材料力学 第四章 扭转

d D 0.944
D3
Wp 16
1 4
29 106 m3
max
（2） W p
D 3
16
T
max
D 53mm
T Wp
51.7MPa＜
强度安全。
（3）
Q Q
A A
D2 D2 d 2
3.2
空心优于实心
§4-4 圆轴扭转时的应力和强度条件
强度 条件
max
T
Wp
低碳钢：横截面 切应力破坏
故
上式称为切应力互等定理。
a
d
y
´
c
z
d
x
´
b
d t
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对
出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称 为“纯剪切应力状态”。
§4-3薄壁圆筒的扭转
三、剪切胡克定律
1-1
2-2
MB =1000 Nm
MC = 600 Nm
T1 = 400 Nm
T2 = -600 Nm
讨论:交换 AB 轮的位置扭矩 将如何变化？
T (Nm)
MA n
MA T1
T (Nm)
x
(+)
MB
源自文库
MC
n
T2
400
MC
x
(-)
-1000
- 600
(-)
- 600
§4-3薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒：壁厚
D3
W p 16
1 4
强度 条件
max
T Wp
例4-4-1 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm
[ ] 60MPa,M= 1.5 kNm
max
T Wp
求：（1）校核轴的强度；
（2）改用实心轴，确定轴的直径；
（3）比较实心轴和空心轴的重量。 M
M
解：（1）T = M = 1.5 kNm ,
第四章 扭转
材料力学
长安大学理学院工程力学系
§4-1 概 述
一、扭转实例及特点
受力特点：
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面
垂直于杆的轴线的外力偶作用
Me
Me
变形特点：
1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有 弯曲、拉压等其他变形。
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；
2.实验后：
①圆周线不变；
②施加一对外力偶 m。
②纵向线变成斜直线。
3.结论：①横截面和纵截面上没有正应力。 ②横截面上只有切应力，因为壁厚t很小，近似认为沿壁厚均匀分布 。
§4-3薄壁圆筒的扭转
二、切应力互等定理： mz 0
t dxdy t dxdy
l
当切应力没有超过材料的比例极限时，
G
上式称为“剪切胡克定律”；G为比例系数称为材料的切变模量，
单位是pa，并对各向同性材料存在：
G
E 2(1
)
§4-4 圆轴扭转时的应力和强度条件
M
T= M
刚性平截面变形规律：
（1）横截面保持平面；
（2）直径保持直线。
l
D
（1）变形几何方程 表面 l R 内部 ( )l
MA Ⅰ MB
Ⅱ
MC
A
C
B
解： 1、求内力，作出轴的扭矩图
22
T图（kN·m） 14
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
AB段
1,max
T1 Wp1
22 106 N mm
π 120mm3
64.8MPa
16
BC段
2,max
T2 Wp 2
14 106 N mm
π 100mm3
16
71.3MPa
解：横截面上的内力
由Q引起的剪应力 由T引起的最大剪应力
由
其中
§4-5 圆轴扭转时的变形和静不定问题
一 扭转时的变形
由公式
d
dx
T GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
d
0l
T GI p
dx
Tl GI p
(若T 值不变）
二 单位长度扭转角 或
d
dx
T GI p
(rad/m)
d
dx
T GI p
180
(/m)
GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭 刚度。
三 刚度条件
max
T max
GI p
(rad/m)
或
max
T max
GI p
180
(/m)
[ ]称为许用单位长度扭转角。
刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
② 设计截面尺寸：
max
T
Ip
max
G[ ]
③ 计算许可载荷：
T max GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得。 对精密机器的轴[]=(0.25～0.50)0/m； 一般传动轴[] =(0.5～1.0)0/m；
() l
（2）物理方程 ( ) ( ) G 补充方程： ( ) G l
（3）平衡条件：T dT ()dA
G
T l Ip
T T
l GI p
Ip
极惯性矩
Ip
A 2dA
2
d
d
2
3d
D4 (1 4 )
32
T
Ip
max
T Ip
R
Mn Wp
抗扭截面系数
二、外力偶矩的计算
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功：W P 1000(N.m)
外力偶作功完成：
W
Me
2
n 60
外力偶矩为：
Me
1000P
2 n
9549 P n
60
式中，P为输入功率kW（千瓦）；n为轴的转速（r/min）；
M e为外力偶矩 N m (牛顿.米)
§4-2 扭矩 扭矩图
M
e
扭转内力 : 扭矩 T
Me
n
n’
Me
T
T
Me
正负号规定：扭矩矢量与截面外法线方向 一致时为正;反之为负。
例4-2-1 已知：PA = 40kW，PB =100kW，PC = 60kW， n = 955 rpm， 求:作图示传动轴的扭矩图。
解: MA = 9549 P/n=400 Nm
[ ] 80MPa
即该轴满足强度条件。
例4-4-3 图示圆柱形密圈弹簧，沿弹簧轴线承受拉力F作用，设弹簧 平均直径为D，弹簧丝直径为d，试分析弹簧的应力并建立相应的强度 条件。
所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋角 很小，弹簧丝的直径比弹簧圈直径小得多的弹簧。这 样可以略去弹簧丝曲率的影响，将它作为扭转的直杆来处理。
灰铸铁：45°斜截面 拉应力破坏
作业题 选择题 4.1.2 4.1.4
计算题 4.3.1 4.3.2 4.3.4
例4-4-2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。
材料的许用切应力[ ] = 80MPa ，试校核该轴的强度。