计算物理课件 Chapter2

I n ( f ) i f ( xi ),
i 0 n
若对任意次数不超过 m 次的多项式成立 In(xk) = I(xk), k = 0,1,2,…, m, 而对 m +1次多项式有 In(xm+1) ≠ I(xm+1), 则称公式 In( f ) 具 有 m 阶代数精度。 显然，对任意次数不超过 m 次的多项式 f(x) 有， In( f ) = I( f )。
2.2.1 插值型数值微分
给定[a, b]上的点列 (xi, f(xi)), i = 0,1,2,…,n, 构造Ln(x), 则

b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
b
b
a
l ( x) f ( x )dx
i 0 i i i
n

i 0
b a
n
l ( x)dx f ( x ).
( x x0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) L2 ( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) 2 2 2h h ( x x0 )( x x1 ) f ( x2 ) 2 2h f ( x0 ) f (x ) f ( x) L2 ( x) ( x x1 x x 2 ) 2 1 ( x x 0 x x 2 ) 2h 2 h f ( x2 ) ( x x0 x x1 ). 2 2h
第2章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
数值微分和数值积分
数值微分 数值积分 复化数值积分 重积分计算 高斯型积分公式 程序示例
2.1 数值微分
• 导数与差商的关系
f ( x) f ( x h) f ( x ) h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) h
∵ f(x0-h)≈f(x0+h) 有效数字严重损失
h h max f ( ) M 3. 6 6
2
2
② 舍入误差： 设 e 为计算 f(x0-h) 和 f(x0+h) 时的最大舍入误差，可以
证明，舍入误差量不超过 e/h。
于是得到计算数值微分的总误差为
h 越小，舍入误差 越大，并产生病态
h2 e g (h) M3 6 h
M3 e From g (h) h 2 0, we know that min g ( h). 3 h So, the optimal h is hopt = 3 3e . M3
实际计算中，采用事后估计方法来选去步长h/2：若
D(h) D(h / 2) .
lim
h 0
lim
h 0
(2.1)
lim
h 0
数值微分取成导数的近似值，即差商。
2.1.1 差商型数值微分 • 数值微分用向前差商表示
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) h
x0
x0 +h
截断误差：用Taylor展式， 存在ζ∈[x0,x0+h]，
f ( ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )( x0 h x0 ) h , 2! f ( x0 h) f ( x0 ) f ( ) R( x) f ( x0 ) h O(h).
b a i
Letting i li ( x)dx, then we have the numerical integration formula
I n ( f ) Ln ( x)dx i f ( xi )
b a i 0
n
(2.6)1
The error is En ( f )
2.1.3 样条插值数值微分
给定差值点(xi, f(xi)), 假定 S '(xi) = mi, i = 0,1,2,…, n, 由 “m关系式”得三次样条插值函数：
x xi x xi 1 x xi 1 x xi S ( x) 1 2 y 1 2 y xi 1 xi xi xi 1 i xi xi 1 xi 1 xi i 1
n

f ( x) Ln ( x) li( x) f ( xi ),
i 0
n
thus the numerical differential at nodes x j , j 0,1, 2,, n,is f ( x j ) Ln ( x j ) li( x j ) f ( xi ), j 0,1, 2,, n
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
x0 h
x0
x0 h
截断误差：由Taylor展式，
f ( x0 ) 2 f ( 1 ) 3 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h h (1) 2! 3! f ( x0 ) 2 f ( 2 ) 3 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h h (2) 2! 3! f ( x 0 h ) f ( x 0 h) h 2 f ( 1 ) f ( 2 ) R( x) f ( x0 ) 2h 6 2 h 2 f ( ) O(h 2 ), x0 h x0 h.(mean theorem) 6
(N.)
注
对于一般的函数 f(x)，En( f )≠0, 但若 f(x) 为次数小于 n 的多项式时，因为 f (n+1) (x) = 0, ∴ En( f ) = 0。因此 n 次插值多项式形式的数值积分公式至少有 n 阶代数精
度。
例2.4 建立[0,2]上节点为 x0=0, x1=0.5, x2=2的数值积分公式。 解 n = 2，I2( f ) = α0 f(x0) + α1 f(x1) + α2 f(x2). 因为
n 1 i 0
数值积分就是取定积分极限中的有限项的和，即
I n ( f ) i f ( xi ),
其中，xi 称为积分节点,αi 称为积分系数。
我们的任务就是确定积分系数αi ，使 I( f )≈In( f )。具 体地，就是用插值多项式近似代替被积函数 f(x) 来确定αi。 ★ 代数精度 设[a, b]上以 xi 为积分节点的数值积分公式为
b a n b 1 ( n 1) Rn ( x)dx f ( ( x)) ( x xi )dx (n 1)! a i 0
(L.)
or E n ( f ) Rn ( x)dx f [ x, x 0 , x1 , , x n ] ( x xi )dx
b b a a i 0 n
• 数值微分的几何意义
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) h
lim
h 0
f ( x 0 h) f ( x 0 ) h
• 设定最佳步长
计算数值微分时产生的误差有截断误差和舍入误差两部 分组成。由数值微分公式产生截断误差，有原始数据产生舍 入误差。 一般情况，步长 h 越小，误差也越小，但步长太小，会 引起误差的增长。因此，实际计算时，需要选择一个最佳步 长。 用中心差商分析数值微分的误差。 ① 截断误差：
将 x = xi 代入 f '(x), 得到三点数值微分公式： 1 f ( x0 ) 3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2h 1 f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x 2 ) 2h ( x2 ) 1 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x 2 ) f 2h 取 n =2，由(2.5)1式，得三点公式的截断误差分别为：
代入节点xj, j = 0,1,2,…, n, 得到
f ( n 1) ( ) n R( x j ) ( x j xi ) (n 1)! i 0
i j
(2.5)1
例2.3 给定三个差值点(xi, f(xi)), i = 0,1,2, 求过三个节点的数 值微分。
解
记 x2 x1 x1 x0 h, then Lagrange interpolation is
2.1.2 差值型数值微分
给定 (xi, f(xi)), i = 0,1,2,…,n, 构造Ln(x),则
f ( x) Ln ( x) Rn ( x) f ( n 1) ( ) n li ( x) f ( xi ) ( x xi ). (n 1)! i 0 i 0
h 2
• 数值微分用向后差商表示
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) h
x0 h
x0
同理得截断误差
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( ) R( x) f ( x0 ) h O(h) h 2
• 数值微分用中心差商表示
f ( x0 )
f '(1.15)
3.1590 3.1588
error
-0.0008 -0.0006
0.08
0.07 0.06
3.1613
3.1607 3.1600
-0.0031
-0.0025 -0.0018
0.03
0.02 0.01
3.1583
3.1575 3.1550
-0.00ห้องสมุดไป่ตู้1
0.0007 0.0032
实际计算时，准确误差难以得到，∵|D(0.05)-D(0.04)|<ε, 其中， ε = 2×10-4 最小。所以取h = 0.04。
D(h)表示数值 微分计算公式
例2.2 对函数 y = ex,选取不同的步长进行计算 f '(1.15),观察 误差的变化规律，确定最佳步长。 解 用中心差商表示的数值微分计算公式得到： h