数学知识点四川省绵阳市2017届高三12月月考数学理试题 Word版含答案-总结

2016年秋高2014级12月质量检测数学（理科）试题（完卷时间：50分钟 题卷：100分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意。

）1．已知集合{}1,A i =-，i 为虚数单位，则下列选项正确的是( )A ．i A -∈B ．1A i∈ C ．3i A ∈D ．11iA i+∈- 2．某射击运动员在一次测试中射击10次，其测试成绩如右表，则该运动员测试成绩的中位数是( )A ．2B ．8C ．8.5D ．93．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石 4．若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.6]2,[ 2.6]3=-=-， 执行如图所示的程序框图，记输出的值为0S ，则103log S = ( )A. 1- B ．0 C ．1 D ．25．已知直线230x y +-=的倾斜角为θ，则sin cos sin cos θθθθ+-的值是( )A ．13B ．2-C ．3-D ．3 6．如右图，直角梯形OABC 中，//AB OC ，1AB =，2OC BC ==，直线:l x t=截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数()S f t =的图像大致为图中的( )7．将函数()cos2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质( ) A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称 B ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数8．甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在乙、丙两位前面。

不同的安排方法共有( ) A ．20种 B ．30种 C ．40种D ．60种9．若圆222420(0,0)x y ax by b a b +-++=>>关于直线10x y --=对称，则ab 的最大值是( )A ．12B ．18C ．14 D10．已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．4D ． 3211．设数列{}n a 满足3,121==a a ，且11)1()1(2+-++-=n n n a n a n na ，则20a 的值是（ ） A ．215 B ．225 C ．235 D ．24512．已知()()R x x f y ∈=的导函数为()x f '。

若()()32x x f x f =--，且当0≥x 时，()23x x f >'，则不等式()()13312+->--x x x f x f 的解集是（ ）A ．1(,)2-+∞B ．1(,)2+∞ C. 1(,)2-∞-D ．1(,)2-∞二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则其标准方程为________14．已知,为同一平面内的两个不共线的向量，且)6,(),2,1(x ==，若a b -=+=2，则=________15．已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则32x y x +++的取值范围是 ．16．已知点P 在单位圆221x y +=上运动，P 到直线34100x y --=与3x =的距离分别记为1d 、2d ，则12d d +的最小值是________三、解答题：(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本题满分12分）已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为T π=.（Ⅰ）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.18. （本题满分12分）某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170~175cm 的男生人数有16人。

（I ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？（II ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”？参考公式：参考数据：19. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：530S =，10110S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：()3122n n T b n N *=-∈（Ⅰ）求n S 与n b ；（Ⅱ）比较n n S b 与2n n T a 的大小，并说明理由.20. （本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F，点B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .求证: '⋅k k 为定值.21.（本小题满分12分）已知函数()ln ,(),af x xg x x a R x==+∈。

（1）设()()()F x f x g x x =+-，若()F x 在[1,]e 上的最小值是32，求实数a 的值；（2）若1x ≥时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当2n ≥时且*n N ∈时，求证：ln 2ln 3ln 4ln 13451n n n⨯⨯⨯⨯<+请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2； （Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2016年秋高2014级12月质量检测数学（理）参考答案一．选择题： DCBAA CDCBA DB二．填空题：13．28y x =- 14．()1,10 15．55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．5-三．解答题：17.解：（Ⅰ）()2cos cos f x x x x ωωω-112cos 2222x x ωω=--1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ------2分()y f x = 的最小正周期为T π=，212ππωω=⇒= ()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭， -------------4分22171sin 2sin 1336262f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------------6分 （Ⅱ）()2cos cos a c B b C -=∴由正弦定理可得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π⇒=+=+=-=1sin 0 cos 2A B >∴= ()0 3B B ππ∈∴= ， -------------9分22 033A C B A πππ⎛⎫+=-=∴∈ ⎪⎝⎭，72666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤∴=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. - -------------12分18.解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm 的男生的频率为0.0850.4⨯=，设男生数为1n ，则1160.4n =，得140n =．………………………………………4分由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40．…………………………5分 （Ⅱ）男生身高cm 170≥的人数30405)01.002.004.008.0(=⨯⨯+++=，女生身高cm 170≥……………………………8分2280(3036104)34.5810.82840403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，…………………………………10分所以能有99．9％的把握认为身高与性别有关； …………………………………12分19.解： （I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2)22(n n +=n 2+n ．………………………………3分对数列{b n }，由已知有b 2-2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3， ∴ b 2=3b 1，（*）又由已知121n n b T +-=，可得b n -21-n T =1(n ≥2，n ∈N*)，两式相减得b n +1-b n -2(T n -1-n T )=0，即b n +1-b n -2b n =0(n ≥2，n ∈N *)， 整理得b n +1=3b n (n ≥2，n ∈N *)， 结合（*）得31=+nn b b (常数)，n ∈N *， ∴ 数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴ b n =13-n ．……………………………………………………………………7分 （II ）2T n = b n +1-1=n 3-1，∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，2n n a T =2n ·(n 3-1)，于是n n S b -2n n a T =(n 2+n )·13-n - 2n ·(n 3-1)=]2)5(3[1+--n n n ，………………9分显然当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T <0，即n n S b <2n n a T ； 当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T >0，即n n S b >2n n a T ，∴ 当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b <2n n a T ；当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b >2n n a T ．………………………………………………12分20. 解：（Ⅰ）由条件2,a b ==…………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . ………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立.设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………7分 因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………8分 令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x yN ，所以点P 的坐标12121(3,())222yy x x +--. ………9分直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-12121()422yy x x =+--122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x kx x x x -++=⋅-++ ……10分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++34k =- 所以k k '⋅为定值43-. ………12分21.解：（1）()()()ln aF x f x g x x x x=+-=+，其定义域为{|0}x x >，则221'(),0a x aF x x x x x-=-=> ①若1a ≤，则对[1,]x e ∈，'()0F x ≥恒成立，故()F x 在[1,]e 上单调递增 min ()(1)1F x F a ==≤，与题意矛盾，舍去②若1a e <<，则()F x 在[1,]a 上单调递减，在[,]a e 上单调递增，min 3()()1ln 2F x F a a a ==+=⇒=③若a e ≥，则则()F x 在[1,]e 上单调递减，min ()()12aF x F e e==+≥，矛盾，舍去综上：a = …………………4分（2）由题设可得：1x ≥时，ln ax x x≤+恒成立，等价于2max (ln )a x x x ≥-令2()ln ,1h x x x x x =-≥，则1'()1ln 2,''()20h x x x h x x=+-=-<，故'()h x 在[1,)+∞上单调递减'()'(1)10h x h ⇒≤=-<，()h x ⇒在[1,)+∞上单调递减，max ()(1)11h x h a ⇒==-⇒≥-……8分（3）法一：由（2）知，1a =-时，若1x ≥时，1ln x x x≤-恒成立 则当2n ≥时且*n N ∈时，211(1)(1)ln 1ln 1n n n n n n n n n n n n-+--<-==⇒<+l n 2l n 3l n 4l n 1211345123n n n n n-⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯=+ ，命题得证法二：数学归纳法①当2n =时，左边ln 211332=<<，原不等式成立 ②假设n k =时，原不等式成立，即ln 2ln 3ln 4ln 13451k k k⨯⨯⨯⨯<+ 则1n k =+时，ln 2ln 3ln 4ln ln(1)1ln(1)345122k k k k k k k ++⨯⨯⨯⨯⨯<⋅+++ 只需证ln(1)1(2)1k k k k +<++，即221ln(1)111k k k k k k ++<=+-++ 由（2）知，1a =-时，若1x ≥时，1ln x x x≤-恒成立则当2k ≥时且*k N ∈时，1l n (1)11k k k +<+-+，则ln 2l n 3l n 4l n l n (1)1345121k k k k k +⨯⨯⨯⨯⨯<+++这说明1n k =+时，原不等式也成立由①②知，ln 2ln 3ln 4ln 13451n n n ⨯⨯⨯⨯<+…………………12分22解：（1）C 的普通方程为 ()()221101x y y -+=≤≤ …………………2分可得C 的参数方程为：1cos ,sin x t y t=+⎧⎨=⎩ （t 为参数，0t π≤≤) …………………5分（2）设()1cos ,sin Dt t +. 由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆。