空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案
利用空间向量求夹角（例、练及答案）
利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）1．利⽤⾯⾯垂直建系例1：在如图所⽰的多⾯体中，平⾯平⾯，四边形为边长为2的菱形，为直⾓梯形，四边形为平⾏四边形，且，，．（1）若，分别为，的中点，求证：平⾯；（2）若，与平⾯所成⾓的正弦值为求⼆⾯⾓的余弦值．2．线段上的动点问题例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，使平⾯平⾯．（1）求证：平⾯；（2）若在线段上有⼀点满⾜，且⼆⾯⾓的⼤⼩为，求的值．11ABB A ⊥ABCD 11ABB A ABCD 11BCC B AB CD ∥AB BC ⊥1CD =E F 11A C 1BC EF ⊥11AB C 160A AB ∠=?1AC ABCD 11A AC D --ABCD Y 30A ∠=?2AB =BD ABD △A BD '△A BC '⊥A BD 'A D '⊥BCD A C 'M A M A C λ=''uuuu v uuu v M BD C --60?λ3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正⽅形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．（1）求证：；（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值；（3）求⼆⾯⾓的⼤⼩．练习⼀、单选题1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中ABCD P CD PAD △PBC △PA PB C D O P OAB -E PB PO AB ⊥BP POA P AO E --a 111ABC A B C -D E 1BB 11A C点，则异⾯直线，所成⾓的余弦值为（）A ．BC ．D ．2．在三棱柱中，底⾯是边长为1的正三⾓形，侧棱底⾯，点在棱上，且，若与平⾯所成的⾓为，则的值是（） ABCD3．如图，圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，，则空间中两条直线与所成的⾓为（）A ．B ．C ．D ．4．已知四棱锥的底⾯是边长为2的正⽅形，，平⾯平⾯，是的中点，是的中点，则直线与平⾯所成⾓的正弦值是（）AD CE 121545111ABC A B C -1AA ⊥ABC D 1BB 1BD =AD 11AA C C αsin α22AB =OC D 120AOD ∠=?AD BC 30?60?75?90?P ABCD -ABCD PA PD ==ABCD ⊥PAD M PC O AD BM PCOABCD5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最⼩值为（）ABCD ．6．如图，点分别在空间直⾓坐标系的三条坐标轴上，，平⾯的法向量为，设⼆⾯⾓的⼤⼩为，则（）A ．BC ．D ． 7．如图所⽰，五⾯体中，正的边长为1，平⾯，，且．设与平⾯所成的⾓为，，若，则当取最⼤值时，平111ABC A B C -90BAC ∠=?12AB AC AA ===G E 11A B 1CC D F AC AB GD EF ⊥DF A B C 、、O xyz -()0,0,2OC =uuu v ABC ()2,1,2=n C AB O --θcos θ=432323-ABCDE ABC △AE ⊥ABC CD AE ∥12CD AE =CE ABE α(0)AE k k =>ππ,64α??∈k⾯与平⾯所成⾓的正切值为（）AB ．1 CD8．已知三棱柱的侧棱与底⾯边长都相等，在底⾯内的射影为的中⼼，则与底⾯所成⾓的正弦值等于（） ABCD9．如图，四棱锥中，平⾯，底⾯为直⾓梯形，，，，点在棱上，且，则平⾯与平⾯的夹⾓的余弦值为（）ABC10．在正⽅体中，直线与平⾯所成⾓的余弦值为（） ABCD11．已知四边形，，沿折起，使⼆⾯⾓的⼤⼩在内，则直线与所成⾓的余弦值取值范围是（）BDE ABC 111ABC A B C -1A ABC ABC △1AB ABC P ABCD -PB ⊥ABCD ABCD AD BC ∥AB BC ⊥3AB AD PB ===E PA 2PE EA =ABE BED1111ABCD A B C D -1BC 1A BD ABCD 2AB BD DA ===BC CD =ABD △BD A BD C --5,66π?π?AB CDA ．B ．D ． 12．正⽅体中，点在上运动（包括端点），则与AD 1所成⾓的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．⼆、填空题13．如图，在直三棱柱中，，是的中点，则异⾯直线与所成⾓的余弦值为________．14．已知四棱锥的底⾯是菱形，，平⾯，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平⾯所成⾓的正弦值为__________．15．设，是直线，，是平⾯，，，向量在上，向量在上，，，则，所成⼆⾯⾓中较⼩的⼀个的余弦值为________．16．在四棱锥中，底⾯为平⾏四边形，平⾯，，，，，则当变化时，直线与平⾯所成⾓的取值范围是__________．三、解答题17．如图所⽰：四棱锥，底⾯为四边形，，，，平⾯平⾯，，，01??U ??1111ABCD A B C D -P 1A C BP ππ,43??ππ,42ππ,62ππ,63111ABC A B C -12AB BC CC ===AC =m AC 1CB 1C M P ABCD -60BAD ∠=?PD ⊥ABCD PD AB =E AD F PC :1:2PF FC =EF ABCD a b αβa α⊥b β⊥1a a 1b b ()11,1,1=a 13,(0)4,=-b αβP ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =120BAD ∠=?PA x =x PD PBC P ABCD -ABCD AC BD ⊥BC CD =PB PD =PAC ⊥PBD AC =30PCA ∠=?4PC =（1）求证：平⾯；（2）若四边形中，，是否在上存在⼀点，使得直线与平⾯的值，若不存在，请说明理由．18．如图，在斜三棱柱中，底⾯是边长为2的正三⾓形，，．（1）求证：平⾯平⾯；（2）求⼆⾯⾓的正弦值．PA ⊥ABCD ABCD 120BAD ∠=?AB BC ⊥PC M BM PBD PM MC111ABC A B C -ABC 13BB =1AB =160CBB ∠=?ABC ⊥11BCC B 1B AB C --参考答案1．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接，∵四边形为菱形，∴．∵平⾯平⾯，平⾯平⾯，平⾯，，∴平⾯．⼜平⾯，∴．∵，∴．∵，∴平⾯．∵分别为，的中点，∴，∴平⾯．（2）设，由（1）得平⾯，由，，得过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，如图所⽰，⼜，∴为等边三⾓形，∴，⼜平⾯平⾯，平⾯平⾯，平⾯，故平⾯．∵为平⾏四边形，∴，∴平⾯．⼜∵，∴平⾯．∵，∴平⾯平⾯．由（1），得平⾯，∴平⾯，∴．∵，∴平⾯，∴是与平⾯所成⾓．1A B 11ABB A 11A B AB ⊥11ABB A ⊥ABCD 11ABB BA I ABCD AB =BC ?ABCD AB BC ⊥BC ⊥11ABB A 1A B ?11ABB A 1A B BC ⊥11BC B C ∥111A B B C ⊥1111B C AB B =I 1A B ⊥11AB C ,E F 11A C 1BC 1EF A B ∥EF ⊥11AB C 11B C a=11B C ⊥11ABB A 160A AB ∠=?2BA =1C 1C M DC ⊥DC M AB H 1A H AM 160A AB ∠=?1ABA △1A H AB ⊥11ABB A⊥ABCD 11ABB A I ABCD AB =1A H ?11ABB A 1A H ⊥ABCD 11BCC B 11CC BB ∥1CC ∥11AA BB CD AB ∥CD ∥11AA BB 1CC CD C =I 11AA BB ∥1DC M BC ⊥11AA BB BC ⊥1DC M 1BC C M ⊥BC DC C =I 1C M ⊥ABCD 1C AM ∠1AC ABCD ∵，，∴平⾯，平⾯，∵，∴平⾯平⾯．在梯形中，易证，分别以，，的正⽅向为轴，轴，轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系．则，，，及设平⾯的⼀个法向量为，由令，得设平⾯的⼀个法向量为，由得令，得⼜∵⼆⾯⾓是钝⾓，∴⼆⾯⾓的余弦值是2．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴，∴，∴．作于点，∵平⾯平⾯，平⾯平⾯，∴平⾯．∵平⾯，∴．⼜∵，，∴平⾯．⼜∵平⾯，∴．11A B AB∥11C B CB∥11A B∥ABCD11B C∥ABCD11111A B C B B=I ABCD∥111A B CABCD DE AB⊥HAuu u vHDuuu v1HAuuu vx y z()1,0,0A()1,0,0B-BB CC=uuu v uuu v 1ADC() 111,,x y z=m1ACAD==uuu vuuu vmm11y=()3,1,2=m11AA C() 222,,x y z=ACAA==uuu vuuu vnn21z=11A AC D--11A AC D--ABD△1BD=222 BD AD AB +=90ADB∠=?90 DBC∠=?DF A B ⊥'FA BC'⊥A BD'I A BD A B'='DF⊥A BC'CB?A BC'DF BC⊥CB BD⊥BD DF D=I CB⊥A DB'A D'?A DB'CB A D⊥'⼜，，∴平⾯．（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以⽅向为轴正⽅向建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系，则，．设，设平⾯的⼀个法向量为，取．平⾯的⼀个法向量可取∵3．【答案】（1）见解析；（2；（3【解析】（1）在正⽅形中，为中点，，，∴在三棱锥中，，．∵，∴平⾯．∵平⾯，∴．A D BD '⊥BD CB B =I A D '⊥BCD DA DB DA 'D DA uu u vx D xyz -()0,1,0B (),,M x y z MDB (),,a b c =m ()11,0,a c λλλλ=-?=?=-m CBD []0,1λ∈ABCD P CD PD AD ⊥PC BC ⊥P OAB -PO OA ⊥PO OB ⊥OA OB O =I PO ⊥OAB AB ?OAB PO AB ⊥（2）取中点，连接，取中点，连接．过点作的平⾏线．∵平⾯，∴，．∵，为的中点，∴．∴．如图所⽰，建⽴空间直⾓坐标系．，，，．∵，为的中点，∴．∵平⾯，平⾯，∴平⾯平⾯．∵平⾯平⾯，平⾯，∴平⾯∴平⾯的法向量设直线与平⾯所成⾓为∴直线与平⾯AB F OF AO M BM O AB OG PO ⊥OAB PO OF ⊥PO OG ⊥OA OB =F AB OF AB ⊥OF OG ⊥O xyz -()A ()B -()0,0,1P 12M ??BO BA =M OA BM OA ⊥PO ⊥OAB PO ?POA POA ⊥OAB POA I OAB OA =BM ?OAB BM ⊥POA POA )1,0= -m BP POA αBP POA设平⾯的法向量为，则有令由题知⼆⾯⾓练习答案⼀、单选题 1．【答案】C【解析】设的中点，以，，为，，轴建⽴坐标系，则，，，，则，，设与成的⾓为，则，故选C ． 2．【答案】D【解析】如图，建⽴空间直⾓坐标系，易求点．平⾯的⼀个法向量是，∴，则．故选D ． 3．【答案】B【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建⽴空间直⾓OAE n 0 0OA OE =??=??uu v uu u v n n1y =-P AOE --AC O OB uu u v OC uuu v OE uu uvx y z 0,,02a A ??,0,2a D ?0,,02a C ?? ???()0,0,E a ,,22a a AD ?=uuu v 0,,2a CE a ??=- uu u v AD CE θ01cos 5a a aaθ-?+?=1,12D ?11AA C C ()1,0,0=n cos ,AD ===uuu v n sin α=AB E O OE x OB y OC z 坐标系，如图所⽰，∵圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，，∴可得，，，，则，，设空间两条直线与所成的⾓为，∴，∴，即直线与所成的⾓为，故选B ． 4．【答案】D【解析】由题可知，，，，则，，∵是的中点，∴，设平⾯的法向量，直线与平⾯所成⾓为，则可取，，故选D ．2AB=OC D 120AOD ∠=?()0,1,0A -()0,1,0B (C 1,02D3,02AD ?=uuuv (0,BC =-u u u vAD BCθ31cos 2AD BC AD BC θ?===?u uuu v uu u u v v u uu u v 60θ=?AD BC 60?()0,0,0O ()0,0,2P ()1,2,0B ()1,2,0C -()0,0,2OP =uu u v ()1,2,0OC =-uuu vM PC 1,1,12M ??- 3,1,12BM ??=--uuu v PCO (),,x y z =n BM PCO θ20 20OP z OC x y ?==?=-=?+uu u vuuu vn n ()2,1,0=n sin cos BM BM BM θ?===?uuu v uuu v uuu v ，n n n5．【答案】A【解析】建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，则，，，，，则，，由于，∴，∴，故，∴当时，线段A ． 6．【答案】C【解析】由题意可知，平⾯的⼀个法向量为：，由空间向量的结论可得：．故选C ． 7．【答案】C【解析】如图所⽰，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，()0,0,0A ()0,2,1E ()1,0,2G 0(),0,F x 0(0,),D y ()1,,2GD y =--uuu v (),2,1EF x =--uu u v GD EF ⊥220GD EF x y =--+=?uuu v uu u v22x y =-DF =45y =DF ABO ()0,0,2OC =uuu v42cos 233OC OC θ?===??uuu vuuu vn n O xyz -则，，，，取的中点，则，则平⾯的⼀个法向量为，由题意⼜由，∴∴当的法向量为，则，取，由平⾯的法向量为，设平⾯和平⾯所成的⾓为，则，∴，∴C ． 8．【答案】B【解析】如图，设在平⾯内的射影为，以为坐标原点，、分别为轴、轴建⽴空间直⾓坐标系如图．，，ABE 3,04CM ?=uuu v sin CE CM CE CM α?==uu u v u uu u u vv uu v uu ππ,64α??∈1sin 2α≤=≤k ≤k k BDE (),,x y z =n 0 1022DE y z BE y z==?++=?uuu v uu u v n n (=-n ABC ()0,0,1=m BDE ABC θcos θ?= =n m n m sin θ=tan θ=1A ABC O O OA 1OA x z设边长为1，的法向量为．设与底⾯所成⾓为故直线与底⾯B ．9．【解析】以为坐标原点，以、、所在直线为、、轴，建⽴空间直⾓坐标系，设平⾯的⼀个法向量为，则，取的法向量为，与平⾯B ．10．【答案】C【解析】分别以，，为，，轴建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系：ABC △112B ? ??ABC ()0,0,1=n 1AB ABC α1AB ABC B BC BA BP x y z ()0,0,0B ()0,3,0A ()0,0,3P ()3,3,0D ()0,2,1E ()0,2,1BE =uu u v ()3,3,0BD =uu u vBED (),,x y z =n 20330BE y z BD x y =+=?=+=?uu u v uu u vn n 1z =ABE ()1,0,0=m ABE BED DA DC 1DD x y z设正⽅体的棱长为1，可得，，，，∴，，，设是平⾯的⼀个法向量，∴，即，取，得，∴平⾯的⼀个法向量为，设直线与平⾯所成⾓为，∴，即直线与平⾯所成⾓的余弦值是C ． 11．【答案】A【解析】取中点，连结，，∵．，，且，∴是⼆⾯⾓的平⾯⾓，以为原点，为轴，为轴，过点作平⾯的垂线为轴，建⽴空间直⾓坐标系，，，，()0,0,0D ()1,1,0B()10,1,1C ()11,0,1A ()11,0,1BC =-uuu r ()11,0,1A D =--uuu r ()1,1,0BD =--uu u r(),,x y z =n 1A BD 100A D BD =?=uuu v uu u vn n 0 0x z x y =+=+1x =1y z ==-1A BD ()1,1,1=--n 1BC 1A BD θ1BC 1A BD BD O AO CO 2AB BD DA ===BC CD ==CO BD ⊥AO BD ⊥1CO =AO AOC ∠A BD C --O OC x OD y O BCD z ()0,1,0B -()1,0,0C ()0,1,0D设⼆⾯⾓的平⾯⾓为，则，连、，则，，∴，，设、的夹⾓为，则∵，∴，故，∴．故选A ．12．【答案】D【解析】以点为原点，、、所在直线分别为轴建⽴空间直⾓坐标系，设正⽅体棱长为1，点坐标为，则，，设、的夹⾓为，则∴当时，，．当时，取最⼩值，．∵，∴与所成⾓的取值范围是．故选D ．⼆、填空题 13．【解析】在直三棱柱中，，是的中点，A BD C --θ5,66θπ??∈πAO BO AOC θ∠=)A θθ)BA θθ=uu r ()1,1,0CD =-uu u rAB CD αcos AB CD AB CD α?=?uu u r uu u r uu u r uu u r 5,66θπ??∈πcos θ?∈510,2θ??-∈cos α?∈D DA DC 1DD x y z 、、P (),1,x x x -()1,,BP x x x =--uu v ()11,0,1BC =-uuu vBP uu v 1BC uuu vα11cos BP BC BP BC α?==uu v uu uu u v v uuu v 13x =cos απ6α=1x =cos α12π3α=11BC AD ∥BP 1AD ππ,63??111ABC A B C -12AB BC CC ===AC =M AC∴，．以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建⽴空间直⾓坐标系，则，，，，∴，，设异⾯直线与所成⾓为，则．∴异⾯直线与． 14．【解析】以点建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，设菱形的边长为2，则，，，平⾯的⼀个法向量为，BM AC ⊥1BM =M MA x MB y M AC z ()C ()10,1,2B ()1C ()0,0,0M )1CB =uuu v ()1MC =uuuu v1CB 1C M θ1111cos CB CB MC MC θ?===?uuu v uuu v uuuu v uuuu v 1CB 1C M D D xyz -ABCD ()0,0,0D 1,02E ?-240,,33F ?? ABCD ()0,0,1=n。
专题03 立体几何中的夹角问题(解析版)
第三篇 立体几何专题03 立体几何中的夹角问题常见考点考点一 线线角典例1．如图，在多面体ABCEF 中，ABC 和ACE 均为等边三角形，D 是AC 的中点，EF BD ∥，2BD EF ==(1)证明：AC BF ⊥；(2)若平面ABC ⊥平面ACE ，求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）证明一条直线垂直于另一条直线，可以先证明前者垂直于后者所在的那个平面； （2）求异面直线的夹角，优先考虑建立空间直角坐标系，用向量的方法来计算. (1)证明：连接DE .因为AB BC =，且D 为AC 的中点，所以AC BD ⊥. 因为AE EC =，且D 为AC 的中点，所以AC DE ⊥.因为BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，且BD DE D ⋂=，所以AC ⊥平面BDE . 因为EF BD ∥，所以BF ⊂平面BDE ，所以AC BF ⊥；(2)由（1）可知DE AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面ACE ，平面ABC 平面ACE AC =，DE ⊂平面ACE ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以DC ，DB ，DE 两两垂直.以D 为原点，分别以DC ，DB .DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()1,0,0A -，()B ，F ⎛ ⎝，(E ，从而(AE =，0,2BF ⎛=- ⎝. 则15cos 5AE BF AE BF AE BF⋅==⋅，，即异面直线AE 与BF变式1-1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC =，90ACD ︒=∠，以AC 为折痕将ACD ∆折起，使点D 到达点M 的位置，且AB AM ⊥.(1)证明：平面ACM ⊥平面ABC ；(2)E 为线段AM 上一点，F 为线段BC 上一点，且13AE CF AD ==，求异面直线AC 与EF 所成的角的余弦.【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）由题易知AB AC ⊥，由根据线面垂直的判定定理可推出AB ⊥平面ACM ，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值； (1) 证明：平行四边形ABCD ，//AB CD ∴，90BAC ACD ∴∠=∠=︒，即AB AC ⊥，AB AM ⊥，AC AM A ⋂=，AC 、AM ⊂平面ACM ， AB ∴⊥平面ACM ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ACM ⊥平面ABC ．(2)解：由（1）平面ACM ⊥平面ABC ，MC AC ⊥，平面ACM ⋂平面ABC AC =，MC ⊂平面ACM ，所以CM ⊥平面ABC ，因为CD ⊂平面ABC ，所以MC CD ⊥，如图建立空间直角坐标系，令3AB AC ==，所以()0,0,0C ，()0,3,0A ，()1,1,0F -，()0,2,1E ，所以()0,3,0CA =，()1,1,1FE =，设异面直线AC与EF 所成的角为θ，则3cos 33CA FE CA FEθ⋅===⋅， 故异面直线AC 与EF变式1-2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ，1AB =，AC =2BAC π∠=，D 是棱1CC 上一点．(1)若1A C BD ⊥，求1CDCC ； (2)在（1）的条件下，求直线1B D 与11AC 所成角的余弦值． 【答案】(1)112CD CC=【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求解即可；（2）利用向量求解即可. (1)如图，以AB ，AC ，1AA 的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B，()C，(1A，(1B，(1C ．设()D a，则()BD a =-，又(1AC =，1A C BD ⊥，∴130AC BD ⋅==，∴a =D 为1CC 的中点， ∴112CD CC =．(2)由（1）得1B D ⎛=- ⎝⎭，()11AC =，∴111cos ,B D AC ==．变式1-3．如图，在正方体1111ABCDA B C D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点.(1)求证：1D F AE ⊥；(2)求直线EF 和1CB 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)6π 【解析】 【分析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算得出10D F AE ⋅=，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线EF 和1CB 所成角的大小. (1)解：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()10,0,2D 、()2,2,1E 、()0,1,0F 、()0,2,0C 、()12,2,2B ，()10,1,2D F =-，()0,2,1AE =，所以，112210D F AE ⋅=⨯-⨯=，1D F AE ∴⊥.(2)解：()2,1,1EF =---，()12,0,2CB =，111cos ,6EF CB EF CB EF CB ⋅<>===⋅，因此，直线EF 和1CB 所成角为6π.考点二 线面角典例2．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2ABC π∠=，22AB BC AD ===，E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且EF BC ∥，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)求AE 为何值时，BD EG ⊥；(2)在（1）的条件下，求BD 与平面ABF 所成角的正弦值． 【答案】(1)1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0BD EG ⋅=，得出1AE =；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出BD 与平面ABF 所成角的正弦值． (1)沿EF 将梯形ABCD 翻折后，以E 为原点，以EB 所在直线为x 轴，EF 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.设,(0,2)EA t t =∈，则(0,0,0),(0,0,),(2,0,0)E A t B t -，(0,1,),(2,1,0)D t G t -(2,1,)BD t t ∴=-，(2,1,0)EG t =-,0BD EG BD EG ⊥∴⋅=，即2(2)10t --+=，解得1t =或3t =（舍）故当1AE =时，BD EG ⊥(2)在（1）的条件下，(0,0,1)A ，3(1,0,0),0,,0,(0,1,1)2B F D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3(1,1,1),(1,0,1),1,,02BD BA BF ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为(,,1)n a b =，由0,0n BA n BF ⋅=⋅=，解得21,3a b == 故21,,13n ⎛⎫= ⎪⎝⎭设BD 与平面ABF 所成角为θ，则sin cos ,BD n θ=1||||3BD n BD n -+⋅===⋅⋅ 故BD 与平面ABF . 变式2-1．如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别是棱BC ，CD 上的点，且2BE EC =，2DFFC =，点G 为棱1CC 上的动点，13AA =，1O 为上底面1111D C B A 的中心，1AO ∥平面EFG .(1)求CG 的长度；(2)求直线1BO 与平面EFG 所成的角的正弦值. 【答案】(1)1(2)11【解析】 【分析】（1）假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ，连11A C ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，得到11AO OC ∥，设OC EF H ⋂=，连接GH ，易证1AO HG ∥，再利用线面平行的判定定理证明；（2）分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，由111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==求解. (1)解：假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ， 如图所示，连11A C ，因为1O 为上底面的中心，所以1O 是棱11A C 的中点. 连AC ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，则11AO OC ∥， 设OC EF H ⋂=，连接GH ，由2BE EC =，2DF FC =；得13CH CO =， 又因为113CG CC =，所以1OC HG ∥， 所以1AO HG ∥，又因为GH ⊂平面EFG ，1AO ⊄平面EFG ， 所以1AO ∥平面EFG ，所以假设成立，即1CG =. (2)由题可知DA ，DC ，1DD 两两相互垂直，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则2,2,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,,03F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,1G ，()11,1,3O ，()2,2,0B ，所以()11,1,3BO =--，22,,033EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2,0,13EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()22,,,,00332,,,0,103x y z x y z ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令3x =，得3y =-，2z =，所以()3,3,2n =-， 设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，则111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==，=. 变式2-2．如图，三棱锥P －ABC 中，PAB △为正三角形，侧面P AB 与底面ABC 所成的二面角为150°，AB ＝AC ＝2，AB AC ⊥，E，M ，N 分别是线段AB ，PB 和BC 的中点.(1)证明：平面PEN ⊥平面ABC ；(2)求直线PN 与平面MAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）由PAB △为正三角形，可得PE AB ⊥，再由三角形中位线定理结合已知条件可得EN AB ⊥，再由线面垂直和面面垂直的判定可得结论，（2）以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可 (1)由PAB △为正三角形，E 是AB 的中点，则知PE ⊥AB ， 因为E ，N 分别是线段AB 和BC 的中点， 所以EN ∥AC ，因为AB ⊥AC ，所以EN ⊥AB ， 又PE EN E ⋂=，所以AB ⊥平面PEN ， 因为AB 平面ABC 所以平面PEN ⊥平面ABC . (2)由（1）知，∠PEN ＝150°，以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （1，0，0），C （－1，2，0），A （－1，0，0），30,2P ⎛- ⎝⎭，13,24M ⎛- ⎝⎭，N （0，1，0），∴50,,2PN ⎛= ⎝⎭，33,24AM ⎛=- ⎝⎭，()0,2,0AC =， 设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2033024y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令x ＝1，则y ＝0，z =-(1,0,n =-，设直线PN 与平面MAC 所成角为θ，则sin cos ,7PN n PN n PN nθ⋅====故直线PN 与平面MAC变式2-3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1222AC AB AA ===，11A B AB M =，11A B B C ⊥.(1)求证：AB AC ⊥；(2)若点N 在线段1A C 上，满足MN ∥平面ABC ，求直线1B N 与平面1A BC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)49【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面11AA B B ，即可证明AC AB ⊥. （2）连接1A C ，MN ，1B N .先证明出N 为1A C 的中点.以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. (1)∵111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又1AA AB =，所以四边形11AA B B 为正方形， ∴11A B AB ⊥，又11A B B C ⊥，111AB B C B ⋂=， ∴1A B ⊥平面1AB C ，又AC ⊂平面1AB C ，∴1A B AC ⊥，又1AC AA ⊥，111A B AA A ⋂=，∴AC ⊥平面11AA B B ，又AB 平面11AA B B ， ∴AC AB ⊥. (2)连接1A C ，MN ，1B N .∵MN ∥平面ABC ，又MN ⊂平面1A BC ，平面1A BC 平面ABC BC =， ∴MN BC ∥.又M 为1A B 的中点，∴N 为1A C 的中点.如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，()1,0,0B ，()0,2,0C ，()11,0,1B ，10,1,2N ⎛⎫⎪⎝⎭.∴111,1,2B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，又()11,0,1A B =-，()10,2,1AC =-， 由1100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x z y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取z =2，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,1,2n =∴直线1B N 与平面1A BC 所成角θ的正弦值为11124sin cos ,3932B N n B N n B N nθ⋅====⨯.考点三 二面角典例3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是矩形，AC AB ⊥，12AB AA ==，3AC =，1120A AB ∠=︒，E ，F 分别为棱11A B ，BC 的中点，G 为线段CF 的中点．(1)证明：1//AG 平面AEF ； (2)求二面角A EF B --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；【解析】 【分析】（1）作图，由对应比例证明1//OF A G ，即可证明1//AG 平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算. (1)连接1A B ，交AE 于点O ，连接OF ，由题意，四边形11ABB A 为平行四边形，所以11AB A B =，因为E为11A B 中点，∴112A E AB =，∴1AOE BOA △△，且相似比为12，∴112AO OB =，又∵F ，G 为BC ，CF 中点，∴12GF BF =，∴1//OF A G ，又OF ⊂平面AEF ，1AG ⊄平面AEF ，∴1//AG 平面AEF .(2)连接1AB ，因为1120A AB ∠=︒，12AB AA ==，所以11AB A B ⊥，112,AB A B ==间直角坐标系，则()()1130,1,0,,,0,,222A B E F ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333313,,0,,,0,3,1,22222AE BE EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面AEF 和平面BEF 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z ==，则{AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0⇒{√32x 1−32y 1=0−√3x 1+y 1+32z 1=0⇒m ⃑⃑ =(3√3,3,4)，{BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0⇒{3√32x 2−12y 2=0−√3x 2+y 2+32z 2=0⇒n ⃑ =(√3,9,−4)，所以927cos ,13213m n m n m n⋅+===，因为二面角A EF B --的平面角为锐角，所以二面角A EFB --.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.变式3-1．如图，ABC中AB BC⊥，且2=，将AEF沿中位线EF折起，使得AE BEAB BC⊥，连结AB，AC，M为AC的中点.(1)证明：MF⊥平面ABC；(2)求二面角E MF C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性质得出FM AC⊥，MF BM⊥，再由线面垂直的判定证明即可；（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由向量法得出面面角. (1)设2BC =，则1,2,EF AE BE AF FC =====,AE EF AE BE ⊥⊥，EFBE E =，AE ⊥平面BCFEEC ⊂平面BCFE ，AE EC ∴⊥连接BM ，BF，AC AE ==2,BC AB ==222,AC BC AB BC AB ∴=+⊥12BM AC ∴==MF BF ===222BF MF BM ∴=+，即MF BM ⊥又,AF FC FM AC =∴⊥BM AC M ⋂=，∴MF ⊥平面ABC(2),,AE BE AE EF EF BE ⊥⊥⊥，∴以点E 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系(0,0,2),(2,2,0),(1,1,1)(0,1,0),(0,0),0,A C M F E(1,0,1),(1,1,1),(2,1,0)MF EM FC ∴=--==设平面EMF 的法向量为()111,,n x y z =，平面MFC 的法向量为()222,,m x y z =11111000x z MF n x y z EM n ⎧--=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩，令11z =-，则(1,0,1)n =- 同理可得(1,2,1)m =--，2cos ,||||32m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯ 又二面角E MF C --为钝角，故二面角E MF C --的余弦值为变式3-2．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD . (2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =,设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩，令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量.由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-, 故所求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为23.变式3-3．如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥，2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上，且2PN NB =.(1)证明：BD 平面CMN ；(2)求平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标, （1）求出平面CMN 的法向量，利用BD n =0证明即可；（2）由（1）知平面CMN 的法向量，再求平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. (1)证明：三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥∴分别以AB ，AC ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系∵2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =∴()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2M ，44,0,33N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0D设平面CMN 的法向量()000,,n x y z =，()0,2,2CM =-，44,2,33CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，由00000220442033n CM y z n CN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩得00012x zy z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 令02z =- 得0012x y =-⎧⎨=-⎩ ∴()1,2,2n =---∵()()2,1,01,2,20BD n ⋅=-⋅---= ∴BD n ⊥又BD ⊄平面CMN ∴BD 平面CMN ； (2)PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC A ⋂=∴PA ⊥平面ABC∴PA 为平面ABC 的法向量 ()0,0,4AP =则AP 与n 的夹角α的补角是平面ABC 与平面CMN 所成二面角的平面角θ82cos cos 433AP n AP nθα⋅-=-=-=-=⨯⋅. ∴平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值为23.巩固练习练习一 线线角1．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D 是BC 的中点，求异面直线 A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()110,0,4,2,0,0,0,2,4,1,1,0A B C D ， 所以()()112,0,4,1,1,4A B C D =-=--， 设异面直线 A 1B 与C 1D 所成的角为θ，所以111111cos cos ,25A B C D A B C D A B C Dθ⋅====⋅. 2．如图，直棱柱111,ABC A B C -在底面ABC 中，1,90CA CB BCA ∠===，棱12,,AA M N =分别为111,A B A A 的中点.（1）求异面直线1BA ､1CB 成角的余弦值； （2）求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】（1（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件中的垂直关系，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，求向量1BA 和1CB 的坐标，再根据公式11cos ,BA CB <>的值；（2）利用向量数量积证明11,C M BN C N BN ⊥⊥，证明线面垂直. 【详解】（1）如图所示，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，依题意得()()()()()110,1,0,1,0,1,1,0,2,0,0,0,0,1,2,B N A C B()()111,1,2,0,1,2BA CB ∴=-= ()111011223BA CB ∴⋅=⨯+-⨯+⨯= 又116,5BA CB ==11111130cos<,10BA CB BA CB BA BB⋅∴>==故11,BA CB （2）证明：依题意得()()()()11111,0,2,0,0,2,0,1,0,1,0,1,,,2,22A CB N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1111,,0,1,0,1,1,1,122C M CC N BN ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭()()()111111010,11011122C M BN C N BN ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=⋅=⨯+⨯-+-⨯=0,11,C M BN C N BN ∴⊥⊥11,BN C M BN C N ∴⊥⊥又：1111,C M C N C C M ⋂=⊂面11,C MN C N ⊂面1C MNBN ∴⊥平面1.C MN3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,,AC AB A A AB AC D E F ⊥===分别为1,,AB BC BB 的中点.（1）证明：//DF 平面11AB C ；（2）证明：11AFB E ⊥； （3）求异面直线111A F B C 与所成角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3 【解析】 【分析】（1）通过证明1//DF AB 来证得//DF 平面11AB C .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11AFB E ⊥. （3）利用向量法求得异面直线1A F 与11BC 所成角的余弦值. 【详解】（1）在三角形1ABB 中，,D F 分别是1,AB BB 的中点，所以DF 是三角形1ABB 的中位线，所以1//DF AB ，由于DF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//DF 平面11AB C . （2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,2,0,2,1,0,2,2,2,0,2,1,1,0A F B C E ，所以()()110,2,1,1,1,2A F B E =-=--，11220A F B E ⋅=-+=，所以11A F B E ⊥，即11AF B E ⊥.（3）()()1110,2,1,2,2,0A F B C =-=-，设异面直线1A F 与11B C 所成角为θ，则1111cos 55A F B E A F B Eθ⋅===⋅. 所以异面直线1A F 与11B C4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点.（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值； （3）求CE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2（3【解析】 【分析】（1）以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，证明0EF CF ⋅=即可；（2）求出cos cos ,EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>=⋅即可；（3）利用空间两点间距离公式即可求出. 【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,022CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则111110022222EF CF ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, EF CF ∴⋅，∴EF CF ⊥； （2）设EF 与CG 所成角为θ，111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1cos cos ,153EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>===⋅所以EF 与CG（3）CE ==练习二 线面角5．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面11,60,ABC AA BAA ABC =∠=︒为等腰直角三角形，2AC BC ==．(1)若O 为AB 的中点，求证：1CO AA ⊥； (2)求直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】(1)根据题意可得CO AB ⊥，由面面垂直的性质可得CO ⊥平面11AA B B ，结合线面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面11ACC A 的法向量和1BC ， 结合空间向量的数量积计算即可. (1)ABC 为等腰直角三角形，2AC BC ==，由O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =．CO ∴⊥平面11AA B B ，又1AA ⊂平面111AA B B CO AA ∴⊥，． (2)ABC为等腰直角三角形，2AC BC AB ==∴=，又11260AA BAA =∠=︒∴，四边形11AA B B 为菱形，1AA B 为正三角形，1A O AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =，1AO ∴⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,A B C A ，，，，111(2,BC BC CC BC AA =+=+=+=．又1(2,2,0)(0,2,AC AA ==，，设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，则100n AA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,+== 令1z =，则(3,x y n ===-． 设直线1BC 与平面11ACC A 所成的角为θ，则1201sin cos ,7n BC θ⨯+===．6．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB =，1BC =，2CD =，点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ．(1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；. 【解析】 【分析】（1）通过线线垂直先证明BC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值. (1)因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥， 因为90ABC ∠=︒，所以BC AB ⊥，因为PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ． (2)取CD 中点E ，连接AE ，因为90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB BC ==，2CD =， 所以四边形ABCE 是矩形，所以AB AE ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以AB 、AE 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)E ，(1,1,0)D -，设(0,0,)(0)P t t >，则20,,33t G ⎛⎫⎪⎝⎭，20,,33t AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,,33t CG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,33t DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG CG ⊥，所以0CG AG ⋅=，所以220099t -+=，t =(0,1,0)BC =，(1,0,PB =，令(2,0,1)m =，因为0BC m ⋅=，0PB m ⋅=， 所以m 是平面PBC 的法向量，DG 的方向向量是11,,33DG ⎛=- ⎝⎭，所以直线CG 与平面PBC 所成角θ的正弦值为||3sin |cos ,|3||||3m DG m DG m DG θ⋅=〈〉===⋅. 故直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值为3. 7．已知平行四边形ABCD ，2AB =，1BC =，3A π∠=，点E 是AB 的中点，沿DE 将ADE 翻折得PDE △，使得PC =，且点F 为PC 的中点.(1)求证：BF ∥平面PDE ；(2)求直线PE与平面BCDE 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】（1）取PD 的中点H ，证明四边形FHEB 为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.(1)取PD 的中点H,连接EH,HF∵F ，H 分别为PC ，PD 的中点，∴1//2FH CD FH CD =，又∵E 为AB 的中点，∴1//,2EB CD BE CD =，∴//,FH EB FH EB =，∴FHEB 为平行四边形，∴FB HE ∥，又∵BF ⊄面PDE ，HE ⊂面PDE ，∴BF ∥平面PDE .(2)∵2AB =，1AD =，3A π∠=，∴AD BD ⊥，如图建立平面直角坐标系：令(),,P x y z ，由条件可知()1,0,0A，()B，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C -，由11PD PE PC ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴()(22222222211121014x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎛⎪⎛⎫-++= ⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪+++=⎩，∴1834x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴1384P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴53,884EP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，又∵面BCDE 的法向是()0,0,1m =，记PE 与面BCDE 所成角为θ. ∴||3sin 4||EP n n →→→⋅==θ， 即PE 与面BCDE 所成角的正弦值为34.8．如图1，在△MBC 中，24,BM BC BM BC ==⊥，A ，D 分别为棱BM ，MC 的中点，将△MAD沿AD 折起到△P AD 的位置，使90PAB ∠=，如图2，连结PB ，PC ，BD ．(1)求证：平面P AD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)推导出PA AD ⊥，PA AB ⊥，利用线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，利用向量法即可求出直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值.(1)由题意知，因为点A 、D 分别为MB 、MC 中点，所以//AD BC ，又BM BC ⊥，所以BM AD ⊥，所以PA AD ⊥.因为90PAB ︒∠=，所以PA AB ⊥，又AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90PAB ︒∠=，所以AP AB AD 、、两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0)(2,0,0)(2,2,0)(0,1,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C D P E ，，，，，，则(1,0,1)(2,1,0)(2,0,2)DE BD BP ==-=-，，，设平面PBD 的一个法向量为()n x y z =，，，则0202200n BD x y x z n BP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令2y =，得11x z ==，， 所以(1,2,1)n =，设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，则1sin cos 2DE n DE n DE n θ⋅====， 所以直线DE 与平面PBD练习三 二面角9．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB DC ∥，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，四边形11ADD A 为菱形，1A 在平面ABCD 内的射影O 恰好为AD 的中点，M 为AB 的中点.(1)求证：BC ⊥平面1AOM ； (2)求平面11A BC 与平面11AA D D 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）先证明1A O BC ⊥，BC OM ⊥，即可证明BC ⊥平面1AOM ； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.(1)因为O 为1A 在平面ABCD 内的射影，所以1A O ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1A O BC ⊥.如图，连接BD ，在Rt △ABD 中，BD =设CD 的中点为P ，连接BP ，因为//AB DC ，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，所以BP CD ⊥，且2BP PC ==，则BC =因为22216BD BC CD +==，所以BC BD ⊥，易知//OM BD ，所以BC OM ⊥.因为1A O ⊂平面1AOM ，OM ⊂平面1AOM ，1A O OM O ⋂=， 所以BC ⊥平面1AOM . (2)由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，所以可以点O 为坐标原点，以OA ，1OA ，所在直线分别为x ，z ，以平面ABCD 内过点O 且垂直于OA 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B，(1A ，()1,4,0C -，(12,C -所以(1,0,0)OA =,1OA =,(11,2,A B =，(1BC =-，设平面11AA D D 的法向量为()111,,m x y z =，0m OA ⋅=，10m OA ⋅=，则110,0,x =⎧⎪=可取平面11AA D D 的一个法向量为()0,1,0m =. 设平面11A BC 的法向量为()222,,n x y z =，10n BC ⋅=，10n A B ⋅=，则222222320,20,x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令2y 11A BC的一个法向量为()23,n =.设平面11A BC 与平面11AA D D 的平面角为α，由法向量的方向可知α与法向量的夹角大小相等，所以3cos 311m nm n α⋅===⨯⋅， 所以平面11A BC 与平面11AA D D . 10．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD为菱形，SAD 为等边三角形，120ABC ∠=︒，点S 在平面ABCD 内的射影O 为线段AD 的中点.(1)求证：平面SOB ⊥平面SBC ；(2)已知点E 在线段SB 上，32SE BE =，求二面角B OE C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）证明OB BC ⊥和OS BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明出BC ⊥平面SOB ，再利用面面垂直的判定定理证明出平面SOB ⊥平面SBC .（2）以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法求解.(1)（1）如图，连接BD .在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，故ABD △为等边三角形.因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥.因为AD BC ∥，所以OB BC ⊥.由条件可知SO ⊥底面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以OS BC ⊥，因为OS OB O =，OS ，OB ⊂平面SOB ，所以BC ⊥平面SOB .因为BC ⊂平面SBC ，故平面SOB ⊥平面SBC .(2)因为SO ⊥底面ABCD ，OB AD ⊥，所以可以以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1OA =，则OS OB =因为()0,0,0O ，()B ，()C -，(S ，所以()OC =-.由32SE BE =，得35OE OS SB ⎛=+= ⎝⎭， 设(),,m x y z =是平面OEC 的法向量，由{OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0得32020y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令2y =，则x =3z =-，则()3,2,3m =-，又因为平面BOE 的一个法向量为()1,0,0n =，所以cos ,3m n m n m n ⋅===+，故由图可知二面角B OE C --的平面角为锐角，所以二面角B OE C -- 11．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，,M N 分别是11A B ，1AA 的中点.(1)求BN 的长；(2)求证：11A B C M ⊥；(3)求二面角11A BC B --的余弦值.【答案】(2)证明见解析【解析】【分析】（1）以点C 为原点建立空间直角坐标系，求得向量BN 的坐标求解； （2）求得向量1A B ，1C M 的坐标，利用向量的数量积运算求解； （3）先求得平面1A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，易知(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量，再由cos<n CA n CA n CA ⋅⋅>=⋅求解.(1) 解：依题意，以点C 为原点建立空间直角坐标系（如图），则(1,0,0)A ,(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，11(,,2)22M ，(1,0,1)N ,1(1,0,2)A ,1(0,1,2)B ,1(0,0,2)C ， 所以向量(1,1,1)BN =-则21BN ==(2) 向量1(1,1,2)A B =--，向量111(,,0)22C M =，因为11A B C M ⋅()11112022=-⨯+⨯+-⨯0= ，所以11A B C M ⊥ 所以11A B C M ⊥；(3)向量1(1,1,2)A B =--，向量()11,0,2AC =--， 设(,,)n x y z =为平面1A BC 的一个法向量，则1100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y z x z -+-=⎧⎨--=⎩, 不妨令2x =-，可得(2,0,1)n =-，又(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量， 则cos<n CAn CA n CA⋅⋅>=⋅= 12．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，4AB =，AD EF ∥，2AF EF ==，90FAD AEC ∠=∠=︒.(1)证明：AF ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B ED C --的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）取AD 的中点为M ，连接EM ，易证AE ⊥平面ECD ，得到AE CD ⊥，再由CD AD ⊥，得到CD ⊥平面ADEF ，进而得到CD AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明； （2）连接BE ，BD，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面BED 的一个法向量(),,m a b c =和平面CED 的一个法向量(),,n x y z =，然后由cos ,n m n m n m ⋅=求解. (1)证明：取AD 的中点为M ，连接EM ，则2EF AM AF ===，又90FAD ∠=︒，//AD EF ，故四边形AFEM 为正方形，故2EM AM MD ===，故90AED ∠=︒，又AE EC ⊥，EC ED E =，故AE ⊥平面ECD ，则AE CD ⊥．又CD AD ⊥，AE AD A =，故CD ⊥平面ADEF ，则CD AF ⊥．又AF AD ⊥，AD CD D =，AD ，CD ⊂平面ABCD ，故AF ⊥平面ABCD ．(2)连接BE ，BD ，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图：则B （4，0，0），C （4，4，0），D （0，4，0），E （0，2，2），则()4,4,0BD =-，()4,2,2BE =-，()4,0,0CD =-，()0,2,2DE =-．设平面BED 的一个法向量为(),,m a b c =．则0,0,m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即440,4220,a b a b c -+=⎧⎨-++=⎩令1a =，则()1,1,1m =．设平面CED 的一个法向量为(),,n x y z =， 则0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,220,x y z -=⎧⎨-+=⎩令1y =，则()0,1,1n =，2cos ,32n m n m n m ⋅===⨯，则3sin ,3n m =，故二面角B ED C --。
高考数学复习知识点解析与专题训练12---利用空间向量求夹角
B1）为 F ，
以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ， AB = 2
E(1, 2, 0)
F ( 3 , 2, 2) 2
G(0, 0, 2)
A(2, 0, 0)
C1(0, 2, 2)
4 / 10
， ， ． ∴
m
=
c
=
0
BD1 ⋅ m = −a − b + c = 0
取 ，得 ， a = 1 m = (1, −1,0)
设二面角
A−
BD1
−
B1
的平面角为θ
， cosθ
=
−
|
cos
<
m,n
>|=
−
1 2
，
∴二面角
A
−
BD1
−
B1
的大小为
2π 3
．
对点增分集训
一、选择题
1．已知四面体 ABCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD，△ABD 为边长2 的等边三角形，BD = DC ，
，∴
cos
<
n 1
,
n 2
>=
2 3×1
=
2 3
，
6 / 10
即平面
A1ED
与平面
ABCD
所成的锐二面角的余弦值为
2 3
．
二、填空题 5．在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，M ，N 分别是 A1B1 、A1C1的中点，则异面直线 BM 与 AN 所 成角的余弦值为 ．
【答案】 30 10
BD ⊥ DC ，则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为（ ）
高二数学上册(人教A版2019选修一) 专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题(解析版)
专题01通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一直线与平面所成的角1．（2020•海南）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，BC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；（2）解：如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，1PD AD == ，Q 为l 上的点，QB =，PB ∴=，1QP =，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，作//PQ AD ，则PQ 为平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，因为2QB =，QAB ∆是等腰直角三角形，所以(1Q ，0，1)，则(1DQ = ，0，1)，(1PB = ，1，1)-，(0DC = ，1，0)，设平面QCD 的法向量为(n a = ，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴00b a c =⎧⎨+=⎩，取1c =，可得(1n =- ，0，1)，cos n ∴< ，116||||32n PB PB n PB ⋅>==⋅ ，PB ∴与平面QCD 632．（2020•山东）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解答】解：（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，BC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；（2）如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，设(Q m ，0，1)，(DQ m = ，0，1)，(1PB = ，1，1)-，(0DC = ，1，0)，设平面QCD 的法向量为(n a = ，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴00b am c =⎧⎨+=⎩，取1a =-，可得(1n =- ，0，)m ，cos n ∴<，||||n PB PB n PB ⋅>==⋅ ，PB ∴与平面QCD333==，当且仅当1m =取等号，PB ∴与平面QCD所成角的正弦值的最大值为3．3．（2020•天津）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【解答】解：以C 为原点，CA ，CB ，1CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0C ，0，3)，1(2A ，0，3)，1(0B ，2，3)，(2D ，0，1)，(0E ，0，2)，(1M ，1，3)，（Ⅰ）证明：依题意，1(1C M = ，1，0)，1(2B D = ，2-，2)-，∴112200C M B D ⋅=-+= ，11C M B D ∴⊥；（Ⅱ）依题意，(2CA = ，0，0)是平面1BB E 的一个法向量，1(0EB = ，2，1)，(2ED = ，0，1)-，设(n x = ，y ，)z 为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，则(1n = ，1-，2)，cos CA ∴< ，66||||CA n n CA n ⋅>==⋅ ，sin CA ∴< ，130166n >=-= ，∴二面角1B B E D --的正弦值6；（Ⅲ）依题意，(2AB =- ，2，0)，由（Ⅱ）知，(1n = ，1-，2)为平面1DB E 的一个法向量，cos AB ∴<，||||AB n n AB n ⋅>==⋅ ∴直线AB 与平面1DB E4．（2021•浙江）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥．（Ⅰ）证明：AB PM ⊥；（Ⅱ）求直线AN 与平面PDM所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，由已知可得，1CD AB ==，122CM BC ==，60DCM ∠=︒，∴由余弦定理可得，2222cos60DM CD CM CD CM =+-⨯⨯︒11421232=+-⨯⨯⨯=，则222134CD DM CM +=+==，即CD DM ⊥，又PD DC ⊥，PD DM D = ，CD ∴⊥平面PDM ，而PM ⊂平面PDM ，CD PM ∴⊥，//CD AB ，AB PM ∴⊥；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD ⊥平面PDM ，又CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PDM ，且平面ABCD ⋂平面PDM DM =，PM MD ⊥ ，且PM ⊂平面PDM ，PM ∴⊥平面ABCD ，连接AM ，则PM MA ⊥，在ABM ∆中，1AB =，2BM =，120ABM ∠=︒，可得2114212(72AM =+-⨯⨯⨯-=，又PA =Rt PMA ∆中，求得PM ==，取AD 中点E ，连接ME ，则//ME CD ，可得ME 、MD 、MP 两两互相垂直，以M 为坐标原点，分别以MD 、ME 、MP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(A 2，0)，(0P ，0，，1,0)C -，又N 为PC的中点，12N ∴-，52AN =- ，平面PDM 的一个法向量为(0,1,0)n = ，设直线AN 与平面PDM 所成角为θ，则5||152sin |cos ,|6||||AN n AN n AN n θ⋅=<>==⋅ ．故直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值为156．5．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解答】()I 证明：1A A ⊥ 平面ABC ，1B B ⊥平面ABC ，11//AA BB ∴，14AA = ，12BB =，2AB =，221111()()22A B AB AA BB ∴=+-=，又221122AB AB BB =+=，2221111AA AB A B ∴=+，111AB A B ∴⊥，同理可得：111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，1AB ∴⊥平面111A B C ．()II 解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交11A C 于D ，AB BC = ，OB OC ∴⊥，2AB BC == ，120BAC ∠=︒，1OB ∴=，3OA OC ==以O 为原点，以OB ，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(0A ，3-0)，(1B ，0，0)，1(1B ，0，2)，1(0C 31)，∴(1AB = 30)，1(0BB = ，0，2)，1(0AC = ，23，1)，设平面1ABB 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则100n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴3020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1y =可得(3n =- 1，0)，1112339cos ,||||213n AC n AC n AC ∴<>==⨯设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，则1sin |cos ,|13n AC θ=<>=．∴直线1AC 与平面1ABB ．题型二二面角的平面角及求法6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，QD QA ==3QC =．（Ⅰ）求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：QCD ∆中，2CD AD ==，QD =，3QC =，所以222CD QD QC +=，所以CD QD ⊥；又CD AD ⊥，AD QD D = ，AD ⊂平面QAD ，QD ⊂平面QAD ，所以CD ⊥平面QAD ；又CD ⊂平面ABCD ，所以平面QAD ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）解：取AD 的中点O ，在平面ABCD 内作Ox AD ⊥，以OD 为y 轴，OQ 为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示：则(0O ，0，0)，(2B ，1-，0)，(0D ，1，0)，(0Q ，0，2)，因为Ox ⊥平面ADQ ，所以平面ADQ 的一个法向量为(1α= ，0，0)，设平面BDQ 的一个法向量为(x β= ，y ，)z ，由(2BD =- ，2，0)，(0DQ = ，1-，2)，得00BD DQ ββ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，得2y =，2x =，所以(2β= ，2，1)；所以cos α< ，23||||1441αββαβ⋅>===⋅⨯++，所以二面角B QD A --的平面角的余弦值为23．7．（2020•新课标Ⅰ）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．【解答】解：（1）不妨设圆O 的半径为1，1OA OB OC ===，2AE AD ==，AB BC AC ===，62DO PO ===，PA PB PC ===，在PAC ∆中，222PA PC AC +=，故PA PC ⊥，同理可得PA PB ⊥，又PB PC P = ，故PA ⊥平面PBC ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有31312(,0),(,,0),(0,0,)22222B C P ，(0E ，1，0)，故11(,0),(,,)22222BC CE CP ===- ，设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z = ，则由00n CE n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10212022x y x y z +=-+=，取1x =，则y =，z =，所以平面PCE的法向量为(1,n = ，由（1）可知PA ⊥平面PBC ，不妨取平面PBC 的法向量为22AP = ，故||cos ||||PA n PA n θ⋅== ，即二面角B PC E --．8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．【解答】证明：（1）长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11ABA B ，11B C BE ∴⊥，1BE EC ⊥ ，1111B C EC C = ，BE ∴⊥平面11EB C ．解：（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设11AE A E ==，则1BE EB =，BE ⊥ 平面11EB C ，1BE EB ∴⊥，22221124BE EB BE BB ∴+===，22BE ∴=，222212AE AB AB BE +=+== ，1AB ∴=，则(1E ，1，1)，(1A ，1，0)，1(0B ，1，2)，1(0C ，0，2)，(0C ，0，0)，1BC EB ⊥ ，1EB ∴⊥面EBC ，故取平面EBC 的法向量为1(1m EB ==- ，0，1)，设平面1ECC 的法向量(n x = ，y ，)z ，由100n CCn CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00zx y z =⎧⎨++=⎩，取1x =，得(1n = ，1-，0)，1cos ,||||2m n m n m n ⋅∴<>==-⋅，∴二面角1B EC C --的正弦值为32．9．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点．（1）求证：1//D F 平面11A EC ；（2）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值；（3）求二面角11A A C E --的正弦值．【解答】（1）证明：以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则1(0A ，0，2)，(2E ，1，0)，1(2C ，2，2)，故111(2,2,0),(0,1,2)A C EC == ，设平面11A EC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100n A C n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则2x =，2y =-，故(2,2,1)n =- ，又(1F ，2，0)，1(0D ，2，2)，所以1(1,1,2)FD =- ，则10n FD ⋅= ，又1D F ⊂/平面1A EC ，故1//D F 平面11A EC ；（2）解：由（1）可知，1(2,2,2)AC = ，则111||3|cos ,|9||||n AC n AC n AC ⋅<>== ，故直线1AC 与平面11A EC所成角的正弦值为9；（3）解：由（1）可知，1(0,0,2)AA = ，设平面11AA C 的法向量为(,,)m a b c = ，则11100m AA m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00c a b =⎧⎨+=⎩，令1a =，则1b =-，故(1,1,0)m =- ，所以|||cos ,|||||3m n m n m n ⋅<>=== ，故二面角11A A C E --13=．10．（2021•北京）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F ．（1）求证：点F 为11B C 中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为3，求111A M AB ．【解答】（1）证明：连结DE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CD C D ，11C D ⊂平面1111A B C D ，CD ⊂/平面1111A B C D ，则//CD 平面1111A B C D ，因为平面1111A B C D ⋂平面CDEF EF =，所以//CD EF ，则11//EF C D ，故1111////A B EF C D ，又因为1111//A D B C ，所以四边形11A B FE 为平行四边形，四边形11EFC D 为平行四边形，所以11A E B F =，11ED FC =，而点E 为11A D 的中点，所以11A E ED =，故11B F FC =，则点F 为11B C 的中点；（2）解：以点1B 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，设点(M m ，0，0)，且0m <，则(0C ，2，2)-，(2E -，1，0)，(0F ，1，0)，故(2,0,0),(0,1,2),(,1,0)FE FC FM m =-=-=- ，设平面CMF 的法向量为(,,1)m a b = ，则00m FM m FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020ma b b -=⎧⎨-=⎩，所以2a m =，2b =，故2(,2,1)m m = ，设平面CDEF 的法向量为(,,1)n x y = ，则00n FE n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y -=⎧⎨-=⎩，所以0x =，2y =，故(0,2,1)n = ，因为二面角M CF E --的余弦值为53，则|||cos,|||||3m nm nm n⋅<>===，解得1m=±，又0m<，所以1m=-，故11112A MA B=．11．（2021•乙卷）如图，四棱锥P ABCD-的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，1PD DC==，M为BC中点，且PB AM⊥．（1）求BC；（2）求二面角A PM B--的正弦值．【解答】解：（1）连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，则AM PD⊥，又AM PB⊥，PB PD P=，PB，PD⊂平面PBD，所以AM ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，则AM BD ⊥，所以90ABD ADB ∠+∠=︒，又90ABD MAB ∠+∠=︒，则有ADB MAB ∠=∠，所以Rt DAB Rt ABM ∆∆∽，则AD BA AB BM =，所以2112BC =，解得BC =（2）因为DA ，DC ，DP 两两垂直，故以点D 位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A B M ，(0P ，0，1)，所以(AP =，22(((1,1)22AM BM BP =-=-=- ，设平面AMP 的法向量为(,,)n x y z = ，则有00n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0202z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令x =1y =，2z =，故2)n = ，设平面BMP 的法向量为(,,)m p q r = ，则有00m BM m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020p q r ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，令1q =，则1r =，故(0,1,1)m = ，所以|||cos ,|||||14n m n m n m ⋅<>=== ，设二面角A PM B --的平面角为α，则sin α====，所以二面角A PM B --的正弦值为14．12．（2021•甲卷）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）证明：连接AF ，E ，F 分别为直三棱柱111ABC A B C -的棱AC 和1CC 的中点，且2AB BC ==，1CF ∴=，5BF =11BF A B ⊥ ，11//AB A B ，BF AB∴⊥3AF∴=，AC===，222AC AB BC∴=+，即BA BC⊥，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2A，0，0)，(0B，0，0)，(0C，2，0)，(1E，1，0)，(0F，2，1)，设1B D m=，则(D m，0，2)，∴(0BF=，2，1)，(1DE m=-，1，2)-，∴0BF DE⋅=，即BF DE⊥．（2）解：AB⊥平面11BB C C，∴平面11BB C C的一个法向量为(1p= ，0，0)，由（1）知，(1DE m=-，1，2)-，(1EF=-，1，1)，设平面DEF的法向量为(n x=，y，)z，则n DEn EF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(1)20m x y zx y z-+-=⎧⎨-++=⎩，令3x=，则1y m=+，2z m=-，∴(3n=，1m+，2)m-，cos p∴<，||||p nnp n⋅>===⋅∴当12m=时，面11BB C C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当112B D=时，面11BB C C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．13．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D-的底面是菱形，14AA=，2AB=，60BAD∠=︒，E，M，N分别是BC，1BB，1A D的中点．（1）证明：//MN平面1C DE；（2）求二面角1A MA N--的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过N 作NH AD ⊥，则1//NH AA ，且112NH AA =，又1//MB AA ，112MB AA =，∴四边形NMBH 为平行四边形，则//NM BH ，由1//NH AA ，N 为1A D 中点，得H 为AD 中点，而E 为BC 中点，//BE DH ∴，BE DH =，则四边形BEDH 为平行四边形，则//BH DE ，//NM DE ∴，NM ⊂/ 平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ；（2）解：以D 为坐标原点，以垂直于DC 的直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则3(2N ，12-，2)，(3M ，1，2)，1(3A ，1-，4)，33(,0)22NM = ，131(,2)22NA =- ，设平面1A MN 的一个法向量为(,,)m x y z = ，由133022312022m NM y m NA x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，取3x =(3,1,1)m =-- ，又平面1MAA 的一个法向量为(1,0,0)n = ，315cos ,||||55m n m n m n ⋅∴<>===⋅ ．∴二面角1A MA N --2215101,1()55cos m n -<>=-= ．14．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD ∆是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．【解答】解：（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥；（2）方法一：取OD 的中点F ，因为OCD ∆为正三角形，所以CF OD ⊥，过O 作//OM CF 与BC 交于点M ，则OM OD ⊥，所以OM ，OD ，OA 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OM ，OD ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(0B ，1-，0)，1(,0)22C ，(0D ，1，0)，设(0A ，0，)t ，则12(0,,)33t E ，因为OA ⊥平面BCD ，故平面BCD 的一个法向量为(0,0,)OA t = ，设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z = ，又342(,0),(0,,)2233t BC BE == ，所以由00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得3302242033x y t y z +=⎪⎨⎪+=⎪⎩，令x =1y =-，2z t =，故21,)n t=- ，因为二面角E BC D --的大小为45︒，所以||2|cos ,|2||||n OA n OA n OA ⋅<>=== ，解得1t =，所以1OA =，又111224OCD S ∆=⨯⨯⨯=，所以2BCD S ∆=，故11133A BCD BCD V S OA -∆=⋅⋅=⨯=．方法二：过E 作EF BD ⊥，交BD 于点F ，过F 作FG BC ⊥于点G ，连结EG ，由题意可知，//EF AO ，又AO ⊥平面BCD所以EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以EF BC ⊥，又BC FG ⊥，FG EF F= 所以BC ⊥平面EFG ，又EF ⊂平面EFG ，所以BC EG ⊥，则EGF ∠为二面角E BC D --的平面角，即45EGF ∠=︒，又1CD DO OB OC ====，所以120BOC ∠=︒，则30OCB OBC ∠=∠=︒，故90BCD ∠=︒，所以//FG CD ，因为23DE DF EF AD OD AO ===，则312,,233AO EF OF DF ===，所以BF GF BD CD=，则112323GF +==，所以23EF GF ==，则312AO EF ==，所以11111332A BCD BCD V S AO -∆=⋅=⨯⨯⨯=．15．（2020•江苏）在三棱锥A BCD -中，已知CB CD ==，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．【解答】解：（1）如图，连接OC ，CB CD = ，O 为BD 的中点，CO BD ∴⊥．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2BD = ，1OB OD ∴==，则2OC ===．(1B ∴，0，0)，(0A ，0，2)，(0C ，2，0)，(1D -，0，0)，E 是AC 的中点，(0E ∴，1，1)，∴(1,0,2)AB =- ，(1,1,1)DE = ．设直线AB 与DE 所成角为α，则||15cos 15||||AB DE AB DE α⋅==⋅ ，即直线AB 与DE 所成角的余弦值为1515；（2）14BF BC = ，∴14BF BC = ，设(F x ，y ，)z ，则(1x -，y ，1)(4z =-，12，0)，3(4F ∴，12，0)．∴(1,1,1)DE = ，71(,,0)42DF = ，(1,2,0)DC = ．设平面DEF 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，由11111071042m DE x y z m DF x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取12x =-，得(2,7,5)m =-- ；设平面DEC 的一个法向量为222(,,)n x y z = ，由22222020n DE x y z n DC x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取22x =-，得(2,1,1)n =- ．|||cos|||||m nm nθ⋅∴===⋅sin13θ∴===．16．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DE ED=，12BF FB=．（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB=，1AD=，13AA=，求二面角1A EF A--的正弦值．【解答】（1）证明：在1AA上取点M，使得12A M AM=，连接EM，1B M，1EC，1FC，在长方体1111ABCD A B C D-中，有111////DD AA BB，且111DD AA BB==．又12DE ED=，12A M AM=，12BF FB=，1DE AM FB∴==．∴四边形1B FAM和四边形EDAM都是平行四边形．1//AF MB∴，且1AF MB=，//AD ME，且AD ME=．又在长方体1111ABCD A B C D-中，有11//AD B C，且11AD B C=，11//B C ME∴且11B C ME=，则四边形11B C EM为平行四边形，11//EC MB∴，且11EC MB=，又1//AF MB，且1AF MB=，1//AF EC∴，且1AF EC=，则四边形1AFC E为平行四边形，∴点1C在平面AEF内；（2）解：在长方体1111ABCD A B C D-中，以1C为坐标原点，分别以11C D，11C B，1C C所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．2AB = ，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，(2A ∴，1，3)，(2E ，0，2)，(0F ，1，1)，1(2A ，1，0)，则(2,1,1)EF =-- ，(0,1,1)AE =-- ，1(0,1,2)A E =- ．设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ．则1111111200n EF x y z n AE y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取11x =，得1(1,1,1)n =- ；设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z = ．则222221222020n EF x y z n A E y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取21x =，得2(1,4,2)n =．121212cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==⋅ 设二面角1A EF A --为θ，则42sin 7θ==．∴二面角1A EF A --的正弦值为7．17．（2019•天津）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，1，0)，(0E ，0，2)．设(0)CF h h =>，则(1F ，2，)h ．则(1,0,0)AB = 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h = ，可得0BF AB ⋅= ．又 直线BF ⊂/平面ADE ，//BF ∴平面ADE ；（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0)BD =- ，(1,0,2)BE =- ，(1,2,2)CE =-- ．设(,,)n x y z = 为平面BDE 的法向量，则020n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(2,2,1)n = ．4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅∴<>==-⋅ ．∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49；（Ⅲ）解：设(,,)m x y z = 为平面BDF 的法向量，则020m BD x y m BF y hz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，可得2(1,1,m h =- ，由题意，22|4|||1|cos ,|||||3432m n h m n m n h -⋅<>===⋅⨯+ ，解得87h =．经检验，符合题意．∴线段CF 的长为87．18．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB 、Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B CG A --的大小．【解答】证明：（1）由已知得//AD BE ，//CG BE ，//AD CG ∴，AD ∴，CG 确定一个平面，A ∴，C ，G ，D 四点共面，由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，AB ∴⊥面BCGE ，AB ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ．解：（2）作EH BC ⊥，垂足为H ，EH ⊂ 平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，EH ∴⊥平面ABC ，由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC ∠=︒，1BH ∴=，3EH =，以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H xyz -，则(1A -，1，0)，(1C ，0，0)，(2G ，0)，(1CG = ，0，(2AC = ，1-，0)，设平面ACGD 的法向量(n x = ，y ，)z ，则020CG n x AC n x y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩ ，取3x =，得(3n = ，6，，又平面BCGE 的法向量为(0m = ，1，0)，cos ,||||2n m n m n m ∴<>== ，∴二面角B CG A --的大小为30︒．19．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM MC ⊥，正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，AD ∴⊥平面DCM ，则AD MC ⊥，AD DM D = ，MC ∴⊥平面ADM ，MC ⊂ 平面MBC ，∴平面AMD ⊥平面BMC ．（2）ABC ∆ 的面积为定值，∴要使三棱锥M ABC -体积最大，则三棱锥的高最大，此时M 为圆弧的中点，建立以O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形ABCD 的边长为2，(2A ∴，1-，0)，(2B ，1，0)，(0M ，0，1)，则平面MCD 的法向量(1m = ，0，0)，设平面MAB 的法向量为(n x = ，y ，)z 则(0AB = ，2，0)，(2AM =- ，1，1)，由20n AB y == ，20n AM x y z =-++= ，令1x =，则0y =，2z =，即(1n = ，0，2)，则cos m <，||||m n n m n >== ，则面MAB 与面MCD所成二面角的正弦值sin 5α==．20．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BO ，2AB BC == ，O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且2BO =，又4PA PC PB AC ====，PO AC ∴⊥，23PO =，则222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB A C O = ，PO ∴⊥平面ABC ；（2）建立以O 坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：(0A ，2-，0)，(0P ，0，23)，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(2BC =- ，2，0)，设(2BM BC λλ==- ，2λ，0)，01λ<<则(2AM BM BA λ=-=- ，2λ，0)(2--，2-，0)(22λ=-，22λ+，0)，则平面PAC 的法向量为(1m = ，0，0)，设平面MPA 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则(0PA = ，2-，23)-，则2230n PA y z ⋅=--= ，(22)(22)0n AM x y λλ⋅=-++= 令1z =，则3y =-，(1)31x λλ+=-，即(3(1n λλ+=- ，31)，二面角M PA C --为30︒，cos30||||||2m n m n ⋅∴︒== ，2=，解得13λ=或3λ=（舍)，则平面MPA的法向量n =，1)，(0PC = ，2，-，PC 与平面PAM 所成角的正弦值sin |cos PC θ=<，||164n >===．21．（2019•北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）PA ⊥ 平面ABCD ，PA CD ∴⊥，AD CD ⊥ ，PA AD A = ，CD ∴⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0A ，0，0)，(0E ，1，1)，2(3F ，23，4)3，(0P ，0，2)，(2B ，1-，0)，(0AE = ，1，1)，224(,,)333AF = ，平面AEP 的法向量(1n = ，0，0)，设平面AEF 的法向量(m x = ，y ，)z ，则02240333m AE y z m AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1x =，得(1m = ，1，1)-，设二面角F AE P --的平面角为θ，则||3cos ||||33m n m n θ⋅===⋅ ．∴二面角F AE P --的余弦值为33．（Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内，理由如下： 点G 在PB 上，且23PG PB =．4(3G ∴，23-，2)3，∴4(3AG = ，23-，2)3， 平面AEF 的法向量(1m = ，1，1)-，4220333m AG ⋅=--= ，故直线AG 在平面AEF 内．。
高三数学精准培优专题练习16：利用空间向量求夹角
培优点十六 利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =．（1）若E ，F 分别为11A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为，求二面角11A AC D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥．∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ． （2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，由160A AB ∠=︒，2BA =，得过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ， 如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ． 又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ．∵1CC CD C =I ，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥．∵BC DC C =I ，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角． ∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =I ， ∴平面ABCD ∥平面111A B C ．在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA uu u v ，HD uuu v ，1HA uuu v的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则()1,0,0A ，，()1,0,0B -， ，及11BB CC =uuu v uuu v ，得设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由100AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu vuuu vm m 得 令11y =，得()3,1,2=m设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由1100AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩uuu vuuu v n n 得 令21z =，得又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是2．线段上的动点问题例2：如图，在ABCD Y 中，30A ∠=︒，，2AB =，沿BD 将ABD △翻折到A BD '△的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '． （1）求证：A D '⊥平面BCD ；（2）若在线段A C '上有一点M 满足A M A C λ=''uuuu v uuu v，且二面角M BD C --的大小为60︒，求λ的值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）ABD △中，由余弦定理，可得1BD =．∴222BD AD AB +=， ∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒．作DF A B ⊥'于点F ，∵平面A BC '⊥平面A BD '，平面A BC 'I 平面A BD A B '='，∴DF ⊥平面A BC '． ∵CB ⊂平面A BC '，∴DF BC ⊥．又∵CB BD ⊥，BD DF D =I ，∴CB ⊥平面A DB '． 又∵A D '⊂平面A DB '，∴CB A D ⊥'．又A D BD '⊥，BD CB B =I ，∴A D '⊥平面BCD ．（2）由（1）知DA ，DB ，DA '两两垂直，以D 为原点，以DA uu u v方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()0,1,0B ，．设(),,M x y z ，设平面MDB 的一个法向量为(),,a b c =m ，取()11,0,a c λλλλ=-⇒=⇒=-m ．平面CBD 的一个法向量可取∵[]0,1λ∈，∴3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将PAD △，PBC △沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点． （1）求证：PO AB ⊥；（2）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； （3）求二面角P AO E --的大小．【答案】（1）见解析；（2；（3 【解析】（1）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥，PC BC ⊥， ∴在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥．∵OA OB O =I ，∴PO ⊥平面OAB ． ∵AB ⊂平面OAB ，∴PO AB ⊥．（2）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM ． 过点O 作AB 的平行线OG ．∵PO ⊥平面OAB ，∴PO OF ⊥，PO OG ⊥．∵OA OB =，F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥．∴OF OG ⊥． 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -．()A ，()B -，()0,0,1P ，12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． ∵BO BA =，M 为OA 的中点，∴BM OA ⊥．∵PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，∴平面POA ⊥平面OAB ．∵平面POA I 平面OAB OA =，BM ⊂平面OAB ， ∴BM ⊥平面POA∴平面POA的法向量)1,0=-m设直线BP 与平面POA 所成角为α∴直线BP 与平面POA．（3）由（2设平面OAE 的法向量为n ，则有0 0OA OE ⋅⎧⎪=⎪⎩=⎨⋅uu vuu u v n n 即 令1y =-，则由题知二面角P AO E --一、单选题1．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为1BB ，11A C 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（ ）对点增分集训A ．12BC ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点O ，以OB uu u v ，OC uuu v ，OE uu u v为x ，y ，z 轴建立坐标系，则0,,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a D ⎫⎪⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,E a ，则,,22a a AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，0,,2a CE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ，设AD 与CE 成的角为θ，则01cos 5a a aaθ-⨯+⨯==，故选C ． 2．在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，点D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α的值是（ ） ABCD【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭．平面11AA C C 的一个法向量是()1,0,0=n，∴cos ,AD ==uuu v n，则sin α．故选D ．3．如图，圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【答案】B【解析】取AB 中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，∵圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒， ∴可得()0,1,0A -，()0,1,0B，(C，1,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，则3,02AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v，(0,BC =-u u u v， 设空间两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴31cos 2AD BC AD BC θ⋅===⋅u uuu v uu u u v v u uu u v ， ∴60θ=︒，即直线AD 与BC 所成的角为60︒，故选B ．4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可知()0,0,0O ，()0,0,2P ，()1,2,0B ，()1,2,0C -， 则()0,0,2OP =uu u v ，()1,2,0OC =-uuu v，∵M 是PC 的中点，∴1,1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,12BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uuu v设平面PCO 的法向量(),,x y z =n ，直线BM 与平面PCO 所成角为θ， 则20 20OP z OC x y ⋅==⋅=-⎧⎪⎨⎪=⎩+uu u vuuu v n n 可取()2,1,0=n，sin cos BM BM BM θ⋅====⋅uuu vuuu v uuu v ，n n n，故选D ．5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，点G 与E 分别是11A B 和1CC 的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD EF ⊥，则线段DF 长度的最小值为（ ）A B C D ．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,0,2G ，0(),0,F x ，0(0,),D y ，则()1,,2GD y =--uuu v ，(),2,1EF x =--uu u v，由于GD EF ⊥，∴220GD EF x y =--+=⋅uuu v uu u v，∴22x y =-，故DF ===，∴当45y =时，线段DF ．故选A ． 6．如图，点A B C 、、分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =uuu v，平面ABC 的法向量为()2,1,2=n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A ．43BC ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =uuu v，由空间向量的结论可得：42cos 233OC OC θ⋅===⋅⋅uuu v uuu vn n ．故选C ． 7．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC △的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且12CD AE =． 设CE 与平面ABE 所成的角为α，(0)AE k k =>，若ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）AB ．1 CD【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A ，0,0,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,E k，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭， 取AB 的中点M ，则304M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，则平面ABE的一个法向量为3,04CM ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，由题意sin CE CM CE CM α⋅==⋅uu u v u uu u u v v uu v uu 又由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 22α≤=≤k ≤k当k =BDE 的法向量为(),,x y z =n ，则0 102DE y z BE y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⋅==⋅=++=⎩uuu v uu u v n n ，取(=-n ，由平面ABC 的法向量为()0,0,1=m ， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则cos θ⋅==⋅n m n m，∴sin θ=，∴tan θC ． 8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，设1A 在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．设ABC △边长为1112B ⎛ ⎝⎭，ABC 的法向量为()0,0,1=n ． 设1AB 与底面ABC 所成角为α故直线1AB 与底面ABCB ． 9．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,3,0A ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,2,1E ，∴()0,2,1BE =uu u v ，()3,3,0BD =uu u v设平面BED 的一个法向量为(),,x y z =n ，则20330BE y z BD x y ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩uu u v uu u vn n ， 取1z =ABE 的法向量为()1,0,0=m ，ABE 与平面BEDB ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ） ABCD【答案】C【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，()11,0,1A ， ∴()11,0,1BC =-uuu r ，()11,0,1A D =--uuu r ，()1,1,0BD =--uu u r，设(),,x y z =n 是平面1A BD 的一个法向量，∴100A D BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu v uu u vn n ，即0 0x z x y =+=⎧⎨⎩+， 取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1=--n ，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ，∴ ，即直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是C ． 11．已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD ==ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5,66π⎡π⎤⎢⎥⎣⎦内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．5201⎡⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭， D ．⎣⎦【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵2AB BD DA ===．BCCD ==CO BD ⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO =， ∴AOC ∠是二面角A BD C --的平面角， 以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， ()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，设二面角A BD C --的平面角为θ，则5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，连AO 、BO ，则AOC θ∠=，)A θθ，∴)BA θθ=uu r ，()1,1,0CD =-uu u r，设AB 、CD 的夹角为α，则cos AB CD AB CD α⋅==⋅uu u r uu u r uu u r uu u r， ∵5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴cos θ⎡∈⎢⎣⎦， 故510,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos α⎡∈⎢⎣⎦．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与所成角的取值范围是（ ）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -， 则()1,,BP x x x =--uu v ，()11,0,1BC =-uuu v，设BP uu v 、1BC uuu v的夹角为α，则11cos BP BC BP BC α⋅==⋅uu v uu uu u v v uuu v∴当13x =时，cos α，π6α=．当1x =时，cos α取最小值12，π3α=．∵11BC AD ∥，∴BP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =m 是AC的中点，则异面直线1CB 与1CM 所成角的余弦值为________．【答案】28【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥，1BM =．以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，则()C ，()10,1,2B，()1C ，()0,0,0M ，∴)1CB =uuu v，()1MC =uuuu v ，设异面直线1CB 与1C M 所成角为θ，则1111cos CB CB MC MC θ⋅===⋅uuu v uuu v uuuu vuuuu v ． ∴异面直线1CB 与1C M． 14．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，且PD AB =，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上，若:1:2PF FC =，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为__________．【解析】以D 点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设菱形ABCD 的边长为2， 则()0,0,0D ，1,02E ⎫-⎪⎪⎝⎭，240,,33F ⎛⎫⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．【解析】由题意，∵()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，∴111111cos ,⋅===⋅a b a b a b ∵a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上， ∴α，β16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，120BAD ∠=︒，PA x =，则当x 变化时，直线PD 与平面PBC 所成角的取值范围是__________．【解析】如图建立空间直角坐标系，得()0,2,0B，3,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P x ，设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，()0,2,PB x =-uu v， ∴0 0BC PB ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=uu u vuu v m m ，得三、解答题17．如图所示：四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为四边形，AC BD ⊥，BC CD =，PB PD =，平面PAC ⊥平面PBD，AC =30PCA ∠=︒，4PC =，（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AB BC ⊥是否在PC 上存在一点M ，使得直线BM 与平面PBDPM MC的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，1PMMC=．【解析】（1）设AC BD O =I ，连接POBC CD AC BD =⊥Q ，，O ∴为BD 中点又PB PD =Q ，PO BD ∴⊥平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC I 平面PBD PO =BD ∴⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC PA BD ∴⊥在PCA △中，由余弦定理得2222cos30PA PC AC PC AC =+-⋅︒，21612244PA =+-⨯⨯=，而222PA AC PC += PA AC PA BD PA BD AC O ⊥⎫⎪∴⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面ABCD ． （2）过A 作AB 垂线记为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系：()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，3,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)C)2PB =-uu v，3,22PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u v ，设PMPM MC MC λλ=⇒=uuu vuuu v uuu v uuu v32,11M λλλ⎫⎪⎪++⎝⎭，32,11BM λλλ⎫=⎪⎪++⎝⎭uuu v 设平面PBD 法向量为(),,x y z =n ，∴200 30202z PB yPD z =⋅=⇒⎨⋅=+-=⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩uu v uu u v n n，取(=n ，设BM 与平面PBD 所成角为ϕ，sin cos BM ϕ=⋅==uuu v n 解1λ=，1PM MC∴=． 18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB =160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1B AB C --的正弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，1OB ，∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA ∵13BB =，160CBB ∠=︒，1OB =，∴222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯︒=， ∴1OB =1AB =2221110OA OB AB +==， ∴1OA OB ⊥，又∵1OB BC O =I ，∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B ．（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，其中2BH =，则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C，112B ⎛ ⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭uuu v，()1,AB =-uu u v，()1,AC =uu u v ， 设()1111,,x y z =n 为平面1ABB 的法向量，则1110 0AB AB ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩uu u v uuu v n n，即111110 102x x ⎧⎪⎨-=-+=⎪⎩-，令11y =，得()1=n ； 设()2222,,x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则2210 0AC AB ⎧⎪⎩⋅=⎨⎪⋅=uuu u v uu v n n，即222220 102x x ⎧⎪⎨-+=⎪⎩=， 令21y =，得213⎫=⎪⎭n；∴121212131cos ,-++⋅===⋅n n n n n n ∴二面角1B AB C --．。
空间向量与立体几何之夹角的计算
若直线l与平面的夹角为夹角为
1当0
rr u, a
时， =
r r u, a ，
2
2
0，2
l
，则
u a 此时：sin
sin
2
rr u, a
rr
= cos
rr u, a
ua rr
ua
2当
rr u, a
时， =
rr u, a
，
2
2
此时：sin
sin
rr u, a
2
l a
= cos
（1） 求证： 直B线1O 面MAC （2）求二面角B1 MA C 的余弦值
D1
C1
A1 M
B1
D O
A
C B
rr a, b
=
rr ab rr
ab
rr
ab
ab
a
l cos = r r
a b
b
m
b
a
l m
练习一：P45 1 ur
已知直u线ur l1的方向向量为s1=(1,-1,1)，直线l2的方向 向量为s2 =(-1,2,0)，求两条直线夹角的余弦值
2. 平面间的夹角
二面角定义：从一条直线出发的两个
2
rr
设平面和的法向量分别为u和v，若两个平面的
夹角为，则
1当0
rr u, v
时， =
rr u, v
，此时：cos
cos
rr u, v
rr
=
uv rr
2
uv
u 注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角 v
2当
rr u, v
时， =
利用空间向量求夹角-高考理科数学总复习专题练习
利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =．（1）若E ，F 分别为11AC ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为，求二面角11A AC D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥．∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 分别为11AC ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ． （2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，由160A AB ∠=︒，2BA =，得过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ，如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ． 又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ．∵1CC CD C =I ，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥．∵BC DC C =I ，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角． ∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =I ， ∴平面ABCD ∥平面111A B C ．在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA uu u v ，HD uuu v ，1HA uuuv 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则()1,0,0A ，，()1,0,0B -，，及11BB CC =u u u v u u u v ，得设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由10AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu vuuu vm m 得令11y =，得()3,1,2=m设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由1100AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩uuuvuuu vn n 得 令21z =，得又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是2．线段上的动点问题例2：如图，在ABCD Y 中，30A ∠=︒，，2AB =，沿BD 将ABD △翻折到A BD '△的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '． （1）求证：A D '⊥平面BCD ；（2）若在线段A C '上有一点M 满足A M A C λ=''uuuu v uuu v，且二面角M BD C --的大小为60︒， 求λ的值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）ABD △中，由余弦定理，可得1BD =．∴222BD AD AB +=，∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒．作D F AB⊥'于点F ， ∵平面A BC '⊥平面A BD '，平面A BC 'I 平面ABDAB '='，∴DF ⊥平面A BC '． ∵CB ⊂平面A BC '，∴DF BC ⊥．又∵CB BD ⊥，BD DF D =I ，∴CB ⊥平面A DB '． 又∵A D '⊂平面A DB '，∴CB A D ⊥'．又ADBD '⊥，BD CB B =I ，∴A D '⊥平面BCD ． （2）由（1）知DA ，DB ，DA '两两垂直，以D 为原点，以DA uu u v方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()0,1,0B ，．设(),,M x y z ，设平面MDB 的一个法向量为(),,a b c =m ，取()11,0,a c λλλλ=-⇒=⇒=-m ．平面CBD 的一个法向量可取∵[]0,1λ∈，∴3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将PAD △，PBC △沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点． （1）求证：PO AB ⊥；（2）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； （3）求二面角P AO E --的大小．【答案】（1）见解析；（2；（3 【解析】（1）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥，PC BC ⊥， ∴在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥．∵OA OB O =I ，∴PO ⊥平面OAB ． ∵AB ⊂平面OAB ，∴PO AB ⊥．（2）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM ． 过点O 作AB 的平行线OG ．∵PO ⊥平面OAB ，∴PO OF ⊥，PO OG ⊥．∵OA OB =，F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥．∴OF OG ⊥． 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -．()A ，()B -，()0,0,1P ，12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．∵BO BA =，M 为OA 的中点，∴BM OA ⊥．∵PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，∴平面POA ⊥平面OAB ．∵平面POA I 平面OAB OA =，BM ⊂平面OAB ，∴BM ⊥平面POA∴平面POA的法向量)1,0=-m设直线BP 与平面POA 所成角为α∴直线BP 与平面POA．（3）由（2设平面OAE 的法向量为n ，则有0 0OA OE ⋅⎧⎪=⎪⎩=⎨⋅uu vuu u v n n 即 令1y =-，则由题知二面角P AO E --一、单选题1．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为1BB ，11AC 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（ ）对点增分集训A ．12BC ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点O ，以OB uu u v ，OC uuu v ，OE uu u v为x ，y ，z 轴建立坐标系， 则0,,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a D ⎫⎪⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,E a ，则,,22a a AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，0,,2a CE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ，设AD 与CE 成的角为θ，则01cos 5a a aaθ-⨯+⨯==，故选C ． 2．在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，点D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α的值是（ ） ABCD【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭．平面11AA C C 的一个法向量是()1,0,0=n，∴cos ,AD ===uuu v nsin α=．故选D ．3．如图，圆锥的底面直径2AB =，高OC =D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【答案】B【解析】取AB 中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，∵圆锥的底面直径2AB =，高OC =D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，∴可得()0,1,0A -，()0,1,0B，(C，1,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，则3,,02AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v，(0,BC =-uu u v，设空间两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴31cos 2AD BC AD BCθ⋅===⋅u uuu v uu u u v v u uu u v ， ∴60θ=︒，即直线AD 与BC 所成的角为60︒，故选B ．4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可知()0,0,0O ，()0,0,2P ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，则()0,0,2OP =u u u v ，()1,2,0OC =-u u u v，∵M 是PC 的中点，∴1,1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,12BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uuu v设平面PCO 的法向量(),,x y z =n ，直线BM 与平面PCO 所成角为θ， 则20 20OP z OC x y ⋅==⋅=-⎧⎪⎨⎪=⎩+uu u vuuu v n n 可取()2,1,0=n，sin cos BM BM BM θ⋅===⋅uuu vuuu v uuu v ，n n n，故选D ．5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，点G 与E 分别是11A B 和1CC 的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD EF ⊥，则线段DF 长度的最小值为（ ）A B C D ．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,0,2G ，0(),0,F x ，0(0,),D y ，则()1,,2GD y =--u u u v ，(),2,1EF x =--u u u v，由于GD EF ⊥，∴220GD EF x y =--+=⋅u u u v u u u v，∴22x y =-，故DF ===∴当45y =时，线段DF ．故选A ． 6．如图，点A B C 、、分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =u u u v，平面ABC 的法向量为()2,1,2=n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A ．43BC ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =u u u v，由空间向量的结论可得：42cos 233OC OC θ⋅===⋅⋅u u u v u u u vn n ．故选C ． 7．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC △的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且12CD AE =． 设CE 与平面ABE 所成的角为α，(0)AE k k =>，若ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）AB ．1 CD【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A ，0,0,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,E k，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭， 取AB 的中点M ，则304M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，则平面ABE的一个法向量为3,04CM ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，由题意sin CE CM CE CM α⋅==⋅uu u v u uu u u v v uu v uu 又由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2α≤=k ≤≤k当k =BDE 的法向量为(),,x y z =n ，则0 102DE y BE y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⋅==⋅++=⎩uuu v uu u v n n ，取(=-n ，由平面ABC 的法向量为()0,0,1=m ， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则cos θ⋅==⋅n m n m，∴sin θ=，∴tan θ=C ． 8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，设1A 在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．设ABC △边长为1112B ⎛ ⎝⎭，ABC 的法向量为()0,0,1=n ． 设1AB 与底面ABC 所成角为α故直线1AB 与底面ABCB ． 9．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,3,0A ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,2,1E ，∴()0,2,1BE =u u u v ，()3,3,0BD =u u u v设平面BED 的一个法向量为(),,x y z =n ，则20330BE y z BD x y ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩uu u v uu u vn n ， 取1z =ABE 的法向量为()1,0,0=m ，ABE 与平面BEDB ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ） ABCD【答案】C【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，()11,0,1A ，∴()11,0,1BC =-u u u r ，()11,0,1A D =--u u u r ，()1,1,0BD =--u u u r ， 设(),,x y z =n 是平面1A BD 的一个法向量，∴10A D BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu vuu u vn n ，即0 0x z x y =+=⎧⎨⎩+， 取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1=--n ，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ，∴ ，即直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是C ． 11．已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD =ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5,66π⎡π⎤⎢⎥⎣⎦内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．5201⎡⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭， D ．⎣⎦【答案】A【解析】取BD 中点O，连结AO ，CO ，∵2AB BD DA ===．BCCD =CO BD ⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO = ∴AOC ∠是二面角A BD C --的平面角， 以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，设二面角A BD C --的平面角为θ，则5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，连AO 、BO ，则AOC θ∠=，)A θθ，∴)BA θθ=uu r ，()1,1,0CD =-u u u r，设AB 、CD 的夹角为α，则cos AB CD AB CDα⋅==⋅uu u r uu u r uu u r uu u r ， ∵5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴cosθ⎡∈⎢⎣⎦， 故510,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos α⎡∈⎢⎣⎦．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与所成角的取值范围是（ ）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -，则()1,,BP x x x =--u u v ，()11,0,1BC =-u u u v，设BP uuv 、1BC uuu v的夹角为α，则11cos BP BC BP BC α⋅==⋅uu v uu uu u v v uuu v∴当13x =时，cos α，π6α=．当1x =时，cos α取最小值12，π3α=．∵11BC AD ∥，∴BP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =m 是AC的中点，则异面直线1CB 与1C M所成角的余弦值为________．【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥，1BM =．以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，则()C ，()10,1,2B，()12C ，()0,0,0M ，∴)1CB =uuu v，()12MC =uuuu v，设异面直线1CB 与1C M 所成角为θ，则1111cos CB CB MC MC θ⋅===⋅uuu v uuu v uuuu v uuuu v ． ∴异面直线1CB 与1C M． 14．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，且PD AB =，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上，若:1:2PF FC =，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为__________．【解析】以D 点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设菱形ABCD 的边长为2，则()0,0,0D ，1,02E ⎫-⎪⎪⎝⎭，240,,33F ⎛⎫⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．【解析】由题意，∵()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，∴111111cos ,⋅==⋅a b a b a b ， ∵a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上， ∴α，β16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，120BAD ∠=︒，PA x =，则当x 变化时，直线PD 与平面PBC 所成角的取值范围是__________．【解析】如图建立空间直角坐标系，得()0,2,0B，3,22C ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，3,2D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P x ，设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，()0,2,PB x =-u u v， ∴0BC PB ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=uu u vuu v m m ，得三、解答题17．如图所示：四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为四边形，AC BD ⊥，BC CD =，PB PD =，平面PAC ⊥平面PBD，AC =30PCA ∠=︒，4PC =，（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AB BC ⊥是否在PC 上存在一点M ，使得直线BM 与平面PBDPM MC的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，1PMMC=．【解析】（1）设AC BD O =I ，连接PO BC CD AC BD =⊥Q ，，O ∴为BD 中点又PB PD =Q ，PO BD ∴⊥平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC I 平面PBD PO =BD ∴⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC PA BD ∴⊥在PCA △中，由余弦定理得2222cos30PA PC AC PC AC =+-⋅︒，21612244PA =+-⨯⨯=，而222PA AC PC += PA AC PA BD PA BD AC O ⊥⎫⎪∴⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面ABCD ． （2）过A 作AB 垂线记为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系：()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，3,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)C)2PB =-uu v，3,22PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u v ，设PM PM MC MC λλ=⇒=uuu vuuu v uuu v uuu v32,11M λλλ⎫⎪⎪++⎝⎭，32,11BM λλλ⎫=⎪⎪++⎝⎭uuu v 设平面PBD 法向量为(),,x y z =n ，∴200 30202z PB yPD x z =⋅=⇒⎨⋅=+-=⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩uu v uu u v n n，取(2,=n ，设BM 与平面PBD 所成角为ϕ，sin cos BM ϕ=⋅==uuu v n 解1λ=，1PM MC∴=． 18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1B AB C --的正弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，1OB ，∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA∵13BB =，160CBB ∠=︒，1OB =，∴222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯︒=， ∴1OB 1AB =2221110OA OB AB +==，∴1OA OB ⊥，又∵1OB BC O =I ，∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B ．（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，其中2BH =，则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C，112B ⎛ ⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭uuu v，()1,AB =-uu u v，()1,AC =uuu v ， 设()1111,,x y z =n 为平面1ABB 的法向量，则1110 0AB AB ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩uu u v uuu v n n，即111110 102x x z ⎧⎪⎨-==⎪⎩，令11y =，得()1=n ； 设()2222,,x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则2210 0AC AB ⎧⎪⎩⋅=⎨⎪⋅=uuu u v uu v n n，即222220 102x x z ⎧⎪⎨+=⎪⎩=， 令21y =，得213⎫=⎪⎭n；∴121212131cos ,-++⋅===⋅n n n n n n ∴二面角1B AB C --=．。
高中数学试题含答案-课时规范练38 空间向量在立体几何中的应用
课时规范练38 空间向量在立体几何中的应用基础巩固组1.(2020北京朝阳区检测)已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k ),若α∥β,则k 等于( )A.2B.-4C.4D.-22.(2020湖北襄阳五中模考)将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1所在直线旋转一周形成圆柱,如图,AC ⏜长为2π3,A 1B 1⏜长为π3,其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.则异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为( ) A.π6B.π4C.π3D.π23.如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等,E ,F ,G 分别为AB ,AA 1,A 1C 1的中点,则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( ) A.35 B.56 C.3√310D.3√6104.(多选)设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P-AC-B 的平面角为γ,则α,β,γ大小关系正确的是( ) A.α>β B.α=βC.γ>βD.γ≥β5.(多选)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=BC=AA 1=2,∠ACB=90°,D ,E ,F 分别为AC ,AA 1,AB 的中点.则下列结论正确的是( ) A.AC 1与EF 相交 B.B 1C 1∥平面DEFC.EF 与AC 1所成的角为90°D.点B 1到平面DEF 的距离为3√226.在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,BB 1的中点,M 为棱A 1B 1上的一点,且A 1M=λ(0<λ<2),设点N 为ME 的中点,则点N 到平面D 1EF 的距离为( ) A.√3λ B.√22 C.√23λ D.√557.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=2,二面角B-AA 1-C 1的大小为60°,点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3,点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3,则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为 . 8.(2020广西壮族自治区高三模拟)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AA 1=2AC ,P 是侧棱CC 1上的点. (1)若∠APB=60°,证明:P 是CC 1的中点; (2)若CP=3PC 1,求二面角B-AP-C 的余弦值.9.(2020辽宁辽河油田第二高级中学高三月考(理))如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面AA1C1C⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.10.(2020湖北高三模考)如图所示,多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,该直四棱柱的底面为菱形,其中AB=2,CF=5,BE=1,∠BAD=60°.(1)求BG的长;(2)求平面AEFG与底面ABCD的夹角的余弦值.综合提升组11.(2020河北高三联考)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 是棱B 1C 1的中点,点F 是线段CD 1上的一个动点.有以下三个命题:①异面直线AC 1与B 1F 所成的角是定值;②三棱锥B-A 1EF 的体积是定值;③直线A 1F 与平面B 1CD 1所成的角是定值. 其中真命题的个数是( ) A.3B.2C.1D.012.(多选)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点E ,O 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,P 在正方体内部,且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列说法正确的是 ( )A.点A 到直线BE 的距离是√55 B.点O 到平面ABC 1D 1的距离为√24 C.平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为√33 D.点P 到直线AB 的距离为2536 13.(2020天津,17)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,AC=BC=2,CC 1=3,点D ,E 分别在棱AA 1和棱CC 1上,且AD=1,CE=2,M 为棱A 1B 1的中点. (1)求证:C 1M ⊥B 1D ;(2)求二面角B-B 1E-D 的正弦值;(3)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.14.(2020辽宁高三三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,点F为棱PD的中点.(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE,并说明理由;时,求直线AF与平面BCF所成的角的正弦值.(2)当二面角D-FC-B的余弦值为√66创新应用组15.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=√3,BC=2AD=2,E为CD的中点,PB⊥AE.(1)证明:平面PBD⊥平面ABCD;(2)若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为π,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得BN⊥平面4PCD?”若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.16.(2020山东潍坊一模)如图,在等腰直角三角形ADP 中,∠A=90°,AD=3,B ,C 分别是AP ,DP 上的点,且BC ∥AD ,E ,F 分别是AB ,PC 的中点.现将△PBC 沿BC 折起,得到四棱锥P-ABCD ,连接EF.(1)证明:EF ∥平面PAD ;(2)是否存在点B ,当将△PBC 沿BC 折起到PA ⊥AB 时,二面角P-CD-E 的余弦值等于√155?若存在,求出AB 的长;若不存在,请说明理由.参考答案课时规范练38 空间向量在立体几何中的应用1.C 因为α∥β,所以1-2=2-4=-2k,解得k=4.2.B 以O 为坐标原点建系,如图,则A (0,1,0),A 1(0,1,1),B 1√32,12,1,C √32,-12,0.所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,-1),所以cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×√0+(-1)+(-1)=-√22,所以<AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=3π4, 所以异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4.故选B . 3.A设正三棱柱的棱长为2,取AC 的中点D ,连接DG ,DB ,分别以DA ,DB ,DG 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B 1(0,√3,2),F (1,0,1),E 12,√32,0,G (0,0,2),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3,-1),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-√32,1),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1).设平面GEF 的法向量n =(x ,y ,z ),则{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{12x -√32y +z =0,x -z =0,取x=1,则z=1,y=√3,故n =(1,√3,1)为平面GEF 的一个法向量, 所以cos <n ,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√5×√5=-35,所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35,故选A .4.AC过点B 作直线l ∥AC ,过点P 作底面ABC 的垂线PD ,D 为垂足,过点D 作DF ⊥AB 于点F ,作DE ⊥l 于点E ,连接AD ,BD ,PF ,PE.由题意可知,二面角P-AC-B 的大小与二面角P-AB-C 的大小相等, 结合空间角的定义知∠PBE=α,∠PBD=β,∠PFD=γ,在Rt △PEB 与Rt △PDB 中,由PE>PD ,得sin α>sin β,∴α>β(α,β均为锐角).故A 正确,B 错误; 在Rt △PDB 与Rt △PDF 中,由PB>PF ,得sin β<sin γ,∴γ>β(β,γ均为锐角).故C 正确;由于不存在PB=PF 的可能,故D 错误,故选AC .5.BCD 对选项A,由图知AC 1⊂平面ACC 1A 1,EF ∩平面ACC 1A 1=E ,且E ∉AC 1.由异面直线的定义可知AC 1与EF 异面,故A 错误;对于选项B,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,B 1C 1∥BC. ∵D ,F 分别是AC ,AB 的中点, ∴FD ∥BC ,∴B 1C 1∥FD.又∵B 1C 1⊄平面DEF ,DF ⊂平面DEF ,∴B 1C 1∥平面DEF.故B 正确; 对于选项C,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 1(0,2,2),C 1(0,0,2),D (1,0,0),E (2,0,1),F (1,1,0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2). ∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+0-2=0, ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EF 与AC 1所成的角为90°.故C 正确;对于选项D,设向量n =(x ,y ,z )是平面DEF 的一个法向量. ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),∴{n ·DE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x +z =0,y =0.取x=1,则z=-1,∴n =(1,0,-1). 设点B 1到平面DEF 的距离为d. 又∵DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,2), ∴d=|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√2=3√22,∴点B 1到平面DEF 的距离为3√22,故D 正确.故选BCD . 6.D 以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,则M (2,λ,2),D 1(0,0,2),E (2,0,1),F (2,2,1),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ,1),设平面D 1EF 的法向量n =(x ,y ,z ),则{n ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x +z =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0,取x=1,得n =(1,0,2),∴点M 到平面D 1EF 的距离为d=|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√5=2√55, ∵N 为EM 中点,故点N 到平面D 1EF 的距离为√55.7.√7 由题意可知,∠BAC=60°,点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3,点C 到平面ABB 1A 1的距离为2√3,由于侧面和底面垂直,由面面垂直的性质定理可得,B 到AC 的距离为√3,C 到AB 的距离为2√3,所以在三角形ABC 中,AB=2,AC=4,BC=2√3,∠ABC=90°,则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×4=√24,sin <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-(√24)2=√144.故tan <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√7.8.(1)证明由直三棱柱ABC-A 1B 1C 1得C 1C ⊥平面ABC ,∵AC ,BC 在平面ABC 中,∴C 1C ⊥AC ,C 1C ⊥BC. ∵△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠ACB=90°,AC=BC ,且AB=√2AC ,由勾股定理得AP=√AC 2+PC 2=√BC 2+PC 2=BP , ∵∠APB=60°,∴△ABP 是等边三角形,则AP=AB=√2AC ,由勾股定理得PC=√AP 2-AC 2=AC=12AA 1=12CC 1,∴P 为CC 1的中点. (2)解易知CA ,CB ,CC 1两两垂直,以点C 为坐标原点,CA ,CB ,CC 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ,设AC=2,则A (2,0,0),B (0,2,0),P (0,0,3),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,3), 设平面ABP 的法向量为n =(x ,y ,z ),由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-2x +2y =0,-2x +3z =0,令x=3,得y=3,z=2,∴n =(3,3,2), 又平面ACP 的法向量为m =(0,1,0), ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n |=1×√22=3√2222,由图形可知,二面角B-AP-C 为锐角, ∴二面角B-AP-C 的余弦值为3√2222. 9.(1)证明如图所示,连接A 1E ,B 1E ,在等边三角形AA 1C 中,AE=EC ,则A 1E ⊥AC ,∵平面ABC ⊥平面A 1ACC 1,且平面ABC ∩平面A 1ACC 1=AC , ∴A 1E ⊥平面ABC ,故A 1E ⊥BC.由三棱柱的性质可知A 1B 1∥AB ,而AB ⊥BC ,故A 1B 1⊥BC ,且A 1B 1∩A 1E=A 1, ∴BC ⊥平面A 1B 1E ,∵EF ⊂平面A 1B 1E ,∴EF ⊥BC.(2)解在底面ABC 内作EH ⊥AC ,交AB 于点H ,以点E 为坐标原点,EH ,EC ,EA 1方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系E-xyz.设EH=1,则AE=EC=√3,AA 1=CA 1=2√3,BC=√3,AB=A 1E=3,则A (0,-√3,0),B (32,√32,0),A 1(0,0,3),C (0,√3,0),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32,√32,-3,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-32,√32,0.由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得点B 1的坐标为B 1(32,3√32,3),利用中点坐标公式可得F (34,3√34,3),由于E (0,0,0),故直线EF 的方向向量为EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(34,3√34,3), 设平面A 1BC 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{m ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{32x +√32y -3z =0,-32x +√32y =0,取x=1,则y=√3,z=1,则平面A 1BC 的一个法向量为m =(1,√3,1),所以cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√5×3√52=45, 设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ,则sin θ=|cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|=45,故cos θ=35. 10.解(1)因为多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的,所以平面ADG ∥平面BCFE ,又因为平面ADG ∩平面AEFG=AG ,平面BCFE ∩平面AEFG=EF ,所以AG ∥EF ,同理AE ∥GF ,所以四边形AEFG 是平行四边形.连接AC ,BD 交于点O ,以O 为原点,OB ,OC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ,则A (0,-√3,0),B (1,0,0),E (1,0,1),F (0,√3,5),所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,4),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,4),所以|BG⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-2)2+0+42=2√5, 所以BG 的长为2√5.(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为m =(0,0,1),由(1)知AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,4),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,1),设平面AEFG 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x +√3y +z =0,-x +√3y +4z =0,令z=2√3,则x=3√3,y=-5,所以n =(3√3,-5,2√3), 所以cos <m ,n >=m ·n|m ||n |=√31×√27+25+12=√34,所以平面AEFG 与底面ABCD 的夹角的余弦值为√34.11.B 以A 点为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),A 1(0,0,1),B 1(1,0,1),C 1(1,1,1),D 1(0,1,1),设F (t ,1,1-t )(0≤t ≤1),可得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t-1,1,-t ),可得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故异面直线AC 1与B 1F 所成的角是定值,故①正确;三棱锥B-A 1EF 的底面A 1BE 面积为定值,且CD 1∥BA 1,点F 是线段CD 1上的一个动点,可得点F 到底面A 1BE 的距离为定值,故三棱锥B-A 1EF 的体积是定值,故②正确;A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t ,1,-t ),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),可得平面B 1CD 1的一个法向量为n =(1,1,1),可得cos <A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >不为定值,故③错误.故选B . 12.BC 如图,建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),D (0,1,0),A 1(0,0,1),C 1(1,1,1),D 1(0,1,1),E 12,0,1,O 12,12,1,所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,0,1.设∠ABE=θ,则cos θ=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√55,sin θ=√1-cos 2θ=2√55.故A 到直线BE 的距离d 1=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=1×2√55=2√55,故A 错误;易知C 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,-12,0,平面ABC 1D 1的一个法向量DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),则点O 到平面ABC 1D 1的距离d 2=|DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12√2=√24,故B 正确; A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{x -z =0,y -z =0,令z=1,得y=1,x=1,所以n =(1,1,1). 所以点D 1到平面A 1BD 的距离d 3=|A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33.因为平面A 1BD ∥平面B 1CD 1,所以平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离,所以平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为√33,故C 正确;因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34,12,23,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=34, 所以点P 到AB 的距离d=√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√181144-916=56,故D 错误. 13.解依题意,以C 为原点,分别以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,2,0),C 1(0,0,3),A 1(2,0,3),B 1(0,2,3),D (2,0,1),E (0,0,2),M (1,1,3).(1)证明:依题意,C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2,-2),从而C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2-2+0=0,所以C 1M ⊥B 1D.(2)依题意,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量,EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-1). 设n =(x ,y ,z )为平面DB 1E 的法向量,则{n ·EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y +z =0,2x -z =0.不妨设x=1,可得n =(1,-1,2).因此有cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n | =√66, 于是sin <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=√306.所以,二面角B-B 1E-D 的正弦值为√306. (3)依题意,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0).由(2)知n =(1,-1,2)为平面DB 1E 的一个法向量,于是cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-√33.所以,直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.14.解(1)在棱BC 上存在点E ,使得CF ∥平面PAE ,点E 为棱BC 的中点.取PA 的中点Q ,连接EQ ,FQ ,由题意,FQ ∥AD ,且FQ=12AD ,CE ∥AD ,且CE=12AD , 故CE ∥FQ ,且CE=FQ. ∴四边形CEQF 为平行四边形.∴CF ∥EQ ,又CF ⊄平面PAE ,EQ ⊂平面PAE ,∴CF ∥平面PAE.(2)取AB 中点M ,∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥DM ,PD ⊥DC ,又易知DM ⊥DC ,∴以D 为坐标原点,分别以DM ,DC ,DP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设FD=a ,则D (0,0,0),F (0,0,a ),C (0,2,0),B (√3,1,0),A (√3,-1,0). 则FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-a ),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,0). 设平面FBC 的一个法向量为m =(x ,y ,z ).由{m ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y -az =0,m ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x -y =0,取x=1,得m =(1,√3,2√3a); 取平面DFC 的一个法向量为n =(1,0,0).由题意,√66=|cos <m ,n >|=√1+3+12a2,解得a=√6.∴m =(1,√3,√2),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,√6). 设直线AF 与平面BCF 所成的角为θ, 则sin θ=|cos <m ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||m ||AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√6×√10=√55.即直线AF 与平面BCF 所成的角的正弦值为√55.15.(1)证明由四边形ABCD 是直角梯形,AB=√3,BC=2AD=2,AB ⊥BC ,可得DC=2,∠BCD=π3,从而△BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分∠ADC.∵E 为CD 的中点,∴DE=AD=1,∴BD ⊥AE ,又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD=B ,∴AE ⊥平面PBD.又∵AE ⊂平面ABCD , ∴平面PBD ⊥平面ABCD.(2)解存在.在平面PBD 内作PO ⊥BD 于点O ,连接OC ,又∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD=BD ,∴PO ⊥平面ABCD.∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角,则∠PCO=π4, ∵PB=PD ,PO ⊥BD ,∴O 为BD 的中点,∴OC ⊥BD ,∴OP=OC=√3. 以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),C (0,√3,0),D (-1,0,0),P (0,0,√3),假设在侧面PCD 内存在点N ,使得BN ⊥平面PCD 成立,设PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1), 由题意得N (-λ,√3μ,-√3(λ+μ-1)),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ-1,√3μ,-√3(λ+μ-1)),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,-√3),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-√3),由{BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{3μ+3(λ+μ-1)=0,λ+1+3(λ+μ-1)=0, 解得λ=15,μ=25,满足题意,∴N 点到平面ABCD 的距离为-√3(λ+μ-1)=2√35.16.(1)证明 取CD 中点G ,连接EG ,FG.因为E ,F 分别是AB ,PC 的中点,所以FG ∥PD ,EG ∥AD , 因为FG ∩EG=G ,所以平面EFG ∥平面PAD. 因为EF ⊂平面EFG ,所以EF ∥平面PAD.(2)解 存在.理由如下,因为BC ⊥AB ,BC ⊥PB ,且AB ∩PB=B.所以BC ⊥平面PAB ,又BC ∥AD ,所以AD ⊥平面PAB , 所以PA ⊥AD ,又因为AB ⊥AD ,PA ⊥AB ,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=a ,则PB=BC=3-a ,由PB>AB ,得0<a<32,PA=√9-6a ,所以A (0,0,0),C (a ,3-a ,0),P (0,0,√9-6a ),D (0,3,0),所以DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-a ,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,√9-6a ). 设平面PCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =ax -ay =0,DP⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-3y +z√9-6a =0, 令y=1, 则n =1,1,3√9-6a,又平面CDE 的一个法向量m =(0.0,1), 依题意,有√155=|cos <n ,m >|=|n ·m ||n ||m |,所以√155=3√9-6a√2+33-2a,解得a=1,即AB 的长为1.故存在满足条件的点B ,此时AB 的长为1.。
空间向量研究夹角练习题
空间向量研究夹角练习题空间向量研究夹角练习题在学习空间向量的研究中，夹角是一个重要的概念。
夹角可以帮助我们理解向量之间的关系，进而解决实际问题。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对夹角的理解。
练习题一：已知向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求它们之间的夹角。
解答：要求两个向量之间的夹角，可以使用向量的点积公式。
向量a和向量b 的点积公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为夹角。
首先计算向量a和向量b的模长：|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2)= √14，|b| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) = √77。
然后计算向量a和向量b的点积：a·b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。
代入公式，得到32 = √14 * √77 * cosθ，解得cosθ = 32 / (√14 * √77) ≈ 0.897。
通过反余弦函数，可以求得夹角θ ≈ 26.57°。
练习题二：已知向量a = (2, -1, 3)和向量b = (1, 4, -2)，求它们之间的夹角。
解答：同样使用向量的点积公式来求解。
计算向量a和向量b的模长：|a| = √(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = √14，|b| =√(1^2 + 4^2 + (-2)^2) = √21。
计算向量a和向量b的点积：a·b = 2*1 + (-1)*4 + 3*(-2) = -9。
代入公式，得到-9 = √14 * √21 * cosθ，解得cosθ = -9 / (√14 * √21) ≈ -0.586。
通过反余弦函数，可以求得夹角θ ≈ 128.66°。
练习题三：已知向量a = (3, 0, -4)和向量b = (0, 2, -3)，求它们之间的夹角。
解答：同样使用向量的点积公式来求解。
计算向量a和向量b的模长：|a| = √(3^2 + 0^2 + (-4)^2) = 5，|b| = √(0^2 + 2^2 + (-3)^2) = √13。
高中数学立体几何---用空间向量求空间角专题训练(解析版)
立体几何---用空间向量求空间角专题训练（解析版）【题组一 线线角】1．如图，在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成的角为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【答案】B【解析】由于在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质定理可知AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，所以AD BC ⊥.依题意设DA AB BC x ===，由于,E F是等腰直角三角形斜边的中点，所以2AE BF x ==.设异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则cos cos ,AE BF θ=AE BF AE BF ⋅=⋅()()12AB AD AF AB AE BF +⋅-=⋅()()1122AB AD AB BC AB AE BF ⎡⎤+⋅+-⎢⎥⎣⎦=⋅()111222AB AD BC AB AE BF ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⋅()214AB BC AD BC AB AB AD AE BF ⋅+⋅--⋅=⋅22111422AB x AE BF -⋅===⋅，由于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π3θ=.故选：B 2．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，E 为BB ′的中点，异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是（ ）A B ．C ．D 【答案】D【解析】直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA =='=，则(0C ，0，0)，(0E ，2，1)，(0C '，0，2)，(2A ，0，0)，(0CE =，2，1)，(2C A '=，0，2)-，设异面直线CE 与C A '所成角为θ， 则||210cos 10||||58CE C A CE C A θ'==='∴异面直线CE 与C A '所成角的余弦值为10． 故选：D ．3．已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ）A B ．25 C ．45 D 【答案】B【解析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-. 2cos ,5AE CFAE CF AE CF ⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25. 故选：B .4．如图所示，四棱锥P ABCD -中，PB PD AD AB ===，60BAD ∠=︒，1CD CB ==，120BCD ∠=︒，点M N 、分别为PA AB 、的中点．（1）证明：平面DMN ∥平面PBC ；（2）若2PA =PA 与BC 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）4 【解析】（1）如图，因为M N 、分别为PA AB 、的中点，所以//MN PB ，MN ⊄平面PBC ，∴//MN 平面PBC ；又AB AD =，60BAD ∠=︒，所以ABD △为正三角形，又CD BC =，120BCD ∠=︒，所以30CBD ∠=︒，BC AB ⊥，又DN AB ⊥，所以BC DN ，∴DN 平面PBC因为MN DN N ⋂=，所以平面DMN 平面PBC ． （2）如图，取BD 中点O ，连结,,AO CO PO ，因为AD AB =，60DAB ∠=︒，所以ABD △为正三角形，所以AO BD ⊥，又因为BCD 为等腰三角形，所以CO BD ⊥，所以A O C 、、三点共线，所以AC BD ⊥，因为PB PD =，所以PO BD ⊥，1CD BC ==，120BCD ∠=︒，所以BD =，所以PB PD AD AB ====，32AO PO ==，又2PA =，所以222AO PO PA +=， 所以AO PO ⊥，又AOPO O =，所以PO ⊥平面ABCD ． 以O 为坐标原点，,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 33,0,22PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,2BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设异面直线PA 与BC 所成角为α，所以cos ,||||3PA BC PA BC PA BC⋅〈〉===⋅ 所以异面直线PA 与BC【题组二 线面角】1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB =AC BC =4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，如下图．（Ⅰ）求证：A 1O ⊥BD ；（Ⅱ）求直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值；【解析】（Ⅰ）因为AB AC =，,D E 分别为,AB AC 中点，故可得AD AE =，故1A DE 为等腰三角形，又O 为DE 中点，故可得1AO DE ⊥，又因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，且交线为DE ， 又1AO ⊂平面1A DE ，故1AO ⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCDED ， 故1AO BD ⊥.即证. （Ⅱ）过O 作OH BC ⊥，由（Ⅰ）可知1AO ⊥平面BCED ， 又,OH OE ⊂平面BCED ，故可得11,AO OH AO OE ⊥⊥， 又因为,OH BC BC ⊥//DE ，故可得OH OE ⊥.综上所述：1,,OH OE OA 两两垂直，故以O 为坐标原点，1,,OH OE OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：故可得()()()()10,0,2,2,2,0,0,1,0,2,2,0A C D B --， 则()()10,1,2,2,1,0A D BD =--=-设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，故可得100n A D n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y --=⎧⎨-+=⎩， 取1x =，可得2,1y z ==-.故()1,2,1n =-.又()12,2,2AC =-， 故可得11122,?3n AC cos n AC n AC ⋅==. 设直线A 1C 和平面A 1BD 所成角为θ，故可得12,3sin cos n AC θ==.则直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值为3.2．如图1，在ABC 中， D ， E 分别为AB ， AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =.将ABC 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.（1）求证：1AO BD ⊥； （2）求直线1AC 和平面1ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）连接1AO .图1中，AB AC =，D ， E 分别为AB ， AC 的中点，AD AE ∴=， 即11A D A E =，又O 为DE 的中点，1AO DE ∴⊥. 又平面1A DE ⊥平面BCED ，且平面1A DE 平面BCED DE =，1AO ⊂平面1ADE ， 1AO ∴⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ， 1AO BD ∴⊥. （2）取BC 中点G ，连接OG ，则OG DE ⊥.由（1）可知1AO ⊥平面BCED ，OG ⊂平面BCED 11,AO DE AO OG ∴⊥⊥. 以O 为原点，分别以1,,OG OE OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示AB AC ==4BC =，112,1,2A D DE OD A O ∴==∴=∴==.()()()()10,0,2,2,2,0,2,2,0,0,1,0A B C D ∴--， ()()()11112,2,2,0,1,2,2,2,223A B A D AC AC ∴=--=--=-=，. 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则11·0·0n A B n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222020x y z y z --=⎧⎨--=⎩，令1z =，则2,1y x =-=-，()1,2,16n n ∴=--=，. 设直线1AC和平面1A BD 所成的角为θ，则 111sin cos ,323AC n ACn AC n θ-=〈〉===， 所以直线1AC 和平面1A BD 所成角的正弦值为3. 3．在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点，点F 是线段AD 上的一个动点，且()01DF DA λλ=≤≤.如图，将BCE ∆沿BE 折起至BEG ∆，使得平面BEG ⊥平面ABED .（1）当12λ=时，求证：EF BG ⊥； （2）是否存在λ，使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 12λ= 【解析】（1）当12λ=时，点F 是AD 的中点. ∴112DF AD ==，113DE CD ==. ∵90ADC ∠=︒，∴45DEF ∠=︒. ∵223CE CD ==，2BC =，90BCD ∠=︒， ∴45BEC ∠=︒.∴BE EF ⊥.又平面GBE ⊥平面ABED ，平面GBE ⋂平面ABED BE =，EF ⊂平面ABED ，∴EF ⊥平面BEG .∵BG ⊂平面BEG ，∴EF BG ⊥.（2）以C 为原点，,CD CB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系Cxyz .则()2,0,0E ，()3,0,0D ，()3,2,0F λ.取BE 的中点O ，∵2GE BG ==，∴GO BE ⊥，∴ 易证得OG ⊥平面BCE ，∵BE =OG(G .∴(2,12FG λ=--，(EG =-，(DG =-.设平面DEG 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,n DG x y n EG x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩令z =(0,n =-. 设FG 与平面DEG 所成的角为θ， 则sin cos ,FG n θ=13==， 解得12λ=或710λ=-（舍去）∴存在实数λ，使得DG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13，此时12λ=. 4．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点．（1）证明：AE //平面BDC 1；（2）若异面直线BC 1与AC DE 与平面BDC 1所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）证明：取BC 1的中点F ，连接DF ，EF ，∵E 为BC 中点，∴EF ∥1CC ，112EF CC = 又∵D 为AA 1的中点，DA ∥1CC ，112DA CC =， ∴EF ∥DA ，EF DA =∴四边形ADFE 为平行四边形，∴AE ∥DF ，∵AE ⊄平面BDC 1，DF ⊂平面BDC 1，∴AE ∥平面BDC 1；（2）由（1）及题设可知，BC ，EA ，EF 两两互相垂直，则以点E 为坐标原点，EC ，EA ，EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝2t （t ＞0），则1(3,0,0),(3,0,2),(3,0,0),)B C t A C D t -，所以1(3,33,),(6,0,2),(3,BD t BC t AC ===-，故111|cos ,|4||||6BC AC BC AC BC AC ⋅<>===⋅解得t =，设平面BDC 1的法向量为(,,)m x y z =由100m BD m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3060x x⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则(1,0,m =，又D ED ∴=， 所以cos ,||||(3ED m ED m ED m ⋅<>===， 设DE 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ=30|cos ,|20ED m <>=， ∴DE 与平面BDC 15．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，AD BC ∥，2DAB π∠=，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值.. 【解析】Ⅰ）由已知AP ⊥平面PCD ，可得AP PC ⊥，AP CD ⊥，由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示，BC DE ，所以BCDE 为平行四边形，所以BE CD ∥，所以AP BE ⊥.又因为BEAC ⊥，且AC AP A =， 所以BE ⊥面APC ，故BE PO ⊥.在直角梯形中，AC ==，因为AP ⊥面PCD ，所以AP PC ⊥，所以PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥.且ACBE O =，所以PO ⊥平面ABCD（Ⅱ）法一：以O 为原点，分别以,,OB OC OP 为x 轴，y 轴，z 轴的建立直角坐标系.不妨设1BO = 0(0)1A -，，，()100B ，，，()001P ，，，0()21D -，，，设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量.满足00n PB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 所以030x z x y -+=⎧⎨-+=⎩， 则令1x = ，解得(1,3,1)n =sin cos ,AB n θ=22211AB nAB n ⋅==⋅ 法二：（等体积法求A 到平面PBD 的距离）A PBD P ABD V V--=设AB=1，计算可得1PF =，PD= ，BD ，4PBD S =△ 1133PBD ABD S hS PO ⨯⨯=⨯⨯△△，解得h = sin h AB θ==【题组三 二面角】1．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直，且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为DF 中点．（1）求异面直线DA 与PE 所成的角；（2）求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．【答案】（1）6π（2【解析】在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{},,AB AF AC ，则1(0,0,0),(1,0,0),((1,1,0),(0,2,0),(22A B C D E F P--（1）3(1,0,3),(,0,2DA PE=-=设异面直线DA与PE所成的角为α，则3cos2DA PEDA PEα⋅===⨯⨯所以异面直线DA与PE所成的角为6π；（2）(0,2,0)AF=是平面ABCD的一个法向量，设平面DEF的一个法向量(,,)n x y z=，(2,1,3),(1,2,DE DF=-=则(,,)(2,1,20{(,,)(1,2,20n DE x y z x yn DF x y z x y⋅=⋅=+-=⋅=⋅=+-=，得z==，取1x=，则1,y z==故(1,1,3)n=是平面DEF的一个法向量，设平面DEF与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则2cos525AF nAF nβ⋅===⨯⨯．2．如图，梯形ABCS中，//AS BC，AB BC⊥，122AB BC AS===，D、E分别是SA，SC的中点，现将SCD∆沿CD翻折到PCD∆位置，使PB=（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（23）3【解析】（1）梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，2DA =，四边形ABCD 为平行四边形，AB BC ⊥，2AB DA ==，BD =所以四边形ABCD 为正方形，CD DS ⊥，折叠后，CD DP ⊥，2PD =，PB =PBD 中，2224812PD BD PB +=+==，所以BD DP ⊥，,CD DB 是平面ABCD 内两条相交直线，所以PD ⊥面ABCD ；（2）,,DA DC DP 两两互相垂直，以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C P E (2,2,0),(0,1,1)DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z = 则2200DB n x y DE n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，解得y z x z =-⎧⎨=⎩，令1z =，取(1,1,1)n =- 由（1）可知，PD ⊥面ABCD ，取平面ABCD 的法向量(0,0,2)DP =cos ,3DP n ==，根据图形，二面角E BD C --所以二面角E BD C --（3）(0,2,0)AB =，由（2）可得平面BDE 的法向量(1,1,1)n =- 设直线AB 与平面BDE 所成的角为θ，sin cos ,AB n θ-===.所以AB 与平面BDE3．如图四棱柱1111ABCD A BC D -中，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD AB BC ==，M 为1A D 的中点.（1）证明：//CM 平面11AA B B ；（2）若四边形11AA B B 是菱形，且面11AA B B ⊥面ABCD ，13B BA π∠=，求二面角1A CM A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）25. 【解析】（1）取1AA 的中点N ，连接MN ，BN ，∵M 为1A D 的中点，∴//MN AD 且12MN AD = 又//BC AD ，12BC AD = ，所以//BC MN 且MN BC =， 所以四边形MNBC 是平行四边形，从而//CM BN ，又BN ⊂平面11AA B B ，CM ⊄平面11AA B B ，所以//CM 平面11AA B B .（2）取11A B 的中点P ，连接AP ，1AB ，∵四边形11AA B B 为菱形，又13B BA π∠=，易知AP AB ⊥.又面11AA B B ⊥面ABCD ，面11AA B B 面ABCD AB =，AD AB ⊥∴AD ⊥平面11AA B B ，AD AP ⊥故AB ，AD ，AP 两两垂直以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示），不妨设4AB =.则()0,0,0A ，()0,4,0D ，()4,2,0C，，(1A -，(1,M -，(11,2,A M =，(CM =-，()4,2,0AC =设平面1ACM 的法向量为(),,m x y z =， 由100m A M m CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2050x y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可得平面1ACM的一个法向量1,m ⎛= ⎝⎭， 设平面ACM 的法向量为()111,,n x y z =，由00n AC n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111142050x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 可得平面ACM的一个法向量1,n ⎛=- ⎝⎭. ∴25142cos ,51m nm n m n -+⋅===⋅+ 所以二面角1A CM A --的余弦值为25. 4．已知平行四边形ABCD 中60A ∠=︒，22AB AD ==，平面AED ⊥平面ABCD ，三角形AED 为等边三角形，EF AB ∥．（Ⅰ）求证：平面⊥BDF平面AED ；（Ⅱ）若BC ⊥平面BDF①求异面直线BF 与ED所成角的余弦值；②求二面角B DF C --的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）①45.【解析】（Ⅰ）平行四边形ABCD 中∵60A ∠=︒，22AB AD ==，由余弦定理可得BD ，由勾股定理可得BD AD ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系O xyz -∴()0,0,0D ，()1,0,0A ，()B ，12E ⎛ ⎝⎭，()C -∴()=DB ，()1,0,0DA =，1,0,22DE ⎛= ⎝⎭∴0DB DA ⋅=，0DB DE ⋅=，∴DB DA ⊥，DB DE ⊥．又DA DE D ⋂=，∴DB ⊥平面AED ．又∵DB ⊂平面BDF ，∴平面⊥BDF 平面AED ．（Ⅱ）∵EF AB ∥，∴设()(),0EF AB λλλ==-=-∴12F λ⎛- ⎝⎭，()1,0,0BC =-． ∵BC ⊥平面BDF ，∴BC DF ⊥，∴102BC DF λ⋅=-=，∴12λ=．∴F ⎛⎝⎭．①0,BF ⎛= ⎝⎭，1,0,2ED ⎛=- ⎝⎭∴34cos cos ,BF ED θ=== ∴异面直线BF 与ED ②设(),,n x y z =为平面BDF 的法向量，则303022n DB y n DF y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩可得()1,0,0n=，设(),,m x y z =为平面CDF 的法向量，则0302m DC x m DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩可得()3,1,1m =-，∴3cos ,5m n ==sin θ= ∴二面角B DF C --． 5．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==.（1）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.【答案】 【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2B C D P ．（1） 因为AD ⊥平面PAB ，所以是平面PAB 的一个法向量，．因为(1,1,2),(0,2,2)PC PD =-=-．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0m PC m PD ⋅=⋅=，即20{220x y z y z +-=-=，令1y =，解得1,1z x ==． 所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,3||||AD m AD m AD m ⋅〈〉==，所以平面PAB 与平面PCD所成二面角的余弦值为3． （2） 因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-≤≤，又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--，又(0,2,2)DP =-， 从而1cos ,||||10CQ DP CQ DP CQ DP ⋅〈〉==， 设[]12,1,3t t λ+=∈，则2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t 〈〉==≤-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当且仅当95t =，即25λ=时，|cos ,|CQ DP 〈〉因为cos y x=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ==25BQ BP ==．6．如图，在三棱锥S 一ABC 中，SA ＝AB ＝AC ＝BC ，O为BC 的中点（1）求证：SO ⊥平面ABC（2）在线段AB 上是否存在一点E ，使二面角B —SC －E ？若存在，求B E BA 的值，若不存在，试说明理由【答案】（1）见解析（2）23【解析】（1）∵SB SC =，O 为BC 的中点，∴SO BC ⊥，设SB a =，则SO =，AO a =，SA =， ∴222SO OA SA +=，∴SO OA ⊥，又∵BC OA O ⋂=，∴SO ⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，以OA 所在射线为x 轴正半轴，以OB 所在射线为y 轴正半轴，以OS 所在射线为z 轴正半轴建立空间直角坐标系．则有()0,0,0O ，0,0,2S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,02A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 假设存在点E 满足条件，设()01BE BA λλ=≤≤，则(),1,02E a a λ⎫-⎪⎪⎝⎭，则()62,02CE a λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面SCE 的法向量为(),,n x y z =，由00n CE n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()200x y y z λ+-=+=⎪⎩，故可取()2,n λ=-．易得平面SBC 的一个法向量为()1,0,0m =．所以，cos 5m nm n θ⋅===⋅，解得23λ=或2λ=-（舍）． 所以，当23BE BA =时，二面角B SC E --． 7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===.（Ⅰ）求证：QB ∥平面PDC ；（Ⅱ）求二面角C PB Q --的大小；（Ⅲ）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB所成角的余弦值为15，求线段DH 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）56π；（3）32. 【解析】（1）平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ADPQ ⊂平面，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD .由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0D B C ，()()()2,0,0,2,0,1,0,0,2A Q P .依题意，易证：()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴ 0QB AD ⋅=， 又直线QB ⊄平面PDC ，∴ //QB PDC 平面.（2） ()()2,2,2,=0,22PB PC =--，. 设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =.设()2222,,n x y z =为平面PBQ 的法向量，又()()2,2,2,2,0,1PB PQ =-=-， 则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =，∴ 1212123cos<,2n n n n n n ⋅>==⋅， 又二面角C PB Q --为钝二面角，∴二面角C PB Q --的大小为56π. （3）设()()0,0,02H h h ≤≤，则()2,0,AH h =-，又()2,2,2PB =-， 又7cos<,15PB AH >=15=， ∴ 2625240h h -+=，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为32.8．已知在四棱锥C ABDE -中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，ABC 是边长为2的等边三角形，1AE =，M 为AB 的中点．（1）求证：CM EM ⊥；（2）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角B CD E --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）90.【解析】（1）证明：ABC为等边三角形，M为AB的中点，∴CM AB⊥，又DB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴DB CM⊥，DB AB B=，DB，AB平面ABDE，∴CM⊥平面ABDE，又EM⊂平面ABDE，∴CM EM⊥.（2）过点M作//Mz BD，易知Mz、MB、MC两两垂直；以M为原点，分别以MC、MB、Mz作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图；DB⊥平面ABC，∴DMB∠直线DM与平面ABC所成角，∴tan2BDDMBBM∠==，∴22BD BM==，∴()0,1,0B，)C，()0,1,2D，()0,1,1E-，∴()3,1,0BC=-，()CD=-，()1,1CE=--，设平面BCD的一个法向量为()111,,m x y z=，则m BCm CD⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111120yy z-=++=⎪⎩，令11x=，则()1,3,0m=，设平面CDE的一个法向量为()222,,n x y z=，则n CEn CD⎧⋅=⎨⋅=⎩即22222220y zy z⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x=，则()3,1,2n=-，∴cos,0m nm nm n⋅==⋅，∴二面角B CD E--的大小为90.。
2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝ 2EA，且平面EBC与平面DBC的夹角为45°，求三棱锥A-BCD的体 积．
[解] 法一：因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中 点，所以OC＝OB＝OD＝1，
所以△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，BC＝ 3 ，所以 S△BCD＝ 23．
所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°， 易得CD⊥DM． 又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM， 所以CD⊥平面PDM． 因为AB∥CD，
所以AB⊥平面PDM． 又PM⊂平面PDM， 所以AB⊥PM．
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值． [解] 法一：由(1)知AB⊥平面PDM， 所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角． 连接AM，因为PM⊥MD，PM⊥DC， 所以PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AM． 因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2， 所以由余弦定理得AM＝ 7，
设平面BCE的法向量为m＝(x，y，z)，
因为B→C＝－32， 23，0，B→E＝－43，0，23a，
所以mm··BB→→EC＝＝00，，
即－23x＋ 23y＝0， －43x＋23az＝0，
令x＝1，则y＝ 3，z＝2a，所以m＝1， 3，2a． 因为平面EBC与平面DBC的夹角为45°，
设Q(a,0,0)，则NQ＝
4－2
3
3－a2，
B1a，1，
4－2
3
3－a2，
故B→1E＝23 3－a，－23，－
4－2
3
3－a2，
|B→1E|＝2 310． 又n＝(0，－1,0)是平面A1AMN的一个法向量，故 sinπ2－〈n，B→1E〉＝cos〈n，B→1E〉＝|nn|··B|B→→11EE|＝ 1100． 所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为 1100．
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高中数学人教A 版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B未命名一、单选题1．若平面a 的法向量为n r ，直线l 的方向向量为a r，直线l 与平面a 的夹角为q ，则下列关系式成立的是A ．cos n an a q ×=×r r r rB ．cos n an aq ×=×r r r r C ．sin n an aq ×=×r r r rD ．sin n an aq ×=×r r r r 2．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA 上，13AE A E =，点G 是棱CD 的中点，点F 满足114BF BB =uuu r uuur，则直线EF 与直线1D G 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．45CD3．如图，在三棱锥P ABC -中，已知12PA PB AC ===2AB BC ==，平面PAB ^平面ABC ，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为（ ）ABCD4．已知()1,1,1a ®=，()()0,,101b y y ®=££，则®的最大值为（ ）A B C D 5．如图，已知正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢-的棱长为4，E 为棱AB 的中点，点P 在侧面CC D D ¢¢上运动，当平面B EP ¢与平面ABCD ，平面CC D D ¢¢所成的角相等时，D P ¢的最小值为（ ）A B C ．D 6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ^平面BCD ，BC CD ^，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ）A B C D 二、多选题7．如图，ABC V 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =Ð=а，则（ ）A ．直线AD 与直线BC 所成角的大小为90°B ．直线AB 与直线CDC ．直线AD 与平面BCD 所成角的大小为45°D ．直线AD 与平面BCD 所成角的大小为60°8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．BD ^平面1ACC C ．向量1B C uuur 与1AA uuur的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 三、填空题9．已知AB 和CD 是异面直线，()2,1,3AB =-uuu r ，()1,3,2CD =-uuu r，则AB 和CD 所成角的大小为______．10．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点.当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M =___________.11．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．12．若直线a 的方向向量为a r，平面α，β的法向量分别为,n m r u r ，则下列命题为真命题的序号是____.（1）若a r ⊥n r，则直线a ∥平面α；（2）若a r ∥n r，则直线a ⊥平面α；（3）若1cos ,2a n =r r ，则直线a 与平面α所成角的大小为π6；（4）若1cos ,2m n =u r r ，则平面α，β的夹角为π3.四、解答题13．如果12,n n r r分别是平面12,a a 的一个法向量，设1a 与2a 所成角的大小为q ，写出cos q 与12cos ,n n <>ur uu r之间的关系.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AA C C ^平面ABC ,90ABC Ð=°，1130,,,BAC A A A C AC E F Ð=°==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ^；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ^底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ^，且3,1PB AB AD BC ====．（1）若点F为PD上一点且13PF PD=，证明：//CF平面PAB；（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值．参考答案：1．D【分析】根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.【详解】由于直线l 与平面a 的夹角为q ，其中0q p £<，所以sin 0q ³，所以sin cos n a n a n aq ×=×=×r r r rr r .故选：D【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.2．B【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则32,0,2E æöç÷èø，12,2,2F æöç÷èø，()10,0,2D ，()0,1,0G ，所以()0,2,1EF =-u u u r，()10,1,2D G =-uuuu r ，由题知4cos ,5EF =uuu r ，所以直线EF 与直线1D G 所成角的余弦值为45故选：B3．A【分析】取AB 的中点为D ，连接PD ，证明PD ^平面ABC ，AB BC ^，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.【详解】取AB 的中点为D ，连接PD 因为PA PB =，所以PD AB ^，因为平面PAB ^平面ABC ，平面PAB Ç平面ABC AB =，PD Ì平面PAB 所以PD ^平面ABC因为12PA PB AC ===2AB BC ==所以AB BC^如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,0,1,1,2,0,0B A P C 所以()()0,2,0,2,1,1AB PC =-=--uuu r uuu r所以异面直线PC 与AB=故选：A 4．D【分析】构造正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为1，()11,1,1OB a ®®==,点E 在线段11D C 上移动.当E 在1C 位置时，cos ,a b ®®最大，利用向量的夹角公式即得解.【详解】利用作图法，构造正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为1，如图所示.则()11,1,1OB a ®®==，()0,,1b OE y ®®==，且点E 在线段11D C 上移动.当E 在1C 位置时，,a b ®®最小，即®最大，则cos ,a ®=为最大值.故选：D 5．B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,4)B ¢,()(2,0,0),2,0,4E B E ¢=-uuur. 设(,4,)(0P x z x ££4,04),z ££ 则(2,4,).EP x z =-uuu r易知平面ABCD 和平面CC D D ¢¢的一个法向量分别为12(0,0,1),(0,1,0)n n ==ur uu r.设平面B EP ¢的法向量为3(,,)n a b c =u u r ，则 3300n B E n EP ì×=ïí×¢=ïîu u v uuuv u u v uuu v 即 240,(2)40,a c x ab zc -=ìí-++=î取1c =，可得2,42,4a x zb =ìïí--=ïî所以 3422,,14x z n --æö=ç÷èøu u r 为平面B EP ¢的一个法向量.由题意,平面B EP ¢与平面ABCD ，平面CC D D ¢¢所成的角相等，所以1323cos ,cos ,n n n n =Þu u r uu r r u u r u .1323|||||24|4n n n n x z ×=×Þ+-=Þur u u r uu r u u r280x z +-=或20.x z +=在平面CC D D ¢¢上，直线280x z +-=过点()4,4,0D 和C D ¢¢的中点()2,4,4，在平面CC D D ¢¢上，直线20x z +=只过点()0,4,0，即点C ，取G 为C D ¢¢的中点,连接GD ，则点P 在DG 上运动或点P 在点C 处，由等面积法可得D P ¢=故选：B.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.6．C【解析】画出四面体A BCD-，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.【详解】四面体A BCD-是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M(1,1,1),(0,2,0)BM CD==uuuu r uuurcos,||BM CDBM CDBM CD×áñ===×uuuu r uuu ruuuu r uuu ruuuu r uuu r因为异面直线夹角的范围为0,2pæùçúèû，所以异面直线BM与CD故选：C【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题. 7．ABC【分析】建立适当的空间直角坐标系，再求线线角和线面角即可.【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-，设2AB =，则(0,A -，()0,2,0C ，)1,0D -，所以AD =uuu r ，()0,2,0BC =u u u r ，(0,1,AB =uuu r ，)3,0CD =-uuu r .因为0AD BC ×=uuu r uuu r ，所以AD BC ^，即直线AD 90°，A 正确..因为cos ,AB uuu r uuu所以直线AB 与直线CD B 正确..设AD 与平面BCD 所成的角为q ，因为()0,0,1n =r 是平面BCD 的一个法向量，所以sin cos q =uuu 45q =°，即直线AD 与平面BCD 所成角的大小为45°，C 正确，D 错.故选：ABC.8．AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur ，\22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++×+×+×uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur363636266cos60266cos60266cos60216=+++´´´°+´´´°+´´´°=，所以1||AC ==A 错误；对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ×=++×-uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =×-+×+×--×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r ，所以10AC DB ×=uuuu r uuu r ，即1AC DB ^，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ×=+×-==--=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以0AC BD ×=uuu r uuu r ，即AC BD ^，因为1AC AC A Ç=，1,AC AC Ì平面1ACC ，所以BD ^平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C uuur 与1BB uuur 的夹角是18060120°-°=°，所以向量1B C uuur 与1AA uuur 的夹角也是120°，选项C 错误；对于11:D BD AD AA AB =+-uuuu r uuu r uuur uuu r ，AC AB AD=+uuu r uuu r uuu r 所以()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++×-×-×uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r，1||BD \=uuuu r同理，可得||AC =uuu rQ 11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ×=+-×+=+-++-=uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r ，所以111cos ||||AC BD BD AC AC BD ×<×>=×uuu r uuuu r uuu r uuuuuu r ，所以选项D 正确．故选：AC ．9．60°##3p【分析】根据向量数量积求出AB uuu r 与CD uuu r 夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围即可求出角．【详解】1cos ,2AB CD AB CD AB CD×===-×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，∵异面直线夹角范围是(0,90ùûo o ，∴AB 和CD 所成角的大小为60°．故答案为：60°．10．85【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面1D MN 、平面ABCD 的法向量，然后按照公式计算进行判断即可.【详解】如图设()()4,0,04M a a ££，()()12,4,0,0,0,4N D ()()12,4,,2,4,4MN a D N =--=-uuuu r uuuu r 设平面1D MN 的一个法向量为(),,n x y z =r ()()14240042440048a z x x y az n MN x y z n D N a zy ì-=ïì-+-=×=ìïïÞÞííí+-=×=+ïîîï=ïîuuuu v v uuuu v v 令8z =，82,4x a y a =-=+，则()82,4,8n a a =-+r 平面ABCD 的法向量的一个法向量为()10,0,1n =ur 设平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角为q所以cos =当2412105a ==时，cos q 有最大，则q 有最小，所以185A M =故答案为：8511．60°【分析】由题意作出正三棱锥S ABC -，设O 为底面ABC V 的中心，过S 作SE AB ^交AB 于点E ,连接EO ，可得SEO Ð为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件23SAB ABC S S =V V ，得出2SEOE =，从而得出答案.【详解】如图在正三棱锥S ABC -中，设O 为底面ABC V的中心，连接SO ,则SO ^平面ABC .过S 作SE AB ^交AB 于点E ,连接EO则SO AB ^,又SE AB ^，且SE SO S Ç=,所以AB ^平面SEO则OE AB ^,所以SEO Ð为侧面和底面所成二面角的平面角.在正三角形ABC V 中，O 为中心，3++32ABC OBC OAB OAC OAB S S S S S AB OE ===V V V V V 由条件有122332SAB ABC AB SE S S AB OE ×==×V V ，可得2SE OE =在直角三角形SOE 中，1cos 2EOSEO ES Ð==所以60SEO Ð=°故答案为：60°【点睛】本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.12．(2)(3)(4)【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面，面面的关系即可得出结论.【详解】若a r ⊥n r ，则直线a 与平面α平行或在平面α内，所以(1)是假命题；若a r ∥n r ，则a r 也是平面α的法向量，所以直线a ⊥平面α，所以(2)是真命题；直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值，所以(3)是真命题；两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以(4)是真命题.故答案为：(2)(3)(4).13．12cos cos ,n n q =-<>ur uu r 或12cos cos ,n n q =<>ur uu r 或12cos cos ,0n n q =<>=ur uu r 【分析】分析两个平面所成角为钝二面角、锐二面角、直二面角三种情况.【详解】当两个平面12,a a 所成角为钝二面角，此时12cos cos ,n n q =-<>ur uu r ，当两个平面12,a a 所成角为锐二面角，此时12cos cos ,n n q =<>ur uu r ，当二面角的平面角为直角时，12cos cos ,0n n q =<>=ur uu r 14．（1；（2【分析】（1）以1D 为原点，11111D A D C D D ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取a AB =r uuu r ，11AC u AC =uuuu r r uuuu r ，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点B 到直线1AC 的距离；（2）易证//FC 平面1AEC ，则点F 到平面1AEC 的距离为直线FC 到平面1AEC 的距离，求出平面1AEC 的一个法向量，再求出(0)1,,02AF =uuu r ，根据点到面的距离公式，可得直线FC 到平面1AEC 的距离．【详解】以1D 为原点，11111D A D C D D ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1111,0,11,1101,10)10101,,12()()()2(A B C C E F æöæöç÷ç÷èøèø,,,，,,,,,,,，所以(0,1,0)AB =uuu r ，1(1,1,1)AC =--uuuu r ，)10,,12(AE -=uuu r ， 11111,,01,,0,,02)2(),(),2(0EC FC AF =--==uuuu r uuu r uuu r .（1）取(0,1,0)a AB ==r uuu r，)111,1,1AC u AC ==--uuuu r r uuuu r，则21,a a u =×=r r r 所以，点B 到直线1AC==. （2）因为111,,02FC EC æö==-ç÷èøuuu r uuuu r ，所以1//FC EC，所以//FC 平面1AEC .所以点F 到平面1AEC 的距离为直线FC 到平面1AEC 的距离.设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则100n AE n EC ì×=ïí×=ïîuuu v v uuuu v v 所以102102y z x y ì-=ïïíï-+=ïî所以2x z y z=ìí=î取1z =，则1,2x y ==.所以，(1,2,1)n =r 是平面1AEC 的一个法向量.又因为(0)1,,02AF =uuu r ，所以点F 到平面1AEC.即直线FC 到平面1AEC15．（1）证明见解析；（2）35.【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AA C △中，AE EC =，则1A E AC ^，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，由面面垂直的性质定理可得：1A E ^平面ABC ，故1A E BC ^，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ^，故11A B BC ^，且1111A B A E A =I ，由线面垂直的判定定理可得：BC ^平面11A B E ，结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ^.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则AE EC ==11AA CA ==3BC AB ==，据此可得：()()()130,,,0,0,3,2A B A C æöç÷ç÷èø，由11AB A B =uuu r uuuu r 可得点1B的坐标为132B æöç÷èø，利用中点坐标公式可得：34F æöç÷èø，由于()0,0,0E ，故直线EF的方向向量为：34EF æö=ç÷èøuuu r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：()()133,,30223,,02m A B x y z x z m BC x y z y uuuv v uuu v v ìæö×=×=+=ïç÷ç÷ïèøíæöï×=×=-=ç÷ïç÷èøî，据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF æö=ç÷èøuuur此时4cos ,5EF =uuu r u ，设直线EF 与平面1A BC 所成角为q ，则43sin cos ,,cos 55EF m q q ===uuu r u r .【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.16．（1）证明见解析（2）12【分析】（1）作//FH AD ，根据比例关系可知1HF =，从而可证得四边形HFCB 为平行四边形，进而得到//CF BH ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作//FH AD 交PA 于H ，连接BH13PF PD =Q 113HF AD \==又//AD BC 且1BC = //HF BC \且HF BC=\四边形HFCB 为平行四边形 //CF BH\BH ÌQ 平面PAB ，CF Ë平面PAB //CF \平面PAB（2）PB ^Q 平面ABCD ，BC Ì平面ABCD PB BC\^又AD AB ^，//AD BC AB BC\^则可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0B ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,3,0A ()3,3,3PD \=-uuu r ，()0,3,3PA =-uuu r ，()3,3,0BD =uuu r 设平面PBD 的法向量(),,n x y z ®=则3330330n PD x y z n BD x y ì×=+-=í×=+=îuuu v r uuu v r ，令1x =，则1y =-，0z = ()1,1,0n ®\=-设直线PA 与平面BPD 所成角为q1sin |cos ,2PA n q ®®\=<=【点睛】关键点点睛：线面平行的判定，关键要利用三角形中位线，平行四边形寻求直线与直线的平行关系，利用线面平行的判定定理求解，属于中档题.。
教A版数学选择性必修第一册课后作业用空间向量研究夹角问题 Word版含解析
课后素养落实(十)用空间向量研究夹角问题(建议用时：40分钟)一、选择题1．若平面α的一个法向量为n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量是n 2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°D [因为n 1·n 2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°.]2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( ) A ．52266 B ．－52266 C ．52222D ．－52222A [AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)，而cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，故直线AB 和CD 所成角的余弦值为52266.]3．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AA 1＝3，AB ＝AC ＝BC ＝2，则AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°A [取AB 的中点D ，连接CD ，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可得A (1,0,0)，A 1(1,0,3)，故AA 1→＝(0,0,3)，而B 1(－1,0,3)，C 1(0，3，3)，设平面AB 1C 1的法向量为m ＝(a ，b ，c )，根据m ·AB 1→＝0，m ·AC 1→＝0，解得m ＝(3，－3，2)，cos 〈m ，AA 1→〉＝m ·AA 1→|m ||AA 1→|＝12.故AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为30°，故选A ．]4．已知正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°B [如图所示，建立空间直角坐标系．设P A ＝AB ＝1， 则A (0,0,0)，D (0,1,0)， P (0,0,1)， ∴AD →＝(0,1,0)． 取PD 的中点E ， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，易知AD →是平面P AB 的一个法向量，AE →是平面PCD 的一个法向量，所以cos 〈AD →，AE →〉＝22，故平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°.]5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，C 1D 1的中点，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为( )A ．16 B ．14 C ．－16D ．－14A [如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则M (1,0,0)，N (0,1,2)，O (1,2,1)，OD 1→〉＝MN →·OD 1→|MN →||OD 1→|D 1(0,0,2)，∴MN →＝(－1,1,2)，OD 1→＝(－1，－2,1)．则cos 〈MN →，＝16×6＝16.∴异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为16，故选A ．] 二、填空题6．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)和(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．±156 [由(0，－1，3)·(2，2，4)1＋9×4＋4＋16＝－2＋1210×24＝156，知这个二面角的余弦值为±156.]7．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________．23 [以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1， 所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.] 8．在空间中，已知平面α过A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点P (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.125[平面xOy 的一个法向量为n ＝(0,0,1)．设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，又AB →＝(－3,4,0)，AP →＝(－3,0，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·AB →＝0，u ·AP →＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22，又∵a >0，∴a ＝125.] 三、解答题9.如图所示，在四面体ABCD 中，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．[解] 取BD 的中点O ，连接OA ，OC ．由题意知OA ，OC ，BD 两两垂直．以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)， ∴BA →＝(－1,0,1)， CD →＝(－1，－3，0)，∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →|·|CD →|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10．四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小． [解] (1)证明：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a ,0,0)，B (a ，a ,0)，C (0，a ,0)，D (0,0,0)，P (0,0，h )，∴AC →＝(－a ，a ,0)，DP →＝(0,0，h )，DB →＝(a ，a ,0)， ∴AC →·DP →＝0，AC →·DB →＝0，∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ，DP ，DB ⊂平面PDB ，∴AC ⊥平面PDB ，又AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面PDB ．(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时， P (0,0，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，－22a ，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO →|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成角的大小为45°.1.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A ．55 B ．53 C ．255D ．35A [不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，所以以C 为原点CA 、CC 1，CB 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，所以A (2,0,0)，C (0,0,0)，B (0,0,1)，B 1(0,2,1)，C 1(0,2,0)，则AB 1→＝(－2,2,1)，C 1B →＝(0，－2,1)， 所以cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.所以所求角的余弦值为55.]2．已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长相等，∠ABC ＝60°，则直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的余弦值等于( )A ．64B ．104C ．22D ．32B [直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长相等，∠ABC ＝60°，取BC 中点E ，以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则B (3，－1,0)，C 1(3，1,2)，A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，BC 1→＝(0,2,2)，AB →＝(3，－1,0)，AA 1→＝(0,0,2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝3x －y ＝0，n ·AA 1→＝2z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，3，0)，设直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角为θ，则sin θ＝|BC 1→·n ||BC 1→||n |＝238·4＝64，∴cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝104，∴直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的余弦值等于104，故选B ．]3．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则平面BCD 与平面CDA 夹角的余弦值为________．55 [如图，取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为2，则A (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (0，3，0)，B (0,0，3)．设平面BCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵BC →＝(－1,0，－3)，BD →＝(0，3，－3)，∴⎩⎨⎧－x －3z ＝0，3y －3z ＝0，令z ＝3，则y ＝3，x ＝－3，即n ＝(－3，3，3)．平面ACD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面BCD 与平面CDA 夹角为θ，则cos θ＝|n·m ||n ||m |＝31×15＝55.]4.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝AA 1＝2BC ＝2，D 为AA 1上一点．若二面角B 1-DC -C 1的大小为30°，则AD 的长为________．233 [如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，B (0,1,0)，∴CB 1→＝(0,1,2)，CB →＝(0,1,0)．设AD＝a (0≤a ≤2)，则点D 的坐标为(2,0，a )，CD →＝(2,0，a )．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0，m ·CD →＝0⇒⎩⎨⎧y ＋2z ＝0，2x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，2，－1.又平面C 1DC 的一个法向量为CB →＝(0,1,0)，记为n ，则由cos 30°＝|m·n ||m ||n |＝2a 24＋4＋1＝32，解得a ＝233(负值舍去)，故AD ＝233.]如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝2，BC ＝22，P A ＝2.(1)取PC 的中点N ，求证：DN ∥平面P AB ； (2)求直线AC 与PD 所成角的余弦值；(3)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面ACD 的夹角为45°？如果存在，求出BM 与平面MAC 所成角的大小；如果不存在，请说明理由．[解] (1)证明：取BC 的中点E ，连接DE ，交AC 于点O ，连接ON ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (2，－1,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0，－1,2)． ∵点N 为PC 的中点， ∴N (0,0,1)， ∴DN →＝(1,0,1)．设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2,0,0)，可得n ＝(0,1,0)，∴DN →·n ＝0. 又∵DN ⊄平面P AB ，∴DN ∥平面P AB ． (2)由(1)知AC →＝(0,2,0)，PD →＝(－1,1，－2)． 设直线AC 与PD 所成的角为θ， 则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22×6＝66. (3)存在．设M (x ，y ，z )，且PM →＝λPD →，0<λ<1，∴⎩⎨⎧x ＝－λ，y ＋1＝λ，z －2＝－2λ，∴M (－λ，λ－1,2－2λ)．设平面ACM 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由AC →＝(0,2,0)，AM →＝(－λ，λ，2－2λ)，可得m ＝(2－2λ，0，λ)， 由图知平面ACD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝λ1·λ2＋(2－2λ)2＝22，解得λ＝23或λ＝2(舍去)．∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13，23，∴BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，23，23，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，23. 设BM 与平面MAC 所成的角为φ， 则sin φ＝|cos 〈BM →，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－129223×22＝12，∴φ＝30°.故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.。
【精品】高中必修二数学 空间向量在立体几何中的应用二——夹角的计算 讲义 +练习题 第4讲 - 8.12
【学习目标】 1. 知识与技能（1）理解空间中两条直线间与两个平面间夹角的含义；（2）明确空间中两直线夹角的求法及夹角的表示，能够利用平面的法向量求平面间的夹角. 2. 过程与方法（1）在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力； （2）通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系. 3. 情感、态度与价值观通过数相结合思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 【要点梳理】要点一：直线间的夹角 1. 有关概念：两直线的夹角：当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角叫作两直线的夹角．异面直线的夹角：当直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫作异面直线1l 与2l 的夹角．学生/课程 年级 高一年级 学科 授课教师江老师日期8.9时段核心内容空间向量在立体几何中的应用二——夹角的计算（第4讲）要点诠释：异面直线的夹角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦.2. 直线夹角的向量计算方法：已知空间两条直线a ，b ，且A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两点，设直线a ，b 的夹角θ由向量AC BD ，确定，满足||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅.要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角. 即设直线1l 与2l 的方向向量分别为1s ，2s .当0≤12s s ，≤2π时，直线1l 与2l 的夹角等于12s s ，；当2π<12s s ，≤π时，直线1l 与2l 的夹角等于π 12s s ，．要点二：平面间的夹角 1. 平面间的夹角的定义：平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则12l l =R 。
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【巩固练习】 一、选择题1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( )A. （-1，-2，5）B. （-1，1，-1）C. （1， 1，1）D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，1111114A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）A ．1030B ．21 C ．1530 D ．1015 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为89，则λ=( )A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，12AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621 B ．338 C ．60210D ．302106.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1==2AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（ ）A ．21B ．83C ．210D ．210二、填空题8．若平面α的一个法向量为()330=n ，，，直线l 的一个方向向量为()111=b ，，，则l 与α所成角的余弦值为 _．9．正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1AB CC 、的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.10. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 .11. 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=，则平面BDF 和平面ABD 的夹角余弦值是_______.三、解答题12. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1D B 上，∠60PDA =︒.（Ⅰ）求DP 与1C C 所成角的大小；（Ⅱ）求DP 与平面11A ADD 所成角的大小.13. 如图，四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，其对角线2AC =，2BD =，AE ，CF 都与平面ABCD 垂直，1AE =， 2CF =，求平面ABF 与平面ADF 的夹角大小.14. 如图（1），在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D E ，分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，2DE ＝，将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使1A C CD ，如图（2）．(1)求证：1A C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．15．(2016 浙江理)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3．(Ⅰ)求证：EF ⊥平面ACFD ；(Ⅱ)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案与解析】 1.【答案】B【解析】排除法.平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.排除A ，C ，D ，选项为B.2.【答案】A【解析】设正方体的棱长为1，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则1131(1,1,0),(1,,1),(0,0,0),(0,,1)44B E D F ．所以，131(1,,1)(1,1,0)(0,,1)44BE =-=-u u u r ，111(0,,1)(0,0,0)(0,,1)44DF =-=u u u u r ，1174BE =u u u r ，1174DF =u u u u r ，11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=u u u r u u u u r ．所以，111111cos ,151516.171717BE DF BE DF BE DF ⋅<>=⋅==⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r因此，1BE 与1DF 所成的角的余弦值是1517． 3.【答案】A【解析】如图所示，以C 为原点建立的空间直角坐标系， 则()()()()()1111,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,A B C A B 由中点公式可知，11111101222D F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，11111101222BD AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，，，，， ，111-1304cos 3524BD AF +==u u u u r u u u r g ，.4.【答案】C【解析】由cos =a b a b a b g ，可得，25510840λλ+= ，即()()25520λλ+= ， 即2=λ 或255=λ. 5.【答案】D 【解析】().22214214,0,0,0,,0,,0,000.,0,222244OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A a B a C a P D a a ⊥==∴⊥⊥⊥-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q 平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则，，，，214,0,,4411,1,,7210cos ,.30210sin cos ,,30210.30OD a a PBC n OD n OD n OD n OD PBC OD n OD PBC θθ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴u u u r r u u u r ru u u r r u u u r r u u u r r 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成角的余弦值为6.【答案】A【解析】如图，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，以OS 为z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz 。
设OD=SO=OA=OB=OC=a ，则A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （－a ，0，0），(0,,)22a a P -， 则(2,0,0),(,,),(,,0)22a a CA a AP a CB a a ==--=u u u r u u u r u u ur ，设平面PAC 的一个法向量为n r，则0,0n CA n AP ⋅=⋅=r u u u r r u u u r，∴20220ax ay az =⎧⎨-+=⎩，可取(0,1,1)n =r ，∴1cos ,2||||CB n CB n CB n ⋅〈〉===⋅u u u r ru u u r r u u u r r ， ∴,60CB n 〈〉=︒u u u r r，∴直线BC 与平面PAC 的夹角为90°－60°=30° 故选A 。
7.【答案】D【解析】()().,0,0,,0,,0,0.0,0,.OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A B C OP h P h ⊥==∴⊥⊥⊥-⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=Q 平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则2,,,44,cos ,sin cos ,.PA a h OD PBC n OD n OD n OD n OD PBC OD n θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛=- ⎝⋅∴〈〉==⋅=〈〉=Q u u u r r u u u r ru u u r r u u u r r u u u r r 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 8.【答案】3【解析】由cos 3〈〉==n,b ，知l 与α所成角的余弦值为=.9.【答案】30︒【解析】 以A 为原点建立直角坐标系（如图所示），设B （2，0，0），则E （1，0，0），F （2，2，1），C 1（2，2，2），A 1（0，0，2），∴(1,2,1)EF =u u u r，11(2,2,0)AC =u u u u r ，∴1111113cos ,2||||622EF AC EF AC EF AC ⋅〈〉===⋅⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴11cos ,30EF AC 〈〉=︒u u u r u u u u r.10.【答案】34【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴ 3AE =，AS=3，∴ SE=23，AF=32，∴3sin 4ABF ∠=.11.【答案】311【解析】因为△ABE 为等腰直角三角形，AB=AE ， 所以AE ⊥AB.又因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ， 平面ABEF∩平面ABCD=AB ， 所以AE ⊥平面ABCD. 所以AE ⊥AD.因此，AD ，AB ，AE 两两垂直，以A 为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1，则B （0，1，0），D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ). 因为FA=FE ， ∠AEF = 45°，所以∠AFE= 90°. 从而，11(0,,)22F -. 所以，设平面BDF 的一个法向量为1n u r ，并设1n u r=（x ，y ，z ）.()110BD=u u u r，， ，31022BF=⎛⎫ ⎪⎝⎭u u u r ，，， 由00.n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u r g ， 得0310.22x y y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取y=1，则x=1，z=3.从而1n 113=u u v（，，）. 由AE ⊥平面ABCD 可知，平面ABD 的一个法向量为()001AE=u u u r，，，设平面BDF 和平面ABD 的夹角为θ，则1311cos cos 11n AE =θ==u u r u u u r ，.12.【解析】如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，设DA 为单位长，则=，=.连结BD ，11B D ，在平面BB 1D 1D 内，延长DP ，交11B D 于点H ，设=( m > 0 )，由条件知 <，> = 60°.由·=||||cos<，> ，可得2m =.解得m =.所以=.（Ⅰ）因为cos<，>=，所以<，>=，即DP与CC所成的角的大小是45°.1（Ⅱ）因为平面的一个法向量是，又cos<，>=，所以<，>=. 即DP与平面A ADD所成角的大小为60°.11注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且∠PDA=60°，直接设点P 的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.设平面ABF的法向量为，则由得令，得.同理，可求得平面ADF的法向量.因为，所以平面ABF与平面ADF垂直.所以平面ABF 与平面ADF 的夹角2. 14.【解析】15.【解析】(Ⅰ)延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以BF ⊥AC ．又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ．所以BF ⊥平面ACFD ．(Ⅱ)方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结BQ ．因为BF ⊥平面ACK ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK ．所以，∠BQF 是二面角B -AD -F 的平面角．在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ = 在Rt △BQF中，FQ BF ==，得cos BQF ∠= 所以，二面角B -AD -F的平面角的余弦值为4． 方法二：如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以，KO ⊥平面ABC ．以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ． 由题意得(100)(100)(00B C K -，，，，，，，11(130)0022A E F ⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭，，，，．因此，(030)(13(230)AC AK AB ===u u u r u u u r u u u r ，，，，，，． 设平面ACK 的法向量为111()m x y z =u r ，，，平面ABK 的法向量为222()n x y z =r ，，，由00AC m AK m ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u r u u u r u r ··，得11113030y x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取01)m =-u r ； 由00AB n AK n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r u u u r r ··，得2222223030x y x y +=⎧⎪⎨+==⎪⎩，取(32n =-r ，．于是，3 cos4||||m nm nm n〈〉==u r ru r ru r r，··．所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34．。