统计学--ch06

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三、p-值检验

p-值检验就是通过计算p-值，再将它与显著性 水平α作比较，决定拒绝还是接受原假设。所 谓p-值就是拒绝原假设所需的最低显著性水 平。p-值判断的原则是：如果p-值小于给定的 显著性水平α，则拒绝原假设；否则，接受原 假设。或者，更直观来说就是：如果p-值很 小，拒绝原假设，p-值很大，接受原假设。 请大家注意的是这里的p-值是指概率，不要 与成数指标相混淆。
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第四步：计算检验统计量的数值。 样本成数p=220/600=0.37，总体假设的成数ρ =0.3,代入z检验统计量得：
z p 0.37 0.3 0.3 (1 0.3) / 600 3.5
(1 )
n
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第五步：判断。 检验统计量的样本取值z=3.5>1.645，落入拒 绝域。拒绝原假设，接受备选假设，认为样 本数据证明该企业声明属实。
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假设检验的特点

采用逻辑上的反证法

先认为假设为真，观察在此前提下样 本的出现是否合理。若不合理，则判 断假设不真，应予以拒绝；反之则不 能拒绝。 即这里的反证法是具有概率性质的反 证法。
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判断是否合理依据的是小概率原理

二、假设检验的步骤



（一）提出原假设和备择假设 （二）确定检验统计量及其分布 （三）规定显著性水平 （四）计算检验统计量的值 （五）作出统计决策

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双侧检验中的结论（1）
/2
(1 － )
/2
临界值
θ0
临界值
检验统计量
检验统计量 的观察值
结论：不能 拒绝HO
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双侧检验中的结论（2）
/2
(1 － )
/2
临界值
θ0
临界值
检验统计量
检验统计量 的观ห้องสมุดไป่ตู้值
结论：拒绝HO
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单侧检验中的结论（1）
(1 － )

θ0
检验统计量 的观察值
临界值
检验统计量
结论：不能拒 绝HO
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单侧检验中的结论（2）
(1 － )

θ0
临界值
检验统计量
结论：拒绝HO
检验统计量 的观察值
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三、假设检验中的两类错误

1.第一类错误（ “弃真”或“拒真” 错误）

原假设为真时拒绝原假设（例1，当产品本来合格时） 犯第一类错误的概率为 (即显著性水平)

α 和β 的关系 就好比翘翘板
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三、检验功效

在犯第一类错误概率得到控制的条件下，犯 取伪错误的概率也要尽可能地小，或者说， 不取伪的概率1-β应尽可能增大。1-β越大，意 味着当原假设不真实时，检验判断出原假设 不真实的概率越大，检验的判别能力就越好； 1-β越小，意味着当原假设不真实时，检验结 论判断出原假设不真实的概率越小，检验的 判别能力就越差。可见1-β是反映统计检验判 别能力大小的重要标志，我们称之为检验功 效或检验力。
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z检验的p-值： z0 检验统计量为z统计量的p-值计算公式， 表示 检验统计量的抽样数据，则p-值的计算方法 如下： 如果：H 1 ， 0 p-值=2 p(z z0 ) 如果：H 1 ， 0 p-值= p(z z 0 ) 如果：H 1 ， 0 p-值= p(z z 0 )

(1 )


上式中，ρ代表总体的成数，p代表样本的成 数。 以上的z统计量可以用作总体成数检验的检验 统计量。
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例2：某企业声明有30%以上的消费者对其产 品质量满意。如果随机调查600名消费者，表 示对该企业产品满意的有220人。试在显著性 水平α=0.05下，检验调查结果是否支持企业 的自我声明。
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例1：消费者协会接到消费者投诉，指控品牌 纸包装饮料存在容量不足，有欺骗消费者之 嫌。包装上标明的容量为250毫升。消费者协 会从市场上随机抽取50盒该品牌纸包装饮品， 测试发现平均含量为248毫升，小于250毫升。 这是生产中正常的波动，还是厂商的有意行 为？消费者协会能否根据该样本数据，判定 饮料厂商欺骗了消费者呢？
5-4

消费者协会实际要进行的是一项统计检验工 作。检验总体平均 =250是否成立。
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例2某企业生产一种零件，过去的大量资料表 明，零件长度服从正态分布，平均长度为4厘 米，标准差为0.15厘米。现从改革工艺后生产 的零件中随机抽查100个零件，测得平均长度 为3.95厘米。现问：工艺改革前后零件的长度 是否发生了显著的变化呢？

H0:μ=4
X 0 3.95 4 Z 3.333 n 0.15 100
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（五）作出检验结论


依据临界值来判断（以Z 检验为例）：
左侧检验时，若 Z≤-Zα，拒绝原假设； 右侧检验时，若 Z≥+Zα时，拒绝原假设；

双侧检验时，若|Z|≥Zα/ 2 时，拒绝原假设。
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解：第一步：作出假设。 H 0 ：ρ =30%， H:ρ> 30%。 1 以上的备选假设是企业自我声明的结论，我 们希望该企业说的是实话。因此使用右侧检 验。
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第二步：构造z检验统计量。 第三步：确定拒绝域。 显著水平α=0.05，查标准正态分布表得临界 值：z =1.645，拒绝域是z>1.645。


临界值——原假设的拒绝区域与不能拒绝区 域的分界点。 根据检验统计量的分布，给定的 查相应的概
率分布表，即得临界值。 临界值还与检验形式（单双侧）有关

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双侧检验的显著性水平与拒绝域
检验统计 量的分布
/2 (1 － ) /2
临界值
θ0
临界值
检验统计量
HO的拒绝区域
(不能拒绝HO的区域)
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HO的拒绝区域
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右侧检验中的显著性水平与拒绝域
统计量 的分布
(1 － )
θ0
(不能拒绝HO的区域)
临界值
检验统计量
H0的拒绝区域
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（四）计算检验统计量的值

将样本资料代入检验统计量的公式， 计算出检验统计量的观测值。
【例2】 零件平均长度=4cm，总体标准差=0.15cm。 n=100，样本平均长度=3.95cm。

Prob （拒绝H0 / H0为真）=
右侧检验中 θ0

拒绝域
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2. 第二类错误（“取伪”或“采伪”错误）

原假设不真时未拒绝原假设

例如，产品销售方承诺次品率<2%，这是假的。但买 方检验时作出了信任卖方的错误判断

第二类错误的概率为

＝Prob（接受H0 / H0不真）
β
θ0 θ1
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（二）构建检验统计量
检验统计量及其分布是假设检验的具体理论依据。

检验统计量是指用于检验原假设是否成立的统 计量

它是一个随机变量，其数值随样本不同而 不同； 不包含未知总体参数但要包含原假设中总 体参数的假设值；


在原假设成立的前提下，检验统计量的抽 样分布应该是明确的。
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检验统计量及其分布通常可由被检验参数 的点估计量经过标准化来导出。
拒绝域
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表8－1 决策
决策结果与两类错误
H0为真 第一类错误 (拒真） （概率＝ ) 正确 H0为不真
实际情况
拒绝H0
正确
第二类错误 （采伪） ( 概率＝ )
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未拒绝H0
两类错误的关系（右侧检验中）
β

θ0 θ1
拒绝域
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和 的关系
在检验中人们总希望犯两类错误的可能性都很小，然而 ，在其它条件不变的情况下， 和 不可能同时减小，就 象交易中买卖双方各自承担的风险一样。
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假设检验的基本原理

小概率事件：发生概率很小的随机事件
小概率原理：小概率事件在一次试验（观察）中 几乎不可能发生。

小概率原理在日常决策中广泛运用…

什么样的概率才算小概率？

根据决策的风险或要求的把握程度来决定，没 有统一的界定标准。 假设检验中把这个概率称为检验的 “显著性水 平”。
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第一步：确定原假设与备选假设。 ： H 0 ： =250； H 1 <250 以上的备选假设是总体均值小于250毫升，因 为消费者协会希望通过样本数据推断出厂商 的欺骗行为(大于250毫升一般不会发生)。因 此使用左侧检验。
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第二步：构造出检验统计量。 我们知道，如果总体的标准差已知，则正态 总体(正常情况下，生产饮料的容量服从正态 分布)的抽样平均数，也服从正态分布，对它 进行标准化变换，可得到：
z X 0


n
~ N (0,1)

可用z作为检验统计量。
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第三步：确定显著性水平，确定拒绝域。 通常显著水平由实际问题确定，我们这里取 α=0.05，左侧检验，拒绝域安排在左边，查 标准正态分布表得临界值： - z =-1.645，拒绝域是z<-1.645。
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例3：利用p-值检验重新检验例1。 解： 第一、第二步与例1完全相同，故省略之。 第三步：计算样本统计的数值。 样本平均数 X 248 ，n=50，代入检验统计量 得：