高考数学复习点拨：命题中的“大于(或小于)”的否定
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释素材 北师大
对量词命题的否定的分类解析与疑点诠释一.知识梳理1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x∈M,使P（x）不成立。
存在性命题P：∃x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：∀x∈M,有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:∀∈M, p(x）否定为⌝ P: ∃∈M, ⌝ P（x）P:∃∈M, p(x）否定为⌝ P: ∀∈M, ⌝ P（x）在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。
即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.关键量词的否定二. 命题的否定形式的分类解析与疑点诠释1. 全称命题的否定例1.写出下列全称命题的否定：（1）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。
（5）∃ x∈R，x 2－x+1＝0；解：（1）的否定：∀x ∈R ，x 2＋x+1>0；（2）的否定：存在实数x 不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y ，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
（5）的否定：∀x ∈R ，x 2－x+1≠0.说明:解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x ＞3，则x 2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.2. “若P 则q” 的形式的否定例2.写出下列命题的否定。
（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。
（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数0x ，虽然满足20x ＞4，但0x ≤2。
高考数学复习点拨：全称命题与特称命题的否定
全称命题与特称命题的否定广东 孙凤琴全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，为使你较全面、较准确的掌握这一特殊概念,本文将谈下述四点,也许对你会有帮助.1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手,书写命题的否定例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：（1）:p 对任意的x ∈R ,210xx ++=都成立； （2）:p x ∃∈R ，2250x x ++>．分析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，:p ⌝存在一个x ∈R ，使210x x ++≠成立，即x ∃∈R ，使210x x ++≠成立；（2）由于“x ∃∈R ”表示存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，:p ⌝对任意一个x 都有2250xx ++≤，即x ∀∈R ,2250x x ++≤． 2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义 有些数学符号，表面看我们已非常熟悉，其实不一定；如：x ∈R ，谈到它的否定，很多同学会认为是:x ≠R ，其实不然．我们从一个例子看起：若x ∈R ，则方程2210x x ++=有解；这是个真命题,当然,它的逆否命题也是真命题；而它的逆否命题是什么呢？是“若方程2210++=无解，则x∉R”吗？这个命题是假命题．显然，它x x不是我们要的逆否命题．问题出在哪里？出在x∈R的否定并不是x∉R上,那么x∈R的否定到底是什么？其实，x∈R表示x是任意实数，其否定应该是：x不是任意实数;例2 判断命题“x∈R,则方程2210++=有解”是全称命题还是特x x称命题,并写出它的否定．分析：由于x∈R表示x是任意实数,即命题中含有全称量词“任意的”；因而是全称命题；其否定是：“x不是任意实数，则方程2210++=x x无解”．3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题;特称命题的否定一定是全称命题．4．命题的否定与否命题（1）命题的否定是针对仅含一个量词的全称命题与特称命题．显然，并非所有命题都有写出它的否定的必要;如“若x y=，则22=”x y不含量词；再如“[]11y∃∈，，使22x∀∈-，，[]01++≥"含有两个量词;这x xy y32些命题的否定可能存在,但不在我们学习的范围；而这些命题的否命题都在我们的学习范围内;（2）以量词为前提的命题．如命题：“x∀∈R，若0y>，则20+>”x y的否命题为“x∀∈R，若0y≤，则20+≤”；而此命题的否定为“x∃∈R,x y若0y>，则20+≤”；显然，两者的区别很大．x y。
高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析 (1)
命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别定义原命题：若p，则q 命题的否定指对结论的否定若p，则非q 否命题指对命题的条件与结论同时否定若非p，则非q2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：原命题否定形式否命题真假与原命题的真假无关假真3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：正面词语大(小)于是或有全都任何所有的否定词语不大(小)于不是且无不都某些有几个不全正面词语至少有一个任意两个至多有n个任意的都是否定词语一个都没有某两个至少有n+1个某个不都是二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下命题p或q p且q非p形式(┐p)且(┐q) (┐p)或(┐q)⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．。
命题及其关系、充分条件及必要条件知识点及题型归纳
-●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解"假设p，则q〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.*备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考察形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考察命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考察充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数*围问题，考察考生的逆向思维.一、知识梳理"名师一号"P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感慨句都不是命题。
2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否认知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念〔1〕充分条件：q p ⇒ 则p 是q 的充分条件即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。
〔2〕必要条件：q p ⇒ 则q 是p 的必要条件即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。
(补充)〔3〕充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件〔既是充分又是必要条件〕"p 是q 的充要条件〞也说成"p 等价于q 〞、 "q 当且仅当p 〞等 (补充)2、充要关系的类型〔1〕充分但不必要条件定义：假设q p ⇒，但p q ⇒/， 则p 是q 的充分但不必要条件；〔2〕必要但不充分条件定义：假设p q⇒，但q p ⇒/， 则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕充要条件定义：假设q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔， 则p 、q 互为充要条件；〔4〕既不充分也不必要条件 定义：假设q p ⇒/，且p q ⇒/， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法："名师一号"P6 特色专题①定义法；②集合法；③逆否法〔等价转换法〕．逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件假设条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．〔1〕假设⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件〔2〕假设⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕假设B A =，则p 是q 的充要条件〔4〕假设B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----假设A 、B 具有包含关系，则〔1〕小*围是大*围的充分但不必要条件〔2〕大*围是小*围的必要但不充分条件二、例题分析〔一〕四种命题及其相互关系例1.(1) "名师一号"P4 对点自测1命题"假设*，y 都是偶数，则*＋y 也是偶数〞的逆否命题是( )A ．假设*＋y 是偶数，则*与y 不都是偶数B ．假设*＋y 是偶数，则*与y 都不是偶数-C．假设*＋y不是偶数，则*与y不都是偶数D．假设*＋y不是偶数，则*与y都不是偶数答案 C例1.(2) "名师一号"P5 高频考点例1以下命题中正确的选项是( )①"假设a≠0，则ab≠0〞的否命题；②"正多边形都相似〞的逆命题；③"假设m>0，则*2＋*－m＝0有实根〞的逆否命题；④"假设*－123是有理数，则*是无理数〞的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④解析:①中否命题为"假设a＝0，则ab＝0〞，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案 B注意："名师一号"P5 高频考点例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比拟每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的"逆命题〞"否命题〞"逆否命题〞；判定命题为真命题时要进展推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．例1.(3) "名师一号"P4 对点自测2(2014·**卷)原命题为"假设z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．注意："名师一号"P5 问题探究问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；-互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比拟困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注"特例法〞的应用．例2．(1)(补充)〔2011**文5)a ，b ，c ∈R ，命题"假设a b c ++=3，则222a b c ++≥3〞的否命题．．．是〔 〕 (A)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++<3(B)假设a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++≥3(D)假设222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A 来 【解析】命题"假设p ，则q 〞的否命题是："假设p ⌝，则q ⌝〞 例2．(2)(补充)命题："假设0xy =，则0x =或0y =〞的否认．．是：________ 【答案】假设0xy =，则0x ≠且0y ≠【解析】命题的否认只改变命题的结论。
高考数学复习点拨 简易逻辑中的典型错误剖析
简易逻辑中的典型错误剖析学习简易逻辑可以使我们增强判断是非的能力和推理能力.但由于内容比较抽象,初学者易出现理解上的错误,下举例说明.例1 试判断下列语句是否构成命题:（1）难道0不是偶数吗?（2）1+a >0；（3）012>++a a .错解:由于语句(1)是问句,所以不是命题;而(2)、(3)两句表示均给出了判断所以都是命题。
剖析：命题的定义是：可以判断真假的语句叫命题。
因此语句是否构成命题，关键在于能否判断其真假。
语句（1）是反问句，其实质是表示“0是偶数”这一判断，因此是命题，并且是真命题；语句（2）中，在没有给出a 的X 围之前无法判断其真假，因此该句不构成命题（称为开语句）；而语句（3）中，虽然也没有给出a 的X 围，但043)21(122>++=++a a a 对一切实数a 恒成立，因此该语句构成命题，且是真命题。
例2 试判断下列命题是简单命题还是复合命题：（1）6≥5；（2）有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
错解：由于命题（1）与（2）没有逻辑联结词，因此都是简单命题；而命题（3）含有逻辑联结词“且”，因此该命题是复合命题。
剖析：要判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能只形式上看字面中有没有逻辑联结词，而是在准确理解复合命题的概念的基础上看其实质。
复合命题“p 或q ”、“p 且q ”是指用“或”与“且”联结两个命题p 、q ，而构成新的命题。
命题（1）虽然字面上没有“或”、“且”逻辑联结词，但它实质上表示：6大于或等于5，即是由p ：6>5、q :6=5构成的一个“p 或q ”形式的复合命题；同样，命题（2）是由p ：有两个角是45°的三角形是等腰三角形、q : 有两个角是45°的三角形是直角三角形构成的一个“p 且q ”形式的复合命题；命题（3）中的“且”并非逻辑连接词，而是与自然语言中的连词“和”含义相同，正像“小李和小王是一对夫妻”中的“和”一样。
高考数学复习点拨 怎样判断命题的真假
怎样判断命题的真假判断指导1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2.判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．例1 “实数的平方是正数或0”是( )(A)p或q形式的命题，是真命题(B)p且q形式的命题，是真命题(C)p或q形式的命题，是假命题(D)不是复合命题，但是真命题解这里p是“实数的平方是正数”。
由于实数的平方不一定是正数，由命题的概念可知，p不是命题(因不能判断p的真假)，同理q(实数的平方是0)也不是命题，因此，本题这样的“p 或q”组成的不是复合命题，但题干显然是真命题，故选(D)．点拨 1.应透彻理解“命题”、“复合命题”的概念，并非含“或”的语句一定是“p或q”形式的复合命题，当然更不能盲目用“p或q”的真值表判断命题的真假．2．若将题干换成“正数或0的平方根是实数”，这才是“p或q”形式的复合命题，这时才能用真值表判断其真假．例2 已知两个命题p：方程x2 – 2x + 1 = 0的两根都是实数，q：方程x2 - 2x + 1 = O的两根不等．试写出由p、q构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并判断其真假．分析先写出复合命题的三种形式，再确定p、q及非p的真假，最后由真值表判断三种形式命题的真假．解p或q：方程x2 - 2x + 1 = 0的两根都是实数或不相等．p且q：方程x2 - 2x + 1 = 0的两根都是实数且不相等．非p：方程x2 - 2x + 1 = 0的两根不都是实数．因p真q假，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．点拨1．判断含有“或”、“且”、“非”的复舍命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．2．注意“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2 - 2x + 1 = 0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．例3 若p和q都是简单命题，则下列说法是否正确．①命题p真，则命题“p且q”不一定真；②命题p假，则命题“p或q”不一定假；③命题“p且q”真，则命题p一定真；④命题“p或q”假，则命题p一定假．分析本题需逆用真值表解题．解①②③④都正确．点拔1．要认真领会真值表的内涵，掌握其规律性，熟练运用，不可机械记忆和生搬硬套．2由真值表可知：①“非p”的真假与p的真假相反．②若p、q至少有一个为真，则“p或q”为真；若p、q至少有一个为假，则“p且q”为假．③若p、q均真，则“p且q”、“p或q”均真；若p、q均假，则“p且q”、“p或q”均假．例4 将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，再判断各命题的真假．分析解答本题的关键一是会正确“改写”；二是会正确“否定”．解法1 原命题可写成：若a是正数，则a的平方大于零．逆命题：若a的平方大于零，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零．逆否命题：若a的平方不大于零，则a不是正数．原命题、逆否命题为真，否命题、逆命题为假．解法2原命题可写成：若a是正数的平方，则a大于零．逆命题：若a大于零，则a是正数的平方．否命题：若a不是正数的平方，则a不大于零．逆否命题：若a不大于零，则a不是正数的平方．原命题、逆否命题为真，否命题、逆命题为假．点拨1．要注意分清原命题中的条件p与结论q，正确改写．2．要学会否定，不可误认为正数的反面就是负数，大于的反面就是小于．3.“若q则p”形式的命题也是一种复合命题，但其中的p、q不一定是命题．4．当一个命题的真假不易判断时，往往可以转化为判断原命题的逆否命题的真假，因为它们是等价命题．另外，否命题和逆命题也是等价命题．。
命题的否定-高中数学知识点讲解
命题的否定
1．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
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高中数学数学命题知识点总结
高中数学数学命题知识点总结一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。
真命题：判断为真的语句叫做真命题。
假命题：判断为假的语句叫做假命题。
命题的否定：就是对命题的结论加以否定。
二、四种命题的概念：原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。
一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。
2、一般地，如果既有，又有，就记作。
此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。
2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。
3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。
典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。
高考数学复习点拨 命题的若干否定
命题的假设干否认在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫做判断．表达判断的语句叫命题．在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句叫数学命题．命题按能否分解可分为简单命题和复合命题，按其所判断的是事物的性质或存在的关系可分为性质命题和关系命题．在数学证明中，准确无误地写出一个命题的否认式是十分重要的．一、简单命题的否认1．性质命题的否认每一个性质命题都由主项、谓项、量项、联项四局部组成，其中立项表示被判断的对象；谓项表示主项的性质；量项表示主项的数量，分为全称量项和特称量项，全称量项常用“一切〞、“所有〞、“每一个〞、“任意一个〞等词语表达，特称量项常用“有些〞、“存在〞、“至少有一个〞等词语表达；联项表示主项与谓项的联系，分为肯定联项与否认联项，前者常用“是〞、“有〞表示，后者常用“不是〞。
“没有〞表示．如命题“至少有一个质数不是奇数〞中，“质数〞为主项，“奇数〞为谓项，“至少有一个〞为量项，“不是〞为联项．性质命题除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的主项的外延不是一类事物，而是单独的个体．单称命题的否认极为简单，只要否认“联项〞即可．例如“2是偶数〞的否认为“二不是偶数〞；“小王不是团员〞的否认为“小王是团员〞．而全称命题和特称命题的否认，一般要对“量项〞和“联项〞同时进行否认，全称与特称互为否认，肯定与否认互为否认．例如，命题“一切矩形是平行四边形〞的否认为“存在一个矩形不是平行四边形〞；命题“至少有一个质数不是奇数〞的否认为“所有的质数都是奇数〞．特别要注意的是，由于全称量项表示主项的全部外延，往往可以省略不写，从而在作命题否认时易将全称命题误当为单称命题处理而出错，如将命题p“实数的绝对值是正数〞否认写成“实数的绝对值不是正数〞这就错了．很显然，这里的“p〞与“〞都是假命题，“〞复合命题的真值表相矛盾．究其原因，命题p为全称命题而不是单称命题，省略了量词“所有〞，正确的否认形式是“存在一个实数的绝对值不是正数〞．事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值〔都〕是正数〞故其否认形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数〞．另外，我们常用“都是〞表示全称肯定，用“不都是〞表示特称否认，这两者互为否认；而用“都不是〞表示全称否认，它的否认形式应特称肯定，可用“至少有一个是〞来表达．2．关系命题的否认关系命题由主项、谓项和量项三局部组成，主项是存在某种关系的对象，谓项是对象之间的某种关系，量项表示主项的数量〔用全称量词和特称量词表示〕．关系命题的否认与性质命题的否认相似，需要对“谓项〞和“量项〞同时进行否认，例如命题“对任意实数x，都有〞的否认是“存在一个实数x，使得〞；命题“至少有一个锐角，使〞的否认是“对所有的锐角，都有〞．和性质命题类似，作命题否认时，不能把省略量词的全称命题当作单称命题去做，例如命题“自然数的平方大于零〞的否认不是“自然数的平方不大于零〞，而是“存在一个自然数的平方不大于零〞．二、复合命题的否认复合命题有五种根本形式，分别用五个逻辑联结词“非〞、“且〞、“或〞、“假设…那么…〞、“等值〞〔〕由命题p或q组成．1．非命题的否认“〞是对命题“p〞的否认，命题“〞与命题“p〞的真假正好相反．对“〞的否认，就是对命题“p〞的否认之否认，因此，命题“p〞与命题“〞具有相同的真值，逻辑学上称为逻辑等价或等价命题．故“p〞可作为“〞的否认〔有特殊要求的除外〕．例如命题“不是有理数〞的否认是“是有理数〞，命题“不是每个人都会开车〞的否认是“并非不是每个人都会开车〞即“每个人都会开车〞．2．联言命题的否认用联结词“且〔〕〞联结两个命题p、q构成的复合命题“〞称为联言命题．当且仅当p、q，p、q皆真时为真．联言命题的否认可根据德摩根律“〞来写，例如命题“2是质数且是偶数〞的否认为“2不是质数或不是偶数〞；命题“某班至少有一个同学既不会唱歌又不会跳舞〞的否认为“某班所有的同学或者会唱歌或者会跳舞〞，即“某班没有一个同学既不会唱歌又不会跳舞．〞3．选言命题〔〕的否认用联结词“或〔〕〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“〞称为选言命题．当且仅当p、q皆假时为假．与联言命题类似，选言命题的否认可根据德摩根律“〞来写，例如，命题“123是2的倍数或是3的倍数〞的否认为“123不是2的倍数且不是3的倍数〞；命题“全班同学都是三好生或共青团员〞的否认是“全班同学中至少有一个同学不是三好生且不是共青团员〞．必须说明的是，日常生活中的“或〞有两种意义：可兼的和不可兼的．而在命题中的“或〞是可兼的．4．假言命题〔〕的否认用联结词“假设…那么…〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“假设p那么〞称为p、q的蕴含式或称假言命题．当且仅当p真q假时为假．由命题演算定律：，可写出假言命题〔〕的否认．例如，命题“假设，那么〞〔省略量词的全称命题〕的否认是“有在实数x和y，使且；命题“假设a和b是偶数，那么是偶数〞的否认是“存在数a 和b是偶数，且不是偶数〞．必须注意，假言命题的否命题与该命题的否认是两个不同的概念．首先，对象不同，否命题仅针对假言命题而言，而任一命题都可以写出它的否认．其次，命题的否认式是原命题的矛盾命题，两者一真一假，而假言命题的否命题那么木然，与原命题的真假可能相反也可能相同．如上述命题“假设a和b是偶数，那么是偶数〞的否命题是“假设a或b不是偶数，那么不是偶数〞，仍是全称命题，而其否认式“存在数a和b是偶数，且不是偶数〞是一个特称命题．5．等值式命题〔〕的否认用联结词“等值〞联结两个命题p、q，构成的复合命题“p等值〞称为p、q 的等值式．当且仅当p、q具有相同的真假值时为真．等值式“〞的语言表达也有多种形式，如p当且仅当q；p是q的充分必要条件；假设p那么q并且假设q那么p．等值式命题〔〕的否认比拟简单，只要否认“联项〞即可．例如命题是实数一元二次方程有实根的充分必要条件〞否认可写成“不是实系数一元二次方程有实根的充分必要条件〞；命题“等价于的否认为“不等价于〞。
高考数学复习点拨 有关“命题”的几个问题
有关“命题”的几个问题写出命题P“所有的分数都是无理数”的非P命题，大部分同学会写成“所有的分数都不是无理数”，这显然是错误的，但是新教材中没有讲清楚这类含量词的命题的否定形式，现在对“简易逻辑”教学中的几个问题作一论述。
一、关于命题概念：新教材中只说：可以判断真假的语句叫做命题。
正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题。
例如“12>5”“3是12的约数”是真命题，“0.5是整数”是假命题；“x >5”不是命题。
那么对“x >5”有如下几个问题：问题1：它不是命题是什么呢？这种需要根据前提才能判断真假的判断句叫条件命题。
(教参上称为开语句)，如“x >5”就是条件命题，它的真假要根据x的值来确定。
而含有逻辑联结词的式子都可叫做逻辑表达式。
逻辑表达式的真假由题设条件决定。
如当x=6时，x >5为真，当x=2时，x >5为假。
问题2：命题是怎样构成的?一个完整的命题必由主项，谓项，量词和判断词四部分构成。
例如命题“所有实数的绝对值都是正数”的主项是“实数的绝对值”，谓项“正数”，量词是“所有”，判断词是“都是”。
问题3：命题是怎样分类的?根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题。
单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。
如“3是正数”就是单称命题。
全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何”,“都”等，也常被省略。
如“整数是有理数”的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数”。
特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的”，“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。
如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。
根据判断词的不同，命题又可分为性质命题和关系命题。
性质命题的判断词常用“是”，“不是”；用来判断主项是否符合某项性质。
例如“3是正数”就是性质命题。
关系命题的判断词常用“有”，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在”，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。
高考数学复习点拨：命题否定的典型错误
命题否定的典型错误浙江曾经新教材选修2-1第一章安排了《常用逻辑用语》内容．从课本内容安排上看，显得较容易,但是由于对这三个逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误加以叙述．错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命否定就是否定原命题的结论就错了．例1 写出下列命题的否定：（1）对于任意实数x,使21x=；（2）存在一个实数x，使21x=．误：它们的否定分别为（1）对于任意实数x，使21x≠；（2）存在一个实数x，使21x≠．析：对于（1）是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使21x≠即可；对立（2）是特称命题,要否定它必须是对所有实数x，使21x≠．正：（1）存在一个实数x，使21x≠；（2）对于任意实数x，使21x≠．错误2—-认为命题的否定就是原命题中的关键词改成与其意义相反的关键词在命题的否定中,有许多是把原命题中的关键词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等"改为“不等"、“大于”改为“小于或等于"等．但有些命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2 写出下列命题的否定：（1）线段AB与CD平行且相等；（2）线段AB与CD平行或相等．误：（1）线段AB与CD不平行且不相等；(2）线段AB与CD不平行或不相等．析：对于（1），其结论的含义为：“平行且相等"，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等"、“不平行且相等"；而（2）的结论包含“平行但不相等"、“不平行但相等"、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．正：（1）线段AB与CD不平行或不相等;（2）线段AB与CD不平行且不相等．错误3――认为“都不是”是“都是”的否定例3写出下列命题的否定：（1)a b，都是零；（2）高一（一)班全体同学都是共青团员．误:（1）a b，都不是零;（2)高一（一)班全体同学都不是共青团员．析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是",“不都是"包含“都不是”；“至少有一个"的否定是“一个也没有”．正：（1)a b，不都是零，或写成:a b，中至少有一个不是零．（2）高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一）班全体同学中至少有一人不是共青团员．错误4——认为“命题的否定"就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(p⌝）；而否命题是就“若p,则q”形式的命题而言的．如果一个命题不是这种形式,就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到:命题“若p，则q”的否命题是“若p⌝，则q⌝",而“若p，则q”的否定(命题)则是“若p,则q⌝”．例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．误：不满足条件C的点不都在直线F上．析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若A⌝,则B⌝”，而其否定形式是“若A，则B⌝”，即不需要否定命题的题设部分．正：满足条件C的点不都在直线F上．。
高考数学复习点拨：命题中的“大于(或小于)”的否定
命题中的“大于(或小于)”的否定(附参考答案) 在简易逻辑中经常会碰到大于或小于的否定问题，而这类问题往往受思维的定势，容易出差错。
以下是最近在国内一本很有影响的教学辅导书上的一个例题及其解答，现抄录如下： 例题：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判别其真假。
命题：“当012>+m 时，如果0123>-+m m ，那么0652<+-m m ” 解：由012>+m 得：21->m ，又由0123>-+m m 得：213>-<m m 或，结合21->m 得21>m ；由0652<+-m m 得：32<<m 。
由此可知，原命题可变为：“如果21>m ，那么32<<m ”显然是真命题。
逆命题为“当012>+m 时，如果0652<+-m m ，那么0123>-+m m ”，此命题即是“如果32<<m ，那么21>m ”，它是真命题。
否命题为“当012>+m 时，如果0123≤-+m m ，那么0652≥+-m m ”，此命题即是“如果2121<<-m ，那么32≥≤m m 或”，它是真命题 逆否命题为“当012>+m 时，如果0652≥+-m m ，那么0123≤-+m m ”，此命题即是“如果32≥≤m m 或，那么2121<<-m ”，它是真命题。
评注：上述解法在0123>-+m m 的否定上存在错误。
事实上，0123>-+m m ⇔213>-<m m 或，结合大前提，结果为21>m ；而其否定不是由0123≤-+m m 结合大前提所得的2121<<-m ，而是2121<<-m 或21=m ，即2121≤<-m 。
从而，否命题为““当012>+m 时，如果0123≤-+m m 或21=m ，那么0652≥+-m m ”，此命题即是“如果2121≤<-m ，那么32≥≤m m 或”，它是真命题；逆否命题为“当012>+m 时，如果0652≥+-m m ，那么0123≤-+m m 或21=m ”，此命题即是“如果32≥≤m m 或，那么2121≤<-m ”，它是真命题。
高考数学复习点拨：谈一类特殊词的否定
谈一类特殊词的否定陕西王柱元在进行高一数学命题的否定教学中笔者常常会遇到对“一定是”、“不一定是”和“一定不是”的否定的问题，一些教师和学生对这些词的否定方法也感到很迷惑。
在这里笔者根据自己的教学实践和思索写出此文，希望读者从本文中能有所收获。
我们知道对任何事件可分为必然事件、随机事件、不可能事件。
这三种事件可以对应成一定是、不一定是、一定不是三种情况。
这三种情况所表达的含义是不相同的，所以如果其中一个是真的，则另外两个是假的。
所以我们不妨从这个角度来看一下这个问题。
一对“否定”含义的深刻理解否定一个命题的结论，就是肯定所有结论中除了这个结论的其它结论.这时设两个集合A、B，其中A 集合是原命题的结论，B集合是其它的结论。
B集合中的任何一结论都是对A集合的结论进行否定。
总结一个这样的结论：如果所有结论中只有一个是正确的，那么对原命题是真命题的否定是所有其它假命题中的任何一个或全部都可以作为对原命题的否定；如果原命题是假命题，那么对原命题的否定应在所有其它命题中选择那个真命题作为对原命题的否定。
举个例子：对甲、乙、丙三名同学来说，在一次竞赛中第一名获得者是甲，那么对命题P1:“第一名是甲”（真命题），它的否定应该是“第一名是乙或丙”（假命题）。
我们可以这样来验证一下：我们否定“第一名是乙或丙”，得到“第一名不是乙且第一名不是丙”，即“第一名是甲”。
这符合非P的否定是P这一命题规律的。
如果我们对P1 的否定说成“第一名是乙”（假命题），也是正确的。
因为我们反过来否定“第一名是乙”（假命题）得到“第一名是甲或丙”（真命题），这与“第一名是甲”（真命题）这个命题是等价命题。
就像“3>2”与“3≥2”一样，都是正确的，但前者更准确简单，这是我们应该追求的。
二根据原命题的真假来对“一定是、不一定是、一定不是”进行否定思想方法对含有“一定是”或“不一定是”或“一定不是”判断词的命题来说，其中有且只有一个的是正确的。
高考数学复习点拨 关于逻辑“非”的几点认识
关于逻辑“非”的几点认识在“简易逻辑”的学习中，许多同学对“非”的理解存在一定的困难，下面就如何深刻理解“非”的含义谈几点看法。
1．“非”是否定的意思，必须只否定结论要注意命题的否定与否命题的区别。
对于命题“若p则q”，其命题的否定是“若p则非q”，其否命题则是“若非p则非q”。
例1. 命题p：如果两个三角形全等，则它们的面积相等。
写出“非p”解：“非p”为：如果两个三角形全等，则它们的面积不相等。
否命题为：如果两个三角形不全等，则它们的面积不相等。
2．注意常见词“或”“且”“都”等词语的否定“p或q”、“p且q”的否定分别是“非p且非q”和“非p或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”。
另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等。
例2．写出下列命题的“非p”形式（1）菱形的对角线互相垂直且平分（2）李明是篮球运动员或跳高运动员（3）三个角对应相等的三角形都相似解：命题的非p形式是：（1）菱形的对角线不垂直或不平分（2）李明不是篮球运动员且不是跳高运动员（3）三个角对应相等的三角形不都相似3．p与“非p”的真值性必须相反一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”，当p为真时，则“非p”为假，当p为假时，则“非p”为真。
例3．写出“四条边都相等的四边形是正方形”的“非p”形式解：非p：四条边都相等的四边形不都是正方形。
很多同学答成：四条边都相等的四边形不是正方形。
认真分析一下：原命题为假，其“非p ”必然为真，“四条边都相等的四边形不是正方形”显然为假，所以不能作为原命题的“非p”形式。
所以要注意，“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，所以一个命题的“非p”形式正确与否，可以用真值性加以判断。
4．p与“非p”对应的集合为互为补集对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”的概念，p与“非p”结论所确立的集合的并集必须为全集，交集为空集。
高考数学复习点拨 例析反证法及其应用
例析反正法的应用我们知道，反证法是先否定结论成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理，公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，也是数学上非构造性证明中极为重要的方法，它对于处理存在性命题、否定性命题、唯一性命题和至少、至多性命题具有特殊的优越性。
现以例说明。
一否定型命题当结论为“否定性”的命题时，应用反证法。
也就是说原题的结论出现“不可能……”、“不能表示为……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“不具有某种性质”等否定形式出现时，可考虑使用反证法进行证明。
例1不是有理数。
分析：要求证的结论是以否定的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。
证明：12=≤<=，pq=（p、q为互质的正整数，且1q>），两边平方，得222q p=①，①表明，2p是2的倍数，因为p是正整数，故当p是奇数时，令21p k=+（p N∈），则22(21)p k=+224412(22)1k k k k=++=++，即2p是奇数，与2p是2的倍数矛盾。
当p是偶数，又可设2p l=（*p N∈），代入①式，整理后得222q l=②，②式表明，2q是2的倍数。
这样p与q都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定p、q为互质的正整数相矛盾。
不是有理数。
点评：在应用反证法证题时，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。
本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾二存在性命题当命题的结论是以存在性的形式出现时，宜用反证法。
也就是说，解决存在性探索命题的总体策略是先假设结论存在，并以此进行推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，经验证成立即可肯定假设正确。
例2、直线1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点,A B ，⑴某某数k 的X 围；⑵是否存在实数k 使得以线段AB 为直经的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在求出的值；若不存在，说明理由。
高考数学复习点拨 宜用反证法证明的几类命题
宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．例１ 求证：3lg 2是无理数．分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．证明：假设3lg 2不是无理数，即为有理数，则设3lg 2＝m n (,m n ∈+N ，n m ,互质） 从而32=m n得， m n 32=上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立． 故3lg 2是无理数．例２ 证明：一个三角形中不可能有两个直角．分析：用三角形内角和为0180证一个三角形中不存在两个直角．证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设∠Ａ＝090，∠Ｂ＝090． ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝090＋090＋∠Ｃ＝0180＋∠Ｃ＞0180这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法．例３ 已知1p 、2p 、1q 、2q ∈Ｒ，且1p 2p ＝2（1q ＋2q ）求证：方程2x ＋1p x ＋1q ＝０和2x ＋2p x ＋2q ＝０中，至少有一个方程有实根．分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”． 证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于０，即：⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆<-=∆22212122221211440404q p q p q p q pA B P ∴)(4212221q q p p +<+ ∵1p 2p ＝２（1q ＋2q ）代入上式得 02212221<-+p p p p ，即.0)(221<-p p ．这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立．故这两方程中，至少有一个方程有实根．三、唯一性命题若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法．例４ 求证：在一个平面内，过直线l 外一点P 只能作出一条直线垂直于l ．证明：假设过点Ｐ可以作两条直线垂直于直线l 如图，那么∠PAB ＝∠PBA ＝090． 于是∠APB ＋∠PAB ＋∠PBA ＞0180．即∆PAB 的内角和大于0180，这与定理“三角形内角和等于0180”相矛盾，故假设不成立．l。
高考数学复习点拨 如何学好“逻辑联结词”
如何学好“逻辑联结词”一、【基础知识精讲】 1、命题判断一件事情的句子，叫做命题.高中教科书中的定义是：可以判断真假的语句叫做命题，说法不同，实质是一样的.语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句，就不能叫命题.例如：“这是一棵大树”；“x ＜2”都不能叫命题，由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假.由于x 是未知数，也不能判断“x ＜2”是否成立.“0是自然数”，“5＞2”，“31＞21”，都是简单命题.其中前两个命题为真命题，后一个命题是假命题.2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题，叫做简单命题.由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题. 例如：“菱形的对角线互相垂直或平分”， “菱形的对角线互相垂直且平分”， “菱形的对角线互相不垂直”，分别是“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题.①逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，要结合真值表加以理解.另外，结合集合的并集、交集、补集来理解联结词，它们的定义分别用“或”、“且”、“非”联结词.②对于复合命题的理解要注意“由简单命题与…”，其中我们只注意“联结词”，而不注意“命题”.如x ＞2或x ＜-2就不是复合命题，因为它不是命题，因此，不要认为凡是含有联结词的语句就是复合命题.③对于三个真值表可做如下理解Ⅰ)“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反；Ⅱ)“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同时为真时为真，其他情况时为假；Ⅲ)“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同时为假时为假，其他情况时为真.真值表是我们判断真假命题的直接依据.应该强调的是：如“x=0或x=1”的否定是“x≠0且x≠1”，并非“x≠0或x≠1”。
二、【重点难点解析】本节重点是判断命题的真假，掌握真值表的方法，难点是理解逻辑联结词“或”的含义. 1.2.真值表要点例1分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：①1既不是质数，也不是合数；②0不是奇数；③斜三角形的内角是锐角或是钝角.解：①这个命题是p且q的形式，其中P ：1不是质数；q ：1不是合数，②这个命题是非p 的形式，其中p ：0是奇数。
27高考数学复习点拨：命题中的“大于(或小于)”的否定27
命题中的“大于(或小于)”的否定(附参考答案) 在简易逻辑中经常会碰到大于或小于的否定问题，而这类问题往往受思维的定势，容易出差错。
以下是最近在国内一本很有影响的教学辅导书上的一个例题及其解答，现抄录如下： 例题：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判别其真假。
命题：“当012>+m 时，如果0123>-+m m ，那么0652<+-m m ” 解：由012>+m 得：21->m ，又由0123>-+m m 得：213>-<m m 或，结合21->m 得21>m ；由0652<+-m m 得：32<<m 。
由此可知，原命题可变为：“如果21>m ，那么32<<m ”显然是真命题。
逆命题为“当012>+m 时，如果0652<+-m m ，那么0123>-+m m ”，此命题即是“如果32<<m ，那么21>m ”，它是真命题。
否命题为“当012>+m 时，如果0123≤-+m m ，那么0652≥+-m m ”，此命题即是“如果2121<<-m ，那么32≥≤m m 或”，它是真命题 逆否命题为“当012>+m 时，如果0652≥+-m m ，那么0123≤-+m m ”，此命题即是“如果32≥≤m m 或，那么2121<<-m ”，它是真命题。
评注：上述解法在0123>-+m m 的否定上存在错误。
事实上，0123>-+m m ⇔213>-<m m 或，结合大前提，结果为21>m ；而其否定不是由0123≤-+m m 结合大前提所得的2121<<-m ，而是2121<<-m 或21=m ，即2121≤<-m 。
从而，否命题为““当012>+m 时，如果0123≤-+m m 或21=m ，那么0652≥+-m m ”，此命题即是“如果2121≤<-m ，那么32≥≤m m 或”，它是真命题；逆否命题为“当012>+m 时，如果0652≥+-m m ，那么0123≤-+m m 或21=m ”，此命题即是“如果32≥≤m m 或，那么2121≤<-m ”，它是真命题。
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命题中的“大于(或小于)”的否定
在简易逻辑中经常会碰到大于或小于的否定问题，而这类问题往往受思维的定势，容易出差错。
以下是最近在国内一本很有影响的教学辅导书上的一个例题及其解答，现抄录如下： 例题：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判别其真假。
命题：“当012>+m 时，如果01
23>-+m m ，那么0652<+-m m ” 解：由012>+m 得：21->m ，又由0123>-+m m 得：213>-<m m 或，结合21->m 得21>m ；由0652<+-m m 得：32<<m 。
由此可知，原命题可变为：“如果21>m ，那么32<<m ”显然是真命题。
逆命题为“当012>+m 时，如果0652<+-m m ，那么01
23>-+m m ”，此命题即是“如果32<<m ，那么2
1>m ”，它是真命题。
否命题为“当012>+m 时，如果01
23≤-+m m ，那么0652≥+-m m ”，此命题即是“如果2
121<<-m ，那么32≥≤m m 或”，它是真命题 逆否命题为“当012>+m 时，如果0652≥+-m m ，那么01
23≤-+m m ”，此命题即是“如果32≥≤m m 或，那么2
121<<-m ”，它是真命题。
评注：上述解法在01
23>-+m m 的否定上存在错误。
事实上，0123>-+m m ⇔2
13>-<m m 或，结合大前提，结果为21>m ；而其否定不是由0123≤-+m m 结合大前提所得的2121<<-m ，而是2121<<-m 或2
1=m ，即2121≤<-m 。
从而，否命题为““当012>+m 时，如果01
23≤-+m m 或21=m ，那么0652≥+-m m ”，此命题即是“如果2
121≤<-m ，那么32≥≤m m 或”，它是真命题；逆否命题为“当012>+m 时，如果0652≥+-m m ，那么0123≤-+m m 或2
1=m ”，此命题即是“如果32≥≤m m 或，那么2
121≤<-m ”，它是真命题。
如果将命题p ，非p 知识与集合A ，A 的补集A C U 的知识联系起来学习，那么上面观点容易理解。
结论：由上可见，“小于0”的否定不一定是“大于等于0”；“大于0”的否定不一定是“小于等于0”。
一般地：（1）设()x f 、()x g 是两个整式函数，则命题:
p ()()()00<>x f x g 的p ⌝为()()()00≥≤x f x g 或()x f =0
（2）设()x f 是整式函数，则命题()x f p :0>的p ⌝为()0≤x f 或()0<x f ，即p ⌝为
()0≤x f 。
思考题：命题P ：
0341<+-x x 的“非P 形式”的复合命题是（ ） A ．03
412≥+-x x ；B ．31≤≤x ；C ．31><x x 或；D ．31≥≤x x 或。
解析：命题P ：
03412<+-x x 的“非P 形式”为03412≥+-x x 或0342=+-x x 即0342≤+-x x ，解得31≥≤x x 或。
故选D 。