2020年高考数学 课时25 椭圆单元滚动精准测试卷 文
2020届高考理科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)
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【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝?C ．M ?ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }，已知M ＝{x |a <=""A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝?－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－40，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝ x (1－x )，0≤x≤1，sin πx ，1<=""> 则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝?3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和?R B ；(2)若A ?B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。
高考数学椭圆测试题及答案
高考数学椭圆测试题及答案高考数学椭圆专项考试及答案一、选择题2.已知焦点在X轴上的椭圆的偏心率为，其长轴长度等于圆的半径c 3360 x2 y2-2x-15=0，那么椭圆的标准方程为()(甲)=1(乙)=1(C) y2=1 (D)=1第二，填空7.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的xx为原点，焦点F1、F2在X轴上，偏心率为。
穿过F1的直线L在A点和B点与C相交，ABF2的周长为16，那么C 的方程如下。
8.已知点P是椭圆16x2 25y2=400上的点，在X轴上方，F1和F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为-4，那么F1，F2的面积为。
9.如果通过椭圆=1(a0)的左右焦点F1和F2的两条相互垂直的直线L1 l1、l2的交点在该椭圆内，则该椭圆的偏心率的取值范围为。
第三，回答问题10.(2013 Xi安模拟)在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意点P到两个固定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4。
(1)求曲线c的方程.(2)让通过(0，-2)的直线L和曲线C在A点和B点相交，以线段AB为直径做一个圆。
:圆能通过坐标原点吗？如果是，请写出此时直线L的方程，证明你的结论；如果没有，请说明原因。
1.(2013渭南模拟)已知椭圆C:=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x。
焦点、上顶点B和偏心率为。
(1)求椭圆c的方程.(2)通过点(0)的直线L，斜率为k，在点P和q与椭圆C相交，若直线PQ中点的横坐标为-，求解直线L的方程.12.(能力挑战)已知点P是圆F1:(x )2 y2=16上的任意一点，点F2和点F1关于原点对称。
线段PF2和PF1的中线相交于点m .(1)求m点的轨迹c的方程.(2)设轨迹C和X轴的左右交点分别为A和B，点K为轨迹C上不同于A和B的任意点，KHx轴和H为垂足，延伸HK到点Q使|HK|=|KQ|，连接AQ并延伸与B相交且垂直于X轴的直线L到点D，n为d B的中点。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列五(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测五第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．若命题p：函数y＝lg(1－x)的值域为R；命题q：函数y＝2cos x是偶函数，且是R上的周期函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a2＋b2＝2 016c2，则2tan A ·tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为( )A ．0B ．2 014C ．2 015D ．2 0164．《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布( ) A ．110尺 B ．90尺 C ．60尺D ．30尺5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a ＞0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列{f (n )g (n )}的前n 项和大于62，则n的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．96．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83 C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163 D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1637．已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，A B →·A C →＝－2，则|A G →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23D.348．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( ) A ．[0,1－2lg 2] B ．[1，52] C ．[12，lg 2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.10．若tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是________．11．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P ，Q 两点，使BP ⊥DQ ；②存在P ，Q 两点，使BP ∥DQ ；③若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的体积一定是定值； ④若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积是定值；⑤若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值． 其中真命题是________．(将正确命题的序号全填上)12．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．13．设a >1，若曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，则a ＝________.14．已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且A B →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△BMA 和△MAC 的面积分别为x ，y ，z ，记f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ，则f (x ，y ，z )的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．16.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n ＜12.17．(13分)如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 、A 1B 1分别为圆O 、圆 O 1的直径且AA 1⊥平面P AB . (1)求证：BP ⊥A 1P ；(2)若圆柱OO 1的体积V ＝12π，OA ＝2，∠AOP ＝120°，求三棱锥A 1－APB 的体积．18．(13分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极植点，求a的值；(2)若f(x)＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．19．(14分)如图，P－AD－C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD＝120°的菱形，AB＝2，P A⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°.(1)求证：平面P AE⊥平面PCD；(2)试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A－PF－D的大小为45°？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．20．(14分)已知△ABC 的三边长|AB |＝13，|BC |＝4，|AC |＝1，动点M 满足CM →＝λCA→＋μCB →，且λμ＝14. (1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？，若存在，指出常数k的值，若不存在，说明理由．答案解析1.C2.A3.C4.B5.A6.C7．C [设BC 的中点为M ，则A G →＝23AM →. 又M 为BC 的中点，∴AM →＝12(A B →＋A C →)，∴A G →＝23AM →＝13(A B →＋A C →)， ∴|A G →|＝13 A B →2＋A C →2＋2A B →·A C →＝13A B →2＋A C →2－4.又∵A B →·A C →＝－2，∠A ＝120°， ∴|A B →||A C →|＝4. ∵|A G →|＝13AB→2＋AC →2－4≥132|A B →||A C →|－4＝23，当且仅当|A B →|＝|A C →|＝2时取“＝”，∴|A G →|的最小值为23，故选C.]8．A[如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域． 因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x ，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图可知，点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， 即B (3,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 即C (2,4)．故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]． 而lg 52＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.] 9．60解析 如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 m.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°， 所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°， 又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°， 从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°， 解得MC ＝40 3 m.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 m ， 故通信塔CD 的高为60 m. 10．[213，1]解析 t t 2＋9＝1t ＋9t，而u ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时，等号成立)，t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18， 因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2(1t ＋14)2－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)， 故a 的取值范围是[213，1.] 11．①③⑤解析 当P 与A 1点重合，Q 与C 1点重合时，BP ⊥DQ ， 故①正确；BP 与DQ 异面，故②错误；设平面A 1B 1C 1D 1两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 可将四面体BDPQ 分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值， 故③正确；若|PQ |＝1，则四面体BDPQ 的表面积不是定值， 故④错误；四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度分别为1和2的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ 在四个侧面上的投影， 均为上底为22，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确．12．a >6解析 以A 点为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z轴，如图所示．则D (0，a,0)，设P (0,0，b )，E (3，x,0)，PE→＝(3，x ，－b )， DE→＝(3，x －a,0)， ∵PE ⊥DE ，∴PE →·DE→＝0， ∴9＋x (x －a )＝0，即x 2－ax ＋9＝0，由题意可知方程有两个不同根，∴Δ>0，即a 2－4×9>0，又a >0，∴a >6.13．e 2解析 ∵a >1，曲线y ＝1x 与直线y ＝0，x ＝1，x ＝a 所围成封闭图形的面积为2，∴ʃa 11xd x ＝2，∴ |ln x a 1＝2，ln a ＝2，∴a ＝e 2. 14．36解析 由题意得A B →·A C →＝|A B →|·|A C →|cos ∠BAC＝23，则|A B →|·|A C →|＝4，∴△ABC 的面积为12|A B →|·|A C →|·sin ∠BAC ＝1，x ＋y ＋z ＝1，∴f (x ，y ，z )＝1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4(x ＋y ＋z )y ＋9(x ＋y ＋z )z ＝14＋(y x ＋4x y )＋(9x z ＋z x )＋(4z y ＋9y z )≥14＋4＋6＋12＝36(当且仅当x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立)．15．解 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．16．(1)解 ∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.设{b n }的公差为d ，b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，∴b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)证明 c n ＝1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1，∵n ∈N *，∴T n ＝12(1－12n ＋1)＜12， T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)＞0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13，综上所述，13≤T n ＜12.17．(1)证明 易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面P AB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1＝A ，所以BP ⊥平面P AA 1，又A 1P ⊂平面P AA 1，故BP ⊥A 1P .(2)解 由题意得V ＝π·OA 2·AA 1＝4π·AA 1＝12π，解得AA 1＝3.由OA ＝2，∠AOP ＝120°，得∠BAP ＝30°，BP ＝2，AP ＝23，∴S △P AB ＝12×2×23＝23，∴三棱锥A 1－APB 的体积V ＝13S △P AB ·AA 1＝13×23×3＝2 3.18．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1，经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0恒成立；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x＝0 得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，1a ) 1a (1a ，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a ＜0，所以a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．19.(1)证明 因为P A ⊥AD ，二面角P －AD －C 是直二面角，所以P A ⊥平面ABCD ，因为DC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，连接AC ，因为ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，所以∠CAD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以△ADC 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以AE ⊥CD ，因为P A ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面P AE ，而CD ⊂平面PCD ，所以平面P AE ⊥平面PCD .(2)解 以A 为坐标原点，AB ，AE ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 是PC 与平面ABCD 所成角，所以∠PCA ＝45°，所以P A ＝AC ＝AB ＝2，于是P (0,0,2)，D (－1，3，0)，PD →＝(－1，3，－2)．设AF ＝λ，则0<λ<2，F (λ，0,0)，所以PF →＝(λ，0，－2)．设平面PFD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则有n 1·PD →＝0，n 1·PF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y －2z ＝0，λx －2z ＝0，令x ＝1，则z ＝λ2，y ＝λ＋13，所以平面PFD 的法向量为n 1＝(1，λ＋13，λ2)．而平面APF 的法向量为n 2＝(0,1,0)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝2|λ＋1|7λ2＋8λ＋16＝22，整理得λ2＋8λ－8＝0，解得λ＝26－4(或λ＝－26－4舍去)， 因为0<26－4<2，所以在AB 上存在一点F ，使得二面角A －PF －D 的大小为45°，此时AF ＝26－4.20．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6.(2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.。
2020版新高考二轮复习理科数学专项小测：25 “20题、21题” Word版含解析
专项小测(二十五) “20题、21题”时间：45分钟 满分：24分20.(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为k (k ≠0)，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，求证：|MF ||PQ |为定值．解：(1)由题意可知x 2a 2＋y 2b 2＝1，令x ＝c 得y ＝±b 2a ，则|PQ |＝2b 2a ，则S 四边形APBQ ＝12|AB |·|PQ |＝12×2a ×2b 2a ＝2b 2＝6，解得b 2＝3.∵e ＝c a＝12，∴a ＝2c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由题意可知F (1,0)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋(4k 2－12)＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 4k 2＋3.设PQ 的中点为N ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 24k 2＋3，－3k 4k 2＋3， 则MN 的方程为y ＋3k 4k 2＋3＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 24k 2＋3. 令y ＝0，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 24k 2＋3，0，∴|MF |＝3(k 2＋1)4k 2＋3. ∵|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 24k 2＋32－4(4k 2－12)4k 2＋3＝12(k 2＋1)4k 2＋3， ∴|MF ||PQ |＝14为定值．21．(12分)已知函数f (x )＝x －x 22＋ax (ln x －1)＋a －12.(1)当a ≤0时，证明：函数f (x )只有一个零点；(2)若函数f (x )的极大值等于0，求实数a 的取值范围．解：(1)由题可知f ′(x )＝1－x ＋a ln x .令g (x )＝1－x ＋a ln x ，则g ′(x )＝a －x x (x ＞0)，所以当a ≤0时，g ′(x )＝a －x x ＜0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2分) 又因为f ′(1)＝g (1)＝0，所以，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )≤f (1)＝0，所以f (x )只有一个零点． (4分)(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )的极大值等于0，符合题意．①当0＜a ＜1时，因为当x ∈(0，a )时，g ′(x )＞0；当x ∈(a ，＋∞)时，g ′(x )＜0且g (1)＝0，g ()＝1－－1＝－＜0，故存在x 1∈⎝⎛⎭⎫，a ，满足f ′(x 1)＝0.当x ∈(0，x 1)，f ′(x )＜0，当x ∈(x 1，a )，f (x )＞0.又x ∈(a,1)，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＜0，所以此时x ＝1是f (x )的唯一极大值点，且f (1)＝0，符合题意．(6分) ②当a ＝1时，因为x ∈(0,1)，g ′(x )＞0；x ∈(1，＋∞)，g ′(x )＜0，且g (1)＝0.所以g (x )≤0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减无极值点，不合题意．(8分) ③当a ＞1时，因为当x ∈(0，a )时，g ′(x )＞0；当x ∈(a ，＋∞)时，g ′(x )＜0，且g (1)＝0，g (e a )＝1－e a ＋a 2.令W (a )＝a 2＋1e a ，则W ′(a )＝－(a －1)2e a ≤0；所以W (a )＜W (1)＜1，所以1＋a 2＜e a ，即g (e a )＜0.又因为a ＜1＋a 2＜e a ，故存在x 0∈(a ，e a )，满足f ′(x 0)＝0，x ∈(a ，x 0)，f ′(x )＞0；x ∈(x 0，e a )，f ′(x )＜0， 此时x ＝1是f (x )的唯一极小值点，x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点，f (x 0)＞f (1)＝0，不合题意．(11分) 综上可得：a ＜1.(12分)。
2020届高考总复习单元滚动测试卷文科数学答案
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高中数学滚动测试4椭圆(解析版)
滚动测试4椭圆（解析版）一、选择题。
1．已知方程b x a y +=和)1(2222>>=+b a b y x a ，那么它们在同一坐标系中的图象如下图所示可能是( )【解析】椭圆方程可化为122222=+b y ab x ，由1>>b a ，2221b a b <<∴，∴椭圆的焦点在y 轴上，由直线b x a y +=知直线过点),0(b ，选)(C 2．曲线192522=+y x 与)9(192522<=-+-k ky k x 有相同的( ))(A 短轴 )(B 焦点 )(C 准线 )(D 离心率【解析】当9<k 时，k k ->-925，从而k a -=252，k b -=92，16222=-=∴b a c ，选)(B3．椭圆的长半轴、短半轴、半焦距、分别为a ，b ，c ，则其焦点到相应准线的距离p 等于)(Ac a 2 )(B c b 2)(C a b 2 )(D ba 2 【解析】焦点到相应准线的距离为cb c c a c c a 2222=-=-，选)(B 4．双曲线191622=-y x 上的一点P ，到点)0,5(的距离为15，则该点到)0,5(-的距离为( ) )(A 7 )(B 23 )(C 5或25 )(D 7或23【解析】设所求的距离为x ，依定义有8|15|=-x ，解得7=x 或23，选)(D 5.椭圆1422=+y x 上一点P 到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是( ))(A 3 )(B 23 )(C 21 )(D 随P 点位置不同而变化【解析】42=a ，12=b ，32=c ，23=e ，点P 到两焦点距离之和为a 2，到两准线间的距离之和为ca 22⨯，故所求的比为23222===⨯e ac ca a ，选)(B6．椭圆13610022=+y x 上一点P 到它的左焦点的距离为12，则点P 到它的右准线的距离是( ) )(A 2 )(B 8 )(C 10 )(D 12【解析】1002=a ，362=b ，642=c ，54=e ，点P 到它的右焦点的距离为8122=-a ，∴点P 到它的右准线的距离是10548=，选)(C（C ）（D ）O O O O y yy y xx xx7．离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准准方程是( ))(A 15922=+y x )(B 15922=+y x 或19522=+y x )(C1203622=+y x )(D 1203622=+y x 或1362022=+y x 【解析】32=e ，62=a ，2=c ，52=b ，长轴长为6的椭圆的标准方程是15922=+y x 或19522=+y x ，选)(B 8．双曲线k y x =-222的焦距是6，则k 的值等于( ))(A 6 )(B 24 )(C 6± )(D 556± 【解析】若焦点在x 轴上，则22k a =，k b =2，从而k c 232=，而3=c ，92=∴c ，故923=k ；若焦点在y 轴上，可得923=-k ，6±=∴k ，选)(C 9.过椭圆13422=+y x 的焦点的最长弦和最短弦的长分别是( ) )(A 8，6 )(B 4，3 )(C 2，3 )(D 4，32【解析】最长弦为长轴长，∴最长弦为42=a ；最短弦为过焦点且垂直于轴的弦长，可求得1=c ，把1=x 代入13422=+y x 得23±=y ，∴最短弦为3232=⨯，选)(B10．若方程13222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是( ) )(A 2<k 或3>k )(B 32<<-k )(C 3>k )(D 22<<-k 或3>k【解析】方程13222=-+-ky k x 表示双曲线的条件是0)3()2(<-⋅-k k ，得2<k 或3>，选)(A 11．通过椭圆132522=+yx 的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的线段长等于( ) )(A5154 )(B 5152 )(C 556 )(D 553 【解析】52=a ，232=b ，272=c ，可取直线l 的方程为27=x 代入椭圆132522=+y x 得5103±=y ， ∴直线l 被椭圆截得的线段长等于553，选)(D12．直线1+=x y 被4222=+y x 椭圆所截得的弦的中点坐标是( ))(A )32,31(- )(B )31,32(- )(C )31,21(- )(D )21,31(-【解析】设弦为AB ，且),(11y x A ，),(22y x B ，联立1+=x y 与4222=+y x ，消去y 得关于x 的一元二次方程02432=-+x x ，由韦达定理求得3421-=+x x ，从而得AB 的中点横坐标为32-，代入1+=x y 得310=y ，∴弦的中点坐标是)31,32(-，选)(B二、填空题：13．椭圆125922=+y x 的准线方程为【解析】焦点在y 轴上，故准线方程为4252±=±=c a y ． 14．若椭圆12222=-a y ax 的一个焦点是)0,1(-，则a 的值为 【解析】椭圆方程可化为12222=-+a y a x ，02>-a得0<a ， 一个焦点是)0,1(-，∴焦点在x 轴上，1=c ，1)2(2=--∴a a 0222=-+⇔a a 得4171±-=a ，0<a ，4171--=∴a ． 15．双曲线1422=+y k x 的焦点坐标是 【解析】双曲线1422=+yk x 化为1422=--kx y ，其中42=a ，k b -=2，k c -=42，焦点在y 轴上，∴双曲线的焦点坐标是)4,0(k --和)4,0(k -16．椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则||ON 等于【解析】设另一焦点为2F ，依椭圆定义知，a MF MF 2||||21=+，8210||2=-=MF ，因为ON 为21F MF ∆的中位线，∴4||21||2==MF ON ．17．双曲线064422=+-y x 上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于【解析】双曲线064422=+-y x 可化为1166422=-x y ，162=a ，双曲线上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于12+a ，即17．18．设椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设定点)3,25(-A ，动点P 在椭圆上移动，（A 、P 不重合），则||5||PF AP +的最小值为【解析】点A 在椭圆上，52=a ，42=b ，12=c ，51=e ，||5PF 即为到右准线的距离，当PA 垂直准线时最小，右准线方程为5=x ，所求最小值为255+19.以椭圆1162522=+y x 的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是 【解析】所求椭圆中，4=a ，3=b ，且焦点在y 轴上，∴所求的椭圆方程是116922=+y x ． 20．已知点P 在4422=+y x 上移动，)0,1(-Q 为定点，则||PQ 的最大值为MONyF 2 F1【解析】由4422=+y x 得1||≤x ，2244x y -=，且22)1(||y x PQ ++=224412x x x -+++=316)31(32+--=x ，故当31=x 时，334||max=PQ ．。
2020版高考数学人教A(理)必刷滚动检测卷(规范卷)全辑(有解析)滚动检测七(1～12章)(规范卷)
滚动检测七(1～12章)(规范卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2x ≤14，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．(－3,6) B ．[6，＋∞)C ．(－3，－2]D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)答案 C解析 因为A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0} ＝{x |x ≤－3或x ≥6}, 所以∁R A ＝{x |－3<x <6}，又因为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－3<x ≤－2}＝(－3，－2]，故选C.2．已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a ＝5”是“OA →·OB →＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝2，化为5y 2－4ay ＋a 2－2＝0，∴Δ＝16a 2－20(a 2－2)>0，解得－10<a <10， ∴y 1＋y 2＝4a5，y 1y 2＝a 2－25，OA →·OB →＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴(2y 1－a )(2y 2－a )＋y 1y 2＝0，∴5y 1y 2－2a (y 1＋y 2)＋a 2＝0， ∴5×a 2－25－2a ×4a 5＋a 2＝0，解得a ＝±5，则“a ＝5”是“OA →·OB →＝0”的充分不必要条件，故选A.3．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝⎩⎨⎧－log 2(7－2x )，0<x ≤32，f (x －3)，x >32，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)等于( ) A ．log 25 B ．－log 25 C ．－2 D ．0答案 B解析 由已知，f (1)＝－log 25, f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝log 25， f (3)＝f (0)＝0，f (4)＝f (1)＝－log 25， f (5)＝log 25，f (6)＝0，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝673×(－log 25＋log 25＋0)－log 25＝－log 25.4．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.2π15 B.3π20 C ．1－2π15D ．1－3π20答案 C解析 直角三角形的斜边长为52＋122＝13，设内切圆的半径为r ，则5－r ＋12－r ＝13，解得r ＝2， ∴内切圆的面积为πr 2＝4π，∴豆子落在其内切圆外部的概率是P ＝1－4π12×5×12＝1－2π15，故选C.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2等于( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13 答案 C解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列， ∴6a 4＝a 6－a 5，∴6a 4＝a 4(q 2－q )，q >0， ∴q 2－q －6＝0，q >0，解得q ＝3， 则S 4S 2＝a 1(34－1)3－1a 1(32－1)3－1＝10，故选C. 6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( )A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5) B ．产品的生产能耗与产量呈正相关 C ．t 的取值是 3.15D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 答案 C解析 由x ＝184＝4.5，故A 正确；又由线性回归的知识可知D ，B 是正确的，故选C.7．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为( ) A ．x ＝－π24B ．x ＝π4C ．x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3，由4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝k π4－π24，k ∈Z ，当k ＝0时，离原点最近的对称轴方程为x ＝－π24，故选A.8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥a ，目标函数z ＝3x －2y 的最小值为－4，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1 D.12答案 C解析 作出约束条件所对应的可行域如图中阴影部分(包含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －1，y ＝a ， ∴A (a －1，a )，目标函数z ＝3x －2y 可化为y ＝32x －12z ，平移直线y ＝32x －12z 可知，当直线经过点A 时，截距取最大值，z 取最小值， ∴3(a －1)－2a ＝－4，解得a ＝－1，故选C.9．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π答案 C解析 由三视图可得该几何体为底面边长为4和m ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，其高为4，则13×4×m ×4＝323，∴m ＝2，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R ＝1242＋22＋42＝3, 故这个几何体的外接球的表面积为4πR 2＝36π.10．若抛物线C ：y 2＝2x cos A (其中角A 为△ABC 的一个内角)的准线过点⎝⎛⎭⎫25，4，则cos 2A ＋sin 2A 的值为( )A ．－825 B.85 C.825 D.1－2625答案 A解析 因为抛物线C ：y 2＝2x cos A (其中角A 为△ABC 的一个内角)的准线过点⎝⎛⎭⎫25，4， 所以抛物线C ：y 2＝2x cos A 的准线方程为x ＝25，所以cos A 2＝－25，即cos A ＝－45，因为角A 为△ABC 的一个内角，所以sin A ＝35，cos 2A ＋sin 2A ＝cos 2A ＋2sin A cos A ＝⎝⎛⎭⎫－452＋2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－825. 故选A.11．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①正确，②中直线l 与α可能平行也可能在α内，故②错；③中直线l ，m ，n 可能平行还可能相交于一点，故③错；④正确，故选B.12．已知A ，B 是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ex －2a，x ≥a ，f (2a －x )，x <a (其中常数a >0)图象上的两个动点，点P (a,0)，若P A →·PB →的最小值为0，则函数f (x )的最大值为( )A ．－1e 2B ．－1eC ．－e e 2D ．－e e答案 B解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ex －2a，x ≥a ，f (2a －x )，x <a (其中a >0)图象如图所示，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称， 当x <a 时，f (x )＝f (2a －x )＝－e (2a－x )－2a＝－e －x ，设P A 与f (x )＝－e －x 相切于点A ，设A (x 0，y 0)，∴f ′(x )＝e －x ，∴k AP ＝f ′(x 0)＝e －x 0＝－e －x 0x 0－a ，解得x 0＝a －1，∵此时P A →·PB →取得最小值0，∴P A →⊥PB →， ∴k P A ＝tan 45°＝1，∴e －x 0＝1，∴x 0＝0， ∴a ＝1，∴f (x )max ＝f (1)＝－1e，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知⎝⎛⎭⎫x ＋ax (2x －1)5展开式中的常数项为30，则实数a ＝________. 答案 3解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋a x (2x －1)5＝⎝⎛⎭⎫x ＋a x [C 05(2x )5＋…＋C 45(2x )(－1)4＋C 55(－1)5]， ∴展开式中的常数项为a x ·C 45·2x ＝30，解得a ＝3.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为2，若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________． 答案 x 28－y 28＝1解析 设双曲线的左焦点F (－c,0)， 离心率e ＝ca ＝2，c ＝2a ，则双曲线为等轴双曲线，即a ＝b ，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±x ，则经过F 和P (0,4)两点的直线的斜率k ＝4－00＋c ＝4c ＝1，∴c ＝4，a ＝b ＝22，∴双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.15．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝3，AD ＝1，BC ＝4，BD ＝22，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，其外接球的体积为________． 答案125π6解析 当BC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积最大， 由于AB ＝3，AD ＝1，BC ＝4，DB ＝22， ∴BD 2＋AD 2＝AB 2，则△ABD 为直角三角形，三棱锥A －BCD 的外接球就是以AD ，BD ，BC 为棱的长方体的外接球， 长方体的体对角线等于外接球的直径， 设外接球的半径为r ，则(2r )2＝42＋(22)2＋1，解得r ＝52，∴球体的体积为V ＝43π⎝⎛⎭⎫523＝125π6.16．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 020＝________. 答案4 0402 021解析 ∵对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，且a 1＝1， ∴令m ＝1代入得，都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴n ≥2时，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 以上n －1个式子相加可得，a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ＝(n －1)(n ＋2)2， 则a n ＝a 1＋12(n －1)(n ＋2)＝12n (n ＋1)(n ≥2)，当n ＝1时，符合上式， ∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 020＝2⎝⎛1－12＋12－13＋…＋12 020⎭⎫－12 021＝2⎝⎛⎭⎫1－12 021＝4 0402 021.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d (a 1 ∈Z ，d ∈Z )，前n 项的和为S n ，且S 7＝49,24<S 5<26.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项的和为T n ，求T n . 解 (1)由题意得⎩⎨⎧7a 1＋7×62d ＝49，24<5a 1＋5×42d <26，∵a 1∈Z ，d ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵ 1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. 18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A ＋33a ＝c .(1)求cos B ；(2)如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，D ＝2B ，且AD ＝1，CD ＝3，BC ＝6，求AB 的长．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A ＋33sin A ＝sin C ，又C ＝π－(A ＋B )， 所以sin B cos A ＋33sin A ＝sin (A ＋B )， 故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin A cos B ＝33sin A ， 又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝33. (2)因为D ＝2B ，所以cos D ＝2cos 2B －1＝－13，又在△ACD 中，AD ＝1，CD ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12， 所以AC ＝23，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝23，cos B ＝33， 所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即12＝AB 2＋6－2·AB ×6×33，化简得AB 2－22AB －6＝0，解得AB ＝3 2. 故AB 的长为3 2.19．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC, AB ＝6, BC ＝23， AC ＝26， D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB, CE ＝2EB, PD ⊥AC .(1)求证： PD ⊥平面ABC ；(2)若P A 与平面ABC 所成的角为π4，求平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角．(1)证明 由题意知AD ＝4，BD ＝2. ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°. ∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝236＝33.在△BCD 中，由余弦定理得 CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠DBC＝4＋12－2×2×23×33＝8. ∴CD ＝2 2.∴CD 2＋AD 2＝AC 2，∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AB ，又∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面P AB ，又PD ⊂ 平面P AB ，∴CD ⊥PD ，又PD ⊥AC, AC ∩CD ＝C ，AC ，CD ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥平面ABC .(2)解 由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，由P A 与平面ABC 所成的角为π4，知PD ＝4，则A (0，－4,0)，C (22，0,0)， B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴CB →＝(－22，2,0)，AC →＝(22，4,0)， P A →＝(0，－4，－4)， ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC, PD ⊥平面ABC ， ∴BC ⊥DE ，PD ⊥BC ，∵DE ∩PD ＝D ，DE ，PD ⊂平面PDE ， ∴CB ⊥平面PDE .∴CB →＝(－22，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AC →，n ⊥P A →，∴⎩⎨⎧22x ＋4y ＝0，－4y －4z ＝0，令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，∴n ＝(2，－1,1)为平面P AC 的一个法向量．∴|cos 〈n ，CB →〉|＝|n ·CB →||| |n CB →| ＝|－4－2|4·12＝32. 故平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为32， ∴平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.20．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u 0；(精确到个位)(2)研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布N (u ，σ2)(u ＝u 0，σ约为19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%.(ⅰ)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？(精确到个位) (ⅱ)从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及均值E (Y )．(说明：P (X >x 1)＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－μσ表示X >x 1的概率．参考数据：φ(0.725 7)＝0.6，φ(0.655 4)＝0.4)解 (1)该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为u 0＝65×0.05＋75×0.08＋85×0.12＋95×0.15＋105×0.24＋115×0.18＋125×0.1＋135×0.05＋145×0.03＝103.2≈103.(2)(ⅰ)记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为x 1，根据题意，P (x >x 1)＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－u σ＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－10319.3＝0.4，即φ⎝⎛⎭⎫x 1－10319.3＝0.6. 由φ(0.725 7)＝0.6，得x 1－10319.3＝0.725 7， 解得x 1≈117，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分．(ⅱ)因为Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，25，所以P (Y ＝i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫25i ⎝⎛⎭⎫354－i ，i ＝0,1,2,3,4.所以Y 的分布列为所以E (Y )＝4×25＝85. 21．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM ·k ON ＝k OA ·k OB ，求△OMN 面积的取值范围．解 (1)不妨设A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， 过A 点切线斜率存在，设为k (k ≠0)，则切线方程为y －p ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入y 2＝2px ， 消去x 得ky 2－2py ＋(2－k )p 2＝0，Δ＝4p 2－4k (2－k )p 2＝0，解得k ＝1，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线斜率为－1，抛物线在A 处的切线方程为y －p ＝x －p 2， 令y ＝0，得x ＝－p 2， ∴S ＝12·2p ·p ＝4，解得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由已知可得k OA ·k OB ＝－4,设M ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，N ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2(y 1y 2≠0)，则k OM ·k ON ＝y 1y 2116y 21·y 22＝－4，∴y 1y 2＝－4. 令直线MN 的方程为x ＝ty ＋n ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋n ，消去x 得y 2－4ty －4n ＝0, 则y 1y 2＝－4n ，y 1＋y 2＝4t ，∵y 1y 2＝－4，∴n ＝1.∴直线MN 过定点(1,0)，∴S △OMN ＝12|y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1216t 2＋16＝2t 2＋1. ∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2.综上所知，△OMN 面积的取值范围是[2，＋∞)．22．(12分)(2018·吉林省长春外国语学校模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＜g (x 2)，求a 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x(x >0)，f ′(1)＝2＋1＝3，f (1)＝2，所以斜率k ＝3， 又切点(1,2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)， ①当a ≥0时，由于x ＞0，故ax ＋1>0，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a. 在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )＞0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0， 所以，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (3)由已知，转化为f (x )max ＜g (x )max .g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0,1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 故f (x )的极大值即为最大值，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )， 所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.。
2020—2021年新高考总复习数学(理)阶段滚动月考卷(五)及答案解析.docx
阶段滚动月考卷(五)解析几何(时间:120分钟 分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动单独考查)设i 为虚数单位,若a+2i i=b-i(a,b ∈R),则a+b= ( ) A.1B.2C.3D.42.(滚动交汇考查)(2016·莱芜模拟)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P 在圆(x-2)2+y 2=1上”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·合肥模拟)若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r 的取值范围是 ( ) A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]4.(滚动单独考查)(2016·邢台模拟)若a>b>c,则使1a−b +1b−c≥ka−c恒成立的最大的正整数k 为 ( ) A.2B.3C.4D.55.(滚动单独考查)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x 的图象,则只需将f(x)的图象( )A.向右平移π6个长度单位B.向右平移π12个长度单位C.向左平移π6个长度单位 D.向左平移π12个长度单位6.(2016·滨州模拟)已知A,B 是圆O:x 2+y 2=1上的两个点,P 是线段AB 上的动点,当△AOB 的面积最大时,则AO →·AP →-AP →2的最大值是 ( ) A.-1B.0C.18D.127.(滚动交汇考查)如图,已知点D 为△ABC 的边BC 上一点,BD →=3DC →,E n (n ∈N *)为边AC 上的一列点,满足E n A →=14a n+1E n B →-(3a n +2)E n D →,其中实数列{a n }中a n >0,a 1=1,则数列{a n }的通项公式为 ( )A.a n =2·3n-1-1 B.a n =2n-1 C.a n =3n -2D.a n =3·2n-1-28.(2016·聊城模拟)已知点F 1,F 2分别是椭圆x 2a+y 2b =1(a>b>0)的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B 两点,若△ABF 2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ( ) A.(0,√2-1)B.(√2-1,1)C.(√2-1,+∞)D.(√3-1,1)9.曲线的方程为√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=2,若直线l:y=kx+1-2k 与曲线有公共点,则k 的取值范围是 ( ) A.[13,1]B.(13,1)C.(−∞,13]∪[1,+∞)D.(−∞,13)∪(1,+∞)10.(2016·南充模拟)已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C:y 2a2-x 2b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为4√55,点P 是抛物线y 2=8x 上的一动点,P 到双曲线C 的上焦点F 1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( )A.y 22-x 23=1B.y 2-x 24=1C.y 24-x 2=1D.y 23-x 22=1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)若实数x,y 满足{x −y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z=x+2y 的最小值是 .12.(2016·衡水模拟)已知双曲线x 2a-y 2b =1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为 . 13.(滚动单独考查)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是 .14.若对任意α∈R,直线l:xcos α+ysin α=2sin (α+π6)+4与圆C:(x-m)2+(y-√3m)2=1均无公共点,则实数m 的取值范围是 . 15.已知F 1,F 2为双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足|MF 1→|=3|MF 2→|,则此双曲线的渐近线方程为 .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=sin (2x −π3)+cos (2x −π6)+2cos 2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期. (2)若α∈[π4,π2]且f(α)=3√25,求cos2α.17.(12分)(滚动单独考查)(2016·银川模拟)在如图所示的多面体中,EF ⊥平面AEB,AE ⊥EB,AD ∥EF,EF ∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,点G 是BC 的中点. (1)求证:BD ⊥EG.(2)求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.18.(12分)(2016·滨州模拟)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为√22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P,Q.(1)求椭圆C 的方程.(2)试判断直线PQ 的斜率是否为定值,证明你的结论. (3)∠PMQ 能否为直角?证明你的结论.19.(12分)(2016·泰安模拟)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前六项和为60,且a 6为a 1与a 21的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *),且b 1=3,求数列{1b n}的前n 项和T n .20.(13分)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB 的距离为4√33,且a=√2b.(1)求椭圆C 的方程.(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 交椭圆于M,N 两点,且该椭圆上存在点P,使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线l 的方程.21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=ax+(1-a)lnx+1x(a ∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)当a<0时,求f(x)的单调区间.(3)方程f(x)=0的根的个数能否达到3,若能,请求出此时a的范围,若不能,请说明理由.答案解析1.C 因为a+2i i=b-i(a,b ∈R),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,则a+b=3.2.A 当x=2且y=-1时,(x-2)2+y 2=(2-2)2+(-1)2=1,满足点在圆上, 当x=1,y=0时,满足(x-2)2+y 2=1但x=2且y=-1不成立, 即“x=2且y=-1”是“点P 在圆(x-2)2+y 2=1上”的充分不必要条件.【加固训练】(2016·兰州模拟)如果直线ax+by=4与圆C:x 2+y 2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C 的位置关系是 ( ) A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内D.不能确定A 因为直线ax+by=4与圆C:x 2+y 2=4有两个不同的交点,所以圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=<2,所以a 2+b 2>4,所以点(a,b)在圆C 的外部. 3.A 因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于√16+9=5,由|5-r|<1得4<r<6.4.C 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c. 又因为a−c a−b +a−c b−c=a−b+b−c a−b+a−b+b−c b−c=2+b−c a−b +a−b b−c≥2+2=4,当且仅当b-c=a-b,即a+c=2b 时取等号. 所以k ≤a−c a−b +a−c b−c,k ≤4,故k 的最大正整数为4.5.A 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象可得A=1,T 4=14·2πω=7π12-π3,求得ω=2.因为题干中图象过点(π3,0),且|φ|<π2, 所以2×π3+φ=π,所以φ=π3,f(x)=sin (2x +π3).故把f(x)=sin (2x +π3)的图象向右平移π6个长度单位,可得y=sin [2(x −π6)+π3]=sin2x=g(x)的图象.6.C 由题意知:△AOB 的面积S=12|OA →||OB →|sin ∠AOB=12×1×1×sin ∠AOB=12sin ∠AOB,当∠AOB=π2时,S 取最大值12,此时OA →⊥OB →,如图所示,不妨取A(1,0),B(0,1),设P(x,1-x), 所以AO →·AP →-AP →2=AP →·(AO →-AP →)=AP →·PO →=(x-1,1-x)·(-x,x-1) =-x(x-1)+(1-x)(x-1)=(x-1)(1-2x)=-2x 2+3x-1,x ∈[0,1], 当x=-32×(−2)=34时,上式取最大值18.7.A 因为BD →=3DC →,所以E n C →=E n B →+BC →=E n B →+43BD →=E n B →+43(BE n →+E n D →)=-13E n B →+43E n D →,设m E n C →=E n A →,因为E n A →=14a n+1E n B →-(3a n +2)E n D →,-m 3E n B →+4m 3E n D →=14a n+1E n B →-(3a n +2)E n D →, 所以-13m=14a n+1,43m=-(3a n +2),所以14a n+1=14(3a n +2),所以a n+1+1=3(a n +1), 因为a 1+1=2,所以{a n +1}是以2为首项,3为公比的等比数列, 所以a n +1=2·3n-1, 所以a n =2·3n-1-1.8.B 因为点F 1,F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F 1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B 两点,所以F 1(-c,0),F 2(c,0),A (−c,b 2a),B (−c,−b 2a),因为△ABF 2是锐角三角形,所以∠AF 2F 1<45°,所以tan ∠AF 2F 1<1,所以b 2a2c<1,整理,得b 2<2ac,所以a 2-c 2<2ac,两边同时除以a 2,并整理,得e 2+2e-1>0, 解得e>√2-1,或e<-√2-1(舍),又因为0<e<1, 所以椭圆的离心率e 的取值范围是(√-1,1). 【误区警示】解答本题易出现以下错误:一是没有注意椭圆离心率的范围,而选错答案;二是运算错误得出错误选项. 9.A 方程√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=2表示的是动点P(x,y)到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为2,即有P 的轨迹为线段AB:y=0(-1≤x ≤1), 直线l:y=kx+1-2k 为恒过定点C(2,1)的直线, k AC =1−02−(−1)=13,k BC =1−02−1=1,直线l:y=kx+1-2k 与曲线有公共点,等价为k AC ≤k ≤k BC ,即为13≤k ≤1. 【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是不能观察曲线方程,造成不会解题;二是没有注意x 的取值范围,误将线段当作直线去做,造成结果错误.10.【解题提示】确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得b 与a 的关系,再利用抛物线的定义,结合P 到双曲线C 的上焦点F 1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,可得FF 1的值,从而可求双曲线的几何量,从而得出双曲线的方程.C 抛物线y 2=8x 的焦点F(2,0),双曲线C:y 2a2-x 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,因为抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C:y 2-x 2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为4√5,所以√22=4√55,所以a=2b.因为P 到双曲线C 的上焦点F 1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以FF 1=3,所以c 2+4=9,所以c=√5,因为c 2=a 2+b 2,a=2b,所以a=2,b=1,所以双曲线的方程为y 24-x 2=1.11.【解析】由实数x,y 满足{x −y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,作出可行域如图:因为z=x+2y,作出直线y=-12x,当直线y=-12x 过点O 时z 取得最小值,所以z=x+2y 的最小值是0. 答案:012.【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l 上, 令y=0,可得x=-5,即焦点坐标为(-5,0),所以c=5,因为双曲线x 2a-y 2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,所以ba=2,因为c 2=a 2+b 2,所以a 2=5,b 2=20, 所以双曲线的方程为x 25-y 220=1.答案:x 25-y 220=113.【解题提示】先进行换元,令lgx=t,则得t 2-2=[t],作y=t 2-2与y=[t]的图象可得解的个数.【解析】令lgx=t,则得t 2-2=[t].作y=t 2-2与y=[t]的图象,知t=-1,t=2,及1<t<2内有一解. 当1<t<2时,[t]=1,所以t=√.故得:x=110,x=100,x=10√3,即共有3个实根.答案:314.【解题提示】求出圆心到直线的距离大于半径,结合对任意α∈R 恒成立,即可求得实数m 的取值范围.【解析】由题意,圆心到直线的距离d= |mcos α+√3msin α-2sin (α+π6)-4|>1,所以|(2m-2)sin (α+π6)-4|>1,所以(2m-2)sin (α+π6)-4>1或(2m-2)sin (α+π6)-4<-1,所以-12<m<52.答案:-12<m<5215.【解析】根据题意由双曲线的性质:焦点到渐近线的距离等于b 可得:|MF 2→|=b,则|MF 1→|=3b,|OM →|=a,|OF 1→|=c, cos ∠F 1OM =cos(π-∠MOF 2) =-cos ∠MOF 2 =-a c ,在△MF 1O 中,由余弦定理可知a 2+c 2−9b 22ac=-ac,又因为c 2=a 2+b 2,所以a 2=2b2,即b a =√22, 所以双曲线的渐近线方程为y=±√22x.答案:y=±√22x【加固训练】若点P 是椭圆x 22+y 2=1上的动点,则点P 到直线l:y=x+1的距离的最大值是 .【解析】设P(√cos θ,sin θ),则点P 到直线l:y=x+1的距离为|√2cos θ−sin θ+1|√2=|√3sin(θ+α)+1|√2.所以点P 到直线l:y=x+1的距离的最大值是√3+1√2=√2+√62.答案:√2+√6216.【解析】(1)因为f(x)=12sin2x-√32cos2x+√32cos2x+12sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=√2sin (2x +π4).所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(α)=3√25,所以√2sin (2x +π4)=3√25,所以sin (2α+π4)=35,因为α∈[π4,π2],所以3π4≤2α+π4≤5π4,所以cos (2α+π4)=-45,所以cos2α=cos [(2α+π4)−π4]=cos (2α+π4)cos π4+sin (2α+π4)sin π4=-45×√22+35×√22=-√210.17.【解题提示】(1)过点D 作DH ∥AE,连接BH,GH,要证明BD ⊥EG,只需证明EG ⊥平面BHD,即证DH ⊥EG,BH ⊥EG 即可.(2)取DE 的中点M,连接GM,MH,先证明∠GMH 是二面角G-DE-F 的平面角,再在Rt △GMH 中,利用余弦定理,可求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)因为EF ⊥平面AEB,AE ⊂平面AEB,所以EF ⊥AE,又因为AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面BCFE,所以AE⊥平面BCFE.过D作DH∥AE交EF于点H,连接GH,则DH⊥平面BCFE. 因为EG⊂平面BCFE,所以DH⊥EG.因为AD∥EF,DH∥AE,所以四边形AEHD是平行四边形,所以EH=AD=2,所以EH=BG=2,又因为EH∥BG,EH⊥BE,EH=BE=2,所以四边形BGHE为正方形,所以BH⊥EG,又因为BH∩DH=H,BH⊂平面BHD,DH⊂平面BHD,所以EG⊥平面BHD.因为BD⊂平面BHD,所以BD⊥EG. (2)因为AE⊥平面BCFE,AE⊂平面AEFD,所以平面AEFD⊥平面BCFE,由(1)可知GH⊥EF,所以GH⊥平面AEFD,因为DE⊂平面AEFD,所以GH⊥DE.取DE的中点M,连接MH,MG,因为四边形AEHD是正方形,所以MH⊥DE因为MH∩GH=H,MH⊂平面GHM,GH⊂平面GHM,所以DE⊥平面GHM,所以DE ⊥MG,所以∠GMH 是二面角G-DE-F 的平面角, 在Rt △GMH 中,GH=2,MH=√2,MG=√6, 所以cos ∠GMH=√2√6=√33. 所以平面DEG 与平面DEF所成锐二面角的余弦值为√33.【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:因为EF ⊥平面AEB,AE ⊂平面AEB,BE ⊂平面AEB,所以EF ⊥AE,EF ⊥BE,又因为AE ⊥EB,所以EB,EF,EA 两两垂直.以点E 为坐标原点,以EB,EF,EA 所在直线分别为x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得,B(2,0,0),D(0,2,2),G(2,2,0). (1)EG →=(2,2,0),BD →=(-2,2,2),所以BD →·EG →=-2×2+2×2+2×0=0.所以BD ⊥EG. (2)由已知得EB →=(2,0,0),是平面DEF 的一个法向量. 设平面DEG 的法向量为n=(x,y,z), 因为ED →=(0,2,2),EG →=(2,2,0), 所以{ED →·n =0,EG →·n =0,即{y +z =0,x +y =0,令x=1,得n=(1,-1,1),设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ, 则cos θ=|cos<n,EB →>|=|EB ||||EB |u u u r g u u u r n n =2√3=√33.所以平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为√33. 18.【解析】(1)因为椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为√22.所以4a +1b =1,①且√a 2−b 2a =√22,②由①,②解得a 2=6,b 2=3, 所以椭圆C 的方程为x 26+y 23=1.(2)直线PQ 的斜率为定值,证明如下: 由题意可得直线MP,MQ 的斜率都存在.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).直线MP 的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C 的方程联立,得(1+2k 2)x 2+(8k 2-4k)x+8k 2-8k-4=0, 因为-2,x 1是该方程的两根,所以-2x 1=8k 2−8k−41+2k 2,即x 1=−4k 2+4k+21+2k .设直线MQ 的方程为y+1=-k(x+2), 同理得x 2=−4k 2−4k+21+2k 2.因为y 1+1=k(x 1+2),y 2+1=-k(x 2+2), 所以k PQ =y 1−y 2x 1−x 2=k(x 1+2)+k(x 2+2)x 1−x 2=k(x 1+x 2+4)x 1−x 2=1,因此直线PQ 的斜率为定值.(3)设直线MP 的斜率为k,则直线MQ 的斜率为-k, 假设∠PMQ 为直角,则k ·(-k)=-1,k=±1.若k=1,则直线MQ 的方程为y+1=-(x+2), 与椭圆C 方程联立,得x 2+4x+4=0, 该方程有两个相等的实数根-2,不合题意; 同理,若k=-1也不合题意. 故∠PMQ 不可能为直角.19.【解题提示】(1)设等差数列{a n }的公差为d,由题意建立方程组,求得d 和a 1,根据等差数列的通项公式和求和公式,分别求得a n 及前n 项和S n . (2)由(1)中的a n 和S n ,根据迭代法得:b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1,结合条件化简后求得b n ,再利用裂项法求得1b n ,代入前n 项和T n 再相消后化简即可.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则{6a 1+15d =60,a 1(a 1+20d)=(a 1+5d)2,解得{d =2,a 1=5. 所以a n =2n+3,S n =n(5+2n+3)2=n(n+4).(2)因为b n+1-b n =a n ,所以b n -b n-1=a n-1=2n+1(n ≥2,n ∈N *),当n ≥2时,b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1=S n-1+b 1 =(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2), 对b 1=3也适合, 所以b n =n(n+2)(n ∈N *), 所以1b n =1n(n+2)=12(1n−1n+2),则T n =12(1−13+12−14+⋯+1n −1n +2) =12(32−1n+1−1n+2)=3n 2+5n4(n+1)(n+2).20.【解析】(1)设直线AB 的方程为bx+ay-ab=0,坐标原点到直线AB 的距离为4√33=22,a 2b 2a +b=163,又因为a=√2b,解得a=4,b=2√2,故椭圆的方程为x 216+y 28=1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F 1(-2√,0),易知直线l 的斜率不为0,故可设直线l:x=my-2√2,点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 因为四边形MONP 为平行四边形,所以, OP →=OM →+ON →=(x 1+x 2,y 1+y 2)⇒P(x 1+x 2,y 1+y 2). 联立{x =my −2√2,x 2+2y 2−16=0 ⇒(m 2+2)y 2-4√2my-8=0,则y 1+y 2=4√2mm +2,x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4√2,所以x 1+x 2=−8√2m +2,因为点P(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上, 所以(x 1+x 2)2+2(y 1+y 2)2=16⇒(−8√2m 2+2)2+2(4√2mm 2+2)2=16⇒m=±√那么直线l 的方程为x=±√y-2√21.【解题提示】(1)代入a 的值,求出定义域,求导,利用导数求出单调区间,即可求出极值.(2)直接对f(x)求导,根据a 的不同取值,讨论f(x)的单调区间. (3)由第二问的结论,即函数的单调区间来讨论f(x)的零点个数. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=0时,f(x)=lnx+1x,f ′(x)=1x -1x2=x−1x 2.令f ′(x)=0,解得x=1, 当0<x<1时,f ′(x)<0; 当x>1时,f ′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1), 单调递增区间是(1,+∞);所以x=1时,f(x)有极小值为f(1)=1,无极大值. (2)f ′(x)=a-a−1x-1x2=ax 2−(a−1)x−1x 2=(ax+1)(x−1)x 2(x>0),令f ′(x)=0,得x=1或x=-1a, 当-1<a<0时,1<-1a ,令f ′(x)<0,得0<x<1或x>-1a,令f ′(x)>0,得1<x<-1a;当a=-1时,f ′(x)=-(x−1)2x ≤0.当a<-1时,0<-1a<1, 令f ′(x)<0,得0<x<-1a 或x>1,令f ′(x)>0,得-1a<x<1;综上所述:当-1<a<0时,f(x)的单调递减区间是(0,1),(−1a,+∞),单调递增区间是(1,−1a);当a=-1时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a<-1时,f(x)的单调递减区间是(0,−1a),(1,+∞),单调递增区间是(−1a,1).(3)当a≥0时,f′(x)=(ax+1)(x−1)(x>0),x2f′(x)=0(x>0)仅有1解,方程f(x)=0至多有两个不同的解.,+∞)上由(2)知-1<a<0时,极小值f(1)=a+1>0,方程f(x)=0至多在区间(−1a有1个解.a=-1时f(x)单调,方程f(x)=0至多有1个解;)<f(1)=a+1<0,a<-1时,f(−1a)内有1个解;方程f(x)=0仅在区间(0,−1a故方程f(x)=0的根的个数不能达到3.关闭Word文档返回原板块美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
【高考复习】2020年高考数学(文数) 椭圆 小题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(文数)椭圆 小题练一、选择题1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y24=1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．2232.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24=1B ．x 24＋y 23=1 C ．x 24＋y 23=1 D ．x 24＋y 2=13.与椭圆9x 2＋4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24=1 B ．x 2＋y 26=1 C.x 26＋y 2=1 D.x 28＋y 25=14.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27=1 B ．x 216＋y 27=1或x 27＋y 216=1 C.x 216＋y 225=1 D ．x 216＋y 225=1或x 225＋y 216=15.已知动点M(x ，y)满足(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2=4，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段6.已知圆(x ＋2)2＋y 2=36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7.已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x ，y)在直线l ：y =x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A ．55B ．105C ．255D ．21058.椭圆x 2＋my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( )A ．12B ．2C ．4D ．149.已知椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P.若AP ―→=2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.1210.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是( )A.13 B ．33 C.34 D ．22311.设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B ．513 C.49 D ．5912.已知椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F.以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( ) A.35 B ．12 C.23 D ．34二、填空题13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac ＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．14.设e 是椭圆x 24＋y 2k =1的离心率，且e=23，则实数k 的值是________．15.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率是________．17.设F1，F2是椭圆x249＋y224=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=4∶3，则△PF1F2的面积为________．18.设椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为 .答案解析1.答案为：C ；解析：根据题意，可知c =2，因为b 2=4，所以a 2=b 2＋c 2=8，即a =22，所以椭圆C 的离心率为e =222=22．故选C ．2.答案为：C ；解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c =1，e =c a⇒a =2，b 2=a 2－c 2=3，因此其方程是x 24＋y23=1，故选C ．3.答案为：B ；4.答案为：B.解析：因为a=4，e=34，所以c=3，所以b 2=a 2－c 2=16－9=7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27=1或x 27＋y216=1.5.答案为：D ；解析：设点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由题意知动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|=4=|F 1F 2|， 故动点M 的轨迹是线段F 1F 2．故选D ．6.答案为：B ；解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM 是圆的半径，所以|PM|＋|PN|=|PM|＋|PA|=|AM|=6>|MN|，由椭圆定义知，动点P 的轨迹是椭圆．故选B ．7.答案为：A ；解析：A(－1，0)关于直线l ：y =x ＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B 交直线l 于点P ，则此时椭圆C 的长轴长最短，为|A′B|=25，所以椭圆C 的离心率的最大值为15=55．故选A ．8.答案为：D ；解析：由x 2＋y21m=1及题意知，21m =2×2×1，m =14，故选D ．9.答案为：D ；∵AP ―→=2PB ―→，∴|AP ―→|=2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA||AB|=|AO||AF|=23，即a a ＋c =23，∴e=c a =12.10.答案为：D.解析：不妨令椭圆方程为x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)．因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，所以2b=2a 3，即a=3b ，则c=a 2－b 2=22b ，则该椭圆的离心率e=c a =223.故选D.11.答案为：B.解析：由题意知a=3，b=5，c=2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM∥PF 2，因为OM⊥F 1F 2，所以PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|=b 2a =53.又因为|PF 1|＋|PF 2|=2a=6，所以|PF 1|=2a －|PF 2|=133，所以|PF 2||PF 1|=53×313=513，故选B.12.答案为：A.解析：因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即OC=bc a ， 因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ＋c 2，bc a ， 代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2=1，所以5e 2＋2e －3=0， 又0＜e ＜1，所以e=35.故选A.13.答案为：⎝⎛⎭⎫0，12；解析：∵c 2－b 2＋ac ＜0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac ＜0，即2c 2－a 2＋ac ＜0，∴2c 2a 2－1＋ca＜0，即2e 2＋e －1＜0，解得－1＜e ＜12.又∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.14.答案为：209或365； 解析：当k ＞4 时，有e=1－4k =23，解得k=365；当0＜k ＜4时，有e=1－k 4=23，解得k=209.故实数k 的值为209或365.15.答案为：x 216＋y24=1；解析：由题意可知e=c a =32，2b=4，得b=2，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24=1.16.答案为：63； 解析：由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F(c ，0)， ∴BF →=c ＋32a ，－b 2，CF →=c －32a ，－b 2，由∠BFC =90°，可得BF →·CF →=0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22=0，c 2－34a 2＋14b 2=0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)=0，亦即3c 2=2a 2，所以c 2a 2=23，则e =c a =63．17.答案为：24；解析：因为|PF 1|＋|PF 2|=14，又|PF 1|∶|PF 2|=4∶3，所以|PF 1|=8，|PF 2|=6.因为|F 1F 2|=10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.18.答案为：.。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1， 所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC→<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．]5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a 2＝3，解得a ＝－6.]6．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]；当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)．综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]7．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]8．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]9．[－1,6]解析 由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4；由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 10．[－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎨⎧ a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.11．－74解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.12.516解析 因为函数f (x )的周期是4，则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.13．8或－83解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.14．(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1. 当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点．因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 15．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ，∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }，∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}．∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a .解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．16．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2； 当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意． 所以实数a 的取值范围是[1,2]．17．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52， ∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．18．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2， 即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1， 此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3， 此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)．19．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t )(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，即ω(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313.因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．20．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x2－2x1(2x1＋1)(2x2＋1).∵函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴2x2－2x1>0.又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)，∵f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R,3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.∴k的取值范围是(－∞，－1 3)．。
2020届高考总复习单元滚动测试卷理科数学答案
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2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列6-数列(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测六 数 列第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－2，a 3＝2，则{a n }的公差d 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．－42．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．93．已知数列{a n }是等差数列，若a 2 016＋a 2 017<0，a 2 016·a 2 017<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．4 029B ．4 030C ．4 031D ．4 0324．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(n ＋1n )n －1C．a n＝n2D．a n＝n5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞06．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n－1，则满足a nn≤2的正整数n的集合为()A．{1,2} B．{1,2,3,4}C．{1,2,3} D．{1,2,4}7．设函数f(x)＝2x－cos x，{a n}是公差为π8的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5等于()A．0 B.1 16π2C.18π2 D.1316π28．若数列{a n}满足1a n＋1－pa n＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是()A．2 B．4C．6 D．8第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝3n＋a(n∈N*)，则实数a的值是________．10．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.11．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．12．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．13．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2na n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．14．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n.若对任意的自然数n ≥4，恒有32<a n <2，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．16．(13分)为了综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2015年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用．同时每年投放10万辆的机动车牌号．只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．(1)问：到2019年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；(2)根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解，问：至少需要多少年可以实现这一目标．(参考数据：0.954＝0.81,0.955＝0.77，lg 0.75＝－0.13，lg 0.95＝－0.02)17.(13分)已知数列{a n}满足a2＝5，且其前n项和S n＝pn2－n.(1)求p的值和数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5<S5，求b1的取值范围．18．(13分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .19.(14分)已知a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{a n }是递增的等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－12b n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .20．(14分在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，则S n ＝a n ＋1－12，(n ∈N *)． (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值．答案解析1．C [由a 1＋a 7＝2a 4＝－2得a 4＝－1，a 3＝2，d ＝－3，故选C.] 2．D [由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎨⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎨⎧ ab ＝4，2a ＝b －2解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.] 3．C [∵数列{a n }的前n 项和S n 有最大值， ∴数列{a n }是递减的等差数列． 又∵a 2 016＋a 2 017<0，a 2 016·a 2 017<0， ∴a 2 016>0，a 2 017<0，∴数列的前2 016项为正数，从第2 017项开始为负数， 由求和公式和性质可得S 4 031＝4 031a 2 016>0，S 4 032＝2 016(a 2 016＋a 2 017)<0， ∴S n 取最小正值时n ＝4 031.] 4．D [因为a n ＝n (a n ＋1－a n )， 所以a n ＋1a n＝n ＋1n ，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n .]5．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ， ∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.] 6．B [因为S n ＝2a n －1， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 而a nn ≤2，即2n －1≤2n ， 所满足的正整数n ＝1,2,3,4.]7．D [∵{a n }是公差为π8的等差数列， ∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，且a 1＝a 3－π4，a 2＝a 3－π8，a 4＝a 3＋π8，a 5＝a 3＋π4. ∵f (x )＝2x －cos x ，∴f (a 1)＋f (a 5)＝2a 1－cos a 1＋2a 5－cos a 5 ＝2(a 1＋a 5)－(cos a 1＋cos a 5) ＝4a 3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋π4＝4a 3－2cos a 3cos π4＝4a 3－2cos a 3， f (a 2)＋f (a 4)＝2a 2－cos a 2＋2a 4－cos a 4 ＝2(a 2＋a 4)－(cos a 2＋cos a 4) ＝4a 3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π8＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋π8＝4a 3－2cos a 3cos π8.∴f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5) ＝10a 3－cos a 3－(2＋2cos π8)cos a 3＝10a 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋2cos π8cos a 3＝5π，∴a 3＝π2，∴f (a 3)＝2×π2－cos π2＝π. ∴a 1＝π2－π4＝π4，a 5＝π2＋π4＝34π. ∴[f (a 3)]2－a 1a 5＝π2－34π×π4＝1316π2.]8．B [依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．]9．－1解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋a ，因为{a n }是等比数列，所以有3＋a ＝2，解得a ＝－1.10．1解析 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ， a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.11．10 100解析 由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1， 因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列， 所以S 100＝100×2＋2002＝10 100.12.2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝2＋nn －12，即a n ＝n n ＋12，令b n ＝1a n，故b n ＝2nn ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 13．4解析 ∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是等比数列． ∴R n ＝82a 11－3n 2－a 11－3n1－3a 1·3n 2＝3n 22－823n 2＋813n 21－3＝11－3×(3n 2＋813n 2－82)≤11－3(281－82) ＝643－1. 当且仅当3n 2＝813n 2⇒3n ＝81⇒n ＝4时等号成立．所以数列{R n }的最大项为第4项． 14．(0，＋∞)解析 a 1＝a ，a 2＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋aa ＋1＝2a ＋1a ＋1，a 4＝3a ＋22a ＋1.由题意对任意的自然数n ≥4，恒有32<a n <2，所以32<1＋1a n －1<2⇒1<a n －1<2，要使n ≥4都成立，只需32<a 4<2成立，所以32<3a ＋22a ＋1<2，解得a >0.15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15， 解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝21－2101－2＋1＋10×102 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.16．解 (1)设2015年年初机动车保有量为a 1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a 2万辆，a 3万辆，…，每年新增机动车10万辆，则a 1＝600，a n ＋1＝0.95a n ＋10.又a n ＋1－200＝0.95(a n －200)，且a 1－200＝600－200＝400， 所以数列{a n －200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列． 所以a n －200＝400·0.95n －1，即a n ＝400·0.95n －1＋200.所以2019年初机动车保有量为a 5＝400×0.954＋200＝524万辆．(2)由题意可知，a n ＝400·0.95n －1＋200<500，即0.95n －1<0.75，所以n >lg 0.75lg 0.95＋1＝7.5， 故至少需要8年的时间才能实现目标．17．解 (1)由题意，得S 1＝p －1，S 2＝4p －2. 因为a 2＝5，S 2＝a 1＋a 2，所以S 2＝4p －2＝p －1＋5，解得p ＝2.所以S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝(2n 2－n )－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.验证知n ＝1时，a 1符合上式，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，得T n ＝b 11－2n1－2＝b 1(2n －1)． 因为T 5<S 5，所以b 1(25－1)<2×52－5，解得b 1<4531.又因为b 1≠0，所以b 1的取值范围是(－∞，0)∪(0，4531)．18．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得⎩⎨⎧ a 1＝3，d ＝－1. 故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n .(2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －12. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n n ＋12，q ＝1，nq n ＋1－n ＋1q n ＋1q －12，q ≠1.19．解 (1)由题意得a 2＝3，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 25－2＝2， 所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，由S n ＝1－12b n 得，当n ＝1时b 1＝23， 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12b n －1－12b n ，得b n ＝13b n －1，所以数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列，所以b n ＝23n .(2)c n ＝a n ·b n ＝4n －23n ，T n ＝4×1－231＋4×2－232＋4×3－233＋…＋4×n －1－23n －1＋4n －23n ， 3T n ＝4×1－230＋4×2－231＋4×3－232＋…＋4×n －1－23n －2＋4n －23n －1， 两式相减得：2T n ＝2＋431＋432＋…＋43n －1－4n －23n ＝4－4n ＋43n ，所以T n ＝2－2n ＋23n .20．解 (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝a 2－12，得a 2＝1，∴a 2a 1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2， S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12.(2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n －2＝n －2， ∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2， c n ＝1n ＋1n ＋2＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋121－2n 1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1 ＝2n －1－1n ＋2. 由4T n >2n ＋1－1504，得4(2n －1－1n ＋2)>2n ＋1－1504， 即4n ＋2<1504，n >2 014. ∴使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015.。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(含答案解析)
4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）
附：相关系数r= ， ≈1.414.
19．已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
平移直线 ，当直线经过点 时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.
16．①③④
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
20．如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积．
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课时25 椭圆
模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）
1． 设P 是椭圆x 29＋y 2
5＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2
＝1上的点，则|PM |
＋|PN |的最小值、最大值分别为( )
A ．4,8
B ．2,6
C ．6,8
D ．8,12 【答案】A
【解析】设椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，两圆的半径为R ，则由题意可知|PM|＋|PN|的最大值为|PF1|＋|PF2|＋2R ，最小值为|PF1|＋|PF2|－2R ，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a ＝6，R ＝1，所以|PM|＋|PN|的最大值为8，最小值为4.故选A.
2．经过椭圆x 24＋y 2
3＝1的右焦点任意作弦AB ，过A 作椭圆右准线的垂线AM ，垂足为M ，则直线BM 必经
过点( )
A ．(2,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C ．(3,0) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫72，0 【答案】B
3．已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于
A ，
B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则椭圆
C 的离心率e 的取值范围为( )
A ．(0，2－1)
B ．(0，3－1)
C ．(2－1,1)
D ．(3－1,1)
【答案】A
【解析】由△ABF 2为钝角三角形，得AF 1>F 1F 2，∴b 2a
>2c ，化简得c 2＋2ac －a 2<0，∴e 2
＋2e －1<0，又
0<e <1，解得0<e <2－1，选A.
4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12
，右焦点为F (c ,0)，方程ax 2
＋bx －c ＝0的两个实根分别
为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )
A ．必在圆x 2
＋y 2
＝2内 B ．必在圆x 2
＋y 2
＝2上 C ．必在圆x 2
＋y 2
＝2外 D ．以上三种情形都有可能 【答案】A
5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心、右焦点、右顶点及右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、G 、H ，则
|FG |
|OH |
的最大值为( )
A.1
2 B.1
3 C.1
4 D ．不确定
【答案】C
【解析】由题意得|FG ||OH |＝a －c a 2c
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a ＝－e 2
＋e ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＋14≤14
，因此选C.
6．方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端
点，若31DF u u u u r ＝DA u u u r
＋22DF u u u u r ，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.13
C.14
D.15 【答案】D
【解析】设点D (0，b )，则1DF u u u u r ＝(－c ，－b )，DA u u u r ＝(－a ，－b )，1DF u u u u r ＝(c ，－b )，由31DF u u u u r ＝
DA u u u r ＋22DF u u u u r 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝1
5
.
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使
a
si n∠PF 1F 2＝
c
sin∠PF 2F 1
，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
【答案】(2－1,1)
【规律总结】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|+|PF 2|=2a ，得到a 、c 的关系. （2）对△F 1PF 2的处理方法
8．已知A 、B 为椭圆C ：x 2
m ＋1＋y 2m
＝1的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且∠APB 的最大值是
2π
3
，则实数m 的值是________． 【答案】1
2
【解析】由椭圆知识知，当点P 位于短轴的端点时，∠APB 取得最大值，根据题意则有tan π3＝m ＋1
m
⇒
m ＝12
.
9．若F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是该椭圆上的一个动点，且|PF 1|＋|PF 2|
＝4，|F 1F 2|＝2 3.
(1)求出这个椭圆的方程；
(2)是否存在过定点N (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，使OA →⊥OB →
(其中O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的斜率k ；若不存在，说明理由．
【失分点分析】（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后 得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离.
（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两
根之积的形式，这是进一步解题的基础.
（3）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦的端点坐标,代入方程，用点差法求弦的斜率.注意求出方程后，通常要检验.
10． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 2
5
＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点
T (t ，m )的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.
(1)设动点P 满足PF 2
－PB 2
＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝1
3
，求点T 的坐标．
[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）
11．（5分）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过
椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是________．
【答案】4a或2(a－c)或2(a＋c)
【解析】设靠近A的长轴端点为M，另一长轴的端点为N.若小球沿AM方向运动，则路程应为2(a－c)；若小球沿AN方向运动，则路程为2(a＋c)；若小球不沿AM与AN方向运动，则路程应为4a.
12．（5分）定义：离心率e＝5－1
2
的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的一个焦
点为F(c,0)(c>0)，P为椭圆E上的任意一点，若a，b，c不是等比数列，则( ) A．E是“黄金椭圆”
B. E一定不是“黄金椭圆”
C. E不一定是“黄金椭圆”
D. 可能不是“黄金椭圆”
【答案】B。