浙江省杭州市2018届高考数学总复习专题训练六最值、范围、证明问题(无答案)
(浙江版)2018年高考数学复习： 专题3.4 利用导数研究函数的极值,最值(讲)
专题3.4 利用导数研究函数的极值，最值【考纲解读】【知识清单】1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 对点练习：【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1【答案】A 【解析】2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．对点练习：【2017北京，理19】已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-.【考点深度剖析】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势．【重点难点突破】考点1 应用导数研究函数的极（最）值问题【1-1】【2017河北武邑三调】已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++. （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，求函数()f x 的单调增区间.【答案】（1）极小值为142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无极大值；（2）当2a =-时，增区间()0,+∞，当20a -<<时，增区间11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当2a <-时，增区间11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷6(答案+解析)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷6参考公式： 球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh=球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径1()3a b V h S S =+柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U ＝R ，A ＝}02|{2<-x x x ，B ＝}1|{≤x x ，则)(B C A u ⋂＝（）A ．01{|}xx <≤B ．12{|}x x ≤<C ．02{|}x x <<D ．12{|}x x << 2．设11i z =+，21i z =-（i 是虚数单位），则2111z z +＝（） A ．1B ．－1C ．iD ．－i3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．“a ＝1”是“函数||)(x a x f -=在区间[1，＋∞)内为增函数”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（） A ．若α//m ，α//n ，则n m // B ．若γα⊥，γβ⊥，则βα// C ．若α//m ，β//m ，则βα//D ．若α⊥m ，α⊥n ，则n m //6．已知向量a ，b ，c 满足||||||c b a ==＝1，且a ＋b ＝c，则（） A ．（a ＋c）∥bB ．（a ＋c）⊥bC ．a ·c ＞b ·cD ．a ·c ＜b ·c7．已知,,a b c 成等比数列，,,a x b 和,,b y c 都成等差数列，且0xy ≠，那么ycx a +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数满足：①定义域为R ；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A ．15B ．10C ．9D ．89．在如图所示的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A ．73B ．74 C ．141 D ．1413 10．如图，在三棱锥P -ABC 中，D 、E 分别是BC 、AB 的中点，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =90°，AB ≠AC ，AC ＞AD ，PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P －BC()f x x R ∀∈(2)2()f x f x +=[0,2]x ∈()2|22|f x x =--()()([8,8])ϕx f x x =∈-()ϕx－A 的平面角为γ，则,,αβγ的大小关系是（）A ．αβγ<<B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γβα<<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.抛物线2(0)y ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为2，则a =_____；POF ∆的面积为__________；12. 若不等式组240,340,0,x y ax y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a 的值为．若z =x +y ，求z 的最大值_______13.直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于),(11y x A 和),(22y x B 两点，则12x x =________，若过该抛物线的焦点的最短弦长为4，则该抛物线的焦点坐标是______. 14．已知函数()ϕω+=x y cos [)(002π),,ωϕ>∈的部分图象如图所示，则ϕ的值为________，该函数与函数|lg |y x =的交点的个数有_____个.15．已知两点，为坐标原点，若t 的值为. 16．有3辆不同的公交车，3名司机，6名售票员，每辆车配备一名司机，2名售票员，则所有的安排方法数有____________种.17．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列(2,2),(2,1)A B O 25OA tOB -≤n )1(x x y n -=2x =y n a的前项和的公式是__________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题14分）在中,内角对边的边长分别是.已知.（Ⅰ）若,求；（Ⅱ）若,求的面积.19．（本题14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值； （3）求CD 与平面AOB 所成的角中最大角的正切值．1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n ABC △,,A B C ,,a b c 2,3c C π==ABC △,a b sin sin()2sin 2C B A A +-=ABC △20．（本题15分）已知函数()()222ln f x x x a x a =-++∈R ．（1）若1a =，求函数在()1,1A 处的切线方程；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：()252ln24f x ->.21．（本题15分）已知椭圆1C ：22221x y a b+= (0a b >>)，直线:2L y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1L 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2L 垂直1L 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2L 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）若AC 、BD 为椭圆1C 的过右焦点2F 的两条相互垂直的弦，求四边形ABCD 面积的最小值．22．（本题15分）已知数列{}n a 满足：1121,1(1)n n n a a a a n +==++，（其中*n ∈N ） （1）证明：12(1)nn n a a a n +≥++；（2）证明：12131n a n n +<<++.【参考答案】一、选择题 1．D【解析】A ={x |0<x <2},C u B ={x |x >1},∴)(B C A u ⋂=12{|}xx <<. 2．A 【解析】2111z z +=111i 1+i11+i 1-i 22-+=+=. 3．B【解析】本题考查的是几何体的三视图所以应选B 4．A【解析】“a ＝1”能推出“函数||)(x a x f -=在区间[1，＋∞)内为增函数”,反之不行,所以应选A 5．D 6．B【解析】∵||||||c b a ==＝1，且a ＋b ＝c ，∴a ,b ,c的关系如图所示,观察可得B.7．B【解析】由已知可得()()()212223b ac x a b y b c ⎧=⎪=+⎨⎪=+⎩ .注意到a c ay cx x y xy ++=，可从已知中整理出： ()222b b a c ay cx +++=，()224b b ac xy ++=，代入上式即可得到.选B8．B ．【解析】当42≤<x 时，220≤-<x ，由x ∀∈R ，有)(2)2(x f x f =+；及当]2,0[∈x 时，()2|22|f x x =--，得|3|44)2(2)(--=-=x x f x f ，同理64≤<x时，|5|88)2(2)(--=-=x x f x f ，当86≤<x 时，|7|1616)2(2)(--=-=x x f x f ，当02<≤-x 时，|1|1)(+-=x x f ，当24-<≤-x 时，|3|2121)(+-=x x f ，当46-<≤-x 时，|5|4141)(+-=x x f ，当68-<≤-x 时，|7|8181)(+-=x x f ，由||)(x x f =]8,8[-∈x ，利用函数图象可知共有10个零点.故选B.9．D【解析】考虑其对立事件，至少有两个数位于同行或同列的对立事件为这三个数位于不同行也不同列，所以其概率为11132139C C C 131C 14⋅⋅-=，故选D. 10．A【解析】如图所示：∵D 、E 分别是BC 、AB 的中点，∴DE //AC ，∴PC 与DE 所成角为α，即∠PCA ，∵P A ⊥平面ABC ，∴PD 与平面ABC 所成角为β，即∠PDA ，过点A 作AQ ⊥BC ，垂足为Q ，连接PQ ，∵P A ⊥平面ABC ，∴二面角P -BC -A 的平面角为γ，即∠PQA ，则AC >AD >AQ ，在Rt △P AC ，Rt △P AD ，Rt △P AQ 中：tan ∠PCA < tan ∠PDA < tan ∠PQA ,即 tan α< tan β< tan γ，又∵α，β，γ∈（0，π2），∴α<β<γ.二、填空题 11．24【解析】准线方程为4a x =-，所以32224a a +=∴=.抛物线方程变为22y x =，焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点P坐标代入方程的0y =POF ∆的面积为1122⨯=12．4, 413．2124p x x =，（1，0）【解析】易求得抛物线的焦点,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭. 若l ⊥x 轴，则l 的方程为212,24P P x x x ==显然.若l 不垂直于x 轴，可设()2P y k x =-,代入抛物线方程整理得04)21(222=++-p x kp p x ，则4221P x x =，综上可知2214p x x =.最短弦长为2p ＝4，所以p =2,焦点坐标为（1，0）.14．7π4，6 【解析】），，图像过（，又08322,2)8387(πππωπππ ==∴=⨯-=T [)3π7πcos(2)002π84,,.ϕϕϕ∴⨯+=∈∴=且∴函数解析式为7πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，补全图象并画出函数|lg |y x =的图象，两个函数图象的交点的个数有6个. 15．56【解析】∵)2,2(=OA ，),2(t t OB t =,∴552)2()22(||22≤-+-=-t t t ，解得0)65(2≤-t ，∴56=t . 16．540【解析】第一步，将3名司机与6名售票员平均分成三组，有222642C C C 种不同的分法，第二步将这三组平均分给三辆车，有33A 种不同的分法，由分步计数原理得共有方法数为22236423C C C A ＝540种.17．221-+n【解析】∵)1(x x y n-=，∴n n n n x n nx x x nx y )1()1(11+-=--='--，∴1122)2(2)1(2|--=⋅+-=⋅+-⋅='n n n x n n n y ，nf 2)2(-=，故所求的切线方程为)2(2)2(21-⋅+-=+-x n y n n ，令0=x ，则nn y 2)1(⋅+=，三、解答题18．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，， 又因为． 联立方程组解得，．（Ⅱ）由题意得， 即， 当时，，，，当时，得，由正弦定理得联立方程组解得所以的面积． 19解：（1）∵a 3，a 5是方程x 2-14x +45=0的两根，且数列{a n }的公差d ＞0， ∴a 3=5，a 5=9，公差d =5353a a -- =2. ∴a n =a 5+(n -5)d =2n -1. 又当n =1时，有b 1=S 1=112b -, ∴b 1=13, 当n ≥2时，有b n =S n -S n -1=12(b n -1-b n ), ∴1n n b b - =13(n ≥2).∴数列{b n }是首项b 1=13，公比q =13的等比数列，∴b n =b 1q n -1=13n . （2）由（1）知c n =a n b n =213nn -,∴T n =113+233+353+…+213nn -,① 224a b ab +-=ABC △1sin 2ab C =4ab =2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，2a =2b =sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=sin cos 2sin cos B A A A =cos 0A =2A π=6B π=3a =3b =cos 0A ≠sin 2sin B A =2b a =2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，a =b =ABC △1sin 2S ab C ==13T n =213+333+453+…+233n n -+1213n n +-,② ①-②得23T n =13+223+323+…+23n -1213n n +-=13+2(213+313+…+13n )-1213n n +-, 整理得T n =113n n +-. 20．解：解法一：（1）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥， 又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（2）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ∠===．∴cos CDE ∠=异面直线AO 与CD 所成角的余弦值为46．（3）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD ==． 当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OB OD AB==，tan CDO =， CD ∴与平面AOB 所成角中最大角的正切值为332．解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，(0D ，(00OA ∴=，，(2CD =-， ∴,cos CD OA >=<4622326=⋅． ∴异面直线AO 与CD 所成角的余弦值为46． （III ）同解法一 20．解：（1）当1a =时，()222ln f x x x x =-++，()122f x x x-'=+，()11f '=，所以在()1,1A 处的切线方程为()()111y f x '-=-，化简得0x y -=.（2）函数定义域为()0,+∞，()22222a x x a f x x x x='-+=-+则12,x x 是方程2220x x a -+=的两个根，所以121x x +=，又12x x <，所以2112x <<.22222a x x =-，所以()()222222222222ln f x x x x x x =-++-. 令()()2212222ln (1)2g t t t t t t t =-++-<<， 则()()()2224ln 2224ln g t t t t t t t =-+-+-=-'，又1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()0g t '>，则()g t 在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内为增函数，所以()152ln224g t g -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以()252ln24f x ->.21.解：（1）∵3e =，∴2e ＝22c a ＝222a b a -＝13，∴2223a b =. ∵直线:2L y x =+与圆222x y b +=相切，∴b ，22b =，∴23a =.∴椭圆1C 的方程是22132x y +=. （2）∵2||||MP MF =，∴动点M 到定直线1:1L x =-的距离等于它到定点2(1,0)F 的距离， ∴动点M 的轨迹2C 是以1L 为准线，2F 为焦点的抛物线．∴点M 的轨迹2C 的方程为24y x =.（3）当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A (1x ，1y )，C (2x ，2y )， 则直线AC 的方程为(1)y k x =-． 联立22132x y +=及(1)y k x =-得，2222(23)6360k x k x k +-+-=， 所以12x x +＝22623k k+，21223623k x x k -=+，||AC =. 由于直线BD 的斜率为1k -，用1k-代换上式中的k 可得||BD . 因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为1||||2S AC BD =＝222224(1)(23)(23)k k k +++， 由于22(23)(23)k k ++≤[2222323()2k k +++＝225(1)[]2k +，所以9625S ≥， 当222323k k +=+，即1k =±时取等号．易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积4S =. 综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625. 22.（1）证明：由121(1)n n n a a a n +=++得2120(1)n n n a a a n +-=>+， 从而111n n a a a +>≥=，可得122111(1)(1)n n n a a a n n +=+≥+++，即12(1)n n n a a a n +≥++. （2）证明：由121(1)n n n a a a n +=++得12111(1)n n n n n n a a a a a n a +++-=⋅+，由第（1）题可知101n n a a +<<，从而1221111111111(1)(1)(1)1n n n n n n n n a a a a a a a n a n n n n n ++++-=-=<<=-++++， 累加得1111111n a a n +-<-+，即11n a n +<+，于是111n a n +<+， 当2n ≥时，n a n <，又11a =，故n a n ≤， 又12212111(1)(1)11n n n a a n n a n n n n ++=+≤+<+=++++，得11.2n n a n a n +++， 从而221111111111(1)(1)2(1)(2)12n n n n a n a a n a n n n n n n +++-=>==-+++++++， 累加得11111122n a a n +->-+，即12(2)2(1)43n n n a n n +++>>++，于是1213n a n n +>++， 故命题12131n a n n +<<++成立.。
浙江省杭州市2018年高考数学命题比赛试题25(word版含答案)
2018年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表考试设计说明本试卷设计是在认真研读《2018年考试说明》的基础上精心编制而成，以下从三方面加以说明。
一、在选题上：（1）遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。
（2）试卷保持相对稳定，适度创新，逐步形成“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的特色。
二、命题原则：（1）强化主干知识，从学科整体意义上设计试题．（2）注重通性通法，强调考查数学思想方法．（3）注重基础的同时强调以能力立意，突出对能力的全面考查．（4）考查数学应用意识，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则．（5）结合运动、开放、探究类试题考查探究精神和创新意识．（6）体现多角度，多层次的考查，合理控制试卷难度。
2018年浙江省高考模拟试卷 数学卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共40分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷上无效。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V S h =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
2018年高考浙江卷数学试题解析(精编版)(解析版)
2018年高考浙江卷数学试题解析(精编版)(解析版)点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10. 已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省杭州市2018年高考数学命题比赛试题18(word版含答案)
2018年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表考试设计说明本试卷设计是在认真研读《2018年考试说明》的基础上精心编制而成，以下从三方面加以说明。
一、在选题上：（1）遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。
（2）试卷保持相对稳定，适度创新，逐步形成“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的特色。
二、命题原则：（1）强化主干知识，从学科整体意义上设计试题．（2）注重通性通法，强调考查数学思想方法．（3）注重基础的同时强调以能力立意，突出对能力的全面考查．（4）考查数学应用意识，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则．（5）结合运动、开放、探究类试题考查探究精神和创新意识．（6）体现多角度，多层次的考查，合理控制试卷难度。
2018年高考模拟试卷 数学卷（时间 120 分钟 满分150 分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次 的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn n P k C p p k n -=-= ．球的表面积公式24S Rπ=，其中R 表示球的半径．球的体积公式343VRπ=，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式V S h =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 锥体的体积公式13V S h=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式121()3Vh S S =+，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝( ) A ． 3 B ． 5 C ． 6 D ．7 2．已知条件p ：x ≤1，条件q ：＜1，则q 是￢p 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知，函数y=f （x+φ）的图象关于（0，0）对称，则φ的值可以是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若直线xcos θ+ysin θ﹣1=0与圆（x ﹣cos θ）2+（y ﹣1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（ ） A ．B ．C ．D ．5．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．46．设0,0),0,(),1,(),2,1(>>-=-=-=b a b OC a OB OA ，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( ) A ．50 B ．80 C ．120 D ．1408．已知F 1、F 2分别是双曲线的左右焦点，A 为双曲线的右顶点，线段AF 2的垂直平分线交双曲线与P ，且|PF 1|=3|PF 2|，则该双曲线的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ．9．已知f (x )＝x 2＋3x ，若|x －a |≤1，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|f (x )－f (a )|≤3|a |＋3 B ．|f (x )－f (a )|≤2|a |＋4 C ．|f (x )－f (a )|≤|a |＋5 D ．|f (x )－f (a )|≤2(|a |＋1)210．如图，棱长为4的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°， 则顶点C 1到平面α的距离的最大值是( )A ．2(2＋2)B ．2(3＋2)C ．2(3＋1)D ．2(2＋1)非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．设全集集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ≤2}，N={x|y=}，那么M ∩N= ，C U N= ．12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ， 表面积为 ．13．已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=8π，则前9项的和S 9= ， cos （a 3+a 7）的值为 ．14．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2 次红球的概率为________；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数X 的期望为________．15. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，x ＋y －4≤0，x ≥1，x 2＋y 2xy的取值范围为________．16.设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b b a <b已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝6，则F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值为________．17．已知函数f (x )＝x 2－x －4x x －1(x <0)，g (x )＝x 2＋bx －2(x >0)，b ∈R .若f (x )图象上存在A ，B 两个不同 的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，则b 的取值范围为________．三、解答题（本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） 18．（本题满分14分）在∆A B C 中，a b c ，，分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a b c ，，成等比数列， 且a c a cb c 22-=-，求∠A 的大小及b B csin 的值.俯视图19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC ，PC 的 中点。
2018年度6月浙江数学专业考试卷及其内容规范标准答案
2018年6月浙江省数学学考试卷及答案一 选择题1. 已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则A B =I （ ） A. {1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}答案：B 由集合{1,2}A =，集合{2,3}B =，得{2}A B =I . 2. 函数2log (1)y x =+的定义域是（ ）A. (1,)-+∞B.[1,)-+∞C.(0,)+∞D.[0,)+∞ 答案：A∵2log (1)y x =+，∴10x +>，1x >-，∴函数2log (1)y x =+的定义域是(1,)-+∞. 3. 设R α∈，则sin()2πα-=（ ）A. sin αB.sin α-C.cos αD.cos α- 答案：C 根据诱导公式可以得出sin()cos 2παα-=.4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ） A. 2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 答案：D设球原来的半径为r ，则扩大后的半径为2r ，球原来的体积为343r π，球后来的体积为334(2)3233r r ππ=，球后来的体积与球原来的体积之比为33323843r r ππ=.5. 双曲线221169x y -=的焦点坐标是（ ） A. (5,0)-，(5,0) B.(0,5)-，(0,5)C.(0)，D.(0,， 答案：A因为4a =，3b =，所以5c =，所以焦点坐标为(5,0)-，(5,0).6. 已知向量(,1)a x =r ，(2,3)b =-r，若//a b r r ，则实数x 的值是（ ）A. 23-B.23C.32-D.32答案：AQ (,1)a x =r ，(2,3)b =-r ，利用//a b r r 的坐标运算公式得到320x --=，所以解得23x =-.7. 设实数x ，y 满足0230x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩，则x y +的最大值为（ ）A. 1B.2C.3D.4 答案：B作出可行域，如图：当z x y =+经过点(1,1)A 时，有ax 2m z x y =+=.8. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B =o ，30C =o ，1c =，则b =（ ） A.2B.答案：C由正弦定理sin sin b cB C=可得sin 1sin 4521sin sin 302c B b C ⋅︒====︒9. 已知直线l ，m 和平面α，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B因为“直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线”，但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义第六章不等式第1讲Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( )A.f (x )＝g (x )B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化 解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ).答案 B2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案 C3.(2017·宁波十校联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x<2}，则A ∩B 等于( )A.(1，3)B.(－∞，－1)C.(－1，1)D.(－3，1) 解析 依题意，可求得A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1).答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A.{a |0＜a ＜4}B.{a |0≤a ＜4}C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定 解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.答案 C二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}. 答案 {x |x ＞1}7.若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45 8.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________. 解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}.(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 即a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A.a >b ＋1B.a >b －1C.a 2>b 2D.a 3>b 3解析 A 项：若a >b ＋1，则必有a >b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a >b ，但不能推出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a >b －1，反之，由a >b －1不能推出a >b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2>b 2，但a >b 不成立；D 项：a >b 是a 3>b 3的充要条件，综上所述答案选A.答案 A12.(2017·丽水市调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( ) A.{x |x <－ln 2或x >ln 3}B.{x |ln 2<x <ln 3}C.{x |x <ln 3}D.{x |－ln 2<x <ln 3}解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，故选D. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3，故选D. 答案 D13.(2017·宁波检测)若不等式x 2＋ax －2＞0在R 上有解，则实数a 的取值范围是________；若在区间上有解，则实数a 的取值范围是________.解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (x )开口向上，∴对任意a ∈R ，f (x )>0在R 上有解；由于Δ＝a 2＋8＞0恒成立，所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根， 于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 答案 R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ).解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0. (1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 15.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3).(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围.解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①， 得f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。
2018年高考数学浙江卷(含答案与解析)
【解析】由 可得 ，即 ，即 ，如图，由几何意义得，b的终点B在以F为圆心，半径为1的圆上运动，a的终点A在射线OP上，当点B为点F到OP的垂线与圆F的交点时， 最小，即
【考点】平面向量的运算及几何意义
10.【答案】B
【解析】由 结构，想到常用对数放缩公式 ，所以 ，即 .若 ，则 即 而 ，故 ，即与 矛盾，所以 ，所以选B
1.已知全集 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
2.双曲线 的焦点坐标是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（）
A.2B.4C.6D.8
4.复数 ( 为虚数单位)的共轭复数是（）
A. B. C. D.
5.函数 的图象可能是（）
AB
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分14分）
已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若角 满足 ，求 的值.
19．（本小题满分15分）
如图，已知多面体 ， ， ， 均垂直于平面 ， ， ， ， .
柱体的体积公式： ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高.
锥体的体积公式： ，其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高.
球的表面积公式： ，其中 表示球的半径.
球的体积公式： ，其中 表示球的半径.
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【考点】直线与椭圆的位置关系以及平面向量等知识
2018年高考真题数学(浙江卷) Word版含解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( )A . ∅B . {1，3}C . {2，4，5}D . {1，2，3，4，5}2. 双曲线错误！未找到引用源。
−y 2=1的焦点坐标是( )A . (−错误！未找到引用源。
，0)，(错误！未找到引用源。
，0)B . (−2，0)，(2，0) C . (0，−错误！未找到引用源。
)，(0，错误！未找到引用源。
) D . (0，−2)，(0，2) 3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A . 2B . 4C . 6D. 8俯视图正视图4. 复数错误！未找到引用源。
(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A . 1+iB . 1−iC . −1+iD . −1−i5. 函数y =错误！未找到引用源。
sin 2x 的图象可能是( )此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号DC B A6. 已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. 设0<p <1则当p 在(0，1)内增大时( ) A . D (ξ)减小 B . D (ξ)增大C .D (ξ)先减小后增大D . D (ξ)先增大后减小8. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则( )A . θ1≤θ2≤θ3B . θ3≤θ2≤θ1C . θ1≤θ3≤θ2D . θ2≤θ3≤θ19. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为错误！未找到引用源。
浙江省杭州市高考数学总复习 专题训练六 最值、范围、证明问题(无答案)
专题复习六 最值、范围、证明问题例1．已知动圆Q 过定点F (0，－1)，且与直线l ：y ＝1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，且点A (0，2)在椭圆N 上．(1)求动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程和椭圆N 的标准方程；(2)若过F 的动直线m 交椭圆N 于B ，C 两点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC 的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z ＝S 1S 2，试求Z 的最小值．例2、已知椭圆C 1：x 216＋y 24＝1，直线l 1：y ＝kx ＋m (m ＞0)与圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1相切，且与椭圆C 1交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标为43，求m 的值； (2)过原点O 作l 1的平行线l 2交椭圆于C ，D 两点，设|AB |＝λ|CD |，求λ的最小值．例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点B (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围．例4、如图7513所示，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM ·k ON ＝k OA ·k OB ，求△OMN 面积的取值范围．例5、经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (1)若一条直径的斜率为13，求该直径的共轭直径所在的直线方程； (2)如图7514，若椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为k 1，k 2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．例6、已知椭圆C 1: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，P (－2，1)是C 1上一点．(1)求椭圆C 1的方程．(2)设A ，B ，Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交C 1于C ，D 两点(异于P ，Q 两点)，点C 关于原点的对称点为E .证明：直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．。
浙江省杭州市18届高考数学总复习专题训练六最值、范围、证明问题(无答案)
专题复习六 最值、范围、证明问题例1．已知动圆Q 过定点F (0，－1)，且与直线l ：y ＝1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，且点A (0，2)在椭圆N 上．(1)求动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程和椭圆N 的标准方程；(2)若过F 的动直线m 交椭圆N 于B ，C 两点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC 的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z ＝S 1S 2，试求Z 的最小值．例2、已知椭圆C 1：x 216＋y 24＝1，直线l 1：y ＝kx ＋m (m ＞0)与圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1相切，且与椭圆C 1交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标为43，求m 的值； (2)过原点O 作l 1的平行线l 2交椭圆于C ，D 两点，设|AB |＝λ|CD |，求λ的最小值．例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点B (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围．例4、如图7513所示，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM ·k ON ＝k OA ·k OB ，求△OMN 面积的取值范围．例5、经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (1)若一条直径的斜率为13，求该直径的共轭直径所在的直线方程； (2)如图7514，若椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为k 1，k 2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．例6、已知椭圆C 1: x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，P (－2，1)是C 1上一点．(1)求椭圆C 1的方程．(2)设A ，B ，Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交C 1于C ，D 两点(异于P ，Q 两点)，点C 关于原点的对称点为E .证明：直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．。
专题6-5 数列的综合应用讲-2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版 含解析 精品
2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第六章数列第05节数列的综合应用【考纲解读】【知识清单】一、等差数列和等比数列比较对点练习：【2018年届广西桂林市柳州市高三模拟金卷】已知错误！未找到引用源。
是等差数列，公差错误！未找到引用源。
不为零．若错误！未找到引用源。
， 错误！未找到引用源。
， 错误！未找到引用源。
成等比数列，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
.【答案】.二．数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前错误！未找到引用源。
项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
；当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
（错位相减法）.3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑错误！未找到引用源。
2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑错误！未找到引用源。
2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n ②等差数列中，错误！未找到引用源。
； ③等比数列中，错误！未找到引用源。
.对点练习：【2017届浙江台州中学高三10月月考】在等差数列错误！未找到引用源。
中，错误！未找到引用源。
，其前错误！未找到引用源。
项和为错误！未找到引用源。
，等比数列错误！未找到引用源。
的各项均为正数，错误！未找到引用源。
，公比为错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
． （1）求n a 与n b ；（2）证明：3211121<+++n S S S ． 【答案】（1）错误！未找到引用源。
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(浙江版)2018年高考数学复习： 专题2.3 函数的单调性与最值(讲)
第03节 函数的单调性与最值 【考纲解读】【知识清单】 1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 对点练习判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，则函数f(x)在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )(3)对于函数y ＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.( )(4)函数y ＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( )【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)×(4)若f(x)＝x ，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f(x)的单调递增区间可以是R.2.函数的最值1.最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得()0f x M =. 那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.2.最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； （2）存在0x I ∈，使得()0f x m =. 那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值. 对点练习【2017·厦门质检】函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【答案】3【解析】由于13x y ＝()在R 上单调递减，2(2)y log x ＝＋在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.【考点深度剖析】函数的单调性与最值是高考考查的重点、热点.常常以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围）、研究函数的最值等，有时与导数综合考查，题型涉及选择题、填空题及解答题多种．【重点难点突破】考点1 单调性的判定和证明【1-1】【2017·阜阳模拟】给定函数①12y x ＝，②12(1)y log x ＝＋，③|1|y x ＝－，④12x y ＋＝.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③. 【1-2】已知函数()211x f x x -=+，则()f x （ ） A.在(),0-∞上单调递增 B.在()0,+∞上单调递增C.在(),0-∞上单调递减D.在()0,+∞上单调递减【答案】B【解析】解法一：()()2132132111x x f x x x x +--===-+++ ，定义域为()(),11,-∞-+∞ ，且函数()f x 在区间(),1-∞-及()1,-+∞上均为单调递增函数，且()()0,1,+∞⊆-+∞，故函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，故选B.。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第3章 第3讲 导数与函数的极值、最值 Word版含解析
第3讲导数与函数的极值、最值最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知识梳理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)函数的极大值不一定比极小值大.()(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导数符号异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.函数f (x )＝－x 3＋3x ＋1有( ) A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值3解析 因为f (x )＝－x 3＋3x ＋1，故有y ′＝－3x 2＋3，令y ′＝－3x 2＋3＝0，解得x ＝±1，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：答案 D3.(选修2－2P32A4改编)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 A4.(2017·武汉模拟)函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1，2]上的最大值是________. 解析 y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8, 所以最大值为8.答案 85.函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝1处有极值，则常数a ＝________.解析 ∵f ′(x )＝1x －a ，∴f ′(1)＝1－a ＝0，∴a ＝1，经检验符合题意. 答案 16.(2017·杭州调研)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为________；最小值为________.解析 ∵y ＝x ＋2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴y ′＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令y ′＝0，得x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′<0，故x ＝π6时，∴y 最大＝y 极大＝π6＋3，又x ＝0时，y ＝2；x ＝π2时，y ＝π2，∴y 最小＝π2. 答案 π6＋3 π2考点一 用导数解决函数的极值问题 【例1】 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2－2x －4ln x ；(2)f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a (a ∈R 且a ≠0). 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ，令f ′(x )＝0得x ＝2或－1(舍).随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )有极小值(2)由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a .令f ′(x )＝0得x ＝0或2a .当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.规律方法 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值. (2)由函数极值求参数的值或范围.讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.【训练1】 (1)设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c .若f (x )在R 上无极值点，则实数a 的取值范围为________.(2)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A.a >－3 B.a <－3 C.a >－13D.a <－13解析 (1)由题得f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立. ①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.(2)y ′＝f ′(x )＝a e ax ＋3，当a ≥0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，∴f (x )无极值点； 当a <0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，∴1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a >0得a <－3，故选B.答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (2)B考点二 用导数解决函数的最值问题【例2】 (2017·郑州质检)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值. 解 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞).(2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x，a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 10，－a 2时，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增.易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1时，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意.②当1＜－a 2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意.③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意.综上有，a ＝－10.规律方法 (1)求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.【训练2】 已知函数f (x )＝(ax －2)e x 在x ＝1处取得极值. (1)求a 的值；(2)求函数在区间[m ，m ＋1]上的最小值. 解 (1)f ′(x )＝(ax ＋a －2)e x ， 由已知得f ′(1)＝(a ＋a －2)e ＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意，所以a 的值为1. (2)由(1)得f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝(x －1)e x . 令f ′(x )>0得x >1，令f ′(x )<0得x <1.所以函数f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]上递增，f (x )min ＝f (m )＝(m －2)e m ，当0<m <1时，f (x )在[m ，1]上递减，在(1，m ＋1]上递增，f (x )min ＝f (1)＝－e. 当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减， f (x )min ＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1. 综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值为f (x )min ＝⎩⎨⎧（m －2）e m ，m ≥1，－e ，0<m <1，（m －1）e m ＋1，m ≤0.[思想方法]1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同.4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值. [易错防范]1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A.－4B.－2C.4D.2解析 f ′(x )＝3x 2－12，∴x <－2时，f ′(x )>0，－2<x <2时，f ′(x )<0，x >2时， f ′(x )>0，∴x ＝2是f (x )的极小值点. 答案 D2.函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B.1C.0D.不存在解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12. 答案 A3.(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163解析 由图象可知f (x )的图象过点(1，0)与(2，0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 答案 C4.(2017·绍兴调研)已知函数f (x )＝e x －x 2，若∀x ∈[1，2]，不等式－m ≤f (x )≤m 2－4恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，1－e]B.[1－e ，e]C.[－e ，e ＋1]D.[e ，＋∞)解析 因为f (x )＝e x －x 2，所以f ′(x )＝e x －2x ，令g (x )＝f ′(x )，所以g ′(x )＝e x －2，因为x ∈[1，2]，所以g ′(x )＝e x －2>0，故f ′(x )＝e x －2x 在[1，2]上是增函数，故f ′(x )＝e x －2x ≥e －2>0；故f (x )＝e x －x 2在[1，2]上是增函数，故e －1≤e x －x 2≤e 2－4；故－m ≤f (x )≤m 2－4恒成立可化为－m ≤e －1≤e 2－4≤m 2－4；故m ≥e. 答案 D5.(2017·东北四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 二、填空题6.函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________. 解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，由f ′(x )＝0，x ∈[0，2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103，可知最小值为－173. 答案 －1737.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为________.解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎨⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案 －238.(2017·金华月考)函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________；函数的极大值为________. 解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：⎩（a ）3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4.f (x )＝x 3－3x ＋4，所以f (x )的单调递减区间是(－1，1)，当x ＝－a ＝－1时，f (x )极大＝f (－1)＝6. 答案 (－1，1) 6 三、解答题9.(2017·丽水检测)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数.(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.所以实数a的取值范围为{a|0<a≤1}.10.已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值.解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：所以，f(x)). (2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.能力提升题组(建议用时：30分钟)11.函数f(x)＝xe x()A.仅有最小值12eB.仅有最大值12eC.有最小值0，最大值12eD.无最值解析 函数f (x )的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝1－2x 2x e x ，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )>0，f (x )递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )递减.又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f (x )>0，∴f (x )min ＝0，f (x )max ＝12e . 答案 C12.(2017·长沙调研)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，0)B.(－5，0)C.[－3，0)D.(－3，0)解析 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示.令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3，0)，故选C. 答案 C13.(2017·湖州调研)已知函数F (x )＝1－x x ＋k ln x (其中k <1e 且k ≠0)，则F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为________，最小值为________.解析 F (x )＝1－x x ＋k ln x (x >0)，∴F ′(x )＝（1－x ）′x －（1－x ）x ′x 2＋k x ＝kx －1x 2.①若k <0，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上，恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2<0，∴F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，F (x )min ＝F (e)＝1－e e ＋k ＝1e ＋k －1，F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1.②k >0时，∵k <1e ，∴1k >e ，x －1k <0，∴k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2<0，∴F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，∴F (x )min ＝F (e)＝1－e e ＋k ＝1e ＋k －1.F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1.综上所述，当k ≠0且k <1e 时，F (x )max ＝e －k －1，F (x )min ＝1e ＋k －1. 答案 e －k －1 1e ＋k －114.(2017·济南模拟)设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2.(1)若当x ＝－1时，f (x )取得极值，求a 的值，并讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于ln e 2. 解 (1)f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32. 从而f ′(x )＝（2x ＋1）（x ＋1）x ＋32，且f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞， 当－32<x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <－12时，f ′(x )<0； 当x >－12时，f ′(x )>0.∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减.(2)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a .方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8，①若Δ≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，故f (x )无极值.②若Δ>0，即a <－2或a >2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根，x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ， 故f ′(x )>0在定义域上恒成立， 故f (x )无极值.当a >2时，－a <x 1<x 2，故f (x )在(－a ，x 1)上递增，(x 1，x 2)上递减，(x 2，＋∞)上递增.故f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值.综上，f (x )存在极值时，a 的取值范围为(2，＋∞). 由上可知，x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝12.所以，f (x )的极值之和为f (x 1)＋f (x 2)＝ln(x 1＋a )＋x 21＋ln(x 2＋a )＋x 22 ＝ln(－x 2)＋ln(－x 1)＋(x 21＋x 22)＝ln(x 1x 2)＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝ln 12＋a 2－1>ln 12＋(2)2－1＝ln e 2.15.若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )＝k 有3个解，求实数k 的取值范围. 解 (1)对函数f (x )求导得：f ′(x )＝3ax 2－b ， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝12a －b ＝0，f （2）＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得：f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283； 当x ＝2时，f (x )有极小值－43.∴函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示.因为方程f (x )＝k 的解的个数即为y ＝k 与y ＝f (x )的交点个数. 所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283.高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题：研究函数的性质(如求单调区间、求极值、最值)，研究函数的零点(或方程的根、曲线的交点)，研究不等式.热点一 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，实数a的取值范围是(0，1).探究提高(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a＋a－1<0，则需要构造函数来解.【训练1】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x< 2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立，因为f′(x)＝(－2x＋a)e x＋(－x2＋ax)e x＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，所以[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0对x∈(－1，1)都成立.因为e x>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立，即a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1，1)都成立.令y＝(x＋1)－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）2>0.所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.热点二 利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】 (2017·杭州调研)已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ＞0)，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明. 解 (1)由已知，得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，且a ＞0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x ＋x cos x ＞0，从而f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1. 综上所述得f (x )＝x sin x －32.(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点.证明如下： 由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而f (0)＝－32＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0.又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不断的，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内至少存在一个零点.又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有且只有一个零点.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有g ′(x )＜0，从而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内单调递减.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 内单调递增，故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 上无零点；②当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0， 即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减.又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )的图象在[m ，π]上连续不间断，从而f (x )在区间(m ，π)内有且仅有一个零点.综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点. 探究提高 利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【训练2】设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数.解(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋e x，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝x－ex2，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x＞0).设φ(x)＝－13x3＋x(x＞0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点.∴φ(x)的最大值为φ(1)＝2 3.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点. 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点. 热点三 利用导数研究不等式问题(规范解答)导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题. 【例3】 (满分12分)设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .满分解答 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x ＞0). 当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.2分 当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－ax ，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－ax 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.4分又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)， 故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.6分(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)9分由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋a ln2a≥2a＋a ln2a.故当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2a.12分❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求f(x)的最小值和基本不等式的应用.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在x＝x0处最值的判定.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输，求解使f′(b)＜0的b满足的约束条件0＜b＜a4，且b＜14.如第(2)问中x0满足条件的计算，若计算错误不得分，另外还应注意规范的文字、符号语言的表述.1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.【训练3】已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R).(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x (x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0， 故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0. (2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)，①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞). ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ， g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0，1]，所以g (x )max ＝2， 由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 3.(建议用时：80分钟)1.(2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋axe x (a ∈R ).(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）e x （e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x ，因为f (x )在x ＝0处取得极值， 所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0. (2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x .令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ， 由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 故f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， 故f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0， 即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数. 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.2.设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ， 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a . (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增.于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0).而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.3.已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点. (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k ＞0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k ＞0，g (x )单调递增， g (－1)＝k －1＜0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根. 当x ＞0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x ＞h (x ).h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )＞h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根.综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点. 4.设f (x )＝ax ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围.解 (1)存在x 1，x 2∈[0，2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3， 得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.令g ′(x )>0得x <0或x >23，又x ∈[0，2]，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527， g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ， 则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )max .由(1)可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立.设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ， 可知h ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0； 当12<x <1时，h ′(x )>0.即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在区间(1，2)上单调递减， 所以h (x )max ＝h (1)＝1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞).5.已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.(1)解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]，当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减. 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln (2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增. 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明 设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减. 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负. 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1， 同理，g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2， 所以g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点. 由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增， 故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，不合题意.当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，不合题意.所以12＜a ＜e2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1＜2， 有g (0)＝a －e ＋2＞0，g (1)＝1－a ＞0，解得e －2＜a ＜1.所以函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1. 6.(2016·山东卷)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对任意的x ∈[1，2]成立. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a . ①0<a <2时，2a >1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ②a ＝2时，2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)上，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， ③a >2时，0<2a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a ，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a <2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.(2)证明 由(1)知，a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －2x 2＋2x 3 ＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈[1，2]，设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈[1，2]. 则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x ).由g ′(x )＝x －1x ≥0可得g (x )在[1，2]上递增，∴g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号.h′(x)＝－3x2－2x＋6x4，设φ(x)＝－3x2－2x＋6，则φ(x)在[1，2]上单调递减，因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x0∈(1，2)，使φ(x0)＝0，所以当x∈(1，x0)时φ(x)>0，即h′(x)>0，当x∈(x0，2)时，φ(x)<0即h′(x)<0.所以h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，2)上单调递减.又h(1)＝1，h(2)＝12，所以h(x)≥h(2)＝12，当且仅当x＝2时取得等号.所以f(x)－f′(x)>g(1)＋h(2)＝3 2，即f(x)>f′(x)＋32对于任意的x∈[1，2]成立.。
浙江省杭州市高考数学总复习专题训练一三角函数(无答案)(2021年整理)
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专题训练一 三角函数类型一：三角恒等变换 例题1 、 (1）已知θ为锐角，4sin()65πθ-=，则cos θ= ． (2)已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ．（3)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+=例2．（1)已知βα,都是锐角，且,1010sin ,55sin ==βα则=+βα .（2)βα,都是钝角，2)tan 1)(tan 1(=++βα,则=+βα .例3．（1）已知sin αcos α=81，且4π〈α〈2π，则cos α－sin α的值为（2）已知3πtan 2π42θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则22cos sin 12π2cos 4θθθ+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_____________。
例4．(1）已知sin 2α＝错误!,则cos 2错误!＝_____________。
（2）已知cos 错误!＝－错误!,则cos x ＋cos 错误!＝_____________.（3）若tan α＝2tan 错误!,则错误!＝_____________.例5．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ,x ∈R 。
(1）求f 错误!的值；（2）若sin α＝错误!,且α∈错误!，求f 错误!.类型二：三角函数的图像与性质例1．(1)函数2()sin(2)22sin 4f x x x π=--的最小正周期是(2）函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是（3)函数tan 44y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是________． （4）函数f (x )＝tan 错误!的单调递增区间是________． 例2．（1）已知函数y ＝sin ωx （ω〉0)在区间错误!上为增函数，且图象关于点（3π，0)对称，则ω的取值集合为________．(2）函数y ＝tan 错误!的图象与x 轴交点的坐标是________．（3）若函数f （x ）＝sin ωx (ω>0)在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减，则ω＝________。
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专题复习六 最值、范围、证明问题
例1．已知动圆Q 过定点F (0，－1)，且与直线l ：y ＝1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，且点A (0，2)在椭圆N 上．
(1)求动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程和椭圆N 的标准方程；
(2)若过F 的动直线m 交椭圆N 于B ，C 两点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC 的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z ＝S 1S 2，试求Z 的最小值．
例2、已知椭圆C 1：x 216＋y 24＝1，直线l 1：y ＝kx ＋m (m ＞0)与圆C 2：(x －1)2＋y 2
＝1
相切，且与椭圆C 1交于A ，B 两点．
(1)若线段AB 中点的横坐标为43，求m 的值； (2)过原点O 作l 1的平行线l 2交椭圆于C ，D 两点，设|AB |＝λ|CD |，求λ的最小
值．
例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点B (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围．
例4、如图7513所示，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物
线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM ·k ON ＝k OA ·k OB ，求△OMN 面积的取值范围．
例5、经过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为x 24
＋y 2
＝1. (1)若一条直径的斜率为13
，求该直径的共轭直径所在的直线方程； (2)如图7514，若椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为k 1，k 2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．
例6、已知椭圆C 1: x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32
，P (－2，1)是C 1上一点．
(1)求椭圆C 1的方程．
(2)设A ，B ，Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交C 1于C ，D 两点(异于P ，Q 两点)，点C 关于原点的对称点为E .证明：直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形．。