第5章 随机过程通过线性系统

E [Y ( t )] = m X H ( 0 )
R Y (τ ) = R X (τ ) ∗ h (τ ) ∗ h ( −τ )
Q RY (τ ) =
∫ ∫ h(α )h( β ) R (τ + α − β )dαdβ = ∫ h(α )[ ∫ h( β ) R (τ + α − β )dβ ]dα
+∞ +∞ +∞
R XY (τ ) = R X (τ ) ∗ h(τ )
同理可证， 同理可证，
R YX (τ ) = R X ( −τ ) ∗ h ( −τ ) = R X (τ ) ∗ h ( −τ )
RY (τ ) = R X (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h( −τ ) = R XY (τ ) ∗ h( −τ ) = RYX (τ ) ∗ h(τ )
为白噪声， 当X(t)为白噪声，即 RX (τ ) = (N0 / 2)δ (t) 时，则 为白噪声
RXY (τ ) = RX (τ ) ∗ h(τ ) = ( N0 / 2)δ (τ ) ∗ h(τ ) = ( N0 / 2)h(τ )
即有
2 h (τ ) = R XY (τ ) N0
该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得 RXY(τ ) ， 该式说明： 则可用功率谱密度为 N0 / 2 的白噪声激励线性系统来估计 该线性系统的冲击响应。 该线性系统的冲击响应。
平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结： 平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：
X(t ) h(t ) Y(t )
X(t)：平稳随机过程 ： h(t)：线性时不变系统的冲击响应 ：

E [Y ( t )] = m X H ( 0 ) R Y (τ ) = R X (τ ) ∗ h (τ ) ∗ h ( − τ ) R XY = R XY (τ ) ∗ h ( − τ ) = R YX (τ ) ∗ h (τ ) (τ ) = R X (τ ) ∗ h (τ ); R YX (τ ) = R X (τ ) ∗ h ( − τ )
x(t , ξ ) 都是有界的，才有 都是有界的，
Y (t ) =
∞
−∞
∫ h (τ ) X ( t
− τ )d τ
频域表示： 频域表示： 是无限时宽，无限能量，非周期的, ∵ 随机过程 X (t )是无限时宽，无限能量，非周期的, 的付氏变换、 变换以及付氏级数都不存在， ∴ X (t ) 的付氏变换、Z变换以及付氏级数都不存在， 故不能用频谱表述。 故不能用频谱表述。 但是，若随机过程是平稳的， 但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率 谱来描述。 谱来描述。 平稳随机过程通过线性时不变系统 线性时不变系统： 平稳随机过程通过线性时不变系统： 平稳条件： 平稳条件： 常数； E [ X ( t )] = 常数；
h(α )h( β ) E [ X ( t − α ) X ( t + τ − β )]dα dβ
−∞ −∞
h(α ) h( β ) R X (τ + α − β )dα dβ = RY (τ )
有关， 无关。 输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关，而与时间起点 t 无关。
由 E[Y(t)] ≡常数和 RY(τ) 可知： 常数和 可知： 平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。 平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。 且有： 且有：
E [Y ( t )] = m X ∫ h(τ )d τ = m X H ( 0 )
R Y (τ ) =
∫ ∫
0
+∞
0 +∞
0
h (α ) h ( β ) R X (τ + α − β ) d α d β
R XY (τ ) =
∫
+∞
0
R X (τ − α ) h (α ) d α
注意：卷积关系不再成立。 注意：卷积关系不再成立。
其中， 称为系统的功率传输函数 所以， 系统的功率传输函数。 其中，|H(ω)|2称为系统的功率传输函数。所以， 系统的输出功率=系统的输入功率 系统的输入功率× 系统的输出功率 系统的输入功率× |H(ω)| 2。
系统输出Y(t)的自相关函数 的自相关函数 系统输出
1 +∞ RY (τ ) = GY (ω )e − jωτ dω 2π ∫− ∞ 1 +∞ 2 H (ω ) G X (ω )e − jωτ dω = 2π ∫− ∞
X(t ) N0 RX (τ ) = δ (τ ) 2 h(t ) Y (t )
相 关 器
RXY (τ )
4．物理可实现(因果 系统的响应 ．物理可实现 因果 因果)系统的响应 物理可实现系统的条件： 物理可实现系统的条件：
h(t ) = 0,
∞
t < 0
因果性
将该条件代入上述关系式， 将该条件代入上述关系式，可得
∞
输出过程的均值=输入过程的均值× 常数。 输出过程的均值 输入过程的均值×H(0)≡常数。 输入过程的均值 常数 2. 系统输出 系统输出Y(t) 的自相关函数 的自相关函数:
Q RY ( t , t + τ ) = E [Y ( t )Y ( t + τ )]
∫ ∫ =∫ ∫
=
+∞ +∞
−∞ −∞ +∞ +∞
−∞ −∞ +∞ X +∞ −∞ −∞ X
+∞
+∞
=
∫
+∞
−∞
h(α )[ h(τ + α ) ∗ R X (τ + α )]dα
= h( −τ ) ∗ h(τ ) ∗ R X (τ )
3. 系统输入与输出之间的互相关函数 系统输入与输出之间的互相关函数:
R XY ( t , t + τ ) = E [ X ( t )Y ( t + τ )] = E [ X ( t ) ∫_ ∞ h(α )X ( t + τ − α )dα ] = ∫− ∞ E [ X ( t ) X ( t + τ − α )]h(α )dα = ∫− ∞ R X (τ − α )]h(α )dα
第五章 随机过程通过线性系统
确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。 确定信号通过线性时不变系统，我们已经很熟悉。 例如： 例如：
x(t ) h(t ) y(t )
确知信号x(t), 线性时不变系统 线性时不变系统h(t)： 确知信号 ： 时域： ∞ 时域： 非因果系统： 非因果系统： y ( t ) = ∫ h (τ ) x ( t − τ ) d τ 因果系统： 因果系统：
−∞
∫ h(τ )x ( t − τ , ξ
∞
∞
i
)d τ
∫ h(τ )x ( t − τ , ξ
0
i
)d τ
也只能是随机过程的一个样本且有界。 即，系统输出 y(t,ξi ) 也只能是随机过程的一个样本且有界。 其无法代表系统输出随机过程的全体。 其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本
注意：物理可实现系统的条件。 注意：物理可实现系统的条件。
二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析
1．系统输出Y(t)的功率谱密度 ．系统输出 的功率谱密度
Q
令
G Y (ω ) = =
∫
0
+∞
−∞
RY (τ )e − jωτ d τ
∞ 0
，则
∫
+∞
−∞
d τ ∫ d α ∫ [ h(α ) h( β ) R X (τ + α − β )e − jωτ ]d β
y( t ) =
+∞ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−∞
∫ h(τ ) x ( t − τ )dτ
0
频域： 频域： 若
−∞
物理可实现， 有界，则有： ∫ h( t )dt < ∞ 物理可实现，且x(t)有界，则有：
Y (ω ) = H (ω ) X (ω ) 。
∞
所以对于确定信号， 所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述， 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述， 而且 对于其通过线性时不变系统的表述为： 对于其通过线性时不变系统的表述为：
随机过程通过线性时不变系统的表示 是有界的， 随机过程的一个样本 x(t , ξ i ) , 若 x(t , ξ i )是有界的，则对于 线性时不变系统 h(t ) ： 时域表示： 时域表示： 非因果系统： 非因果系统： y ( t , ξ i ) = 因果系统： 因果系统： y ( t , ξ i ) =
RX (t1 , t 2 ) = E[ x(t1 )x(t 2 )] = RX (τ ), τ = t 2 − t1
E X 2 (t ) < ∞
[
]
由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积， 由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积， 故其存在Z变换 或付氏变换。 变换， 故其存在 变换，或付氏变换。 物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。 物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。 由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征， 由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征，不存 在频谱，但可用功率谱描述。 在频谱，但可用功率谱描述。 问题的提出： 问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过 程通过线性时不变系统的行为， 程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结 论？
x(t ) X (ω) h(t ) H (ω) y(t ) = x(t ) ∗ h(t ) Y (ω) = X (ω) H (ω)
问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、 问题：随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以 及与系统函数间的关系如何？ 及与系统函数间的关系如何？