2018届高三数学每天一练半小时：第12练 对数函数 Word版含答案

一、选择题
1．lg 2
5＋lg 2·lg 50＋5log 3
5等于( )
A ．1
B ．log 53
C ．4
D ．3
2．(2017·福州月考)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )
3．设2a ＝5b
＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m 等于( )
A.10 B ．10 C ．20
D ．100
4．(2016·山东淄博六中期中)设a ＝30.3
，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c
D ．c <a <b
5．(2016·福建厦门双十中学期中)设函数f (x )＝e x
＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2
－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )
A ．0<g (a )<f (b )
B ．f (b )<0<g (a )
C ．f (b )<g (a )<0
D ．g (a )<0<f (b )
6．若不等式x 2
－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．{a |0<a <1}
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫a ⎪⎪⎪ 1
16≤a <1 C ．{a |a >1}
D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪
0<a ≤
116 7．(2016·广东佛山禅城期中)设a ，b ，c 均为正数，且2a
＝12
log a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝12
log b ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12c ＝
log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b
D ．b <a <c
8．(2016·山东聊城一中期中)已知函数f (x )＝e x
－12 (x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )的图象上存
在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，1e
B ．(－∞，e)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1e ，e
D.⎝
⎛
⎭
⎪⎫－e ，1e 二、填空题
9．若函数f (x )＝log a (ax －3)(a >0且a ≠1)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是__________．
10．(2016·河北冀州中学检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2
≤x <e ，
g (x )＝x 2－2x .
设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为________．
11．(2016·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
|ln x |，0<x ≤e，
2－ln x ，x >e.
若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________________． 12．(2016·河北衡水中学一调)若不等式lg 1＋2x
＋(1－a )3
x
3≥(x －1)lg 3对任意x ∈(－∞，
1)恒成立，则a 的取值范围是________.
答案精析
1．C [因为lg 2
5＋lg 2·lg 50＝lg 2
5＋lg 2(1＋lg 5)＝lg 2
5＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 2
5＋1－lg 2
5＝1，又因为5log 53
＝3，所以原式＝4.]
2．A [因为y ＝lg|x －1|＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
lg(x －1)，x >1，
lg(1－x )，x <1.
当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．] 3．A [∵2a ＝5b
＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，
∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1
log 5m
＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10.] 4．B [∵y ＝3x
是定义域上的增函数， ∴a ＝30.3
>30
＝1.
∵y ＝log πx 是定义域上的增函数， ∴0＝log π1<log π3<log ππ＝1. ∵y ＝log 0.3x 是定义域上的减函数， ∴c ＝log 0.3e<log 0.31＝0，∴c <b <a .故选B.]
5．D [显然f (x )＝e x ＋x －2在R 上是增函数，而f (0)＝e 0
＋0－2＝－1<0，f (1)＝e ＋1－2>0，由函数零点存在性定理知，0<a <1.
又g (x )＝ln x ＋x 2
－3在定义域(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝ln 1＋12
－3＝－2<0，则b >1. 故f (b )>f (1)>0，g (a )<g (1)<0，即g (a )<0<f (b )．]
6．B [由x 2－log a x <0，得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2
，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不
等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2
在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．
当a >1时，显然不成立；
当0<a <1时，如图，要使x 2
<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12上恒成立，
需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12.所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122
≤log a 12，
解得a ≥116，所以1
16
≤a <1.]
7．A [分别作出四个函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，y ＝12
log x ，y ＝2x
，y ＝log 2x 的图象，观察它们的交点
情况．由图象知a <b <c .故选A.]
8．B [函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，就是说f (－x )＝g (x )有解，也就是函数y ＝f (－x )与函数y ＝g (x )有交点，在同一坐标系内画出函数y ＝f (－x )＝e －x
－12
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x －12(x <0)与函数y ＝g (x )＝ln(x ＋a )的图象． ∴函数y ＝g (x )＝ln(x ＋a )的图象是把函数y ＝ln x 的图象向左平移且平移到过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12后开始，两函数的图象有交点，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12代入y ＝ln(x ＋a )，得12＝ln a ， ∴a ＝e 1
2
＝e ，∴a <e ，故选B.]
9．(3，＋∞)
解析 由于a >0且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数， 则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.
又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3. 10．[－1,3]
解析 因为g (x )＝x 2
－2x ，a 为实数，2g (a )＝2a 2
－4a ＝2(a －1)2
－2，所以当a ＝1时，2g (a )
取得最小值－2，f (－7)＝6，f (e －2
)＝－2，所以f (x )的值域为[－2,6]．因为存在实数m ，使得f (m )－2g (a )＝0，所以－2≤2a 2
－4a ≤6，解得－1≤a ≤3. 11．(1e
＋2e,2＋e 2
)
解析 画出函数f (x )的图象，如图．
不妨令a <b <c ，由已知和图象可知， 0<a <1<b <e<c <e 2
. ∵－ln a ＝ln b ，∴ab ＝1. ∵ln b ＝2－ln c ，
∴bc ＝e 2
，∴a ＋b ＋c ＝b ＋e 2
＋1
b
(1<b <e)，
∵(b ＋e 2＋1b )′＝1－e 2
＋1b
2<0，
故b ＋e 2
＋1b
在(1，e)上为减函数，
∴2e ＋1e
<a ＋b ＋c <e 2
＋2，
∴a ＋b ＋c 的取值范围是(1e ＋2e,2＋e 2
)．
12．(－∞，1]
解析 lg 1＋2x
＋(1－a )3x
3≥(x －1)lg 3⇒lg 1＋2x
＋(1－a )3
x
3
≥lg 3
x －1
⇒1＋2x ＋(1－a )3x 3≥3x －1
，整理可得a ≤1＋2x
3
x ，
∵y ＝1＋2x
3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x
在x ∈(－∞，1)上单调递减，
则当x ∈(－∞，1)时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23x >13＋2
3
＝1，∴a ≤1.。