2=2,∵曲线C 1关于曲线C 2对称,∴圆心(1,1)在C 2上,直线y =a 过圆心,∴a =1.(2) 【答案】∵|OA|=2√2sin(φ+π4),|OB|=2√2sin(φ+π2),|OC|=2√2sinφ,|OD|=2√2sin(φ+3π4), ∴|OA|⋅|OC|+|OB|⋅|OD|=8sinφsin(φ+π4)+8cosφsin(φ+3π4)=8sinφsin(φ+π4)+8cosφcos(φ+π4)=8cos π4=4√2.17.(1) 【答案】点(√2,π4)对应的直角坐标为(1,1),由曲线C 1的参数方程知,曲线C 1是过定点(-1,3)的直线, 故曲线C 1的直角坐标方程为x +y -2=0, 而曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y =0,联立{x 2+y 2-2x -2y =0x +y -2=0,解得{x 1=2y 1=0,{x 2=0y 2=2.故交点坐标分别为(2,0),(0,2).(2) 【答案】由题意知,点P 在直线C 1上,将{x =-1+tcosαy =3+tsinα代入方程x 2+y 2-2x -2y =0,得t 2-4(cos α-sin α)t +6=0,设点B ,D 对应的参数分别为t 1,t 2,则|PB |=|t 1|,|PD |=|t 2|,而t 1t 2=6, ∴|PB |·|PD |=|t 1|·|t 2|=|t 1t 2|=6.18.(1) 【答案】由{x =√2cost y =√2sint消去参数t 得x 2+y 2=2,又点(1,1)在圆C 上,故切线方程为x +y =2, ∴ρsin θ+ρcos θ=2, ∴切线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=√2.(2) 【答案】由题意得点A 的直角坐标为(2,2),则可设过点A 的直线m 的方程为y =k (x -2)+2, 故y =k (x -2)+2与半圆x 2+y 2=2(y ≥0)相切时|2x -2|√1+k 2=√2,∴k 2-4k +1=0,∴k =2-√3或k =2+√3(舍去),设点B (-√2,0),∵t ∈[0,π],∴直线m 的斜率最大值为k AB ,k AB =2+√2=2-√2,故直线m 的斜率的取值范围为(2-√3,2-√2).19.(1) 【答案】由ρ2-4ρcos θ+3=0可得:x 2+y 2-4x +3=0.∴(x -2)2+y 2=1. 2分 令x -2=cos α,y =sin α,∴C 1的一个参数方程为{x =2+cosαy =sinα(α为参数,α∈R ). 4分 (2) 【答案】C 2:4ρ(sin π6cosθ-cos π6sinθ)=3,第15页 共20页∴4(12x -√32y)=3,即2x -2√3y -3=0. 6分∵直线2x -2√3y -3=0与圆(x -2)2+y 2=1相交于A ,B 两点,圆心到直线的距离d =14, 8分∴|AB |=2√r 2-d 2=2·√154=√152. 10分20.(1) 【答案】当α=π2时,直线l 的普通方程为x =-1;当α≠π2时,直线l 的普通方程为y =(tan α)(x +1). 2分由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,所以x 2+y 2=2x 即为曲线C 的直角坐标方程. 5分(2) 【答案】把x =-1+t cos α,y =t sin α代入x 2+y 2=2x ,整理得t 2-4t cos α+3=0.由Δ=16cos 2α-12=0,得cos 2α=34,所以cos α=√32或cos α=-√32,故直线l 的倾斜角α为π6或5π6. 10分21.(1) 【答案】x 2+y 24=(t 2-4t 2+4)2+(4t t 2+4)2=(t 2+4t 2+4)2=1, 又∵x =t 2-4t 2+4=1-8t 2+4∈[-1,1),∴曲线C 的普通方程为x2+y 24=1,x ∈[-1,1). (2) 【答案】设直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =1+tsinα(α为倾斜角,且α∈[0,3π4)∪(3π4,π)),代入曲线C 得:(1+3cos 2α)·t 2+2sin α·t -3=0, ∴|PA |·|PB |=|t 1t 2|=31+3cos 2α,∵α∈[0,3π4)∪(3π4,π),∴|PA |·|PB |∈[34,3].22.(1) 【答案】由题意得,曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ,直线l 的普通方程为x +y -1=0.(2) 【答案】将{x =-√22t,y =1+√22t代入y 2=4x 得t 2+6√2t +2=0,所以t 1+t 2=-6√2,t 1t 2=2,则|AB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=8.23.(1) 【答案】圆C 的普通方程为x 2+y 2=4, 2分 直线l 的参数方程是{x =1+√32ty =1+12t(t 是参数). 5分 (2) 【答案】因为点A ,B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A ,B 的坐标分别为A (1+√32t 1,1+12t 1),B (1+√32t 2,1+12t 2),把直线l 的参数方程代入圆的方程x 2+y 2=4整理得, t 2+(√3+1)t -2=0, ①因为t 1和t 2是方程①的解,从而t 1t 2=-2, 所以|PA |·|PB |=|t 1t 2|=|-2|=2. 10分24.(1) 【答案】将{ρ2=x 2+y 2ρcosθ=x代入ρ2-4ρcos θ+3=0,得(x -2)2+y 2=1. 5分(2) 【答案】由题设可知,C 2是过坐标原点,倾斜角为π6的直线,第17页 共20页因此C 2的极坐标方程为θ=π6或θ=7π6,ρ>0, 将θ=π6代入C 1得ρ2-2√3ρ+3=0,解得ρ=√3. 7分将θ=7π6代入C 1得ρ2+2√3ρ+3=0,解得ρ=-√3,舍去. 9分故C 1,C 2公共点的极坐标为(√3,π6). 10分25.(1) 【答案】曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=4,即x 2+y 2−4x =0,将{x =ρcosθy =ρsinθ代入方程x 2+y 2−4x =0化简得ρ=4cos θ.所以,曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.(2) 【答案】直线l 的直角坐标方程为x +y −4=0,曲线C 的圆心坐标为(2,0),圆心到直线l 的距离为√2所以弦长为2√22−√22=2√2.26.(1) 【答案】曲线C 的极坐标方程p =4cos θ化为直角坐标方程为:x 2+y 2-4x =0, 直线l 的直角坐标方程为:y =x -m ,∴圆心到直线l 的距离(弦心距)d =√22-(2√32)2=1,圆心(2,0)到直线y =x -m 的距离为:2=1⇒|m -2|=√2,∴m =2±√2. (2) 【答案】曲线C 的方程可化为(x -2)2+y 2=4,其参数方程为:{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数),∵M (x ,y )为曲线C 上任意一点,x +2y -2=2√5sin(θ+α),∴x +2y -2的取值范围是[-2√5,2√5].27.(1) 【答案】曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为x 2+(y -1)2=4,(*)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入(*)式化简得曲线C 的极坐标方程为:ρ2-2ρsin θ-3=0.(2) 【答案】将{x =1+tcos45°y =tsin45°代入(*)式化简得t 2=2, ∴t 1=√2,t 2=-√2,所以所求弦长为|t 2-t 1|=2√2.28.(1) 【答案】曲线C 的直角坐标方程为:(x -1)2+(y -1)2=2,是一个圆; 直线l 的直角坐标方程为:x +y =0,圆心C 到直线l 的距离为d =22=√2=r .所以直线l 与圆C 相切. 5分(2) 【答案】由已知可得,圆心C 到直线l 的距离为d =√12+12≤3√22,解得-1≤m ≤5. 10分29.(1) 【答案】由{x =√3cosθ,y =sinθ,得x 23+y 2=1,∴曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1. 2分由ρsin (θ+π4)=√2,得ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)=√2, 3分化简得,ρsin θ+ρcos θ=2, 4分∴x +y =2.∴直线l 的直角坐标方程为x +y =2. 5分(2) 【答案】由于点Q 是曲线C 上的点,则可设点Q 的坐标为(√3cosθ,sinθ), 6分点Q 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ√27分=|2cos(θ-π6)-2|√2. 8分当cos (θ-π6)=-1时,第19页 共20页d max =√2=2√2. 9分∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2. 10分30.(1) 【答案】由ρ=2sin θ,θ∈[0,2π),可得ρ2=2ρsin θ. 1分因为ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y , 2分所以曲线C 的普通方程为x 2+y 2-2y =0(或x 2+(y -1)2=1). 4分(2) 【答案】因为直线l 的参数方程为{x =√3t +√3,y =-3t +2(t 为参数,t ∈R ),消去t 得直线l 的普通方程为y =-√3x +5. 5分因为曲线C :x 2+(y -1)2=1是以G (0,1)为圆心,1为半径的圆, 设曲线C 上点D (x 0,y 0),且点D 到直线l :y =-√3x +5的距离最短,所以曲线C 在点D 处的切线与直线l :y =-√3x +5平行.即直线GD 与l 的斜率的乘积等于-1,即y 0-1x 0×(-√3)=-1. 7分因为x 02+(y 0-1)2=1,解得x 0=-√32或x 0=√32.所以点D 的坐标为(-√32,12)或(√32,32). 9分由于点D 到直线y =-√3x +5的距离最短,所以点D的坐标为(√32,32). 10分。
历年高三数学高考考点之〈坐标系与参数方程〉必会题型及答案
历年高三数学高考考点之〈坐标系与参数方程〉必会题型及答案体验高考1.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 2.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.高考必会题型题型一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.例1 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值.解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.变式训练1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长. 解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6.又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ. ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)， 所以AB ＝18－22＋[12－－4]2＝16 2.即线段AB 的长为16 2.题型二 参数方程与普通方程的互化1.直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).2.圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π). 3.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).(2)抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数).例2在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t(t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－－2＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.点评 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围. 变式训练2 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.解 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0. 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.题型三 极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等. 例3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.点评 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义.(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.变式训练3 (2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3，0).高考题型精练1.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为(4，π3)，求CP 的长.解 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴圆心C (2，0)，又由点P 的极坐标为(4，π3)可得点P 的直角坐标为(2，23)， ∴CP ＝2－22＋23－02＝2 3.2.在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值.解 圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x ，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径.圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为432＋－12＝2，又圆的半径r ＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.3.在极坐标系中，已知三点M (2，－π3)、N (2，0)、P (23，π6).(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2，0)； P 的直角坐标为(3，3).(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上.4.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.解 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π).5.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长.解 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－837.故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167.7.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.② (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.8.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，求实数a 的值. 解 (1)由ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ＝4cos θ－4sin θ.即ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝8. 所以圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝8.(2)直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a 可化为y ＝2x ＋a ，则由圆的半径为22知，圆心(2，－2)到直线y ＝2x ＋a 的距离恰好为 2. 所以|6＋a |5＝2，解得a ＝－6±10.。
2016届高考数学大一轮复习精品讲义坐标系与参数方程(含解析)
坐标系与参数方程第一节坐_标_系基础盘查一 平面直角坐标系中的伸缩变换 (一)循纲忆知理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． (二)小题查验 1．判断正误(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆( ) (2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆( ) 答案：(1)× (2)√2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′基础盘查二 极坐标系的概念及极坐标和直角坐标的互化 (一)循纲忆知能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化⎝⎛x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).(二)小题查验1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π32．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________________．对应学生用书P166解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρ＝2，∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6或⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6 基础盘查三 简单曲线的极坐标方程 (一)循纲忆知能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．(二)小题查验 1．判断正误(1)过极点，做斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或 θ＝π＋α( ) (2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ( ) 答案：(1)√ (2)×2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρθ－，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ 3．在极坐标系中，曲线C 1：ρ()2cos θ＋sin θ＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，曲线C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案：22考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]对应学生用书P166设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ＞，y ′＝μ·y ，μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[题组练透]1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．[类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λy ′＝μ·y ，μ下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二 极坐标与直角坐标的互化|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x (θ与(x ，y )所在象限一致)．[提醒] (1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[典题例析]在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.[类题通法]极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．[演练冲关](2014·广东高考改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2的交点的直角坐标．解析：由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．考点三 曲线的极坐标方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为ρ＝R .(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ.(3)圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a .(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a . [提醒] (1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．[典题例析](2015·唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[类题通法]求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正、余弦定理用的较多．求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[演练冲关](2014·江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.对应B 本课时跟踪检测（六十四）1．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值．解：由ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3可得ρ2＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝2ρcos θ＋23ρsinθ，即得x 2＋y 2＝2x ＋23y ，配方可得(x －1)2＋(y －3)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，求实数m 的取值范围．解：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可， 即|3×1＋－＋m |5＞1，|m －5|＞5，解得，m ＜0或m ＞10.4．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.将其代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，得2y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ′＋π4，即y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π4.5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝|－1－2|2＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2015·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．第二节参数方程基础盘查一 参数方程与普通方程的互化 (一)循纲忆知了解参数方程，了解参数的意义，会进行参数方程与普通方程的互化.⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧x＝f t ，y ＝g t t 为参数(二)小题查验 1．判断正误 (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t(t ≥1)表示的曲线为直线( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋m ，y ＝sin θ－m ，当m 为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆( )答案：(1)× (2)×对应学生用书P1682．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)化为普通方程为________．解析：∵x ＝2t21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t2＝＋t 2－6t21＋t2＝4－3×2t21＋t ＝4－3x .又x ＝2t21＋t2＝＋t 2－21＋t2＝2－21＋t 2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0()x ∈[0，基础盘查二 常见曲线的参数方程 (一)循纲忆知1．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．2．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(二)小题查验 1．判断正误(1)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝1＋t sin 150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2表示的曲线为椭圆( )答案：(1)√ (2)×2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由C 1得x 2＋y 2＝5，且⎩⎨⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5，① 由C 2得x ＝1＋y,②∴由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＝1＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.答案：(2,1)3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3考点一 参数方程和普通方程的互化|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．参考方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．对应学生用书P169[提醒] 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．[题组练透]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k2，y ＝6k21＋k 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． 2．求曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离．解：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.[类题通法]参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点二 直线的参数方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[提醒] 直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[典题例析]设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)法一：由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，知直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，由此解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.法二：将圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α，由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.[类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[演练冲关]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，解得t 1＝－2＋102，t 2＝－2－102.由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[典题例析](2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[演练冲关]1．(2015·大同调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 被曲线C 所截得的弦长；(2)若M (x ，y )是曲线C 上的动点，求x ＋y 的最大值． 解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)，消去t ，可得3x ＋4y ＋1＝0.由于ρ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ， 即有ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，则有x 2＋y 2－x ＋y ＝0， 其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为r ＝22，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＋19＋16＝110， 故弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75. (2)可设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22cos θy ＝－12＋22sin θ(θ为参数)，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，－12＋22sin θ，则x ＋y ＝22cos θ＋22sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由于θ ∈R ，则x ＋y 的最大值为1.2．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a ＞0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a ＞0)，x －y －2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1.1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求线段MN 的长．对应A 本课时跟踪检测（六十五）解析：由题意得，C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t转化为直角坐标方程为x ＋3y －43＝0，C 2的极坐标方程ρ＝4sin θ转化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝22，圆心(0,2)到直线x ＋3y －43＝0的距离为d ＝|0＋23－43|12＋32＝3， 所以|MN |＝222－32＝2.2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标得P (0,4)， ∵P (0,4)满足方程x －y ＋4＝0，∴点P 在直线l 上．(2)法一：因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，所以点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42(α∈R )所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值 2.3．(2015·河南实验中学模拟)直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2.由于M 点在曲线C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，从而曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 6．(2014·福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.故实数a 的取值范围为[－25，25]7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.8．(2015·洛阳模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解：(1)∵直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23，∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15α＋φ－43|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432， 即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432.。
(五年高考真题)2016届高考数学复习 第十三章 坐标系与参数方程 理
【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习 第十三章 坐标系与参数方程 理（全国通用）考点一 坐标系与极坐标1．(2014²安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B ．214C. 2D ．2 2解析 由1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得x －y －4＝0，C ：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2，0)，r＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2， ∴所求弦长＝2r 2－d 2＝2 2.故选D. 答案 D2．(2013安徽，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 解析 由ρ＝2cos θ得x 2＋y 2－2x ＝0. ∴(x －1)2＋y 2＝1，圆的两条垂直于x 轴的切线方程为x ＝0和x ＝2. 故极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.答案 B3．(2015²广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 解析 依题已知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522. 答案5224．(2015²北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析 在平面直角坐标系下，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为(1，3)，直线方程为：x ＋3y ＝6，∴点(1，3)到直线的距离为d ＝|1＋3³3－6|2＝|－2|2＝1.答案 15．(2015²安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．解析 由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x－y ＝0，∴圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6. 答案 66．(2014²重庆，15)已知直线l 的参数方程为2,3x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2)．故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.答案57．(2014²天津，13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．解析 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A (±a3，a )，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3.答案 38．(2014²湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．解析 曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，由直线l 与曲线C 相交所得的弦长|AB |＝2知，AB 为圆的直径，故直线l 过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线l 的普通方程为y ＝x －1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即2²ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1. 答案2²ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝19．(2014²广东，14)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．解析 由ρsin 2θ＝cos θ得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y 2＝x ，ρsinθ＝1的直角坐标方程为y ＝1，由2,1y x y ⎧+⎨=⎩得C 1和C 2的交点为(1，1)．答案 (1，1)10．(2013²湖北，16)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数， a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析 l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线l 与圆O 相切，得m ＝±2b .从而椭圆的一个焦点为(2b ，0)， 即c ＝2b ，所以a ＝3b ，则离心率e ＝c a ＝63. 答案6311．(2012²湖北，16)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．解析 由极坐标方程可知，θ＝π4表示射线y ＝x (x ≥0)，而21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩表示y ＝(x －2)2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)．联立2(2)y x y x =⎧⎨=-⎩可得， x 2－5x ＋4＝0，可得x 1＋x 2＝5.即x 0＝y 0＝x 1＋x 22＝52， 故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 12．(2011²陕西，15C)直角坐标系xOy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B ，分别在曲线C 1：3cos ,4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析 曲线C 1：3cos ,4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的直角坐标系方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1， 可知C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆； 曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1， 可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C 1和C 2上的两点A ，B 的最短距离．由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB |min ＝d －r 1－r 2＝（3－0）2＋（4－0）2－1－1＝5－1－1＝3. 答案 313．(2015²江苏，21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.14．(2015²新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.15．(2014²辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由221,4220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.考点二 参数方程1．(2014²北京，3)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 解析 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1，2)为曲线的对称中心，其在直线y ＝－2x 上，故选B. 答案 B2．(2014²江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析 ∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.答案 A3．(2015²重庆，15)已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________． 解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)． 答案 (2，π)4．(2014²湖北，16)已知曲线C 1的参数方程是3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 解析 曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0)．曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4.设P 为C 1与C 2的交点，如图，作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33，所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1)． 答案 (3，1)5．(2013²湖南，9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩ (t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析 由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3，0)，由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. 答案 36.(2013²陕西，15C)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析 由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ， 由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0， x ＝11＋tan 2θ＝cos 2θ， 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又θ＝π2时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩ (θ为参数)．答案 2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)7．(2013²重庆，15)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x ＝4， 而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2， ∴y 2＝43＝64，即y ＝±8， ∴|AB |＝|8－(－8)|＝16. 答案 168．(2012²湖南，9)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线C 2：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 解析 把曲线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝－2x ＋3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线y ＝－2x ＋3与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0， 即a ＝32.答案 329．(2012²北京，9)直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为________．解析 直线方程可化为x ＋y －1＝0， 曲线方程可化为x 2＋y 2＝9，圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22<3，∴直线与圆有两个交点． 答案 210．(2015²福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. ②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.11．(2015²湖南，16Ⅱ)已知直线l：2,12x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |²|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将2,212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知， |MA |²|MB |＝|t 1t 2|＝18.12．(2014²江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1,222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 将直线l的参数方程1,222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线方程y 2＝4x ， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.13．(2013²新课标全国Ⅱ，23)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋cos 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．。
专题17 坐标系与参数方程(专题)-2016年高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练(原卷版)
专题17 坐标系与参数方程【2016年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1)直线、曲线的极坐标方程； (2)直线、曲线的参数方程； (3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化 ，本内容的考查要求为B 级. 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2015·广东，14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 【举一反三】(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程．(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【举一反三】(2015·江苏。
高中数学 考点46 坐标系与参数方程(含2016高考试题)
考点46 坐标系与参数方程一、填空题1。
(2016·天津高考理科·T14）设抛物线2x2pt,y2pt⎧=⎨=⎩（t为参数,p〉0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B。
设C7p,02⎛⎫⎪⎝⎭，AF与BC相交于点E.若|CF｜=2｜AF|,且△ACE的面积为32,则p的值为。
【解题指南】首先写出抛物线的标准方程，得到焦点坐标与准线方程,由抛物线的定义得出AB=AF,得出A点的坐标，利用△AEB∽△FEC得出AE与AF的关系，从而表示出△AEC与△AFC的面积关系，进而求出p的值.【解析】x，y满足函数y2=2px,所以Fp,02⎛⎫⎪⎝⎭,CF=3p，AB=AF=32p,可得：A()2p。
易知△AEB∽△FEC，AE AB1FE FC2== ,故S△ACE=13S△ACF=13×3p×2×12=2p22所以p2=6.因为p>0,所以p=6答案:6二、解答题2。
（2016·全国卷Ⅰ高考文科·T23）同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T23）选修4-4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x acost,y1asint⎧=⎨=+⎩（t为参数，a〉0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ=4cosθ。
（1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程.（2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a。
【解析】(1）x acost,y1asint⎧=⎨=+⎩(t为参数），所以x2+(y—1）2=a2。
①所以C1为以（0,1)为圆心,a为半径的圆。
方程为x2+y2—2y+1—a2=0.因为x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以ρ2-2ρsinθ+1—a2=0,即为C1的极坐标方程。
2016届高考数学文命题猜想专题19坐标系与参数方程(教师版)
【命题热点突破一】极坐标系与简单曲线的极坐标方程例1、[2015·全国卷] 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程是θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【特别提醒】根据直角坐标化为极坐标的公式，可以把直线、曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，反之亦然．使用直线、曲线的直角坐标方程和极坐标方程解题各有利弊，要根据情况灵活选取． 【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝4t 2－6(t 为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，l 与C 相交于A ，B 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)设线段AB 的中点为M ，求点M 的极坐标．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数)．曲线C 的普通方程为y ＝x 2－6.(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ，代入y ＝x 2－6，得t 2－23t －24＝0，∴Δ＝108>0，t 1＋t 2＝23，∴t 1＋t 22＝3，即点M 所对应的参数为3，∴点M 的直角坐标为(32，32)， ∴点M 的极坐标为(3，π3)．【命题热点突破二】简单曲线的参数方程 例2、已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 是参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设点A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2，将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4中，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0.① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2， 所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2.【特别提醒】直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(其中t 为参数，α为直线的倾斜角)中t 的几何意义是点P(x 0，y 0)到参数t 对应的点的有向线段的数量，解题中注意使用直线参数方程的几何意义，同时注意直线的参数方程中t 的系数是否符合上述参数方程．【变式探究】已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝2 3＋t (t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．【命题热点突破三】极坐标与参数方程的综合例3、已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为(43，π6)，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋43ρsin θ＝4.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；(2)若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋2t (t 为参数)距离的最大值．【特别提醒】在极坐标与参数方程综合的试题中，一个基本的思路是把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，然后使用我们熟悉的平面解析几何知识解决问题． 【变式探究】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)，直线l 的极坐标方程是2ρcos θ＋ρsin θ＝6.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点Q ，求|PQ|的最大值与最小值． 解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－3＝0. (2)直线l 的直角坐标方程为2x ＋y －6＝0.圆上点P(2cos φ，1＋2sin φ)到直线l 的距离为d ，则d ＝|4cos φ＋2sin φ－5|5＝|2 5sin （φ＋γ）－5|5，∴|PQ|max ＝22＋10，|PQ|min ＝10－22.【高考真题解读】1．(2015·广东，14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (2，－4)2．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程．(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.3．(2015·江苏。
坐标系与参数方程典型例题(含高考题----答案详细)
.选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形〔如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆〕的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)与其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
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2016年高考数学复习参考题17、坐标系与参数方程一、解答题1．在直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上. （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆C 的参数方程为)(sin ,cos 1为参数a a y a x ⎩⎨⎧=+=，试判断直线l 与圆C 的位置关系. 2．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. （1）12C C 求与交点的极坐标；（2）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为 ()33,,.12x t a t R a b b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求的值3．在直角坐标系xOy.圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l：cos 2t sin x t y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)与曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数)相交于不同两点A ，B. (1)若α＝3π，求线段AB 中点M 的坐标； (2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，求直线l 的斜率．5．在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C（1）求圆C 的极坐标方程；（2）在以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方t 为参数），直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，已知定点)2,1(-M ,求|MA|·|MB|．6．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为 (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．7．已知直线l)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(,)P x y 是直线l 与圆面ρ≤8．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
9．已知直线l 的参数方程为10x t y t=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=.（1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线'l 与圆C 相切，求h.10．已知直线l ：), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. （1）设l 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的,,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.参数方程与极坐标参考答案1．【解析】坐标系与参数方程无非就是坐标系之间的互化，之后就变为简单的解析几何问题也属于必得分题目。
（1）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（2）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 本题主要考查坐标间的互化以及圆的参数方程的基本内容，属于简单题。
2．【解析】第一问首先利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将极坐标方程化为直角坐标方程，求方程组的解，最后在转化为极坐标，注意转化成极坐标后的答案不唯一。
第二问主要是求得直线PQ 的直角坐标方程，根据所给的参数方程实现二者的联系，求得a,b.（1）圆1C 的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-= 联立得：22(2)440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩得1104x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=⎩所以1C 与2C 交点的极坐标为(4,)24ππ （2）由（1）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故PQ 的直角坐标方程为20x y -+= 由参数方程可得122b ab y x =-+，所以1,12,1,222b ab a b =-+==-=解得 本题考查极坐标方程转化直角坐标方程以及直线的参数方程的简单应用3．【解析】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解24cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，θ＝±3π. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)(解法一)由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，(1．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1x y t=⎧⎨=⎩ ((或参数方程写成1x y y=⎧⎨=⎩((解法二)在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(．将x ＝1代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1tan x y θ=⎧⎨=⎩－3π≤θ≤3π. 4．【解析】解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程24x ＋y 2＝1. (1)当α＝3π时，设点M 对应参数为t 0.直线l方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)． 代入曲线C 的普通方程24x ＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则t 0＝122t t +＝－122t t +， 所以，点M的坐标为12,1313⎛- ⎝⎭.(2)将cos 2t sin x t y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程24x ＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋＋4cosα)t ＋12＝0，因为|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2212cos 4sin αα+，|OP|2＝7，所以2212cos 4sin αα+＝7. 得tan 2α＝516由于Δ＝－cosα)>0，故tanα所以直线l5．【解析】(1)由题得,圆心的直角坐标为,所以圆的直角坐标方程为,再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得化简可)故圆的极坐标方程为（2设A(11,x y ),B(22,x y ),联|MA|·|M B6．【解析】（1化为直角坐标得(0,4)P ，(0,4)P 满足方程40x y -+=，∴点P 在直线l 上.（2）解法一、因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点Q 的坐标为 所以点Q 到直线l 的距离时，d 取得最小值解法二、曲线C 的普通方程为： 平移直线l 到l '使之与曲线C 相切，设:0l x y m '-+=，得：223()3x x m ++=，即：2246330x mx m ++-= 由2223648(1)48120m m m ∆=--=-=，解得：2m =，曲线C 上的点Q 到l 距离的最小值7．【解析】（1）因为圆C 的极坐标方程为又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以所以圆C 的直角坐标方程为： 5分（2）『解法1』由圆C 的方程所以圆C的圆心是，半径是2得z t =- 8分 又直线l 过，圆C 的半径是2，由题意有：22t -≤≤所以22t -≤-≤的取值范围是[2,2]-. 10分『解法2』：直线l 的参数方程化成普通方程为：6分8分 ∵(,)P x y是直线l 与圆面的公共点，∴点P 在线段21P P 上，的取值范围是]2,2[-. 10分8．【解析】(1)圆C 的直角坐标方程为2222(1)(1)42220x y x y x y -++=⇒+-+-=，2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+=== 4分∴圆C 的极坐标方程为22cos2sin 20ρρθρθ-+-= 5分（2）因为点Q Q 的直角坐标为（2，-2）7分则点Q 在圆C 内，所以当直线l ⊥CQ 时，MN 的长度最小又圆心C （1，-1），直线l 的斜率1k = 9分 ∴直线l 的方程为22y x +=-，即40x y --= 10分9．【解析】（1）因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以圆C 的直角坐标方程为22420x y y +-+=． 4分（2）平移直线l 后，所得直线l 的10x h t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）． 2222(12)(10)20t h t h +-+-+=．因为'l 与圆C 相切，所以224(12)8[(10)2]0h h ∆=---+=，即216600h h -+=， 解得6h =或10h =． 10．【解析】（1）l 的普通方程为的普通方程为.122=+y x解得l 与1C 的交点为则1||=AB .（2。