短波信道平方根卡尔曼自适应均衡算法研究

—102—短波信道平方根卡尔曼自适应均衡算法研究常 宁，于宏毅（解放军信息工程大学信息工程学院，郑州 450002）摘 要：针对短波突发通信的特点，基于判决反馈均衡器，研究平方根卡尔曼自适应均衡算法。

该算法的参数选取对均衡的收敛速率和信道的衰落速率敏感，探究一种改进的平方根卡尔曼算法，运用Matlab 工具对2种算法的性能进行仿真比较。

仿真结果表明，在短波信道下，改进算法克服了原算法的缺点，具有很好的稳定性，并且不会牺牲收敛速率，其性能优于平方根卡尔曼算法。

关键词：短波突发通信；自适应均衡；平方根卡尔曼算法Research on Square Root Kalman Algorithmof Adaptive Equalization in HF ChannelCHANG Ning, YU Hong-yi(School of Information Engineering, PLA Information Engineering University, Zhengzhou 450002)【Abstract 】According to the characteristics of the HF burst-mode communication, the paper studies square root Kalman algorithm of adaptive equalization based on the decision-feedback condition. The parameter selection of this algorithm is sensitive to the speed of equalization convergence and the velocity of channel fading. This paper proposes a modified square root Kalman algorithm based on the original algorithm, and the performance of these two algorithms are simulated and compared by Matlab. Simulation results show that the modified algorithm overcomes the shortcomings of the original algorithm, provides nice stability while guaranteed the speed of convergence, and has the advantages over the square root Kalman algorithm for HF channel.【Key words 】HF burst-mode communication; adaptive equalization; square root Kalman algorithm计 算 机 工 程Computer Engineering 第35卷 第19期Vol.35 No.19 2009年10月October 2009·网络与通信· 文章编号：1000—3428(2009)19—0102—03文献标识码：A中图分类号：TN9111 概述短波信道的多径、衰落和时变的特性，使接收到的信号易产生码间干扰(ISI)，解决ISI 的有效途径就是采用自适应均衡技术。

目前国内外有许多算法，比较适合于短波信道的算法有卡尔曼类算法[1]，它与LMS 算法、RLS 算法相比，由于收敛速度快、对累积舍入误差不敏感而得到人们的重视。

平方根Kalman(Square Root Kalman, SRK)算法[2]构成的自适应判决反馈均衡器(DFE)[3]虽然收敛速率快，均衡精度高，但是其参数的选取对均衡的收敛速率和信道的衰落速率敏感，不能同时兼顾收敛速率和稳定性。

本文研究的改进的平方根卡尔曼自适应均衡算法解决了上述问题，稳定性高并且收敛速度快，仿真结果显示其性能优于平方根卡尔曼算法。

2 平方根卡尔曼算法卡尔曼滤波根据接收到信号抽样自适应的更新均衡器的抽头系数。

在训练阶段，均衡器不停地搜索以使采样输出信号与接收机本地产生的理想参考信号的偏差最小。

当剩余畸变小到一定程度时，均衡器切换到判决模式，参考信号转换为由均衡输出信号到最近符号的判决信号。

基于平方根卡尔曼算法的判决反馈均衡器模型如图1所示，设在时刻n ，前向滤波器的输入向量为()n =RT [(),(1), , (1)]f r n r n r n N −−+"，抽头系数向量为()n F ；反馈滤波器的输入向量为[]Tˆˆˆˆ()(1),(2), , ()b n s n s n s n N =−−−S"，抽头系数向量为()n B 。

2个滤波器的输入信号可以利用向量统一表示为TT T ˆ()() ()n n n ⎡⎤=⎣⎦X R S ，判决反馈均衡器的抽头系数可以表示为TT T()()()n n n ⎡⎤=⎣⎦W F B ，判决误差信号定义为ˆ()()()en s n d n =− T ()()()n n d n =−X W ，其中，()d n 训练阶段为训练序列()s n ；跟踪阶段为判决输出序列()sn [4]。

图1 基于平方根Kalman 算法的判决反馈均衡器结构自适应算法的目的是最小化误差信号ˆ()en 的均方值，通过迭代地调整()n W ，使其朝着最优解向量()opt n W 收敛。

()n W 的值可以通过迭代估计得到：ˆ()(1)()()n n n en =−+W W G (1) 其中，向量()n G 称为Kalman 增益向量。

1T **()()(1)()(1)()n n n n n n ζ−⎡⎤=−+−⎣⎦G X P X P X (2){}T ()(1)(1)()()(1)n q n n n n =+−−−P P G X P (3)基金项目：国家自然科学基金资助项目(604720640)作者简介：常 宁(1983－)，女，硕士研究生，主研方向：无线移动与通信；于宏毅，博士生导师收稿日期：2009-05-10 E-mail ：gongtengxieyue@—103—其中，()n P 为误差协方差矩阵；1qξζ=+，参数ξ为均方误差，{}2ˆ()E en ξ=。

对于参数ζ和q ，需要恰当地选择以获得算法的最优性能。

算法的初始条件为(0)0=W ,(0)=P I ，其中，0为零向量；I 为单位矩阵。

()n P 更新公式数值是不稳定的，造成有限字长运算过程中的数值不精确，这种不稳定性的主要原因是P 通过两个半正定矩阵之差来计算。

数字精确度随着每一次迭代的减少，精确度的降低将导致P 矩阵的不定性(具有正和负的特征值)。

基于−U D 分解的平方根Kalman 算法有效地解决了算法的不稳定，它是对误差协方差矩阵()n P 进行−U D 分解，−U D 分解过程保证了所计算的协方差矩阵的非负定性。

设矩阵()n P 可以分解为如下形式：*T ()()()()n n n n =P U D U (4)其中，U 是上三角矩阵，它的对角线元素均为1，非对角线元素ij µ(1,2,,1f b i N N =+−", 1,2,,f b j i i N N =+++")互不相等；D 为对角线矩阵，对角线上的元素()12,,,fbNN d d d +"均为实数。

此时，()n P 为半正定矩阵的乘积，仍为半正定矩阵。

平方根Kalman 算法的更新公式如下：111(1)d d n ζα=− (5)1(1)j j j jd d n αα−=−()2,3,,fb j NN =+" (6)*i jij j jυυµα=− ()1,2,,1i j =−" (7) 其中，*11y x = (8) 1**,1(1)j j i j i j i y n x x µ−==−+∑()2,3,,fbj N N =+" (9)(1)j j jd n y υ=−()1,2,,fbj N N =+" (10)*111y αζυ=+ (11) *1j j j j y ααυ−=+()2,3,,f b j N N =+" (12)()T12,,,fbNN g g g +=G " (13)则有j j g υ=()1,2,,fb j NN =+" (14)11()(1)d n q d =+ (15) ()(1)j jd n q d =+()2,3,,fb j NN =+" (16)1/j j j y λα−=−()2,3,,fb j NN =+" (17)*()(1)ij ij i j n n g µµλ=−+()1,2,,1i j =−" (18)*(1)i i j ij g g n υµ=+−()1,2,,1i j =−" (19)其中，i g 由1j −次迭代得到。

由以上k 可得Kalman 增益向量为()fbNN n α+=GG 。

3 改进的平方根卡尔曼算法上文讨论的基于−U D 分解的平方根Kalman 算法只有当恰当地选择参数ζ和q 时才稳定。

参数ζ和q 分别对均衡的收敛速率和信道的衰落速率敏感。

均衡后的q 值应与衰落速率的幅度成正比，q 的最优值也依赖于更新均衡器系数所采用的算法。

另一方面，算法的收敛速率主要由参数ζ控制。

大的ζ值将导致低速率的稳定收敛，而小的ζ值会使收敛速率很快，但以牺牲稳定性为代价。

对于小的ζ值，1(1)d 与(1)j d 的值相差很大。

1d 与j d 的这种差异在算法的启动周期会严重地干扰均衡过程。

下面介绍的改进平方根Kalman 算法克服了这一缺点，对于不同的ζ值，这种改进的算法具有很好的稳定性，并且不会牺牲收敛速率。

把()n P 的更新公式修正为如下形式：T ()(1)()()()(1)n n n n n n =−+−−P P Q G X P (20)同样采用−U D 分解，向量Y 和V 分别定义为T *(1)(1)()n n n −=−Y U X (21) (1)(1)(1)n n n −=−−V D Y (22)则有*T *1*T ()()()(1){(1)(1)(1)}n n n n n n n α−=−⋅−−−−⋅U D U U DV V T (1)n −U (23)其中，D为对角线矩阵，对角线上的元素为()12(1),(1),,(1)f bN N q d q d q d++++"。