空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案

【巩固练习】 一、选择题

1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( )

A. （-1，-2，5）

B. （-1，1，-1）

C. （1， 1，1）

D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，11

11114

A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（ ） A ．

1715 B ．

2

1 C ．17

8 D ．

2

3 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若

1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）

A ．

1030

B ．

2

1 C ．15

30 D ．

10

15 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为8

9

，则λ=( )

A ．2

B ．2-

C ．2-或

255

D ．2或255

-

5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1

2

AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥

底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）

A ．

621 B ．

33

8 C ．60

210

D ．

30210

6.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1

==2

AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥

底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（ ）

A ．21

B ．

83

C ．

210

D ．

210

二、填空题

8．若平面α的一个法向量为()330=n ，，，直线l 的一个方向向量为()111=b ，，，则l 与α所成角的余弦值为 _．

9．正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1AB CC 、的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.

10. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，

SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 .

11. 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒

==∠=，则平面BDF 和平面ABD 的夹角余弦值是_______.

三、解答题

12. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1D B 上，∠60PDA =︒.

（Ⅰ）求DP 与1C C 所成角的大小；

（Ⅱ）求DP 与平面11A ADD 所成角的大小.

13. 如图，四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，其对角线2AC =，2BD =，AE ，CF 都与平面ABCD 垂直，1AE =， 2CF =，求平面ABF 与平面ADF 的夹角大小.

14. 如图（1），在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D E ，分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，2DE ＝，将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使1A C CD ，如图（2）．

(1)求证：1A C ⊥平面BCDE ；

(2)若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；

(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．

15．(2016 浙江理)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3．

(Ⅰ)求证：EF ⊥平面ACFD ；

(Ⅱ)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.

【答案与解析】 1.【答案】B

【解析】排除法.

平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.

排除A ，C ，D ，选项为B.

2.【答案】A

【解析】设正方体的棱长为1，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则

1131

(1,1,0),(1,,1),(0,0,0),(0,,1)44B E D F ．

所以，131

(1,,1)(1,1,0)(0,,1)44

BE =-=-u u u r ，

111

(0,,1)(0,0,0)(0,,1)44DF =-=u u u u r ，

1174BE =u u u r ，117

4

DF =u u u u r ，

111115

00()114416

BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=u u u r u u u u r ．

所以，

11

1111

cos ,151516.

171717BE DF BE DF BE DF ⋅<>=⋅==⋅u u u r u u u u r

u u u r u u u u r u u u r u u u u r

因此，1BE 与1DF 所成的角的余弦值是

15

17

． 3.【答案】A

【解析】如图所示，以C 为原点建立的空间直角坐标系， 则()()()()()1111,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,A B C A B 由中点公式可知，11111101222D F ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，，，，，

11111101222BD AF ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

u u u u r u u u r ，，，，， ，

111

-130

4cos 35

24

BD AF +==u u u u r u u u r g ，.

4.【答案】C